Знаки тригонометрических функций
5 ноября 2011
- Знаки триг. функций
Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.
Синус угла α — это ордината (координата
y
) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
Косинус угла α — это абсцисса (координата
x
) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
Тангенс угла α — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты
y
к координате
x
.
Обозначение: sin α =
y
; cos α =
x
; tg α =
y
:
x
.
Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:
Синим цветом обозначено положительное направление оси
OY
(ось ординат), красным — положительное направление оси
OX
(ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:
- sin α > 0, если угол α лежит в
I
или
II
координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус — это ордината (координата
y
). А координата
y
будет положительной именно в
I
и
II
координатных четвертях;
- cos α > 0, если угол α лежит в
I
или
IV
координатной четверти. Потому что только там координата
x
(она же — абсцисса) будет больше нуля;
- tg α > 0, если угол α лежит в
I
или
III
координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α =
y
:
x
, поэтому он положителен лишь там, где знаки
x
и
y
совпадают. Это происходит в
I
координатной четверти (здесь
x
> 0,
y
> 0) и
III
координатной четверти (
x
< 0,
y
< 0).
Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции — синуса, косинуса и тангенса — на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:
Заметьте: в своих рассуждениях я ни разу не говорил о четвертой тригонометрической функции — котангенсе. Дело в том, что знаки котангенса совпадают со знаками тангенса — никаких специальных правил там нет.
Теперь предлагаю рассмотреть примеры, похожие на задачи B11 из пробного ЕГЭ по математике, который проходил 27 сентября 2011. Ведь лучший способ понять теорию — это практика. Желательно — много практики. Разумеется, условия задач были немного изменены.
Задача. Определите знаки тригонометрических функций и выражений (значения самих функций считать не надо):
- sin (3π/4);
- cos (7π/6);
- tg (5π/3);
- sin (3π/4) · cos (5π/6);
- cos (2π/3) · tg (π/4);
- sin (5π/6) · cos (7π/4);
- tg (3π/4) · cos (5π/3);
- ctg (4π/3) · tg (π/6).
План действий такой: сначала переводим все углы из радианной меры в градусную (π → 180°), а затем смотрим в какой координатной четверти лежит полученное число. Зная четверти, мы легко найдем знаки — по только что описанным правилам. Имеем:
- sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Поскольку 135° ∈ [90°; 180°], это угол из
II
координатной четверти. Но синус во
II
четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ [180°; 270°], это угол из
III
координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны. Следовательно, cos (7π/6) < 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Поскольку 300° ∈ [270°; 360°], мы находимся в
IV
четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) < 0;
- sin (3π/4) · cos (5π/6) = sin (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/6) = sin 135° · cos 150°. Разберемся с синусом: т.к. 135° ∈ [90°; 180°], это
II
четверть, в которой синусы положительны, т.е. sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ [90°; 180°] — снова
II
четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) < 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) · tg (π/4) = cos (2 · 180°/3) · tg (180°/4) = cos 120° · tg 45°. Смотрим на косинус: 120° ∈ [90°; 180°] — это
II
координатная четверть, поэтому cos (2π/3) < 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ [0°; 90°] — это
I
четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) < 0;
- sin (5π/6) · cos (7π/4) = sin (5 · 180°/6) · cos (7 · 180°/4) = sin 150° · cos 315°. Работаем с синусом: поскольку 150° ∈ [90°; 180°], речь идет о
II
координатной четверти, где синусы положительны. Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ [270°; 360°] — это
IV
координатная четверть, косинусы там положительны. Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел — такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°. Но угол 135° ∈ [90°; 180°] — это
II
четверть, т.е. tg (3π/4) < 0. Аналогично, угол 300° ∈ [270°; 360°] — это
IV
четверть, т.е. cos (5π/3) > 0. Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) < 0;
- ctg (4π/3) · tg (π/6) = ctg (4 · 180°/3) · tg (180°/6) = ctg 240° · tg 30°. Смотрим на аргумент котангенса: 240° ∈ [180°; 270°] — это
III
координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ [0; 90°] — это
I
координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения — их произведение тоже будет положительным. Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.
В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать — именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.
Задача. Найдите sin α, если sin2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].
Поскольку sin2 α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8. Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] — это
II
координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 — неопределенность со знаками устранена.
Задача. Найдите cos α, если cos2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].
Действуем аналогично, т.е. извлекаем квадратный корень: cos2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о
III
координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.
Задача. Найдите sin α, если sin2 α = 0,25 и α ∈ [3π/2; 2π].
Имеем: sin2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Снова смотрим на угол: α ∈ [3π/2; 2π] — это
IV
координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.
Задача. Найдите tg α, если tg2 α = 9 и α ∈ [0; π/2].
Все то же самое, только для тангенса. Извлекаем квадратный корень: tg2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ [0; π/2] — это
I
координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!
Смотрите также:
- Радианная мера угла
- Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
- Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
- Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
- Изюм и виноград (смеси и сплавы)
- Задача B4: транзит нефти
Знаки тригонометрических функций
Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.
угла α — это ордината (координата y ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
угла α — это абсцисса (координата x ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
угла α — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты y к координате x .
