Как по графику перемещения найти ускорение

3.2.1. Как правильно понимать условия задачи?

Скорость тела увеличилась в n раз:

Скорость уменьшилась в n раз:

Скорость увеличилась на 2 м/с:

Во сколько раз увеличилась скорость?

Во сколько раз уменьшилась скорость?

Как изменилась скорость?

На сколько увеличилась скорость?

На сколько уменьшилась скорость?

Тело достигло наибольшей высоты:

Тело прошло половину расстояния:

Тело бросают с земли: (последнее условие часто ускользает из вида — если у тела скорость равна нулю, например у ручки, лежащей на столе, оно может полететь само вверх?), начальная скорость направлена вверх.

Тело бросают вниз: начальная скорость направлена вниз.

Тело бросают вверх: начальная скорость направлена вверх.

В момент падения на землю:

Тело выпадает из аэростата (воздушного шара): начальная скорость равна скорости аэростата (воздушного шара) и направлена в ту же самую сторону.

3.2.2. Как по графику скорости определить ускорение?

Закон изменения скорости имеет вид:

Графиком этого уравнения является прямая линия. Так как — коэффициент перед t, то является угловым коэффициентом прямой.

Для графика 1:

То, что график 1 «поднимается вверх», означает — проекция ускорения положительна, т. е. вектор направлен в положительном направлении оси Ox. Пересечение графика с осью — изменение направления движения на противоположное.

Для графика 2:

То, что график 2 «опускается вниз», означает — проекция ускорения отрицательна, т. е. вектор направлен в отрицательном направлении оси Ox. Пересечение графика с осью — изменение направления движения на противоположное.

Для определения и выбираем такие точки на графике, в которых можно точно определить значения, как правило, это точки, находящиеся в вершинах клеток.

3.2.3. Как по графику скорости определить пройденный путь и перемещение?

Как сказано в пункте 3.1.6 путь можно как площадь под графиком зависимости скорости от ускорения. Простой случай показан в пункте 3.1.6. Рассмотрим более сложный вариант, когда график скорости пересекает ось времени.

Напомним, что путь может только увеличиваться, поэтому путь, который проехало тело в примере на рисунке 9 равен:

где и — площади фигур, закрашенных на рисунке.

Для определения перемещения нужно заметить, что в точках и тело меняет направление движения. Проезжая путь тело движется в положительном направлении оси Ox, так как график лежит над осью времени. Проезжая путь тело движется в обратную сторону, в отрицательном направлении оси Ox так как график лежит под осью времени. Проезжая путь , тело движется в положительном направлении оси Ox, так как график лежит над осью времени. Таким образом, перемещение равно:

Еще раз обратим внимание:

1) пересечение с осью времени означает поворот в обратную сторону;

2) площадь графика, лежащего под осью времени положительна и входит со знаком «+» в определение пройденного пути, но со знаком «−» в определении перемещения.

3.2.4. Как из графика зависимости ускорения от времени определить зависимость скорости от времени и координаты от времени?

Для того, чтобы определить требуемые зависимости необходимы начальные условия — значения скорости и координаты в момент времени Без начальных условий решить однозначно данную задачу невозможно, поэтому, как правило, в условии задачи они даны.

В данном примере постараемся привести все рассуждения в буквах, для того, чтобы частном примере (при подстановке цифр) не потерять суть действий.

Пусть в момент времени скорость тела равна нулю и начальная координата

1) От 0 до

Начальные значения скорости и координаты определяем из начальных условий, а ускорение из графика:

следовательно, движение равноускоренное и закон изменения скорости имеет вид:

К концу данного промежутка времени () скорость () и координата () будут равны (вместо времени в формулы и нужно подставить ):

2) От до

Начальное значение скорости на этом промежутке должно быть равно конечному значению на предыдущем промежутке, начальное значение координаты равно конечному значению координаты на предыдущем промежутке, а ускорение определяем из графика:

следовательно, движение равноускоренное и закон изменения скорости имеет вид:

К концу данного промежутка времени () скорость () и координата () будут равны (вместо времени в формулы и нужно подставить ):

3) От до

Начальное значение скорости на этом промежутке должно быть равно конечному значению на предыдущем промежутке, начальное значение координаты равно конечному значению координаты на предыдущем промежутке, а ускорение определяем из графика:

следовательно, движение равноускоренное и закон изменения скорости имеет вид:

К концу данного промежутка времени () скорость () и координата () будут равны (вместо времени в формулы и нужно подставить ):

Для лучшего понимания построим полученные результаты на графике (см. рис.)

На графике скорости:

1) От 0 до прямая линия, «поднимающаяся вверх» (т. к. );

2) От до горизонтальная прямая линия (т. к. );

3) От до : прямая линия, «опускающаяся вниз» (т. к. ).

На графике координаты:

1) От 0 до : парабола, ветви которой направлены вверх (т. к. );

2) От до : прямая линия, поднимающаяся вверх (т. к. );

3) От до : парабола, ветви которой направлены вниз (т. к. ).

3.2.5. Как из графика закона движения записать аналитическую формулу закона движения?

Пусть дан график равнопеременного движения.

Закон равнопеременного движения имеет вид:

В этой формуле три неизвестные величины: и

Для определения достаточно посмотреть на значение функции при Для определения двух других неизвестных выбираем две точки на графике, значения которых мы можем точно определить — вершины клеток. Получим систему:

При этом считаем, что нам уже известно. Умножим 1-ое уравнение системы на а 2-ое уравнение на :

Вычтем из 1-го уравнения 2-ое, после чего получаем:

Полученное из данного выражения значение подставим в любое из уравнений системы (3.67) и решим полученное уравнение относительно :

3.2.6. Как по известному закону движения определить закон изменения скорости?

