Вася Иванов
Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.
Вася Иванов
Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.
Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, каждый следующий член которой получается из предыдущего умножением его на постоянное число, не равное нулю.
Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой (q).
Например, последовательность (3); (6); (12); (24); (48)… является геометрической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего в два раза (иначе говоря, может быть получен из предыдущего умножением его на два):
Как и любую последовательность, геометрическую прогрессию обозначают маленькой латинской буквой. Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами). Их обозначают той же буквой, что и геометрическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.
Например, геометрическая прогрессия (b_n = {3; 6; 12; 24; 48…}) состоит из элементов (b_1=3); (b_2=6); (b_3=12) и так далее. Иными словами:
|
порядковый номер элемента |
(1) |
(2) |
(3) |
(4) |
(5) |
… |
|
обозначение элемента |
(b_1) |
(b_2) |
(b_3) |
(b_4) |
(b_5) |
… |
|
значение элемента |
(3) |
(6) |
(12) |
(24) |
(48) |
… |
Если вы поняли вышеизложенную информацию, то уже сможете решить большинство задач на эту тему.
Пример (ОГЭ): Геометрическая прогрессия задана условиями (b_1=-2); (q=7). Найдите (b_4).
Решение:
|
|
Зная первый член и знаменатель, последовательно вычисляем элементы, пока не дойдем до нужного. |
|
|
Можно писать ответ. |
Ответ: (-686).
Пример (ОГЭ): Даны первые три члена прогрессии (324); (-108); (36)…. Найдите (b_5).
Решение:
|
|
Чтобы продолжить последовательность, нам нужно знать знаменатель. Найдем его из двух соседних элементов: на что нужно умножить (324), чтоб получилось (-108)? |
|
(324·q=-108) |
Отсюда без проблем вычисляем знаменатель. |
|
(q=-) (frac{108}{324})(=-) (frac{1}{3}) |
Теперь мы легко находим нужный нам элемент. |
|
|
Готов ответ. |
Ответ: (4).
Пример: Прогрессия задана условием (b_n=0,8·5^n). Какое из чисел является членом этой прогрессии:
а) (-5) б) (100) в) (25) г) (0,8) ?
Решение: Из формулировки задания очевидно, что одно из этих чисел точно есть в нашей прогрессии. Поэтому мы можем просто вычислять ее члены по очереди, пока не найдем нужное нам значение. Так как у нас прогрессия задана формулой n-го члена, то вычисляем значения элементов, подставляя разные (n):
(n=1); (b_1=0,8·5^1=0,8·5=4) – такого числа в списке нет. Продолжаем.
(n=2); (b_2=0,8·5^2=0,8·25=20) – и этого тоже нет.
(n=3); (b_3=0,8·5^3=0,8·125=100) – а вот и наш чемпион!
Ответ: (100).
Пример (ОГЭ): Даны несколько идущих последовательно друг за другом членов геометрической прогрессии …(8); (x); (50); (-125)…. Найдите значение элемента, обозначенного буквой (x).
Решение:
|
|
Найти (x), можно, например, умножив (8) на знаменатель прогрессии. Однако мы его не знаем, поэтому сначала найдем знаменатель из двух известных соседних членов. |
|
(50·q=-125) |
|
|
(q=-) (frac{125}{50})(=-)(2,5) |
Теперь вычисляем икс, умножая (8) на (-2,5). |
|
|
Задача решена. |
Ответ: (-20).
Пример (ОГЭ): Прогрессия задана условиями (b_1=7), (b_{n+1}=2b_n). Найдите сумму первых (4) членов этой прогрессии.
Решение:
|
(b_1=7), |
Мы знаем первый элемент и имеем рекуррентное соотношение — формулу для вычисления следующего элемента по предыдущему. |
|
|
(n=1); (b_{1+1}=2b_1 :: ⇔ :: b_2=2·7=14) |
Теперь найдем сумму. |
|
|
(S_4=b_1+b_2+b_3+b_4=) |
Ответ готов. |
Ответ: (105).
Пример (ОГЭ): Известно, что в геометрической прогрессии (b_6=-11), (b_9=704). Найдите знаменатель (q).
Решение:
|
|
Из схемы слева видно, что чтобы «попасть» из (b_6) в (b_9) – мы делаем три «шага», то есть три раза умножаем (b_6) на знаменатель прогрессии. Иными словами (b_9=b_6·q·q·q=b_6·q^3). |
|
(b_9=b_6·q^3) |
Подставим известные нам значения. |
|
(704=(-11)·q^3) |
«Перевернем» уравнение и разделим его на ((-11)). |
|
(q^3=) (frac{704}{-11})(::: ⇔ ::: )(q^3=-) (64) |
Какое число в кубе даст (-64)? |
|
(q=-4) |
Ответ найден. Его можно проверить, восстановив цепочку чисел от (-11) до (704). |
|
|
Все сошлось — ответ верен. |
Ответ: (-4).
