Как правильно составить уравнение прямой

Прямая имеет несколько видов задающих ее уравнений. Рассмотрим некоторые из них и разберем примеры.

Здесь будет калькулятор

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y=kx+by=kx+b,

где kk — угловой коэффициент, а bb — свободный коэффициент.

Уравнения данного вида составляются следующим образом по формуле:

y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0),

где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты любой точки, лежащей на данной прямой.

Задача 1

Составить уравнение прямой, если координаты точки, принадлежащей данной прямой, таковы: x0=1,y0=2x_0=1, y_0=2. Угловой коэффициент принять равным 11.

Решение

Подставляем значения в формулу:

y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0)

y−2=1⋅(x−1)y-2=1cdot(x-1)

Приводим подобные слагаемые:

y=x+1y=x+1

Ответ

y=x+1y=x+1

Общее уравнение прямой

Для приведения прямой к такому виду из предыдущего вида достаточно просто перенести все слагаемые в одну часть. Возьмем уравнение прямой из предыдущей задачи y=x+1y=x+1. Тогда общее уравнение этой прямой запишется в виде:

y−x−1=0y-x-1=0

Уравнение прямой по двум точкам

Если в задаче даны координаты двух точек и необходимо составить уравнение прямой, то это делается при помощи такой формулы:

Уравнение прямой по двум точкам

x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2},

где (x1;y1),(x2;y2)(x_1; y_1), (x_2; y_2) — координаты двух точек, через которые проходит данная прямая.

Задача 2

Найти уравнение прямой, если координаты точек имеют значения: (2;3)(2;3) и (4;−1)(4;-1).

Решение

x1=2x_1=2
y1=3y_1=3
x2=4x_2=4
y2=−1y_2=-1

x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2}

x−42−4=y−(−1)3−(−1)frac{x-4}{2-4}=frac{y-(-1)}{3-(-1)}

x−4−2=y+14frac{x-4}{-2}=frac{y+1}{4}

x−4=−y−12x-4=frac{-y-1}{2}

y+1=2⋅(4−x)y+1=2cdot(4-x)

y=8−2x−1y=8-2x-1

y=−2x+7y=-2x+7

Ответ

y=−2x+7y=-2x+7

Уравнение прямой при помощи точки и вектора нормали

Уравнение прямой по точке и нормали

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,

где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты точки, лежащей на данной прямой, а (n1;n2)(n_1; n_2) — координаты вектора нормали к этой прямой.

Задача 3

Составить уравнение прямой, если координаты нормального вектора — (1;−5)(1;-5), а точка, через которую проходит данная прямая имеет координаты (7;8)(7;8).

Решение

x0=7x_0=7
y0=8y_0=8
n1=1n_1=1
n2=−5n_2=-5

(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,

(x−7)⋅1+(y−8)⋅(−5)=0(x-7)cdot 1+(y-8)cdot (-5)=0,

x−7+40−5y=0x-7+40-5y=0

x−5y=−40+7x-5y=-40+7

x−5y=−33x-5y=-33

5y=x+335y=x+33

y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}

Проверка

Чтобы проверить правильность решения, достаточно подставить координаты точки в данное уравнение и, если оно будет верным, то задача решена верно.

8=75+3358=frac{7}{5}+frac{33}{5}

8=88=8 — верно, ответ правильный.

Ответ

y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}

Прямая в пространстве

Уравнение прямой, заданной в пространстве имеет такой вид:

Уравнение прямой в пространстве

x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3},

где (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0) — координаты точки, через которую проходит прямая, а (ν1,ν2,ν3)(nu_1,nu_2,nu_3) — координаты напрявляющего вектора данной прямой.

Задача 4

Написать уравнение прямой по заданной точке (1;5;−23)(1;5;-23) и вектору направления (3;11;7)(3;11;7).

Решение

x0=1x_0=1
y0=5y_0=5
z0=−23z_0=-23
ν1=3nu_1=3
ν2=11nu_2=11
ν3=7nu_3=7

x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3}

x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}

Проверка

Проверим, удовлетворяет ли это уравнение прямой точке (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0). Для этого подставим в него координаты этой точки:

1−13=5−511=−23−(−23)7frac{1-1}{3}=frac{5-5}{11}=frac{-23-(-23)}{7} — верно, значит ответ правильный.

