Как решать задачи с процентами найти 100

Задачи с процентами часто попадаются в экзаменационных заданиях. Многих они сбивают с толку – как разобраться с условием и как это решить? И совершенно зря, потому что с задачами на проценты каждый часто встречается в обычной жизни.

Пока такие задачки остаются оторванными от реальности строчками в учебнике, их бывает сложно понять и тем более решить. Чтобы стало понятнее, мы вам сейчас покажем примеры из обычной жизни, где вам могут встретиться проценты. А еще просто и доступно объясним, как решать задачи на проценты. И все у вас станет на свои места.

Задачи про проценты вокруг нас

Давайте оглядимся по сторонам: значения в процентах указаны на упаковках с любыми продуктами. Значок процента «%» смотрит на нас с рекламных плакатов скидок и распродаж. В новостях проценты сразу бросаются в глаза, когда речь идет о повышении цен на товары или коммунальные услуги. Разве вы сможете расшифровать все эти послания, если не научитесь решать задачи с процентами? Но вы, конечно, научитесь – мы в вас верим.

А вот такая ситуация: вы купили что-нибудь через интернет и получили извещение от ближайшего почтового отделения. Или сами собираетесь послать подарок другу в другой город. Вам обязательно надо уметь разбираться с процентами, чтобы узнать, сколько денег почта захочет получить за свои услуги по пересылке.

Или возьмем банковские кредиты и ипотеку. Банки в договорах всегда пишут мелкими буквами всякие вещи, которые полезно понимать. Например, какой процент по кредиту придется заплатить банку кроме тех денег, которые вы у него «одолжили» и обязаны вернуть.

А самый близкий школьникам пример связан с ЕГЭ. Каждый год после экзаменов публикуют официальную статистику. В которой немало задействованы и проценты. И эти проценты имеют прямое отношение к будущим выпускникам. Например, процент ребят, сдавших экзамен по математике на «хорошо» и «отлично» косвенно говорит о том, сколько абитуриентов с высокими баллами могли подать документы в вузы на технические специальности. А еще на программирование, прикладную математику и т.п. Чем их больше, тем выше конкурс. Если сравнивать их результаты со своими оценками, можно прикинуть собственные шансы на поступление.

Что такое процент?

Самое очевидное определение: процент – это десятичная дробь. В жизни редко что-то можно сравнивать целиком, чаще приходится сравнивать разные части чего-то целого. Поэтому мы используем такие понятия, как половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4). Ну да, все так привыкли к слову «четверть» в школе, что забывают о его формальном значении – «четвертая часть учебного года». Сравнивать сотые доли удобнее всего – так появился процент (1/100): pro centum – «за сто» на латыни.

Все задачи по математике на проценты вертятся вокруг сравнения частей одного целого, определения, какую долю составляет часть от целого, нахождения целого исходя из величины его части и т.п.

Проценты можно записать со знакомым всем значком процента: 1%. Можно представить в виде десятичной дроби (или натурального числа). Для этого нужно разделить на 100: 0,01. Можно наоборот: выразить число в процентах. Тогда его следует умножить на 100%.

Типы задач на проценты

Раз мы уже договорились, что задачи на проценты – это задачи на дроби, такой тактики будем придерживаться и дальше.

Тип 1: Находим процент (дробь) от числа.

• Задача. За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20% изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества?
• Решение. Нужно найти 20% от общего количества изготовленных приборов (500). 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 из общего количества изготовленных приборов контроль не прошло.

Тип 2: Находим число по его проценту (дроби).

• Задача. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 23% числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки?
• Решение. Мы не знаем, сколько всего задача в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач составляют 25% от общего их количества. Запишем 23% в виде дроби: 0,23. Далее нам следует известную нам часть целого разделить на ту долю, которую она составляет от всего целого: 38/0,25 = 38 * 100/25 = 152. Именно 152 задачи включили в этот сборник.

Тип 3: Находим процентное отношение двух чисел (часть от целого числа).

• Задача. В классе 30 учеников. 14 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?
• Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, которое требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%. Значит, 14/30*100% = 7/15*100% = 7*100%/15 = 47%.

Тип 4: Увеличиваем число на процент.

