Как понять найти значение функции

Прежде чем перейти к разбору решения задач с функциями обязательно прочитайте урок
«Что такое функция в математике».

После того, как вы действительно поймете, что такое функция
(возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.

В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.

Как получить значение функции

Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «y = 2x − 1»

1. Вычислить «y» при «x = 15»
2. Найти значение «x», при котором
   значение «y» равно «−19».

---

Для того, чтобы вычислить «y» при
«x = 15» достаточно подставить в функцию вместо «x»
необходимое числовое значение.

Запись решения выглядит следующим образом.

y(15) = 2 · 15 − 1 = 30 − 1 = 29

Для того, чтобы найти «x»
по известному «y», необходимо подставить вместо
«y» в формулу функции числовое значение.

То есть теперь наоборот, для поиска «x»
мы подставляем в функцию «y = 2x − 1» вместо
«y» число «−19» .

−19 = 2x − 1

Мы получили линейное уравнение с неизвестным «x»,
которое решается по правилам решения линейных уравнений.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
−2x = −1 + 19
−2x = 18

Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас
требуется умножить и левую, и правую часть на «−1» для смены знака.

−2x = 18       | · (−1)
2x = −18                

Теперь разделим и левую, и правую часть на «2», чтобы найти «x» .

2x = −18     | (: 2)
x = −9                

Как проверить верно ли равенство для функции

Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «f(x) = 2 − 5x».

Верно ли равенство
«f(−2) = −18»?

---

Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию «f(x) = 2 − 5x»
числовое значение «x = −2» и сопоставить с тем, что получится при расчетах.

Неправильно

Правильно

С помощью расчетов мы получили
«f(−2) = 12».

Это означает, что «f(−2) = −18»
для функции «f(x) = 2 − 5x» не является верным равенством.

Как проверить, что точка принадлежит графику функции

Рассмотрим функцию «y = x² −5x + 6»

Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами
(1; 2).

---

Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.

Вернемся к нашему заданию. Подставим в функцию «y = x² − 5x + 6»
координаты точки (1; 2).

Вместо «x» подставим «1».
Вместо «y» подставим «2».

2 = 1² − 5 · 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (верно)

У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами
(1; 2) принадлежит заданной функции.

Теперь проверим точку с координатами (0; 1).
Принадлежит ли она
функции «y = x² − 5x + 6»?

Вместо «x» подставим «0».
Вместо «y» подставим «1».

1 = 0² − 5 · 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (неверно)

В этом случае мы не получили верное равенство.
Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции
«y = x² − 5x + 6»

Как получить координаты точки функции

С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат
в формулу функции получается верное равенство.

Рассмотрим функцию «y(x) = −2x + 1». Её график
мы уже
строили
в предыдущем уроке.

Найдем на графике функции «y(x) = −2x + 1», чему равен «y»
при x = 2.

Для этого из значения «2» на оси «Ox» проведем перпендикуляр к графику функции.
Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси «Oy».

Полученное значение «−3» на оси «Oy» и будет искомым значением «y».

Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
в функции «y(x) = −2x + 1».

Для этого мы подставим x = 2 в формулу функции
«y(x) = −2x + 1». Если мы правильно
провели перпендикуляр, мы также должны получить в итоге y = −3.

y(2) = −2 · 2 + 1 = −4 + 1 = −3

При расчетах мы также получили y = −3.

Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.

При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».

Только подстановка значений в формулу функции дает точные результаты.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Как найти значение функции

Под понятием функции в математике понимают связь между элементами множеств. Если говорить более точно, это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Вам понадобится

• Знания в области алгебры и математического анализа.

Инструкция

Значения функции это некая область, значения из которой может принимать функция. Например область значения функции f(x)=|x| от 0 до бесконечности. Чтобы найти значение функции в конкретной точке необходимо подставить вместо аргумента функции его числовой эквивалент, полученное число и будет значением функции. Пусть дана функция f(x)=|x| — 10 + 4x. Найдем значение функции в точке x=-2. Подставим вместо x число -2: f(-2)=|-2| — 10 + 4*(-2) = 2 — 10 — 8 = -16. То есть значение функции в точке -2 равно -16.

Обратите внимание

Прежде чем искать значение функции в точке — убедитесь, что она входит в область определения функции.

Полезный совет

Аналогичным способом можно найти значение функции нескольких аргументов. Отличие в том, что вместо одного числа необходимо будет подставить несколько — по числу аргументов функции.

Что такое значение функции? Как найти значение функции?

Рассмотрим значение функции в математике на примере.

Значение функции в математике

Значение функции – это значение зависимой переменной.

Часто функцию в общем виде записывают как

y = f(x)

здесь игрек представляет значение функции.

Примеры значений функции

Простой пример значения функции:

y = x + 5

Что такое значение в этой функции?

Значение в этой функции представлено игреком.

Как узнать, что именно игрек, а не икс и не число пять, в этой функции покажет её значение?

Значение функции есть значение зависимой переменной.

Значение функции есть значение переменной, которое получается в результате математического действия.

