Как приблизительно найти значение выражения

Содержание:

1. Приближённые вычисления
2. Абсолютная и относительная погрешности
3. Выполнение действий над приближёнными числами
4. Выполнение действий без точного учёта погрешности

Приближённые вычисления

Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность

Абсолютная и относительная погрешности

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.

Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютной погрешностью  приближённой называется модуль разности между точным значением величины  и её приближённым значением х, то есть

Пример.

Абсолютная погрешность приближённого числа  числом 0,44 составляет

Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность  невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях  пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.

При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.

Цифра  называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется  сомнительной.

Например: в числе две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку  а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку 

В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число  можно записать в виде  , число  в виде  Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.

Например: если , то правильной записью числа будет 0,260.

Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.

Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.

Например: в числе  верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде: 

Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.

Например:

1. Запись  означает, что , то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.

2. Запись 

3. Если 

В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.

Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25_*10³ — две значимых цифры.

При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.

Правила округления чисел:

— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.

— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.

— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.

— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например,  будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.

Относительной погрешностью  (омега) приближённости х величины  называется отношением абсолютной погрешности  этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть 

Поскольку абсолютная погрешность  обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль: 

Число  называется пределом относительной погрешности.

Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле: 

Конечно относительная погрешность выражается в процентах.

С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.

Пример 1. Найти относительную погрешность числа 

Решение: Имеем 

Следовательно 

Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что  .

Решение: 

Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.

Выполнение действий над приближёнными числами

Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.

Необходимо уметь устанавливать погрешности результатов вычислений. Их находят с точным и без точного учёта погрешностей исходных данных. Правила нахождения погрешностей результатов действий с точным учётом погрешности приведены в таблице (обозначения —  исходные данные;  пределы абсолютных погрешностей относительно чисел; пределы относительных погрешностей).

Пример 3. Вычислить приближение значения выражения  и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50.

Найдём границу относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ: 

Пример 4. Вычислить приближение значения выражения   и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и , имеем:

Граница относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата: 

Ответ: 

Выполнение действий без точного учёта погрешности

Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила. 

Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;

б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;

в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;

г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.

Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;

б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;

в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;

г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.

При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.

При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.

20 < m < 30.

Заменив потом гирю  10 г  гирей  5 г, и убедимся, что масса детали больше  25 г,

То есть

25 < m < 30.

Положив на чашу весов с гирьками еще  2 г, заметим, что масса
детали меньше чем  27 г.

25 < m < 27.

Поскольку более мелких гирь нет, то процесс определения
массы на этом этапе закончим.

Взвешиваниями мы нашли приближенные значения массы детали
в граммах:

26 г – приближённое значение с
недостачей,

27 г – приближённое значение с излишком.

Другими словами, мы установили границы значения массы в
граммах. Число  26 – нижняя граница, число 
27 –
верхняя граница.

Заметим, что когда бы наименьшая гиря была бы равна  2
г, то границами значения массы детали в граммах были бы числа  25 г  и  27 г, то есть масса была бы определена менее точно.

Зная пределы
значения некоторой величины, можно оценить значение другой величины, которая
зависит от первой.

ПРИМЕР:

Пусть известны приближенные значения (в см) с недостачей и с излишком длины  а  стороны равностороннего треугольника:

5,4 ≤ а ≤ 5,5.

Надо найти пределы периметра  Р.

РЕШЕНИЕ:

Периметр равностороннего треугольника вычисляется по
формуле:

Р = 3а.

Из условия, что  а ≥ 5,4  выплывает, что  3а
≥ 16,2.

Из условия, что  а ≤ 5,5  выплывает, что  3а
≤ 16,5.

Числа  16,2  и  16,5
– приближенные значения периметра  (в см)  с недостачей и излишком:

16,2 ≤ Р ≤ 16,5.

Записать решение можно и так:

5,4 ≤ а ≤ 5,5,

5,4 ∙ 3 ≤ 3а ≤ 5,5 ∙ 3,

то есть

16,2 ≤ Р ≤ 16,5.

ПРИМЕР:

Пусть известны границы какого-то числа  х:

3 < х < 6.

Надо оценить значение выражения  ¹/_х.

РЕШЕНИЕ:

Из условия задачи определяем, что  х –
число положительное.

Поскольку  х ˃ 3, то

¹/_х < ¹/₃.

Поскольку  х < 6, то

¹/_х ˃ ¹/₆.

Выходит, что

¹/₆ < ¹/_х < ¹/₃.