• Задача. На прошлогоднем экзамене по математике 140 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 15%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году?
• Решение. Если некое число а увеличено на х%, то оно увеличилось в (1 + х /100) раз. Откуда а * (1 + х /100). Подставим в эту формулу данные нам по условию задачи цифры и получим ответ: 140 * (1 + 15/100) = 161.

Тип 5: Уменьшаем число на процент.

• Задача. Год назад школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?
• Решение. Если число а уменьшено на х% и при этом 0 ≤ х ≤ 100, то число уменьшено в (1 – х/100) раз. И нужное нам число находим по формуле а * (1 – х/100). Подставляем цифры из условия задачи и получаем ответ: 100 * (1 – 25/100) = 75.

Тип 6: Задачи на простые проценты.

• Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей сроком на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они заплатят банку через год?
• Решение. Простые проценты называются так, потому что они начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме. Если обозначить исходную сумму как а, сумму, которая наращивается, как S, процентную ставку как х% и количество периодов начисления процента как у, то формулу можно записать так: S = а * (1 + у * х/100). Теперь подставим сюда цифры из условия задачи и узнаем, сколько денег родители заплатят банку: S = 5000 * (1 + 12 * 15/100) = 14000.

Тип 7: Задачи на сложные проценты.

• Задача. На этот раз сумма кредита 25000 рублей, взятых под те же 15% сроком на 3 месяца. Снова надо узнать, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.
• Решение. Сложные проценты отличаются от простых тем, что процент много раз начисляется не к исходной сумме, а к сумме с уже начисленными раньше процентами. Пускай снова S – наращиваемая сумма, а – исходная, х% — процентная ставка, у – количество периодов начисления процента. В этом случае формула принимает вид: S = а * (1 + х/100)^у. Подставляем цифры из условия: S = 25000 * (1 + 15/100)³ = 38021,875 – искомая сумма.

Кстати, простые задачи на проценты можно очень легко решать с помощью пропорции. Этот метод наглядный и дает такой же результат, так что выбирать можно каждому тот способ решения, который кажется проще. Давайте решим задачу №3 про класс и процент девочек в нем, составив пропорцию.

• Решение. Обозначим искомый процент девочек в классе как х, общее количество учеников примем за 100%. Пропорция выглядит так:

30 – 100%
14 – х%

Перемножим крест накрест левую и правую части пропорции и получим, что 30* х = 14 * 100 («30 относится к х также, как 14 относится к 100»). Откуда найти х уже совсем несложно: х = 14 * 100/30 = 47%.

Задачи на проценты с решением

Давайте решим несколько задач для подготовки к ЕГЭ. Как вы сами видите, решать их совсем несложно. Сейчас просто закрепим материал.

Задача 1. После открытия торгов на бирже в понедельник акции некой компании выросли в цене на неизвестное количество процентов. А во вторник на то же самое количество процентов упали в цене. В итоге они подешевели на 4% по отношению к своей первоначальной стоимости в понедельник. На какой процент акции этой компании поднимались в цене в понедельник?

Решение. Пускай первоначальная стоимость акций это 1. В понедельник акции дорожают на х * 100%. Их стоимость в это время: 1 + х * 1. Во вторник акции дешевеют на х * 100%. Их стоимость после этого: 1 + х – х * (1 + х). После чего они стали дешевле на 4%, т.е. стали стоить 0,96.

Отсюда 1 + х – х * (1 + х) = 0,96 ↔1 – х² = 0,96 ↔ х² = 0,04 ↔ х = 0,2. Т.е. в понедельник акции компании дорожали на 20%.

Задача 2. Четыре пары брюк дешевле одного пальто на 8%. Подсчитайте, на сколько процентов пять пар брюк стоят дороже, чем одно пальто.

Решение. Исходя из условия задачи, стоимость четырех пар брюк – это 92% от стоимости пальто. Легко подсчитать, что стоимость одной пары брюк – это 23% стоимости пальто (92/4 = 23). Теперь умножим стоимость одной пары брюк на пять и узнаем, что пять пар брюк обойдутся в 115% стоимости пальто (23 * 5 = 115). Т.е. пять пар брюк на 15% дороже, чем одно пальто.

Задача 3. Семья состоит из трех человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза, общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию, общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Надо вычислить, какой процент в общий доход семьи приносит заработок жены.