Такой вид уравнения прямой называется каноническим.

Ответ

x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}

Тест по теме “Составление уравнения прямой”

Правило составления уравнения прямой

Положение
прямой на плоскости относительно системы
координат можно задать различными
способами:

1.
точкой и направлением;

2.
точкой и перпендикулярным прямой
вектором;

3.
двумя точками;

4.
отрезками, которые прямая отсекает на
осях координат.

Во
всех случаях задания прямой обязательно
должна быть известна хотя бы одна точка,
через которую проходит искомая прямая
и дополнительное
условие:
коллинеарности,
перпендикулярности или вторая точка,
принадлежащая прямой.

Правило составления уравнения прямой l , для которой известны координаты точки м1 (х1;у1) и задано какое-либо второе условие, состоит в следующем:

1)
На прямой l
выбирают произвольную точку с текущими
координатами х,у
:

М
( х; у)
.

2)
Находят
координаты вектора, лежащего на прямой
l
и такого, что его начало есть точка М₁
(х₁;у₁),
а конец точка М
( х; у), то
есть вектор
М₁М=(
х-х₁;у-у₁).

3)
Записывают координаты вектора, заданного
дополнительными условиями (коллинеарности,
перпендикулярности, двумя точками), то
есть направляющего или нормального
вектора

.

4).
Используют условие коллинеарности или
перпендикулярности векторов

и М₁М.

9.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть
дана ось Ох
и прямая l.

О
пределение
9.3. Углом
между осью и прямой называют угол, на
который нужно повернуть ось, чтобы она
совпала с заданной прямой или стала ей
параллельна.

Определение
9.4. Угловым
коэффициентом прямой называется тангенс
угла наклона этой прямой к положительному
направлению оси Ох.
Обозначается так:

.
Выразим из общего уравнения (9.4) при
условии, что

переменную у:

.
Полагая, что

получим:

-уравнение
прямой с угловым коэффициентом,
(9.5)

где

,
а b
– ордината точки пересечения прямой с
осью Oy.

9.5. Уравнение прямой в отрезках

Пусть
прямая не параллельна ни одной из осей
координат и не проходит через точку О.
Тогда она задается уравнением (9.4):

,
где

.
Она (прямая) будет пересекать оси
координат в точках

.

Т.к.
точки

,
то их координаты удовлетворяют уравнению
(9.4). Подставим координаты точки P
и Q:

Для
P:

;

Для
Q:

;

.

Подставляя
полученные A
и В
в (9.4):

.
Разделим всё уравнение на

.
Получим:

— уравнение
прямой в отрезках,
(9.6),
где а
– абсцисса точки пересечения с осью
Ох,
b
– ордината точки пересечения с осью
Оу.

9.6. Уравнение
пучка прямых, проходящих через данную
точку

Пусть
на прямой l
задана точка

.Запишем
уравнение с угловым коэффициентом:

(9.5). Т.к.

,
то её координаты удовлетворяют уравнению:

.
Вычтем из (9.5) соответствующие части
последнего уравнения получим:


— уравнение пучка прямых, (9.7),
проходящих через данную точку

.

9.7. Уравнение
прямой, проходящее через две заданные
точки

Пусть
на прямой даны две точки

.
Запишем уравнение (9.7) для точки А:

, (9.8)

Т.к.
точка

,
то координаты
точки В
удовлетворяют уравнению (9.8):

(9.9)

Считая,
что

.
Поделим (9.8) на (9.9):

— уравнение
прямой, проходящей через две точки
(9.10).

9.8.
Угол между двумя прямыми

Определение
9.5. Углом
между двумя прямыми

будем называть угол, на который нужно
повернуть прямую

,
чтобы она совпала с

или стала ей параллельна.

П
усть
прямые

заданы:

;

;

.

Из
рисунка видно, что

Т.о.,

.

9.9.
Условия параллельности и перпендикулярности
дух прямых

Определение
9.6. Два
вектора, лежащие на одной прямой или на
параллельных прямых называются
коллинеарными.
Три вектора, лежащие в одной плоскости
и параллельные одной плоскости называются
компланарными.

Пусть
даны две прямые

и

.
Обе они имеют нормали с координатами:

.