Обозначение: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .
Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:
Синим цветом обозначено положительное направление оси OY (ось ординат), красным — положительное направление оси OX (ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:
- sin α > 0, если угол α лежит в I или II координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус — это ордината (координата y ). А координата y будет положительной именно в I и II координатных четвертях;
- cos α > 0, если угол α лежит в I или IV координатной четверти. Потому что только там координата x (она же — абсцисса) будет больше нуля;
- tg α > 0, если угол α лежит в I или III координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α = y : x , поэтому он положителен лишь там, где знаки x и y совпадают. Это происходит в I координатной четверти (здесь x > 0, y > 0) и III координатной четверти ( x < 0, y < 0).
Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции — синуса, косинуса и тангенса — на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:
Заметьте: в своих рассуждениях я ни разу не говорил о четвертой тригонометрической функции — котангенсе. Дело в том, что знаки котангенса совпадают со знаками тангенса — никаких специальных правил там нет.
Теперь предлагаю рассмотреть примеры, похожие на задачи B11 из пробного ЕГЭ по математике, который проходил 27 сентября 2011. Ведь лучший способ понять теорию — это практика. Желательно — много практики. Разумеется, условия задач были немного изменены.
- sin (3π/4);
- cos (7π/6);
- tg (5π/3);
- sin (3π/4) · cos (5π/6);
- cos (2π/3) · tg (π/4);
- sin (5π/6) · cos (7π/4);
- tg (3π/4) · cos (5π/3);
- ctg (4π/3) · tg (π/6).
План действий такой: сначала переводим все углы из радианной меры в градусную (π → 180°), а затем смотрим в какой координатной четверти лежит полученное число. Зная четверти, мы легко найдем знаки — по только что описанным правилам. Имеем:
- sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Поскольку 135° ∈ [90°; 180°], это угол из II координатной четверти. Но синус во II четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ [180°; 270°], это угол из III координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны. Следовательно, cos (7π/6) < 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Поскольку 300° ∈ [270°; 360°], мы находимся в IV четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) < 0;
- sin (3π/4) · cos (5π/6) = sin (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/6) = sin 135° · cos 150°. Разберемся с синусом: т.к. 135° ∈ [90°; 180°], это II четверть, в которой синусы положительны, т.е. sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ [90°; 180°] — снова II четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) < 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) · tg (π/4) = cos (2 · 180°/3) · tg (180°/4) = cos 120° · tg 45°. Смотрим на косинус: 120° ∈ [90°; 180°] — это II координатная четверть, поэтому cos (2π/3) < 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ [0°; 90°] — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) < 0;
- sin (5π/6) · cos (7π/4) = sin (5 · 180°/6) · cos (7 · 180°/4) = sin 150° · cos 315°. Работаем с синусом: поскольку 150° ∈ [90°; 180°], речь идет о II координатной четверти, где синусы положительны. Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ [270°; 360°] — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел — такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°. Но угол 135° ∈ [90°; 180°] — это II четверть, т.е. tg (3π/4) < 0. Аналогично, угол 300° ∈ [270°; 360°] — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0. Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) < 0;
- ctg (4π/3) · tg (π/6) = ctg (4 · 180°/3) · tg (180°/6) = ctg 240° · tg 30°. Смотрим на аргумент котангенса: 240° ∈ [180°; 270°] — это III координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ [0; 90°] — это I координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения — их произведение тоже будет положительным. Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.
В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать — именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.
Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].
Поскольку sin 2 α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8. Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] — это II координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 — неопределенность со знаками устранена.
Задача. Найдите cos α, если cos 2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].
Действуем аналогично, т.е. извлекаем квадратный корень: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о III координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.
Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,25 и α ∈ [3π/2; 2π].
Имеем: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Снова смотрим на угол: α ∈ [3π/2; 2π] — это IV координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.
Задача. Найдите tg α, если tg 2 α = 9 и α ∈ [0; π/2].
Все то же самое, только для тангенса. Извлекаем квадратный корень: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ [0; π/2] — это I координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!
Знаки тригонометрических функций по четвертям
У математики есть одно классное преимущество перед другими предметами – здесь запоминать надо по минимуму, ведь подавляющее большинство теорем или свойств можно вывести из предыдущих тем. Это касается и знаков тригонометрических функций — их совершенно точно не нужно учить, достаточно просто помнить определение синуса и косинуса.
Тем, кто забыл, напомню:
— синус – это ордината точки на числовой окружности;
— косинус – это абсцисса точки на числовой окружности.
Значит, чтоб определить знак синуса достаточно найти точку на числовой окружности и взглянуть положительная у неё ордината или отрицательная. Аналогично у косинуса — найдите точку на числовой окружности и проведите перпендикуляр до оси косинусов: если попали в положительную часть оси, значит косинус положителен, в отрицательную — отрицателен. C тангенсом и котангенсом разберетесь сами? Если нет, пишите вопросы в комментарии!
Бонус:
Определения и знаки синуса, косинуса, тангенса угла
Тип урока: систематизации знаний и промежуточного контроля.
Оборудование: тригонометрический круг, тесты, карточки с заданиями.