Заменим границы значения выражения  ¹/_х  десятичными дробями. Число  ¹/₆  можно заменить лишь меньшим числом (любым приближением
с недостачей), а число ¹/₃ –
лишь больше (приближением с излишком). Поскольку

¹/₆ =
0,166…   

¹/₃ =
0,333… ,

то границами значения выражения  ¹/_х  могут быть десятичные дроби  0,1  и  0,4.

0,1 < ¹/_х < 0,4.

Заменив нижнюю границу
числом  0,1, а верхнюю – числом  0,4, мы
расширили промежуток, которому принадлежат значения выражения  ¹/_х.

Если бы мы сделали иначе, округлив бесконечные десятичные
дроби

0,166…  и  0,333…

по известным правилам округления, то получили бы, что

0,2 < ¹/_х < 0,3.

Но тогда неизвестное нам точное значение выражения  ¹/_х  могло бы очутиться вне полученных границах.

Способ записи приближённых чисел.

Приближённые
значения обычно записывают так, чтобы по записи можно было судить о точности
приближения.

ПРИМЕР:

На рулоне обоев написано, что его длина равна 

18 ±
0,3 м.

Эта запись означает, что длина рулона равна  18
м  с точностью до  0,3
м, то есть точное значение длины может отличаться от
приближённого значения, равного  18 м, не более чем на 
0,3 м.
Другими словами длина рулона должна находиться между 

18
– 0,3 = 17,7 м  и 

18
+ 0,3 = 18,3 м.

 ПРИМЕР:

Если измеряя длину 
х 
некоторой рейки, выявили, что она больше чем  6,427
м  и меньше чем  6,429
м, то записывают:

х = 6,428 ± 0,001 м.

Говорят, что значение длины рейки найдено с точностью
до 

0,001 м (одного миллиметра).

ПРИМЕР:

При приближённых вычислениях отличают запись  2,4  от  2,40, запись  0,02  от  0,0200  и так далее.

Запись  2,4  означает,
что верны только цифры целых и десятых, истинное же значение числа может быть,
например, 2,43 или  2,38 (при отбрасывании цифры  8  происходит округление в сторону увеличения
предшествующей цифры).

Запись  2,40  означает,
что верны и сотые доли, истинное число может быть  2,403  или  2,398, но не  2,421  и
не  2,382.

То же отличие производится и для целых чисел. Запись  382  означает, что все цифры верны, если же за
последнюю цифру ручаться нельзя, то число округляется, но записывается не в
виде  380,
а в виде  38
∙ 10. Запись же  380  означает, что
последняя цифра  (0)  верна.

Если в числе  4720  верны лишь первые
две цифры, его нужно записать в виде  47 ∙ 10²,
или это число можно также записать в виде 
4,7 ∙
10³  и так далее.

Значащими
цифрами называются все верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа.

ПРИМЕР:

В числе 
0,00385  три значащие цифры.

В числе 
0,03085  четыре значащие цифры,

В числе 
2500 – четыре,

В числе 
2,5 ∙
10³ – две.

Число
значащих цифр некоторого числа называется его значностью.

Через то, что мы не
можем выполнить бесконечного процесса деления, то мы должны прекратить деление
на каком-либо десятичном знаке, то есть выполнить приближенное деление. Мы
можем, например, прекратить деление на первом десятичном знаке, то есть
ограничиться десятыми частями; в случае потребности мы можем остановиться на
втором десятичном знаке, ограничиться сотыми частями, и так далее. В таких
случаях говорят о приближенном превращении обычных дробей в десятичные. В этих
случаях говорят, что мы округляем бесконечную десятичную дробь. Округление
делается с той точностью, которая нужна для решения данной задачи.

Вычисления с приближенными
данными.

Вычисления с
приближенными данными постоянно используется в практических задачах, при этом
результат вычислений обычно округляют. Результат действий с приближёнными
числами есть тоже приближённое число. Выполняя некоторые действия над точными числами,
можно так же получить приближённые числа.

При сложении и вычитании приближённых чисел в
результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в
приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков, то есть оставляют в
результате столько знаков после запятой, сколько их содержится в менее точном
данном числе.

ПРИМЕР:

Пусть 

х ≈ 17,2  и  у
≈ 8,407.

Найдём приближённое значение суммы  х 
и  у.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

х +
у ≈ 25,607.

Из данных приближённых значений  17,2 
и  8,407 
менее точным является первое. Округлив результат по первому данному, то
есть до десятых, получим:

х + у ≈ 25,6.

ПРИМЕР:

Пусть 

х ≈ 6,784  и 

у ≈ 4,91.

Найдём приближённое значение разности  х 
и  у.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

х –
у ≈ 1,874.

