В математике существуют два определения:
1) геометрическая проекция вектора — вектор;
2) проекция вектора на ось — число.
Геометрическая проекция вектора — это вектор, который можно получить, если провести перпендикуляры от концов вектора до выбранной оси. Проекция начала вектора соответствует началу геометрической проекции, а проекция конца вектора соответствует концу геометрической проекции.
Ваш браузер не поддерживает HTML5 видео
Для вектора
v→
геометрическая проекция на оси (t) — это вектор
vt→
.
Для вектора
n→
геометрическая проекция на оси (y) — это вектор
ny→
.
Проекция вектора на ось — это скалярная величина (число), равная длине геометрической проекции вектора, если направление оси и геометрической проекции совпадают; или число, противоположное длине геометрической проекции вектора, если направления геометрической проекции и оси — противоположные.
ax=4bx=−3
Если длина вектора
a→
равна
a→
и
α
— это острый угол, созданный вектором и осью (x), то скалярная проекция вектора вычисляется по формуле:
ax=a→⋅cosα
.
Знак проекции вектора выбирается в зависимости от направления оси.
На рисунке видно, что эту формулу можно получить из соотношения в прямоугольном треугольнике:
.
Обрати внимание!
Если вектор и ось проекций параллельны, то скалярная проекция на этой оси — число, которое равно длине вектора, если направления вектора и оси совпадают, или число, противоположное длине вектора, если направления вектора и оси — противоположные.
Если вектор и ось проекций перпендикулярны, то проекция вектора на этой оси равна (0).
at=3bt=−5ct=0dt=0
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.
Проекция вектора на ось в физике — формулы и определения с примерами
Содержание:
Проекция вектора на ось:
Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Как ее определяют?
Начнем с понятия проекция точки на ось.
Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось.
На рисунке 24 точка 
Как определяют проекцию вектора на ось
Проекция вектора на ось — это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+» или «-». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый, а знак «-» — если угол тупой.
На рисунке 25 проекция вектора 
на ось Ох обозначена через 
а проекция вектора 
— через 
Проекция 
— число положительное, т. к. угол 
на рисунке 25, а — острый. Проекция 
— число отрицательное 
т. к. угол 
на рисунке 25, б — тупой.
А если вектор перпендикулярен оси? Тогда его проекция на эту ось равна нулю (рис. 26).
Проекцию вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью.
Рассмотрим треугольник 
на рисунке 25, а. Его гипотенуза 
катет 
а угол между ними равен 
Следовательно,
Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью.
Это правило справедливо при любых углах между вектором и осью. Подтвердите это с помощью рисунков 25 и 26.
Обратим внимание на еще одно важное свойство проекций: проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.
С помощью рисунка 27, а, б убедитесь, что из векторного равенства 
следует равенство для проекций: 
Не забывайте о знаках проекций.
Можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси
Рассмотрим вектор 
лежащий в плоскости 
(рис. 28). Его проекции на оси 
определим из рисунка: 
Модуль вектора 
находим по теореме Пифагора из треугольника ACD: 
Разделив 
на 
получим: 
По значению косинуса находим угол 
Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, полностью определяется двумя проекциями на оси координат.
Вектор в пространстве определяется тремя проекциями: 
(рис. 29).
Главные выводы:
- Проекция вектора на ось — это длина отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «-».
- Если угол между вектором и осью острый, то его проекция на эту ось положительна, если угол тупой — отрицательна, если прямой — равна нулю.
- Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью.
- Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.
Пример №1
1. Определите сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов 
(рис. 30). Найдите модули векторов суммы 
и разности 
Решение
Сумму векторов 
находим по правилу треугольника (рис. 31, а) или параллелограмма (рис. 31, б). Так как векторы 
взаимно перпендикулярны, модуль вектора 
находим по теореме Пифагора: 
Разность векторов 
определим по правилам вычитания векторов (рис. 32, а, б).
Модуль вектора 
находим аналогично:
Ответ: 
- Заказать решение задач по физике
Пример №2
Выразите вектор 
через векторы 
(рис. 33). Как связаны между собой проекции этих векторов на оси Ох и Оу?
Решение
По правилу треугольника находим: 
Отсюда 
Определив координаты 
начальных и конечных точек векторов 
находим проекции этих векторов: 
Вычислением убедимся, что проекции векторов связаны теми же равенствами, что и сами векторы: 
Ответ: 
- Путь и перемещение
- Равномерное прямолинейное движение
- Прямолинейное неравномерное движение
- Прямолинейное равноускоренное движение
- Колебательное движение
- Физический и математический маятники
- Пружинные и математические маятники
- Скалярные и векторные величины и действия над ними
§ 3.
Проекции вектора на оси координат
1.
Нахождение проекций геометрически.
