Как правильно составить математическую модель задачи - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

Математическая модель описывает поведение какой-либо системы математическим языком. Математические модели используются не только в естественных науках и инженерном деле, но и в биологии, экономике и социологии. Математические модели могут быть самыми разными и иметь различную степень сложности.^[1] Прочтите данную статью, чтобы узнать, как создавать математические модели.

1
Определите, что именно необходимо узнать. Какова цель создания модели? Составьте список данных, которые необходимо определить с помощью математической модели. Прежде чем приступить к построению модели, следует поставить перед собой конкретные цели, иначе вы рискуете создать модель, которая не будет соответствовать стоящей перед вами задаче.^[2]
- Хотите ли вы что-либо предсказать? Или выяснить, как управлять чем-либо? А может, вы собираетесь достичь чего-нибудь другого?^[3]
- Предположим, вы хотите узнать, сколько места в вашей кладовке, чтобы определить, какое количество коробок поместится в нее. Для этого можно создать подходящую модель.
2
Определите, что вам известно. Какими исходными данными вы располагаете? Выпишите все, что вам известно. При составлении списка посмотрите, какие данные имеют первоочередное значение, а какие не столь важны.^[4]
- Следует также записать любую информацию, которую можно вынести из исходных данных.
- Учтите, что для получения необходимых данных вам, возможно, придется провести некоторые измерения.
- Чтобы найти объем вашей кладовой комнаты, необходимо измерить ее высоту, ширину и длину.
3
Определите физические принципы, которые лежат в основе создаваемой вами модели. Следует ли учитывать такие факторы, как сила тяжести, объем, время и так далее? Запишите все факторы, которые придется принять во внимание при построении модели.^[5]
- Чтобы определить, сколько места в кладовке, необходимо найти ее объем.
- Следует также помнить о том, что определенная часть объема останется незанятой, так как хранящиеся предметы могут иметь неправильную форму, и будет непросто использовать каждый сантиметр кладовки.^[6]
4
Определите уравнения, которые понадобятся вам для решения поставленной задачи. Какие уравнения и формулы потребуются для того, чтобы найти ответ? Каким образом их следует использовать? Необходимо ясно представлять себе, как именно вы будете подставлять исходные данные в имеющиеся формулы.
- Чтобы найти объем кладовой, следует умножить ее высоту на ширину и длину: V= h x w x l^[7]
5
Посмотрите, что уже было сделано другими. Нет никакой надобности изобретать велосипед в том случае, если кто-то уже создал модель, которая подходит вам. Загляните в учебник или посоветуйтесь со своим преподавателем. При этом следует убедиться в том, что готовую модель можно использовать в вашем случае.
- Чтобы узнать, как найти объем какого-либо тела, загляните в учебник или проконсультируйтесь с преподавателем.
6
Изобразите модель в виде схемы. В случае простой математической модели можно обойтись и без схемы. Однако если вы рассматриваете более сложные вопросы, схема поможет вам разобраться, как именно работает ваша модель. Попробуйте схематически изобразить создаваемую модель.^[8]
- Обязательно включите в схему исходные данные — это поможет вам при дальнейшей разработке модели.
Реклама

1
Создайте модель. После стадии предварительной подготовки и планирования следует приступить к построению самой модели. Используйте при этом созданную ранее схему, исходные данные и другую полезную информацию. Почаще проверяйте свои действия, чтобы не допустить ошибку.^[9]
- Убедитесь в том, что ваша модель действительно описывает наблюдаемые соотношения между данными величинами и процессами.
- Для создания сложной модели может понадобиться компьютерная программа.
2
Проверьте свою модель. Прежде чем использовать модель, необходимо проверить ее правильность. Подставьте численные данные и посмотрите, получатся ли правильные результаты. Ожидали ли вы получить именно эти результаты? Имеют ли они смысл? Воспроизводимы ли они?^[10]
- Подставьте численные значения в формулу V = h x w x l и определите, имеет ли смысл полученный результат. Повторите свои действия, чтобы убедиться, что получаются воспроизводимые результаты.
3
Подумайте, как можно улучшить модель. Не исключено, что вам удастся улучшить свою модель, и она станет более пригодной для дальнейшего использования. Существуют ли дополнительные факторы, которые следует учесть? Обладает ли модель ограничениями, которых можно избежать? Прежде чем использовать модель в дальнейшем, подумайте над тем, как ее можно улучшить.^[11]
- Например, если в кладовой необходимо оставить проход шириной 1 метр, можно учесть это в уравнении. Просто вычтите ширину прохода из общей ширины помещения. В результате уравнение приобретет следующий вид: V = h x (w-1) x l^[12]
- После того, как вы определите способы улучшения своей модели, внесите в нее соответствующие изменения и вновь проверьте ее.
Реклама

Советы

Если вам что-либо неясно, посоветуйтесь со своим преподавателем математики.
Прежде чем приступить к созданию модели, несколько раз внимательно перечитайте условие задачи.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 20 642 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Типовой проект работы над задачей включает следующие
друг за другом этапы решения задачи:

1) анализ
текста задачи, краткая запись;

2) поиск
способа решения задачи, составление плана ее решения;

3) решение
задачи и его запись; проверка решения задачи;

4) выбор
и запись ответа;

5) анализ
решения задачи, возможные обобщения.

Коротко остановимся на каждом этапе типового
проекта.

От качества анализа текста задачи зависит и поиск ее
решения. Не надо спешить начинать решать задачу. Необходимо дать время
учащимся познакомиться с текстом задачи, внимательно его прочитать. Часто
ученики не могут решить задачу еще и потому, что они не понимают условия
задачи.

Работу над текстом задачи, в зависимости от уровня
обученности учащихся, может проводить учитель; работа может проводиться
учителем с привлечением учащихся; учитель может организовать работу в парах;
учащиеся могут самостоятельно поработать над текстом задачи.

Анализ текста задачи предполагает: разбиение текста
на условие и требование; разбиение условия и требования на элементарные
предложения; определение роли и значимости каждого из условий.

При анализе условия целесообразно выяснить:

–
Какие ситуации рассматриваются в задаче?

–
Какими величинами они (ситуации)
характеризуются?

–
Что известно о каждой рассматриваемой
ситуации?

–
Что нужно найти?

Эти вопросы первое время формулирует учитель, организуя
анализ текста задачи, затем ребята, работая в парах, в группах в процессе
решения задач задают эти вопросы друг другу, а уже позже – сами себе во
время самостоятельного решения задач.

По итогам анализа содержания выполняется краткая
запись. Она может быть выполнена в виде рисунка, схемы, таблицы (нередко
ребята одновременно оформляют рисунок и таблицу, схему и таблицу).

Для того чтобы освоить умения по решению текстовых
задач, учащиеся должны овладеть некоторыми ориентирами по поиску решения
задач. Учитель обязан уметь организовать поиск решения задачи посредством
диалога.

Остановимся на
алгебраическом способе решения задач. Алгебраический способ – это метод
решения задачи путем составления математической модели (уравнения, неравенства)
и ее решения.
Моделирование позволяет отвлечься от несущественных в данном конкретном
случае свойств объекта и отразить какое-то его определенное свойство, что
облегчает процесс исследования и, следовательно, решение задачи.
Государственные
образовательные стандарты 2-го поколения, с одной стороны, – поддерживают традиции обучения
математике, с другой, – расставляют иные акценты и определяют иные приоритеты. Так
в условиях образования, ориентированного на развитие мышления у школьников,
особое значение в обучении и, прежде всего, при осуществлении решения задач,
приобретает овладение действием моделирования, поскольку, как показали
исследования, оно способствует формированию обобщённых действий.

Весь процесс, связанный с решением текстовой задачи
основан на моделировании:

–
текст задачи – это знаковая модель
реальной ситуации;

–
сложный текст задачи исследуется с
помощью промежуточной, вспомогательной модели (схема, рисунок, таблица,
краткая запись);

–
результаты исследования модели – схемы
описываются в виде математической модели, которая является средством для
получения ответа на требование задачи;

–
запись ответа – перевод полученного
решения на тот язык, на котором была сформулирована задача.

Все вспомогательные модели (текст, схема, рисунок,
таблица, краткая запись, уравнение) являются различными моделями одного и
того же объекта. Задачи и различаются тем, что выполнены на разных языках:
языке слов, языке образов, языке математических символов.

С этой позиции процесс формирования умения решать
задачи можно рассматривать как обучение приемам перевода моделей одного вида
к модели другого вида, а моделирование выступает в качестве обобщенного
способа решения задачи любого типа.

Текстовая задача – это словесная модель некоторого
явления (ситуации, процесса). Чтобы решить такую задачу, надо перевести её на
язык математических действий, т. е. построить её математическую модель.

Математическая модель –
это описание какого-либо реального процесса на языке математических понятий,
формул и отношений.

В процессе решения задачи чётко выделяют три этапа
математического моделирования:

1
этап – это перевод условия задачи на математический язык; при этом выделяются
необходимые для решения данные и искомые; математическими способами
описываются связи между ними (т.е. происходит кодирование информации – запись
с помощью знаковой системы);

2
этап – внутримодельное решение (т. е. выполнение действий, составление и
нахождение значения переменных);

3
этап – интерпретация, т. е. перевод полученного решения на тот язык, на
котором была сформулирована исходная задача (или же декодирование –
восстановление сообщения из последовательности знаковых кодов).

В процессе решения текстовой задачи наибольшую
сложность представляет перевод текста с естественного языка на математический,
т. е. первый этап математического моделирования.

Чтобы облегчить эту процедуру, ребятам и необходимо
строить вспомогательные модели-схемы, таблицы и др. Тогда процесс решения
задачи можно рассматривать как переход от одной модели к другой: от словесной
модели реальной ситуации, представленной в задаче, к вспомогательной (схемы,
таблицы, рисунки), от неё – к математической, на которой и происходит решение
задачи.

Единых требований к оформлению решения задач нет.
Однако нужно

следить
за тем, чтобы запись решения отвечала требованиям к решению задач: решение и
ответ задачи должны быть правильными; решение должно содержать всю цепочку
обоснованных рассуждений, приведших к результату; запись решений должна быть
корректной.

Проверка решения задачи может быть выполнена
следующими способами: прикидка; соотнесение результата с условием задачи;
решение задачи другим способом; составление обратной задачи.

Приведем примеры организации учебной
деятельности учащихся по решению задач алгебраическим способом
(путем составления математической модели).

Задача
1(5 класс): В первый день в овощном магазине
продали на 3,78 т овощей больше, чем во второй день. Сколько овощей продали в
каждый из этих дней, если в первый день продали в 4 раза больше, чем во
второй?

К этому моменту ребята уже владеют простейшими
умениями работы с текстовой задачей, они могут выделить в тексте задачи
условие и требование.

Предлагаем вашему вниманию вопросы (эти вопросы
первое время формулирует учитель; затем ребята, работая в парах, в группах в
процессе решения задач задают эти вопросы друг другу; а уже позже – сами себе
во время самостоятельного решения задач), которые формулируются с целью
анализа текста задачи.

Вопросы учителя (а впоследствии, вопросы учащегося самому себе)	Предполагаемые ответы у ащихся
Какой жизненный процесс описан в задаче?	Это задача о продаже овощей в магазине
Какими основными величинами характеризуется этот процесс?	Количество овощей в первый день (А), количество овощей во второй день (В)
Каким соотношением (формуло ) связаны эти величины?	А>В на С, А>B в n раз
Какие ситуации описаны в задаче?	1 ситуация: в первый день продали в 4 раза больше, чем во второй; 2 ситуация: в первый же день продали на 3,78т больше, чем во второй день.
Что известно о количестве овощей в первый день(А), количестве овощей во второй день(В)? Как удобно представить эти данные?	Перечисляют все, что известно о величинах и предлагают составить краткую запись

I
— ? т, в 4 раза > чем

II
— ? т, на 3, 78т <чем

Рассмотрим вопросы, стимулирующие поиск решения:
Как вы думаете, какую величину удобнее обозначить за х в этой задаче? Что
через нее можно выразить? А достаточно ли здесь условия для решения задачи?

Приведем решение данной задачи через описание этапов
моделирования, которые должны быть освоены учащимися основной школы.

1
этап (перевод задачи на математический язык):
Пусть х т овощей продали во второй день, тогда 4х т овощей было продано в
первый день.

Так
как в первый день было продано на 3,78 т овощей больше, чем во второй, то
составим уравнение: 4х-х=3,78

2
этап (работа с математической моделью):
Решим уравнение:

4х-х=3,78,

3х=3,78,

х=1,26.

3 этап (перевод
результата 2 этапа на язык задачи): Значит 1,26 т
овощей продали во второй день, 1,26∙4=5,04(1,26+3,78=5,04) т овощей продали в
первый день.

Ответ: 5,05т; 1,26т.

Учителю важно понимать, что решение учащимися задачи является не самоцелью, а
является средством его развития и обучения. Поэтому необходимо организовывать
обсуждение (выделение и анализ) проделанных действий и их недостатков, других
способов решения, сущности и выявления условий возможности применения тех
приемов, которые были использованы для работы над этой задачей.

Задача
2 (6класс): Одна скважина на 3,4 м глубже
другой. Если глубину первой скважины увеличить на 21,6 м, а второй – в 3
раза, то обе скважины будут иметь одинаковую глубину. Найдите глубину каждой
скважины.

Предлагаем вашему вниманию вопросы (эти вопросы первое время формулирует
учитель; затем ребята, работая в парах, в группах в процессе решения задач
задают эти вопросы друг другу; а уже позже – сами себе во время
самостоятельного решения задач), которые формулируются с целью анализа
текста задачи.

Вопросы учителя (а впоследствии, вопросы учащегося самому себе)	Предполагаемые ответы учащихся
Какой жизненный процесс описан в задаче?	Это задача о двух скважинах
Какими основными величинами характеризуется этот процесс?	Глубина 1 скважины (А), глубина второй скважины (В)
Каким соотношением формулой) связаны эти величины?	А>В на С, А=В
Какие ситуации описаны в задаче?	1 ситуация: 2 скважины имеют первоначальную глубину; 2 ситуация: глубину каждой скважины изменили.
Что известно о глубине первой скважины (А), о глубине второй скважины (В)? Как удобно представить эти данные?	Перечисляют все, что известно о величинах и предлагают составить краткую запись

В процессе работы с текстом задачи ученик не может непосредственно
исследовать описанную ситуацию, но полученные результаты анализа текста можно
использовать для дальнейшего понимания процесса, описанного в задаче. Для
этого их нужно как-то зафиксировать. Надо найти удобную, более компактную,
чем словесное описание форму представления содержания и в то же время
достаточно наглядную. Такой формой является вспомогательная модель задачи –
рисунок, схема, таблица, чертеж, диаграмма и др., позволяющая
продемонстрировать отношения, взаимосвязь между данными и искомыми.

Представим
краткую запись в виде таблицы (схемы, вспомогательной модели):

	было	изменили	стало
1 скважина	? м, на 3,4 м>	+21,6 м
			поровну
2 скважина	? м	∙3

Так как вспомогательная модель – это своеобразная копия задачи, на ней должны
быть представлены все ее объекты, все отношения между ними, указаны
требования. Для проверки правильности построения вспомогательной модели
задачи можно задать следующие вопросы: все ли объекты задачи и их величины
показаны на модели? все отношения между ними отражены? все ли числовые данные
приведены? обозначен ли вопрос?

Предлагаем вопросы, стимулирующие поиск решения:
Как вы думаете, какую величину удобнее обозначить за х в этой задаче? Что
через нее можно выразить? А достаточно ли здесь условия для решения задачи?

После того, как ответы на эти вопросы будут получены,
таблица может выглядеть так:

	было	изменили	стало
1 скважина	? м, на 3,4 м> х+3,4	+21,6 м	х+3,4+21,6
			поровну
2 скважина	? м х	∙3	3х

Этапы моделирования:

1
этап (перевод задачи на математический язык):
Пусть х м глубина 2 скважины, тогда (х+3,4) м глубина 1 скважины. После
изменений (х+25) м стала глубина 1 скважина, 3х м – глубина 2 скважины.

Так как после изменений глубины скважин равны, то составим уравнение:
х+25=3х.

2
этап (работа с математической моделью):
Решим уравнение:

х+25=3х,

3х–х=25,

х=12,5.

3
этап (перевод результата 2 этапа на язык задачи):
Значит 12,5 м была глубина второй скважины; 15,9 м была глубина 1 скважины.

Ответ: 15,9 м, 12,5 м.

Задача
3 (7 класс): Катер шел по течению реки 5 ч, а
затем против течения 3 ч. Найдите собственную скорость катера, если известно,
что скорость течения реки 3 км/ч, а всего пройдено 126 км.

Перечислим величины, характеризующие процесс
движения по реке, и их взаимосвязь, которые ребята
в результате совместной работы выделяют при первых
встречах с такими задачными ситуациями. Эти ориентиры следует внести в банк
ориентиров (это может быть отдельная тетрадь, форзац тетради, съемные стенды
для кабинета), помогающих успешно решать текстовые задачи.

v_{течения}
— скорость течения реки;

v_{собств.}
– собственная скорость катера;

t
– время движения;

S
– расстояние.

–
Скорость тела при движении по течению реки
равна сумме собственной скорости тела и скорости течения реки.

v
_{собств.}

v_{по течению}= v_{собств.} + v_{течения}

v
_{течения}

–
Скорость тела при движении против
течения реки равна разности собственной скорости тела и скорости течения
реки.

v_{по течению}= v_{собств.} — v_{течения} v_{собств.}

v
_{течения}

Предлагаем вопросы (эти вопросы первое время
формулирует учитель; затем ребята, работая в парах, в группах в процессе
решения задач задают эти вопросы друг другу; а уже позже – сами себе во время
самостоятельного решения задач), которые формулируются с целью анализа текста
задачи.

Вопросы учителя (а впоследствии, вопросы учащегося самому себе)	Предполагаемые ответы учащихся
Какой жизненный процесс описан в задаче?	Это задача о движении катера по течению реки и против течения реки
Какими основными величинами характеризуется этот процесс?	Время движения, скорость течения реки, собственная скорость катера, расстояние
Каким соотношением (формулой) связаны эти величины?
Какие ситуации описаны в задаче?	1 ситуация: движение катера по течению; 2 ситуация: движение катера против течения реки
Что известно о скорости, времени и пути по течению реки и против течения? Как удобно представить эти данные?	Перечисля т все, что известно о величинах и предлагают составить краткую запись

Представим
краткую запись (вспомогательную модель задачи) в виде таблицы:

	v, км/ч	t, ч	S, км
По течению	х+3	5	5(х+3)
Против течения	х–3	3	3(х-3)

Для проверки правильности построения вспомогательной модели задачи рекомендуется
задать следующие вопросы: все ли объекты задачи и их величины показаны на
модели? все отношения между ними отражены? все ли числовые данные приведены?
обозначен ли вопрос?

Этапы
моделирования:

1
этап (перевод задачи на математический язык):
Пусть х км/ч собственная скорость катера, тогда (х+3) км/ч скорость катера по
течению реки, (х-3) км/ч скорость катера против течения реки.

Зная
время движения и скорость, найдем расстояния, которые прошел катер в каждом
направлении 5(х+3) км – по течению, 3(х-3) км – против течения.

Так
как всего прошел 126 км, составим уравнение: 5(х+3)+3(х–3)=126.

2
этап (работа с математической моделью):
Решим уравнение:

5х+15+3х–9=126,

8х=120,

х=15.

3
этап (перевод результата 2 этапа на язык задачи):

15
км/ч собственная скорость катера.

Ответ: 15 км/ч

Задача
4 (8 класс): Две бригады, работая вместе могут
выполнить задание за 8 ч. Превая бригада, работая одна, могла бы выполнить
задание на 12 ч быстрее, чем вторая бригада. За сколько часов могла бы
выполнить задание первая бригада, если бы она работала одна?

Перечислим величины, характеризующие процесс работы,
и их взаимосвязь, которые ребята в результате
совместной работы выделяют при первых встречах с
такими задачными ситуациями. Эти ориентиры следует внести в банк ориентиров
(это может быть отдельная тетрадь, форзац тетради, съемные стенды для
кабинета), позволяющих успешно решать текстовые задачи.

n
– производительность (объем работы за единицу времени);

t
– время работы;

А — объем работы.

Задачи на работу для учащихся более трудны и
непонятны, в них, как правило, мало данных. Поэтому можно вместе с учениками провести
«параллель» между величинами, характеризующими задачи на работу и задачи на
движение. В результате возможно появление таблицы, которая может служить
неким ориентиром при поиске способа решения задачи:

Вместе с учениками полезно прийти к выводу о том,
что если объем всей работы по условию задачи неизвестен, то его можно
обозначить за 1.

Вопросы учителя (а впоследствии, вопросы учащегося самому себе)	Предполагаемые ответы учащихся
Какой жизненный процесс описан в задаче?	Это задача о работе, которую могут выполнить две бригады вместе и каждая самостоятельно
Какими основными величинами характеризуется этот процесс?	Время выполнения работы, скорость выполнения работы — производительность, задание – объем выполненной работы
Каким соотношением (формулой) связаны эти величины?
Какие ситуации описаны в задаче?	1 ситуация: работу выполняют вместе; 2 ситуация: ту же самую работу выполняет 1 бригада; 3 ситуация: ту же самую работу выполняет 2 бригада
Что известно о производительности, времени и объеме работы? Как удобно представить эти данные?	Перечисляют все, что известно о величинах и предлагают составить краткую запись

Представим краткую запись и все введенные обозначения (вспомогательную модель
задачи) в виде таблицы:

	n, частей/ч	t, ч	A, частей
1		? , на 12 <, чем х	1
2		? х+12	1
1+2		8	1

Для проверки правильности построения вспомогательной модели задачи можно
задать следующие вопросы: все ли объекты задачи и их величины показаны на
модели? все отношения между ними отражены? все ли числовые данные приведены?
обозначен ли вопрос?

Этапы
моделирования:

1
этап (перевод задачи на математический язык):
Обозначим за 1 – весь объем работы или по условию задачи – задание.

Пусть
х ч – время работы 1 бригады, тогда (х+12)ч – время работы 2 бригады.

частей/ч – производительность 1 бригады,
– частей/ч производительность 2 бригады,

частей/ч – совместная производительность
двух бригад. Составим уравнение: +=.

2
этап (работа с математической моделью):
Решим уравнение:

+=, х≠0, х≠–12,

х²–4х–96=0,

х₁=–8,
х₂=12

3
этап (перевод результата 2 этапа на язык задачи):
–8 не удовлетворяет условию задачи (время работы не может быть
отрицательным), 12 ч – время работы 1 бригады.

Ответ: 12ч.

Задача
5 (8-9 класс). На соревнованиях по кольцевой
трассе один лыжник проходил круг на 3 минуты быстрее другого и через час
обогнал ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходил круг?

Перечислим величины, характеризующие процесс
кругового движения, и их взаимосвязь, которые ребята
в результате совместной работы выделяют при первых
встречах с такими задачными ситуациями. Эти ориентиры, также как и ориентиры
в задачах на движение, на работу, на проценты, на смеси и сплавы, необходимо
внести в банк ориентиров (это может быть отдельная тетрадь, форзац тетради,
съемные стенды для кабинета), позволяющих успешно решать текстовые задачи.

v
– скорость движения;

T–
время движения;

t
– время прохождения одного круга;

n
– количество кругов;

l
– длина одного круга.

;
;

Вопросы учителя (а впоследствии, вопросы учащегося самому себе)	Предполагаемые ответы учащихся
Какой жизненный процесс описан в задаче?	Это задача о движении двух лыжников по круговой трассе
Какими основными величинами характеризуется этот процесс?	Время прохождения одного круга, время движения, скорость, длина одного круга, расстояние, количество кругов
Каким соотношением (формулой) связаны эти величины?	; ;
Какие ситуации описаны в задаче?	У первого лыжника скорость больше, чем у второго и за 1 час первый лыжник обогнал второго ровно на 1 круг
Что известно о скорости, времени и пути каждого лыжника? Как удобно представить эти данные?	Перечисляют все, что известно о величинах и предлагают составить краткую запись

Полезно вместе с учениками создать некую схему,
визуализирующую процесс, описанный в задаче.

Этапы моделирования:

1
этап (перевод задачи на математический язык):
Пусть за x минут проходил круг первый лыжник, тогда за (x+3) минуты проходил
круг второй лыжник.

кругов проходил первый лыжник за час,
кругов
проходил
второй лыжник за час.

Известно, что второй лыжник обогнал первого ровно на
один круг. Составим математическую модель данной задачи.

2 этап (работа с математической
моделью): Решим уравнение:

– =1, х≠0, х≠-3

х₁=–15, х₂=12.

3 этап (перевод результата 2 этапа
на язык задачи): –15 не удовлетворяют условию
задачи. 12 минут – время первого лыжника, 15 минут – время второго лыжника.

Ответ: 12 мин, 15 мин.

Задача
6 (встречается с завидным постоянством и в ОГЭ, и в ЕГЭ):
Из пункта A в пункт B одновременно выехали два
автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал
первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со
скоростью на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в
пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого
автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Анализ текста задачи:

Вопросы учителя (а впоследствии, вопросы учащегося самому себе)	Предполагаемые ответы учащихся
Какой жизненный процесс описан в задаче?	Это задача о движении двух автомобилей
Какими основными величинами характеризуется этот процесс?	Скорость, время, расстояние
Каким соотношением (формулой) связаны эти величины?
Какие ситуации описаны в задаче?	1 автомобиль проехал весь путь без остановок с одной и той же скоростью 2 автомобиль половину пути ехал с одной скоростью, а вторую половину с другой, но прибыл в конечный пункт одновременно с первым
Что известно о скорости, времени и пути каждого автомобиля? Как удобно представить эти данные?	Перечисляют все, что известно о величинах и предлагают составить краткую запись

Этапы моделирования:

1 этап (перевод
задачи на математический язык):

	v, км/ч	t,ч	S, км
1 авто	?	одинаково	Весь путь
2 авто	1 половина	24	одинаково	0,5 пути
2 половина	?, на 16 км/ч >, чем 1 авто	0,5 пути

С учащимися одинаковое время можно обозначить знаком
=, а клетки расстояния оставить пустыми, но неоднократно проговорить о том,
что первый проехал весь путь, а второй проехал его же – как два участка с
разными скоростями.

Рассмотрим вопросы, направляющие на поиск решения:
Как вы думаете, какую величину удобнее обозначить за х в этой задаче? Что
через нее можно выразить? А достаточно ли здесь условия для решения задачи?

Здесь расстояние или пройденный путь можно
обозначить – в менее подготовленном классе за s;
а в более подготовленном за 1.

И в результате дополнить таблицу до следующего вида:

	v, км/ч	t,ч	S, км
1 авто	? х		S
2 авто	1 половина	24
2 половина	?,на16км/ч >, чем 1 авто х+16

2 этап (работа с математической моделью),
а именно решение дробно-рационального уравнения:+ = ,

х₁= –24, х₂= 32.

3 этап (перевод результата 2 этапа на язык задачи):

–24 не удовлетворяет условию задачи, скорость не
может быть отрицательной.

Значит, 32 км/ч скорость первого автомобиля.

Ответ: 32 км/ч.

Задача7 (экономическая, похожая задача
была в реальном ЕГЭ-2016): Планируется взять
кредит на срок 24 месяца. Условия возврата таковы:

–
первого числа каждого месяца долг
возрастает на р% по сравнению с концом предыдущего месяца;

–
со 2-го по 14-е число каждого месяца
необходимо выплатить часть долга;

–
15-го числа каждого месяца долг должен
быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно,
что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы,
взятой в кредит. Найдите р.

Предполагается,
что если ребята берутся за такую задачу, то они умеют выделить в тексте
задачи условия и требования и владеют представлениями о нахождении процентов
от числа.

Анализ
текста задачи:

Этапы моделирования:

Вопросы учащегося самому себе	Предполагаемые ответы
Какой жизненный процесс описан в задаче?	Это задача на проценты, о том, что взяли кредит, который согласно заданным условиям возврата необходимо выплатить
Какими основными величинами характеризуется этот процесс?	S – сумма кредита, n – количество месяцев (срок кредитования), р – процент, на который ежемесячно возрастает долг по сравнению с концом предыдущего месяца, а – процент, на который общая сумма выплат после полного погашения больше суммы, взятой в кредит
Каким соотношением (формулой) связаны эти величины?	S+0,01pS+0,01p+0,01p+…+0,01p величина процентов, добавленная за n месяцев = S+0,01aS
Какие ситуации описаны в задаче?	1ситуация: ежемесячно 1 числа остаток долга возрастает на р% 2 ситуация: ежемесячно необходимо выплачивать проценты и часть кредита.
Что известно о сумме кредита, количестве месяцев, проценте кредита, сумме возврата? Как удобно представить эти данные?	Перечисляют все, что известно о величинах и предлагают составить краткую запись

1 этап (перевод
задачи на математический язык):

Пусть
S
– сумма кредита,

р
– процент, который начисляют ежемесячно на остаток,

n=24,

1,3S
– сумма, которую необходимо вернуть (общая сумма выплат после полного
погашения кредита).

S+0,01р ∙S + 0,01p+0,01p+…+0,01p = 1,3S.

Необходимо
вместе с учащимися прийти к этой формуле.

2
этап (работа с математической моделью):
Разделим обе части этого уравнения на положительное число S
и решим уравнение

1+0,01р
+ 0,01p+0,01p+…+0,01p
= 1,3,

0,01р(1+++…+)=0,3.

1+++…+– сумма
арифметической прогрессии, где а₁=1, а₂₄=, количество
членов равно 24.

0,01р
∙=0,3,

р=,

р=2,4

3
этап (перевод результата 2 этапа на язык задачи):

2,4%
– процент, на который ежемесячно возрастал долг по
сравнению с концом предыдущего месяца.

Ответ:
2,4%

Мы привели лишь некоторый набор задач и показали,
как можно организовать учебную деятельность учащихся по обучению решению
текстовых задач, работе с текстовой информацией.

Источник

Для использования стандартных
вычислительных алгоритмов ЛП требуется
математическая запись модели. Таким
образом, необходимо умение переводить
словесное описание задачи на язык
математических символов.

Составление математической модели
начинают с выбора переменных,
совокупность числовых значений которых
однозначно определяет один из вариантов
процесса. Следует иметь в виду, что иной
раз от удачного выбора этих переменных
зависит простота модели и, следовательно,
удобство дальнейшего ее анализа.

После выбора переменных необходимо
составить ограничения по тексту
задачи, которым эти переменные должны
удовлетворять. При этом нужно следить,
чтобы в модель были включены все
ограничительные условия и в то же время
не было ни одного лишнего или записанного
в более жесткой, чем требуется условиями
задачи, форме.

Наконец, составляется целевая функция,
которая в математической форме отражает
критерий выбора лучшего варианта.

После составления математической
модели необходимо рассмотреть

возможные пути ее упрощения и выбрать
подходящий вычислительный метод для
решения задачи.

Этап I — Выбор
переменных, необходимых для математической
модели задачи.

Введем следующие переменные переменные:

x_i– площадь посеваi-ой
с/х культуры,i =
,

c_i– число единиц удобрения, внесенных
подi-ую с/х культуру,i =
,

b_ik— урожайностьi-ой культуры с
единицы площади посевов, на которую
внеслиkединиц удобрений.

Таким образом, решением задачи будет
являться вектор x
= (x₁, x₂,
…, x_n),
который представляет собой способ
распределения земель междуn
посевами, а также векторc
= (c₁, c₂,
…, c_n),
иллюстрирующий распределение единиц
удобрений по соответствующим участкам
земли.

Этап II –
Составление ограничений.

Составим ограничения, которым должны
удовлетворять переменные:

Суммарная площадь, занимаемая n
посевами, должна быть равна
фиксированному значениюS:

(1.1)

Суммарное количество внесенных
удобрений не должно превышать K
(однако, может быть и меньшеK,
так как необходимо учесть тот факт,
что внесение удобрений может навредить
посевам):

(1.2)

Учитывая тот факт, что ассортимент i
культуры зависит от ее урожайности,
запишем следующее ограничение:

(1.3)

В данном случае под λ_iпонимается число единицi—ой
культуры, которое должно быть получено
в результате. Перемножая урожайность
соответствующей культурой с занимаемой
ею площадью, мы получаем в итоге реальное
количество продукции. Накладываемое
ограничение говорит о том, что реальное
количество продукции не должно быть
меньше требуемого.

Также используем в качестве ограничения
условие неотрицательности:

(1.4)

Важно отметить, что переменная x_iможет принимать нулевое значение,
так как не исключена вероятность того,
что выращиваниеi—ой
культуры может повлиять на суммарный
доход таким образом, что он окажется
меньше, чем если бы эта культура не
выращивалась вовсе. И, быть может, более
выгодно будет вложить больше удобрений
во все остальные культуры.

Этап
III
— Составление целевой функции.

