Как правильно составить задачу по геометрии

ОБУЧЕНИЕ ШКОЛЬНИКОВ СОСТАВЛЕНИЮ ЗАДАЧ
НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ.

Власова Светлана Александровна

В нашей статье
рассмотрены некоторые подходы к обучению школьников самостоятельному конструированию
задач, и не на факультативных занятиях, а на обычных уроках.

Отметим, что
учитель должен всячески поощрять в учащихся деятельность по созданию задач,
необходимо стараться как можно больше задач, составленных детьми решать в
классе (возможно, после доработки этих задач учителем совместно с учениками –
их авторами) или задавать в качестве домашней работы всему классу. Н.М. Бескин
считал, что «составление задач – это особый творческий процесс, отсутствие
которого не может быть компенсировано решением задач». Решая задачи, ученик
почти никогда не обдумывает вопроса о том, какие данные должны быть включены в
условие, чтобы задача была вполне определенной, а между тем, это весьма важный
вопрос в геометрии.

Необходимо учить
детей анализировать новый материал на предмет самостоятельного выявления задач,
которые нужно решать для глубокого усвоения данного материала. Способствовать
формированию указанного навыка будут, в частности, вопросы: «Как вы думаете,
каких задач на применение данной теоремы будет больше – на нахождение или на
доказательство? Представьте себя автором учебника и подумайте, какие задачи вы
бы предложили учащимся для закрепления нового материала? Придумайте как можно
больше различных задач на применение нового материала. В чем отличия
составленных вами задач? ».

Этап первичного
усвоения нового материала является необходимым этапом работы на уроке. При
традиционном подходе к преподаванию указанная работа предполагает использование
только репродуктивных методов обучения. Подход, стимулирующий школьников к
конструированию собственных задач, еще на этапе первичного закрепления
материала позволяет организовать творческую работу учащихся по составлению
задач. В этом процессе тренируются все мыслительные приемы, необходимые для
решения. Дети лучше понимают структуру задачи в целом, а также общую стратегию
поиска ее решения.

В основе обучения
процессу поиска решения и создания задач лежит осмысленное усвоение детьми
таких методов поиска решения, как рассуждение от известного к неизвестному
(синтез) и от неизвестного к известному (анализ).

Обучение школьников
составлению собственных задач можно начинать с доступных для учащихся заданий
по готовым чертежам, позволяющим изменяя одно из условий задачи, формулировать
новые задачи, используя таблицу достаточных признаков неизвестного.

Пример: «Как можно задать равенство отрезков АВ и ВС?» (рис 1).
Учащиеся могут предложить следующие ответы:

1) ABC— равнобедренный с основанием АС;

2) точки А и С лежат на окружности с
центром В;

3) А = С ;

4) в треугольнике
АВС медиана ВD является биссектрисой;

5) в треугольнике АВС биссектриса ВD является высотой;

6) в треугольнике АВС медиана ВD является высотой;

7) АВ=7см, ВС=7см;

АВ=АС,    ВС=АС.

Во время этой
работы важно, чтобы учащиеся дали как можно больше различных вариантов ответа.
Подобные задания можно использовать также и при составлении вышеуказанных
таблиц.

Далее мы
приступали непосредственно к составлению новых задач. Учащимся предлагалась
задача, одно или несколько условий которой нужно было «скрыть», сформулировать
по-другому.

Пример.      Дано: АО=ОС, BO=OD. Докажите, что AОВ=CОD.

Составьте новую задачу, скрывая условие АО=ОС, и
ответьте на вопрос: «Откуда следует равенство отрезков АО и ОС в вашей задаче?»
(рис. 2). Приведем примеры задач, составленных учениками 7 класса (рис. 3).

№1.Дано: ВО=ОD, точки А и С лежат на окружности с центром О Докажите, что AОВ=CОD (АО=ОС как радиусы)

№2. Дано: ВО=ОD,  АК=КС, АКО = СКО, Докажите, что AОВ=CОD. (АО=ОС как соответственные стороны равных треугольников.)

№3. Дано:  ВО=ОD, АD=СВ Докажите, что AОВ=CОD ( АО=ОС как разность равных отрезков )		№4. а) Дано: ВО=ОD, САО = АСО. Докажите, что AОВ=CОD ( АО=ОС как боковые стороны равнобедренного треугольника)
Если мы еще раз усложним задачу №4, пользуясь тем же принципом, то есть скрывая условиеAОC – равнобедренный с основанием АС, то получим задачи №5 и №6.
№5 Дано: ВО=ОD, АОМ = СОМ, АМ = СМ. Докажите, что AОВ=CОD. (AОC – равнобедренный с основанием АС, так как медиана ОМ является биссектрисой, значит АО=ОС как боковые стороны равнобедренного треугольника AОC)		№6. Дано: ВО=ОD, ОАF = FАО, DО медиана треугольника CDF Докажите, что AОВ=CОD. (АО и ОС равны одному и тому же отрезку).

При изучении
зависимостей, выраженных формулами, учитель также может организовать творческую
работу учащихся по составлению задач. Стоит объяснить детям, что для нахождения
какой-либо величины по формуле необходимо, чтобы все остальные величины,
участвующие в зависимости, были известны. Поэтому, делая одну величину
неизвестной, а вместо других подставляя значения, мы получаем различные
простейшие задачи на применение формулы, причем оказывается, что задач столько,
сколько величин в формуле. (Закрываем ладошкой одну величину, а для других
придумываем значения и формулируем условия задачи).