Решение. Из условия следует, что общий доход семьи находится в прямой зависимости от доходов мужа. Не так важно, насколько ему поднимут зарплату. В любом случае общий доход семьи вырастет на 67%. Значит, зарплата мужа составляет как раз эти 67% от общего дохода. Если стипендия дочери уменьшится в три раза (т.е. на 1/3), останется 2/3 – это и есть 4%, на которые уменьшился бы семейных доход. Можно составить простую пропорцию и выяснить, что раз 2/3 стипендии – это 4% дохода, то вся стипендия – это 6%. А теперь отнимем от всего дохода вклад мужа и дочери и узнаем, какой процент составляет заработок жены в общем доходе семьи: 100% – 67%  – 6% = 27%.

Задача 4. В емкости находится 5 литров водного раствора с концентраций вещества, равной 12%. В емкость добавили еще 7 литров воды. Раствор какой концентрации (с каким процентным содержанием вещества) получился после этого?

Решение. Опишем концентрацию вещества в растворе такой формулой: С = Vвещества/ Vраствора * 100%. Изначально в растворе содержится 0,12 * 5 = 0,6 литра вещества. Когда были добавлены 7 литров воды, объем раствора в емкости увеличился. Но концентрация вещества понизилась (его объем остался неизменным). Подставим все известные нам цифры в формулу и получим ответ: 0,6/5 + 7 *100% = 0,6 /12 * 100% = 5%.

Задача 5. В свежих абрикосах 90% влаги, а в кураге, которая из них получается, только 5%. Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?

Решение. Исходя из условия, в абрикосах 10% питательного вещества, а в кураге оно содержится в концентрированном виде – 95%. Поэтому в 20 килограммах кураги 20 * 0,95 = 19 кг питательного вещества. На вопрос задачи мы ответим, если разделим одинаковое количество питательного вещества, которое содержится в разных объемах свежих абрикосов и кураги, на его процентное содержание в абрикосах. Чтобы получить 20 килограммов кураги, нужно взять 19/0,1 = 190 килограммов свежих абрикосов.

Заключение

Сами видите, решать задачи на проценты не так уж сложно. Если усвоить основные правила и подключить воображение, вы сможете щелкать такие задачки как орешки.

Вы даже можете составить задачу на проценты сами по нашим образцам. Кстати, будет очень хорошо, если вы так и поступите. Можете оставить нам свои задачи в комментариях – пускай другие наши читатели решат ваши задачи. А вы сможете решить те, что придумают они. Чтобы задач для подготовки к экзаменам получилось больше, расскажите про эту статью своим друзьям в социальных сетях.

Вот увидите, задачи на проценты вам придется решать еще много раз даже после того, как вы закончите школу. Они встречаются в физике, химии, биологии. Да и в повседневной жизни умение решать их может не раз пригодится. Не бойтесь сложных задач – мы всегда поможем вам найти к ним ключ.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Изменение числа на сколько-то процентов

Когда говорят, что число увеличилось на ( displaystyle x), это значит, что к числу надо прибавить ( displaystyle x).

Если же число уменьшилось на ( displaystyle x), это значит, что из числа надо вычесть ( displaystyle x).

Рассмотрим пример:

Цена холодильника в магазине за год увеличилась на ( displaystyle 5%). Какой стала цена, если изначально холодильник стоил ( displaystyle 12500)р?

Решение:

Для начала определим, на сколько рублей изменилась (в данном случае – увеличилась) стоимость холодильника. По условию – на ( displaystyle 5%). Но ( displaystyle 5%) от чего? Конечно же, от самой начальной стоимости холодильника (( displaystyle 12500) р). Получается, что нам нужно найти ( displaystyle 5%) от ( displaystyle 12500)р:

( displaystyle 0,05cdot 12500=625).

Теперь мы знаем, что цена увеличилась на ( displaystyle 625)р. Остается только, согласно правилу, прибавить к начальной стоимости величину изменения:

Новая цена ( displaystyle=12500+625=13125) рублей.

Ответ: ( displaystyle 13125.)

Еще пример (постарайся решить самостоятельно):

Книга «Математика для чайников» в магазине стоит ( displaystyle 360)р. Во время акции все книги продаются со скидкой ( displaystyle 15%.). Сколько теперь придется заплатить за эту книгу?

