Умение решать уравнения необходимо для того, чтобы решать какие-то практические задачи по математике, физике, механике, экономике и другим предметам.
Пример:
в одном баке воды было в (4) раза больше, чем в другом. Из первого бака перелили в другой (36) литров и воды в баках стало поровну. Сколько литров воды было в каждом баке?
Решение:
сначала введём переменную, с помощью которой обозначим неизвестную нам величину, которую необходимо найти по условию задачи.
Пусть (x) л — количество воды, которое было до переливания во втором баке.
Тогда в первом баке её было (4x) л.
После переливания в первом баке осталось ((4x) (– 36)) л воды, а во втором стало ((x + 36)) л.
По условию задачи известно, что после переливания в обоих баках воды стало поровну. Составим уравнение:
(4x) (– 36 = x + 36).
Эту часть рассуждений при решении задач называют составлением математической модели.
На этом этапе текст задачи переводится с обычного языка на математический язык.
Математической моделью является составленное уравнение.
Затем начинается второй этап, называемый работой с математической моделью.
Здесь решается составленное уравнение:
4x−36=x+36;4x−x=36+36;3x=72;x=24.
Решив уравнение, переходим к третьему этапу — ответу на вопрос задачи.
Решив уравнение, получили (x=24), а за (x) принято количество воды в литрах, которое было до переливания во втором баке.
Значит, во втором баке было (24) л воды. По условию задачи в первом баке было в (4) раза больше воды, чем во втором. Значит, в первом баке было:
(24·4=96) (л).
Ответ: в одном баке было (24) л воды, а в другом баке было (96) л воды.
Таким образом, в ходе решения было выделено три этапа математического моделирования:
1) составление математической модели (составление уравнения по условию задачи);
2) работа с математической моделью (решение уравнения);
3) ответ на вопрос задачи.
Для составления математической модели нужно провести анализ задачи, результаты которого можно оформить в виде таблицы, схемы, рисунка, краткой записи.
Здравствуйте!
При подготовке к школе необходимо научить Вам своего ребёнка решать задачи. А чтобы Ваш ребёнок правильно, без ошибок и проблем решал задачи необходимо понять задачу, а для этого надо уметь находить ключевые слова в задаче.
Сегодня у нас тема: — Нахождение ключевых слов в задаче.
Почему некоторые дети не могут решать задачи по математике?
Потому что их еще до школы или в начальной школе не научили решать задачи с помощью ключевых слов. Хотя это вовсе и не трудно.
Мы с вами уже разбирали, вспомните.
Задача – это не скучное ненужное упражнение, а интересная жизненная ситуация.
И главное научиться различать части задачи:
— условие задачи;
— вопрос задачи;
— решение задачи;
— ответ задачи.
Допустим, Ваш ребенок уже нашел в задаче условие и вопрос, а решить все равно не может, соответственно и записать ответ тоже не может. Что же делать?
Необходимо еще раз прочитать условие задачи и найти ключевые слова. Найденные ключевые слова в задаче расставят все по своим местам и задача обязательно решится.
Задача №1
Задача №1У мальчика было 5 красных шаров. Мама ему купила еще 3 синих шара. Сколько шаров стало у мальчика?
Сделаем краткую запись задачи:
Было – 5 ш.
Купили – 3 ш.
Стало – ? ш.
Слова было, купили и стало – ключевые слова в задаче.
Теперь решаем задачу:
5 + 3 = 8 (ш.)
Ответ: 8 шаров стало у мальчика.
Задача №2
Задача №2В холодильнике было 5 яблок. Два яблока съели дети. Сколько яблок осталось в холодильнике?
Было – 5 яб.
Съели – 2 яб.
Осталось – ? яб.
5 – 2 = 3 (яб.)
Ответ: 3 яблока осталось в холодильнике.
Обратите внимание
Ответ пишем всё полностью из заданного вопроса задачи, заменяя слово сколько, полученным ответом при решении.
