Как найти знак модуля

Модуль числа — теория и решение задач

Модуль числа – это такая забавная концепция в математике, с пониманием которой у многих людей возникают трудности 🙂

А между тем она проста как апельсин. Но, чтобы ее понять, давай сначала разберемся, зачем и кому он нужен.

Вот смотри…

Ситуация первая

В жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла.

Например, мы не можем проехать на машине «минус 70 километров» (мы проедем 70 километров, не важно, в каком направлении), как и не можем купить «минус 5 кг апельсинов». Эти значения всегда должны быть положительными.

Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина.

Ситуация вторая

Ты покупаешь пакет чипсов «Lay’s». На пакете написано, что он весит 100 грамм. Но, если ты начнешь взвешивать пакеты, вряд ли они будут весить ровно 100 грамм. Какой-то из них будет весить 101 грамм, а какой-то 99.

И что, можно идти судиться с компанией «Lay’s», если они тебе недовесили?

Нет. Потому что  «Lay’s» устанавливает допуск и говорит, что пакет будет весить 100 грамм, плюс-минус 1 грамм. Вот это «плюс-минус» – это и есть модуль.

Ситуация третья

В жизни вообще не бывает 100% точных величин. Всегда есть вот такие допуски. В зарплате, например: «Я согласен работать за 250 тыс рублей в месяц, плюс-минус 20 тыс!» 20 тысяч – это и есть модуль.

А вообще для простоты запомни, что модуль это расстояние от точки отсчета в любую сторону.

Ну вот, ты уже почти все знаешь. Давай теперь подробнее…

Модуль числа — коротко о главном

Определение модуля:

Модуль (абсолютная величина) числа ( displaystyle x) — это само число ( displaystyle x), если ( displaystyle xge 0), и число ( displaystyle -x), если ( displaystyle x<0):

( displaystyle left| x right|=left{ begin{array}{l}x, xge 0\-x, x<0end{array} right.)

Свойства модуля:

• Модуль числа есть число неотрицательное: ( left| x right|ge 0,text{ }left| x right|=0Leftrightarrow x=0);
• Модули противоположных чисел равны: ( left| -x right|=left| x right|);
• Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: ( left| xcdot yright|=left| x right|cdot left|yright|);
• Модуль частного двух чисел равен частному их модулей: ( displaystyle left| frac{x}{y} right|=frac{left| x right|}{left| y right|},text{ y}ne text{0});
• Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|);
• Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: ( left| cx right|=ccdot left| x right|) при ( displaystyle c>0);
• Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: ( {{left| x right|}^{2}}={{x}^{2}}).

Кстати, в продолжение этой темы у нас есть отличная статья: «Уравнения с модулем«. Когда прочитаешь эту статью, обязательно ознакомься и со второй.

И просто чтобы ты знал, модуль часто попадается при решении квадратных уравнений или иррациональных.

Что же такое модуль числа?

Представь, что это ты.

Предположим, что ты стоишь на месте и можешь двигаться как вперёд, так и назад. Обозначим точку отправления ( 0).

Итак, ты делаешь ( 3) шага вперёд и оказываешься в точке с координатой ( 3).

Это означает, что ты удалился от места, где стоял на (3) шага (( 3) единичных отрезка).

То есть, расстояние от начала движения до точки, где ты в итоге оказался, равно ( 3).

Но ведь ты же можешь двигаться и назад!

Если от отправной точки с координатой ( 0) сделать ( 3) шага в обратную сторону, то окажешься в точке с координатой ( -3).

Какое расстояние было пройдено в первом и во втором случае?

Конечно же, расстояние, пройденное в первом и во втором случае, будет одинаковым и равным трем, ведь обе точки (( 3) и ( -3)), в которых ты оказался одинаково удалены от точки, из которой было начато движение (( 0)).

Таким образом, мы приблизились к понятию модуля.

Получается, что модуль показывает расстояние от любой точки на координатном отрезке до точки начала координат.

Так, модулем числа ( 5) будет ( 5). Модуль числа ( -5) также равен ( 5).

Потому что расстояние не может быть отрицательным! Модуль – это абсолютная величина.

Обозначается модуль просто:

( |mathbf{a}|,) (( a) — любое число).

Итак, найдём модуль числа ( 3) и ( -3):

( left| mathbf{3} right|=mathbf{3})

( left| -mathbf{3} right|=mathbf{3}.)

Основные свойства модуля

Первое свойство модуля

Модуль не может быть выражен отрицательным числом ( |mathbf{a}|text{ }ge text{ }mathbf{0})

То есть, если ( mathbf{a}) – число положительное, то его модуль будет равен этому же числу.

Если ( mathbf{a}text{ }>text{ }mathbf{0},) то ( displaystyle left| a right|=a).

Если ( a) – отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу.

Если ( atext{ }<text{ }mathbf{0},) то ( |mathbf{a}|text{ }=text{ }-mathbf{a})

А если ( a=0)? Ну, конечно! Его модуль также равен ( 0):

Если ( a=0), то ( |mathbf{a}|=mathbf{a}), или ( displaystyle left| 0 right|=0).

Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть:

( left| -4 right|text{ }=text{ }left| 4 right|text{ }=text{ }4;)

( left| -7 right|text{ }=text{ }left| 7 right|text{ }=text{ }7.)

А теперь потренируйся:

• ( left| 9 right|text{ }=text{ }?;)
• ( left| -3 right|text{ }=text{ }?;)
• ( left| 16 right|text{ }=text{ }?;)
•  ( left| 8 right|text{ }=text{ }?;)
• ( left| -17 right|text{ }=text{ }?.)

Ответы: 9; 3; 16; 8; 17.

Довольно легко, правда? А если перед тобой вот такое число: ( left| 2-sqrt{5} right|=?)