Например, после
доказательства теоремы косинусов детям задается вопрос: «Какие задачи можно
составить?». В формулу  входят четыре
величины (рис. 4 ). Дети могут составить четыре задачи.

1.                
По двум
сторонам a и b и углу между ними найти третью сторону с.

2.                            
По двум
сторонам a и с и углу , противолежащему стороне с, найти третью
сторону b (рассмотрение решения данной задачи дает возможность еще раз
обратить внимание учащихся на возможное существование двух различных
треугольников, удовлетворяющих данным условиям).

3.          
По двум
сторонам b и с и углу , противолежащему
стороне с, найти третью сторону а.

4.          
По трем
сторонам a, b и c найти угол ,
противолежащий стороне с.

Таким образом,
задачи на первичное закрепление нового материала на уроке могут составляться
самими учащимися, при этом школьники видят сразу все возможные задачи на
применение той или иной формулы. Не вызывает сомнений, что в дальнейшем,
встретившись с похожей задачей, ученик ее решит быстрее и легче увидит
простейшую задачу как составляющую более сложной.

В дальнейшем задачи на применение
одной формулы дети могут усложнять, используя вопросы, актуализирующие
мыслительные приемы анализа и синтеза. Например, усложняя задачу 4 при помощи
вопроса, реализующего синтез: «Что еще можно узнать?», т.е. заменяя неизвестное
следствием из него, учащиеся составят задачу: «по трем сторонам треугольника
найти все его углы». Для усложнения задачи при помощи анализа нужно «скрыть»
одну из данных величин, заменив достаточным для ее нахождения условием.
«Скрывая» величину одной из сторон (например, стороны АВ), при помощи
аналитического вопроса «Какое другое условие будет достаточным для вычисления
отрезка АВ», дети предложили построить прямоугольный треугольник АКВ со
сторонами АК=n и ВК=m, так, чтобы отрезок АВ являлся его
гипотенузой. В данном случае длина отрезка АВ может быть вычислена по теореме
Пифагора. Получилась следующая задача: дан четырехугольник АКВС с четырьмя
известными сторонами a, b ,m, n, у
которого К=. Найти
угол С, противоположный углу К (рис. 5).

Ученикам следует
предложить представить себя авторами учебника и самим составить задачи для
усвоения нового материала. Полезно выделить вместе с детьми «тонкие моменты»
нового материала, на которые они, как авторы учебника, постарались бы обратить
внимание. Какие задачи на отработку этих моментов они предложили бы в своем
учебнике? При изучении теоремы косинусов таким «тонким моментом» является то,
что угол может быть как острым, так прямым или
тупым, что влияет на значение cos.

При такой
организации работы с формулой ученики лучше ее запоминают. По исследованиям
психологов, когда идет работа над материалом в процессе деятельности, целью
которой не является запоминание, происходит непроизвольное запоминание
изучаемого материала, которое значительно продуктивнее (иногда более чем в два
раза), намеренного. Работа по составлению новых задач учит детей грамотно
употреблять математические термины, формирует умение говорить на математическом
языке. Скучная, но необходимая работа по первичному закреплению материала
проходит наиболее плодотворно и превращается в творческую и интересную,
подразумевает анализ учеником изучаемого материала и выделение главного,
существенного, способствует внимательному рассмотрению наиболее сложных для
ученика моментов.

Цели:

• формировать умение применять полученные на
  уроках знания в новой ситуации;
• учить составлять геометрические задачи;
• развивать умение оценивать факты;
• развивать творческие способности и навыки
  исследовательской деятельности;
• формировать и развивать умение мыслить по
  аналогии, умение обобщать, анализировать,
  наблюдать и делать выводы;
• воспитывать творческий подход к решению
  математических задач.

Задача урока: создание ситуации на
уроке, в которой учащийся проявит себя и сам
проанализирует уровень сложности, на котором он
может работать

Оборудование: презентация,
раздаточный материал: каждому ученику карточки
«Секреты мастерства», набор заказов для
умельца, для подмастерья, для мастера.

Для создания соответствующей атмосферы:

• «Вещь, созданная руками Мастера, радует
  окружающих и приносит уважение своему
  создателю» Н. Конышева
• «Кто красотой гордиться, кто славой, кто
  уменьем:
  Да здравствует Мастер, гордящийся уменьем!» Н.
  Матвеева
• «Для подмастерья выше счастья нет,
  чем гнаться с тонкой кисточкой учёбы
  За смелой кистью Мастера вослед!»

Тип урока: комбинированный.

Вид урока: урок-мастерская.

Формы работы на уроке: фронтальная,
индивидуальная, работа в парах.

На уроке использована методика обратного
поэтапного формирования способа действий.

План урока.

1. Организационный момент.
2. Сообщение темы и цели урока.
3. Актуализация знаний учащихся Повторение
   изученного.
4. Отработка приёмов составления геометрических
   задач.
5. Творческая самостоятельная работа.
6. Презентация работ. Подведение итогов.
7. Задание на дом.