Цели урока: систематизировать изученный теоретический материал по определениям синуса, косинуса, тангенса угла; проверить степень усвоения знаний по данной теме и применение на практике.
Задачи:
- Обобщить и закрепить понятия синуса, косинуса и тангенса угла.
- Формировать комплексное представление о тригонометрических функциях.
- Способствовать выработке у учащихся желания и потребности изучения тригонометрического материала; воспитывать культуру общения, умение работать в группах и потребности в самообразовании.
«Кто смолоду делает и думает сам, тот
становится потом, надёжнее, крепче, умнее.
I. Организационный момент
Класс представлен тремя группами. В каждой группе консультант.
Учитель сообщает тему, цели и задачи урока.
II. Актуализация знаний (фронтальная работа с классом)
1) Работа в группах по заданиям:
1. Сформулировать определение sin угла.
– Какие знаки имеет sin α в каждой координатной четверти?
– При каких значениях имеет смысл, выражение sin α, и какие значения оно может принимать?
2. Вторая группа те – же вопросы для cos α.
3. Третья группа ответы готовит по тем же вопросам tg α и ctg α.
В это время трое учащихся самостоятельно работают у доски по карточкам (представители разных групп).
Практическая работа.
С помощью единичной окружности вычислить для угла 50 , 210 и – 210 значения sin α, cos α и tg α.
Определить знак выражения: tg 275; cos 370; sin 790; tg 4,1 и sin 2.
1) Вычислить:
2) Сравнить: cos 60 и cos 2 30 – sin 2 30
2) Устно:
а) Предложен ряд чисел: 1; 1,2; 3; , 0, , – 1. Среди них есть лишние. Какое свойство sin α или cos α могут выражать эти числа (Может ли sin α или cos α принимать эти значения).
б) Имеет ли смысл выражение: cos (–); sin 2; tg 3: ctg (– 5); ; ctg0;
ctg (– π). Почему?
в) Существует ли наименьшее и наибольшее значение sin или cos, tg, ctg.
г) Верно ли?
1) α = 1000 является углом II четверти;
2) α = – 330 является углом IV четверти.
д) Числам соответствует одна и та же точка на единичной окружности.
3) Работа у доски
№ 567 (2; 4) – Найти значение выражения
№ 583 (1-3) Определить знак выражения
Домашнее задание: таблица в тетради. № 567(1, 3) № 578
III. Усвоение дополнительных знаний. Тригонометрия в ладони
Учитель: Оказывается, значения синусов и косинусов углов «находятся» на вашей ладони. Протяните руку (любую) и разведите как можно сильнее пальцы (как на плакате). Приглашается один ученик. Мы измеряем углы между нашими пальцами.
Берется треугольник, где есть угол в 30, 45 и 60 90 и прикладываем вершину угла к бугру Луны на ладони. Бугор Луны находится на пересечении продолжений мизинца и большого пальца. Одну сторону совмещаем с мизинцем, а другую сторону – с одним из остальных пальцев.
Оказывается между мизинцем и большим пальцем угол 90, между мизинцем и безымянным – 30, между мизинцем и средним – 45, между мизинцем и указательным – 60. И это у всех людей без исключения
Если пальцы считать лучами, исходящими из бугра Луны на ладони, то можно считать, что направление мизинца соответствует началу отсчета углов, т.е. 0.
Введем нумерацию пальцев:
мизинец № 0 – соответствует 0,
безымянный № 1 – соответствует 30,
средний № 2 – соответствует 45,
указательный № 3 – соответствует 60,
большой № 4 – соответствует 90.
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №31. Знаки синуса, косинуса и тангенса
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса;
2)Зависимость знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса от положения точки, движущейся по тригонометрической окружности, от произвольного угла;
3) Знаки тригонометрического выражения.
Глоссарий по теме
Число (пи) – математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру. Равна приблизительно 3,14.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Какие знаки имеюткоординаты точки в зависимости от их положения в системе координат?
У точек первой четверти
у точек второй четверти
у точек третьей четверти
у точек четвёртой четверти
Пример.
В какой координатной четверти находятся точки с указанными координатами
Ответ:
A |
B |
C |
D |
E |
F |
2 |
4 |
2 |
3 |
1 |
4 |
А если точка находится на тригонометрической окружности, то как узнать зависимость знака координат точки от угла поворота вокруг начала координат?
Сегодня на уроке мы узнаем знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, научимся определять положение точки на тригонометрической окружности в зависимости от комбинации знаков синуса и косинуса, тангенса и котангенса.
1.Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной системе координат хОу.
Точка Р(1;0) при повороте вокруг начала координат на угол переместилась в точку Рₐ. Определим её координаты.
Синусом углаявляется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол .
Косинусом углаявляется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол .
Если угол то точка Рₐ находится в первой четверти, здесь , значит
, .
Если угол , то точка Рₐ находится во второй четверти, здесь , , значит , .
Если угол , то точка Рₐ находится в третьей четверти, здесь , , значит
, .
Если угол , то точка Рₐ находится в четвертой четверти, здесь , , значит ,
На рисунке видно какие знаки имеет синус, а какие косинус.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример1. Определить знаки синуса и косинуса угла .