В нашем случае к переменной икс прибавляется 5. Значит икс есть аргумент.

Значение же игрека получается в результате данного математического действия. Игрек и будет представлять значение функции.

Значение функции – это то, чему равна функция.

Пример. Пусть дана функция:

y = 5x

Функцией здесь является игрек. Чтоб найти значение функции, т.е. значение игрека, нужно подставить допустимое значение аргумента x. Так и сделаем. Пусть икс равен 4, тогда

20 = 5 * 4

откуда получаем, что значение функции при икс = 4 будет равно 20-ти.

Итак, значение функции это х или у? Значение функции это y.

Для начала разберемся с тем, как находить значение функции при заданном значении аргумента. Для того чтобы определить значение функции, зная при этом значение аргумента, необходимо подставит известное нам число в уравнение функции и вычислить то, чему равен y.

Но бывает и такое, что заданное значение аргумента недопустимо, т.е. не входит в область допустимых значений функции. В данном случае значение функции считается неопределенным.

Для закрепления полученного материала приведем пример. Допустим у нас есть функция y = 3x^2 — 4x + 1, где нам необходимо найти y(0); y(1); y(-2); y(3).

Для начала найдем y(0). У нас получится y(0) = 3 * 0^2 — 4 * 0 + 1 = 1.

По такому же принцип найдем и все остальные значения:

y(1) = 3 * 1^2 — 4 * 1 + 1 = 3 — 4 + 1 = 0;

y(-2) = 3 * (-2)^2 — 4 * (-2) + 1 = 12 + 8 + 1 = 21;

y(3) = 3 * 3^2 — 4 * 3 + 1 = 27 — 12 + 1 = 16.

Ответ записывается путем перечисления найденных значений при конкретном аргументе. 

Ответ: y(0) = 1; y(1) = 0; y(-2) = 21; y(3) = 16.

Разберем еще один пример, но только теперь с корнем. Например, функция y = √x — 3, для которой необходимо найти y(4); y(7); y(2).

Начнем с условия, при котором аргумент равен 4: y(4) = √4-3 = √1 = 1. При данном решении мы использовали правила, согласно которому корень из 1 равен самой 1. Подобным образом находим значение функции при других аргументах:

y(7) = √7-3 = √4 = 2. Таким образом значение функции при x = 7 равно 2;

y(2) = √2-3 = √-1 — значение не определено, поскольку пользуясь свойствами корней, мы вспоминаем, что отрицательных корней быть не может.

Ответ: y(4) = 1; y(7) = 2; y(2) не существует.

Теперь, разобравшись в том, как найти функцию при известном аргументе, можно перейти к изучению обратного процесса — нахождению значения аргумента при котором функция принимает заданное значение. Данные задачи имеют определенный алгоритм решения, которого стоит придерживаться.

Во-первых, чтобы найти значения x, при которых функция y(x) принимает заданное значение, необходимо правую часть уравнения приравнять к известному по условию числу. Затем мы решаем полученное уравнение и ищем корни переменной x.

А как мы знаем из темы уравнений, то корень может быть как один, так и два, а может быть и не одного верного значения. Последнее происходит в тех случаях, когда функция не принимает указанное значение ни при каком значении аргумента. 

Теперь закрепим теорию практикой и рассмотрим пример: y = -x + 5, где y = 3. Пользуясь вышеописанным алгоритмом решения, составим уравнение: -x + 5 = 3. Теперь решим его относительно x:

-x + 5 = 3 — для удобства перенесем -5 в правую сторону;

Итогом предыдущего действия будет: -x = 3-5 или -x = -2. Умножим левую и правую часть уравнения на -1, чтобы избавиться от “-”;

Получим x = 2. Таким образом, при x = 2 функция y = — x + 5 принимает значение 3. Запишем получившийся ответ.

Ответ: при x = 2.

Рассмотрим еще один более трудный пример, где есть степень: y = (x — 2)^2, где y приравнен 1. Как и в предыдущем примере заменим y заданным условием значением. В итоге у нас получится:

(x — 2)^2 = 1. Данное уравнение необходимо решить;

Чтобы избавиться от степени разности, нам необходимо также представить 1 в квадрате и затем опустить его. Итогом данных действий может стать два варианта:

x — 2 = 1 или x — 2 = -1. Рассмотрим каждый по отдельности.

x — 2 = 1;

x = 1 + 2;

x = 3. 

В случае же с x — 2 = -1 получится:

x — 2 = -1;

x = -1 + 2;

x = 1.

Осталось только записать ответ. 

Ответ: x = 1; x = 3.

Таким образом, данная тема является достаточно простой и доступной, однако, она очень важна в решении многих задач. Самое главное здесь — это знание различных свойств дробей, корней, степеней и т.д. Если вы чувствуете, что не совсем владеете этими темами, то вернитесь к ним и повторите их. 

Что такое функция

Как часто в своей жизни вы встречали слово «функция»? Скорее всего, хотя бы раз вы его слышали. В математике тоже есть своя функция, которая отражает зависимость, связь нескольких величин. Например, расстояние зависит от скорости движения и времени, площадь круга зависит от его радиуса, масса воды в бассейне зависит от его объема. 