Как быть здесь? Как раскрыть модуль в этом случае? Действуем по тому же сценарию.

Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль:

• если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
• если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.

Ну что, попробуем? Оценим ( 2-sqrt{5}):

( 2<sqrt{5}) (Забыл, что такое корень? Бегом повторять!)

Если ( 2<sqrt{5}), то какой знак имеет ( 2-sqrt{5})? Ну конечно, ( 2-sqrt{5}<0)!

А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:

( left| 2-sqrt{5} right|=-left( 2-sqrt{5} right)=-2+sqrt{5}=sqrt{5}-2)

Разобрался? Тогда попробуй сам:

• ( left| sqrt{3}-1 right|=?)
• ( left| 3-sqrt{7} right|=?)
• ( left| 2-sqrt{7} right|=?)
• ( left| sqrt{13}-4 right|=?)

Ответы:

( sqrt{3}-1; 3-sqrt{7}; sqrt{7}-2; 4-sqrt{13.})

Какими же ещё свойствами обладает модуль?

Во-первых, если нам нужно перемножить числа внутри знака модуля, мы спокойно можем перемножить модули этих чисел.

То есть: ( |acdot bleft| text{ }=text{ } right|aleft| cdot right|b|)

Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.

Например:

( left| mathbf{5}cdot mathbf{7} right|text{ }=text{ }left| mathbf{5} right|cdot left| mathbf{7} right|text{ }=text{ }mathbf{5}cdot mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{35};)

( left| mathbf{3}cdot left( -mathbf{2} right) right|text{ }=text{ }left| mathbf{3} right|cdot left| -mathbf{2} right|text{ }=text{ }mathbf{3}cdot mathbf{2}text{ }=text{ }mathbf{6}.)

А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля? Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:

( displaystyle |frac{a}{b}|=frac{|a|}{|b|}) при условии, что ( mathbf{b}ne mathbf{0}) (так как на ноль делить нельзя).

Еще одно свойство модуля…

Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел.

( |a+bleft| text{ }le text{ } right|aleft| + right|b|)

Почему так? Всё очень просто! Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное.

Допустим, что числа ( a) и ( b) оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению. Рассмотрим на примере:

( left| mathbf{3}+mathbf{7} right|text{ }=text{ }left| mathbf{10} right|text{ }=text{ }mathbf{10})

( left| mathbf{3} right|+left| mathbf{7} right|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

Выражения также равны, если оба числа отрицательны:

( displaystyle |-3+(-7)|~=~|-3-7|~)( displaystyle=|-10|=10)

( |-mathbf{3}left| + right|-mathbf{7}|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:

( left| -mathbf{3}+mathbf{7} right|text{ }=text{ }left| mathbf{4} right|text{ }=text{ }mathbf{4})

( |-mathbf{3}left| + right|mathbf{7}|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

или

( left| mathbf{3}+left( -mathbf{7} right) right|text{ }=text{ }left| -mathbf{4} right|text{ }=text{ }mathbf{4})

( left| mathbf{3} right|+left| -mathbf{7} right|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

( mathbf{4}<mathbf{10})

Рассмотрим еще парочку полезных свойств модуля

Что если перед нами такое выражение:

( left| 7x right|)

Что мы можем сделать с этим выражением?

Значение x нам неизвестно, но зато мы уже знаем, что ( |acdot bleft| text{ }=text{ } right|aleft| cdot right|b|), а значит ( left| 7x right|=left| 7 right|cdot left| x right|). Число ( 7) больше нуля, а значит можно просто записать:

( left| 7x right|=left| 7 right|cdot left| x right|=7left| x right|)

Вот мы и пришли к другому свойству, которое в общем виде можно представить так:

( left| cx right|=ccdot left| x right|,) при ( c>0)

А чему равно такое выражение:

( {{left| x right|}^{2}}=?)

Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак?

Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему степень и ее свойства.

И что же получается? А вот что:

( {{left| x right|}^{2}}={{x}^{2}})

Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:

( {{left| 5 right|}^{2}}={{5}^{2}}=25)

( {{left| -5 right|}^{2}}=?)

Ну, и почему сомнения? Действуем смело!

( {{left| -5 right|}^{2}}={{5}^{2}}=25)

Во всем разобрался? Тогда вперед тренироваться на примерах!

Тренировка на примерах

1. Найдите значение выражения ( |xleft| text{ }+text{ } right|y|), если ( x=text{ }-7,5text{ },y=text{ }12.)

2. У каких чисел модуль равен ( 5)?

3. Найдите значение выражений:

а) ( |3|text{ }+text{ }|-9|;)

б) ( |-5|text{ }-text{ }|6|;)

в) ( |15left| cdot right|-3|;)

г) ( displaystyle frac{|8|}{|-2|}).

Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:

Решение 1:

Итак, подставим значения ( x) и ( y) в выражение ( |mathbf{x}left| text{ }-text{ } right|mathbf{y}|.) Получим:

( |-7,5|text{ }+text{ }|12|text{ }=7,5text{ }+text{ }12text{ }=text{ }19,5.)

Решение 2:

Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное ( 5) имеют два числа: ( 5) и ( -5).

Решение 3:

а) ( |3|text{ }+text{ }|-9|=text{ }3+9=text{ }12;)
б) ( |-5|-text{ }left| 6 right|text{ }=text{ }5-6=text{ }-1;)
в) ( |15left| cdot right|-3|text{ }=text{ }15cdot 3=text{ }45;)
г) ( frac{|8|}{|-2|}=frac{8}{2}=4.)

Все уловил? Тогда пора перейти к более сложному!

Решение более сложных примеров

Попробуем упростить выражение ( left| sqrt{3}-2 right|+left| sqrt{3}+5 right|)

Решение:

Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное, то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу.

