Как найти знаки чисел - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Числовая окружность

В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, (frac<π><2>, frac<π><3>, frac<7π><4>, 10π, -frac<29π><6>)) разбирается в этой статье .

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют действительным числам , расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки — положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (t);

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (–t).

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен (1). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках (1) и (-1).

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы (l=2πR) мы получим:

Длина числовой окружности равна (2π) или примерно (6,28).

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» — точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности — каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте (1) на оси (x) и (0) на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен (1)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу (2), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы (3) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: (2π). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа (π) : ( frac<π><2>),(-frac<π><2>),(frac<3π><2>), (2π). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с (π). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье ).

Главное свойство числовой окружности

Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.

Такая вот математическая полигамия.

И следствие из этого правила:

Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:

Если хотите узнать логику этой формулы, и зачем она нужна, посмотрите это видео .

В данной статье мы рассмотрели только теорию о числовой окружности, о том как расставляются точки на числовой и окружности и принципе, как с ней работать вы можете прочитать здесь .

Что надо запомнить про числовую окружность:

Урок «Числовая окружность»

Краткое описание документа:

Видеоуроки относятся к наиболее эффективным средствам обучения, особенно таких школьных дисциплин, как математика. Поэтому автор данного материала собрал в единое целое только полезную, важную и грамотную информацию.

Данный урок рассчитан на 11:52 минут. Практически столько же времени требуется учителю на уроке для объяснения нового материала по данной теме. Хотя главным достоинством видеоурока будет тот факт, что обучающиеся будут внимательно слушать то, о чем говорит автор, не отвлекаясь на посторонние темы и разговоры. Ведь если обучающиеся будут слушать не внимательно, то упустят важный момент урока. А если материал будет объяснять учитель сам, то его обучающиеся смогут легко отвлечь от главного своими разговорами на отвлеченные темы. И, конечно, становится понятно, какой способ будет боле рационален.

Начало урока автор посвящает повторению тех функций, с которыми обучающиеся знакомились ранее в курсе алгебры. И первыми предлагается начать изучать – тригонометрические функции. Чтобы их рассматривать и изучать требуется новая математическая модель. И этой моделью становится числовая окружность, которая, как раз, и заявлена в теме урока. Для этого вводится понятие единичной окружности, задается ее определение. Далее на рисунке автор показывает все компоненты такой окружности, и что пригодится обучающимся для дальнейшего обучения. Дугами обозначаются четверти.

Затем автор предлагает рассмотреть числовую окружность. Здесь же он делает замечание, что удобнее использовать единичную окружность. На этой окружности показано, как получается точка M, если t>0, t 0(тэ больше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины t. Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).

2. Конспект для ученика по теме «Числовая окружность»

Что такое числовая окружность? Для чего она нужна? И как она связана с тригонометрией?

Очень часто термины тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность плохо понимаются. И совершенно зря. Эти понятия – мощный и универсальный помощник во всех разделах тригонометрии. Фактически, это легальная шпаргалка! Нарисовал тригонометрический круг – и сразу увидел ответы! Заманчиво? Сегодня мы будем учиться использовать единичную окружность.

Для успешной работы с единичной окружностью нужно знать всего три вещи.

Первое. Надо знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в применении к прямоугольному треугольнику.

Второе. Надо знать, что такое тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность.

Третье. Надо знать, как отсчитывать углы на тригонометрическом круге, и что такое градусная и радианная меры углов.

Какой угол называется углом поворота?

Угол поворота – это угол, полученный вращением луча около его начала О от начального положения ОА до конечного положения ОВ.

Какой угол называется углом в 1?

Угол в 1— это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна части окружности.

Какой угол называется углом в 1 радиан?

Угол в 1 радиан — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Как выразить градусную меру угла в радианной?

Как определить какой четверти принадлежит угол?

В зависимости от того в какой координатной четверти окажется начальный радиус, угол α называют углом этой четверти:

0 Главная

Математика

10 класс

1. Алгебра

1.5 Числовая окружность

Текущая страница

источники:

http://urokimatematiki.ru/urok-chislovaya-okruzhnost-831.html

http://shkolnik.pro/publikacii/matematika/desyati_klass/1-algebra-10-klass/chislovaya-okruzhnost-10/konspekt-dlya-uchenika-po-teme-chisl-okr-st.html

Источник

В арифметике знак числа real определяет его положение относительно нуля. а имя считается положительным, если он больше или равен нулю; он считается отрицательным, если он меньше или равен нулю. в имя поэтому сам по себе ноль является как положительным, так и отрицательным.