Теорема
9.1: Две
прямые параллельны тогда и только тогда,
когда коллинеарны их нормальные векторы.

Свойство
коллинеарности двух векторов.

Для
того, чтобы два вектора были коллинеарны,
необходимо и достаточно, чтобы и
координаты были пропорциональны, т.е.:

— условие
параллельности двух прямых.

Е
сли
выполняется условие:

, то прямые совпадают,
т.к. одно уравнение получается из другого
путём умножения на любое число.

Теорема 9.2
.(условие
перпендикулярности двух прямых).
Две прямые перпендикулярны тогда и
только тогда, когда перпендикулярны их
нормальные векторы, т.е.

.
Напомним
определение: скалярным
произведением
двух векторов
называется
число, равное
произведению длин этих векторов на
косинус угла между ними, т.е.

,
т.к.

,
то

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Была ли эта статья полезной?

Получить уравнение прямой по двум точкам бывает необходимо, когда мы решаем задачи, связанные с анализом различных фигур на плоскости. В этом случае бывает полезно знать уравнение прямой, проходящей через две точки. Например, составляя такое уравнение мы уже знаем – как проходит прямая, с какие углом наклона к осям координат и можем рассчитать расположение прямой по отношению к другим прямым или к фигурам.

Составляем уравнение прямой по двум точкам

Итак, пусть нам даны две точки и . Наша прямая проходит через две эти точки, давайте получим уравнение этой прямой. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку с координатами имеет вид:

   

То есть если прямая проходит через две точки и она – одна из этого пучка прямых, проходящих через точку и эта прямая имеет определенный коэффициент . Значит, координаты точки должны удовлетворять уравнению (1), то есть

   

.

Находим из (2) :

   

и подставим в уравнение (1):

   

.

Преобразовывая уравнение (3) получим:

   

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Примечание: если точки и лежат на прямой, которая параллельна оси или оси , то уравнение прямой будет иметь вид или соответственно.

Зная координаты любых двух точек прямой, мы всегда сможем определить угловой коэффициент прямой:

   

Геометрический вывод уравнения прямой

Действительно, давайте нарисуем прямую в системе координат и отметим на прямой две точки и , координаты которых известны и и отметим на этой прямой произвольную точку .

Из подобия треугольников и находим:

   

Из рисунка видно, что:

   

   

   

   

,

Таким образом, получаем уравнение прямой по двум точкам:

   

Задача

Составим уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Решение: Имеем , , , . Подставим эти значения в уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

   

   

Умножим левую и правую части уравнения на 5, получим:

– получившееся уравнение прямой.

Давайте сделаем проверку – если мы все решили правильно, то при подстановке координат точек и мы получим верное равенство. Итак, подставим сначала координаты точки :

Теперь координаты точки :

Значит, уравнение прямой мы нашли верно.

Ответ:

Условие прохождения прямой через три заданные точки

Если нам в задаче нужно убедиться, что три точки с заданными координатами лежат на одной прямой, можно рассуждать так:

1. Если две точки с заданными координатами образуют прямую, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой, проходящей через две точки.
2. Если третья точка также лежит на этой прямой, то и ее координаты будут удовлетворять этому уравнению.

Таким образом, если нам даны три точки , и , лежащие на одной прямой, то их координаты будут удовлетворять условию:

   

Теперь вы легко сможете составить уравнение прямой по двум точкам, а также найти угловой коэффициент прямой и проверить – принадлежит ли третья точка этой прямой.

В данном материале рассмотрим, что такое уравнение прямой. Проанализируем каждый вид данного уравнения. Изучим основные формулы и графики. Применим весь рассмотренный материал на практике, в виде решения задач и уравнений.

Данное уравнение — характеризуется, как уравнение двух переменных значений.

Значения в математики, чаще всего обозначают буквами x и y. Это самое распространенное обозначение, однако можно встретить и другие буквенные обозначения. Например: z, n и другие значения.

Определение прямой линии- фигура, состоящая из множества простых точек. Каждая точка, имеет собственные, определенные координаты, относительно осей абсцисс и ординат.

Уравнение прямой на плоскости — уравнение, характеризующее взаимосвязь координатных значений точек на прямой.