Ход урока

1. Организационный момент. Приём
отсроченной мотивации.

Я приглашаю Вас на урок геометрии, в мастерскую.

Скажите, а чем занимаются в мастерской?

А что можно мастерить на уроке геометрии?

2. Сообщение темы и цели урока.

Как бы вы сформулировали тему нашего урока?

В мастерской творит Мастер. Мы шагнём по
ступеням мастерства.

«Шагнуть вперёд можно лишь тогда, когда нога
отталкивается от чего-то, движение от ничего или
из ничего невозможно:» Василий Белов (русский
писатель)

Нам есть от чего оттолкнуться — от знаний.

Как настоящим мастерам нам понадобятся
инструменты.

С помощью чего можно составлять задачи?

Какие инструменты нам необходимы?

Теоремы, определения, свойства геометрических
фигур.

Проверим готовность наших инструментов.

3. Повторение изученного.

Приготовьтесь к сборке набора инструментов. На
наборном полотне в ячейках изображены чертежи.
Разложи теоремы, определения в соответствии с
чертежами.

Если вы сложили правильно, то узнаете, что можно
открыть с помощью инструментов. Это «секреты
мастерства».

Лото «Секреты мастерства» (Приложение 1)

4. Обучение приёмам составления задач.

«Для подмастерья выше счастья нет,
чем гнаться с тонкой кисточкой учёбы
За смелой кистью Мастера вослед!»

Мастерство давало человеку достоинство и
приносило уважение окружающих.

У каждого Мастера есть свои секреты.

Раскроем и мы секреты мастерства составления
геометрических задач.

Приготовьте листы «Секреты мастерства» (Приложение 2)

Как создать геометрическую задачу?

— сконструировать чертёж;

— определить данные;

— получить возможные следствия и их
обоснования;

— на основе полученных следствий выдвинуть
требование к задаче.

Возьмём заготовку — простую задачу и путём
преобразований из простой задачи смастерим
более сложную, то есть с точки зрения геометрии
более красивую задачу. И чем сложнее задачу мы
сможем составить, чем больше знаний мы привлечём,
тем ценнее будет наше изделие.

Мастер-класс. Секрет первый. (Приложение 2)

Решение:

1. ВС = 1/2 АВ (свойство катета, лежащего против
угла 30⁰)

АВ = 5 * 2=10 см

Ответ: АВ = 10 см.

Перепрячем в этой задаче условие А=30⁰ следующим образом: пусть
нам известно В=60⁰.

Тогда чтобы решить задачу надо сначала
вычислить угол А. Как это сделать?

На основании какого свойства?

Свойство острых углов прямоугольного
треугольника.

90 ⁰— 60⁰=30⁰.

Теперь наша задача решается в два шага.

Перепрячем ещё раз данное — пусть угол АВД=120⁰.
Этот угол внешний для АВС.
Необходимо применить свойство внешнего угла
треугольника.

Теперь задача решается в 3 шага.

Выглядит она так:

Решение:

1. АВС= 180⁰ — АВД (свойство внешнего угла) АВС= 180⁰-120⁰=60⁰

2. ВАС=90⁰ — АВС

ВАС= 90⁰ — 60⁰=30⁰
(свойство острых углов прямоугольного
треугольника)

3. ВС=1/2 АВ (свойство катета, лежащего против угла
30⁰) АВ=5 * 2=10 см

Ответ: АВ=10 см.

Рецепт

1. Составь простую задачу.
2. Перепрячь одно (несколько) данных с помощью,
   какой-либо теоремы.
3. Сформулируй новую более сложную задачу.

Поиграем в прятки по правилу: данное задачи
прячем с помощью какой-либо теоремы, свойства,
определения.

Теперь, чтобы от утверждения **перейти к
утверждению *надо применить

а) свойство острых углов прямоугольного
треугольника;

б) признак равнобедренного треугольника.

Секрет второй «Обработка данных». (Приложение
2)

Как создать геометрическую задачу?

1. Сконструируй чертёж.
2. Определить данные.
3. Получить возможные следствия и их обоснования.
4. На основе полученных следствий выдвинуть
   требование к задаче.

Задача

Утверждение обоснование

1. ВС = 1/2 АВ, АВ = 4 * 2 = 8 см Свойство катета,
лежащего против угла в 30^о

2. ВМ = МА по условию

3. СМ — медиана по определению

4. СМ = МА свойство медианы прямоугольного
треугольника

5. СМА — равнобедренный
по определению

6. МД — биссектриса по условию

7. МД — высота свойство биссектрисы
равнобедренного треугольника

8. МДА — прямоугольный
МД СА

9. МД = 1/2 МА , МА= 4 см, МД = 2 см свойство медианы
прямоугольного треугольника.

Это пока ещё не задача- это геометрическая
конструкция.

Для того чтобы получилась задача — выдвинем
требование к её решению.

Если мы потребуем доказать, что СМА — равнобедренный, сколько шагов
будет иметь решение? (5 шагов)

А если мы потребуем найти МД, сколько шагов
придётся выполнить? (9 шагов)

Задача готова!

5. Творческая самостоятельная поуровневая
работа.

Неленивого человека в старину называли
умельцем. Почти каждый умелец становился
подмастерьем, но только самые старательные —
мастерами!