Но если под знаком модуля отрицательное число, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «–»).

Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.

( displaystyle sqrt{3} approx 1,7). Получается, значение первого выражения под модулем ( displaystyle sqrt{3}-2approx 1,7-2approx -0,3text{ }).

( -0,3<0), следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.

Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго – положительно:

Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «–». Вот так:

Модуль числа и его свойства (строгие определения и доказательства)

Модуль (абсолютная величина) числа ( x) — это само число ( x), если ( xge 0), и число ( -x), если ( x<0):

( left| x right|=left{ begin{array}{l}x,text{ }xge 0\-x,text{ }x<0end{array} right.)

Например: ( left| 4 right|=4;text{ }left| 0 right|=0;text{ }left| -3 right|=-left( -3 right)=3.)

Пример:

Упростите выражение ( left| sqrt{5}-3 right|+left| sqrt{5}+1 right|).

Решение:

( sqrt{5}-3<0Rightarrow left| sqrt{5}-3 right|=-left( sqrt{5}-3 right)=3-sqrt{5};)

( sqrt{5}+1>0Rightarrow left| sqrt{5}+1 right|=sqrt{5}+1;)

( left| sqrt{5}-3 right|+left| sqrt{5}+1 right|=3-sqrt{5}+sqrt{5}+1=4.)

Основные свойства модуля (итог)

Для всех ( x,yin mathbb{R}):

• ( left| x right|ge 0,text{ }left| x right|=0Leftrightarrow x=0;)
• ( left| -x right|=left| x right|;)
• ( left| xcdot y right|=left| x right|cdot left| y right|;)
• ( left| frac{x}{y} right|=frac{left| x right|}{left| y right|},text{ y}ne text{0};)
• ( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|)
• ( left| cx right|=ccdot left| x right|, при text{ }c>0)
• ( {{left| x right|}^{2}}={{x}^{2}})

Докажите свойство модуля: ( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|)

Доказательство:

Предположим, что существуют такие ( x;yin mathbb{R}), что ( left| x+y right|>left| x right|+left| y right|.) Возведем левую и правую части неравенства в квадрат (это можно сделать, т.к. обе части неравенства всегда неотрицательны):

( displaystyle begin{array}{l}left| x+y right|>left| x right|+left| y right|Leftrightarrow \{{left( x+y right)}^{2}}>{{left( left| x right|+left| y right| right)}^{2}}Leftrightarrow \{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}>{{x}^{2}}+2cdot left| x right|cdot left| y right|+{{y}^{2}}Leftrightarrow \xy>left| x right|cdot left| y right|Leftrightarrow \xy>left| xy right|,end{array})

а это противоречит определению модуля.

Следовательно, таких ( x;yin mathbb{R}) не существует, а значит, при всех ( x,text{ }yin mathbb{R}) выполняется неравенство ( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|.)

А теперь самостоятельно…

Докажите свойство модуля: ( left| cx right|=ccdot left| x right|, при text{ }c>0)

Воспользуемся свойством №3: ( left| ccdot x right|=left| c right|cdot left| x right|), а поскольку ( c>0text{ }Rightarrow text{ }left| c right|=c), тогда

( left| cx right|=ccdot left| x right|), ч.т.д.

Упростите выражение ( left| frac{31}{8}-sqrt{15} right|+left| frac{15}{4}-sqrt{15} right|)

Чтобы упростить, нужно раскрыть модули. А чтобы раскрыть модули, нужно узнать, положительны или отрицательны выражения под модулем:

Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

• тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
• автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
• закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
• репетиторский стаж — c 2003 года;
• в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
• отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

На этой странице вы узнаете

• Как перевернуть график модуля?
• Одной ногой тут, другой там: к какому промежутку относить граничные точки?
• Может ли решением квадратного неравенства быть любое число, если дискриминант меньше 0? 

Модуль числа — это великая математическая мудрость, которая показывает дружбу и соперничество противоположных знаков: минуса и плюса. О том, что держит число в рамках, узнаем в статье.  

Модуль 

Мы легко можем найти расстояние от точки до точки, достаточно просто измерить его линейкой. Но можно ли найти расстояние от 0 до любого числа? 

Представим, что наш дом находится посередине между школой и магазином. И до школы, и до магазина 500 метров, но они стоят по разные стороны от дома. 

Расположим их на координатной прямой. Поскольку и школа, и магазин располагаются на одинаковом расстоянии, то от дома до них мы будем идти 500 метров. Но на координатной прямой до школы мы пройдем −500 метров, поскольку движемся против направления оси, а до магазина 500 метров. 

Будет ли являться полученный результат противоречием? Нет, поскольку когда мы ищем расстояние, нам неважно направление движения и знак. В математике существует специальное определение — это модуль, или абсолютная величина. 

Модуль — расстояние от любой точки на координатной прямой до начала координат. 

Поскольку на координатной прямой мы можем отложить расстояние в две стороны, то такое расстояние можно найти и с отрицательными точками, и с положительными. Расстояние измеряет длину отрезка, то есть оно всегда будет положительно. 

Можно сказать, что от любого числа модуль берет только цифры, а на знаки не обращает внимания. Например, |−8| = 8 и |8| = 8. 

Может возникнуть вопрос: куда исчезает минус? Чтобы избавиться от минуса, достаточно умножить число на −1: (-8) * (-1) = 8. Значит, модуль просто умножает число на -1. 

Отсюда получается, что модулем числа а называют выражение:

Возьмем два случая: a = 8 и a = -8. Для первого получаем |8| = 8, а для второго |-8| = -(-8) = 8, то есть определение выполняется. 

Можно ли взять модуль функции? Да. Модулем произвольной функции называют выражение:

Свойства модуля

Модуль, как и все понятия в математике, обладает своими свойствами. 