— вектор
— проекция вектора
на ось OX
— проекция вектора
на ось OY
Определение
1.
Проекцией вектора на какую-либо ось
координат называется взятое со
знаком «плюс» или «минус»
число, соответствующее длине отрезка,
расположенного между основаниями
перпендикуляров, опущенных из начала
и конца вектора на ось координат.
Знак
проекции определяется так. Если при
движении вдоль оси координат
происходит перемещение от точки
проекции начала вектора к точке
проекции конца вектора в положительном
направлении оси, то проекция вектора
считается положительной. Если же —
противоположно оси, то проекция
считается отрицательной.
По
рисунку видно, что если вектор
ориентирован как-то противоположно оси
координат, то его проекция на эту ось
отрицательна. Если вектор ориентирован
как-то в положительном направлении оси
координат, то его проекция на эту ось
положительна.
Если
вектор перпендикулярен оси координат,
то его проекция на эту ось равна нулю.
Если вектор сонаправлен с осью,
то его проекция на эту ось равна модулю
вектора.
Если вектор противоположно
направлен оси координат, то его
проекция на эту ось по абсолютной
величине равна модулю вектора, взятому
со знаком минус.
2. Наиболее
общее определение проекции.
Из прямоугольного
треугольника ABD:.
Определение
2. Проекцией вектора на какую-либо
ось координат называется число,
равное произведению модуля вектора и
косинуса угла, образованного
вектором с положительным
направлением оси координат.
Знак
проекции определяется знаком косинуса
угла, образованного вектором с
положительным направлением оси.
Если угол острый, то косинус
имеет положительный знак, и проекции —
положительны. Для тупых углов косинус
имеет отрицательный знак, поэтому в
таких случаях проекции на ось
отрицательны.
—
поэтому для векторов, перпендикулярных
к оси, проекция равна нулю.
поделиться знаниями или
запомнить страничку
- Все категории
-
экономические
43,660 -
гуманитарные
33,654 -
юридические
17,917 -
школьный раздел
611,971 -
разное
16,905
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Знак — проекция
Cтраница 1
Знак проекции Р отрицательный, так как она направлена в отрицательном направлении оси Ох, Проекция силы G на ось Ох равна нулю.
[1]
Знак проекции определяется знаком косинуса угла.
[2]
Знак проекции Bg также не зависит от выбора точки В и будет -) — или — в зависимости от того, будет ли точка, перемещающаяся вдоль Af, вращаться вокруг Д в положительном или в отрицательном направлении.
[3]
Определив знак проекции и угол, образованный вектором и его проекцией, легко найти числовое значение проекции при помощи тригонометрических функций.
[4]
Определив знак проекции и угол, образованный вектором и его проекцией, легко найти числовое значение проекции при помощи тригонометрических функций.
[5]
Длины и знаки проекций определяют направление вектора.
[7]
Правила определения знаков проекций или моментов внешних сил при их алгебраическом сложении сформулированы далее в соответствующих главах.
[8]
Для определения знака проекции силы надо смотреть на проектируемую силу и ось проекции так, чтобы плоскость, проходящая через них, была видна в виде прямой. Если при этом направления силы и оси совпадают, то проекция силы положительна, если же направления силы и оси противоположны, то проекция силы отрицательна.
[9]
Иногда бывает удобнее знак проекции определять иначе, а именно: если направление силы составляет острый угол с положительным направлением данной оси, то проекция силы на эту ось положительна. Если же направление силы составляет острый угол с отрицательным направлением данной оси, то проекция на ату ось отрицательна. Если сила параллельна оси, то проекция силы на эту ось равна модулю силы, взятому со знаком плюс или минус в зависимости от того, какой угол ( О или 180) составляет сила с положительным направлением оси. Если сила перпендикулярна к оси, то проекция силы на эту ось равна нулю.
[10]
Практически удобнее устанавливать знак проекции силы не по знаку косинуса угла между силой и положительным направлением оси, а непосредственно по чертежу. Если отрезок оси, изображающий проекцию силы, направлен от начала координат в сторону, совпадающую с положительным направлением данной оси, то проекция положительна. При таком подходе к определению знака в формулу для вычисления проекции надо всегда подставлять косинус остро-г о угла между силой и осью.
[11]
Ясно, что перемена знака проекции скорости на направление градиента насыщенности может осуществляться только для высоких амплитуд и не слишком малых частот вынужденных колебаний при существенной неоднородности пласта по толщине.
[12]
Научиться находить проекции векторных величин и учитывать знак проекций: если направление вектора совпадает с выбранной осью — положительный, если нет — отрицательный.
[13]
Знак главного момента сил инерции тс противоположен знаку проекции углового ускорения ег.
[14]
Знак главного момента т ( о ] противоположен знаку проекции углового ускорения ег.
[15]
Страницы:
1
2
3