Как найти знак результирующего момента силы

В этой главе…

• Переходим от поступательного движения к вращательному движению
• Вычисляем тангенциальную скорость и тангенциальное ускорение
• Выясняем связь между угловым ускорением и угловой скоростью
• Разбираемся с моментом силы
• Поддерживаем вращательное движение

Эта и следующая главы посвящены вращательному движению объектов самой разной природы: от космических станций до пращи. Именно такое движение стало причиной того, что наша планета имеет круглую форму. Если вам известны основные свойства прямолинейного движения и законы Ньютона (они подробно описываются в двух первых частях этой книги), то вы сможете быстро овладеть основами вращательного движения. Даже если вы позабыли некоторые сведения из прежних глав, не беда, ведь к ним всегда можно вернуться в случае необходимости. В этой главе представлены основные понятия вращательного движения: угловая скорость угловое ускорение, тангенциальное ускорение, момент силы и т.п. Однако довольно слов, приступим к делу!

Переходим от прямолинейного движения  к вращательному

Для такого перехода нужно изменить уравнения, которые использовались ранее для описания прямолинейного движения. В главе 7 уже упоминались некоторые эквиваленты (или аналоги) из мира прямолинейного и вращательного движения.

Вот как выглядят основные формулы прямолинейного движения, которые подробно описываются в главе 3:

• ​( v=Delta{s}/Delta{t} )​, где ​( v )​ — это скорость, ​( Delta{s} )​ — перемещение, a ( Delta{t} ) — время перемещения;
• ( a=Delta{v}/Delta{t} ), где ( a ) — это ускорение, ( Delta{v} ) — изменение скорости, a ( Delta{t} ) — время изменения скорости;
• ​( Delta{s}=v_0(t_1-t_0)+{}^1!/!_2a(t_1-t_0)^2 )​, где ​( v_0 )​ — это начальная скорость, ​( t_0 )​ — это начальный момент времени, a ​( t_1 )​ — это конечный момент времени;
• ​( v^2_1-v^2_0=2aDelta{s} )​, где ​( v_1 )​ — это конечная скорость.

По аналогии можно легко вывести основные формулы вращательного движения:

• ​( omega=Delta{theta}/Delta{t} )​, где ​( omega )​ — угловая скорость, ​( Delta{theta} )​ — угол поворота, ( Delta{t} ) — время поворота на угол ( Delta{theta} );
• ​( alpha=Delta{omega}/Delta{t} )​, где ​( alpha )​ — угловое ускорение, ​( Delta{omega} )​ — изменение угловой скорости, ​( Delta{t} )​ — время изменения угловой скорости;
• ​( theta=omega_0(t_1-t_0)+{}^1!/!_2a(t_1-t_0)^2 )​, где ​( omega_0 )​ — это начальная скорость;
• ​( omega^2_1-w^2_0=2as )​, где ​( omega_1 )​ — это конечная скорость.

Разбираемся с параметрами вращательного движения

В физике движение принято разделять на поступательное и вращательное. При поступательном движении любая прямая, связанная с движущимся объектом, остается параллельной самой себе. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям. Тангенциальным движением называется часть вращательного движения, происходящего по касательной к окружности вращения, а радиальным (или нормальным) движением — часть вращательного движения, происходящего перпендикулярно (по нормали) к касательной, т.е. вдоль радиуса окружности.

Параметры прямолинейного поступательного и вращательного движений можно связать следующими формулами:

Допустим, колеса мотоцикла вращаются с угловой скоростью ​( omega )​, равной 21,5( 21,5pi )​ радиан в секунду. С какой скоростью едет мотоцикл? Чтобы дать ответ на этот вопрос, достаточно воспользоваться простой формулой связи линейной и угловой скорости.

Вычисляем линейную скорость вращательного движения

Скорость тангенциального движения материальной точки принято называть линейной скоростью вращательного движения. На рис. 10.1 приведен пример вращения мячика для игры в гольф по окружности с радиусом ​( mathbf{r} )​ и линейной скоростью ( mathbf{v} ). Скорость ( mathbf{v} ) является векторной величиной, т.е. обладает величиной и направлением (подробнее о векторах рассказывается в главе 4), перпендикулярным радиус-вектору ( mathbf{r} ).

Угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением ​( v=romega )​, которое легко интуитивно понять. При одинаковой угловой скорости, чем дальше материальная точка от центра окружности вращения, тем больше ее линейная скорость.