У каждого из вас на столе лежит заказ на
изготовление задачи.

Решите сами, какой заказ вам по силам. (Приложение 3)

• Заказ для умельца — ремонт задачи (вставить
  пропуски);
• заказ для подмастерья — составить задачу по
  готовому чертежу;
• заказ для мастера — сконструировать свою
  задачу.

За выполнение заказа

• умелец может заработать 3 балла,
• подмастерье — 4 балла,
• мастер- 5 баллов.

Настоящий Мастер дарит результаты своего труда
окружающим. По окончанию работы я предлагаю Вам
свою работу поместить на выставку и презентовать
их.

У вас всё получится! Удачи! Приступайте к
работе.

6. Выставка работ. Подведение итогов.

» Кто красотой гордиться, кто славой, кто
уменьем:

Да здравствует Мастер, гордящийся уменьем!» Н.
Матвеева

Будьте

• Мудрыми
• Активными
• Смелыми
• Терпеливыми
• Ещё Решительными

И тогда каждый из Вас станет МАСТЕРОМ!

За работу хотелось бы отметить самых успешных и
старательных!

Им присваивается звание «Мастер задач».

7. Задание на дом.

Смастерить геометрическую задачу.

Урок окончен!

Геометрическая логика при решении задач

Геометрия… Страшное слово для бесчисленного множества учеников. Они знают свойства фигур и выучили определения и теоремы, но задачи по геометрии все равно остаются какой-то китайской грамотой.

Это про тебя? Тогда ты попал туда, куда нужно!

Проблема подавляющего большинства учеников в том, что они не умеют обдумывать задачу по геометрии. Их этому не научили (ну, или они не захотели научиться, когда была возможность). Именно в этой статье, я объясню саму технологию обдумывания и, в конечном счете, нахождения решения ПРАКТИЧЕСКИ ЛЮБОЙ задачи по геометрии.

Сразу оговорюсь — без знания теории в геометрии никак. В смысле, вообще никак, от слова «совсем». Чтоб тебе было полегче при чтении этой статьи, я буду внутри решений задач в скобках курсивом указывать используемые свойства и теоремы. Но помни: если вдруг в знании теории у тебя пробел – закрытие его за тобой! Бери учебник и читай. Причем главные вещи – заучивай (или понимай). Знать теорию – обязательно!

Ладно, к делу.

Ты играл когда-нибудь в квесты? Неважно в реальной жизни или в компьютере. Во всех квестах принцип один – у тебя есть что-то (вещи, знания, навыки) и есть цель (раскрыть какую-нибудь тайну, найти некий предмет, «спасти принцессу» и т.д.). При этом путь к цели – неизвестен. И зачем нужны эти самые имеющиеся у тебя «вещи, знания, навыки» – тоже непонятно. Что делать? Как достичь цели?

Известно как: использовать то, что есть, и искать, куда это применить, чтоб продвинуться к цели. То есть, делать шаги от своего текущего местонахождения – к цели. При этом понятно, что некоторые шаги будут вести нас не туда, куда надо, а совсем даже в тупик. А иногда мы будем находить вещи или информацию, вроде бы напрямую к цели не ведущие, но как выяснится в дальнейшем – необходимую.

Более того, порой можно логически двигаться и наоборот – от цели к твоей текущей позиции. Например, если нужно «спасти принцессу из замка», то понятно, что, скорее всего, надо будет как-то попасть в замок. А для этого надо оказаться на острове, где этот замок стоит. Как попасть? Может быть на лодке. Или найти телепорт. Или использовать магию. Но на остров – надо. Начинаем искать пути на остров. Это уже логические шаги от цели к текущей позиции.

К чему весь этот разговор? Решение задачи по геометрии это точно такой же «квест», только математический . Вдумайся: у нас всегда есть некоторые исходные данные и есть то, что нужно найти (или доказать – разницы на самом деле практически нет). И наша задача – построить логическую цепочку от исходных данных к цели. Строительным материалом при этом у нас будут данные (исходные и полученные при рассуждениях), а также теоремы и свойства.

Ладно, давай уже конкретный пример разберем.

Задача. В треугольнике (ABC) из точки (B) проведена высота (BH). Найти длину отрезка (AH), если известно, что сторона (AC; =; 14) см и угол (A) равен углу (C).

Так. С чего начинается решение геометрической задачи? Ну, а с чего начинается решение квеста? Правильно, осматриваемся по сторонам, изучаем, что у нас есть и куда нас жизнь закинула.

В геометрии это означает:

1. построить чертежа выделить из условия задачи исходные данные, то есть, выяснить, что нам дано.
2. выделить из условия задачи исходные данные, то есть, выяснить, что нам дано.

Хорошо. Значит, текущая ситуация у нас такова:

Давайте потихоньку развеивать туман. Нам известно, что углы (А) и (С) равны, а это значит, что треугольник (АВС) – равнобедренный с основанием АС (теория – «признак равнобедренного треугольника: равенство углов при одной из сторон. Она и является основанием»). Это новая информация, новые данные, изначально неизвестные. Делаем шаг.