Для решения уравнений необходимо помнить ряд важным математических функций, правил, значений.

Все их мы будем рассматривать подробно в каждом разделе на примерах решения.

Общее уравнение прямой линии системы координат

Рассмотрим соответствующую теорему, которая отражает уравнение прямой на плоскости в системе координат Oxy.

Подробно исследуем следующее уравнение: ax+by+c=0.

Значения х и y, являются переменными данными со значениями.

a и b — действительные простые числа. Обязательное условие, которых неравенство нулю.

Следовательно, прямая линия задается вышеупомянутым уравнением данного вида: ax+by+c=0.

Рассмотрим на примере изученную теорему:

На данном рисунке, мы рассмотрим красную линию и запишем уравнение для нее.

2x+3y-2=0.

Координаты на данной прямой удовлетворяют составленному уравнению.

Уравнение может быть также полным и неполным. Рассмотрим случаи:

• Полное уравнение.

Все действительные числа, имеют любое значение, но не равные нулю. Поэтому такое определение относится к данному типу уравнений.

• Неполное уравнение.

Все числа в уравнении имеют любое значение. Характерно, также значения отрицательных знаков.  

Уравнение прямой в отрезках прямой

Для отрезков уравнение будет иметь следующей вид:

[frac{x}{a}+frac{y}{b}=1]

Данные в знаменателе, являются действительными значениями, не равными нулевому значению. Величины действительных данных равняются отрезку. Он отсоединяется линией на оси координат. Протяженность начинает свой отсчет от начала координатной прямой.

Пример:

Нужно начертить прямую линию, которая задается формулой.

[frac{x}{3}+frac{y}{-frac{5}{2}}=1]

Обозначим на графике две точки  ( 3 ;  0 ) ,   (0; [-frac{5}{2}]).  Далее необходимо их соединить между собой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Записываем уравнение вида: [mathrm{y}=mathrm{k} cdot x+b];

x — значение, которое принимается, как переменное;

к — простое действительное число, является показателем углового коэффициента;

b — действительное число.

Угол наклона на плоскости в системе координат — угол, который берет свой отсчет значений от направления с положительным знаком до прямой, которая направлена против хода часовой стрелки.

Угол будут считать нулевым, если прямая линии, имеют параллельное расположение относительно оси абсцисс либо совпадает с ней по расположению. Угол принимает значения, согласно интервалу (0, [pi]).

В случае, когда прямая линия параллельная другой оси, ординат, то принято считать, что угловой коэффициент не определяется. И соответствует интервалу бесконечности.

График функции будет возрастать, если значение коэффициента имеет положительное значение. Следовательно, убывание будет наблюдаться в противоположном значение, а именно с отрицательным значением.

На графиках показаны значения угловых коэффициентов и угол наклона. Когда есть разное расположение относительно осей.

На примерах рассмотрим нахождение углового коэффициента. Для этого из прошлых тем, вспомним определение тангенса и его вычисление.

Пример №1:

Угол наклона прямой равен 120 градусов, относительно оси ох.

Нам нужно определить угловой коэффициент.

Применим известные нам формулы и подставим данные.

[alpha=120^{circ}, mathrm{k}=operatorname{tg} alpha=120=-sqrt{3}]

Следовательно правильный ответ задачи будет равняться [k=-sqrt{3}]

Пример №2:

В этом примере нам уже известно значение углового коэффициента.

Нужно определить угол наклона, относительно прямой.  Для этого, нужно обязательно учитывать знак известного коэффициента. Если к>0, следует что угол будет острый и определяться как [alpha=operatorname{arctg} k].

Когда к<0, то угол будет характеризоваться как тупой. его значение определяется функцией: [alpha=pi-operatorname{arctg}|k|].

Например, угловое значение равно 3.

Значение коэффициента является положительным, значит угол будет острый. Вычисляться он будет по формуле: [alpha=operatorname{arctg} k=3]

Ответ задачи: [operatorname{arctg}=3].

Пример №3:

Значение углового коэффициента имеет отрицательное число в виде дроби.  И равняется следующему значению: [-frac{1}{sqrt{3}}]

Для определения угла наклона, выполнить следующие действия: обозначим все значения. Угол наклона относительно оси имеет положительное значение. Следовательно формула для решения запишется следующим образом: [mathrm{k}=-frac{1}{sqrt{3}}<0 Rightarrow alpha=pi-operatorname{arctg}|k|].