Попробуем получить уже упомянутую выше формулу связи линейной и угловой скорости ( v=romega ). Длина окружности ​( L )​ радиуса ​( r )​ выражается известной формулой ​( L=2pi r )​, а полный угол, который охватывает окружность, равен ​( 2pi )​ радиан. Соответственно, длина дуги окружности длиной ​( Delta s )​, охватывающая угол ​( Deltatheta )​, равна:

Из формулы прямолинейного движения

путем подстановки выражения для ​( Delta s )​ получим:

Поскольку:

где ​( omega )​ — угловая скорость, ​( Delta{theta} )​— угол поворота, ​( Delta{t} )​ — время поворота на угол ( Delta{theta} ), то:

Теперь можно легко и просто дать ответ на вопрос, поставленный в конце предыдущего раздела, т.е. определить скорость мотоцикла по угловой скорости вращения его колес. Итак, колеса мотоцикла вращаются с угловой скоростью ( omega ), равной 21,5​( pi ) радиан в секунду. Пусть радиус колеса ​( r )​ равен 40 см, тогда достаточно использовать следующую формулу:

Подставляя в нее значения, получим:

Итак, скорость мотоцикла равна 27 м/с или 97 км/ч.

Вычисляем тангенциальное ускорение

Тангенциальным ускорением называется скорость изменения величины линейной скорости вращательного движения. Эта характеристика вращательного движения очень похожа на линейное ускорение прямолинейного движения (см. главу 3). Например, точки на колесе мотоцикла в момент старта имеют нулевую линейную скорость, а спустя некоторое время после разгона ускоряются до некоторой ненулевой линейной скорости. Как определить это тангенциальное ускорение точки колеса? Переформулируем вопрос: как связать линейное ускорение

где ​( a )​ — это ускорение, ​( Delta v )​ — изменение скорости, a ​( Delta t )​ — время изменения скорости, с угловым ускорением

где ( Deltaomega ) — изменение угловой скорости, ( Delta t ) — время изменения угловой скорости?

Как мы уже знаем, линейная и угловая скорости связаны равенством

Подставим это выражение в предыдущую формулу линейного ускорения:

Поскольку радиус остается постоянным, то его можно вынести за скобки:

Поскольку угловое ускорение ​( alpha=Deltaomega/Delta t )​, то:

Итак, получаем следующую формулу связи между линейным и угловым ускорением:

Иначе говоря, тангенциальное ускорение равно произведению радиуса на угловое ускорение.

Вычисляем центростремительное ускорение

Центростремительнным ускорением называется ускорение, необходимое для удержания объекта на круговой орбите вращательного движения. Как связаны угловая скорость и центростремительное ускорение? Формула для центростремительного ускорения уже приводилась ранее (см. главу 7):

Теперь, используя известную формулу связи линейной и угловой скорости ​( v=romega )​, получим:

По этой формуле можно определить величину центростремительного ускорения по известной угловой скорости и радиусу. Например, для вычисления центростремительного ускорения Луны, вращающейся вокруг Земли, удобно использовать именно эту формулу.

Луна делает полный оборот вокруг Земли за 28 дней, т.е. за 28 дней Луна проходит ​( 2pi )​ радиан. Отсюда получаем угловую скорость Луны:

Чтобы получить значение угловой скорости в привычных единицах, следует преобразовать дни в секунды:

После подстановки этого значения в предыдущую формулу получим:

Средний радиус орбиты Луны равен 3,85·10⁸ м. Подставляя эти значения угловой скорости и радиуса в формулу центростремительного ускорения, получим:

Зная это ускорение и массу Луны, которая равна 7,35·10²² кг, можно определить центростремительную силу, необходимую для удержания Луны на ее орбите:

Используем векторы для изучения вращательного движения

В предыдущих разделах этой главы угловая скорость и угловое ускорение рассматривались как скаляры, т.е. как параметры, характеризующиеся только величиной. Однако эти параметры вращательного движения, на самом деле, являются векторами, т.е. они обладают величиной и направлением (см. главу 4). В этом разделе рассматривается величина и направление некоторых параметров вращательного движения.

Определяем направление угловой скорости

Как нам уже известно, вращающееся колесо мотоцикла имеет не только угловую скорость, но и угловое ускорение. Что можно сказать о направлении вектора угловой скорости? Оно не совпадает с направлением линейной тангенциальной скорости, а… перпендикулярно плоскости колеса!

Эта новость всегда приводит к некоторому замешательству среди новичков: угловая скорость ​( omega )​, оказывается, направлена вдоль оси вращающегося колеса (рис. 10.2). Во вращающемся колесе единственной неподвижной точкой является его центр. Поэтому начало вектора угловой скорости принято располагать в центре окружности вращения.

Для определения направления вектора угловой скорости ( omega ) часто используют правило правой руки. Если охватить ладонью ось вращения, а пальцы свернуть так, чтобы они указывали на направление тангенциальной скорости, то вытянутый большой палец укажет направление вектора угловой скорости ( omega ).

Теперь угловую скорость можно использовать так же, как и остальные векторные характеристики движения. Направление вектора угловой скорости можно найти по правилу правой руки, а величину — по приведенной ранее формуле. То, что вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости вращательного движения, часто вызывает некоторые трудности у начинающих, но к этому можно быстро привыкнуть.

Определяем направление углового ускорения

Если вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости вращательного движения, то куда направлен вектор углового ускорения в случае замедления или ускорения вращения объекта? Как известно (см. предыдущие разделы), угловое ускорение определяется формулой:

где ​( alpha )​ — угловое ускорение, ​( Deltaomega )​ — изменение угловой скорости, ​( Delta t )​— время изменения угловой скорости.