Решение:

Что такое скидка, ты наверняка знаешь? Скидка в ( displaystyle 15%.) означает, что стоимость товара уменьшили на ( displaystyle 15%.).

На сколько уменьшилась стоимость книги (в рублях)? Нужно найти ( displaystyle 15%.) от начальной ее стоимости в ( displaystyle 360)р:

( displaystyle 0,15cdot 360=54).

Цена уменьшилась, значит нужно из начальной стоимости вычесть то, на сколько она уменьшилась:

Новая цена ( displaystyle=360-54=306) рублей.

Ответ: ( displaystyle 306).

Правда ведь просто?

Но есть способ сделать это решение еще проще и короче!

Рассмотрим пример:

Увеличьте число ( displaystyle x) на ( displaystyle 23%).

Чему равны ( displaystyle 23%) от ( displaystyle x)? Как мы уже выяснили раньше, это будет ( displaystyle 0,23x).

Теперь увеличим само число x на эту величину:

( displaystyle x+0,23x=1,23x).

Получается, что в результате мы к десятичной записи ( displaystyle 23%) прибавили ( displaystyle 1) и умножили на число ( displaystyle x). Обобщим это правило:

Пусть нам нужно увеличить число ( displaystyle x) на ( displaystyle p%).

( displaystyle p%) от числа ( displaystyle x) – это ( displaystyle frac{p}{100}cdot x).

Тогда новое число будет равно: ( displaystyle x+frac{p}{100}cdot x=xleft( 1+frac{p}{100} right)).

Итак,

Чтобы увеличить число на ( displaystyle p%), нужно умножить его на ( displaystyle left( 1+frac{p}{100} right)).

Например, увеличим число ( displaystyle 136) на ( displaystyle 28%):

( displaystyle 136cdot left( 1+0,28 right)=136cdot 1,28=text{174}text{,08}).

Решения:

1. ( displaystyle 230cdot left( 1-0,18 right)=230cdot 0,82=188,6).

2. Число ( displaystyle 150) уменьшили на x процентов и получили ( displaystyle 135):

( displaystyle 150left( 1-frac{x}{100} right)=135text{ }Rightarrow text{ }1-frac{x}{100}=frac{135}{150}text{ }Rightarrow text{ }frac{x}{100}=1-frac{135}{150}=0,1text{ }Rightarrow text{ }x=10).

Ответ: на ( displaystyle 10%).

3. Пусть цена без скидки равна ( displaystyle x). Получается, что x уменьшили на ( displaystyle 20%) и получили ( displaystyle 1000):

( displaystyle xleft( 1-0,2 right)=1000text{ }Rightarrow text{ }xcdot 0,8=1000text{ }Rightarrow text{ }x=frac{1000}{0,8}=1250) (рублей).

Ответ: ( displaystyle 1250).

Напоследок рассмотрим еще один тип задач, частенько вызывающих недоумение:

Число ( displaystyle a) больше числа ( displaystyle b) на ( displaystyle 25%). На сколько процентов число ( displaystyle b) меньше числа ( displaystyle a)?

Что за странный вопрос: конечно же на ( displaystyle 25%)! Правильно?

А вот и нет. Если, например, масса одного шкафа на 25 кг больше массы другого, то, без сомнения, масса второго шкафа на 25 кг меньше массы первого.

Но с процентами так не прокатит!

Ведь в первом случае, когда говорим, что число ( displaystyle a) на ( displaystyle 25%) больше числа ( displaystyle b), мы считаем ( displaystyle 25%) от числа ( displaystyle b); а во втором случае, когда говорим, что число ( displaystyle b) на ( displaystyle 25%) меньше числа ( displaystyle a), мы считаем ( displaystyle 25%) от числа ( displaystyle a). А поскольку числа ( displaystyle a) и ( displaystyle b) разные, то и ( displaystyle 25%) от этих чисел будут разными!