Из данных приближённых значений  6,784 
и  4,91 
менее точным является второе. Округлив результат по второму данному, то есть.
до сотых, получим:

х –
у ≈ 1,87.

ПРИМЕР:

Найдите разность приближенных значений 

х = 1,52
± 0,01  и 

у = 0,27
± 0,02.

РЕШЕНИЕ:

Данным приближенным значением отвечают двойные
неравенства

1,51 ≤ х ≤ 1,53  и 

0,25 ≤ у ≤ 0,29.

Умножим все части последнего двойного неравенства на  –1, получим

–0,29 ≤ –у ≤ –0,25.

Прибавив это двойное неравенство к первому, получим

1,22 ≤ х – у ≤ 1,28, или  

х – у = 1,25
± 0,03.

Несколько иначе
поступают при умножении и делении приближённых значений. Здесь округление
производится с учётом относительной точности данных. В
этом случае находят произведение или частное приближённых значений, и результат
округляют по менее точному данному, имея ввиду относительную точность. Для
этого исходные данные и полученный результат записывают в стандартном виде 

а × 10ⁿ,

и множитель  а  результата округляют, оставляя в нём столько
знаков после запятой, сколько их имеет соответствующий множитель в менее точном
данном.

ПРИМЕР:

Пусть 

х ≈ 0,86  и 

у ≈ 27,1.

Найдём приближённое значение произведения  х  и  у.

РЕШЕНИЕ:

Перемножив  0,86  и  27,1,  получим:

ху ≈
23,306.

Запишем данные числа и результат в стандартном виде:

0,86 = 8,6 × 10^-1;   

27,1 = 2,71 × 10¹;   

23,306 = 2,3306 × 10¹.

В множителе  8,6  одна цифра после запятой, а в множителе  2,71
две цифры после запятой. Округлим число  2,2306  по первому данному, то есть до десятых.
Получим:

ху ≈ 2,3 × 10¹ = 23.

ПРИМЕР:

Пусть 

х ≈ 60,2  и 

у ≈ 80,1.

Найдём приближённое значение произведения  х  и  у.

РЕШЕНИЕ:

Известно, что все выписанные цифры верны, так что
истинные величины могут отличаться от приближённых лишь сотыми, тысячными и так
далее долями.

В произведении получаем 
4822,02. Здесь
могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц.

Пусть, например, сомножители получены округлением точных
чисел  60,23  и  80,14.
Тогда точное произведение будет  4826,8322, так что цифра единиц в приближённом произведении (2)
отличается от точной цифры  (6)  на  4  единицы.

ПРИМЕР:

Пусть 

х ≈ 563,2  и 

у ≈ 32.

Найдём приближённое значение частного  х  и  у.

РЕШЕНИЕ:

Разделив  563,2  на  32, получим:

х :
у ≈ 17,6.

Запишем данные числа и результат в стандартном виде:

563,2 = 5,632 × 10²;   

32 = 3,2 × 10;   

17,6 = 1,76 × 10.

Из этой записи видно, что число  1,76 
следует округлить по второму данному, то есть до десятых. Получим:

х :
у ≈ 1,8 × 10
≈ 18.

При умножении и делении приближённых чисел нужно в
результатах сохранять столько значащих цифр, сколько их было в приближённом
данном с наименьшим числом значащих цифр.

Таким образом, при
сложении, вычитании, умножении и делении приближённых значений результат
округляется по менее точному данному. При этом при сложении и вычитании данные
числа записываются в десятичных дробях и менее точное данное определяется по
абсолютной точности, а при умножении и делении данные числа записываются в
стандартном виде и менее точное данное определяется по относительной точности.

Теория приближённых
вычислений позволяет:

– зная степень точности данных, оценить степень
точности результатов ещё до выполнения действий;

– брать данные с надлежащей степенью точности,
достаточной для обеспечения требуемой точности результата, но не слишком
большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчётов;

– рационализировать сам процесс вычисления,
освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры
результата.

Приближённые формулы

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

На
данном уроке мы рассмотрим широко
распространенную задачу

о
приближенном вычислении значения
функции с помощью дифференциала.

Здесь и далее речь
пойдёт о дифференциалах первого порядка,
для краткости я часто буду говорить
просто «дифференциал». Задача о
приближенных вычислениях с помощью
дифференциала обладает жёстким алгоритмом
решения, и, следовательно, особых
трудностей возникнуть не должно.
Единственное, есть небольшие подводные
камни, которые тоже будут подчищены.
Так что смело ныряйте головой вниз.