В векторной форме оно имеет следующий вид:

где ​( mathbf{alpha} )​ — вектор углового ускорения, а ​( Deltamathbf{omega} )​ — изменение вектора угловой скорости. Отсюда ясно, что направление вектора углового ускорения совпадает с направлением изменения вектора угловой скорости.

Если вектор угловой скорости меняется только по величине, то направление вектора углового ускорения параллельно направлению вектора угловой скорости. Если величина угловой скорости растет, то направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости, как показано на рис. 10.3.

А если величина угловой скорости падает, то направление вектора углового ускорения противоположно направлению вектора угловой скорости, как показано на рис. 10.4.

Поднимаем грузы: момент силы

В физике большое значение имеет не только время, но и место приложения силы. Всем когда-либо приходилось пользоваться рычагом для перемещения тяжелых грузов. Чем длиннее рычаг, тем легче сдвинуть груз. На языке физики применение силы с помощью рычага характеризуется понятием момент силы.

Приложение момента силы неразрывно связано с вращательным движением объектов. Если приложить силу к краю карусели, то карусель начнет вращательное движение. Чем дальше точка приложения силы, тем легче раскрутить карусель до заданной угловой скорости (параметры вращательного движения описываются в главе 1 1 ).

В верхней части рис. 10.5 показаны весы-качели с грузом массы ​( m_1 )​ на одном конце и грузом большей массы ​( m_2=2m_1 )​ посередине. Чтобы уравновесить весы-качели, нужно сместить груз с большей массой ​( m_2 )​ к другому концу весов, как показано в нижней части рис. 10.5. Как известно из опыта, размещение груза в точке вращения весов не приводит к уравновешиванию весов. Чтобы уравновесить весы, нужно сдвинуть груз с большей массой ( m_2=2m_1 ) к другому концу весов на расстояние вдвое меньшее, чем расстояние от точки вращения до второго груза с массой ​( m_1 )​.

Знакомимся с формулой момента силы

Для уравновешивания весов важно не только, какая сила используется, но и где она прикладывается. Расстояние от точки приложения силы до точки вращения называется плечом силы.

Предположим, что нам нужно открыть дверь, схематически показанную на рис. 10.6. Как известно из опыта, дверь практически невозможно открыть, если прилагать силу вблизи петель (см. схему А на рис. 10.6). Однако, если приложить силу посередине двери, то открыть ее будет гораздо проще (см. схему Б на рис. 10.6). Наконец, прилагая силу у противоположного края двери по отношению к расположению петель, ее можно открыть с еще меньшим усилием (см. схему В на рис. 10.6).

На рис. 10.6 расстояние от мест расположения петель до точки приложения силы и есть плечо силы. Моментом силы называется произведение прилагаемой силы ​( F )​ на плечо силы ​( l )​:

Момент силы в системе СИ измеряется в Н·м, а в системе СГС — в дин·см (подробнее эти системы единиц измерения описываются в главе 2).

Вернемся к примеру на рис. 10.6, где требуется открыть дверь шириной 1 м с помощью силы величиной 200 Н. В случае А (см. рис. 10.6) плечо силы равно нулю и произведение этого плеча на силу любой величины (включая и силу 200 Н) даст нулевой момент силы. В случае Б (см. рис. 10.6) плечо силы равно половине ширины двери, т.е. плечо силы ​( l )​ равно 0,5 м и момент силы будет равен:

В случае В (см. рис. 10.6) плечо силы равно ширине двери, т.е. плечо силы ( l ) равно 1 м и момент силы будет равен:

Итак, увеличение вдвое длины плеча при той же силе дает нам такое же увеличение момента силы. До сих пор сила прилагалась перпендикулярно к линии, соединяющей точку приложения силы и точку вращения. А что будет с моментом силы, если дверь будет немного приоткрыта и направление силы уже будет не перпендикулярным?

Разбираемся с направлением приложенной силы и плечом силы

Допустим, что сила приложена не перпендикулярно к поверхности двери, а параллельно, как показано на схеме А на рис. 10.7. Как известно из опыта, таким образом дверь открыть невозможно. Дело в том, что у такой силы нет проекции, которая бы могла вызвать вращательное движение. Точнее говоря, у такой силы нет ненулевого плеча для создания вращательного момента силы.

Размышляем над тем, как создается момент силы

Момент силы из предыдущего примера требуется создавать всегда для открытия двери независимо от того, какую дверь приходится открывать: легкую калитку изгороди или массивную дверь банковского сейфа. Как вычислить необходимый момент силы? Сначала нужно определить плечо сил, а потом умножить его на величину силы.

Однако не всегда все так просто. Посмотрите на схему Б на рис. 10.7. Как видите, сила прилагается под некоторым углом ​( theta )​. Как в таком случае определить плечо силы? Если бы угол ( theta ) был прямым, то мы могли бы воспользоваться уже известно нам формулой:

Однако в данном случае угол ( theta ) не является прямым.