Свойство 1. |a| >= 0. 

Как мы уже говорили, модуль всегда будет положительным числом, поскольку он не обращает внимания на знак числа. 

Свойство 2. |a| = |-a|. 

Это свойство также подтверждает рассуждения выше. Модули противоположных чисел, то есть чисел с разными знаками, равны. 

Свойство 3. |a| >= a. 

Если число а будет положительным, например, 5, то неравенство |5| >= 5 (rightarrow) 5 >= 5  выполняется, поскольку знак неравенства нестрогий. 

Если число а будет отрицательным, например, -5, то неравенство |-5| >= -5 (rightarrow) 5 >= -5  выполняется, поскольку положительное число всегда больше отрицательного. 

Свойство 4. |a * b| = |a| * |b|. 

Пусть a = 5, b = -2, тогда |5 * (-2) | = |-10| = 10, и |5| * |-2| = 5 * 2 = 10, то есть выражения равны между собой. 

Свойство 5. (|frac{a}{b}| = frac{|a|}{|b|}). 

Рассуждения такие же, как и в предыдущем свойстве. Пусть a = 10, b = -5, тогда (|frac{10}{(-5)}| = |-2| = 2 и frac{|10|}{|-5|} = frac{10}{5} = 2). 

Свойство 6. |a + b| <= |a| + |b|.

Почему появилось неравенство, а не уравнение, как в предыдущих двух свойствах? Разберем два примера. 

Пусть a = 1, b = 2, тогда |1 + 2| = |3| = 3 и |1| + |2| = 1 + 2 = 3 — неравенство выполняется, поскольку знак нестрогий.

Но если a = -1, b = 2, тогда |-1 +2| = |1| = 1 и |-1| + |2| = 1 + 2 = 3, откуда получаем 1 < 3. 

Свойство 7. (sqrt{a^2} = |a|). 

Докажем это свойство. Пусть (sqrt{a^2} = x), тогда x₀, поскольку квадратный «Корень» не может быть отрицательным. Возведем полученное уравнение в квадрат: a² = x² 
a² — x² = 0
(a — x)(a + x) = 0

Из уравнения x = a,  из-за ограничений на x получаем a >= 0.

И x = -a,  из-за ограничений на x получаем a < 0. 

То есть получается выражение модуля. 

Свойство 8. |a|² = a².

Поскольку и модуль, и квадрат числа дают положительный результат, модуль в квадрате можно заменить просто квадратом числа. 

График модуля

Как изобразить функцию с модулем? Для начала разберемся, что делает модуль с графиком функции. 

Рассмотрим функцию y = x — это прямая. При этом у может быть и положительным, и отрицательным. 

Занесем х под знак модуля: y = |x|. Теперь у может быть только положительным. Что происходит с частью графика, которая лежит ниже оси х? Она зеркально отражается. В итоге мы получаем галочку: 

Модуль отражает любой график относительно оси х. 

Что будет, если перед х будет стоять коэффициент? Построим графики: 

Галочка будет сужаться и расширяться. Причем чем больше коэффициент перед х, тем ýже будет галочка. 

Попробуем добавить слагаемое к подмодульному выражению. 

График модуля будет двигаться вдоль оси х. Причем:

• если мы прибавляем число, то график сдвигается влево;
• если мы вычитаем число, то график сдвигается вправо. 

Добавим число к модулю, а не подмодульному выражению:

График будет двигаться вдоль оси у. 

Уравнения с модулем

1. Возьмем уравнение вида |f(x)| = a. Поскольку модуль не может быть отрицательным, то и а  не может быть отрицательным. Получаем следующий переход:

Пример 1. Решите уравнение |4x + 5| = 7. 

Решение. В уравнении f(x) = 4x + 5, a = 7. Воспользуемся переходом:

Из первого уравнения x = 0,5, а из второго уравнения x = -3. 

Ответ: 0,5: -3. 

2. В уравнениях и неравенствах можно встретить два разных модуля. Как быть в этом случае? 

Пример 2. Решите уравнение |x — 2| — |x + 2| = 4x — 5.

Решение. Найдем, в каких точках модули будут равны 0. Для этого подмодульное выражение также должно быть равно 0:

x — 2 = 0 (rightarrow) x = 2
x + 2 = 0 (rightarrow) x = -2

Нарисуем числовую прямую с этими точками: 

У нас получилось три промежутка: 

• (-(infty);-2)
• [-2;2)
• [2;+(infty))

Обратим внимание, какие знаки имеет первый модуль на промежутках: x — 2 > 0 при x > 2. Следовательно, на первых двух промежутках модуль будет отрицательным, а на третьем положительным. Расставим его знаки красным цветом. 

Проанализируем второй модуль: x + 2 > 0 (rightarrow) x>-2. Получается, подмодульное выражение будет положительно на втором и третьем промежутке, и отрицательным на первом промежутке. Расставим его знаки синим цветом. 

Теперь мы можем рассмотреть уравнение на всех трех промежутках. Однако для этого обязательно ввести ограничения: полученные точки должны принадлежать только этому промежутку, поскольку на следующем модули будут раскрываться уже по-другому. 

2. Рассмотрим первый промежуток: x<-2. Оба модуля раскрываются с отрицательным знаком, и мы получаем следующее уравнение:

-(x — 2) — (-(x + 2)) = 4x — 5
-x + 2 + x + 2 = 4x — 5
4 = 4x — 5
4x = 9
x = 2,25

Точка не удовлетворяет ограничению, поскольку не лежит в промежутке (-(infty);-2):

Рассмотрим второй промежуток: [-2;2). Первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом:

-(x — 2) — (x + 2) = 4x — 5
-x + 2 — x — 2 = 4x — 5
-2x = 4x — 5
6x = 5
(x = frac{5}{6})

Эта точка лежит в заданном промежутке и является решением уравнения. 

