Как найти знаменатель геометрической прогрессии онлайн

Эта математическая программа находит ( b_n ) и первых ( n ) членов
геометрической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел ( b_1, q ) и ( n ).
Числа ( b_1) и ( q ) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной
дроби ( ( 2,5 ) ) и в виде обыкновенной дроби ( ( -5frac{2}{7} ) ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел

В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например,
дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных
номеров в специальных картотеках.

В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит.
Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a₁, a₂, a₃, …, a_N
где N — число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число a_n.

В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a₁, a₂, a₃, …, a_n, … .

Число a₁ называют первым членом последовательности, число a₂ — вторым членом последовательности,
число a₃ — третьим членом последовательности и т. д.
Число a_n называют n-м (энным) членом последовательности, а натуральное число n — его номером.

Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, …, n², (n + 1)², …
а₁ = 1 — первый член последовательности; а_n = n² является n-м членом последовательности;
a_n+1= (n + 1)² является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности.
Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена.
Например, формулой ( a_n=frac{1}{n}, ; n in mathbb{N} ) задана последовательность
( 1, ; frac{1}{2} , ; frac{1}{3} , ; frac{1}{4} , dots,frac{1}{n} , dots )

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 4 см. Построим треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного
треугольника. По свойству средней линии треугольника сторона второго треугольника равна 2 см. Продолжая аналогичные построения,
получим треугольники со сторонами ( 1, ; frac{1}{2}, ; frac{1}{4} ) см и т.д. Запишем последовательность длин сторон этих
треугольников: ( 4, ; 2, ; 1, ; frac{1}{2}, ; frac{1}{4}, ; frac{1}{8}, dots )

В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число ( frac{1}{2} )

Определение.
Числовая последовательность
b₁, b₂, b₃, …, b_n, …
называется геометрической прогрессией если для всех натуральных n выполняется равенство
b_n+1 = b_nq,
где ( b_n neq 0 ), q — некоторое число, не равное нулю.

Из этой формулы следует, что ( frac{ b_{n+1}}{b_n}=q ). Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

По определению геометрической прогрессии
( b_{n+1} = b_n q, quad b_{n-1}=frac{b_n}{q}, )
откуда
( b_n^2 = b_{n-1}b_{n+1}, quad n>1 )

Если все члены геометрической прогрессии положительны, то ( b_n=sqrt{b_{n-1}b_{n+1}} ), т.е. каждый член прогрессии, начиная
со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «геометрическая» прогрессия.

Отметим, что если b₁ и q заданы, то остальные члены геометрической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле
b_n+1 = b_nq. Однако для больших n это трудоёмко. Обычно пользуются формулой n-го члена.

Также не сложно получить формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии зная m-ый член.
Запишем формулы n-го члена геометрической прогрессии и m-го члена:
( b_n = b_1q^{n-1} )
$$ b_m = b_1q^{m-1} Rightarrow b_1 = frac{b_m}{q^{m-1}} $$
Подставляя b₁ в первое равенство получим:
$$ b_n = frac{b_m}{q^{m-1}} cdot q^{n-1} = b_m cdot q^{n-1-(m-1)} = b_m cdot q^{n-m} $$
Таким образом мы получили формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии зная m-ый член:
( b_n = b_m cdot q^{n-m} )

Найдем сумму
S = 1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵.
Умножим обе части равенства на 3:
3S = 3 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶.
Перепишем эти два равенства так:
S = 1 + (3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵),
3S = (3 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵) + 3⁶.

Выражения, стоящие в скобках, одинаковы. Поэтому, вычитая из нижнего равенства верхнее, получаем:
3S — S = 3⁶ — 1,    2S = 3⁶ — 1,
$$ S=frac{3^6 — 1}{2} = frac{729 — 1}{2} = 364 $$

Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрессию ( b_1, ; b_1q, ; dots, ; b_1q^n, ; dots ) знаменатель
которой ( q neq 1 ).
Пусть Sⁿ — сумма n первых членов этой прогрессии:
( S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + … + b_1q^{n-1} )
Тогда сумма n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем ( q neq 1 ) равна
$$ S_n = frac{b_1(q^n-1)}{q-1} $$

Можно получить ещё одну формулу для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии:
$$ S_n = frac{b_1(q^n-1)}{q-1} = frac{b_1q^n — b_1}{q-1} = frac{b_1q^{n-1} cdot q — b_1}{q-1} $$
Так как ( b_n=b_1q^{n-1} ), то можно подставить ( b_n ) в предыдущее выражение:
$$ S_n = frac{b_n q — b_1}{q-1} $$