Подставим данные, которые заданы в условии задания:

[alpha=pi-operatorname{arctg}left|-frac{1}{sqrt{3}}right|=pi-operatorname{arctg} frac{1}{sqrt{3}}=pi-frac{pi}{6}=frac{5 pi}{6} Rightarrow]ответ будет [frac{5 pi}{6}].

Пример №4:

Необходимо определить, относятся ли точки координат к прямой. Они равны: [m_{1}(3 ; 0) text { и } m_{2}(2 ;-2)]. Уравнение прямой задано следующее: [y=frac{1}{3} x-1].

Известные нам значения точек подставляем, в заданное уравнение прямой.

И получаем следующий вид формулы: [0=frac{1}{3} cdot 3-1 Leftrightarrow 0=0]. Так после вычисления, мы получаем равенство, которое считается верным. Можно утверждать, что точка принадлежит прямой.

Далее подставляем значения второй точки в уравнение.

[-2=frac{1}{3} cdot 2-1 Leftrightarrow-2=-frac{1}{3}] следовательно точка [m_{2}] не относится к прямой и не лежит на ней.

Вывод решения: только первая точка относится к прямой и лежит на ней, а вторая равная (2;-2) — нет.

Пример №5:

Нужно найти уравнение прямой, которая проходит через значение точки [m_{1}(4 ; 1)]. Значение углового коэффициента — (-2).

Запишем условие : [x_{1}=4, y_{1}=-1, k=-2]

Следовательно необходимое уравнение прямой равно: [y-y_{1}=k].

[left(x-x_{1}right) text { следовательно } y-(-1)=-2 cdot(x-4) Leftrightarrow y=-2 x+7]

Искомое уравнение: [y=-2 x+7]

Пример №6:

Составить уравнение прямой, проходящей через значение (-2;4). Угол наклона положительного направления равен [frac{3 pi}{4}].

Решение необходимо начать с определения коэффициента угла.

[k=operatorname{tg} alpha frac{3 pi}{4}=-1]

Определив угловое значение, можно составить искомое уравнение вида: [y-y_{1}=k cdotleft(x-x_{1}right) text { из этого следует } y-4=-1 cdot(x-(-2) Leftrightarrow y=-x+2]

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Определение канонического уравнения — это уравнение следующего вида [frac{x-x_{1}}{alpha_{x}}=frac{y-y_{1}}{alpha_{y}}].

Данное уравнение задает на плоскости в прямоугольной системе прямую линию. Она, в свою очередь проходит через точку [m_{1}(x ; y)], которая имеет вектор направления, обозначающийся как [underline{alpha}=left(alpha_{x} ; a_{y}right)]

Запишем несколько примеров для данного вида уравнения.

[frac{x-2}{sqrt{3}}=frac{y-3}{1}]

Приведенное уравнение — это уравнение прямой для канонического вида. Прямая его будет проходить через значения точек [m_{1}(2 ; 3)]. Вектор направляющий равен [sqrt{3}, 1].

Важные моменты, которые следует помнить, при решении задач с каноническим уравнением.

Отметим следующие важные факты:

• если вектор является прямым и прямая линия проходит через точку, то ее уравнение имеет вид : [frac{x-x_{1}}{alpha_{x}}=frac{y-y_{1}}{alpha_{y}}]
• когда вектор прямой по направлению, то любой из векторов может быть направляющим вектором прямой. И уравнение записывается следующим образом: [frac{x-x_{1}}{mu cdot alpha_{x}}=frac{y-y_{1}}{mu cdot alpha_{y}}]

Пример №1:

Прямая в системе координат проходит через точки (2;-4) и вектор направляющий равен (1;-3). Составьте и напишите каноническое уравнение, применяя известные нам данные.