В таком случае нужно просто помнить следующее правило: плечом силы называется длина перпендикуляра, опущенного из предполагаемой точки вращения на прямую, относительно которой действует сила.

Попробуем применить это правило определения плеча силы для схемы Б на рис. 10.7. Нужно продлить линию, вдоль которой действует сила, а потом опустить на нее перпендикуляр из точки вращения двери. Из полученного прямоугольного треугольника легко определить искомое плечо силы:

Если угол ( theta ) равен нулю, то никакого момента силы не возникает (см. схему А на рис. 10.7).

Итак, получаем для момента силы для схемы Б на рис. 10.7:

Например, если требуется открыть дверь шириной 1 м с помощью силы величиной 200 Н, приложенной под углом ( theta ) = 45°, то создаваемый момент этой силы будет равен:

Как видите, этот момент силы 140 Н·м меньше, чем момент силы 200 Н·м, созданный под прямым углом на схеме В на рис. 10.6.

Определяем направление момента силы

Учитывая все приведенные выше сведения о моменте силы, у читателя вполне может возникнуть подозрение, что момент силы обладает направлением. И это действительно так. Момент силы является векторной величиной, направление которой определяется по правилу правой руки. Если охватить ладонью ось вращения, а пальцы свернуть так, чтобы они указывали на направление силы, то вытянутый большой палец укажет направление вектора момента силы.

На рис. 10.8 показан пример силы ​( mathbf{F} )​ с плечом ( mathbf{l} ) и соответствующего вектора момента сил ( mathbf{M} ).

Уравновешиваем моменты сил

В жизни нам часто приходится сталкиваться с равновесными состояниями. Как равновесное механическое состояние определяется с точки зрения физики? Обычно физики подразумевают под равновесным состоянием объекта то, что он не испытывает никакого ускорения (но может двигаться с постоянной скоростью).

Для поступательного движения равновесное состояние означает, что сумма всех сил, действующих на объект равна нулю:

Иначе говоря, результирующая действующая сила равна нулю.

Вращательное движение также может быть равновесным, если такое движение происходит без углового ускорения, т.е. с постоянной угловой скоростью.

Для вращательного движения равновесное состояние означает, что сумма всех моментов сил, действующих на объект, равна нулю:

Как видите, это условие равновесного вращательного движения аналогично условию равновесного поступательного движения. Условия равновесного вращательного движения удобно использовать для определения момента силы, необходимого для уравновешивания неравномерно вращающегося объекта.

Простой пример: вешаем рекламный плакат

Предположим, что у входа в магазин нужно повесить большой и тяжелый рекламный плакат, как показано на рис. 10.9. Хозяин магазина пытался сделать это и раньше, но у него ничего не выходило, поскольку он использовал очень непрочный болт.

Попробуем определить силу, с которой болт должен удерживать всю конструкцию, показанную на рис. 10.9. Пусть плакат имеет массу 50 кг и висит на шесте 3 м от точки опоры шеста, а массу шеста в данном примере будем считать пренебрежимо малой. Болт находится в 10 см от точки опоры шеста.

Согласно условиям равновесия, сумма всех моментов сил должна быть равна нулю:

Иначе говоря:

где ​( mathbf{M_п} )​ — это момент силы со стороны плаката, а ( mathbf{M_б} ) — это момент силы со стороны болта.

Чему равны упомянутые моменты? Момент силы со стороны плаката можно легко определить по формуле:

где ​( m )​ = 50 кг — это масса плаката, ​( mathbf{g} )​ — ускорение свободного падения под действием силы гравитационного притяжения (силы тяжести), ​( mmathbf{g} )​ — сила тяжести плаката, а ​( l_п )​ = 3 м — это плечо силы тяжести плаката.

Подставляя значения, получим:

Обратите внимание, что здесь перед ускорением свободного падения под действием силы гравитационного притяжения стоит знак “минус”. Это значит, что вектор ускорения свободного падения направлен вниз, т.е. в сторону, противоположную выбранному направлению оси координат.

Момент силы со стороны болта определяется формулой:

где ( mathbf{F_б} ) — это искомая сила, с которой болт должен удерживать всю конструкцию, а ( l_б ) = 0,1 м — это ее плечо.

Подставляя полученные выражения для моментов сил в формулу:

получим, что:

Отсюда с помощью простых алгебраических преобразований получим искомую силу:

Как видите сила, с которой болт должен удерживать всю конструкцию, направлена противоположно вектору ускорения свободного падения, т.е. вверх.

Подставляя значения, получим искомый ответ:

Более сложный пример: учитываем силу трения при расчете равновесия

Рассмотрим теперь другую более сложную задачу, в которой для расчета равновесия системы объектов нужно учесть силу трения. Предположим, что работник магазина решил использовать переносную лестницу для монтажа рекламного плаката, как схематически показано на рис. 10.10.

