- Главная
- Справочники
- Справочник по математике для начальной школы
- Числовые и буквенные выражения
Числовые выражения
В этом разделе мы узнаем, что называют числовым выражением и значением выражения, научимся читать выражения.
Числовое выражение – это запись , состоящая из чисел и знаков действий между ними.
Например, 44 + 32
Значение выражения — это результат выполненных действий.
Например, в записи 44 + 32 = 76, значение выражения — это 76.
Чтение числовых выражений
12 + 9 — сумма
49 — 20 — разность
34 — (8 + 21) — из 34 вычесть сумму чисел 8 и 21
13 + (26 — 
— к 13 прибавить разность чисел 26 и 8
Решение числовых выражений
45 – (30 + 2) = …
Сначала выполняем действие, записанное в скобках. К 30 прибавляем 2.
30 + 2 = 32
Теперь нужно из 45 вычесть 38.
45 – 32 = 13
45 – (30 + 2) = 13
Сравнение значений числовых выражений
Сравнить числовое выражение – найти значение каждого из выражений и их сравнить.
Давай сравним значения двух выражений: 14 — 6 и 18 — 9.
Для этого найдем значения каждого из них:
14 — 6 = 8
18 — 9 = 9
8 < 9, значит,
14 — 6 < 18 — 9
Буквенные выражения
Буквенным называется математическое выражение, в котором используются цифры, знаки действий и буквы. Например, (47 + d) – 11.
В этих выражениях буквы могут обозначать различные числа. Число, которым заменяют букву, называют значением.
Для записи буквенных выражений необходимо знать некоторые буквы латинского алфавита. Мы приводим его полностью, чтобы ты знал, с какими буквами можешь встретиться при составлении, решении или чтении буквенных выражений.
Чаще всего используются буквы:
a, b, c, d, x, y, k, m, n
Алгоритм решения буквенного выражения
Алгоритм — значит, порядок, план выполнения команд.
1. Прочитать буквенное выражение
2. Записать буквенное выражение
3. Подставить значение неизвестного в выражении
4. Вычислить результат
Например, 28 – с
Читаем выражение: Из 28 вычесть с или Найти разность числа 28 и с
Подставим вместо неизвестного «с» число 4.
У нас получается выражение: 28 – 4
Вычисляем результат:
28 – 4 = 24
Переменные
Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях называются переменными. Например, в выражении с + x + 2 переменными являются буквы c и x. Если вместо этих переменных подставить любые числа, то буквенное выражение с + x + 2 обратится в числовое выражение, значение которого можно будет найти.
Числа, которые подставляют вместо переменных называют значениями переменных. Например, изменим значения переменных c и x. Для изменения значений используется знак равенства
c = 2, x = 3
Мы изменили значения переменных c и x. Переменной c присвоили значение 2, переменной x присвоили значение 3, тогда выражение с + х + 2 будет выглядеть так:
2 + 3 + 2
Теперь мы можем найти значение этого выражения:
с + х + 2 = 2 + 3 + 2 = 5 + 2 = 7
Советуем посмотреть:
Уравнения
Правило встречается в следующих упражнениях:
1 класс
Страница 18. Урок 11,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 43. Урок 22,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 49. Урок 25,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 9. Урок 5,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 19. Урок 10,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 22. Урок 12,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 29. Урок 15,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 37. Урок 19,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 44. Урок 23,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 88. Урок 35,
Петерсон, Учебник, часть 3
2 класс
Страница 22. ПР 4-5. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 18,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 79,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 99,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 20. Урок 6,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 74. Урок 30,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 38. Урок 13,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 55. Урок 19,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 57. Урок 20,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 82. Урок 31,
Петерсон, Учебник, часть 3
3 класс
Страница 8,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 23,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 18,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 79,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 85,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 28,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 64,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 40. Урок 15,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 67. Урок 28,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 92. Урок 40,
Петерсон, Учебник, часть 2
4 класс
Страница 88,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 90,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 92,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 94,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 58,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 5,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 33,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 94,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 5. Урок 2,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 12. Урок 4,
Петерсон, Учебник, часть 1
5 класс
Задание 613,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 939,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1012,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1399,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1845,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Номер 255,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 430,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 949,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 3,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 6,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
6 класс
Номер 401,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1063,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1064,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1097,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1100,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1107,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 583,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 699,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 4,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2
7 класс
Номер 315,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 316,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 480,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 481,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 906,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1040,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1139,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 3,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 46,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 47,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 229,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 391,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 392,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Чтобы составить задачу, которая приведёт к этим выражениям, например, с двумя неизвестными, нужно сначала поиграться с числами.