Рассмотрим третий промежуток [2;+(infty)). Оба модуля раскрываются со знаком плюс, мы получаем уравнение:

(x — 2) — (x + 2) = 4x — 5
x — 2 — x — 2 = 4x — 5
-4 = 4x — 5
4x = 1

x = 0,25 — эта точка не лежит в промежутке, то есть не является решением уравнения. 

Решением уравнения будет только (x = frac{5}{6}). 

Ответ: (frac{5}{6})

3. Уравнения вида |f(x)| = g(x)

Поскольку вместо функций могут стоять любые выражения, раскрыть модуль можно двумя способами. Выбор одного из них зависит от того, какая функция проще: f(x) или g(x). 

Как можно раскрыть модуль?

• Можно раскрыть его в зависимости от знаков подмодульного выражения: если подмодульное выражение отрицательное, то модуль раскрывается с минусом, если положительное, то с плюсом. 
• Можно возвести уравнение в квадрат. Но здесь необходимо ввести ограничения на g(x) — поскольку функция равна модулю, она не может быть отрицательной. 

Для удобства можно пользоваться следующей схемой: 

Пример 3. Решите уравнение |8 — x| = x² — 5x + 11.

Решение. Заметим, что подмодульное выражение значительно проще функции справа, в этом случае удобнее будет раскрыть модуль. Получаем совокупность двух систем: 

Рассмотрим первую систему.

8 — x >= 0 (rightarrow) x <= 8

Решим уравнение:

8 — x = x² — 5x + 11
x² — 4x + 3 = 0
D = 16 — 12 = 4
(x_1 = frac{4 + 2}{2} = 3)
(x_2 = frac{4 — 2}{2} = 1)

Оба корня уравнения удовлетворяют условию x <= 8, значит, решением системы будут 1 и 3. 

Рассмотрим вторую систему. 

8 — x < 0 (rightarrow) x > 8

Решим уравнение: 

8 — x = -x² + 5x — 11
x² — 6x + 19 = 0
D = 36 — 76 = -40 — при отрицательном дискриминанте решения уравнений нет. 

Решением всего уравнения будут x = 1 и x = 3. 

Ответ: 1, 3

4. Разберем еще один тип уравнений, когда модуль равен модулю. Неужели придется рассматривать целых 4 случая раскрытия модуля? Нет, достаточно будет возвести в квадрат обе части уравнения. Таким образом, мы получаем следующий переход: 

Пример 4. Решите уравнение |x — 2| = |2x + 8|.

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат. Для этого воспользуемся свойством 8.

(x — 2)² = (2x + ²
(x — 2)² — (2x + ² = 0

Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

((x — 2) — (2x + 8))((x — 2) + (2x + = 0

Если произведение множителей равно 0, то каждый множитель равен 0. Тогда:

x — 2 — (2x + = 0 (rightarrow) x — 2 = 2x + 8
x — 2 + (2x + = 0 (rightarrow) x — 2 = -(2x +

Получаем совокупность: 

Решим первое уравнение совокупности:

x — 2 = 2x + 8
x = -10

Решим второе уравнение совокупности:

x — 2 = -2x — 8
3x = -6
x = -2

Решением уравнения будут x = -10 и x = -2

Ответ: -2, -10

Неравенства с модулем

Разобравшись, как решаются уравнения с модулем, можно приступать к неравенствам. 

Пример 5. Решите неравенство x² — |3x — 7| + 7 >= 0. 

Решение. Найдем, при каких значениях х модуль равен 0. Получаем 3x = 7 (rightarrow) (x = frac{7}{3}). 

Определим, с какими знаками модуль будет раскрываться на каждом промежутке. 

Осталось рассмотреть неравенство на двух промежутках. 

1. (x leq frac{7}{3}), тогда
x² — (-(3x — 7)) + 7 >= 0
x² + 3x — 7 + 7 >= 0
x² + 3x >= 0
x(x + 3) >= 0

Решим это неравенство «Методом интервалов». Сразу учтем ограничение (x leq frac{7}{3}). 

Получаем, что решением неравенства на заданном промежутке будет (x in (-infty; -3] U[0; frac{7}{3}]). 

2. (x > frac{7}{3}), тогда 
x² — 3x + 7 + 7 >= 0
x² — 3x + 14 >= 0
x² — 3x + 14 = 0
D = 9 — 56 = -47 — корней на заданном отрезке не будет. 

Однако не стоит забывать про ограничение (x > frac{7}{3}). Накладывая его, получаем решение ((frac{7}{3}; + infty)). 

Осталось только объединить полученные на промежутках решения: 

Получаем, что (x in (-infty;- 3] U [0; +infty)).

Ответ: (x in (-infty;- 3] U [0; +infty))

Рассмотрим неравенства вида |f(x)| > a и |f(x)| < a, где а — некоторое число и a >= 0. Модуль можно раскрыть двумя способами и получить два неравенства. Но будет это совокупность или система?

Это зависит от знака. Разберем случай |f(x)| > a. Заметим, что строгость знака может быть любой. Тогда модуль раскрывается как: 

f(x) > a и -f(x) > a (rightarrow) f(x) < -a. 

Отметим эти промежутки на числовой прямой:

В ответе должны оказаться оба промежутка — их нужно объединить. В этом случае модуль раскрывается в совокупности. 

Рассмотрим случай |f(x)| < a, здесь строгость знака также может быть любой. Раскроем модуль: f(x) < 0 и -f(x) < a (rightarrow) f(x) > -a. На числовой прямой это будет выглядеть следующим образом: 

В в ответе должен оказаться промежуток от —а до а. Следовательно, необходимо воспользоваться системой, чтобы “отсечь” лишние промежутки. 