Пусть лестница длиной ​( l_л )​ = 4 м стоит под углом ​( theta )​ = 45° к поверхности тротуара, работник имеет массу ​( m_р )​ = 45 кг и находится на ней на расстоянии ( l_р ) = 3 м от нижнего конца лестницы, лестница имеет массу (m_л ) = 20 кг, а коэффициент трения покоя между поверхностью тротуара и концами лестницы равен ​( mu_п )​ = 0,7. Вопрос: будет ли такая система объектов находиться в состоянии равновесия? Попросту говоря, достаточной ли будет сила трения, чтобы лестница вместе с рабочим не соскользнула и упала?

Итак, для ответа на этот вопрос нам нужно учесть следующие силы, действующие на лестницу:

• ​( mathbf{F_с} )​ — нормальная сила со стороны стены;
• ( mathbf{F_р} ) — вес рабочего;
• ( mathbf{F_л} ) — вес лестницы;
• ( mathbf{F_{тр}} ) — сила трения между поверхностью тротуара и концами лестницы;
• ( mathbf{F_т} ) — нормальная сила со стороны тротуара.

Согласно условиям равновесного поступательного движения, сумма всех сил, действующих на лестницу, должна быть равна нулю:

Это значит, что сумма всех сил вдоль горизонтальной оси, а именно нормальной силы со стороны стены ( mathbf{F_с} ) и силы трения между поверхностью тротуара и концами лестницы ( mathbf{F_{тр}} ), должна быть равна нулю, то есть:

или

Перефразируя поставленный выше вопрос о достаточности силы трения, получим: выполняется ли условие

Кроме того, сумма всех сил вдоль вертикальной оси, а именно веса рабочего ( mathbf{F_р} ), веса лестницы ( mathbf{F_л} ) и нормальной силы со стороны тротуара ( mathbf{F_т} ), должна быть равна нулю, то есть:

или

Согласно условиям равновесного вращательного движения, также необходимо равенство нулю всех моментов сил, действующих на лестницу:

Пусть предполагаемой точкой вращения является нижний конец лестницы, тогда должна быть равна нулю сумма моментов сил, создаваемых весом рабочего ​( mathbf{M_р=[L_р!times! F_р]} )​, весом лестницы ( mathbf{M_л=[L_л!times!F_л]} ) и нормальной силой со стороны стены ( mathbf{M_с=[L_с!times! F_с]} ):

или

или

Поскольку ​( L_р=l_р )​, ​( L_л=l_л/2 )​ (центр тяжести лестницы находится посередине лестницы), ( L_с=l_л ), ​( alpha=360^{circ}-theta )​, ( beta=360^{circ}-theta ) и ​( gamma=theta )​, то получим:

или

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными сил ( mathbf{F_с} ) и ( mathbf{F_т} ):

Зададимся вопросом: соблюдается ли условие

Из системы двух уравнений получим:

Итак, остается выяснить, соблюдается ли условие:

После подстановки значений получим:

Поскольку ​( mu_т )​ = 0,7, то упомянутое условие соблюдается, и лестница с рабочим не упадет.

Момент
силы относительно центра (или точки).

Опыт
показывает, что под действием силы
твердое тело может наряду с поступательным
перемещением совершать вращение вокруг
того или иного центра. Вращательный
эффект силы характеризуется ее момен­том

Рассмотрим
силу ,
приложенную в точке А твердого
тела (рис. 20). Допустим, что сила
стремится повернуть тело вокруг центра О.
Перпендикуляр h,
опущенный из центра O на
линию действия силы ,
на­зывается плечом силыот­носительно
центраО.
Так как точку приложения силы можно
произвольно переме­щать вдоль линии
действия, то, очевидно, вращательный
эффект силы будет зависеть: 1) от модуля
силы F и
длины плеча h; 2)
от поло­жения плоскости поворота ОАВ,
проходящей через центр О и
силу F;
3) от направления поворота к этой
плоскости.

Рис.20

Ограничимся
пока рассмотрением систем сил, лежащих
в одной плоскости. В этом случае плоскость
поворота для всех сил является общей и
в дополнительном задании не нуждается.

Тогда
для количественного измерения
вращательного эффекта можно ввести
следующее понятие о моменте силы:
моментом силы относительно
центраО называется
величина, равная взятому с соответствующим
знаком произведению модуля силы на
длину плеча.

Момент
силы относительно
центраО будем
обозначать сим­волом m₀(F).
Следовательно,

В
дальнейшем условимся считать, что момент
имеет знак плюс, если сила стремится
повернуть тело вокруг центра О против
хода ча­совой стрелки, и знак минус,
— если по ходу часовой стрелки. Так, для
силы ,
изображенной на рис.20,а,
момент относительно центра О имеет
знак плюс, а для силы, показанной на
рис.20,б,
— знак ми­нус.

Отметим
следующие свойства момента силы:

1)
Момент силы не изменяется при переносе
точки приложения силы вдоль ее
линии действия.

2)
Момент силы относительно центра О равен
нулю только тогда, когда сила равна нулю
или когда линия действия силы проходит
через центр О (плечо
равно нулю).