Составим целевую функцию, которая в
математической форме, отражает критерий
эффективности выбора лучшего варианта.

Так как необходимо найти способ
распределения земель и удобрений, при
котором суммарный доход от продажи
продукта будет максимален, то целевую
функцию можно представить в виде
разности между выгодой от продажи
каждого продукта и расходами на
удобрения:

(1.6)

Итак,
математическая модель задачи будет
иметь вид:

(1.7)

Данная математическая модель является
нелинейной. Упростим ее, введя
дополнительную булеву переменную:

если
k единиц удобрений
внесли в единицу площади подi—ую
культуру

иначе

В результате будет получена матрица,
состоящая из нулей и единиц:

k i	1	..	K
1
..
n

При этом необходимо учесть следующие
ограничения для этой переменной:

Сумма по столбцам в каждой строке
матрицы Y не
должна превышать 1:

(1.8)

Это говорит о том, что под каждую культуру
не более одного раза вносится определенное
количество единиц удобрений.

Тогда ограничение для суммарного
количества удобрений можно переписать
следующим образом:

(1.9)

И ограничение для урожайности культур
также примет вид:

(1.10)

Целевую функцию также можно представить
в виде:

(1.11)

В результате получим видоизмененную
математическую модель:

(1.12)

Как видно, в полученной математической
модели не используются переменные c_i_.Вместо этого искомый способ
распределения земель и удобрений будет
заключаться в том, что при различных
наборах значений матрицыY,
отражающих распределение единиц
удобрений на единице площади каждой
культуры, будет найдено соответствующее
распределение земель. При этом каждый
раз будет получено определенное значение
целевой функции. Выбрав в итоге
максимальное значение, мы найдём искомый
вариант оптимального распределения.

Соседние файлы в предмете Теория Принятия Решений

Источник

На прошлом уроке нами была установлена взаимозависимость между математическим языком и математической моделью. Теоретический базис заложен, так что теперь самое время переходить к практике. Далее мы подробнее рассмотрим составление математической модели и простые задачи, решаемые с помощью математической модели.

На первых порах тема может даваться с трудом. Но есть хорошая новость. Составление математической модели — это во многом навык.

Чем больше типовых задач вы нарешаете, тем проще вам будет ориентироваться в моделировании.

Этапы составления математической модели

Ранее мы описывали, что этапы составления математической модели включают в себя:

1. Наблюдение	2. Моделирование	3. Предсказание
Анализ задачи; на основе анализа подготовка частей будущей математической модели.	Логическое объединение частей и составление математической модели.	Использование составленной математической модели для заключений по вопросу задачи.

С практической точки зрения наибольшую сложность представляют два первых этапа — наблюдение и моделирование. Чтобы их успешно завершать, необходимо умение правильно переводить текстовые утверждения на язык математики.

Что нужно хорошо понимать. На этапе наблюдения обычно переводятся части будущего алгебраического выражения. В процессе этапа моделирования эти части объединяются.

«Типовая задача»?

Еще раз подчеркнем, что задачи для седьмого класса, решаемые с помощью математической модели, являются типовыми. Что это означает? Они отличаются одинаковостью алгоритма решения.

Логика вычислений в них зациклена. А составление математической модели от задачи к задаче также следует одной схеме.

Например, пусть дана части задачи:

«Стоимость яблочного сока $x$ рублей, а томатного — $y$ рублей. Известно, что $5$ стаканов яблочного сока стоят столько же, сколько $6$ стаканов томатного…»

То, как составлена задача, подводит нас к двум концепциям — приравниванию и умножению. Опорным для решения будет следующее алгебраическое выражение:

$$5x=6y$$

Раз задача типовая, то выражения наподобие «$ax=by$» непременно встретятся еще раз, просто уже, так скажем, не в контексте сока. Вот почему мы выше говорили про то, что составление математической модели — это навык. Оно же умение отбросить текст и увидеть алгебру за ним.

Задачи на наблюдение и моделирование

Рассмотрим далее некоторые задачи, решаемые с помощью математической модели, в которых опущен этап наблюдения — где нет вывода ответа. Это поможет освоиться в основных типах учебных задач и научит выражать важные части текста алгебраически.

Операции сложения и вычитания

Задача. Первый рабочий выполняет порученное задание за $x$ часов, второй то же задание — за $y$ часов, при этом первый работает на три часа больше, чем второй.

Решение

Между производительностью двух рабочих можно установить отношение равенства, но с учетом условия «на три часа больше». Для начала составим каркасное тождество, которое дополним далее:

$$x=y$$

«Полноправно» приравнять данные переменные мы можем, только дополнив, что первый рабочий ($x$) работает на три часа больше. Интуитивно так и хочется переписать тождество следующим образом:

$$x+3=y$$

Однако это неверное составление математической модели для данной задачи. Мало того, что по условию очевидно неравенство $x>y$, так еще и тождество с частью «$x+3$» увеличивает разрыв между значениями $x$ и $y$ на лишние три раза.

Чтобы производительность рабочих все-таки приравнять, у первого, наоборот, нужно «отобрать» три часа и «отдать» их тому, кто работает быстрее:

$$x=y+3$$

Операции умножения и деления

Задача. На двух стройках трудится одинаковое количество рабочих. На первой стройке работает 5 бригад по $x$ человек в каждой, на второй стройке — 3 бригады по $y$ человек в каждой.

РЕШЕНИЕ

Первая стройка. В одной бригаде трудится $x$ человек. По условию таких бригад пять. Откуда получаем количество человек всего, трудящихся на первой стройке: $5x$.

Вторая стройка. Здесь же в одной бригаде трудится $y$ человек. По условию имеем три бригады. Следовательно количество работников, трудящихся на второй стройке: $3y$.