Можно ли обойтись в этом случае без раскрытия модуля? Да, но необходимо возвести неравенство в квадрат. 

|f(x)| ⋁ a | (uparrow) 2 — вместо ⋁ может стоять любой знак неравенства. 
f²(x) ⋁ a²
f²(x) — a² ⋁ 0

Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

(f(x) — a)(f(x) + a) ⋁ 0

Однако стоит помнить, что обе части неравенства можно возвести в квадрат только в том случае, если они неотрицательны. То есть обязательно должно выполняться условие a0. 

Мы получили равносильный переход. Но существуют ли равносильные переходы, если вместо числа а стоит другая функция или даже модуль? Да. Они выводятся таким же способом, как и переход для неравенства с числом. Получаем еще два равносильных перехода:

• |f(x)| ⋁ g(x) (rightarrow) (f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0  

g(x) обязательно должно быть неотрицательным, чтобы можно было возвести неравенства в квадрат. 

• |f(x)| ⋁ |g(x)| (rightarrow) (f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0

Разберем на примере, как можно использовать равносильный переход. Для этого возьмем то же неравенство, что и в примере 5, но решим его по-другому. 

Пример 6. Решите неравенство x² — |3x — 7| + 7 >= 0. 

Решение. Перенесем модуль в другую часть неравенства:

|3x — 7| <= x² + 7. Модуль всегда неотрицателен. Правая часть неравенства неотрицательна, поскольку число в квадрате всегда положительно. 

Повторим действия, чтобы прийти к равносильному переходу:

(3x — 7)² <= (x²+7)²
(3x-7)² — (x² + 7)² <= 0
(3x — 7 — (x² + 7))(3x — 7 + x² + 7) <= 0
(3x — 7 — x² — 7)(3x + x²) <= 0
(-x² + 3x — 14) * x(3 + x) <= 0
-(x² — 3x + 14) * x(3 + x) <= 0
(x² — 3x + 14) * x(3 + x) <= 0

Рассмотрим первую скобку:

x² — 3x + 14 = 0

D = 9 — 56 = -47 — корней нет. Выражение всегда будет положительно, то есть на него можно разделить все неравенство. Получаем:

x(3 + x) <= 0

Тогда (x in (-infty;- 3] U [0; +infty))

Ответ: (x in (-infty;- 3] U [0; +infty))

При решении можно сразу использовать равносильный переход, не расписывая его. 

Итак, неравенства с модулем можно решить двумя способами: раскрывать модуль и воспользоваться равносильным переходом. Выбор способа зависит от личных предпочтений и удобства решения.

Фактчек

• Модуль — расстояние от любой точки на координатной прямой до начала координат. Модуль обозначается двумя вертикальными черточками: |a| = a и |-a| = a. 
• Модулем числа называют выражение: 

• График модуля представляет собой “галочку”, которая лежит выше оси х. Модуль отражает график любой функции зеркально оси х так, что значения у всегда больше 0. 
• Модуль можно раскрыть двумя способами. Этим свойством можно пользоваться при решении уравнений с модулем. 
• При решении неравенств с модулем можно раскрывать его, либо воспользоваться равносильным переходом, если в неравенстве выполняются все условия для него. 

Проверь себя

Задание 1. 
Чему равно выражение |-16 * 2|?

1. 32
2. −32
3. −16
4. 16

Задание 2. 
Какой график имеет функция y = |x|?

1. Парабола
2. Гипербола
3. Прямая
4. Галочка

Задание 3. 
Решите уравнение |x| = -3. 

1. 3
2. −3
3. Решений нет
4. 3 и −3 

Задание 4. 
Решите уравнение |x + 2| = 15. 

1. −13
2. 17
3. 13 и -17
4. Решений нет 

Задание 5.
Какой равносильный переход можно использовать для неравенства вида |f(x) |⋁ |g(x)|?

1. f(x) ⋁ g(x)
2. f(x) ⋀ g(x)
3. f²(x) — 2 * f(x) * g(x) + g²(x) ⋁ 0
4. (f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0 

Ответы: 1. — 1 2. — 4 3. — 3 4. — 3 5. — 4

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Как поставить модуль в ворде?

Модуль – это довольно распространенный знак в математики и при работе с программой ворд, его тоже часто используют. Не все пользователи знают, каким образом его поставить.

В программе ворд существует два способа поставить символ модуля:

1. Поставить с помощью специальной функции;
2. Поставить, используя клавиши на клавиатуре.

Первый способ. Открываем новый лист, на верхней закладке настроек активируем закладку «Вставка». В самом конце данной закладке находим блок «Символы» и нажимаем на иконку с надписью «Формула», чтобы появилось на экране специальное меню.

Проваливаетесь в это специальное меню, а на верхней панели настроек активируете закладку «Работа с формулами», где в правом блоке «Структуры», ищем иконку с надписью «Скобки». Среди представленных там вариантов, находите символ модуль.

В результате на экране появиться место для знака модуля.

Второй способ. На клавиатуре находите следующую клавишу.

При нажатии на неё в английской раскладке и при зажатой клавише «Shift», у вас будет появляться палочка |, с помощью которых можно нарисовать модуль.

Как поставить модуль в Ворде?

Как известно, для записи модуля числа используются две одинаковые вертикальные черты:

Вот два наиболее простых способа поставить модуль в Ворде:

1 способ

Вертикальную черту для модуля можно поставить непосредственно с помощью клавиатуры.

Клавиша с чертой находится чуть правее буквенных клавиш.