Решение: Выясним, в какой четверти находится точка, полученная поворотом на угол .
во второй четверти синусы положительны, косинусы отрицательны.
Ответ:
Пример 2. Определить знаки синуса и косинуса угла .
Решение: Полный угол, при котором точка «обойдёт» всю окружность, равен .
а это значит, что точка после 2 оборотов окажется в первой четверти, где синус и косинус положительны.
Ответ:
Пример 3.
Определить знаки синуса и косинуса угла .
Решение: Угол отрицательный, значит точка получена поворотом по часовой стрелке.
в 4 четверти синусы отрицательны, косинусы положительны.
Ответ: синус отрицательный, косинус положительный.
Пример 4.
Определить знаки .
Решение: Знаем, что, а . Значит, . Точка во второй четверти.
Ответ:
2.Знаки тангенса и котангенса.
Тангенс это отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс это отношение косинуса угла к его синусу: .
Тангенс и котангенс будут положительными там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это первая и третья четверти. Синус и косинус имеют разные знаки во второй и четвёртой четвертях, здесь тангенс и котангенс будут отрицательны. На рисунке изображены знаки тангенса и котангенса.
Пример 5.
Определить знак тангенса угла
Решение , угол второй четверти
Ответ:
Пример 6.
Определить знак тангенса угла .
Решение: Угол в третьей четверти, тангенс положительный.
Ответ:
Вывод: чтобы определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, нужно:
- выяснить в какой координатной четверти находится угол;
- знак синусов такой же, как ордината точки (у).
- знак косинусов такой же, как абсцисса точки (х).
- тангенсы и котангенсы положительны там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки(1ч. и 4ч.), отрицательны, где синус и косинус имеют противоположные знаки (2ч. и 3ч.).
ВИДЕО УРОК
Длина радиуса-вектора
всегда число положительное. Проекции его на координатные оси – величины
алгебраические и в зависимости от координатных четвертей имеют следующие знаки:
в I четверти
ах > 0; ау > 0;
во II четверти
ах < 0; ау > 0;
в III четверти
ах < 0; ау < 0;
в IV четверти
ах > 0; ау < 0.
Функция sin α.
В силу того, что для тригонометрической функции sin α число 2π (или 360°) является периодом, достаточно исследовать
знаки этой функции на каком-нибудь промежутке изменения α длиной 2π, например для значений
α от 0 до 2π;
0 ≤ α < 2π (0° ≤ α < 360°).
Если угол α заключён
между 0 и π (0° и 180°), то ордината
у
конца М
подвижного радиуса ОМ единичной окружности положительна, а
следовательно, и синус угла α, составленного с
осью Ох этим
радиусом, положителен. На чертеже
показано несколько положений подвижного радиуса:
ОМ1, ОМ2, … , ОМ5.
Если же угол α заключён
между π и 2π (180° и 360°), то ордината
у
конца М
подвижного радиуса ОМ отрицательна,
а следовательно, и sin α на этом промежутке отрицательный.
Теперь, пользуясь равенством
sin (α + 2kπ) = sin α,
получаем заключение о знаке синуса для любых значений α:
1) если 2kπ <
α < π + 2kπ, то
sin α ˃ 0,
2) если π + 2kπ < α < 2π + 2kπ, то
sin α < 0.
Соответственно
тригонометрическая функция имеет знаки, указанные на рисунку.
ПРИМЕР:
Определите знак тригонометрической
функции:
sin 3π/4.
РЕШЕНИЕ:
sin 3π/4. = sin (3 ∙ 180°/4) = sin 135°.
Поскольку
135° ∈ [90°, 180°],
это угол из
II координатной четверти.
Синус во II четверти
положителен, поэтому
sin 3π/4 ˃ 0.
Функция cos α.
Исследуем знаки cos α также на промежутке изменения α от 0 до 2π (от 0° до 360°).
Если угол α заключён
между 0 и π/2 (0° и 90°), то абсцисса
х
конца М
подвижного радиуса ОМ единичной окружности положительна,
а следовательно, и косинус угла α, составленного
с осью Ох этим
радиусом ОМ, – положительный.
Если угол α заключён
между π/2 и 3π/2 (90° и 270°), то абсцисса
точки М отрицательна, а следовательно, и cos α – отрицательный.
Если же угол
α заключён
между 3π/2 и 2π (270° и 360°), то как видно из чертежа
cos α – положительный.
Пользуясь равенством
cos (α + 2kπ) = cos α,
получаем
1) если 2kπ ≤
α < π/2 + 2kπ,
то
cos α ˃ 0,
2) если π/2 + 2kπ <
α < 3π/2 + 2kπ,
то
cos α < 0,
3) если 3π/2 + 2kπ <
α < 2π + 2kπ, то
cos α ˃ 0.
Соответственно
тригонометрическая функция имеет знаки, указанные на рисунку.
ПРИМЕР:
Определите знак тригонометрической
функции:
cos 7π/6.
РЕШЕНИЕ:
cos 7π/6. = cos (7 ∙ 180°/6) = cos 210°.