Кроме того, на
странице присутствуют формулы нахождения
абсолютной и относительной погрешность
вычислений. Материал очень полезный,
поскольку погрешности приходится
рассчитывать и в других задачах. Физики,
где ваши аплодисменты? =)

Для
успешного освоения примеров необходимо
уметь находить производные функций
хотя бы на среднем уровне, поэтому если
с дифференцированием совсем нелады,
пожалуйста, начните с урока
Как
найти производную?
Также рекомендую прочитать статью
Простейшие
задачи с производной,
а именно параграфы о
нахождении производной в точке
и
нахождении дифференциала
в точке. Из технических
средств потребуется микрокалькулятор
с различными математическими функциями.
Можно использовать Эксель, но в данном
случае он менее удобен.

Урок состоит из
двух частей:

– Приближенные
вычисления с помощью дифференциала
функции одной переменной.

– Приближенные
вычисления с помощью полного дифференциала
функции двух переменных.

Кому что нужно. На
самом деле можно было разделить богатство
на две кучи, по той причине, что второй
пункт относится к приложениям функции
нескольких переменных. Но что поделать,
вот люблю я длинные статьи.

Рассматриваемое
задание тесно связано с понятием
дифференциала, но, поскольку урока о
смысле производной и дифференциала у
меня пока нет, ограничимся формальным
рассмотрением примеров, чего вполне
достаточно, чтобы научиться их решать.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной

В
первом параграфе рулит функция одной
переменной. Как все знают, она обозначается
через 
 или
через 
.
Для данной задачи намного удобнее
использовать второе обозначение. Сразу
перейдем к популярному примеру, который
часто встречается на практике:

Пример 1

Вычислить
приближенно

,
заменяя приращения функции ее
дифференциалом.

Решение:
Пожалуйста, перепишите
в тетрадь рабочую формулу для приближенного
вычисления с помощью дифференциала:

Начинаем разбираться,
здесь всё просто!

На
первом этапе необходимо составить
функцию

.
По условию предложено вычислить
кубический корень из числа:

,
поэтому соответствующая функция имеет
вид:

.
Нам нужно с помощью формулы найти
приближенное значение

.

Смотрим
на левую
часть формулы

,
и в голову приходит мысль, что число 67
необходимо представить в виде

.
Как проще всего это сделать? Рекомендую
следующий алгоритм: вычислим данное
значение на калькуляторе:

– получилось 4 с хвостиком, это важный
ориентир для решения.

В
качестве

подбираем «хорошее» значение, чтобы
корень извлекался нацело.
Естественно, это значение

должно быть как
можно ближе к 67. В
данном случае:

.
Действительно:

.

Примечание:
Когда с подбором

всё равно возникает затруднение, просто
посмотрите на скалькулированное значение
(в данном случае

),
возьмите ближайшую целую часть (в данном
случае 4) и возведите её нужную в степень
(в данном случае

).
В результате и будет выполнен нужный
подбор

.

Если

,
то приращение аргумента:

.

Итак,
число 67 представлено в виде суммы 

Далее
работаем с правой
частью формулы 
.

Сначала
вычислим значение функции в точке 
.
Собственно, это уже сделано ранее:

Дифференциал
в точке находится по формуле: 

 –
тоже можете переписать к себе в тетрадь.

Из
формулы следует, что нужно взять первую
производную:

И найти
её значение в точке 
:

Таким
образом:

Всё
готово! Согласно формуле 
:

Найденное
приближенное значение достаточно близко
к значению 
,
вычисленному с помощью микрокалькулятора.

Ответ:

Пример 2

Вычислить
приближенно

,
заменяя приращения функции ее
дифференциалом.

Это
пример для самостоятельного решения.
Примерный образец чистового оформления
и ответ в конце урока. Начинающим сначала
рекомендую вычислить точное значение 
 на
микрокалькуляторе, чтобы выяснить,
какое число принять за 
,
а какое – за 
.
Следует отметить, что 
 в
данном примере будет отрицательным.

У некоторых,
возможно, возник вопрос, зачем нужна
эта задача, если можно всё спокойно и
более точно подсчитать на калькуляторе?
Согласен, задача глупая и наивная. Но
попытаюсь немного её оправдать. Во-первых,
задание иллюстрирует смысл дифференциала
функции. Во-вторых, в древние времена,
калькулятор был чем-то вроде личного
вертолета в наше время. Сам видел, как
из местного политехнического института
году где-то в 1985-86 выбросили компьютер
размером с комнату (со всего города
сбежались радиолюбители с отвертками,
и через пару часов от агрегата остался
только корпус). Антиквариат водился и
у нас на физмате, правда, размером
поменьше – где-то с парту. Вот так вот
и мучились наши предки с методами
приближенных вычислений. Конная повозка
– тоже транспорт.