Чтобы решить эту задачу верно, давай запишем условие в виде уравнения:

Число ( displaystyle a) больше числа ( displaystyle b) на ( displaystyle 25%). Это значит, что если число ( displaystyle b) увеличить на ( displaystyle 25%), получим число ( displaystyle a):

( displaystyle bleft( 1+0,25 right)=atext{ }Rightarrow text{ }1,25b=a). (1)

Теперь в таком ж виде запишем вопрос: если число a уменьшить на ( displaystyle x) процентов, получим число ( displaystyle b):

( displaystyle aleft( 1-frac{x}{100} right)=b). (2)

Выразим число ( displaystyle b) из равенства (1):

( displaystyle aleft( 1-frac{x}{100} right)=0,8a).

Отсюда следует, что:

( displaystyle left( 1-frac{x}{100} right)=0,8text{ }Rightarrow text{ }frac{x}{100}=0,2text{ }Rightarrow text{ }x=20) (%).

Итак, получаем, что число ( displaystyle b) на ( displaystyle mathbf{20}%) меньше числа ( displaystyle a)!

Решение:

Пусть цена акции в понедельник была равна ( displaystyle P), а искомое количество процентов, записанное в виде десятичной дроби (то есть, уже поделенное на ( displaystyle 100)), равно ( displaystyle x).

Запишем формулой, чему равна стоимость акции после подорожания:

( displaystyle {{P}_{1}}=Pleft( 1+x right)).

Далее, эту новую стоимость ( displaystyle {{P}_{1}}) уменьшили на ( displaystyle x) процентов:

( displaystyle {{P}_{2}}={{P}_{1}}left( 1-x right)=Pleft( 1+x right)left( 1-x right)=Pleft( 1-{{x}^{2}} right)).

При этом известно, что эта конечная цена ( displaystyle {{P}_{2}}) на ( displaystyle mathbf{25}%) меньше начальной цены ( displaystyle {P}). То есть, если уменьшить ( displaystyle {P}) на ( displaystyle mathbf{25}%), получим ( displaystyle {{P}_{2}}):

( displaystyle 0,75P=Pleft( 1-{{x}^{2}} right)text{ }Rightarrow text{ }0,75=1-{{x}^{2}}text{ }Rightarrow text{ }{{x}^{2}}=0,25text{ }Rightarrow text{ }x=pm 0,5).

Согласно здравому смыслу подходит только положительное решение:

( displaystyle x=0,5).

Вспомним теперь, что это пока только десятичная запись искомого количества процентов, то есть это количество процентов, деленное на ( displaystyle 100). Чтобы перевести в проценты, нужно домножить на 100%:

Чаще всего мы их видим в банковских продуктах: вкладах, кредитах и т.д.

Если ты хорошо понимаешь, что такое проценты, и умеешь решать уравнения, то ты без труда расчитаешь, например, размер ежемесячного платежа по кредиту или сколько придётся переплатить, взяв ипотеку.

Такая задача есть в ЕГЭ под номером 17.

Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ №11. Задачи на проценты, растворы, смеси и сплавы

В этом видео мы научимся решать текстовые задачи на проценты, а так же на растворы, смеси и сплавы – на все, что содержит разные вещества в каком-то соотношении. 

Задачи на смеси и сплавы очень часто попадаются на ОГЭ (№23) и профильном ЕГЭ (под номером 12). 

Мы научимся очень простому способу сводить эти задачи к обычному линейному уравнению или к системе из двух таких уравнений. 

Также мы научимся решать сложные задачи на проценты – в основном они на банковские вклады и кредиты и прочие финансовые штуки. 

Это, в том числе, даст нам очень большой задел для “ экономической” задачи №17 (которая стоит аж 3 первичных балла).

ЕГЭ №17 Экономическая задача. Вклады

Экономические задачи в основном довольно простые, но дают аж 3 первичных балла! 

Но это не совсем 3 балла нахаляву. Эти задачи требуют очень подробного и чёткого описания решения. 

По сути, мы составляем математическую модель какой-то жизненной ситуации (например, связанной с банковскими вкладами или кредитами), и важно научиться ничего не пропускать при описании этой модели: описывать словами все введённые обозначения, обосновывать уравнения, которые мы записываем, и всё в таком духе. 

Если не написать эти объяснения, вы гарантированно получите 0 баллов даже за правильно найденный ответ! 

На этом уроке мы узнаем, как работают вклады, научимся решать и, главное, правильно оформлять решение таких задач.

Как решать задачи на проценты? Есть 3 способа, выбирай тот, который для тебя проще и понятнее.