Решите самостоятельно:
Задача №3
В нашем саду росло (было) 6 яблонь. Мы посадили еще 2 яблони. Сколько яблонь стало в саду?
Задача №4
На полке стояло (было) 9 книг. Одну книгу взяла почитать Оля. Сколько книг осталось на полке?
В следующих задачах найдите ключевые слова и решите самостоятельно.
Задача №5
В коллекции папы было 7 монет. Он купил еще 2 монеты. Сколько монет стало у папы?
Задача №6
У бабушки было 6 клубков шерсти. Она уже извязала 2 клубка. Сколько клубков шерсти осталось у бабушки?
Задача №7
На стройке дома было 7 мешков цемента, но его не хватило, и поэтому привезли еще 2 мешка. Сколько всего цемента привезли на стройку дома?
Задача №8
В магазине было 5 мешков сахара. За день расфасовали и продали 2 мешка сахара. Сколько мешков сахара осталось в магазине?
Вот и все объяснение.
Подведем итог вышесказанного:
Чтобы задача решалась, необходимо научиться выделять ключевые слова в задаче. Ключевые слова, выделенные в задаче, позволят решить задачу правильно и без проблем.
Все ли понятно в моих объяснениях? Понятно ли Вашим детям? Напишите в комментариях.
Если что-то не понятно, задавайте вопросы. Присоединяйтесь ко мне в Skype, первая консультация бесплатная.
С уважением Ваш репетитор – Лидия Витальевна
Универсальный способ решения: составить систему уравнений, подставить известные значения и вычислить неизвестные. Раз у нас 2 объекта, то 2 уравнения описывают движение этих объектов, а остальные уравнения берутся из условий задачи.
- s1 = v1 ⋅ t, формула движения, где s1 — длина пути автобуса №1, v1 — скорость автобуса №1, t — время движения каждого объекта.
- s2 = v2 ⋅ t, формула движения, где s2 — длина пути автобуса №2, v2 — скорость автобуса №2, t — время движения каждого объекта.
Отметим, что время движения у них одинаковое, поэтому мы его обозначили одинаково как t.
Базовыми единицами измерения возьмём км для пути, ч для времени и км/ч для скорости.
Итак, у нас в формулах есть 5 величин, из которых 3 известные (s1=100, v1=25, v2=50) и 2 неизвестные (s2, t), которые предстоит найти для получения результата.
Для успешного решения неизвестных должно быть столько же или меньше, чем уравнений. В нашем случае одинаково — 2, то есть скорее всего решение найдётся.
Постановка задачи о выделении решений. Теорема существования и единственности
Решения дифференциального уравнения y’ = f(x,y) зависят от константы u, следовательно, представляют много решений данного уравнения. Хотелось бы выяснить условия на функцию f(x,y), при которых можно выделить конкретное решение этого уравнения, удовлетворяющее заранее заданным требованиям. Для уравнения первого порядка требования формулируются следующим образом.
Найти решения дифференциального уравнения: y' = f(x,y) (1),
удовлетворяющие условиям
y(x0) = y0, (2)
Сформулированные условия называются условиями Коши, а задача о выделении решения, удовлетворяющего условиям Коши — задачей Коши.
Назначение сервиса. Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения задачи Коши вида y' = f(x,y).
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Для получения решения исходное выражение необходимо привести к виду: a1(x)y' + a0(x)y = b(x). Например, для y'-exp(x)=2*y это будет y'-2*y=exp(x).
Определение. Будем говорить, что функция f(x,y) удовлетворяет условию Липшица по y в области D, если для любых двух точек (x,y1), (x,y2) из этой области выполнено неравенство:
|f(x,y1) — f(x,y2)| ≤ L|y1 — y2|, (3)
где L- некоторая константа, не зависящая от x.