В данной статье будет рассматриваться зависимость между двумя величинами. 

К примеру, давайте вспомним, как находится объем куба V. Он зависит от длины его ребра a. 

Для каждого значения переменной a можно найти соответствующее ему значение V. Давайте попробуем:

если a=2, то V=a3=23=8;

если a=3, то V=a3=33=27;

если a=0,1, то V=a3=0,13=0,001.

Зависимость переменной V от значения переменной a можно записать формулой: 

V=a3

Переменную a, значения которой выбираются произвольно, называют
независимой
переменной, а переменную V, значения которой определяются в зависимости от выбранного значения переменной a, называют
зависимой
переменной.

---

Одна сторона прямоугольника равна 5 см, другая x см. Выразите зависимость площади прямоугольника от его стороны. Найдите значение площади прямоугольника при x=3; 2,4; 5 см.

---

Решение

Площадь прямоугольника находится как произведение его длины a на ширину b. Запишем это формулой: 

S=ab.

Одна из сторон равна 5 см, другая x см. Подставим их в формулу:

S=5x. 

Найдем значение площади прямоугольника при различных значениях переменной x.

При x=3 см,  S=5·x=5·3=15 см2

При x=2,4 см, S=5·x=5·2,4=12 см2

При x=5 см, S=5·x=5·5=25 см2

Ответ: S=5x; 15 см2, 12 см2, 25 см2.

---

На рисунке 1 представлен график зависимости температуры y (в градусах Цельсия) от времени x (в часах). Определите, чему равна температура при x=2,5 ч, x=12,5 ч.

---

Решение

---

---

При этом, независимую переменную называют
аргументом
, а о зависимой переменной говорят, что она является
функцией
от этого аргумента. Значения зависимой переменной называют
значениями функции
, а все значения, которые принимает независимая переменная, образуют
область определения функции
. 

---

1. Маша спешила к Кате на день рождения со скоростью 7 км/ч. Выразите формулой зависимость расстояния S, пройденного Катей, от времени t в пути. 

2. Велосипедист, ехал к месту отдыха со скоростью 12 км/ч. Задайте формулой зависимость расстояния S от времени t. Вычислите, какое расстояние велосипедист проехал за 3,5 ч, за 1,5 ч, за 30 минут. 

---

Вычисление значений функции по формуле

Наиболее распространенный способ задания функции – с помощью формулы, т.к. она позволяет для любого значения аргумента находить соответствующее значение функции путем вычислений.

---

Найдите все значения функции fx=6x-42 при целых значениях аргумента, если -2≤x<4.

---

Решение

1. Найдем все целые значения аргумента на указанном промежутке: -2, -1, 0, 1, 2, 3.

2. Найдем значения функции при указанных значениях аргумента: 

если x=-2, то fx=6x-42=6·(-2)-42=-12-42=-162=-8;

если x=-1, то fx=6x-42=6·(-1)-42=-6-42=-102=-5;

если x=0, то fx=6x-42=6·0-42=-42=-2;

если x=1, то fx=6x-42=6·1-42=6-42=22=1;

если x=2, то fx=6x-42=6·2-42=12-42=82=4;

если x=3, то fx=6x-42=6·3-42=18-42=142=7.

Ответ: -8, -5, -2, 1, 4, 7.

---

Результаты вычислений в предыдущем примере удобно записать в виде таблицы значений функции (таблица 1). Поскольку мы вычисляли целочисленные значения функции, то выбирали значения с шагом 1. 

Таблица 1. Таблица значений функции fx=6x-42

x	-2	-1	0	1	2	3
f(x)	-8	-5	-2	1	4	7

В рассмотренном примере был указан промежуток, где функция определена (область определения функции), однако, если она не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимых переменных, при которых формула имеет смысл.

Например, область определения функции y=x2+4 состоит из всех чисел. А вот область определения функции y=5x-7 состоит из всех чисел, кроме числа 7, т.к. при подстановке числа 7 в формулу, задающую функцию, получим в знаменателе нуль, чего быть не должно, т.к. на нуль делить нельзя. 

---

Найдите значение аргумента, при котором значение функции y=3,5x-12 равно 16.

---

Решение

1. Подставим значение функции в формулу. 

y=3,5x-12

16=3,5x-12

2. Найдем значение аргумента, решив получившееся уравнение.

3,5x-12=16

3,5x=16+12

3,5x=28

x=28∶3,5

x=8

Ответ: 8.

---

1. Функция задана формулой y=16x. В таблице 2 указаны некоторые значения аргумента. Заполните таблицу, вычислив соответствующие значения функции.

Таблица 2. Таблица значений функции y=16x

x	-8	-4	-2	1	4	16
y

2. Катер, двигаясь со скоростью v км/ч в течение 8 часов, прошел путь s км. Задайте формулой зависимость s от v. Пользуясь полученной формулой, найдите: а) s, если v=45 км/ч км/ч; б) v, если s=96 км.

---

---