Умение быстро и правильно решать задачи на проценты важно, как для успешной сдачи ЕГЭ, так и для повседневной жизни. И если в ЕГЭ вы можете встретить такую задачу в задании 11, то в повседневной жизни такие задачи повсюду.

Зарплату повысили на 15%, а потом оштрафовали на 10%, после этого из зарплаты удержали налог 13% — сколько же мы получим в конце месяца? Коммунальные услуги повысили на 15%, сколько они теперь будут стоить? При возврате ж/д билета вернут только 20% стоимости, какую сумму мы получим? Все это задачи на проценты, которые нам  приходится решать каждый день.

Поэтому умение быстро и правильно решать задачи на проценты – это полезно.

1. Задачи на проценты: вся суть
2. Решение задач на проценты: формула простого процента
3. Решение задач на проценты: метод пропорции
4. Решение задач на проценты: метод коэффициентов

Задачи на проценты: вся суть

Задачи на проценты, как правило, описывают жизненную ситуацию. В ней присутствует  какая-то величина, которая увеличивается или уменьшается на сколько-то процентов. Таким образом, в задаче на проценты упоминается такие данные, как первоначальная величина, конечная величина и процент, на который эта величина изменилась. Чаще всего в задаче требуется найти либо первоначальную величину, либо конечную величину, реже – процент, на который эта величина изменилась.

Решение задач на проценты с помощью формулы простого процента

Формула, которой мы пользуемся при решении задач на проценты, называется формула простого процента:

Х_{конечное} – конечная величина

Х_{первоначальное} – первоначальная величина

k – процент, на который первоначальная величина изменилась

Из этой формулы всегда можно найти первоначальную величину или процент, на который происходит изменение.

Знак стоящий перед k зависит от того, увеличивается первоначальная величина или уменьшается. Так, если величина увеличивается на сколько-то процентов, то ставим знак плюс. Если уменьшается – минус.

Для наглядности приведем несколько простых примеров.

 Задача 1

В городе проживало 30 000 человек. В результате строительства нового микрорайона количество жителей увеличилось на 6%. Сколько человек стало проживать в городе?

Решение: Очевидно, что в этой задаче нам известна первоначальная величина – 30 000 человек и процент, на который она увеличилась +6% Нужно найти конечную величину.

30 000 * ((100 + 6)/100) = х

30 000 * 1,06 = х

х = 31 800 человек

Ответ: 31 800 человек

Задача 2

Сколько килограмм яблок нужно собрать, чтобы получить из них 5 килограмм сушеных яблок, если известно, что в свежих яблоках содержится 90% воды?

Решение: В этой задаче нам известна конечная величина – 5 килограмм и процент, на который происходит изменение -90%. Нужно найти первоначальную величину:

5 = х * ((100 – 90) / 100)

5 = 0,1х

х = 50 кг

Ответ: 50 кг

Задача 3

Холодильник стоимостью 20 000 рублей был продан спустя месяц за 22 000 рублей. На сколько процентов увеличилась стоимость холодильника?

Решение: В данной задаче нам известна первоначальная  (20 000 рублей) и конечная величина (22 000 рублей), а найти нужно процент, на который данная величина изменилась.

22 000 = 20 000 * ((100 + х) / 100)

22 000 / 20 000 = 1 + х/100

1,1 = 1 + х/100

0,1 = х/100

х = 10%

Ответ: 10%

Решение задач на проценты: метод пропорции

Еще один способ решения задач на проценты – это метод пропорции. Это наиболее простой способ решения таких задач.

Напомним, что пропорция – это равенство двух отношений:

Для нас важно основное свойство пропорции, которое заключается в том, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов. Проще запомнить, что мы можем перемножить члены пропорции крест-накрест:

При решении задач на проценты с помощью метода пропорции необходимо руководствоваться следующим правилом:

всё – 100%

часть – часть в %

Далее записываем пропорцию: 

Давайте решим приведенные выше примеры задач на проценты с помощью метода пропорции.

Задача 4

В городе проживало 30 000 человек. В результате строительства нового микрорайона количество жителей увеличилось на 6%. Сколько человек стало проживать в городе?