Так
или иначе, задача осталась в стандартном
курсе высшей математики, и решать её
придётся. Это основной ответ на ваш
вопрос =).

Пример 3

Вычислить
приближенно с помощью дифференциала
значение функции 
 в
точке 
.
Вычислить более точное значение функции
в точке 
 с
помощью микрокалькулятора, оценить
абсолютную и относительную погрешность
вычислений.

Фактически
то же самое задание, его запросто можно
переформулировать так: «Вычислить
приближенное значение 
 с
помощью дифференциала»

Решение: Используем
знакомую формулу: 

В
данном случае уже дана готовая функция: 
.
Ещё раз обращаю внимание, что для
обозначения функции вместо «игрека»
удобнее использовать 
.

Значение 
 необходимо
представить в виде 
.
Ну, тут легче, мы видим, что число 1,97
очень близко к «двойке», поэтому
напрашивается 
.
И, следовательно: 
.

Вычислим
значение функции в точке 
:

Используя
формулу 
,
вычислим дифференциал в этой же точке.

Находим
первую производную:

И её
значение в точке 
:

Таким
образом, дифференциал в точке:

В
результате, по формуле 
: 

Вторая часть
задания состоит в том, чтобы найти
абсолютную и относительную погрешность
вычислений.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #

  08.02.20157.31 Mб91.rtf

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Поиск значений выражений — основное математическое действие. Им сопровождается каждый пример, задача. Поэтому чтобы вам было проще работать с различными математическими выражениями, подробно разберем способы и правила их решения в данной статье. Правила представлены в порядке увеличения сложности: от простейших выражений до выражений с функциями. Для лучшего понимания каждый пункт сопровождается подробным пояснением и расписанными примерами.

Поиск значения числовых выражений

Числовые выражения представляют собой математические задачи, состоящие, преимущественно, из чисел. Они подразделяются на несколько групп в зависимости от своей сложности: простейшие, со скобками, корнями, дробями и т.д. Каждый тип выражений подразумевает свои правила нахождения значения, порядок действий. Рассмотрим каждый случай подробнее.

Простейшие числовые выражения. К простейшим числовым выражениям относятся примеры, состоящие из двух элементов:

• Числа (целые, дробные и т.д.);
• Знаки: «+», «—», «•» и «÷».

Чтобы найти значение выражения в данном случае, необходимо выполнить все арифметические действия (которые подразумевают конкретные знаки). В случае отсутствия скобок решение примера производится слева направо. Первыми выполняются действия деления и умножения. Вторыми — сложение и вычитание.

Пример 1. Решение числового выражения

Задача. Решить:

20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = ?

Решение. Чтобы решить выражение, нам необходимо выполнить все арифметические действия в соответствии с установленными правилами. Поиск значения начинается с решения деления и умножения. В первую очередь находим произведение цифр 2 и 10 (если рассматривать с левой стороны, данное действие является первым по значимости). Получаем 20. Теперь это число делим на 5. Итог — 4. Когда известно значение основных действий, можем подставить его в наш пример:

20 — 4 — 4 = ?

Упрощенный пример также решаем слева направо: 20 — 4 = 16. Второе действие: 16 — 4 = 12. Ответ 12.

Решение без пояснений. 20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = 20 — (2 • 10 ÷ 5) — 4 = 20 — 4 — 4 = 12.

Ответ. 12

Пример 2. Решение числового выражения

Задача. Решить:

0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = ?

Решение. Начинаем решение с умножения и деления. Умножая 5 на (— 4) получаем (— 20), т.к. производное сохраняет знак множителя. Далее умножаем 1/2 на 5. Для этого преобразуем дробь: 1/2 = 5/10 = 0,5. 0,5 умножаем на 5. Ответ — 2,5. Далее умножаем полученное число на 4. 2,5 • 4 = 10. Получаем следующее выражение:

0,2 — (— 20) + 10

Теперь нам остается решить сложение и вычитание. В первую очередь раскрываем скобку и получаем:

0,2 + 20 + 10 = 30,2

Решение без пояснений. 0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = 0,2 — (— 20) + 10 = 0,2 + 20 + 10 = 30,2

Ответ. 30,2

Находим значение выражения со скобками

Скобки определяют порядок действий при решении примера. Выражения, находящиеся внутри скобок «()» имеют первостепенную значимость, независимо от того, какое математическое действие в них выполняется.

Пример 3. Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = ?