3)
Момент силы численно выражается удвоенной
площадью тре­угольника ОАВ (рис.
20,б)

Этот
результат следует из того, что

Теорема
Вариньона о моменте равнодействующей.

Докажем
следующую теорему Вариньона: момент
равнодействующей плоской системы
сходящихся сил от­носительно любого
центра равен алгеб­раической сумме
моментов слагаемых сил относительно
того же центра.

Рис.21

Рассмотрим
систему сил , , …, ,
сходящихся в точкеА (рис.21).
Возьмем произвольный центр О и
проведем через него ось Ох,
перпендикулярную к прямой ОА;
положительное направление оси Ох выбираем
так, чтобы знак проекции любой из сил
на эту ось совпадал со знаком ее момента
относительно центра О.

Для
доказательства теоремы найдем
соответствующие  выражения  моментов m₀(),m₀(),
… . По формуле.
Но, как видно из рисунка,,
гдеF_1x —
проекция силы на
осьОх;
сле­довательно   

.                                                                   

Аналогично
вычисляются моменты всех других сил.

Обозначим
равнодействующую сил ,, …, , через ,
где .
Тогда, по теореме о проекции суммы
сил на ось, получим.
Умножая обе части этого равенства наОА,
найдем:

или,

.

Пара
сил. Момент пары.

Парой
сил (или просто парой) называются две
силы, равные по ве­личине, параллельные
и направленные в противоположные стороны
(рис.22). Очевидно, ,и.

Рис.22

Несмотря
на то, что сумма сил равна нулю, эти силы
не уравновешиваются. Под действием этих
сил, пары сил, тело начнёт вращаться. И
вращательный эффект будет определяться
моментом пары:

.

Расстояние a между
линиями действия сил называется плечом
пары.

Если
пара вращает тело против часовой стрелки,
момент её считается положительным (как
на рис.22), если по часовой стрелке –
отрицательным.

Для
того, чтобы момент пары указывал и
плоскость, в которой происходит вращение,
его представляют вектором.

Вектор
момента пары направляется
перпендикулярно плоскости, в которой
расположена пара, в такую сторону, что
если посмотреть от­туда, увидим
вращение тела против часовой стрелки
(рис. 23).

Нетрудно
доказать, что вектор мо­мента пары –
есть вектор этого векторного произведения
(рис. 23). И за­метим, что он равен вектору
момента силыотносительно
точкиА,
точки приложения второй силы:

.

О
точке приложения вектора бу­дет
сказано ниже. Пока приложим его к точкеА.

Рис.23

Свойства
пар

1)
Проекция пары на любую ось равна нулю.
Это следует из определения пары сил.

2)
Найдём сумму моментов сил исоставляющих
пару, относительно какой-либо
точкиО (рис.24).

Рис.24

Покажем радиусы-векторы точек А₁ и А₂ и
вектор ,
соединяющий эти точки. Тогда момент
пары сил относительно точкиО

.

Но .
Поэтому.

Но ,
а.

Значит .

Момент
пары сил относительно любой точки равен
моменту этой пары.

Отсюда
следует, что, во-первых, где бы не
находилась точка О и,
во-вторых, где бы не располагалась эта
пара в теле и как бы она не была повёрнута
в своей плоскости, действие её на тело
будет одинаково. Так как момент сил,
составляющих пару, в этих случаях один
и тот же, рав­ный моменту этой пары .

Поэтому
можно сформулировать ещё два свойства.

3)
Пару можно перемещать в пределах тела
по плоскости действия и переносить в
любую другую параллельную плоскость.

4)
Так как действие на тело сил, составляющих
пару, определяется лишь её моментом,
произведением одной из сил на плечо, то
у пары можно изменять силы и плечо, но
так, чтобы момент пары остался прежним.
Например, при силах F₁=F₂=5 H и плече а =
4 см момент пары m =
20Hсм.
Можно силы сделать равными 2 Н, а плечо а =
10 см. При этом момент останется прежним
20 Нсм и действие пары на тело не
из­менится.

Все
эти свойства можно объединить и, как
следствие, сделать вы­вод, что пары с
одинаковым вектором момента  и
неважно где расположенные на теле,
оказывают на него равное действие. То
есть такие пары эквивалентны.

Исходя
из этого, на расчётных схемах пару
изображают в виде дуги со стрелкой,
указывающей направление вращения, и
рядом пишут величину момента m.
Или, если это пространственная конструкция,
по­казывают только вектор момента
этой пары. И вектор момента пары можно
прикладывать к любой точке тела. Значит
вектор момента пары –
свободный вектор.

И
ещё одно дополнительное замечание. Так
как момент пары ра­вен вектору момента
одной из сил её относительно точки
приложения второй силы, то момент пары
сил относительно какой-либо оси z –
есть проекция вектора момента пары на
эту ось:

,           

где –
угол между вектороми
осьюz.

Сложение
пар

Пусть
даны две пары с моментами m₁ и m₂,
расположенные в пере­секающихся
плоскостях (рис.25).

Сделаем
у пар плечи одинаковыми, равными а = АВ.
Тогда модули сил, образующих первую
пару, должны быть равны: , а
об­разующих вторую пару: .