Закон равнопеременного движения имеет вид:

Это его стандартный вид для данного типа движения и никак иначе он выглядеть не может, поэтому его стоит запомнить.

В данном законе коэффициент перед t — это значение начальной скорости, коэффициент пред — это ускорение, деленное пополам.

Например, пусть дан закон:

Тогда

И уравнение скорости имеет вид:

Таким образом, для решения подобных задач, необходимо точно помнить вид закона равнопеременного движения и смысл коэффициентов, входящих в это уравнение.

Однако можно пойти и иным путем. Вспомним формулу:

В нашем примере:

3.2.7. Как определить место и время встречи?

Пусть даны законы движения двух тел:

В момент встречи тела оказываются в одной координате, то есть и необходимо решить уравнение:

Перепишем его в виде:

Это квадратное уравнение, общее решение которого приводить не будем, в силу его громоздкости. Квадратное уравнение либо не имеет решений, что означает — тела не встретились; либо имеет одно решение — одна единственная встреча; либо имеет два решения — две встречи тел.

Полученные решения необходимо проверять на физическую реализуемость. Самое главное условие: и то есть время встречи должно быть положительным.

3.2.8. Как определить путь за -ую секунду?

Пусть тело начинает движение из состояния покоя и за -ую секунду проходит путь Требуется найти, какой путь проходит тело за n-ую секунду.

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться формулой (3.25):

Обозначим Тогда

Поделим уравнение на и получим:

3.2.9. Как движется тело, брошенное вверх с высоты h?

Тело, брошено вверх с высоты h со скоростью

Уравнение координаты y в произвольный момент времени:

Уравнение проекции скорости в произвольный момент времени:

Время подъема до наивысшей точки полета определяется из условия :

Для нахождения максимальной высоты H необходимо в необходимо подставить :

Время всего полета определяется из условия Получаем уравнение:

Это квадратное уравнение, которое имеет два решения, но в данной задаче тело может оказаться в координате только один раз. Поэтому среди полученных решений нужно одно «убрать». Главный критерий отсева — время полета не может быть отрицательным:

Скорость в момент падения:

3.2.10. Как движется тело, брошенное вниз с высоты h?

Тело, брошено вверх с высоты h со скоростью

Уравнение координаты y в произвольный момент времени:

Уравнение проекции скорости в произвольный момент времени:

Время всего полета определяется из уравнения:

Это квадратное уравнение, которое имеет два решения, но в данной задаче тело может оказаться в координате только один раз. Поэтому среди полученных решений нужно одно «убрать». Главный критерий отсева — время полета не может быть отрицательным:

Скорость в момент падения:

3.2.11. Как движется тело брошенное вверх с поверхности земли?

Тело брошено вверх с поверхности земли со скоростью

Уравнение координаты y в произвольный момент времени:

Уравнение проекции скорости в произвольный момент времени:

Время подъема до наивысшей точки полета определяется из условия

Для нахождения максимальной высоты H необходимо в (3.89) необходимо подставить

Время всего полета определяется из условия Получаем уравнение:

Скорость в момент падения:

Заметьте, что что означает — время подъема равно времени падения на ту же высоту.

Также получили: то есть — с какой скоростью бросили, с такой же скоростью тело упало. Знак «−» в формуле указывает, что скорость в момент падения направлена вниз, то есть против оси Oy.

3.2.12. Тело побывало на одной высоте дважды…

При бросании тела оно может дважды оказаться на одной высоте — первый раз при движении вверх, второй — при падении вниз.

1) Когда тело оказывается на высоте h?

Для тела, брошенного вверх с поверхности земли справедлив закон движения:

Когда тело окажется на высоте h его координата будет равна Получаем уравнение:

решение которого имеет вид:

2) Известны времена и когда тело оказалось на высоте h. Когда тело окажется на максимальной высоте?

Время полета с высоты h назад до высоты h равно Как уже было показано, время подъема равно времени падения до той же высоты, поэтому время полета от высоты h до максимальной высоты равно:

Тогда время полета от начала движения до максимальной высоты:

3) Известны времена и когда тело оказалось на высоте h. Чему равно время полета тела?

Все время полета равно:

4) Известны времена и когда тело оказалось на высоте h. Чему равна максимальная высота подъема?

3.2.13. Как движется тело, брошенное горизонтально с высоты h?

Тело, брошено горизонтально с высоты h со скоростью

Проекции начальной скорости на оси:

Проекции ускорения:

Проекции скорости в произвольный момент времени t:

Модуль скорости в произвольный момент времени t:

Координаты тела в произвольный момент времени t:

Время полета определяется из условия

Для определения дальности полета необходимо в уравнение для координаты x вместо t подставить

Для определения скорости тела в момент падения необходимо в уравнение вместо t подставить

Угол, под которым падает тело на землю:

3.2.14. Как движется тело, брошенное под углом α к горизонту с высоты h?

Тело, брошено под углом α к горизонту с высоты h со скоростью

Проекции начальной скорости на оси:

Проекции ускорения:

Проекции скорости в произвольный момент времени t:

Модуль скорости в произвольный момент времени t:

Координаты тела в произвольный момент времени t:

Время полета до наивысшей точки определяется из условия

Скорость в наивысшей точке полета

Максимальная высота H определяется при подстановке в закон изменения координаты y времени

Все время полета находится из условия получаем уравнение:

Это квадратное уравнение, которое имеет два решения, но в данной задаче тело может оказаться в координате только один раз. Поэтому среди полученных решений нужно одно «убрать». Главный критерий отсева — время полета не может быть отрицательным:

Если подставим в закон изменения координаты x время то получим дальность полета L:

Скорость в момент падения

Угол, который образует вектор скорости с горизонталью в произвольный момент времени:

Угол падения:

3.2.15. Как движется тело, брошенное под углом α к горизонту земли?

Тело, брошено под углом α к горизонту с поверхности земли со скоростью

Проекции начальной скорости на оси:

Проекции ускорения:

Проекции скорости в произвольный момент времени t:

Модуль скорости в произвольный момент времени t:

Координаты тела в произвольный момент времени t:

Время полета до наивысшей точки определяется из условия

Скорость в наивысшей точке полета

Максимальная высота H определяется при подстановке в закон изменения координаты y времени

Все время полета находится из условия получаем уравнение:

Получаем

Снова получили, что то есть еще раз показали, что время подъема равно времени падения.

Если подставим в закон изменения координаты x время то получим дальность полета L:

Скорость в момент падения

Угол, который образует вектор скорости с горизонталью в произвольный момент времени:

Угол падения:

то есть

3.2.16. Что такое настильная и навесная траектории?

Решим следующую задачу: под каким углом нужно бросить тело с поверхности земли, чтобы тело упало на расстоянии L от точки броска?

Дальность полета определяется формулой:

Отсюда

Из физических соображений ясно, что угол α не может быть больше 90°, поэтому, из серии решений уравнения подходят два корня:

Траектория движения, для которой называется настильной траекторией. Траектория движения, для которой называется навесной траекторией.

3.2.17. Как пользоваться треугольником скоростей?

Как было сказано в 3.6.1 треугольник скоростей в каждой задаче будет иметь свой вид. Рассмотрим на конкретном примере.

Тело бросили с вершины башни со скорость так, что дальность полета максимальна. К моменту падения на землю скорость тела равна Сколько длился полет?

Построим треугольник скоростей (см. рис.). Проведем в ней высоту, которая, очевидно, равна Тогда площадь треугольника скоростей равна:

Здесь мы воспользовались формулой (3.121).

Найдем площадь этого же треугольника по другой формуле:

Так как это площади одного и того же треугольника, то приравняем формулы и :

Откуда получаем

Как видно из формул для конечной скорости, полученных в предыдущих пунктах, конечная скорость не зависит от угла, под которым бросили тело, а зависит только значения начальной скорости и начальной высоты. Поэтому дальность полета по формуле зависит только от угла между начальной и конечной скоростью β. Тогда дальность полета L будет максимальной, если примет максимально возможное значение, то есть

Таким образом, если дальность полета максимальна, то треугольник скоростей будет прямоугольным, следовательно, выполняется теорема Пифагора:

Откуда получаем

Свойством треугольника скоростей, который только что был доказан, можно пользоваться при решении других задач: треугольник скоростей является прямоугольным в задаче на максимальную дальность полета.

3.2.18. Как пользоваться треугольником перемещений?

Как было сказано в 3.6.2, треугольник перемещений в каждой задаче будет иметь свой вид. Рассмотрим на конкретном примере.

Тело бросают под углом β к поверхности горы, имеющей угол наклона α. С какой скоростью нужно бросить тело, чтобы оно упало ровно на расстоянии L от точки бросания?

Построим треугольник перемещений — это треугольник ABC (см. рис. 19). Проведем в нем высоту BD. Очевидно, что угол DBC равен α.

Выразим сторону BD из треугольника BCD:

Выразим сторону BD из треугольника ABD:

Приравняем и :

Откуда находим время полета:

Выразим AD из треугольника ABD:

Выразим сторону DC из треугольника BCD:

Но Получаем

Подставим в это уравнение, полученное выражение для времени полета :

Окончательно получаем

3.2.19. Как решать задачи с помощью закона движения? (по горизонтали)

Как правило, в школе при решении задач на равнопеременное движение применяются формулы

Однако такой подход к решению трудно применить к решению многих задач. Рассмотрим конкретный пример.

Опоздавший пассажир подошёл к последнему вагону поезда в тот момент, когда поезд тронулся, начав движение с постоянным ускорением Единственная открытая дверь в одном из вагонов оказалась от пассажира на расстоянии Какую наименьшую постоянную скорость он должен развить, чтобы успеть сесть в поезд?

Введем ось Ox, направленную вдоль движения человека и поезда. За нулевое положение примем начальное положение человека («2»). Тогда начальная координата открытой двери («1») L:

Дверь («1»), как и весь поезд, имеют начальную скорость равную нулю. Человек («2») начинает движение со скоростью

Дверь («1»), как и весь поезд, движется с ускорением a. Человек («2») движется с постоянной скоростью:

Закон движения и двери и человека имеет вид:

Подставим условия и в уравнение для каждого из движущихся тел:

Мы составили уравнение движения для каждого из тел. Теперь воспользуемся уже известным алгоритмом для нахождения места и времени встречи двух тел — нам нужно приравнять и :

Откуда получаем квадратное уравнение для определения времени встречи:

Это квадратное уравнение. Оба его решения имеют физический смысл — наименьший корень, это первая встреча человека и двери (человек с места может побежать быстро, а поезд не сразу наберет большую скорость, так что человек может обогнать дверь), второй корень — вторая встреча (когда уже поезд разогнался и догнал человека). Но наличие обоих корней означает — человек может бежать и медленнее. Скорость будет минимальна, когда уравнение будет иметь один единственный корень, то есть

Откуда находим минимальную скорость:

В таких задачах важно разобрать в условиях задачи: чему равны начальная координата, начальная скорость и ускорение. После этого составляем уравнение движения и думаем как дальше решать задачу. 

3.2.20. Как решать задачи с помощью закона движения? (по вертикали)

Рассмотрим пример.

Свободно падающее тело прошло последние 10 м за 0,5 с. Найти время падения и высоту, с которой упало тело. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Для свободного падения тела справедлив закон движения:

В нашем случае:

начальная координата:

начальная скорость:

Подставим условия в закон движения:

Подставляя в уравнение движения нужные значения времени, будем получать координаты тела в эти моменты.

В момент падения координата тела

За с до момента падения, то есть при координата тела

Уравнения и составляют систему уравнений, в которой неизвестны H и Решая эту систему, получим:

Итак, зная вид закона движения (3.30), и используя условия задачи для нахождения и получаем закон движения для данной конкретной задачи. После чего, подставляя нужные значения времени, получаем соответствующие значения координаты. И решаем задачу!

Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении

теория по физике 🧲 кинематика

Геометрический смысл перемещения заключается в том, что перемещение есть площадь фигуры, заключенной между графиком скорости, осью времени и прямыми, проведенными перпендикулярно к оси времени через точки, соответствующие времени начала и конца движения.

При равноускоренном прямолинейном движении перемещение определяется площадью трапеции, основаниями которой служат проекции начальной и конечной скорости тела, а ее боковыми сторонами — ось времени и график скорости соответственно. Поэтому перемещение (путь) можно вычислить по формуле:

Пример №1. По графику определить перемещение тела в момент времени t=3 с.

Перемещение есть площадь фигуры, ограниченной графиком скорости, осью времени и перпендикулярами, проведенными к ней. Поэтому в нашем случае:

Извлекаем из графика необходимые данные:

• Фигура 1. Начальная скорость — 3 м/с. Конечная — 0 м/с. Время — 1,5 с.
• Фигура 2. Начальная скорость — 0 м/с. Конечная — –3 м/с. Время — 1,5 с (3 с – 1,5 с).

Подставляем известные данные в формулу:

Перемещение равно 0, так как тело сначала проделало некоторый путь, а затем вернулось в исходное положение.

Варианты записи формулы перемещения

Конечная скорость движения тела часто неизвестна. Поэтому при решении задач вместо нее обычно подставляют эту формулу:

В итоге получается формула:

Если движение равнозамедленное, в формуле используется знак «–». Если движение равноускоренное, оставляется знак «+».

Если начальная скорость равна 0 (v₀ = 0), эта формула принимает

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Если неизвестно время движения, но известно ускорение, начальная и конечная скорости, то перемещение можно вычислить по формуле:

Пример №2. Найти тормозной путь автомобиля, который начал тормозить при скорости 72 км/ч. Торможение до полной остановки заняло 3 секунды. Модуль ускорения при этом составил 2 м/с.

Перемещение при разгоне и торможении тела

Все перечисленные выше формулы работают, если направление вектора ускорения и вектора скорости совпадают ( а ↑↑ v ). Если векторы имеют противоположное направление ( а ↑↓ v ), движение следует описывать в два этапа:

Этап торможения

Время торможения равно разности полного времени движения и времени второго этапа:

Когда тело тормозит, через некоторое время t₁оно останавливается. Поэтому скорость в момент времени t₁ равна 0:

При торможении перемещение s₁ равно:

Этап разгона

Время разгона равно разности полного времени движения и времени первого этапа:

Тело начинает разгоняться сразу после преодоления нулевого значения скорости, которую можно считать начальной. Поэтому скорость в момент времени t₂ равна:

При разгоне перемещение s₂ равно:

При этом модуль перемещения в течение всего времени движения равен:

Полный путь (обозначим его l), пройденный телом за оба этапа, равен:

Пример №3. Мальчик пробежал из состояния покоя некоторое расстояние за 5 секунд с ускорением 1 м/с 2 . Затем он тормозил до полной остановки в течение 2 секунд с другим по модулю ускорением. Найти этот модуль ускорения, если его тормозной путь составил 3 метра.

В данном случае движение нужно разделить на два этапа, так как мальчик сначала разогнался, потом затормозил. Тормозной путь будет соответствовать второму этапу. Через него мы выразим ускорение:

Из первого этапа (разгона) можно выразить конечную скорость, которая послужит для второго этапа начальной скоростью:

Подставляем выраженные величины в формулу:

Перемещение в n-ную секунду прямолинейного равноускоренного движения

Иногда в механике встречаются задачи, когда нужно найти перемещение тела за определенный промежуток времени при условии, что тело начинало движение из состояния покоя. В таком случае перемещение определяется формулой:

За первую секунду тело переместится на расстояние, равное:

За вторую секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 2 секунды и перемещения за 1 секунду:

За третью секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 3 секунды и перемещения за 2 секунды:

Видно, что за каждую секунду тело проходит перемещение, кратное целому нечетному числу:

Из формул перемещений за 1, 2 и 3 секунду можно выявить закономерность: перемещение за n-ную секунду равно половине произведения модуля ускорения на (2n–1), где n — секунда, за которую мы ищем перемещение тела. Математически это записывается так:

Формула перемещения за n-ную секунду

Пример №4. Автомобиль разгоняется с ускорением 3 м/с 2. Найти его перемещение за 6 секунду.

Подставляем известные данные в формулу и получаем:

Таким же способом можно найти перемещение не за 1 секунду, а за некоторый промежуток времени: за 2, 3, 4 секунды и т. д. В этом случае используется формула:

где t — время одного промежутка, а n — порядковый номер этого промежутка.

Пример №5. Ягуар ринулся за добычей с ускорением 2,5 м/с 2 . Найти его перемещение за промежуток времени от 4 до 6 секунд включительно.

Время от 4 до 6 секунд включительно — это 3 секунды: 4-ая, 5-ая и 6-ая. Значит, промежуток времени составляет 3 секунды. До наступления этого промежутка успело пройти еще 3 секунды. Значит, время от 4 до 6 секунд — это второй по счету временной промежуток.

Подставляем известные данные в формулу:

Проекция и график перемещения

Проекция перемещения на ось ОХ. График перемещения — это график зависимости перемещения от времени. Графиком перемещения при равноускоренном движении является ветка параболы. График перемещения при равноускоренном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ ( v ↑↑OX), а вектора скорости и ускорения сонаправлены ( v ↑↑ a ), принимает следующий вид:

График перемещения при равнозамедленном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения противоположно ( v ↓↑ a ), принимает следующий вид:

Определение направления знака проекции ускорения по графику его перемещения:

• Если ветви параболического графика смотрят вниз, проекция ускорения тела отрицательна.
• Если ветви параболического графика смотрят вверх, проекция ускорения тела положительна.

Пример №6. Определить ускорение тела по графику его перемещения.

Перемещение тела в момент времени t=0 с соответствует нулю. Значит, ускорение можно выразить из формулы перемещения без начального ускорения. Получим:

Теперь возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 с. Этой точке соответствует перемещение 30 м. Подставляем известные данные в формулу и получаем:

График пути

График пути от времени в случае равноускоренного движения совпадает с графиком проекции перемещения, так как s = l.

В случае с равнозамедленным движением график пути представляет собой линию, поделенную на 2 части:

• 1 часть — до момента, когда скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть графика является частью параболы от начала координат до ее вершины.
• 2 часть — после момента, при котором скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть является ветвью такой же, но перевернутой параболы. Ее вершина совпадает с вершиной предыдущей параболы, но ее ветвь направлена вверх.

Такой вид графика (возрастающий) объясняется тем, что путь не может уменьшаться — он либо не меняется (в состоянии покоя), либо растет независимо от того, в каком направлении, с какой скоростью и с каким ускорением движется тело.

Пример №7. По графику пути от времени, соответствующему равноускоренному прямолинейному движению, определить ускорение тела.

При равноускоренном прямолинейном движении графиком пути является ветвь параболы. Поэтому наш график — красный. График пути при равноускоренном прямолинейном движении также совпадает с графиком проекции его ускорения. Поэтому для вычисления ускорения мы можем использовать эту формулу:

Для расчета возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 c. Ей соответствует путь, равный 5 м. Значит, перемещение тоже равно 5 м. Подставляем известные данные в формулу:

Тело массой 200 г движется вдоль оси Ох, при этом его координата изменяется во времени в соответствии с формулой х(t) = 10 + 5t – «>– 3t 2 (все величины выражены в СИ).

Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимости от времени в условиях данной задачи.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Алгоритм решения

Решение

Из условия задачи известна только масса тела: m = 200 г = 0,2 кг.

Так как тело движется вдоль оси Ox, уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид:

x ( t ) = x 0 + v 0 t + a t 2 2 . .

Теперь мы можем выделить кинематические характеристики движения тела:

Перемещение тела определяется формулой:

s = v 0 t + a t 2 2 . .

Начальная координата не учитывается, так как это расстояние было уже пройдено до начала отсчета времени. Поэтому перемещение равно:

x ( t ) = v 0 t + a t 2 2 . . = 5 t − 3 t 2

Кинетическая энергия тела определяется формулой:

Скорость при прямолинейном равноускоренном движении равна:

v = v 0 + a t = 5 − 6 t

Поэтому кинетическая энергия тела равна:

E k = m ( 5 − 6 t ) 2 2 . . = 0 , 2 2 . . ( 5 − 6 t ) 2 = 0 , 1 ( 5 − 6 t ) 2

Следовательно, правильная последовательность цифр в ответе будет: 34.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.

К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите в поле цифры в порядке АБ.

Алгоритм решения

1. Определить, какому типу движения соответствует график зависимости координаты тела от времени.
2. Определить величины, которые характеризуют такое движение.
3. Определить характер изменения величин, характеризующих это движение.
4. Установить соответствие между графиками А и Б и величинами, характеризующими движение.

Решение

График зависимости координаты тела от времени имеет вид параболы в случае, когда это тело движется равноускоренно. Так как движение тела описывается относительно оси Ох, траекторией является прямая. Равноускоренное прямолинейное движение характеризуется следующими величинами:

Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении изменяются так же, как координата тела. Поэтому графики их зависимости от времени тоже имеют вид параболы.

График зависимости скорости от времени при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид прямой, которая не может быть параллельной оси времени.

График зависимости ускорения от времени при таком движении имеет вид прямой, перпендикулярной оси ускорения и параллельной оси времени, так как ускорение в этом случае — величина постоянная.

Исходя из этого, ответ «3» можно исключить. Остается проверить ответ «1». Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Графиком квадратичной функции является парабола. Поэтому ответ «1» тоже не подходит.

График А — прямая линия, параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости ускорения от времени (или его модуля). Поэтому первая цифра ответа — «4».

График Б — прямая линия, не параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости скорости от времени (или ее проекции). Поэтому вторая цифра ответа — «2».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

1. Охарактеризовать движение тела на различных участках графика.
2. Выделить участки движения, над которыми нужно работать по условию задачи.
3. Записать исходные данные.
4. Записать формулу определения искомой величины.
5. Произвести вычисления.

Решение

Весь график можно поделить на 3 участка:

1. От t₁ = 0 c до t₂ = 10 с. В это время тело двигалось равноускоренно (с положительным ускорением).
2. От t₁ = 10 c до t₂ = 30 с. В это время тело двигалось равномерно (с нулевым ускорением).
3. От t₁ = 30 c до t₂ = 50 с. В это время тело двигалось равнозамедленно (с отрицательным ускорением).

По условию задачи нужно найти путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t₁ = 20 c до t₂ = 50 с. Этому времени соответствуют два участка:

1. От t₁ = 20 c до t₂ = 30 с — с равномерным движением.
2. От t₁ = 30 c до t₂ = 50 с — с равнозамедленным движением.

• Для первого участка. Начальный момент времени t₁ = 20 c. Конечный момент времени t₂ = 30 с. Скорость (определяем по графику) — 10 м/с.
• Для второго участка. Начальный момент времени t₁ = 30 c. Конечный момент времени t₂ = 50 с. Скорость определяем по графику. Начальная скорость — 10 м/с, конечная — 0 м/с.

Записываем формулу искомой величины:

s₁ — путь тела, пройденный на первом участке, s₂ — путь тела, пройденный на втором участке.

s₁и s₂ можно выразить через формулы пути для равномерного и равноускоренного движения соответственно:

Теперь рассчитаем пути s₁и s₂, а затем сложим их:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Перемещение при равноускоренном движении. Уравнение координаты

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Как, зная тормозной путь, определить начальную скорость автомобиля и как, зная характеристики движения, такие как начальная скорость, ускорение, время, определить перемещение автомобиля? Ответы мы получим после того, как познакомимся с темой сегодняшнего урока: «Перемещение при равноускоренном движении, зависимость координаты от времени при равноускоренном движении».

Механическое движение

О чем эта статья:

Механическое движение

Когда мы идем в школу или на работу, автобус подъезжает к остановке или сладкий корги гуляет с хозяином, мы имеем дело с механическим движением.

Механическим движением называется изменение положения тел в пространстве относительно других тел с течением времени.

«Относительно других тел» — очень важные слова в этом определении. Для описания движения нам нужны:

• тело отсчета
• система координат
• часы

В совокупности эти три параметра образуют систему отсчета.

В механике есть такой раздел — кинематика. Он отвечает на вопрос, как движется тело. Дальше мы с помощью кинематики опишем разные виды механического движения. Не переключайтесь 😉

Прямолинейное равномерное движение

Движение по прямой, при котором тело проходит равные участки пути за равные промежутки времени называют прямолинейным равномерным. Это любое движение с постоянной скоростью.

Например, если у вас ограничение скорости на дороге 60 км/ч, и у вас нет никаких препятствий на пути — скорее всего, вы будете двигаться прямолинейно равномерно.

Мы можем охарактеризовать это движение следующими величинами.

Скалярные величины (определяются только значением)

• Время — в международной системе единиц СИ измеряется в секундах [с].
• Путь — длина траектории (линии, по которой движется тело). В случае прямолинейного равномерного движения — длина отрезка [м].

Векторные величины (определяются значением и направлением)

• Скорость — характеризует быстроту перемещения и направление движения материальной точки [м/с].
• Перемещение — вектор, проведенный из начальной точки пути в конечную [м].

Проецирование векторов

Векторное описание движения полезно, так как на одном чертеже всегда можно изобразить много разнообразных векторов и получить перед глазами наглядную «картину» движения.

Однако всякий раз использовать линейку и транспортир, чтобы производить действия с векторами, очень трудоёмко. Поэтому эти действия сводят к действиям с положительными и отрицательными числами — проекциями векторов.

Если вектор сонаправлен с осью, то его проекция равна длине вектора. А если вектор противоположно направлен оси — проекция численно равна длине вектора, но отрицательна. Если вектор перпендикулярен — его проекция равна нулю.

Скорость может определяться по вектору перемещения и пути, только это будут две разные характеристики.

Скорость — это векторная физическая величина, которая характеризует быстроту перемещения, а средняя путевая скорость — это отношение длины пути ко времени, за которое путь был пройден.

Скорость

— скорость [м/с]
— перемещение [м]
— время [с]

Средняя путевая скорость

V ср.путевая = S/t

V ср.путевая — средняя путевая скорость [м/с]
S — путь [м]
t — время [с]

Задача

Найдите, с какой средней путевой скоростью должен двигаться автомобиль, если расстояние от Санкт-Петербурга до Великого Новгорода в 210 километров ему нужно пройти за 2,5 часа. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Возьмем формулу средней путевой скорости
V ср.путевая = S/t

Подставим значения:
V ср.путевая = 210/2,5 = 84 км/ч

Ответ: автомобиль будет двигаться со средней путевой скоростью равной 84 км/ч

Уроки физики в онлайн-школе Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Уравнение движения

Одной из основных задач механики является определение положения тела относительно других тел в данный момент времени. Для решения этой задачи помогает уравнение движения, то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t).

Уравнение движения

x(t) — искомая координата в момент времени t [м]
x₀ — начальная координата [м]
v_x — скорость тела в данный момент времени [м/с]
t — момент времени [с]

Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v

Уравнение движения при движении против оси

x(t) — искомая координата в момент времени t [м]
x₀ — начальная координата [м]
v_x — скорость тела в данный момент времени [м/с]
t — момент времени [с]

Прямолинейное равноускоренное движение

Чтобы разобраться с тем, что за тип движения в этом заголовке, нужно ввести новое понятие — ускорение.

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. В международной системе единиц СИ измеряется в метрах, деленных на секунду в квадрате.

СИ — международная система единиц. «Перевести в СИ» означает перевод всех величин в метры, килограммы, секунды и другие единицы измерения без приставок. Исключение — килограмм с приставкой «кило».

Итак, равноускоренное прямолинейное движение — это движение с ускорением по прямой линии. Движение, при котором скорость тела меняется на равную величину за равные промежутки времени.

Уравнение движения и формула конечной скорости

Основная задача механики не поменялась по ходу текста — определение положения тела относительно других тел в данный момент времени. У равноускоренного движения в уравнении появляется ускорение.

Уравнение движения для равноускоренного движения

x(t) — искомая координата в момент времени t [м]
x₀ — начальная координата [м]
v_0x — начальная скорость тела в [м/с]
t — время [с]
a_x — ускорение [м/с 2 ]

Для этого процесса также важно уметь находить конечную скорость — решать задачки так проще. Конечная скорость находится по формуле:

Формула конечной скорости

— конечная скорость тела [м/с]
— начальная скорость тела [м/с]
— время [с]
— ускорение [м/с 2 ]

Задача

Найдите местоположение автобуса, который разогнался до скорости 60 км/ч за 3 минуты, через 0,5 часа после начала движения из начала координат.

Решение:

Сначала найдем ускорение автобуса. Его можно выразить из формулы конечной скорости:

Так как автобус двигался с места, . Значит

Время дано в минутах, переведем в часы, чтобы соотносилось с единицами измерения скорости.

3 минуты = 3/60 часа = 1/20 часа = 0,05 часа

Подставим значения:
a = v/t = 60/0,05 = 1200 км/ч 2
Теперь возьмем уравнение движения.
x(t) = x₀ + v_0xt + a_xt 2 /2

Начальная координата равна нулю, начальная скорость, как мы уже выяснили — тоже. Значит уравнение примет вид:

Ускорение мы только что нашли, а вот время будет равно не 3 минутам, а 0,5 часа, так как нас просят найти координату в этот момент времени.

Подставим циферки:
км

Ответ: через полчаса координата автобуса будет равна 150 км.

Движение по вертикали

Движение по вертикали — это частный случай равноускоренного движения. Дело в том, что на Земле тела падают с одинаковым ускорением — ускорением свободного падения. Для Земли оно приблизительно равно 9,81 м/с 2 , а в задачах мы и вовсе осмеливаемся округлять его до 10 (физики просто дерзкие).

Вообще в значении ускорения свободного падения для Земли очень много знаков после запятой. В школе обычно дают значение: g = 9,8 м/с 2 . В экзаменах ОГЭ и ЕГЭ в справочных данных дают g = 10 м/с 2 .

Частным случаем движения по вертикали (частным случаем частного случая, получается) считается свободное падение — это равноускоренное движение под действием силы тяжести, когда другие силы, действующие на тело, отсутствуют или пренебрежимо малы.

Помните о том, что свободное падение — это не всегда движение по вертикали из состояния покоя. Если мы бросаем тело вверх, то начальная скорость, конечно же, будет.

Геометрический смысл перемещения заключается в том, что перемещение есть площадь фигуры, заключенной между графиком скорости, осью времени и прямыми, проведенными перпендикулярно к оси времени через точки, соответствующие времени начала и конца движения.

При равноускоренном прямолинейном движении перемещение определяется площадью трапеции, основаниями которой служат проекции начальной и конечной скорости тела, а ее боковыми сторонами — ось времени и график скорости соответственно. Поэтому перемещение (путь) можно вычислить по формуле:

Формула перемещения

Пример №1. По графику определить перемещение тела в момент времени t=3 с.

Перемещение есть площадь фигуры, ограниченной графиком скорости, осью времени и перпендикулярами, проведенными к ней. Поэтому в нашем случае:

Извлекаем из графика необходимые данные:

• Фигура 1. Начальная скорость — 3 м/с. Конечная — 0 м/с. Время — 1,5 с.
• Фигура 2. Начальная скорость — 0 м/с. Конечная — –3 м/с. Время — 1,5 с (3 с – 1,5 с).

Подставляем известные данные в формулу:

Перемещение равно 0, так как тело сначала проделало некоторый путь, а затем вернулось в исходное положение.

Варианты записи формулы перемещения

Конечная скорость движения тела часто неизвестна. Поэтому при решении задач вместо нее обычно подставляют эту формулу:

v = v₀ ± at

В итоге получается формула:

Если движение равнозамедленное, в формуле используется знак «–». Если движение равноускоренное, оставляется знак «+».

Если начальная скорость равна 0 (v₀ = 0), эта формула принимает вид:

Если неизвестно время движения, но известно ускорение, начальная и конечная скорости, то перемещение можно вычислить по формуле:

Пример №2. Найти тормозной путь автомобиля, который начал тормозить при скорости 72 км/ч. Торможение до полной остановки заняло 3 секунды. Модуль ускорения при этом составил 2 м/с.