Важнейшие формулы
Как видите, большинство задач на геометрическую прогрессию можно решать чистой логикой, просто понимая суть (это вообще характерно для математики). Но иногда знание некоторых формул и закономерностей ускоряет и существенно облегчает решение. Мы изучим две такие формулы.
Формула (n)-го члена: (b_n=b_1·q^{n-1}), где (b_1) – первый член прогрессии; (n) – номер искомого элемента; (q) – знаменатель прогрессии; (b_n) – член прогрессии с номером (n).
С помощью этой формулы можно, например, решить задачу из самого первого примера буквально в одно действие.
Пример (ОГЭ): Геометрическая прогрессия задана условиями (b_1=-2); (q=7). Найдите (b_4).
Решение:
|
(b_4=b_1·q^3) |
Нам нужен четвертый член, вот и вычисляем его сразу, напрямую, не находя всех промежуточных. |
|
|
(b_4=(-2)·7^3=(-2)·343=-686). |
Готов. |
Ответ: (-686).
Этот пример был простым, поэтому формула нам облегчила вычисления не слишком сильно. Давайте разберем задачку чуть посложнее.
Пример: Геометрическая прогрессия задана условиями (b_1=20480); (q=frac{1}{2}). Найдите (b_{12}).
Решение:
|
(b_{12}=b_1·q^{11}) |
Действуем как в предыдущей задаче. |
|
|
(b_4=20480·(frac{1}{2})^{11}=20480·frac{1}{2048}=10.) |
Есть ответ. |
Ответ: (10).
Конечно, возводить (frac{1}{2}) в (11)-ую степень не слишком радостно, но всё же проще чем (11) раз делить (20480) на два.
Сумма (n) первых членов: (S_n=)( frac{b_1·(q^n-1)}{q-1}), где (b_1) – первый член прогрессии; (n) – количество суммируемых элементов; (q) – знаменатель прогрессии; (S_n) – сумма (n) первых членов прогрессии.
Пример (ОГЭ): Дана геометрическая прогрессия (b_n), знаменатель которой равен (5), а первый член (b_1=frac{2}{5}). Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:
|
(S_6=)( frac{b_1·(q^6-1)}{q-1}) |
Все данные есть, сразу вычисляем ответ. |
|
(S_6=)( frac{frac{2}{5}·(5^6-1)}{5-1})(=)( frac{frac{2}{5}·15624}{4})(=) |
Ответ готов. |
Ответ: (1562,4).
И вновь мы могли решить задачу «в лоб» – найти по очереди все шесть элементов, а затем сложить результаты. Однако количество вычислений, а значит и шанс случайной ошибки, резко возросли бы.
Для геометрической прогрессии есть еще несколько формул, которые мы не стали рассматривать тут из-за их низкой практической пользы. Вы можете найти эти формулы здесь.
Возрастающие и убывающие геометрические прогрессии
У рассмотренной в самом начале статьи прогрессии (b_n = {3; 6; 12; 24; 48…}) знаменатель (q) больше единицы и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими.
Если же (q) меньше единицы, но при этом положителен (то есть, лежит в пределах от нуля до единицы), то каждый следующий элемент будет меньше чем предыдущий. Например, в прогрессии (4); (2); (1); (0,5); (0,25)… знаменатель (q) равен (frac{1}{2}).
Эти прогрессии называются убывающими. Обратите внимание, что ни один из элементов такой прогрессии не будет отрицателен, они просто становятся всё меньше и меньше с каждым шагом. То есть, мы будем постепенно приближаться к нулю, но никогда его не достигнем и за него не перейдем. Математики в таких случаях говорят «стремиться к нулю».
Отметим, что при отрицательном знаменателе элементы геометрической прогрессии будут обязательно менять знак. Например, у прогрессии (5); (-15); (45); (-135); (675)… знаменатель (q) равен (-3), и из-за этого знаки элементов «мигают».
Смотрите также:
Числовая последовательность
Арифметическая прогрессия
Формулы геометрической прогрессии с примерами
Геометрическая прогрессия
Кусочек теории.
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, не равных нулю, в которой каждый следующий член, начиная со второго, в одно и то же количество раз больше (или меньше) предыдущего.