Решение. Начинаем нахождение значения выражения с решения скобок. Порядок действий определяется слева направо. При этом не забываем, что после раскрытия скобок в первую очередь решаем умножение и деление и лишь потом — вычитание и сложение:

• 7 — 2 • 3 = 7 — 6 = 1
• 6 — 4 = 2

Когда скобки решены, подставляем полученные значения в наш пример:

5 + 1 • 2 ÷ 2

Снова решаем все по порядку, не забывая о том, что деление и умножение выполняется в первую очередь:

• 1 • 2 = 2
• 2 ÷ 2 = 1

Упрощенное выражение выглядит следующим образом:

5 + 1 = 6

Решение без пояснений. 5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = 5 + (7 — 6) • 2 ÷ 2 = 5+ 1 • 2 ÷ 2 = 5 + 1 = 6

Ответ. 6

Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = ?

Решение. Подобные примеры решаются поэтапно. Помним, что поиск выражения со скобками начинается с решения скобок. Поэтому в первую очередь решаем:

3 + 1 + 4 • (2+3)

В уже упрощенном примере снова встречаются скобки. Их будем решать в первую очередь:

2 + 3 = 5

Теперь можем подставить определенное значение в общую скобку:

3 + 1 + 4 • 5

Начинаем решение с умножения и далее слева направо:

• 4 • 5 = 20
• 3 + 1 = 4
• 4 + 20 = 24

Далее подставляем полученный ответ вместо большой скобки и получаем:

4 + 24 = 28

Решение без пояснений. 4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = 4 + (3 + 1 + 4 • 5) = 4 + (3 + 1 + 20) = 4 + 24 = 28

Ответ. 28

Важно: Чтобы правильно определить значение числового выражения с множественными скобками, необходимо выполнять все действия постепенно. Скобки читаются слева направо. Приоритет в решении внутри скобок остается за делением и умножением.

Поиск значения выражения с корнями

Часто алгебраические задания основываются на нахождении значений из-под корня. И если определить √4 несложно (напомним, это будет 2), то с примерами, которые полностью расположены под корнем, возникает ряд вопросов. На самом деле в таких заданиях нет ничего сложного. В данном случае порядок действий следующий:

• Решаем все выражение, которое находится под корнем (не забываем о правильной последовательности: сперва скобки, деление и умножение, а лишь потом — сложение и вычитание);
• Извлекаем корень из числа, которое получили в результате решения обычного примера.

Если же и под корнем имеется корень (например: √ 4 + 8 — √4), то начинаем решение примера с его извлечения (в нашем примере это будет: √ 4 + 8 — 2). Если подкоренные числа возведены во вторую степень, то их квадратный корень будет равняться модулю подкоренного выражения.

Значение числового выражения с корнями

Задача. Решить:

√ 2² • 2² • 3² = ?

Решение. Все действия под корнем одинаковы — умножение. Это дает нам право разделить выражение на множители. Получаем:

√2² • √2² • √3² = ?

Т.к. под квадратным корнем у нас числа, возведенные во вторую степень, получаем:

2 • 2 • 3 = 12

Решение без пояснений. √ 2² • 2² • 3² = √2² • √2² • √3² = 2 • 2 • 3 = 12

Ответ. 12

Находим значение числовых выражений со степенями

Следующий математический знак, который имеет приоритет в процессе решения, — степени. Они представляют собой результат многократного умножения числа на себя. Само число является основанием степени. А количество операций умножения — ее показателем. Причем выражен он может быть не только целым числом, но и дробью, полноценным числовым выражением.

Начинается решение выражения со степенями с вычисления самих степеней. Если они представляют собой полноценное выражение (например: [3^{3 cdot 4-10}]), то его необходимо решить в нашем примере это будет: [3^{12-10}=3^{2}=9].

Задача. Решите:

[ 3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=? ]

Решение. Чтобы решить это выражение со степенями, воспользуемся равенством:

[(a cdot b)^{r}=a^{r} cdot b^{r}]

Рассматривая пример слева направо, видим, что у первых двух множителей одинаковые степени. Это позволяет нам упростить выражение:

[ (3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3} ]

Зная, что при умножении степени с одинаковыми показателями складываются, получаем следующее выражение:

[ 21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21 ]

Решение без пояснений: [3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=(3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21]

Ответ. 21

Интересно: Этот же пример можно решить и другим способом, преобразовав число 21 в степени ⅔ в два множителя. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:

[3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot(3 cdot 7)^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 3^{2 / 3} cdot 7^{2 / 3}=3^{1 / 3+2 / 3} cdot 7^{1 / 3+2 / 3}=3^{1}+7^{1}=21]

Ответ. 21

Задача. Решить:

[ 2^{-2 sqrt{5}} cdot 4^{sqrt{5}-1}+left((sqrt{3})^{1 / 3}right)^{6} ]

Решение. В данном случает получить точные числовые значения показателей степеней не удастся. Поэтому искать значение выражения с дробями в виде степени будем снова через упрощение:

Ответ. 3,25

Выражения с дробями

Поиск значения выражения дробей начинается с их приведения к общему виду. В большинстве случаев проще представить все значения в виде обыкновенной дроби с числителем и знаменателем. После преобразования всех чисел необходимо привести все дроби к общему знаменателю.