Поскольку
210° ∈ [180°, 270°],
это угол из
III координатной четверти.
Косинус в III четверти отрицателен, поэтому
cos 7π/6 < 0.
Функция tg α.
Так как периодом
функций tg α и сtg α является
π (или 180°), исследуем знаки tg α и сtg α при изменении
α от 0 до π (от 0° до 180°). Если угол оканчивается
в I четверти
(0 < α < π/2 или 0° < α < 90°), то продолжение
подвижного радиуса ОМ единичной окружности, образующего с осью Ох
угол α, пересечёт ось тангенсов в точке Т,
ордината которой положительна. Это означает, что тангенсы углов,
оканчивающихся в I четверти – положительны.
Если же угол α
оканчивается во II четверти (π/2 < α < π или 90° < α < 180°), то продолжение
подвижного радиуса ОМ единичной окружности, образующего с осью Ох
угол α, пересечёт ось тангенсов в точке Т,
ордината которой отрицательна. Следовательно, тангенсы углов,
оканчивающиеся во II четверти, отрицательны.
В силу периодичности функции tg α имеем, что тангенсы углов, оканчивающихся
в III четверти, положительны, а в IV четверти –
отрицательны.
И вообще, так как
tg (α + kπ) = tg α,
имеем:
1) если kπ <
α < kπ + π/2, то
tg α ˃ 0,
2) если kπ + π/2 < α < kπ + π, то
tg α < 0.
где k – любое целое число.
Соответственно
тригонометрическая функция tg α имеет знаки, указанные на рисунку.
ПРИМЕР:
Определить, какой знак имеет выражение:
tg 2.
РЕШЕНИЕ:
Так как π/2 < 2 < π, то угол 2
рад будет углом II четверти, поэтому
tg 2 < 0.
ОТВЕТ: Знак –
Функция сtg α.
Аналогично приходим к выводу:
если 0 < α < π/2, то
сtg α ˃ 0,
если π/2 < α < π, то
сtg α < 0,
если π < α < 3π/2, то
сtg α ˃ 0,
если 3π/2 < α < 2π , то
сtg α < 0.
И вообще:
1) если kπ <
α < π/2 + kπ, то
сtg α ˃ 0,
2) если kπ + π/2 < α < kπ + π, то
сtg α < 0.
где k – любое целое число.
Соответственно
тригонометрическая функция сtg α имеет знаки, указанные на рисунку.
ПРИМЕР:
Определите знак тригонометрической
функции:
сtg 5π/3.
РЕШЕНИЕ:
сtg 5π/3 = сtg (5 ∙ 180°/3) = сtg 300°.
Поскольку
300° ∈ [270°, 360°],
это угол из
IV координатной четверти.
Котангенс в IV четверти отрицателен, поэтому
сtg 5π/3 < 0.
ПРИМЕР:
Определите знак выражения:
sin 3π/4 ∙ cos 5π/6.
РЕШЕНИЕ:
sin 3π/4 ∙ cos 5π/6 =
sin (3 ∙ 180°/4) ∙ cos (5 ∙ 180°/6) =
sin 135° ∙ cos 150°.
Разберёмся с синусом. Так как
135° ∈ [90°, 180°],
это угол из
II координатной четверти.
Синус во II четверти положителен,
поэтому
sin 3π/4 ˃ 0.
Разберёмся с косинусом. Так как
150° ∈ [90°, 180°],
это угол из
II координатной четверти.
Косинус во II четверти отрицателен,
поэтому
cos 5π/6 < 0.
Получили произведение, в
котором множители разных знаков.
Пользуясь правилом
<<плюс на минус даёт знак минус>>,
получаем
sin 3π/4 ∙ cos 5π/6 < 0.
ПРИМЕР:
Определите знак выражения:
cos 2π/3 ∙ tg π/4.
РЕШЕНИЕ:
cos 2π/3 ∙ tg π/4 =
cos (2 ∙ 180°/3) ∙ tg (180°/4) =
cos 120° ∙ tg 45°.
Разберёмся с косинусом. Так как
120° ∈ [90°, 180°],
это угол из
II координатной четверти.
Косинус во II четверти отрицателен,
поэтому
cos 2π/3 < 0.
Разберёмся с тангенсом. Так как
45° ∈ [0°, 90°],
это угол из
I координатной четверти.
Тангенс в I четверти положителен,
поэтому
tg π/4 ˃ 0.
Получили произведение, в
котором множители разных знаков. Пользуясь правилом
<<минус на плюс даёт минус>>,
получаем
cos 2π/3 ∙ tg π/4 < 0.
ПРИМЕР:
Определите знак выражения:
sin 5π/6 ∙ cos 7π/4.
РЕШЕНИЕ:
sin 5π/6 ∙ cos 7π/4 =
sin (5 ∙ 180°/6) ∙ cos (7 ∙ 180°/4) =
sin 150° ∙ cos 315°.
Разберёмся с синусом. Так как
150° ∈ [90°, 180°],
это угол из
II координатной четверти.
Синус во II четверти положителен,
поэтому
sin 5π/6 ˃ 0.
Разберёмся с косинусом. Так как
315° ∈ [270°, 360°],
это угол из
IV координатной четверти.
