Как нужно найти площадь треугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Популярные единицы измерения площади:

квадратный миллиметр (мм²);
квадратный сантиметр (см²);
квадратный дециметр (дм²);
квадратный метр (м²);
квадратный километр (км²);
гектар (га).

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Пройдите тест и узнайте, какие темы отделяют от пятёрки по математике

Добро пожаловать в школу магии.

О нет! Мальчик-молния случайно попал в школьные часы. Теперь они отстают. Мы все можем задержаться в школе

Жми на стрелки сверху, чтобы путешествовать в истории→

‌

Одна ученица когда-то была в школьной кладовке и видела там схему часов

Но в кладовку просто так не попадёшь→

‌

Реши два примера от волшебной статуи на входе в кладовку

frac{1}{7} + frac{3}{7} =

frac{4}{7}

frac{5}{7}

frac{4}{14}

frac{2}{7}

frac{4}{15} — frac{1}{15} =

frac{1}{3}

frac{1}{5}

frac{3}{30}

frac{1}{10}

‌

Схема у нас!

Деталь можно сделать из проволоки и формы для заливки металла. Найди их на картинке

‌

Теперь осталось взять инструменты у садовника! Он обменяет их на волшебные бобы для его сада

‌

Для починки часов нужны: молоток, отвертка и плоскогубцы.

Ты можешь либо одолжить у садовника набор, либо отдельные инструменты, либо и то, и другое. Какое минимальное количество волшебных бобов ты можешь отдать садовнику?

Ответ:

562 боба

400 бобов

553 боба

‌

Деталь имеет форму прямоугольника со сторонами 5 см и 12 см. Найди периметр и площадь детали, чтобы посчитать, сколько проволоки для неё понадобится

Периметр прямоугольника равен

40 см

26 см

22 см

34 см

Площадь прямоугольника равна

50 см^2

46 см^2

60 см^2

62 см^2

‌

Мальчик-молния выплавил деталь, часы должны работать! Но они почему-то не идут… Кажется, одной шестерёнки не хватает — она куда-то упала

‌

В коробке, шкатулке, ящике и банке находятся пыльца, волчий корень, золото и шестерёнка. Шестерёнка и пыльца не в коробке, ёмкость с волчьим корнем стоит между ящиком и ёмкостью с золотом, в банке не волчий корень и не шестерёнка. Шкатулка стоит около банки и ёмкостью с пыльцой. В какой ёмкости что находится?

Соедини ёмкости с содержимым на картинках ниже

Шестерёнка
Золото
Волчий корень
Пыльца

‌

Ура, мы вставили последнюю шестеренку, и часы пошли! Сегодня уроки закончатся вовремя. Спасибо тебе за помощь!

Дальше узнаешь свои результаты →

‌

Формулы площади для любого треугольника

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где

— основание,

— высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними.

, где

— стороны,

— угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где

— стороны,

— радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны.

, где

— стороны,

— радиус вписанной окружности.

, где

— полупериметр.

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где

— сторона,

— прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где

— стороны,

— полупериметр, который можно найти по формуле:

Для прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника чаще всего используют одну формулу — половину произведения катетов. Потому что их всегда можно найти с помощью правил тригонометрии или теоремы Пифагора.

, где

— стороны.

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где

— гипотенуза,

— любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где

— катет,

— прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где

— гипотенуза,

— радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где

— части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где

— катеты,

— полупериметр, который можно найти по формуле:

Для равнобедренного треугольника

Ниже мы покажем разные формулы для площади равнобедренного и равностороннего треугольника, их редко используют, но их легко вывести самому. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Вычисление площади через основание и высоту

, где

— основание,

— высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними.

, где

— боковая сторона,

— угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где

— радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где

— радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

, где

— сторона.

Площадь равностороннего треугольника через высоту

, где

— высота.

Таблица формул нахождения площади треугольника

В задачах встречаются разные фигуры, и кажется, что нужны разные формулы. Но на самом деле, зная всего несколько формул для треугольника и пользуясь теоремами и свойствами геометрии, можно найти площадь любой фигуры.

Скачать таблицу

Но что делать, если нужно решить контрольную по математике или геометрии быстро, а вы плохо знаете конкретную тему? Закажите контрольную по математике онлайн у специалистов, которые помогут быстро выполнить задание и пояснят решение.

Источник

Как найти площадь любого треугольника

Вспоминаем геометрию: формулы для произвольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних фигур.

Как найти площадь любого треугольника

Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.

Зная сторону и высоту

Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a — сторона треугольника.
h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.

Зная две стороны и угол между ними

Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
Найдите синус угла между выбранными сторонами.
Перемножьте полученные числа.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a и b — стороны треугольника.
α — угол между сторонами a и b.

Зная три стороны (формула Герона)

Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
Найдите произведение полученных чисел.
Умножьте результат на полупериметр.
Найдите корень из полученного числа.

S — искомая площадь треугольника.
a, b, c — стороны треугольника.
p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).

Зная три стороны и радиус описанной окружности

Найдите произведение всех сторон треугольника.
Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

S — искомая площадь треугольника.
R — радиус описанной окружности.
a, b, c — стороны треугольника.

Зная радиус вписанной окружности и полупериметр

Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.

S — искомая площадь треугольника.
r — радиус вписанной окружности.
p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Как найти площадь прямоугольного треугольника

Посчитайте произведение катетов треугольника.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.

Как найти площадь равнобедренного треугольника

Умножьте основание на высоту треугольника.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.

Как найти площадь равностороннего треугольника

Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
Поделите результат на четыре.

S — искомая площадь треугольника.
a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.

Читайте также 🧠👨🏻‍🎓✍🏻

7 причин полюбить математику
ТЕСТ: Помните ли вы геометрию?
10 хитрых головоломок со спичками для тренировки воображения
Интересные математические факты для тех, кто хочет больше узнать о мире вокруг
ТЕСТ: Сможете ли вы решить простые математические примеры?

Источник

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона
Через основание и высоту
Через две стороны и угол
Через сторону и два прилежащих угла
Площадь прямоугольного треугольника
Площадь равнобедренного треугольника через стороны
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
Площадь равностороннего треугольника через стороны
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

— полупериметр треугольника; a,b,c — стороны треугольника.

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

a — основание треугольника; h — высота треугольника.

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

a,b — стороны треугольника; α — угол между сторонами.

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
<

a— сторона треугольника; α и β — прилежащие углы.

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

a, b — катеты треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

a, b — стороны треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

a — основание равнобедренного треугольника; α — угол между сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

a — сторона равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

h — высота равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

r — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

r — радиус описанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

a, b, c — стороны треугольника; r — радиус описанной окружности треугольника.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

p — полупериметр треугольника;a, b, c — стороны треугольника; r — радиус вписанной окружности треугольника.

Источник

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

33 331

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

Делайте так:

Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

( 32 оценки, среднее 4.44 из 5 )

Оцените статью

ЕЖЕНЕДЕЛЬНАЯ РАССЫЛКА

Получайте самые интересные статьи по почте и подписывайтесь на наши социальные сети

Источник

Download Article

The most common way to find the area of a triangle is to take half of the base times the height. Numerous other formulas exist, however, for finding the area of a triangle, depending on what information you know. Using information about the sides and angles of a triangle, it is possible to calculate the area without knowing the height.

1
Find the base and height of the triangle. The base is one side of the triangle. The height is the measure of the tallest point on a triangle. It is found by drawing a perpendicular line from the base to the opposite vertex. This information should be given to you, or you should be able to measure the lengths.
- For example, you might have a triangle with a base measuring 5 cm long, and a height measuring 3 cm long.
2

Set up the formula for the area of a triangle. The formula is ${text{Area}}={frac {1}{2}}(bh)$ , where is the length of the triangle’s base, and is the height of the triangle.^[1]

Advertisement
3

Plug the base and height into the formula. Multiply the two values together, then multiply their product by ${frac {1}{2}}$ . This will give you the area of the triangle in square units.
4

Find the area of a right triangle. Since two sides of a right triangle are perpendicular, one of the perpendicular sides will be the height of the triangle. The other side will be the base. So, even if the height and/or base is unstated, you are given them if you know the side lengths. Thus you can use the ${text{Area}}={frac {1}{2}}(bh)$ formula to find the area.

1

Calculate the semiperimeter of the triangle. The semi-perimeter of a figure is equal to half its perimeter. To find the semiperimeter, first calculate the perimeter of a triangle by adding up the length of its three sides. Then, multiply by ${frac {1}{2}}$ .^[2]
2

Set up Heron’s formula. The formula is , where is the semiperimeter of the triangle, and , , and are the side lengths of the triangle.^[3]
3

Plug the semiperimeter and side lengths into the formula. Make sure you substitute the semiperimeter for each instance of in the formula.
4

Calculate the values in parentheses. Subtract the length of each side from the semiperimeter. Then, multiply these three values together.
5

Multiply the two values under the radical sign. Then, find their square root. This will give you the area of the triangle in square units.

1
Find the length of one side of the triangle. An equilateral triangle has three equal side lengths and three equal angle measurements, so if you know the length of one side, you know the length of all three sides.^[4]
- For example, you might have a triangle with three sides that are 6 cm long.
2

Set up the formula for the area of an equilateral triangle. The formula is ${text{Area}}=(s^{{2}}){frac {{sqrt {3}}}{4}}$ , where equals the length of one side of the equilateral triangle.^[5]
3

Plug the side length into the formula. Make sure you substitute for the variable , and then square the value.
4

Multiply the square by . It’s best to use the square root function on your calculator for a more precise answer. Otherwise, you can use 1.732 for the rounded value of .
5

Divide the product by 4. This will give you the area of the triangle in square units.

1
Find the length of two adjacent sides and the included angle. Adjacent sides are two sides of a triangle that meet at a vertex.^[6] The included angle is the angle between these two sides.
- For example, you might have a triangle with two adjacent sides measuring 150 cm and 231 cm in length. The angle between them is 123 degrees.
2

Set up the trigonometry formula for the area of a triangle. The formula is ${text{Area}}={frac {bc}{2}}sin A$ , where and are the adjacent sides of the triangle, and is the angle between them.^[7]
3

Plug the side lengths into the formula. Make sure you substitute for the variables and . Multiply their values, then divide by 2.
4

Plug the sine of the angle into the formula. You can find the sine using a scientific calculator by typing in the angle measurement then hitting the “SIN” button.
5

Multiply the two values. This will give you the area of the triangle in square units.

Practice Problems

Add New Question

Question

How do I find the length and width of a triangle before calculating the area?

It should be included in the problem. If it is a right triangle, use the Pythagorean Theorem (A squared + B squared = C squared) to find the missing side.
Question

How can I calculate the area of an equilateral triangle?

If you know the base and height, you can use the standard formula A = 1/2bh. If you know the three side lengths, you can use the method for equilateral triangles described in this article.
Question

How can I find the area of an isosceles right triangle?

The legs must be the sides that are equal, so you just square the length of one of the legs and divide by 2. If you only have the hypotenuse: since isosceles right triangles come in the ratio 1-1-(square root of 2), you just divide the hypotenuse by sqrt(2), square what you get, and divide by 2.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

If you’re not exactly sure why the base-height formula works this way, here’s a quick explanation. If you make a second, identical triangle and fit the two copies together, it will either form a rectangle (two right triangles) or a parallelogram (two non-right triangles). To find the area of a rectangle or parallelogram, simply multiply base by height. Since a triangle is half of a rectangle or parallelogram, you must therefore solve for half of base times height.

About This Article

Article SummaryX

To calculate the area of a triangle, start by measuring 1 side of the triangle to get the triangle’s base. Then, measure the height of the triangle by measuring from the center of the base to the point directly across from it. Once you have the triangle’s height and base, plug them into the formula: area = 1/2(bh), where «b» is the base and «h» is the height. To learn how to calculate the area of a triangle using the lengths of each side, read the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 3,099,625 times.

Did this article help you?

Источник