[frac{x-x_{1}}{alpha_{x}}=frac{y-y_{1}}{alpha_{y}}]

[x_{1}=2, y_{1}=2, alpha_{x}=1, alpha_{y}=-3]

Следовательно уравнение записывается следующим образом: [frac{x-x_{1}}{alpha_{x}}=frac{y-y_{1}}{alpha_{y}} Leftrightarrow frac{x-2}{1}=frac{y-(-4)}{-3} Leftrightarrow frac{x-2}{1}=frac{y+4}{-3}]

[frac{x-x_{1}}{alpha_{x}}=frac{y-y_{1}}{alpha_{y}} Leftrightarrow frac{x-2}{1}=frac{y-(-4)}{-3} Leftrightarrow frac{x-2}{1}=frac{y+4}{-3}] — окончательное искомое уравнение.

Пример №2:

Составить каноническое уравнение, проходящее через точки [sqrt[3]{2} ; quad-frac{1}{7}]

Прямая является параллельной относительно оси координат.  Направляющий вектор принимается [underline{j}=(0 ; 1)]. Учитывая значение точек, через которые проходит прямая, записываем уравнение:

[frac{x-sqrt[3]{2}}{0}=frac{y-left(-frac{1}{7}right)}{1} Leftrightarrow frac{x-sqrt[3]{2}}{0}=frac{y+frac{1}{7}}{1}]

[text { Ответ: } frac{x-sqrt[3]{2}}{0}=frac{y+frac{1}{7}}{1}]

Пример №3:

Составим уравнение, руководствуясь графиком, приведенным ниже.

Из рисунка видно, что прямая проходит через точки со значениями (0;3). Расположена параллельно относительно оси x (ось абсцисс). Координатный вектор [underline{i}=(1,0)] — направляющий вектор, для данной системы.

Собрав все данные, преобразовав их. можно записать уравнение:

[frac{x-0}{1}=frac{y-3}{0} Leftrightarrow frac{x}{1}=frac{y-3}{0}]

Параметрическое уравнение на плоскости и его характеристики

Уравнение такого типа записываются в следующем виде:

[x=x_{1}+alpha_{x} cdot lambda]

[mathrm{y}=y_{1}+alpha_{y} cdot lambda]

[x_{1} y_{1} alpha_{x} alpha_{y} text { — действительные простые значения. }]

[alpha_{x} alpha_{y} text{ — значения, которые математически возможны равняться нулю.}]

[lambda text { — параметр, значение которого может быть различным. }]

Уравнение параметрического вида предназначено, для установления не очевидного взаимодействия между координатами точек системы. Для определения этого свойства и вводится параметр [lambda].

Пример №1:

Задана система уравнения:

[{x=-3-1 / 2 cdot lambda}]

[{y=3 cdot lambda}]

[{z=2 / 3}]

Необходимо определить все координаты, каждой направляющей системы.

[{x=-3-1 / 2 cdot lambda}]

[{y=3 cdot lambda}]

[{z=2 / 3} Leftrightarrow]

[Leftrightarrow{x=-3-1 / 2 cdot lambda}]

[{y=0+3 cdot lambda}]

[{z=2 / 3+0 cdot lambda}]

Коэффициенты перед значение [lambda] имеют соответствующие значения координат направляющего вектора и равняются: [underline{alpha}=(-1 / 2,3,0)] — для прямой по заданию.

Соответственно запишем все координаты направляющих векторов:

[left(-frac{1}{2} cdot mu, 3 cdot mu, 0 cdot muright)=left(-frac{1}{2} cdot mu, 3 cdot mu, 0 cdot muright), mu in R, mu neq 0 ]

[left(-frac{1}{2} cdot mu, 3 cdot mu, 0 cdot muright), mu in R, mu neq 0]

Пример №2

Составить параметрическое уравнение в пространстве:

[underline{alpha}=left(2 ;-frac{1}{sqrt{3}}, 0right)-text { вектор направляющий.}]

Точки (7, -1, 0) — значения точки на прямой координат.

[x_{1}=7, y_{1}=-1, z_{1}=0, alpha_{x}=2, alpha_{y}=-frac{1}{sqrt{3}}, alpha_{z}=0]

Полученные данные подставляем систему уравнения.

[x=x_{1}+alpha_{x} cdot lambda]

[mathrm{y}=y_{1}+alpha_{y} cdot lambda]

[z=z_{1}+alpha_{z} cdot lambda]

Особые моменты данного типа уравнений:

Имея любое значение [lambda], можно определить три числа (z, y,x).