Перемещение при разгоне и торможении тела

Все перечисленные выше формулы работают, если направление вектора ускорения и вектора скорости совпадают (а↑↑v). Если векторы имеют противоположное направление (а↑↓v), движение следует описывать в два этапа:

Этап торможения

Время торможения равно разности полного времени движения и времени второго этапа:

t₁ = t – t₂

Когда тело тормозит, через некоторое время t₁ оно останавливается. Поэтому скорость в момент времени t₁ равна 0:

0 = v₀₁ – at₁

При торможении перемещение s₁ равно:

Этап разгона

Время разгона равно разности полного времени движения и времени первого этапа:

t₂ = t – t₁

Тело начинает разгоняться сразу после преодоления нулевого значения скорости, которую можно считать начальной. Поэтому скорость в момент времени t₂ равна:

v = at₂

При разгоне перемещение s₂ равно:

При этом модуль перемещения в течение всего времени движения равен:

s = |s₁ – s₂|

Полный путь (обозначим его l), пройденный телом за оба этапа, равен:

l = s₁ + s₂

Пример №3. Мальчик пробежал из состояния покоя некоторое расстояние за 5 секунд с ускорением 1 м/с². Затем он тормозил до полной остановки в течение 2 секунд с другим по модулю ускорением. Найти этот модуль ускорения, если его тормозной путь составил 3 метра.

В данном случае движение нужно разделить на два этапа, так как мальчик сначала разогнался, потом затормозил. Тормозной путь будет соответствовать второму этапу. Через него мы выразим ускорение:

Из первого этапа (разгона) можно выразить конечную скорость, которая послужит для второго этапа начальной скоростью:

v₀₂ = v₀₁ + a₁t₁ = a₁t₁ (так как v₀₁ = 0)

Подставляем выраженные величины в формулу:

Перемещение в n-ную секунду прямолинейного равноускоренного движения

Иногда в механике встречаются задачи, когда нужно найти перемещение тела за определенный промежуток времени при условии, что тело начинало движение из состояния покоя. В таком случае перемещение определяется формулой:

За первую секунду тело переместится на расстояние, равное:

За вторую секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 2 секунды и перемещения за 1 секунду:

За третью секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 3 секунды и перемещения за 2 секунды:

Видно, что за каждую секунду тело проходит перемещение, кратное целому нечетному числу:

Из формул перемещений за 1, 2 и 3 секунду можно выявить закономерность: перемещение за n-ную секунду равно половине произведения модуля ускорения на (2n–1), где n — секунда, за которую мы ищем перемещение тела. Математически это записывается так:

Формула перемещения за n-ную секунду

Пример №4. Автомобиль разгоняется с ускорением 3 м/с^2. Найти его перемещение за 6 секунду.

Подставляем известные данные в формулу и получаем:

Таким же способом можно найти перемещение не за 1 секунду, а за некоторый промежуток времени: за 2, 3, 4 секунды и т. д. В этом случае используется формула:

где t — время одного промежутка, а n — порядковый номер этого промежутка.

Пример №5. Ягуар ринулся за добычей с ускорением 2,5 м/с². Найти его перемещение за промежуток времени от 4 до 6 секунд включительно.

Время от 4 до 6 секунд включительно — это 3 секунды: 4-ая, 5-ая и 6-ая. Значит, промежуток времени составляет 3 секунды. До наступления этого промежутка успело пройти еще 3 секунды. Значит, время от 4 до 6 секунд — это второй по счету временной промежуток.

Подставляем известные данные в формулу:

Проекция и график перемещения

Проекция перемещения на ось ОХ. График перемещения — это график зависимости перемещения от времени. Графиком перемещения при равноускоренном движении является ветка параболы. График перемещения при равноускоренном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения сонаправлены (v↑↑a), принимает следующий вид:

График перемещения при равнозамедленном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения противоположно (v↓↑a), принимает следующий вид:

Определение направления знака проекции ускорения по графику его перемещения:

• Если ветви параболического графика смотрят вниз, проекция ускорения тела отрицательна.
• Если ветви параболического графика смотрят вверх, проекция ускорения тела положительна.

Пример №6. Определить ускорение тела по графику его перемещения.

Перемещение тела в момент времени t=0 с соответствует нулю. Значит, ускорение можно выразить из формулы перемещения без начального ускорения. Получим:

Теперь возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 с. Этой точке соответствует перемещение 30 м. Подставляем известные данные в формулу и получаем:

График пути

График пути от времени в случае равноускоренного движения совпадает с графиком проекции перемещения, так как s = l.

В случае с равнозамедленным движением график пути представляет собой линию, поделенную на 2 части:

• 1 часть — до момента, когда скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть графика является частью параболы от начала координат до ее вершины.
• 2 часть — после момента, при котором скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть является ветвью такой же, но перевернутой параболы. Ее вершина совпадает с вершиной предыдущей параболы, но ее ветвь направлена вверх.

Такой вид графика (возрастающий) объясняется тем, что путь не может уменьшаться — он либо не меняется (в состоянии покоя), либо растет независимо от того, в каком направлении, с какой скоростью и с каким ускорением движется тело.

Пример №7. По графику пути от времени, соответствующему равноускоренному прямолинейному движению, определить ускорение тела.

При равноускоренном прямолинейном движении графиком пути является ветвь параболы. Поэтому наш график — красный. График пути при равноускоренном прямолинейном движении также совпадает с графиком проекции его ускорения. Поэтому для вычисления ускорения мы можем использовать эту формулу:

Для расчета возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 c. Ей соответствует путь, равный 5 м. Значит, перемещение тоже равно 5 м. Подставляем известные данные в формулу:

Алиса Никитина | Просмотров: 25.5k