Важно: Прежде чем найти выражение дробей, необходимо провести вычисления в их знаменателе и числителе отдельно. В данном случае действуют стандартные правила решения.

Когда дроби приведены к единому знаменателю можно переходить к решению. Вычисление значений верхней строки (числителя) и нижней (знаменателя) производятся параллельно.

Задача. Решить:

[ 6 frac{2}{13}+4 frac{1}{13}=? ]

Решение. Действуя по главному правилу, прежде чем найти значение числового выражения, преобразуем всего его части в простую дробь. Получаем:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13} ]

Теперь выполняем вычисления в знаменателе и числителе и находим ответ:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13}=frac{80}{13}+frac{53}{13}=frac{133}{13}=10 frac{3}{13} ]

Ответ. [10 frac{3}{13}]

Примеры(2):

Задача. Решить:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}-frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=? ]

Решение. В данном примере мы не можем извлечь корень из пятерки. Но мы можем воспользоваться формулой разложения корней:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}=frac{2(sqrt{5}+1)}{(sqrt{5}-1)(sqrt{5}+1)}=frac{2(sqrt{5}+1)}{5-1}=frac{2 sqrt{5}+2}{4} ]

Теперь можем придать нашему первоначальному выражению следующий вид:

[ frac{2 sqrt{5}+2}{4} frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=frac{2 sqrt{5}+2-2 sqrt{5}+7}{4}-3=frac{9}{4} 3=-frac{3}{4} ]

Ответ. [-frac{3}{4}].

Выражения с логарифмами

Как и степени, логарифмы (log), имеющиеся в выражении, вычисляются (если это возможно) в первую очередь. К примеру, зная, что [log _{2} 4=2] мы можем сразу упростить выражение  [log _{2} 4+5 cdot 6] до простого и понятного 2 + 5*6 = 32.

Со степенями логарифмы объединяет и порядок выполнения действий. Прежде чем искать значение выражения логарифмов, необходимо вычислить его основание (если оно представлено математическим выражением).

В случаях, когда полное вычисление логарифма невозможно, производится упрощение примера.

Задача. Решить:

[log _{27} 81+log _{27} 9=?]

Решение. Чтобы найти логарифм выражения, воспользуемся свойствами логарифмов и представим значение логарифмов со степенями:

Это позволит нам решить пример следующим образом:

Ответ. 2

Решаем выражения с тригонометрической функцией

Часто в выражениях встречаются тригонометрические функции. Всего их в математике шесть:

• Синус;
• Косинус;
• Котангенс;
• Тангенс;
• Секанс;
• Косеканс.

Изучение тригонометрии начинается в 9-м классе, когда ученики уже подготовлены к сложным задачам. Большинство заданий представляются с sin и cos. Остальные функции встречаются значительно реже.

В математических примерах, которые содержат sin, cos, tg и др. функции, вычисление тригонометрической функции производится в первую очередь. Если это невозможно — осуществляется упрощение выражения до получения краткой формулы.

Задача. Решить:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+1+sin ^{2} 217} ]

Решение. Разложим 217 на 90 и 127. Т.к. по формуле приведения sin(90 + a) = cosa, получаем:

sin217 — sin (90 + 127) = cos127

Теперь заменяем полученной формулой наше слагаемое в знаменателе дроби:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1} ]

Вспоминаем, что по тригонометрическому тождеству sin²a+ cos² a= 1 (независимо от значения угла a). Поэтому одну часть слагаемого знаменателя (sin²127+ cos²127) преобразуем в единицу и получаем:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1}=frac{24}{1+1}=frac{24}{2}=2 ]

Ответ. 2

Задача. Решить:

[ sqrt{4} 8-sqrt{1} 92 sin ^{2} frac{19 pi}{12}=? ]

Решение. Начинаем решение с разбора второй дроби. Обращаем внимание, что 192 = 48 • 2. А значит, корень этого числа можно представить в виде 2√48. Зная это и используя формулу косинуса двойного угла, преобразим наше выражение:

Теперь по формуле приведения решаем наш пример:

[ sqrt{4} 8 cos left(3 pi+frac{pi}{6}right)=sqrt{4} 8left(-cos frac{pi}{6}right)=-sqrt{4} 8 cdot frac{sqrt{3}}{2}=-4 sqrt{3} cdot frac{sqrt{3}}{2}=-6 ]

Ответ. — 6.

Общий случай: находим значения выражений с дробями, функциями, степенями и не только

Самым сложным считается поиск числовых выражений общих случаев. Они представляют собой тригонометрические примеры, которые могут содержать:

• Степени;
• Скобки;
• Корни;
• Функции и т.д.

Общие числовые выражения сложны только длительностью решения. В остальном же они ничуть не сложнее, чем решение каждого примера (со скобкой, степенями, функциями и т.д.) по отдельности.

Чтобы найти значение выражения с логарифмами, тригонометрическими функциями, скобками и/или другими действиями, необходимо помнить три основных правила:

• Упрощение. Прежде чем приступать к решению внимательно изучите выражение. Особенно — его степени, корни, логарифмы, функции. В большинстве случаев их можно сократить или заменить простым числовым значением еще до решения.
• Скобки. Независимо от типа выражения, действий, начинать решение всегда необходимо со скобок. Часто именно игнорирование этого правила приводит к получению неверного ответа или отсутствию решения в принципе.
• Общий вид. Старайтесь привести выражение к общему виду. Особенно это касается дробей. Смешанные и десятичные дроби преобразуйте в обычные.
• Последовательность. Действия в скобках и действия после их решения выполняются слева направо. В первую очередь необходимо совершать умножение и деление. Когда все произведения и частные найдены, можно переходить к сложению и вычитанию.

Для удобства решения и устранения возможных ошибок рекомендуем расставлять порядок действий непосредственно над математическими знаками.

Задача. Решить:

[ -frac{sqrt{2} sin left(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)right)+3}{operatorname{Ln} e^{2}}+left(1+3^{sqrt{9}}right)=? ]

Решение. Чтобы решить этот пример, сначала найдем значение выражения числителя дроби, а точнее — подкоренного выражения. Для этого необходимо вычислить значение sin и общего выражения. Начинаем с раскрытия скобок в числителе:

Полученное значение можем подставить в подкоренное выражение для вычисления числителя дроби:

[ sqrt{2} sin cdotleft(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)+3=sqrt{4}=2right. ]

Со знаменателем дела обстоят куда проще:

[ ln e^{2}=2 ]

Числитель и знаменатель у нас одинаковые, что позволяет нам их сократить:

Теперь остается решить следующее выражение:

Ответ. 27

Как видите, при последовательном решении примеров с большим количеством действий нет ничего сложного. Главное — верно обозначить последовательность шагов и четко ей следовать.

Как найти значение выражения числителя дроби, подкорневого значения рационально?

Независимо от типа выражения решать его необходимо последовательно, руководствуясь стандартными правилами (описаны ранее). Но не стоит забывать, что во многих случаях поиск ответа может быть значительно упрощен за счет рационального подхода к решению. Основывается он на нескольких правилах.

Правило 1. Когда произведение равно нулю

Производное равно нулю в том случае, если хотя бы один из его сомножителей равен нулю. Если вы решаете пример из нескольких сомножителей, одним из которых является «0», то проводить многочисленные вычислительные действия не стоит.

Например, выражение [3 cdotleft(451+4+frac{18}{3}right)left(1-sin left(frac{3 pi}{4}right)right) cdot 0] будет равняться нулю.

Правило 2. Группировка и вынесение чисел

Ускорить процесс поиска ответа можно за счет группировки множителей, слагаемых или вынесения единого множителя за скобки. Также не стоит забывать о возможности сокращения дроби.

Например, выражение [frac{left(451+4+frac{18}{3}right)}{4left(451+4+frac{18}{3}right)}] решать не надо. Достаточно сократить скобки, чтобы получить ответ [=frac{1}{4}]

Решение примеров с переменными

Примеры с переменными отличаются от числовых только формой предоставления. В данном случае значения предоставляются дополнительно к выражению.

Пример задания: Найдите значение выражения 2x — y, если x = 2,5, а y = 2. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:

2x — y = 2 • 2,5 — 2 = 3

При этом в таких примерах сохраняются все описанные выше правила. Касается это и советов по рациональному решению примеров. Так, решать дробь [frac{sqrt{y}}{sqrt{y}}] бессмысленно, т.к. при любых значениях «y» ответ будет одинаковым — 1.