Берём две машины. Одна движется со скоростью 60 км/час, а вторая на 20 быстрее 80 км/час. У этих скоростей оптимальный общий множитель 48. Увеличиваем его в 10 раз получится 480 км.
Первой машине потребуется 8 часов, для преодоления этого расстояния, а второй 6 на 2 часа меньше. 480 км — это известное расстояние. Неизвестные величины — это скорость и время.
Напускаем туману. Определяемся, что скорость 1-й машины на 20 км/час меньше второй машины. Но вторая выехала на 2 часа позже и догнала первую на расстоянии 480 км. Задача готова. Нужно хитро задать вопрос. Например: Через какое время 2-я машина будет на расстоянии в 100 км от первой после из встречи.
Чтобы решить такую задачу потребуется составлять выражение. Принимать за «х» скорость первой или второй машины до встречи. За «у» время первой или второй машины также до встречи. Или обходиться одним «х», а можно и просто обойтись числами. Но это не для составителя. Составитель оперирует известными ему числами, а «решала» составляет выражения.
Конечно это интересно. Составить хитрую математическую задачку, и чтобы её не быстро решили. А выдёргивать с интернета любой может. Я составляю сама. Бывает до взрыва мозга, а не такую легкотню, как написала выше. Например вот эта: про курагу, чернослив и инжир.
Числовые и алгебраические выражения и их преобразования.
Как работать с математическими выражениями?
Допустим, перед вами пример. Хоть простой, хоть суперсложный (уравнение, неравенство, интеграл, производная и т.д….). Допустими, вы не Витя Перестукин и с математикой на «ты». Сможете, глядя на пример, сразу дать ответ?
В 99% случаев — нет. Если вы не гений математической мысли, конечно.)
Почему? А потому, что вам, так или иначе, придётся решать этот пример. Что значит «решать»? Это значит, последовательно, шаг за шагом, этот пример упрощать, добираясь до окончательного ответа. Или, по-другому, преобразовывать. Естественно, все эти фокусы (т.е. преобразования) надо проделывать по определённым правилам математики. Вот насколько успешно вы проведёте эти самые преобразования, настолько вы и сильны в математике.)
Так вот, имейте в виду: если вы не умеете делать правильные преобразования выражений, в математике вы не сможете сделать НИЧЕГО. Вообще ничего. Грустная перспектива? Вот и я так думаю.
Чтобы нас с вами не постигла столь печальная участь, имеет смысл разобраться в этой теме. Тем более тема достаточно простая. Разберёмся?:)
Что такое выражение в математике?
Выражение в математике (или — математическое выражение) — это, фактически, язык, на котором говорит вся математика. Да-да! Какую бы задачу мы с вами ни решали (хоть простую, хоть сложную), без математических выражений — никак. Любые формулы, дроби, уравнения, неравенства, синусы, логарифмы, функции, производные, интегралы и т.д. — это всё состоит из математических выражений. Намёк понятен?)
2+3 — это математическое выражение. a2 — b2 — это математическое выражение. И здоровенная дробь, и интеграл, и даже одно число или одна буковка — это всё математические выражения.
Например, уравнение:
3x+1 = 2x-5
состоит из двух математических выражений, соединённых знаком равенства «=» (равно).
Неравенство:
x2-4x+4≤0 – это тоже два математических выражения, соединённых знаком «≤» (меньше либо равно).
Короче говоря, термин «математическое выражение» применяется, чаще всего, чтобы не мычать, как корова и не кукарекать, как петух…
Спросят у вас, к примеру, что такое разность квадратов двух выражений. Первый вариант ответа: «Это ммммм… такая фиговина… Может, я лучше напишу разность? Вам какую?»
А человек в теме уверенно и с блеском в глазах ответит: «Разность квадратов двух выражений — это математическое выражение, представляющее собой произведение разности этих выражений и их суммы»!
Или: что такое квадратный корень? Квадратный корень — это математическое выражение, состоящее из подкоренного выражения и знака корня (радикала).
Согласитесь, второй вариант ответа выглядит куда более солидно и научно.)
Вот в таких вопросах фраза «математическое выражение» очень и очень удобна. Чтобы не объясняться на пальцах, как иностранные туристы в экзотической стране.
Гораздо сложнее — это конкретные математические выражения и работа с ними. Это совершенно другое дело.
Дело всё в том, что у каждого вида математических выражений имеется свой набор правил и приёмов, которому необходимо следовать при работе с ними.
У чисел — свой набор, у буквенных выражений — свой, у дробей — свой, у всяких там синусов, логарифмов, производных, интегралов — свои наборы действий. В каких-то наборах эти правила похожи или даже совпадают, а где-то — кардинально отличаются. Но пугаться этих жутких слов не надо. Эти страшные понятия мы с вами обязательно освоим в соответствующих разделах. А здесь мы с вами поработаем только с двумя видами математических выражений. А именно — с числовыми выражениями и с алгебраическими выражениями.
Что такое числовое выражение?
Что такое числовое выражение? Всё проще пареной репы.) Числовое выражение — это какое-то выражение с числами. Да-да, всего-навсего. Математическое выражение, составленное из цифр, знаков действий, скобок, знаков равенства/неравенства — это всё числовые выражения.
Например:
10-6 — числовое выражение,
(3-2,1)·0,5 — числовое выражение.
Или даже вот эти монстры:
это всё числовые выражения.
Да, в последнем примере появились специальные математические символы — радикал, значок логарифма и значок синуса. Но в этом выражении тоже нет букв. Только числа! Это самое главное.
Короче говоря, любые числа, дроби, примеры на вычисление без иксов, игреков и прочих буковок — это всё числовые выражения. Намёк понятен?)
В чём главный признак числового выражения? В том, что в нём нет букв. Вообще никаких. Математические значки (если надо) — пожалуйста. А вот букв — нету. Это ключевой признак.)
Что же можно делать с числовыми выражениями? Числовые выражения, как правило, можно (и нужно) считать. Для этого, бывает, приходится менять знаки, раскрывать скобки (или наоборот, заключать в скобки), сокращать, выносить общий множитель, раскладывать на множители т.д. То есть, делать преобразования числовых выражений. Но о преобразованиях выражений — чуть позже. Терпение, друзья.)
А здесь мы с вами разберёмся с одним забавным случаем, когда с числовым выражением делать ничего не надо. Совсем! Эта приятная операция (ничего не делать)) производится, когда числовое выражение не имеет смысла.
Понятное дело, что если мы с вами напишем какую-то белиберду типа 4+)-(=), то делать ничего и не будем. Ибо непонятно, что с этим делать. Ну, разве посчитать количество скобочек.)
Однако, попадаются в математике и внешне вполне себе благопристойные выражения.
Например, такое:
Однако это числовое выражение тоже не имеет смысла. Почему? А потому, что если выписать отдельно знаменатель дроби да посчитать, получается ноль. На который делить нельзя. Нет такой операции в математике!