Эти
пары показаны на рис.25, где , .
И расположены они в своих плоскостях
так, что плечи пар совпадают с прямой АВ на
линии пересе­чения плоскостей.

Рис.25

Рис. 4.4.

Сложив
силы, приложенные к точкам А и В,
построением паралле­лограммов, получим
их равнодействующие и.
Так как,
то эти силыибудут
образовывать пару, мо­мент которой,
где–
радиус-вектор точкиВ,
совпадающий с АВ.

Так
как ,
то момент полученной пары

.

Следовательно,
в результате сложения пар, расположенных
в пере­секающихся плоскостях, получится
пара сил. Момент её будет равен векторной
сумме моментов слагаемых пар.

При
сложении нескольких пар, действующих
в произвольных плоско­стях, получим
пару с моментом

.                                                                         

Конечно,
эта результирующая пара будет располагаться
в плоско­сти перпендикулярной
вектору .

Равенство
нулю результирующей пары будет означать,
что пары, действующие на тело,
уравновешиваются. Следовательно, условие
рав­новесия пар

.                          

Если
пары расположены в одной плоско­сти,
векторы моментов их будут параллельны.
И момент результирующей пары можно
опре­делить как алгебраическую сумму
моментов пар.

Рис.26

Например,
пары, показанные на рис.26, расположены
в одной плоскости и моменты их:

m₁=2 Hсм
, m₂=5 Hсм, m₃=3 Hсм.
Пары урав­нове­шива­ются, потому
что алгебраиче­ская сумма их моментов
равна нулю:

.

Чтобы определить, чему равен момент силы, нужно получить произведение вектора силы и радиус-вектора, который проводится к точке приложения силы от оси вращения. Поэтому величину можно назвать характеристикой вращательного воздействия силы на твердое тело.

Термины “крутящий” и “вращающий” моменты в данном случае не являются тождественными. Разница между ними состоит в том, что “вращающий” момент воспринимается как внешнее усилие, которое прикладывают к объекту. Термин “крутящий” же рассматривается как внутреннее усилие, которое появляется при приложении конкретных нагрузок (что делает определение схожим с используемым при изучении сопротивления материалов).

Понятие «момент силы»

Физики воспринимают этот термин в качестве так называемой “вращающей силы”. В соответствии с системой СИ, измеряется данная величина в ньютон-метрах. Иногда в литературе можно также встретить понятие “момент пары сил” (такое определение, например, появляется в исследованиях Архимеда над рычагами).

При использовании простых примеров (например, при приложении силы к рычагу в перпендикулярном отношении к нему) величина рассчитывается как произведение расстояния до оси вращения рычага и непосредственно силы, которая на него воздействует.

Пример: На рычаг оказывает воздействие силы в 3 ньютона, которую прикладывают на расстоянии 2 м от оси вращения рычага. В результате момент силы будет равнозначен силе в 1 ньютон, прикладываемой на расстоянии 6 м по отношению к рычагу.

Как определить, чему равен момент силы

Важно помнить, что в физике энергия воспринимается как скалярная величина. В то же время момент силы считается (псевдо)векторной величиной. Поэтому совпадение размерностей указанных величин никогда не бывает случайным. Например, момент силы в 1 Н/м, приложенный через целый оборот, при выполнении механической работы сообщает энергию в 2 Дж. В математическом отображении эта формула момента силы будет выглядеть так:

[mathbf{E}=mathbf{M} boldsymbol{theta}], где:

• [mathbf{E}] — это энергия;
• [mathbf{M}] — это вращающийся момент;
• [boldsymbol{theta}] — это угол в радианах.

В современных условиях момент силы измеряется при помощи особых датчиков нагрузки, которые могут быть трех типов:

• оптического;
• тензометрического;
• индуктивного.

Применение специальной техники позволяет определить величину предельно точно и избавляет ученых от необходимости производить лишние расчеты.

Момент силы: формулы

У такой формулы момента силы в физике будет один недостаток. С ее помощью не удастся определить, в каком направлении направлен момент силы. Известной станет только его величина. Если сила окажется перпендикулярной вектору, тогда момент рычага окажется равен расстоянию от центра до точки, в которой была приложена сила. В таком случае момент силы достигнет максимального значения:

[vec{T}=vec{r} quad vec{F}]

Если сила совершает какое-либо действие на определенном расстоянии, она параллельно выполняет механическую работу относительно того же объекта. В таком случае в физической практике считается, что и момент силы выполняет работу (при совершении действия через угловое расстояние).

[mathrm{P}=mathrm{M} {omega}]

Международная система измерений предлагает определять мощность в Ваттах, при этом момент силы измеряется в радианах в секунду. Для определения величину угловой скорости используется единица “радианы в секунду”).

Как определяется момент действия нескольких сил

Если на тело действуют одновременно две равные по величине и противоположно направленные силы (не лежащие на одной и той же прямой), оно находится в состоянии равновесия. Такая ситуация связана с тем, что результирующий момент данных сил по отношению к любой из осей не обладает нулевым значением. Ведь обе силы направлены в одну сторону момента и являются парой сил.