Отлично. Теперь смотрим, что у нас есть еще? Еще у нас есть информация, что (BH) – высота. А раз треугольник (ABC) – равнобедренный, то значит (BH) еще и медиана (теорема о высоте в равнобедренном треугольнике: высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника является медианой и биссектрисой). То есть, мы, используя новые, полученные на предыдущем шаге данные, а также исходные данные и знание теории, делаем еще один шаг и опять получаем новую информацию.

А что мы знаем про медиану? Она делит противоположную сторону на две равные части (определение медианы: отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны). Но тогда получается, что точка (H) делит сторону (AC) пополам. То есть (AH = HC).

Стоп. Так у нас же есть длина стороны (AC)! И если мы знаем, что точка (H) делит сторону (AC) пополам, значит, (AH) равен половине (AC)! Таким образом, получаем, что (AH = AC/2 = 14/2=7) см.

Готово. Ответ получен.

Естественно, такие конструкции с «пятном тумана» рисовать каждый раз не нужно, эта схема показывает логическую цепочку решения у нас в голове. А записывается примерно так:

«Классические» схемы для решения задач по геометрии

Анна Малкова

Многие старшеклассники считают, что геометрия сложнее алгебры. «В алгебре все просто, — говорят они. – Есть способы решения уравнений. Есть типы задач – на движение, на работу, на проценты – и для каждой свои приемы решения. А задачи геометрии друг на друга не похожи».

Так ли это? Может быть, и в планиметрии есть схемы, на которых строится множество задач?

Да, есть. Я называю их «классические схемы планиметрии». Учимся узнавать их и использовать в задачах! И возможно, что на ЕГЭ вам встретится задача, «ключиком» к которой будет одна из этих схем. Конечно, на ЕГЭ эти утверждения надо доказывать.

Вот 5 полезных схем для решения задач по планиметрии.

Схема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.

H – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК

1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
, если , и , если 

1. Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач.
2. Четырехугольник ВКМН также можно вписать в окружность.
3. Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны.
4. , где R – радиус описанной окружности .

Схема 2. Пусть луч МА пересекает окружность в точках А и В, а луч МD –  в точках С и D, причем МА > МВ, МD > МС. Тогда треугольники ВМС и DМА подобны.

Схема 3. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, угол В равен углу М, причем точки В и М лежат по одну сторону от прямой АС. Тогда точки А, В, С, М лежат на одной окружности.

Схема 4. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, углы В и М – прямые. Тогда точки А, В, С, М лежат на окружности, радиус которой равен половине АС.

Схема 5. Лемма о трезубце (трилистнике)

И несколько лайфхаков для сдающих ЕГЭ.

1) Любая задача из варианта ЕГЭ решается без сложных формул. И если вы не помните теорему Чевы, теорему Менелая и другую экзотику – вам это и не понадобится. Только то, что есть в нашем Супер-Справочнике . И полезные факты. Зато знать это надо наизусть.

2) Когда вы отлично знаете все теоремы, формулы, свойства геометрических фигур – у вас в голове выстраивается цепочка ассоциаций. Например, в условии задачи  дан радиус вписанной окружности. В каких формулах он встречается? – Правильно, в теореме синусов и в одной из формул для площади треугольника.

3) Есть такие теоремы, которые вроде и входят в школьную программу – а попробуй их найди в учебнике. Например, теорема о секущей и касательной или свойство биссектрисы треугольника. А вы их знаете?

4) Как научиться решать задачи по геометрии? Если у вас маловато опыта – не стоит начинать с реальных задач ЕГЭ. Сначала – задачи на доказательство. Тем более что в реальной задаче 16 из варианта ЕГЭ первый пункт – доказательство.

5) Если вы вдруг не можете решить пункт (а), но решили пункт (б), вы получите за него один балл. А это лучше, чем ничего. Но вообще пункт (а), как правило, бывает простым. Иногда вопрос в пункте (а) очень простой. И это не только для того, чтобы вы получили «утешительный» балл. Помните, что пункт (а) часто содержит подсказку, идею для решения пункта (б).

6) Среди стратегий подготовки к ЕГЭ есть эффективные. А есть откровенно проигрышные.

Пример плохой стратегии – когда старшеклассник принимает решение заниматься только алгеброй и считает планиметрию и тем более стереометрию слишком сложными для себя. И вот на ЕГЭ попадается сложное неравенство или «экономическая» задача. И всё, баллов не хватает! Тех самых баллов за планиметрию и стереометрию, которые можно было взять, не хватает для поступления!

Чтобы такого не случилось – занимаемся планиметрией как можно больше.

7) Стоит учесть, что задачи вариантов ЕГЭ по планиметрии и стереометрии бывают намного проще, чем по алгебре.

Содержание:

Логическое построение геометрии

Геометрия — это наука о пространственной форме и количественных характеристиках предметов реального мира. Прочие свойства предметов изучают другие дисциплины. Если при изучении предмета учитывать только пространственную форму и размеры, то получим абстрактный объект, называемый геометрической фигурой.

Слово «геометрия» — греческого происхождения и в переводе означает землеизмерение. Геометрию, изучаемую в школе, называют евклидовой по имени древнегреческого ученого Евклида. Геометрия состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. Планиметрия изучает свойства фигур на плоскости, а стереометрия — в пространстве (рис. 1).

Чтобы отличать геометрические фигуры друг от друга, их свойства описывают в виде утверждения, которое называют определением. Однако, определить вес геометрические фигуры невозможно. Некоторые из них, первоначальные, вынуждены принять без определения. Принимаем их за неопределяемые, начальные (основные) геометрические фигуры. Логическое построение геометрии осуществляют в следующем порядке: 1. Вначале принимают основные (начальные) геометрические фигуры без определения; 2. Принимают основные свойства этих фигур без доказательств;

3. Определяют другие геометрические фигуры через основные фигуры и их свойства, а затем доказывают свойства этих фигур и утверждений, истинность которых устанавливается путем доказательств, опираясь на известные.

Такое построение науки называют аксиоматическим построением. Свойства фигур, принятые без доказательства, называют аксиомами.

В планиметрии, которую мы изучали до сих пор основными геометрическими фигурами были точка и прямая. Их приняли без определения. Но определили отрезок, луч, треугольник и другие геометрические фигуры. Точно так же следующие свойства (утверждения) мы принимаем без доказательств в качестве аксиом:

I. Аксиомы принадлежности

1.1. Какова бы ни была прямая на плоскости, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

II. Аксиомы расположения

2.1. Из трех точек, лежащих на прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.

2.2. Любая прямая делит плоскость на две части: на две полуплоскости.

III. Аксиомы измерения

3.1. Любой отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

3.2. Любой угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Градусная мера развернутого угла равна 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

IV. Аксиомы откладывания

4.1. На любом луче от его начальной точки можно отложить единственный отрезок, равный данному.

4.2. От любого луча в определенную полуплоскость можно отложить единственный угол, равный данному, не развернутому углу.

4.3. Для любого треугольника существует единственный равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.

V. Аксиома параллельности

5.1. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Вывод некоторого утверждения с помощью логических размышлений называют доказательством. Утверждение, верность которого установлена с помощью доказательства, называют теоремой. Обычно теорема состоит из условия и заключения. В первой части теоремы — условии объясняют что задано. А во второй части — заключении формулируют что требуется доказать.

Доказать теорему — эго значит, используя ее условие, опираясь на принятые и доказанные ранее свойства, рассуждая, привести к правильности предложения, сформулированного в заключении.

Уточнение условия и заключения теоремы — разъясняет ее, облегчает понимание и доказательство теоремы.

Древнегреческий ученый Платон отмстил удивительную закономерность в геометрии: из свойств, изученных и доказанных ранее, логически размышляя и обдумывая, можно получить новые свойства. Следовательно, используя эти удивительные возможности, можно формулировать остальные свойства в виде теорем, которые доказывают с помощью логических размышлений, аксиом, а также свойств, доказанных до этого.

В процессе размышления запрещается использование недоказанных свойств, даже если их правильность очевидна.

Таким образом, если рассматривать геометрию как одно здание, начальные понятия и аксиомы составляют его фундамент. Кирпичи, уложенные на этом фундаменте — это новые определяемые понятия и свойства, доказанные в виде теорем.

В формировании геометрии в качестве самостоятельной науки большой вклад внесли древнегреческие ученые. Например, Гиппократ Хиосский дал разъяснения о первых геометрических понятиях. Наибольший вклад в этой области принадлежит великому древнегречеcкому ученому Евклиду (356-300 годы до нашей эры). Его основной труд «Начала» содержит планиметрию, стереометрию и некоторые вопросы теории вероятностей, кроме того, алгебру, основы теории отношений, способы вычисления площадей и объемов и также элементы теории пределов. Евклид в «Началах» собрал все достижения древнегреческих математиков того времени и создал основу для дальнейшего развития математики.

«Начала» состоят из 13 книг и содержат переработанные труды древнегреческих ученых V — IV веков до нашей эры. В нем приведены 23 определения, 5 постулатов и 9 аксиом. В этом труде даны правильные определения прямоугольника, квадрата и окружности. Для точки и прямой приведены следующие определения: «Точка-это то, что не имеет частей», «Линия-это длина без ширины».

В «Началах» приведены 9 аксиом — высказывания, принятые без доказательства. Также приведены следующие 5 математических умозаключений (постулатов), позволяющие осуществлять геометрические построения:

I. Через любые две точки можно провести только одну прямую.

II. Отрезок прямой можно бесконечно продолжить.

III. Из любой точки можно построить окружность произвольныго радиуса.

IV. Все прямые углы равны между собой.

V. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересеченные третьей, образуют внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то при продолжении вышеупомянутых прямых они пересекутся с той стороны, где сумма углов меньше двух прямых углов.

Упомянутый труд получил огромную славу и признание. Особенно V постулат стал причиной большой научной дискуссии. Если обозначить внутренние углы в V постулате а и (3 (рис. 1), а прямые а и b, то по смыслу этого постулата а+(3 <180°, и прямые аи b пересекаются.

Многие ученые, пытаясь доказать постулат V, заменяли его другими равносильными умозаключениями. Например, аксиома параллельных английского математика Яна Плейфер (1748-1819) звучит так: На плоскости из точки, расположенной вне прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой.