Или вот такое:
И это выражение тоже не имеет смысла! Догадались? А вы посчитайте, что под корнем получится.) Минус единичка там получится. А извлекать квадратный корень из отрицательных чисел в средней школе не учат (а вот в ВУЗе — пожалуйста). Это тоже запретное действие в (школьной) математике.
Конечно, чтобы сделать такое умозаключение, пришлось потрудиться и посчитать, что в знаменателе да под корнем получится. А в примерах может быть такого понаворочено, что… Тут уж ничего не поделаешь.)
Короче говоря, числовое выражение не имеет смысла тогда, когда в результате преобразований этого самого выражение получается запретное действие. Запретных действий в математике не так уж много: это деление на ноль, извлечение корня чётной степени из отрицательного числа, ограничения в логарифмах, в тригонометрии и в арках. Это обсуждается в соответствующих темах.
Итак, что такое числовое выражение — вникли (надеюсь).
Когда числовое выражение не имеет смысла — осознали.
Пора двигаться на следующий уровень.)
Что такое алгебраическое выражение?
Если в игру дополнительно вступают буквы, то выражение становится… Да! Оно становится алгебраическим выражением!
Например:
a+6, x+y, 2a/b, c2 + 9, x2+2x+1
В общем, вы поняли…
Понятие алгебраическое выражение — более широкое, чем числовое. Почему? Потому, что в понятие алгебраические выражения входят и все числовые тоже. То есть, любое числовое выражение — это и алгебраическое выражение. Только без букв. Типа всякий русский — россиянин, но не всякий россиянин — русский.)
Такие выражения ещё называют выражениями с переменными. Или просто буквенными выражениями. Почему буквенное — ясно, надеюсь. Ну, раз буквы есть.) Фраза «выражение с переменными» тоже не требует особого умственного напряжения. Если, конечно, понимать, что под буквами могут скрываться различные числа. Всякие могут скрываться: и 5, и -30 — всё что угодно. То есть, букву в алгебраическом выражении можно заменять на разные числа. Какие хотим.
В выражении х+6, например, буква икс — переменная величина. Или коротко — переменная. В отличие от шестёрки, которая — величина постоянная. Или коротко — постоянная.
Что означает термин «алгебраическое выражение»? Он означает, что, в отличие от арифметики, (которая, как известно, работает только с числами), мы должны использовать законы и правила алгебры. Непонятно? Поясняю на несложном примере:
2·3 = 3·2
Что можно сделать? Посчитать и всего делов-то.) Слева шестёрка и справа тоже. А для каких-нибудь других чисел такое выполняется? Тоже можно посчитать и сравнить. Но чисел в математике — бесконечное количество. И что же? Каждый раз считать и сравнивать?!
А вот если мы шагнём из арифметики в алгебру и распишем данное равенство через алгебраические выражения:
ab = ba,
то мы сразу решим все вопросы! Для всех чисел махом! Мощная штука — алгебра.)
А когда алгебраическое выражение не имеет смысла? Что такое ОДЗ?
С числовыми выражениями всё ясно. Там на ноль делить нельзя да корни извлекать из отрицательных чисел, ну и некоторые другие логарифмические/тригонометрические фишки. А тут как узнаешь, на что делим или из чего извлекаем…
Очень просто! Точно так же!
Возьмём, к примеру, алгебраическое выражение:
Имеет ли оно смысл? Бэ-то любое число… Любое-то любое… Но есть среди этого бесконечного набора чисел такое значение b, при котором это выражение точно не имеет смысла. Догадались? Да! Это единичка (b=1). Если в знаменателе дроби заменить переменную b (как по-школьному говорят «подставить») на единичку, то в знаменателе нолик получится. На который делить нельзя. Вот и получается, что наше выражение имеет смысл при любом b, кроме единички.
А остальные b подставлять можно? Конечно! Хоть 5 возьмите, хоть -100 — наше выражение иметь смысл будет. В таких случаях говорят, что выражение имеет смысл при любом b , кроме 1.