Если тело закреплено на оси, оно будет вращаться под влиянием пары сил. Когда же пара сил прилагается по отношению к свободному телу, последнее начнет крутиться вокруг той оси, которая проходит через центр тяжести.

В соответствии с правилом моментов сил в физике, момент пары сил считается одинаковым по отношению к любой оси, перпендикулярной плоскости этой пары. При этом суммарный момент пары M всегда определяется как произведение плеча пары (то есть расстояния l между силами) и одной из этих сил F. Данный расчет производится независимо от типов отрезков, на которые разделяется положение оси.

[mathrm{M}=mathrm{FL}_{1}+mathrm{FL}-2=mathrm{FL}_{1}+mathrm{L}_{2}=mathrm{FL}]

В случае, если равнодействующая момент нескольких сил равняется нулю, он будет одинаковым по отношению ко всем параллельным друг другу осям. Именно поэтому воздействие всех сил на тело можно заменить действием только одной пары сил, имеющих точно такой же момент.

Момент пары и момент силы относительно точки как алгебраические величины

В общем случае, когда силы, действующие на тело, расположены как угодно в пространстве, моменты пар и моменты сил относительно точки рассматриваются как векторы, перпендикулярные к плоскости действия соответствующих пар или к плоскости, в которой лежит линия действия соответствующей силы и центр моментов. Для плоской же системы сил, т. е. для случая, когда линии действия всех сил, приложенных к телу, лежат в одной плоскости, моменты пар и моменты сил относительно точки, лежащей в той же плоскости, будут перпендикулярны к этой плоскости и, следовательно, параллельны между собой. Модуль результирующего момента будет равен абсолютному значению алгебраической суммы составляющих моментов, если считать моменты, вращающие тело в одну сторону, положительными, а в противоположную сторону— отрицательными. Направлен же результирующий вектор будет всегда перпендикулярно к плоскости, в которой расположена данная система сил, в сторону, определяемую знаком алгебраической суммы.

Таким образом, для плоской системы сил отпадает необходимость в векторном представлении момента пары и момента силы относительно точки, и мы можем рассматривать их как скалярные алгебраические величины, вполне определяемые их модулем и знаком.

Алгебраической величиной момента пары называется взятый со знаком плюс или минус модуль момента пары, т. е. произведение модуля силы пары на ее плечо

При этом момент пары считается положительным, если пара стремится вращать тело в направлении, противоположном ходу стрелки часов, и отрицательным — если пира стремится повернуть тело по ходу стрелки часов.

Если на тело действуют несколько пар, расположенных в одной или в параллельных плоскостях, то, как это следует из сказанного выше и доказанных ранее (§§16 и 18) теорем об эквивалентности и сложении пар, их можно заменить одной результирующей парой, момент которой равен сумме алгебраических величин моментов составляющих пар. Знак этой суммы определяет сторону, в какую направлено вращение результирующей пары.

Очевидно, что для равновесия системы пар, расположенных в одной или параллельных плоскостях, необходимо и достаточно, чтобы равнялась нулю сумма алгебраических величин моментов составляющих пар.

Для эквивалентности же пар, лежащих в одной или параллельных плоскостях, достаточно только, чтобы они имели одинаковое направление вращения и одинаковый по модулю момент. Поэтому в задачах плоской статики на схемах пару часто изображают круговой стрелкой (рис. 49), показывающей направление вращения пары, и рядом пишут модуль момента.

Алгебраической величиной момента силы относительно какой-либо точки называется взятое со знаком плюс или минус произведение модуля силы на ее плечо, т. е. на длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на линию действия силы:

Тот или другой знак в этой формуле берется по правилу, аналогичному правилу знаков для момента пары: если сила стремится повернуть тело вокруг центра моментов против хода стрелки часов, момент считается положительным, если по ходу стрелки часов — отрицательным. Так, например, для силы на рис. 50 будем иметь:

Для силы имеем:

Нужно отметить, что момент одной и той же силы может иметь и положительное и отрицательное значение, в зависимости от взаимного расположения силы и центра моментов, т. е. той точки, относительно которой берется момент. Так, например (рис. 50), момент силы относительно точки равен , а момент той же силы относительно точки равен то, .

В дополнение к изложенной ранее (глава IV) теории пар, докажем еще одну теорему, которой удобно пользоваться при решении ряда задач.

Теорема. Момент пары равен сумме алгебраических величин моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки, лежащей в плоскости действия данной пары.

Доказательство. Пусть мы имеем пару с плечом (рис. 51). Момент этой пары . Взяв за центр моментов произвольную точку , лежащую в плоскости действия данной пары, будем иметь: и . Складывая эти равенства и принимая во внимание, что

получим:

Сумма моментов сил пары не зависит, следовательно, от выбора центра моментов. Она равна постоянной для данной пары величине — моменту этой пары, характеризующему вращательное действие пары на тело.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы: