Рассмотрим задачи,в которых требуется найти площадь треугольника изображённого на клетчатой бумаге.
Начнем с прямоугольных треугольников.
Задача 1
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник.
Найти его площадь.
Решение:
Площадь прямоугольного треугольника будем искать с помощью формулы
где a и b — катеты.
Длину катетов считаем по клеточкам.
1) a=2, b=5,
2) a=6, b=3,
Задача 2
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найти его площадь.
Решение:
Чаще всего площадь произвольного треугольника, изображённого на клетчатой бумаге, ищут по формуле
где a — сторона треугольника, ha — высота, проведённая к этой стороне.
a и ha вычисляем по клеточкам (одна из этих величин должна лежать на горизонтальной линии, другая — на вертикальной).
1) a=6, ha=4,
2) a=3, ha=5,
А как найти площадь, если ни одна из сторон треугольника не лежит на горизонтальной или вертикальной линии клеток?
Иногда площадь треугольника можно найти как разность площадей других фигур.
Задача 3
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.
Найдите его площадь.
Решение:
Обозначим вершины треугольника, площадь которого мы ищем, через A, B и C.
Площадь треугольника ABC можно найти как разность площадей прямоугольника AMNK и треугольников AKC, AMB и CBN:
Площадь прямоугольника найдём по формуле S=ab.
Площади прямоугольных треугольников найдём по формуле
где a и b — катеты.
Отсюда
Здравствуйте! В этой статье мы разберём задачи на нахождение площади треугольника построенного на листке в клетку (масштаб клетки 1×1). Фигуры на листе в клетку с вычислением их площади — это целая группа типов задач входящая в экзамен по математике. Кроме треугольника рассматриваются следующие фигуры — трапеция, параллелограмм, ромб, квадрат.
Решение заданий с треугольником труда не представляет, относятся они к простейшим. Для решения необходимо знать формулу площади треугольника и знать один приём, о котором я вам расскажу ниже.
Вообще, способов нахождения площади любой фигуры, построенной на листе в клетку существует более пяти. Все здесь рассматривать не будем, в интернете вы без труда найдёте их описание. Уверен, что тех рекомендаций, которые представлены будет вполне достаточно для решения.
Итак! Вам необходимо знать и понимать одну из основных формул площади треугольника, она наиболее часто используется при решении:
Длину основания и высоту считаем по клеткам. В задаче 27545 это наглядно показано. То есть, если перед вами задача, где треугольник построен именно таким образом, то считаем оговоренным способом. Например, рассмотрим треугольники:
У всех этих треугольников можно по клеткам установить длину основания и высоту. У первого основание равно 3, высота 5; у второго основание 6, высота 2; у третьего основание 6, высота 2; у четвертого основание равно 3, высота 8; у пятого основание равно 6, высота 2. Подставив их в формулу, остаётся только вычислить площадь (без ошибки).
Есть задачи, в которых треугольники расположены так, что по клеткам длину основания и высоту посчитать неудобно (но можно), вот примеры:
В задачах, где будут даны подобные треугольники, используйте способ, который по моему мнению универсален, его достоинство объясню в одной из следующих статей: «заключите» такой треугольник в прямоугольник, вычислите площадь прямоугольника, затем из его площади вычтите площади треугольников. Пример:
Найти площадь треугольника, изображённого на рисунке:
Заключим данный треугольник в прямоугольник:
Теперь вычислим площадь прямоугольника. Уверен, всем известно, что она равна произведению его соседних сторон:
Далее из его площади вычитаем площади трёх треугольников:
Ответ: 26
Есть ещё подобные задачи, но в них иначе представлено условие. Также нужно найти площадь треугольника, он построен на координатной плоскости, например:
Решения аналогичны: если можем установить длину основания и высоту треугольника по координатам, то далее площадь вычисляем просто по формуле:
В треугольнике на рисунке 1 этого сделать нельзя, поэтому советую построить данный треугольник по координатам на листе в клетку, и использовать уже рассмотренный нами метод, а именно описать около треугольника прямоугольник.