Косинус в IV четверти положителен,
поэтому
cos 5π/6 < 0.
Получили произведение, в
котором множители одного знака.
Пользуясь правилом
<<плюс на плюс даёт знак плюс>>,
получаем
sin 5π/6 ∙ cos 7π/4 ˃ 0.
ПРИМЕР:
Определите знак выражения:
tg 3π/4 ∙ cos 5π/3.
РЕШЕНИЕ:
tg 3π/4 ∙ cos 5π/3 =
tg (3 ∙ 180°/4) ∙ cos (5 ∙ 180°/3) =
tg 135° ∙ cos 300°.
Разберёмся с тангенсом. Так как
135° ∈ [90°, 180°],
это угол из
II координатной четверти.
Тангенс во II четверти отрицателен,
поэтому
tg 3π/4 < 0.
Разберёмся с косинусом. Так как
300° ∈ [270°, 360°],
это угол из
IV координатной четверти.
Косинус в IV четверти положителен,
поэтому
cos 5π/3 ˃ 0.
Получили произведение, в
котором множители разных знаков. Пользуясь правилом
<<минус на плюс даёт минус>>,
получаем
tg 3π/4 ∙ cos 5π/3 < 0.
ПРИМЕР:
Определите знак выражения:
сtg 4π/3 ∙ tg π/6.
РЕШЕНИЕ:
сtg 4π/3 ∙ tg π/6 =
сtg (4 ∙ 180°/3) ∙ tg (180°/6) =
сtg 240° ∙ tg
30°.
Разберёмся с котангенсом. Так
как
240° ∈ [180°, 270°],
это угол из
III координатной четверти.
Котангенс в III четверти положителен,
поэтому
сtg 4π/3 ˃ 0.
Разберёмся с тангенсом. Так как
30° ∈ [0°, 90°],
это угол из
I координатной четверти.
Тангенс в I четверти положителен,
поэтому
tg π/6 ˃ 0.
Получили произведение, в
котором множители одинаковых знаков. Пользуясь правилом
<<плюс на плюс даёт плюс>>,
получаем
сtg 4π/3 ∙ tg π/6 ˃ 0.
ПРИМЕР:
Определите знак выражения:
cos 123° × tg 231° × sin 312°.
РЕШЕНИЕ:
Так как
123° – угол II четверти,
231° – угол III четверти,
312° – угол IV четверти, то
cos 123° < 0, tg 231° ˃ 0, sin 312° < 0
и их произведение будет
величиной положительной, то есть
cos 123° × tg 231° × sin 312° ˃ 0.
ОТВЕТ:
Знак +
Задания к уроку 7
- Задание 1
- Задание 2
- Задание 3
ДРУГИЕ УРОКИ
- Урок 1. Градусное измерение угловых величин
- Урок 2. Радианное измерение угловых величин
- Урок 3. Основные тригонометрические функции
- Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
- Урок 5. Периодичность тригонометрических функций
- Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
- Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
- Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
- Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
- Урок 11. Основные тригонометрические тождества
- Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
- Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
- Урок 14. Теорема синусов
- Урок 15. Теорема косинусов
- Урок 16. Решение косоугольных треугольников
- Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
- Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
- Урок 19. Формулы приведения (1)
- Урок 20. Формулы приведения (2)
- Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
- Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
- Урок 23. Формулы половинного аргумента
- Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение
- Урок 25. Графики функций y = sin x и y = cos x
- Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
- Урок 27. Обратные тригонометрические функции
- Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
- Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
- Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
- Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований
Знаки тригонометрических функций
Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.
угла α — это ордината (координата y ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
угла α — это абсцисса (координата x ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
угла α — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты y к координате x .
Обозначение: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .
Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:
Синим цветом обозначено положительное направление оси OY (ось ординат), красным — положительное направление оси OX (ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:
- sin α > 0, если угол α лежит в I или II координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус — это ордината (координата y ). А координата y будет положительной именно в I и II координатных четвертях;
- cos α > 0, если угол α лежит в I или IV координатной четверти. Потому что только там координата x (она же — абсцисса) будет больше нуля;
- tg α > 0, если угол α лежит в I или III координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α = y : x , поэтому он положителен лишь там, где знаки x и y совпадают. Это происходит в I координатной четверти (здесь x > 0, y > 0) и III координатной четверти ( x y II координатной четверти. Но синус во II четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ [180°; 270°], это угол из III координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны. Следовательно, cos (7π/6) IV четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) II четверть, в которой синусы положительны, т.е. sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ [90°; 180°] — снова II четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) II координатная четверть, поэтому cos (2π/3) I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) II координатной четверти, где синусы положительны. Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ [270°; 360°] — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел — такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°. Но угол 135° ∈ [90°; 180°] — это II четверть, т.е. tg (3π/4) IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0. Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) III координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ [0; 90°] — это I координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения — их произведение тоже будет положительным. Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.
В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать — именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.
Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].
Поскольку sin 2 α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8. Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] — это II координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 — неопределенность со знаками устранена.
Задача. Найдите cos α, если cos 2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].
Действуем аналогично, т.е. извлекаем квадратный корень: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о III координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.
Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,25 и α ∈ [3π/2; 2π].
Имеем: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Снова смотрим на угол: α ∈ [3π/2; 2π] — это IV координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.
Задача. Найдите tg α, если tg 2 α = 9 и α ∈ [0; π/2].
Все то же самое, только для тангенса. Извлекаем квадратный корень: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ [0; π/2] — это I координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!
Тригонометрия: определение тригонометрических функций
В этой статье мы рассмотрим тригонометрический круг и введем определения тригонометрических функций с помощью тригонометрического круга .
Впервые с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса школьники встречаются в восьмом классе в курсе геометрии. Напомню эти определения. Рассмотрим прямоугольный треугольник: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:
sin A=a/b; sin C=c/b
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:
cos A=c/b; cos C= a/b
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:
tg A=a/c; tg C=c/a.
Эти определения тригонометрических функций удобно использовать при решении геометрических задач, связанных с нахождением сторон и углов в прямоугольном треугольнике, однако они не улучшают понимания того, что из себя представляют тригонометрические функции именно как функции.
Часто во время занятий со школьниками я сталкиваюсь с тем, что они не понимают, откуда «взялись» тригонометрические функции, что они из себя представляют, и как их «готовить», чтобы легко решать уравнения и неравенства, содержащие тригонометрические функции.
Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, чтобы понять, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, как они между собой связаны, и как легко определять знаки тригонометрических функций без использования таблиц.
Косинусом угла α называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α.
Синусом угла α называется ордината (то есть координата по оси OY ) точки на единичной окружности, соответствующеий данному углу α.
Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса (x), синус — ордината (y).
Поскольку радиус окружности равен 1, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от −1 до 1:
−1 ≤ cos α ≤ 1, −1 ≤ sin α ≤ 1.
Основное тригонометрическое тождество является следствием теоремы Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):
sin 2 α+ cos 2 α = 1
Чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу α, смотрим, положительны или отрицательны её координаты по x (это косинус угла α) и по y (это синус угла α).
Купить видеокурс «ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и 13»
Знаки тригонометрических функций по четвертям — примеры определения
Общая информация
Раздел математики, который занимается изучением тригонометрических функций, называется тригонометрией. К функциям относятся следующие: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg). Существуют также и обратные им функции: арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg) и арккотангенс (arcctg).
Для нахождения знаков тригонометрических функций по четвертям рекомендуется применять специальный «инструмент». Он называется окружностью синусов и косинусов. Однако по ней можно находить не только функции, которые соответствуют ее названию, но и другие. Делается это с помощью тригонометрических тождеств.
Специалисты рекомендуют для понимания материала получить базовые знания об углах и основных тригонометрических функциях. Следует применять принцип «от простого к сложному», поскольку нужно учитывать физиологические особенности головного мозга.
Виды углов
Важной «ступенью» в освоении тригонометрии является идентификация углов. Они делятся на 7 видов. Кроме того, существует еще два типа классификации по знаку: положительные и отрицательные.
Для составления критериев, по которым математики классифицируют углы, необходимо ввести некоторую переменную. Пусть существует некоторый угол a, градусная мера которого составляет x градусов. Необходимо рассмотреть 7 случаев, в которых он измеряется только в градусной размерности:
Последний случай встречается очень часто в различных задачах, в которых следует вычислить определенное значение, упростить тригонометрическое выражение или использовать формулы приведения, а также найти разность между функциями.
Градус — это не единственная единица измерения размерности угла. Существует также и радиан, который пользуется большей популярностью, чем предыдущая единица. Согласно статистике, которая составлена математиками, при решении задач с тригонометрическим уклоном многие используют радиан (около 95,88%). Это объясняется удобством, поскольку в основном применяется тригонометрическая окружность для быстрого нахождения значений функций. Перевод одной единицы в другую осуществляется с помощью двух простых соотношений:
- В радианы: P = (a * ПИ) / 180.
- В градусы: а = (P * 180) / ПИ.
Существует 2 метода перевода: автоматизированный и ручной. В первом случае следует применять специальные радианные таблицы, программы и тригонометрическую окружность. Во втором — пользоваться формулами для преобразований. Если очень часто приходится решать задачи подобного типа, то можно создать свой инструмент. Для этого потребуется табличный процессор EXCEL. Необходимо вбить в ячейки две формулы, и тогда ручной метод «превратится» в автоматизированный.
Смысл функций
Тригонометрические функции используются не только в математике, но и в других дисциплинах (физике, электронике, микросхемотехнике, акустике и так далее). С их помощью можно описывать законы изменения различных периодических величин.
Для определения функции необходимо представить прямоугольный треугольник. Его стороны называются катетами и гипотенузой. Угол между двумя катетами является прямым, то есть он равен 90 градусам.
Синус угла — значение, которое вычисляется отношением линейного размера противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Если выразить величину через отношение прилежащего катета к гипотенузе, то она называется косинусом угла. Величина, полученная при отношении двух катетов — противолежащего к прилежащему, называется тангенсом. В случае с котангенсом, необходимо поменять числитель и знаменатель местами, то есть отношение прилежащего к противолежащему. Следует также напомнить, что все четыре функции обладают периодичностью. Для sin и cos период соответствует 2 ПИ, а для tg и ctg — ПИ.