И вот этот самый весь остальной набор чисел, которые можно подставлять в данное выражение, и который не приводит к запретному действию, в математике называется областью допустимых значений (ОДЗ) выражения. В нашем примере областью допустимых значений (ОДЗ) служат все числа, кроме единички.
Другой пример:
Видим квадратный корень. Сразу соображаем (из теории, т.е. основ), что корень квадратный извлекается только из положительных чисел и нуля. А вот из отрицательных — ни в какую!
Вот и обезопасим себя вот такой записью:
x-2≥0
x≥2
Таким образом, данный хитрое выражение имеет смысл лишь при иксах, больших (или равных) двойке. Число, скажем, 3, вполне себе прокатит, а вот ноль — никак нет: он меньше двойки. ОДЗ — штука жёсткая!
Уловили принцип? Внимательно смотрим на выражение с переменными, ищем опасные места и смотрим, при каких переменных получается запретная операция. И исключаем эти значения из ОДЗ.
А потом внимательно читаем задание. Чего хотят-то? Внимательное чтение никто не отменял, да… Если в задании спрашивают, при каких значениях переменной выражение имеет смысл, то ответом будут служить все значения, кроме запретных.
Или наоборот: при каких значениях переменных выражение не имеет смысла? Тогда найденные запретные значения и будут служить ответом к заданию. Почувствуйте разницу, что называется.)
А теперь вопрос к размышлению. А зачем нам смысл выражения? Есть он, нет его… Какая разница? Дело всё в том, что это понятие становится крайне важным в старших классах! Да и в ВУЗе тоже. Без этого важного понятия вы не сможете проделывать такие простые операции, как нахождение области определения функции, ОДЗ уравнений, неравенств. Что неизбежно будет приводить к полному провалу и непониманию всех этих серьёзных тем. Увы.)
Итак, самое главное из сегодняшнего урока:
1. Числовое выражение — это выражение с числами (т.е. без букв).
2. Если, помимо чисел, в выражении есть буквы, то оно называется алгебраическим выражением.
3. Как числовое, так и алгебраическое выражение, может иметь смысл, а может и не иметь. При встрече с алгебраическим выражением первым делом ищем его ОДЗ.
4. Все допустимые значения переменной (переменных), не приводящих к запретному действию, составляют Область Допустимых Значений (ОДЗ) алгебраического выражения. При необходимости ищем её!
Ну а в различных видах преобразований выражений мы с вами подробненько разберёмся и плотно поработаем в следующих уроках этого раздела.)
Содержание
Математическое выражение. Определение
Числовые и буквенные математические выражения
Когда опускают знак умножения
Как читать математические выражения
Формулы
Так же, как и у нашего языка общения есть алфавит и знаки-помощники (точка, тире, запятая и т.д.), математический язык вычисления также имеет свой алфавит:
- цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);
- буквы латинского и греческого алфавитов ((a, b, c, d, α, β, γ, δ) и т.д.)
- знаки математических действий ( (+, -, times , div), и т.д.);
- скобки (), [ ], { }.
Буквы и цифры в математике служат для обозначения чисел.
Цифрами обозначается конкретное, какое-то определённое число.
Буквами – любое или неизвестное число, в зависимости от задачи.
Например:
- 258 – конкретное число двести пятьдесят восемь;
- (a + b) – сумма любых двух чисел;
- (x + 24 = 78) – уравнение с неизвестным первым слагаемым икс.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ – это «слова» и «фразы» математики, записи, в которых содержатся:
- числа, обозначенные цифрами или буквами,
- знаки математических действий, которые связывают эти числа математическими действиями;
- вспомогательные знаки – скобки.
При этом знаки математических действий и вспомогательные знаки ОБЯЗАТЕЛЬНО связывают числа и обозначают последовательность действий над ними.
Примеры математических выражений:
- x;
- 74;
- (2cdot3)
- (adiv (25+38))
- (374+(48cdot 2))
- (ac + bc)
ВНИМАНИЕ!
НЕ ЯВЛЯЕТСЯ математическим выражением:
- запись только знака;
- запись, не обозначающая математического действия над числами (когда знаки не связывают собой числа и не указывают на последовательность действий);
- запись, в которой присутствуют знаки сравнения (в этом случае запись является уравнением или неравенством, сравнивающем два и более выражений).
Например, это НЕ математические выражения:
- (
- +
- ((div 8-59)
- (35cdot 12(+74)
- (a+5=12)
- (38+87<25cdot x)
- ((1000+x)div 2=784)
Числовое значение выражения – это число, которое получается в результате выполнения всех действий в правильном порядке, указанных в данном выражении.
Найти числовое значение выражения – это означает совершить все арифметические действия, записанные в выражении, в правильном порядке, и получить число, являющееся значением данного выражения.
Например:
((35+4)cdot 2) — это выражение, а 78 — это числовое значение этого выражения, полученное в результате выполнения всех арифметических действий этого выражения.
Виды математических выражений
Числовые – выражения, которые состоят только из чисел, выраженных цифрами, и знаков: (5+3; 28div 4; 32cdot (25+15));
Буквенные – выражения, которые состоят из чисел, выраженных и цифрами, и буквами, или только буквами, и знаков: (5cdot a; a+b; 64div (2+c)).
Случаи опускания знака умножения в выражениях
В буквенных выражениях обычно знак умножения пишут только между числами, которые выражены цифрами.
В остальных случаях знак умножения опускают, например:
- между числовым и буквенным множителем: (5cdot x = 5x)
- между буквенными множителями: (acdot b = ab)
- между числовым множителем и скобкой: (3cdot (d+c)=3(d+c))
- между буквенным множителем и скобкой: (acdot (b+c)=a(b+c))
Как читать математические выражения
Простейшие математические выражения, состоящие из одного математического действия, называются по названию результата этого действия:
- (2+3) – сумма чисел 2 и 3
- (5cdot 4) – произведение чисел 5 и 4
- (24div 6) – частное чисел 24 и 6
- (35-5) – разность чисел 35 и 5
Более сложные выражения, называют по последнему выполняемому действию:
- ((a+b)-c) – разность суммы чисел a и b и числа c
- ((a+b)cdot (a-b)) – произведение суммы чисел a и b и разности чисел a и b
- (adiv (ccdot d)) – частное числа a и произведения чисел c и d
Важно не только уметь читать готовые математические выражения, но и «переводить» слова на математический язык – язык чисел, знаков действия и других символов:
- Сумма первых пяти натуральных чисел – (1+2+3+4+5)
- Произведение всех однозначных чисел – (1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot 7cdot 8cdot 9)
- Сумма всех двузначных чётных чисел – (10+12+14+…+94+96+98)
Алгоритм чтения математических выражений
Чтобы прочитать математическое выражение, нужно:
- Определить порядок действий в выражении
- Прочитать, начиная с последнего действия
При чтении сложного выражения повторяем действия алгоритма столько раз, сколько необходимо.
Например:
- (35cdot (28-12)) – Произведение числа 35 и разности чисел 28 и 12
- (35cdot (28-12)+64) – Сумма произведения числа 35 с разностью чисел 28 и 12, и числа 64.
- (35cdot (28-12)+64–32div 16) – Разность суммы произведения числа 35 и разности чисел 28 и 12 с числом 64, и частного чисел 32 и 16
Формулы
Используя математические выражения можно одну величину представить в виде другой, то есть, установить зависимость значения одной величины от значения другой величины.
Например:
Велосипедист едет со скоростью (v_{1}) км/ч. Найти скорость:
а) автомобиля, если известно, что он едет в 3 раза быстрее: (v_{a}=3cdot v_{1});
б) пешехода, если известно, что он двигается на 15 км/ч медленнее: (v_{p} = v_{1}-15).
Иначе это называется выразить одну величину через другую.
В первом случае мы выразили скорость автомобиля ( (v_{a}) ) через скорость велосипедиста ( (v_{1}) ), а во втором случае – скорость пешехода ( (v_{p}) ) через скорость велосипедиста ( (v_{1}) )
Многие величины в математике имеют свои собственные обозначения. Например: S – площадь фигуры, P – периметр, t – время и т.д.
Запись такого равенства называется формулой.
ФОРМУЛА – это запись зависимости значения некоторой величины от значений одной или нескольких других величин. Или другими словами, это запись правила вычисления одной неизвестной величины при помощи известных других.
Например:
- формула расстояния (s = vcdot t) (или (s = vt) ) – это запись зависимости значения пройденного расстояния от значений скорости движения и времени движения (Расстояние – это скорость, умноженная на время).
- формула периметра прямоугольника (P=2(a+b)) – это запись зависимости величины периметра
прямоугольника от его длины и ширины (Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме
двух его разных сторон).
Конспект урока
Алгебра
7 класс
Урок № 13
Числовые выражения
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Числовые выражения;
- Значение числового выражения;
- Текстовые задачи на составление числового выражения.
Тезаурус:
Числовое выражение – это выражение, состоящее из чисел, знаков математических действий и скобок.
Значение числового выражения – результат выполненных арифметических действий в числовом выражении.
Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
«Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир» – однажды сказал немецкий писатель Иоганн Гёте. Сегодня пойдёт речь именно о числах и арифметических операциях с ними.
Мы уже неоднократно решали задачи, в которых над заданными числовыми значениями приходится выполнять арифметические действия, такие как сложение, вычитание, умножение и деление. Иногда в том или ином задании все перечисленные действия встречаются одновременно, поэтому чтобы верно вычислить значение того или иного выражения или решить задачу, нужно сначала задать правильный порядок действий.
Порядок арифметических действий.
Арифметические действия выполняются слева направо:
1) действие в скобках;
2) операции умножения или деления;
3) сложения или вычитания.
Таким образом, мы подошли к определению понятия числового выражения.
Числовое выражение – это выражение, состоящее из чисел, знаков математических действий и скобок.
Например, числовые выражения могут выглядеть так:
25 – 67 : 2 + 17 = 8,5
245 – (25 : 0,5) = 195
Если в данных выражениях выполнить все действия, т.е. получить ответ в виде действительного числа, то говорят, что получено значение числового выражения. Например, в этих числовых выражениях значения соответственно равны 8,5 и 195.
Но всегда ли можно получить значение числового выражения?
Рассмотрим следующее выражение:
245 : (25 – 12,5 : 0,5).
В данном случае выражение не имеет смысла, т.к. на некотором этапе вычисления требуется делить на ноль, но на ноль делить нельзя. Таким образом, числовое выражение имеет смысл при условии что делитель (если таковой есть) не равен нулю.
Стоит отметить, что числовое выражение может состоять только из числа.
Например, 45 и 1/2 – тоже числовые выражения.
Как уже отмечалось ранее, числовые выражения иногда используют и для решения задач.
Решим такую задачу:
Автомобиль двигался по трассе 20 км со скоростью 100 км/ч, а затем ещё 30 км со скоростью 90 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля на всём участке?
Для решения задачи нужно вспомнить, что средняя скорость – это отношение всего пути, пройденного телом ко времени прохождения всего пути.
Решение:
V ср =
Исходя из этого, составим числовые выражения, необходимые для решения задачи.
Сначала найдём путь, который преодолел автомобиль.
20 +30 = 50 (км) – весь путь автомобиля.
Далее найдём все потраченное автомобилем время на прохождение трассы.
+ = (ч) – время движения автомобиля по всей трассе.
Остаётся определить среднюю скорость автомобиля при движении по трассе:
50: = 93,75 (км/ч) – средняя скорость движения автомобиля по трассе.
Ответ: 93,75 км/ч
Это и есть искомый ответ к данной задаче.