А именно, как узнать знак расчета?

Внезапная сильная боль в спине (с одной стороны, под ребрами), отдающая вниз в брюшную полость и пах, часто в половую область, в яичко или вульву. …
Тошнота и рвота;
Кровь в моче (не всегда видна невооруженным глазом) или мутная моча;

И, как определить знак f на R?

Если функция f допускает положительный минимум на интервале определения I, тогда эта функция положительна на I. Минимум на R функции f равен 1, поэтому он положительный. Теперь функция, допускающая положительный минимум на интервале определения I, положительна над I.

Тогда как определить знак аффинной функции? Мы можем сохранить порядок зодиака благодаря следующему рассуждению: если направляющий коэффициент a положителен, то Fonction поэтому сначала увеличивается отрицательное, а затем положительное. если направляющий коэффициент a отрицателен, Fonction уменьшается, поэтому сначала положительный, затем отрицательный.

Как определить знак функции логарифма?

Недвижимость: функция логарифма natural вогнута над 0; + ∞⎤⎦⎡⎣. Доказательство: для любого действительного x> 0 (lnx) ‘= 1 x. (lnx) ”= — 1 x2 <0, следовательно, производная от Fonction ln строго убывает на 0; + ∞⎤⎦⎡⎣, поэтому функция логарифма népérien вогнута на этом интервале.

Как определить знак силы?

Если показатель четный, то мощность положительный. Если показатель нечетный, то мощность отрицательный.

Как узнать, есть ли у вас почечная колика?

Симптомы: как распознать la почечная колика ?

Кратковременная (от 10 минут до нескольких часов) повторяющаяся боль.
Появление пищеварительных симптомов, таких как тошнота, вздутие живота, рвота и т. Д.
Безуспешные позывы к мочеиспусканию.

Какой знак у этого продукта?

Знак продукта нескольких относительных чисел: — Если продукт имеет четное количество отрицательных чисел, то продукт положительный. — Если продукт имеет нечетное количество отрицательных чисел, то продукт отрицательный.

Как найти вариации F?

Составьте таблицу вариация f на я

f будучи дифференцируемым на I, для любого значения x, включенного в I, мы имеем: Если f‘(x)> 0 для всех x, принадлежащих I, то f строго возрастает по I, Si f‘(x) <0 для всех x, принадлежащих I, то f строго убывает на I.

Как вывести знак gx?

Как вывести знак g ( x ) помимо расчета g ( x ) = 0 ????

Рассчитать g ‘( x ) и изучите его Сигне : Я нашел g ‘( x знак равно x -3) е ^ (- x )…
Изучите направление изменения функции g на Р. Укажите g (3) (мы не требуем пределов плюс бесконечность и минус бесконечность) …
En вывести знак g ( x ) на R:

Как найти знак F секунды?

Графическое представление

если она положительна на интервале, наклон увеличивается, кривизна направлена вверх, функция называется «выпуклой» на этом интервале;
если она отрицательна на интервале, наклон уменьшается, кривизна направлена вниз, функция называется «вогнутой» на этом интервале;

Как определить знак выражения?

Изучите знак выражения в зависимости от переменной x это определить для которых значения x,выражение может быть положительным, отрицательным или нулевым. Что вы должны знать прежде всего: сумма двух положительных чисел является положительным числом. сумма двух отрицательных чисел является отрицательным числом.

Как узнать знак обратной функции?

La обратная функция представлен кривой, называемой гиперболой, которая симметрична относительно начала системы отсчета, то есть точки O координат (0; 0). Эта симметрия означает, что если точка (x₁ И₁) принадлежит кривой, то точка (-x₁ ; -у₁) тоже принадлежит ему.

Как узнать, положительна ли функция?

Мы говорим о Fonction f qu‘она положительный на интервале si, для всех x в этом интервале af (x) ≥ 0. Кривая, представляющая функция затем расположен выше горизонтальной оси, когда мы ограничиваемся точками, абсцисса которых принадлежит рассматриваемому интервалу.