Обратными тригонометрическими функциями являются arcsin, arccos, arctg и arcctg. Их необходимо использовать в том случае, когда нужно найти угол по заданному значению. Для этих целей применяются таблицы Брадиса, тригонометрический калькулятор и программное обеспечение, а также круг синусов и косинусов.
Определение знака
Достоверность результата зависит от правильного решения. Неверный знак функции способен кардинально его изменить. Для безошибочного определения значений потребуются еще кое-какие знания. К ним относятся следующие: понятие о системе координат и теорема Пифагора, а также умение чертить окружность с определенным радиусом.
Системы координат, которые применяются при решении задач бывают полярными и декартовыми. Последние используются чаще, чем первые. Полярные применяются для решения задач из области высшей математики, а также в других сложных дисциплинах с физико-математическим уклоном.
Дополнительные сведения
Для определения знака применяется обыкновенная система координат с двумя осями. Одна из них (ОХ) является осью абсцисс, а другая (ОУ) — ординат. Ее центром, который совпадает с центром тригонометрической окружности, является точка «О». Очень часто для работы необходимо знание теоремы Пифагора. Ее формулировка имеет следующий вид: в любом прямоугольном треугольнике выполняется равенство квадрата гипотенузы и суммы квадратов катетов. Вторая формулировка записывается в виде формулы: с^2 = a^2 + b^2 (c, a и b — гипотенуза и два катета соответственно).
Необходимо обратить внимание на следующий факт: сумма всех углов треугольника составляет 180 градусов, то есть является развернутым углом. Математически утверждение можно записать следующим образом через углы а, b и c: а + b + c = 180. Кроме того, существуют и другие соотношения между острыми углами прямоугольного треугольника: cos (a) = sin (b), cos (b) = sin (a), tg (a) = ctg (b), и tg (b) = ctg (a).
Чтобы найти знаки тангенса и котангенса по четвертям, используются такие соотношения: tg (a) = sin (a) / cos (a) и ctg (a) = cos (a) / sin (a).
Построение окружности
Сделать «инструмент», который значительно ускорит процесс решения задач довольно просто. Для этого нужно построить декартовую систему координат и единичную окружность с центром в точке О (точка пересечения осей абсцисс и ординат). Горизонтальная ось обозначается «х», а вертикальная — «у».
Рекомендуется чертить произвольную окружность. Чертеж должен быть простым и понятным. Это называется масштабирование, при котором изображение не соответствует действительному размеру объекта. Его примером является обыкновенная географическая карта. Кроме того, при проектировании очень мелких деталей применяются чертежи, которые в несколько десятков или сотен раз превышают натуральные размеры. Обозначение точки на плоскости выполняется следующим образом:
- Координаты заключаются в круглые скобки и разделяются «;».
- На первом месте стоит значение, соответствующее оси абсцисс, а на втором — ординат: (x;y).
Окружность пересекает оси в четырех точках: (1;0), (0;1), (-1;0) и (0;-1). Четвертями называются области, которые делят систему координат на четыре равные части. Отсчет выполняется от первой четверти (x>0 и y>0) против часовой стрелки:
- Значения по x и y больше 0 соответствуют первой четверти (I).
- II: x 0.
- III: x 0 и y 0 и ctg>0.
- -sin(ПИ + ПИ/4) = -sin(ПИ/4) = -cos(ПИ/4) = -sqrt(2)/2.
- tg(ПИ/4) = ctg(ПИ/4) = -sin(ПИ/4) / -cos(ПИ/4) = 1.
После расчетов нужно выполнить проверку знаков. В III четверти больше нуля только тангенс и котангенс. Однако бывают случаи, когда значение градусной меры угла превышает 360.
Свыше 2ПИ
Существует определенный тип задач, в которых величина градусной меры угла свыше 360 градусов. Например, следует вычислить значения тригонометрических функций угла -26ПИ/6. Решается она следующим образом:
- Следует выделить целую часть из -26ПИ/6 и привести к удобному виду: 26/6 = 4 + 2/6 = 4 + 1/3. Угол находится в IV четверти (движение по часовой стрелке).
- -sin(4ПИ + ПИ/3) = -sin(ПИ/3) = — sqrt(3)/2.
- cos(ПИ/3) = 1/2.
- -tg(ПИ/3) = — sqrt(3).
- -сtg(ПИ/3) = — 1/sqrt(3).
Во втором, четвертом и пятом пунктах функции являются нечетными. Если посмотреть на график, то движение осуществляется по часовой стрелке, поскольку угол является отрицательным числом. Функция косинуса является четной. Ее числовое значение — положительная величина. Последним этапом считается проверка знаков. Угол находится в IV четверти. Значения функций совпадают.
Таким образом, при решении задач по тригонометрии следует применять тригонометрическую окружность, с помощью которой можно безошибочно определять знак функции.
http://ege-ok.ru/2011/12/29/trigonometriya-opredelenie-trigonom
http://nauka.club/matematika/znaki-trigonometricheskikh-funktsiy.html