Последовательность чисел 2; 4; 8; 16; 32; 64; … будет являться геометрической прогрессией, причем возрастающей, т.к. каждое следующее число больше предыдущего в 2 раза. В данном случае число 2 является знаменателем этой прогрессии.
Также геометрической прогрессией будет являться последовательность чисел 12; 6; 3; 1,5; 0,75; 0,375; … , причем убывающей, т.к. в ней числа уменьшаются в 2 раза. Но геометрическую прогрессию прежде всего связывают с умножением, поэтому правильнее сказать, что в последовательности числа увеличиваются в 0,5 раз. Здесь знаменателем будет число 0,5.
Знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q. Если знаменатель не дан, то найти его можно делением текущего члена прогрессии на предыдущий:
Найти любой по счету член геометрической прогрессии можно, зная ее первый член и знаменатель. Запишем формулу n-ого члена:
Но необязательно знать именно первый член прогрессии. Пригодится может любое по счету число. Только тогда формула чутка изменится:
И держи третью формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии через предыдущий и последующий члены (правда по модулю)!
Помимо этих трех формул пригодится еще формула суммы:
Практика.
Задание 1.
Это задание можно решить без формул. Но если уж так хочется, то можно и по формулам, но мне вот не хочется)
Откинем пока минусы…
Если разделить 125 на 100, то мы увидим во сколько раз следующее число меньше предыдущего: в 1,25 раз. То же самое число получится, если 100 разделить на 80.
Найдем 4-ое число в этой последовательности: 80 : 1,25 = 64.
И 5-ое: 64 : 1,25 = 51,2.
Но не забываем, что знаки у чисел чередуются: четвертое число будет отрицательным, а пятое — положительным.
Ответ: 51,2.
Задание 2.
Опять знаки у чисел чередуются, значит число, спрятанное под иксом, будет отрицательным.
Не будем морочить голову формулами, пойдем задом наперед: разделим 4-ое число на 3-ое (найдем знаменатель прогрессии):
96 : 24 = 4 (знаки у чисел мы откинули временно).
Значит, чтобы найти икс надо 24 разделить на знаменатель 4 и взять результат с минусом.
Ответ: -6.
Задание 3.
По данной нам в условии задаче формуле можно сразу понять, что 2 — знаменатель прогрессии. Если это не понятно — вот доказательство:
Здесь схитрить не получится, поэтому используем формулу и находим b6.
Ответ: -192.
Задание 4.
Каждое следующее число в 4 раза больше предыдущего, значит знаменатель q равен 4.
Зная первый член прогрессии и знаменатель можно найти сумму первых шести членов (n = 6).
Ответ: 682,5.
Задание 5.
Похожее условие уже встречалось в задании 3. Из данной формулы делаем вывод, что знаменатель q = 3.
Находим сумму:
Ответ: -847.
Вот и всё!
С наилучшими пожеланиями, твой персональный препод)
Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой все ее члены расположены в порядке, подчиняющемся определенной закономерности. Формула геометрической прогрессии определяет, что каждое следующее число будет получено умножением предыдущего на знаменатель прогрессии — постоянное число, не меняющее свое значение в пределах одной последовательности.
bn=b1 q(n-1)
В зависимости от знаменателя прогрессии, выписанные члены геометрической прогрессии могут давать различный вид ряда. Если знаменатель является числом положительным, больше 1 (k > 1), тогда он будет увеличивать значение каждого следующего числа. Такая прогрессия будет монотонно возрастать на протяжении всего ряда. Если знаменатель — положительный, но находится между 0 и 1 (0 < k < 1), тогда он будет каждый раз уменьшать значение следующего члена, и такая прогрессия будет называться бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Если для все возрастающей последовательности, можно только найти сумму первых членов геометрической прогрессии, то сумма членов бесконечно убывающей прогрессии будет равна вполне конкретному числовому значению, которое может рассчитать калькулятор. Третий случай представлен отрицательным знаменателем (k < 0), тогда прогрессия становится знакочередующейся, то есть первые члены геометрической прогрессии определяют порядок знаков для всей последовательности чисел. Как знаменатель геометрической прогрессии, так и первый член геометрической прогрессии по определению не могут быть равны нулю.
Существует всего несколько формул геометрической прогрессии, из которых можно вывести все необходимые для решения конкретных задач:
• Формула первого члена геометрической прогрессии;
• Формула n члена геометрической прогрессии;
• Формула суммы первых членов геометрической прогрессии;
• Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
• Формула знаменателя геометрической прогрессии.
Таким образом, если условиями задана геометрическая прогрессия с хотя бы двумя параметрами из всех выше представленных, для нее можно будет найти любую из всех прочих переменных.