Например, рядом с клавишами «+=» и «Backspace»:

Или чуть левее клавиши «Enter»:

Чтобы поставить черту, нужно:

1) Переключиться на английскую раскладку (с помощью комбинации клавиш «Ctrl» + «Shift», либо с помощью комбинации клавиш «Alt» + «Shift»).

2) Зажать клавишу «Shift» и нажать на указанную выше клавишу с чертой.

Повторяем это действие 2 раза, и знак модуля будет готов.

2 способ

1) В программе Ворд нужно открыть панель инструментов «Вставка» и выбрать «Формула».

2) Отобразится панель «Конструктор», на которой можно найти множество символов и структур.

3) В нашем случае нужно развернуть структуру «Скобка», там можно найти модуль:

Щёлкаем на него 1 раз левой кнопкой мыши, и он появится в документе.

В программе Ворд есть 2 способа, как поставить модуль.

Универсальный. Подойдет для любых текстовых редакторов. Для этого необходимо переключить раскладку клавиатуры на английский язык.

Недалеко от клавиш Backspace и Enter находится клавиша, показанная на рисунке.

Использование функции Уравнение.

Для ее активации необходимо перейти во вкладку Вставка. В правом углу будет кнопка Уравнение, нажимаем ее.

В открывшейся вкладке Конструктор нажимаем на кнопку Скобка. В меню выбираем Вертикальные полосы.

Для ввода числового значения модуля нажимаем на пустой квадрат. Вводим значение.

Открываем вкладку Вставка. Вставить символ. Другие символы.

Шрифт: обычный текст.

Выбираем символ, указанный на рисунке. Вставляем в текстовый документ.

Раз вы пришли на этот вопрос, то знаете, что представляет собой знак модуля, и для чего он вообще нужен, поэтому не будем останавливаться на этих вопросах.

Этот знак (прямая вертикальная черта) есть у нас на клавиатуре. Переходим на английскую раскладку, и предварительно нажав на клавишу shift, не отпуская ее, нажимаем вот эту клавишу (клавиатуры все разные, у меня вот такое расположение клавиш, и нужную клавишу я выделила стрелочкой:

Расположение этой клавиши на других клавиатурах может быть другое, например, вот такое:

Если по каким-то причинам вам этот способ не подходит, есть и другой, через верхнее меню ворда, выбираем последовательно: Вставка — Формула — Скобка, и в появившемся окошечке выбираем знак модуля:

Поставить знак модуля в программе Ворд не представляет никаких проблем. Дело в том, что на клавиатуре есть знак прямая черта. Он находится справа на клавиатуре рядом с кнопкой enter. Также знак модуля при необходимости можно вставить , если нужно более сложное что-то под модулем вставить с помощью вставка- формула. В диалоговом окне появившемся все есть.

Поставьте непосредственно при помощи клавиатуры вертикальную черту для модуля. Правее буквенных клавиш расположилась клавиша с чертой, чуть левее клавиши Enter. Переключитесь на раскладку на английском языке и зажмите клавишу shift, нажав на клавишу с чертов. Следует повторить действие 2 раза. Так, знак модуля будет создан.

Для того чтобы в программе Ворд сделать знак модуля (математического значения), то есть две вертикальные черты, обратимся к формулам.

Находим на вкладке главная — Вставка — Формула — конструктор. Заходим в пункт — Скобка — выбираем нужное значение.

В разных версиях предварительный просмотр расположен в разных меню:

• файл/печать/предва­<wbr />рительный просмотр
• кнопка MS Office/ далее печать/предварител­<wbr />ьный просмотр

Предварительный просмотр требуется очень часто, поэтому для облегчения работы в любой версии удобно использовать комбинацию клавиш Ctrl+F2.

Весь текст в Windows выделяется единым приемом и это работает не только в MS Word, но и в Google Chrome, и во множестве других приложений.

Единственное, что нужно при этом четко отслеживать — где установлен фокус. То есть, если вы кликнули мышкой на адресную строку, то по сочетанию клавиш Ctrl+A, где A — латынь (или ENG), будет выделена вся адреснуя строка, если вы кликнули мышкой по основному тексту окна — будет выделено все его содержимое (включая рисунки).

Итак, пробуйте — Ctrl+A

Во-первых, выделив фрагмент списка, можно изменить его уровень:

Во-вторых, обратить внимание на ползунки горизонтальной на линейке:

В-третьих, обратить внимание на параметры абзаца выделенного текста:

Кроме того, рядом с кнопкой библиотеки нумерации (рис.1) есть кнопки увеличения и уменьшения отступов списка.

При работе с программой Ворд (Word) иногда возникает необходимость изменять нумерацию в документе.

Например, требуется изменить стиль номера и его положение на странице, формат номера и др.

Также нередко бывает необходимо исключить из нумерации первые страницы документа (обычно 1 и 2 страницы).

Рассмотрим, как это можно сделать.

Как изменить нумерацию (параметры нумерации) страниц в Ворде (Word)

Для того, чтобы изменить параметры нумерации в документе, нужно:

1) Выбрать пункт главного меню «Вставка».

2) Далее выбираем «Номер страницы» -> «Формат номеров страниц».

Откроется окно, в котором можно изменять формат номера и номер, с которого начинается нумерация страниц.

Чтобы изменить расположение номера на странице, нужно выбрать необходимый пункт в том же самом меню.

Как изменить внешний вид номера страницы в Ворде

Для того, чтобы изменить оформление нумерации на странице (шрифт, цвет, размер и др.) документа Ворд, нужно:

1) Щёлкнуть на любом номере левой кнопкой мыши, после чего откроется окно колонтитулов.

2) Нужно выделить номер и с помощью стандартных инструментов сделать нужное вам оформление.

Также можно щёлкнуть правой кнопкой мыши на номере — откроется окно форматирования, с помощью которого вы сможете поменять оформление номера страницы Word.