Также нам известно, что на двух стройках работает одно и то же количество рабочих. Остается данные части приравнять, чтобы получить тождество:

$$5x=3y$$

Вот, буквально мгновение — и мы вновь увидели составление математической модели коэффициентного типа «$ax=bx$».

Задачи, решаемые с помощью математической модели, со смешанной арифметикой

Задача. У Кати $x$ марок, а у Димы $y$ марок. Если Катя отдаст Диме 5 марок, то у Димы станет марок вдвое больше, чем останется у Кати.

РЕШЕНИЕ

Внимание на следующие части текста задачи:

«Отдаст пять марок…»	«Вдвое больше»
Сложение/вычитание	Умножение/деление

В зависимости от того, какая часть тождества отражает данные положения, операция может быть как прямой («Катя отдаст, $x-5$»), так и обратной («Дима возьмет, $y+5$).

Разделим составление математической модели задачи на два шага.

1. Катя отдает Диме 5 марок и у нее остается $x-5$ марок. Теперь у Димы $y+5$ марок.

2. В результате у Димы марок в два раза больше.

Однако нам нужно количество марок ребят приравнять. Раз у Димы их по условию задачи больше, то для равенства с количеством марок Кати у него их должно быть меньше. Значит, мы можем либо умножить количество марок Кати на 2, либо разделить количество марок Димы на 2:

$$2(x-5)=y+5$$

$$x-5=frac{y+5}{2}$$

Утверждение «у Димы станет марок вдвое больше, чем останется у Кати».

Составление математической модели — полные задачи

Самое время усложнить содержание задач и ввести все этапы составления математической модели, включая этап планирования. Далее мы решим ряд показательных задач, где требуется дать ответ.

Задача. В двух залах кинотеатра 460 мест. Сколько мест в большом зале, если в нем в 3 раза больше мест, чем в малом?

РЕШЕНИЕ

Заметим, что в данном случае составление математической модели задачи будет вестись в двух направлениях. С одной стороны, устанавливается алгебраическое равенство между количеством мест в залах. С другой стороны, нам известна их сумма. Составим эти выражения.

Приравнивание. Пусть количество мест в большом зале равняется $x$. Вместо того, чтобы вводить лишнюю переменную $y$ для количества мест в малом зале, выразим места малого зала через уже введенную переменную $x$ — как $frac{x}{3}$. Это краткая модель записи:

$$y=frac{x}{3}$$

Сложение. Всего в залах 460 мест. Количество мест в большом зале $x$, в малом — $frac{x}{3}$, одна треть от мест в большом. Вместе:

$$x+frac{x}{3}=460$$

Задаче требуется ответ; этапы составления математической модели должны завершаться в полном объеме. С этой целью мы и взяли за «главную» переменную количество мест в большом зале. Остается решить уравнение выше.

$$frac{4}{3}x=460\x=345$$

Ответ: 345.

Составление математической модели — задачи на движение

Задача. От пристани отошел теплоход со скоростью 22 км/ч, а от другой пристани навстречу ему через три часа отошел теплоход со скоростью 26 км/ч. Расстояние между пристанями составляет 306 км. Сколько времени в пути был каждый из теплоходов до встречи?

Для решения нам понадобится формула пути:

$$S=vt$$

Этап наблюдения

Время в пути — искомый параметр, введем его в качестве переменной $t$.

Пусть $t_1$ — это количество времени, затраченное первым теплоходом на преодоление всего своего пути. Сколько при этом затратил времени второй теплоход? На три часа меньше, ведь по условию от пристани он отошел в сравнении с первым с задержкой:

$$t_1-3$$

Этап моделирования

Каркасная модель выглядит так:

$$v_{1}t_1+ v_{2}t_2=S,$$

где $S$ — расстояние между пристанями, $v_1$ — скорость первого теплохода, $v_2$ — скорость второго, $t_1$ и $t_2$ — соответствующее время в пути.

Откуда взялась модель? Зарисуем перемещение теплоходов, что бывает иногда очень полезно при решении задач на движение. Теплоходы двигаются навстречу друг другу. Значит, в сумме они проходят расстояние между пристанями.

Доработаем модель и добавим в нее имеющиеся у нас данные:

$$22t_1+26(t_{1}-3)=306$$

Этап предсказания

Остается решить уравнение, найти значение $t_1$ и вычесть из него 3, чтобы получить $t_2$.

$$22t_1+26t_1=306+78\t_1=8$$

Первый теплоход затратил 8 часов. Второй, соответственно, 5 часов.

Ответ: 8 и 5.

Решите сами!

Показать решение

Спрятать решение

🔵 РЕШЕНИЕ

Не очевидно, но за переменную $x$ удобно взять количество учащихся в старших классах. Почему — увидите далее.

Выразим количество учащихся в начальных и средних классах также через $x$. Для этого проанализируем утверждения, заданные условием задачи.

Утверждение первое: «В начальных классах учащихся в три раза больше, чем в старших». Раз их в три раза больше, то количество учеников в начальных классах через $x$ — это $3x$.

Утверждение второе: «В начальных классах учащихся в два раза меньше, чем в средних». Количество учащихся в начальных классах мы выразили ранее как $3x$. Сколько тогда учеников в средних классах? В два раза больше, то есть $2cdot{3x}=6x$.

Остается составить модель:

$$x+3x+6x=900$$

Решаем и находим количество учеников в старших классах ($x$):

$$10x=900\x=90$$

Откуда получаем, что в начальных классах учится 270 учеников ($3x$), а в средних классах — 540 учеников ($6x$).

Ответ: 270, 540, 90.

Источник