Математик, поэт, астроном и философ Омар Гиясаддин Лбул Фахт ибн Ибрахим Хайям также занимался этой задачей. Хайям в своем сочинении «Комментарии к сложностям в вводной части книги Евклида» остановился на V постулате. Он, пытаясь доказать постулат Евклида как теорему, рассмотрел прямоугольник с двумя прямыми углами в основании и сделал вывод, что, если два угла при нижнем основании прямые, то и углы при верхнем основании должны быть прямыми (рис.2). Хайям говорит:

«Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, не могут пересечься». Итальянский математик Д. Саккери (1667-1733), не знакомый с работой Омара Хайяма, занимаясь V постулатом, также обратился к прямоугольнику. Данный прямоугольник вошел в основания геометрии под названием «Прямоугольник Хайяма-Саккери».

Эту проблему решил великий русский математик Николай Иванович Лобачевский, построив неевклидовую геометрию. Лобачевский впервые доказал, что пятый постулат Евклидовой геометрии не связан с другими аксиомами. Эта геометрия полностью отличалась от Евклидовой геометрии. Однако, ни к каким логическим противоречиям это не привело, несмотря на то, что две геометрии не могли существовать одновременно. Несмотря на это, Лобачевский сделал новые результаты, которые также не имели логических противоречий. Новая геометрия и геометрия Евклида полностью совпадали по первым четырем аксиомам. Эта группа аксиом и их следствия назвали абсолютной геометрией.

Однако, неевклидовая геометрия (геометрия Лобачевского) серьезно отличалась от геометрии Евклида. Например, в геометрии Лобачевского сумма внутренних углов треугольника может быть меньше л, подобных, но неравных треугольников не существует, множество точек, равноудаленных от данной прямой, являются не прямой, а кривой линией и так далее.

В создание неевклидовой геометрии внесли большой вклад венгерский математик Янош Бойяи (1802-1860) и немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855). Также большую работу по описанию новой геометрии проделали итальянский ученый Эудженио Бельтрами (1835-1900) и немецкий математик Бернхард Риман (1826-1866).

Начатая Евклидом аксиоматика в некотором смысле получила завершение в работах немецкого математика Давида Гильберта (1862-1943) и русского математика Вениамина Федоровича Кагана (1869-1953).

• Заказать решение задач по высшей математике

Геометрические задачи и методы их решения

Как было отмечено ранее, одно из самых замечательных свойств геометрии заключается в возможности создания новых утверждений на основе ранее изученных, доказанных предложений, с помощью рассуждений и логического мышления. С помощью этой замечательной возможности доказываются и оставшиеся утверждения, выраженные в виде теорем или задач, основываясь на аксиомах и ранее доказанных свойствах. На основе этого и появлялись математические или геометрические задачи.

В математической задаче приводятся данные (условия). Используя их, требуется что-то найти (вычислить), или доказать, или построить. Выполнение поставленных требований и является решением задачи.

Геометрические задачи в соответствии с поставленным требованием делятся на вычислительные задачи, на задачи, требующие доказательства, исследовательские задачи и задачи на построение.

Для решения математической задачи знание условия недостаточно. Предполагается также наличие навыков и опыта решения задач. Чтобы добиться таких навыков нужно начать с решения простых задач и последовательно переходить к решению болсс сложных. Точно также нужно рассматривать различные методы решения и для их успешного усвоения решать много задач. Каждый метод применяется для определенной группы задач. Чем больше методов вы будете применять, тем больше получите навыков решения задач.

Ниже мы остановимся на некоторых наиболее важных методах решения геометрических задач. Методы решения задач по структуре делятся на синтетический, аналитический, доказательства от противного и другие. А но применению аппарата математики делятся на методы: алгебраический, векторный, координатный, вычисления площадей, подобия, геометрического преобразования.

Синтетический метод

Синтетический метод: используя данные условия задачи строят цепочку логических рассуждений. Цепочку продолжают до тех пор, пока ее последнее звено не совпадет с требованием задачи.

Пример:

Биссектриса прямоугольника делит его сторону на отрезки длиной 7 см и 9 см (рис. 1). Найдите периметр прямоугольника.

Решение:

Пусть ABCD- прямоугольник, А К -биссектриса,

Эта задача входит в число опорных задач, так как многие задачи составляют на основании аналогичной идеи. Биссектрисы параллелограмма и трапеции отсекают от плоскости этих фигур равнобедренные треугольники. О таких важных фактах нужно помнить всегда. Они очень помогают при решении других задач.

Аналитический метод

Аналитический метод заключается в том, что, исходя из требования (вывода) утверждения (теоремы или задачи) и опираясь на известное утверждение, строится цепочка логических рассуждений, которая показывает, что требование является следствием условия.

Пример:

Докажите, что середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Доказательство:

Пусть ABCD — четырехугольник (рис. 2), АК — КВ, BL = LC, CQ = QD, АР = PD. Проведем диагонали АС и BD четырехугольника.

5. Из (3) и (4) имеем: KLQP — параллелограмм.

Рассмотренные выше синтетический и аналитический методы также называются прямыми методами. При решении задач прямыми способами сначала анализируется условие задачи. По результатам анализа выбирается метод, после этого строится и разбирается модель (чертеж) задачи в виде рисунка. В таком русле ведется обсуждение и переход от условия задачи к ее решению.

Есть и обратный метод решения задачи. С ним мы часто сталкивались. Называется этот метод «методом доказательства от противного«. Приведем алгоритм использования этого метода.