Как определить знак функции?

Для определения направления изменения Fonction е, мы изучить знак его производной: f ′ (x). Чтобы интерпретировать это Сигне : Если f ′ (x) имеет Сигне + на интервале, то f увеличивается на этом интервале. Если f ′ (x) имеет Сигне — на интервале, то на этом интервале f убывает.

Как изучить функцию ln?

Будь там Fonction f, имеющее выражение: f (x) = ln [u (x)] и пусть — интервал I. Во-первых, для определения f на I необходимо для любого x из I: u (x)> 0. Если, кроме того, u дифференцируем на I, поскольку u (I) включен в] 0; [ или ln дифференцируема, то по композиции f дифференцируема на I.

Как показать, что функция ln нечетная?

если кривая является симметрично относительно оси y, функция пара. если кривая является симметричный относительно начала координат, функция нечетная.

Как изменить знак власти?

Изменить знак экспонента (положительная или отрицательная)

Поместите мощность на дробь. 1 ^{возраста} шаг состоит в том, чтобы появилась дробь. …
Обратить дробь. 2 ^ème шаг состоит в том, чтобы перевернуть дробь: числитель становится знаменателем (и наоборот).

Как рассчитать дробную степень?

Сила дробный это корень: 2 ¹ ^/ ² знак равно
…

16 =	2 ⁴
2 ¹ . 2 ³	= 2 x 8
2 ¹ ^, ⁵ . 2 ² ^, ⁵	= 2,828… х 5,656…
2 ² . 2 ²	= 4 x 4
2 ^1,821 . 2 ^2,179	= 3,533… х 4,528…

Как справиться с приступом почечной колики?

Лечение почечная колика

установка мочеточникового катетера;
эндоскопия мочевыводящих путей: уретероскопия с лазерной фрагментацией камней,
экстракорпоральная фрагментация ударными волнами (экстракорпоральная литотрипсия),
чрескожная нефролитотомия …

Какое обследование при почечной колике?

в почечная колика может быть достаточно простого, простого рентгена (брюшная полость без подготовки) в сочетании с ультразвуком (или спиральной компьютерной томографии без инъекции). Чтобы беременной женщине эхо-допплер — этоэкспертиза выбор.

Что вызывает почечную колику?

Среди людей здесь иметь благоприятную почву, недостаточное увлажнение и диета с высоким содержанием белка и соли способствует образованию мочевых камней. Люди здесь страдают ожирением или повышенным артериальным давлением, также имеют более высокий риск мочекаменной болезни.

Что такое произведение числа?

Мы называем продукт de nombres целое, действительное, сложное или иное результат их умножения. … Умноженные элементы называются факторами продукт.

Что означает произведение нескольких факторов?

В продукт нескольких факторов, Если ряд факторы отрицательный является PAIR, затем продукт положительный; Если количество факторы отрицательный является ODD, тогда продукт отрицательный.

Как быстро узнать знак произведения нескольких относительных чисел?

Обозначить Сигне du продукт считая имя негативные факторы. Если имя странно, то продукт отрицательный. Если имя даже тогда продукт положительный.

Для получения дополнительных статей посетите наш раздел Руководство и не забудьте поделиться статьей!

Источник

Функция знак числа

Знак числа x обозначают символом sgn x (от латинского signum — знак).

Запись sgn x читают «сигнум икс».

Определение

Функция, которая каждому действительному значению числа x ставит в соответствие:

число 1, если x>0

число -1, если x<0

число 0, если x=0, называется функцией знака числа и обозначается y=sgn x.

$[ {mathop{rm sgn}} x = left{ begin{array}{l} 1,x > 0, \ - 1,x < 0, \ 0,x = 0. \ end{array} right. ]$

Свойства функции знака числа

1) Функция знак числа определена на множестве действительных чисел,

то есть её область определения D(y): x∈(-∞;+∞).

2) Область значений функции y=sgn x состоит из трёх чисел: единицы, минус единицы и нуля:

E(y): y∈{1; -1; 0}.

3) y=sgn x — нечётная функция:

sgn (-x)= -sgn x (а значит, график y=sgn x симметричен относительно начала координат — точки O(0;0)).