К примеру точки [M_{1}left(x_{1} text { и так далее }right) text { находятсся в параметрах уравнения в системе. }]

[mathrm{x}=chi_{1}+alpha_{x} cdot lambda]

[mathrm{y}=y_{1}+alpha_{y} cdot lambda]

[z=z_{1}+alpha_{z} cdot lambda]

где значение [lambda]=0.

Пример №3:

Любые значения точек находятся на прямой, для определенной заданной системы координат.

[M_{1}(4 ; 3 ;-2)]

[N_{1}(-2 ; 3 ;-1)]

Запишем систему параметрических уравнение:

[x=2+2 cdot lambda]

[y=3 cdot lambda]

[z=-1-lambda]

Поставляя данные первой точки, получаем уравнения:

Следовательно значение [lambda=1 text {, для } M_{1}(4 ; 3 ;-2)]. следовательно она находится на прямой координат.

Аналогичные действия проводим для второй координаты точек.

Выполнив вычисления, мы видим, что параметра для [lambda] не существует.

Нормальное уравнение для координатной прямой

Так же есть еще один способ записать нормальный вид уравнения, применяя для этого значения тригонометрических функций.

[cos alpha cdot x+cos beta cdot y-rho=0]

[cos alpha cos beta] — это действительные простые числа. Следовательно, они представлены направляющими косинусами. А также нормального вектора и единичной прямой.

Отсюда следует [underline{n}=left(begin{array}{lll} cos alpha & cos beta end{array}right)] равняется равенству: [underline{n}=cos ^{2} alpha+cos ^{2} beta=1]

Значение [rho geq 0]

Данное значение определяет длину расстояния от прямой линии до начала координатной прямой.

Пример №1:

В задаче имеется уравнение прямой для общего случая.

2x-3y+4=0

Нужно используя вышеуказанное уравнение составить простое уравнение для координатной прямой.

Для начала запишем А=2; В=-3; С=4.

Неизвестное значение t, сможем вычислить из равенства используя известные значения.

[mathrm{t}=pm frac{1}{sqrt{A^{2}+B^{2}}}=pm frac{1}{sqrt{13}}]

t- будет отрицательным значение, так как С>0.

[t=-frac{1}{sqrt{13}}]

Перемножим уравнение:

[frac{2}{sqrt{13}} x+frac{3}{sqrt{13}} y-frac{4}{sqrt{13}}=0]

Вывод решения: [frac{2}{sqrt{13}} x+frac{3}{sqrt{13}} y-frac{4}{sqrt{13}}=0]

Значение [frac{4}{sqrt{13}}] — будет являться, тем самым значение, которое показывает расстояние от начала до прямой координат прямой.

Пример №2.

Определим и составим нужное уравнение имея следующие известные нам данные: угол [varphi=60 text { градусов }]

Расстояние до прямой от начала координат равняется 4.

Используя данные решим задачу.

[cos varphi=cos left(60^{circ}right)=frac{1}{2}]

[sin varphi=sin left(60^{circ}right)=frac{sqrt{3}}{2}]

[frac{1}{2} x+frac{sqrt{3}}{2} y-4=0]

[text { Ответ: } frac{1}{2} x+frac{sqrt{3}}{2} y-4=0]

Пример №3:

Имея данные значения решим задачу согласно задания. Где угол [varphi=90 text { градусов }]

Расстояние до прямой от начала координат равняется 3.

Используя данные решим задачу.

[cos varphi=cos left(90^{circ}right)=0]

[sin varphi=sin left(90^{circ}right)=1]

[1 x+0 y-3=-2]

Ответ: [0 x+-1 y-3=-2] координата не лежит на прямой, так как имеет отрицательное значение.

Выводы по материалу:

Рассмотрев типы уравнения, для прямой в плоскости. Перечислив их категории и основные характеристики. Можно сказать, что это одна из составляющих математики.

В ней переплетаются все основные значения и функции этой технической науки.

Для решения задач, необходимо обладать следующими навыками:

• вспомнить весь изученный материал по работе с тригонометрическими функциями: косинус, синус. тангенс и другие.
• вычисление отрицательных значений и их правила;
• решение уравнений с дробными числами;
• помнить правило возведения числа в степень.  

Учитывая все, рекомендации, процесс работы с материалом по данной теме значительно облегчит процесс.