Алгоритм применения метода доказательства от противного.

Пример:

Если каждая из двух прямых параллельна третьей, то они параллельны между собой.

Пусть заданы прямые а и b, и пусть каждая из них параллельна третьей прямой с. Докажем теорему методом доказательства от противного.

Доказательство: Предположим противное:

Пусть каждая из прямых а и Ъ параллельна третьей прямой с, но сами прямые не параллельны друг лругу, то есть они пересекаются в некоторой точке А (рис. 3). Тогда через точку А прямой с проходят две прямые а и Ъ, параллельные ей. Это противоречит аксиоме параллельности. Следовательно, предположение было неверным. Значит, если каждая из двух прямых а и b параллельна третьей прямой с, то эти прямые параллельны между собой.

Вышеприведенный метод основан на следующем логическом законе: из двух противоречащих друг другу утверждений только одно верно, а другое ложно, третьего не дано.

Теперь рассмотрим другие методы решения геометрических задач.

Алгебраический метод

При решении геометрических задач алгебраическим методом целесообразно пользоваться следующим алгоритмом:

1. проанализировать содержание задачи и построить модель его чертежа;
2. обозначить неизвестные буквами;
3. по условию задачи составить уравнение или систему уравнений;
4. решить составленные уравнения или системы уравнений;
5. проанализировать полученное решение;
6. написать ответ.

Пример:

Периметр прямоугольного треугольника равен 36 см. Отношение гипотенузы к катету равно 5 : 3. Найдите стороны треугольника.

Пусть задан

Решение:

Обозначим коэффициент пропорциональности буквой к.

Тогда АВ = 5к, АС = 3к.

По теореме Пифагора:

Откуда,

По условию задачи: Р = 36 см, Р = АВ + АС + ВС.

Следовательно, 5к + 3к + 4к = 36. Откуда, к- 3;

Тогда, АВ = 5к = 15 (см), АС =3к=9 (см), ВС = 4к=12 (см).

Ответ: 15 см, 9 см, 12 см.

Метод площадей

При решении некоторых геометрических задач применение формул вычисления площадей быстро приводит к ожидаемому результату. В этом случае требуемые в задаче неизвестные находят из уравнения, полученного в результате уравнивания площадей вспомогательных фигур. В этом случае требуемые в задаче неизвестные находят из уравнения, полученного в результате уравнивания площадей вспомогательных фигур. Продемонстрируем это на следующем примере.

Пример:

Стороны треугольника 13 см, 14 см и 15 см. Найдите высоту, которая опущена на сторону, равную 14 см.

Решение.

Пусть задан треугольник

Векторный метод

При решении геометрических задач векторным методом целесообразно пользоваться следующим алгоритмом:

1. перевести задачу на язык векторов, то есть рассмотреть некоторые величины (отрезки), заданные в задаче как векторы, составить векторное равенство;
2. используя свойства действий над векторами преобразовать векторные равенства и найти неизвестное;
3. вернуть с векторного языка на геометрический;
4. записать ответ.

Метод векторов используется при решении задач, в которых требуется:

• доказать параллельность прямых (отрезков);
• поделить отрезки в заданном отношении;
• показать, что три точки лежат на одной прямой;
• показать, что четырехугольник является параллелограммом (ромбом, трапецией, квадратом, прямоугольником).

Пример:

Докажите, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABCD заданный четырехугольник, где АК — КВ, BL — LC, CQ = QD, АР = PD (рис. 4).

Доказательство:

1. Заменив отрезки соответствующими векторами

, запишем задачу векторным языком;

2. Используем для сложения векторов правилом треугольника:

3. то есть эти векторы одинаково направлены и их длины равны. Следовательно, по признаку параллелограмма четырехугольник KLQP является параллелограммом.

Метод координат

При решении геометрических задач методом координат целесообразно пользоваться следующим алгоритмом:

1. проанализировать содержание задачи и записать геометрическую задачу на языке координат;
2. преобразовать выражение и вычислить его значение;
3. перевести результат на геометрический язык и записать ответ.

Методом координат чаще всего решают следующие задачи: а) на нахождение геометрических мест точек; б) на доказательство зависимости между линейными элементами геометрических фигур.

При решении задач методом координат важно рационально выбрать систему координат. Данную фигуру следует разместить относительно осей координат таким образом, чтобы как можно больше координат нужных точек равнялись нулю или одному и тому числу.

Пример:

Докажи те, что параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.

Доказательство:

Выберем систему координат так, чтобы вершины параллелограмма имели следующие координаты (рис. 5):

Выразим расстояния между точками А, В, С, D через их координаты:

Это, в свою очередь, означает, что точка В (b; с) лежит на оси Оу. Поэтому АBСD прямоугольный.

Отсюда следует, что параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Метод геометрических преобразований

Метод геометрических преобразований: метод поворота, метод симметрии, метод параллельного переноса и метод гомотетии. При решении задач методом геометрических преобразований наряду с данными геометрическими фигурами рассматриваются и фигуры, полученные в результате определенного преобразования. Определяются свойства новых фигур и переносятся на данную фигуру. Затем выбирается способ решения задачи.

Все приведенные выше методы, где используется больше свойств геометрических фигур, называются геометрическими методами.