График функции y=sgn x

Стрелки на графике означают, что соответствующие точки — (0; 1) и (0; -1) — не принадлежат графику. Точка O (0;0) принадлежит графику, поэтому она изображается закрашенной.

Другой вариант показать, что точки не принадлежат графику — изобразить их выколотыми:

Пример.

Вычислить sgn (x²-2x-8).

Решение:

Решаем квадратное уравнение x²-2x-8=0. Его корни x₁=4, x₂= -2. Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки, в каждом из которых выражение имеет свой знак.

Определяем знак x²-2x-8 на каждом из полученных промежутков. Для этого выбираем любое число из любого интервала. Например, при x=0 0²-2·0-8= -8<0, значит, на промежутке, которому принадлежит 0, ставим знак «-«. Остальные знаки чередуем в шахматном порядке:

Таким образом, при x∈(-∞; -2)∪(4;+∞) x²-2x-8>0;

при x∈(-2; 4) x²-2x-8<0;

при x=-2 и x=4 x²-2x-8=0.

Отсюда

$[ {mathop{rm sgn}} (x^2 - 2x - 8) = ]$

$[ = left{ begin{array}{l} 1,x in ( - infty ; - 2) cup (4; + infty ), \ - 1,x in ( - 2;4), \ 0,x = - 2,x = 4. \ end{array} right. ]$

Функция y=sgn x введена немецким математиком Л. Кронекером в 1878 г.

Другое обозначение функции знака числа — y=sign x.

Источник

9 / 9 / 1

Регистрация: 22.02.2011

Сообщений: 198

Как узнать знак числа?

03.06.2011, 18:20. Показов 29263. Ответов 6

как узнать знак числа для float или double.
пишу в win32.

Freelance

2890 / 1825 / 356

Регистрация: 09.09.2010

Сообщений: 3,841

03.06.2011, 18:21

Прировнять к нулю, не ?

Каратель

6608 / 4027 / 401

Регистрация: 26.03.2010

Сообщений: 9,273

Записей в блоге: 1

03.06.2011, 18:23

Сообщение от asics

Прировнять к нулю, не ?

мб сравнить с нулем?)

Freelance

2890 / 1825 / 356

Регистрация: 09.09.2010

Сообщений: 3,841

03.06.2011, 18:25

Сообщение от Maxwe11

мб сравнить с нулем?)

Да да, просто не так выразился.

easybudda

Модератор

11885 / 7258 / 1720

Регистрация: 25.07.2009

Сообщений: 13,276

03.06.2011, 18:25

korez,

1
2
3

double d;
scanf("%lf", &d);
printf("Is %sn", d < 0.0 ? "negative" : d > 0.0 ? "positive" : "null");

4 / 4 / 0

Регистрация: 22.09.2009

Сообщений: 69

05.10.2016, 00:44

Поднимаю вопрос! а вот как узнать знак когда в переменной ноль. -0 равен 0, а как узнать какой у 0 знак???? Скажите что такого не бывает, а я скажу бывает. Вот анимация хранится в углах эйлера, и зачемто(какого спрашивается) там есть углы равные -0. Когда я перевожу их в квантернионы то этот -0 тоже переходит в квантернион и при последующих перемножениях квантерниона ломает повороты. Ну да ладно отошел от темы, может расковырять переменную побитово и считать тот бит который хранит этот минус?

Добавлено через 2 часа 12 минут
Нашел функцию в math.h — signbit возвращает true если знак отрицательный!

meJevin

161 / 153 / 92

Регистрация: 18.11.2015

Сообщений: 677

05.10.2016, 05:44

Сообщение от Vetos

может расковырять переменную побитово и считать тот бит который хранит этот минус?

Через copysign тоже можно:

C++

#include <iostream>
#include <conio.h>
#include <cmath>
 
int main()
{
    
    float a = -0.0000;
 
    auto i = std::copysignf(1, a);
 
    std::cout << (i == -1 ? "Negative" : "Positive") << std::endl;
 
    _getch();
}

Источник

Знаки тригонометрических функций

Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.

угла α — это ордината (координата y ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

угла α — это абсцисса (координата x ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

угла α — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты y к координате x .

Обозначение: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .

Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:

Синим цветом обозначено положительное направление оси OY (ось ординат), красным — положительное направление оси OX (ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:

sin α > 0, если угол α лежит в I или II координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус — это ордината (координата y ). А координата y будет положительной именно в I и II координатных четвертях;
cos α > 0, если угол α лежит в I или IV координатной четверти. Потому что только там координата x (она же — абсцисса) будет больше нуля;
tg α > 0, если угол α лежит в I или III координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α = y : x , поэтому он положителен лишь там, где знаки x и y совпадают. Это происходит в I координатной четверти (здесь x > 0, y > 0) и III координатной четверти ( x < 0, y < 0).

Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции — синуса, косинуса и тангенса — на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:

Заметьте: в своих рассуждениях я ни разу не говорил о четвертой тригонометрической функции — котангенсе. Дело в том, что знаки котангенса совпадают со знаками тангенса — никаких специальных правил там нет.

Теперь предлагаю рассмотреть примеры, похожие на задачи B11 из пробного ЕГЭ по математике, который проходил 27 сентября 2011. Ведь лучший способ понять теорию — это практика. Желательно — много практики. Разумеется, условия задач были немного изменены.

sin (3π/4);
cos (7π/6);
tg (5π/3);
sin (3π/4) · cos (5π/6);
cos (2π/3) · tg (π/4);
sin (5π/6) · cos (7π/4);
tg (3π/4) · cos (5π/3);
ctg (4π/3) · tg (π/6).

План действий такой: сначала переводим все углы из радианной меры в градусную (π → 180°), а затем смотрим в какой координатной четверти лежит полученное число. Зная четверти, мы легко найдем знаки — по только что описанным правилам. Имеем:

sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Поскольку 135° ∈ [90°; 180°], это угол из II координатной четверти. Но синус во II четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ [180°; 270°], это угол из III координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны. Следовательно, cos (7π/6) < 0;
tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Поскольку 300° ∈ [270°; 360°], мы находимся в IV четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) < 0;
sin (3π/4) · cos (5π/6) = sin (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/6) = sin 135° · cos 150°. Разберемся с синусом: т.к. 135° ∈ [90°; 180°], это II четверть, в которой синусы положительны, т.е. sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ [90°; 180°] — снова II четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) < 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) · tg (π/4) = cos (2 · 180°/3) · tg (180°/4) = cos 120° · tg 45°. Смотрим на косинус: 120° ∈ [90°; 180°] — это II координатная четверть, поэтому cos (2π/3) < 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ [0°; 90°] — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) < 0;
sin (5π/6) · cos (7π/4) = sin (5 · 180°/6) · cos (7 · 180°/4) = sin 150° · cos 315°. Работаем с синусом: поскольку 150° ∈ [90°; 180°], речь идет о II координатной четверти, где синусы положительны. Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ [270°; 360°] — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел — такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°. Но угол 135° ∈ [90°; 180°] — это II четверть, т.е. tg (3π/4) < 0. Аналогично, угол 300° ∈ [270°; 360°] — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0. Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) < 0;
ctg (4π/3) · tg (π/6) = ctg (4 · 180°/3) · tg (180°/6) = ctg 240° · tg 30°. Смотрим на аргумент котангенса: 240° ∈ [180°; 270°] — это III координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ [0; 90°] — это I координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения — их произведение тоже будет положительным. Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.

В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать — именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.

Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].

Поскольку sin 2 α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8. Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] — это II координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 — неопределенность со знаками устранена.

Задача. Найдите cos α, если cos 2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].

Действуем аналогично, т.е. извлекаем квадратный корень: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о III координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.

Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,25 и α ∈ [3π/2; 2π].

Имеем: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Снова смотрим на угол: α ∈ [3π/2; 2π] — это IV координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.

Задача. Найдите tg α, если tg 2 α = 9 и α ∈ [0; π/2].

Все то же самое, только для тангенса. Извлекаем квадратный корень: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ [0; π/2] — это I координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!

Знаки тригонометрических функций по четвертям

У математики есть одно классное преимущество перед другими предметами – здесь запоминать надо по минимуму, ведь подавляющее большинство теорем или свойств можно вывести из предыдущих тем. Это касается и знаков тригонометрических функций — их совершенно точно не нужно учить, достаточно просто помнить определение синуса и косинуса.