Как сделать нумерацию со 2 страницы в Ворде

При оформлении научных работ в Ворде нередко возникает необходимость сделать нумерацию не с 1 страницы, а со 2.

Для этого нужно:

1) Зайти в конструктор колонтитулов (щёлкнуть мышкой на номере страницы).

2) На верхней панели инструментов выбрать пункт «Особый колонтитул для первой страницы».

В результате этого нумерация в документе Word будет со 2 страницы.

Если вам нужно не убрать номер страницы с 1 листа, а вообще исключить его из нумерации, то нужно зайти в параметры нумерации и выбрать пункт «Начать с 0». В этом случае на 2 странице будет стоять цифра 1 — как раз то, что нужно.

Как сделать нумерацию с 3 страницы в Ворде

Если вам нужно, чтобы номер отсутствовал не только на 1 странице, но и на 2 странице (а в некоторых случаях требуется сделать нумерацию даже с 4 листа), то необходимо будет создать новый раздел.

1) Нужно поставить курсор в конец 2 страницы.

2) В главном меню Word выбрать пункт «Разметка страницы».

3) На панели инструментов выбрать «Разрывы» -> «Следующая страница».

Таким образом, с 3 страницы начнётся новый раздел.

4) Теперь заходим в конструктор колонтитулов — щёлкаем мышкой по номеру на 3 странице.

Отключаем опцию «Как в предыдущем разделе».

В результате этого, на 1 и 2 странице будут одни колонтитулы, на 3 странице и последующих страницах — другие колонтитулы.

Теперь осталось убрать номера с первых двух страниц.

Если требуется сделать, чтобы на 3 странице нумерация начиналась не с цифры 3, а с 1, то нужно:

1) Поставить курсор на 3 страницу.

2) Зайти в «Формат номеров страниц» и в разделе «Нумерация страниц» выбрать: «Начать с 1».

В результате этого, нумерация страниц в Ворде будет начинаться с 3 страницы.

Как сделать нумерацию с 4 страницы в Ворде

В некоторых случаях бывает нужно сделать нумерацию с 4 страницы. Порядок действий аналогичен:

1) Ставим курсор в конец 3 страницы и создаём новый раздел. Он начнётся с 4 страницы.

2) Заходим в колонтитулы, расположенные на 4 странице.

3) Отключаем опцию «Как в предыдущем разделе».

4) Убираем номера с первых страниц. Ставим курсор на 4 страницу и устанавливаем начало нумерации.

Как обозначить модуль на компьютере

Модуль – это довольно распространенный знак в математики и при работе с программой ворд, его тоже часто используют. Не все пользователи знают, каким образом его поставить.

В программе ворд существует два способа поставить символ модуля:

1. Поставить с помощью специальной функции;
2. Поставить, используя клавиши на клавиатуре.

Первый способ. Открываем новый лист, на верхней закладке настроек активируем закладку «Вставка». В самом конце данной закладке находим блок «Символы» и нажимаем на иконку с надписью «Формула», чтобы появилось на экране специальное меню.

Проваливаетесь в это специальное меню, а на верхней панели настроек активируете закладку «Работа с формулами», где в правом блоке «Структуры», ищем иконку с надписью «Скобки». Среди представленных там вариантов, находите символ модуль.

В результате на экране появиться место для знака модуля.

Второй способ. На клавиатуре находите следующую клавишу.

При нажатии на неё в английской раскладке и при зажатой клавише «Shift», у вас будет появляться палочка |, с помощью которых можно нарисовать модуль.

Вертикальная палочка или пайп применяется в различных целях: программисты используют черточку для функций дизьюнкции или разделения параметров обьекта, математики — в качестве знака модуля или нормы, а любители псевдографики рисуют с его помощью таблицы.
Однако, заветный символ будто играет с пользователем в прятки: найти способ ввода пайпа довольно трудно.
Одни не заморачиваются и довольствуются английской i верхнего регистра, а другие отчаянно ищут варианты ввода подлинного символа.
Если вы из последних, то эта статья для вас — сегодня мы расскажем, как поставить вертикальную палочку на клавиатуре!

Как ввести вертикальную палочку на обычной клавиатуре

Клавишу пайпа обычно расположена между Backspace и Enter или левее от одного из них. Казалось-бы, чего сложного — нажимаешь и все. Но сколько-бы вы не били по кнопке — выходят одни скобочки. Дело в раскладке клавиатуры: ее нужно поменять на английскую. Есть пара вариантов сделать это:

• Левым кликом мыши открыть языковую панель и еще одним нажатием выбрать Английский Язык
• Повторно нажимать комбинацию Alt+Shift (на некоторых компьютерах — Ctrl+Shift), пока не увидите на панели буквы EN

Смена раскладки через языковую панель

После этого достаточно зажать Shift+ — на выходе получится вертикальная палочка.

Как поставить вертикальную палочку на клавиатуре MacOS

Клавиша пайпа на MacOS

На клавиатуре от Apple пайпу соответствует клавиша русской Ё. Как и с Windows, для ввода вертикальной палочки на Маке надо сперва переключить раскладку на английский. В старых версиях для этого надо нажать cmd+пробел, а на новых — ctrl+пробел.

После этого нажимаем все те же Shift+.

Комбинация ввода вертикальной палочки для MacOS

Надеемся, мы помогли вам разобраться с проблемой ввода вертикальной палочки раз и навсегда!

Состояние

отпатрулирована

В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeX, объяснения и примеры использования. Список и смысл обозначений соответствует международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2.

Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, A ⊂ B <displaystyle Asubset B> обозначает то же, что и B ⊃ A . <displaystyle Bsupset A.>

Знаки операций, или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.