В будущем мы рассмотрим нахождения площадей параллелограммов, трапеций, четырёхугольников, элементов круга, а так же «сложных» фигур, не пропустите!
Спасибо за внимание, учитесь с удовольствием!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Ирина Алексеевна Антоненко
Эксперт по предмету «Геометрия»
Задать вопрос автору статьи
Понятие площади
Понятие площади любой геометрической фигуры, в частности треугольника, будем связывать с такой фигурой, как квадрат. За единицу площади любой геометрической фигуры будем принимать площадь квадрата, сторона которого равняется единице. Для полноты, вспомним два основных свойства для понятия площадей геометрических фигур.
Свойство 1: Если геометрические фигуры равны, то значения их площадей также равны.
Свойство 2: Любая фигура может быть разбита на несколько фигур. Причем площадь первоначальной фигуры равняется сумме значений площадей всех составляющих её фигур.
Рассмотрим пример.
Пример 1
Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице
Решение.
Очевидно, что одна из сторон треугольника является диагональю прямоугольника, у которого одна сторона имеет длину $5$ (так как $5$ клеток), а вторая $6$ (так как $6$ клеток). Следовательно, площадь этого треугольника будет равняться половине такого прямоугольника. Площадь прямоугольника равняется
$5cdot 6=30$
Тогда площадь треугольника равняется
$30:2=15$
Ответ: $15$.
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Далее рассмотрим несколько методов для нахождения площадей треугольников, а именно с помощью высоты и основания, с помощью формулы Герона и площадь равностороннего треугольника.
Как найти площадь треугольника через высоту и основание
Теорема 1
Площадь треугольника можно найти как половину произведения длины стороны, на высоту, проведенную к этой стороне.
Математически это выглядит следующим образом
$S=frac{1}{2}αh$
где $a$ — длина стороны, $h$ — высота, проведенная к ней.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=α$. К этой стороне проведена высота $BH$, которая равняется $h$. Достроим его до квадрата $AXYC$ как на рисунке 2.
Площадь прямоугольника $AXBH$ равняется $hcdot AH$, а прямоугольника $HBYC$ равняется $hcdot HC$. Тогда
$S_ABH=frac{1}{2}hcdot AH$, $S_CBH=frac{1}{2}hcdot HC$
Следовательно, искомая площадь треугольника, по свойству 2, равняется
$S=S_ABH+S_CBH=frac{1}{2}hcdot AH+frac{1}{2}hcdot HC=frac{1}{2}hcdot (AH+HC)=frac{1}{2}αh$
Теорема доказана.
«Как найти площадь треугольника. Формулы треугольника» 👇
Пример 2
Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице
Решение.
Основание этого треугольника равняется $9$ (так как $9$ составляет $9$ клеток). Высота также равняется $9$. Тогда, по теореме 1, получим
$S=frac{1}{2}cdot 9cdot 9=40,5$
Ответ: $40,5$.
Формула Герона
Теорема 2
Если нам даны три стороны треугольника $α$, $β$ и $γ$, то его площадь можно найти следующим образом
$S=sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$
здесь $ρ$ означает полупериметр этого треугольника.
Доказательство.
Рассмотрим следующий рисунок:
По теореме Пифагора из треугольника $ABH$ получим
$h^2=γ^2-x^2$
Из треугольника $CBH$, по теореме Пифагора, имеем
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Из этих двух соотношений получаем равенство
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
То есть
$x=frac{γ^2-α^2+β^2}{2β}$
Получим
$h^2=γ^2-(frac{γ^2-α^2+β^2}{2β})^2$
$h^2=frac{(α^2-(γ-β)^2 )((γ+β)^2-α^2)}{4β^2}$
$h^2=frac{(α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α)}{4β^2}$
Так как $ρ=frac{α+β+γ}{2}$, то $α+β+γ=2ρ$, значит
$h^2=frac{2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α)}{4β^2}$
$h^2=frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2 }$
$h=sqrt{frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2}}$
$h=frac{2}{β}sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$
По теореме 1, получим
$S=frac{1}{2} βh=frac{β}{2}cdot frac{2}{β} sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}=sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$
Теорема доказана.