Теорема. (существования и единственности). Пусть в уравнении (1) y’ = f(x,y) функция f(x,y), заданная в области D на плоскости, непрерывна по x и удовлетворяет условию Липшица (3) по y. Тогда для любой точки (x0, y0)∈D существуют интервал (x0 — λ, x0 + λ) и функция y = φ(x) заданная на этом интервале так, что y = φ(x) есть решение уравнения, удовлетворяющее условию (2). Это решение единственно в том смысле, что если y = φ(x) есть решение уравнения (1) определенное на интервале (α, β), включающем в себя точку x0, и удовлетворяющее условию (2), то функции φ(x) и ф(x) совпадают там, где они обе определены.
Дано неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение которого будет иметь вид $y_text{о.н.} = y_text{о.о.} + y_text{ч.н.}$. Для начала находим общее решение однородного уравнения $y_{o.o.}$, затем частное решение неоднородного уравнения $y_text{ч.н.}$ с помощью метода подбора правой части уравнения.
На первом этапе решаем уравнение в качестве однородного без правой части, то есть меняем её на ноль. Заменяем все $y$ на новую переменную $lambda$, показатель степени которой будет равен порядку производной. $$y»-y=0,$$ $$lambda^2 — 1 = 0,$$ $$(lambda-1)(lambda+1)=0,$$ $$lambda_1 = -1, lambda_2 = 1.$$ Теперь можно записать общее решение однородного ДУ. $$y_text{о.о.} = C_1e^{lambda x}+C_2e^{-lambda x} = C_1e^{x}+C_2e^{-x}$$
Переходим к получению $y_text{ч.н.}$. Смотрим на правую часть уравнения, данного в условии задачи. В неё входят синус и косинус, умноженные на многочлены нулевой степени. Значит, частное решение ищем в виде $y_text{ч.н.} = Asin x — Bcos x$. Находим вторую производную данного выражения. $$y’ = Acos x + Bsin x,$$ $$y»=-Asin x + Bcos x.$$ Подставляем $y$ и $y»$ в исходное уравнение из условия задачи, чтобы найти неизвестные коэффициенты $A$ и $B$. $$-Asin x + Bcos x — Asin x + Bcos x = 2sin x — 4cos x$$ После приведения подобных получаем $$-2Asin x + 2Bcos x = 2sin x — 4cos x.$$ Далее составляем систему из двух уравнений благодаря коэффициентам перед синусом и косинусом левой и правой части уравнения. $$begin{cases} -2A = 2 \ 2B = -4 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} A = -1 \ B = -2 end{cases}$$ Благодаря полученным коэффициентам $A$ и $B$ записываем $$y_text{ч.н.} = -sin x + 2cos x$$
Итак, общее решение неоднородного дифференциального уравнения в итоге будет иметь вид $$y_text{о.н.} = y_text{о.о.} + y_text{ч.н.} = C_1e^{x}+C_2e^{-x} -sin x + 2cos x.$$
Так как требуется найти решение задачи Коши, то ход действий на этом не закончен. Переходим к вычислению коэффициентов $C_1$ и $C_2$.
Берём первую производную $y’ = C_1e^x — C_2e^{-x} — cos x — 2sin x$.
Теперь можно составить систему уравнений $$begin{cases} y'(0)=0 \ y(0) = 0 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} C_1 — C_2 — 1 = 0 \ C_1 + C_2 + 2 = 0 end{cases}.$$ Решаем систему уравнений. $$begin{cases} C_1 = C_2 + 1 \ C_2 + 1 + C_2 + 2 = 0 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} C_1 = C_2 + 1 \ C_2 = -frac{3}{2} end{cases} Leftrightarrow begin{cases} C_1 = -frac{1}{2} \ C_2 = -frac{3}{2} end{cases}.$$
Теперь подставляя полученные константы в общее решение дифференциального уравнения записываем решение задачи Коши в окончательном виде $$y = -frac{1}{2}e^x — frac{3}{2}e^{-x} -sin x + 2cos x.$$