Эту же задачу можно решить, используя следующую таблицу.
|
участки |
путь |
скорость |
время |
|
1 |
20 км |
100км/ч |
? 20 : 100 ч |
|
2 |
30 км |
90км/ч |
? 30 : 90 ч |
|
весь |
? 20 + 30 = 50 км |
Средняя скорость ? 50 : (20 : 100 + 30 : 90) км/ч = 93,75 км/ч |
? 20 : 100 + 30 : 90 = ч |
Запишем все числовые данные, известные нам по условию задачи. Отметим вопросительным знаком, что неизвестно. Далее, используя формулу скорости, составляем числовые выражения и находим недостающие элементы:
– сначала время на первом, втором участках и всё время движения
– затем составляем числовое выражение для всего пути
– наконец, составляем числовое выражение для вычисления значения средней скорости.
Итак, сегодня мы получили представление о числовом выражении и его применении при решении задач.
Переходим к выполнению заданий.
Решим задачу.
В лаборатории было два куска сплава 500г и 700г, которые содержали 20% и 50% меди соответственно. Каково процентное содержание меди в сплаве, полученном из этих кусков?
Для решения данной задачи составим следующую таблицу.
|
сплавы |
Масса сплава |
% меди в сплаве |
Масса меди в сплаве |
|
1 |
500 г |
20% : 100% = 0,2 |
? 500 г · 0,2 = 100г |
|
2 |
700 г |
50% : 100% = 0,5 |
? 700 г · 0,5 = 350г |
|
3 |
? 500 г + 700 г = 1200г |
? (450 г : 1200 г) · 100% = 37,5 % |
? 100 г + 350 г = 450 г |
Будем заполнять её, исходя из условия задачи. Нам известна масса 1 и 2 сплавов и процентное содержание меди в них, подставим их в таблицу. Остальные клеточки нам неизвестны. Будем находить неизвестные табличные данные, составляя числовые выражения.
Для начала переведём проценты в число, для этого составим числовые выражения:
1) 20% : 100% = 0,2 – первый сплав,
2) 50% : 100% = 0,5 – второй сплав.
Далее определим массу меди в 1и 2 сплаве:
3) 500 г · 0,2 = 100 г – масса меди в 1 сплаве,
4)700 г · 0,5 = 350 г – масса меди во 2 сплаве.
Теперь найдём массы меди в 3 сплаве:
5)100 г + 350 г = 450 г.
Найдём массу всего сплава:
6)500 г + 700 г = 1200 г.
Остаётся найти процентное содержание меди в 3 сплаве, для этого составим числовое выражение:
7)(450 г : 1200 г) · 100% = 37,5 %.
Ответ: 37,5%ю
Тренировочные задания.
1) Какое из числовых выражений соответствует следующей записи – утроенное число 9?
Варианты ответа:
93
9 · 3
39
Решение:
Для решения задачи, нужно вспомнить, что утроенное число – это значит число, умноженное на 3. Следовательно, правильный ответ – 9·3.
2) Продавец в магазине получает зарплату 30000 руб. Через некоторое время происходит повышение зарплаты на 10%, а ещё через некоторое время её увеличивают на 5%. Какова новая зарплата продавца?
Решение: Для решения задачи сначала нужно составить числовое выражение для вычисления зарплаты после повышения ее на 10%. Для этого переведём 10% в число.
1) 10% : 100% = 0,1
Далее найдём 10 % от 30000 руб.
2) 30000 · 0,1 = 3000 (руб.) – 1 повышение.
Далее найдём зарплату после первого повышения:
3) 30000 + 3000 = 33000 (руб.)
Далее переведём 5% в число:
4) 5% : 100% = 0,05
Далее найдём 5 % от 33000 руб:
5) 33000 · 0,05 = 1650 (руб.) – 2 повышение.
Остаётся найти новую зарплату продавца:
6)33000 + 1650 = 34650 (руб.).
Ответ: 34650 руб. новая зарплата.