Площадь равностороннего треугольника
Теорема 3
Площадь равностороннего треугольника определяется как произведение квадрата стороны с числом $frac{sqrt{3}}{4}$.
Математически это выглядит следующим образом
$S=frac{α^2sqrt{3}}{4}$
где $α$ – сторона треугольника.
Доказательство.
Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого сторона равняется $α$. Проведем высоту $h$ (рис. 5).
Высота равностороннего треугольника является также и медианой, значит, по теореме Пифагора
$h^2=α^2-frac{α^2}{4}$
$h^2=frac{3}{4} α^2$
$h=frac{αsqrt{3}}{2}$
Значит по теореме 1:
$S=frac{α^2sqrt{3}}{4}$
Теорема доказана.
Пример 3
Найти площадь равностороннего треугольника, если его сторона равняется $2$.
Решение.
Используя теорему 3, получим
$S=frac{4sqrt{3}}{4}=sqrt{3}$
Ответ: $sqrt{3}$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Содержание:
- Площадь треугольника
- Площадь параллелограмма
- Формула площади прямоугольника
- Площадь квадрата
- Площадь четырехугольника
- Площадь многоугольника
- Площадь ромба
- Площадь многогранника
- Площадь пятиугольника
- Площадь закрашенного сектора
- Площадь круга
- Площадь трапеции
Площадь треугольника
Прямоугольного
Равностороннего треугольника
Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника
S = a2/2
Площадь треугольника через синус
Площадь треугольника через косинус
Для нахождения площади треугольника нужно знать все стороны. По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны равен:
Следовательно:
Далее используем формулу Герона:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности
Произвольного треугольника
Формула Герона
Площадь треугольника через высоту
Площадь треугольника через полупериметр
Формула Герона
является полупериметром.
Площадь тупоугольного треугольника
S = ah/2
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности
S = p×r
где p — полупериметр:
Площадь параллелограмма
Через синус
Через стороны и углы
S = a×b×sin(α) = a×b×sin(β)
Через диагонали и угол между ними
Формула площади прямоугольника
S = a×b
Площадь квадрата
S = a2
Площадь четырехугольника
Выпуклого четырехугольника
где
Площадь многоугольника
S = S1 + S2 + S3 + S4
Правильного многоугольника
где n — количество сторон многоугольника.
Площадь ромба
Площадь многогранника
Площадь пятиугольника
Площадь закрашенного сектора
Площадь круга
S = πr2
Площадь трапеции
Через основания и высоту
Через высоту и среднюю линию
S = hm
Через четыре стороны
Через диагонали и угол между ними
Через основания и два угла
Нахождение площади треугольника с помощью стороны и высоты
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Введите значения стороны и высоты треугольника и калькулятор вычислит площадь треугольника.
сторона a
высота ha
Нахождение площади треугольника с помощью двух сторон и угла между ними
Калькулятор поможет найти площадь треугольника с помощью 2 сторон и угла между ними, угол задается в градусах.
сторона a
сторона b
угол β °
Формула Герона
Если известные 3 стороны треугольника, то для вычисления площади воспользуйтесь формулой Герона.
сторона a
сторона b
сторона c
Нахождение площади треугольника с помощью радиуса вписанной
Данной формулой удобно пользоваться когда в задаче дан полупериметр, но не даны значения сторон.
полупериметр p
радиус r
Нахождение площади треугольника с помощью радиуса описанной окружности
сторона a
сторона b
сторона c
Смотрите также
Другие страницы