Тем, кто забыл, напомню:
— синус – это ордината точки на числовой окружности;
— косинус – это абсцисса точки на числовой окружности.

Значит, чтоб определить знак синуса достаточно найти точку на числовой окружности и взглянуть положительная у неё ордината или отрицательная. Аналогично у косинуса — найдите точку на числовой окружности и проведите перпендикуляр до оси косинусов: если попали в положительную часть оси, значит косинус положителен, в отрицательную — отрицателен. C тангенсом и котангенсом разберетесь сами? Если нет, пишите вопросы в комментарии!

Бонус:

Определения и знаки синуса, косинуса, тангенса угла

Тип урока: систематизации знаний и промежуточного контроля.

Оборудование: тригонометрический круг, тесты, карточки с заданиями.

Цели урока: систематизировать изученный теоретический материал по определениям синуса, косинуса, тангенса угла; проверить степень усвоения знаний по данной теме и применение на практике.

Задачи:

Обобщить и закрепить понятия синуса, косинуса и тангенса угла.
Формировать комплексное представление о тригонометрических функциях.
Способствовать выработке у учащихся желания и потребности изучения тригонометрического материала; воспитывать культуру общения, умение работать в группах и потребности в самообразовании.

«Кто смолоду делает и думает сам, тот
становится потом, надёжнее, крепче, умнее.

I. Организационный момент

Класс представлен тремя группами. В каждой группе консультант.
Учитель сообщает тему, цели и задачи урока.

II. Актуализация знаний (фронтальная работа с классом)

1) Работа в группах по заданиям:

1. Сформулировать определение sin угла.

– Какие знаки имеет sin α в каждой координатной четверти?
– При каких значениях имеет смысл, выражение sin α, и какие значения оно может принимать?

2. Вторая группа те – же вопросы для cos α.

3. Третья группа ответы готовит по тем же вопросам tg α и ctg α.

В это время трое учащихся самостоятельно работают у доски по карточкам (представители разных групп).

Практическая работа.
С помощью единичной окружности вычислить для угла 50 , 210 и – 210 значения sin α, cos α и tg α.

Определить знак выражения: tg 275; cos 370; sin 790; tg 4,1 и sin 2.

1) Вычислить:
2) Сравнить: cos 60 и cos 2 30 – sin 2 30

2) Устно:

а) Предложен ряд чисел: 1; 1,2; 3; , 0, , – 1. Среди них есть лишние. Какое свойство sin α или cos α могут выражать эти числа (Может ли sin α или cos α принимать эти значения).
б) Имеет ли смысл выражение: cos (–); sin 2; tg 3: ctg (– 5); ; ctg0;
ctg (– π). Почему?
в) Существует ли наименьшее и наибольшее значение sin или cos, tg, ctg.
г) Верно ли?
1) α = 1000 является углом II четверти;
2) α = – 330 является углом IV четверти.
д) Числам соответствует одна и та же точка на единичной окружности.

3) Работа у доски

№ 567 (2; 4) – Найти значение выражения
№ 583 (1-3) Определить знак выражения

Домашнее задание: таблица в тетради. № 567(1, 3) № 578

III. Усвоение дополнительных знаний. Тригонометрия в ладони

Учитель: Оказывается, значения синусов и косинусов углов «находятся» на вашей ладони. Протяните руку (любую) и разведите как можно сильнее пальцы (как на плакате). Приглашается один ученик. Мы измеряем углы между нашими пальцами.
Берется треугольник, где есть угол в 30, 45 и 60 90 и прикладываем вершину угла к бугру Луны на ладони. Бугор Луны находится на пересечении продолжений мизинца и большого пальца. Одну сторону совмещаем с мизинцем, а другую сторону – с одним из остальных пальцев.
Оказывается между мизинцем и большим пальцем угол 90, между мизинцем и безымянным – 30, между мизинцем и средним – 45, между мизинцем и указательным – 60. И это у всех людей без исключения

Если пальцы считать лучами, исходящими из бугра Луны на ладони, то можно считать, что направление мизинца соответствует началу отсчета углов, т.е. 0.
Введем нумерацию пальцев:

мизинец № 0 – соответствует 0,
безымянный № 1 – соответствует 30,
средний № 2 – соответствует 45,
указательный № 3 – соответствует 60,
большой № 4 – соответствует 90.

Источник