Решение: Итак, в городе проживало 30 000 человек и это всё его население, т.е. 100%. Так и запишем:

30 000 – 100%

Далее население выросло на 6%, т.е. всё его население стало составлять 100% + 6% = 106% и нам неизвестно, сколько это человек, т.е. Х человек. Запишем:

Х – 106%

Таким образом, получаем:

30 000 – 100%

Х – 106%

Составим пропорцию: Правую дробь пропорции можно сократить на 2, получим: Теперь воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим ее члены крест-накрест:

30 000 * 53 = 50х

Далее обе части полученного уравнения мы можем разделить на 50, получим:

600 * 53 = Х

Х = 31 800

Ответ: 31 800 человек

 Задача 5

Сколько килограмм яблок нужно собрать, чтобы получить из них 5 килограмм сушеных яблок, если известно, что в свежих яблоках содержится 90% воды?

Решение: Нам неизвестно первоначальное количество всех яблок (всё количество), т.е. это Х, которое составляет 100%. Количество сушеных яблок (часть от первоначального количества яблок) составляет 5 кг. Причем известно, что количество сушеных яблок на 90% меньше от первоначального количества яблок (т.к. 90% — это вода, которая из них испарилась). Следовательно, количество сушеных яблок составит 100% — 90% = 10%. Запишем наши рассуждения:

Х – 100%

5 – 10%

Запишем наши рассуждения: Сократим правую дробь на 10, получим:Воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим ее члены крест-накрест:

Х = 10 * 5

Х = 50

Ответ: 50 кг

Задача 6

Холодильник стоимостью 20 000 рублей был продан спустя месяц за 22 000 рублей. На сколько процентов увеличилась стоимость холодильника?

Решение: Нам известно, что исходная цена – 20 000 рублей, следовательно, 20 000 рублей – это 100%. Тогда конечная цена 22 000 рублей – это неизвестное количество процентов, т.е. Х%. Так и запишем:

20 000 – 100%

22 000 – Х%

Теперь запишем пропорцию: Сократим левую дробь на 2 000, получим: Воспользуемся основным свойством пропорции, то есть перемножим ее члены крест-накрест:

10Х = 1 100

Х = 110

В результате решения мы получили результат 110%, но он не является ответом! Ведь нам нужно найти, на сколько процентов изменилась стоимость холодильника. Чтобы это узнать, нужно из полученного числа процентов отнять 100%:

110% — 100% = 10%

Ответ: 10%

Решение задач на проценты методом коэффициентов

Можно назвать еще один метод решения задач на проценты, который является следствием из формулы простого процента. Так, формулу простого процента можно переписать следующим образом:

Таким образом, мы получили формулу для решения задач на проценты методом коэффициентов. Полученная формула удобна тем, что при достаточной практике простые  задачи на проценты можно решать в уме, даже не задумываясь.

Например, яблоки стоили 150 рублей, затем они подорожали на 20%. Найдите новую стоимость яблок.

Применим полученную формулу и получим:

150 * 1,2 = 180 рублей

То есть мы интуитивно 20% превращаем в 0,2 прибавляем единицу, так как происходит увеличение на данное количество процентов, и умножаем на первоначальную стоимость.

Или другой пример. Зарплата работника составляла 25 000 рублей в месяц, в результате применения штрафа за опоздания зарплата сократилась на 10%. Найти сумму зарплаты, которую получит оштрафованный работник.

25 000 * 0,9 = 22 500 рублей

Опять же мы сразу понимаем, что 10% — это 0,1. Т.к. происходит уменьшение первоначальной величины на это количество процентов, то мы вычитаем из единицы этот процент и получаем 0,9. Затем умножаем полученное значение на первоначальную величину. Готово!

Давайте решим этим методом задачу про зарплату и налоги.

Задача 7

В России налог на доходы физических лиц составляет 13%. Зарплата Марии Ивановны после удержания налога на доходы составила 60 900 рублей. Найти сумму зарплаты Марии Ивановны до удержания налога.

Решение: Итак, 13% — это 0,13. Первоначальная зарплата уменьшилась на этот процент, значит, вычитаем из единицы и получаем 1 – 0,13 = 0,87. Подставляем в формулу:

0,87х = 60 900

х = 70 000

Ответ: 70 000 рублей

Задача 8

В школе 1000 учеников, из них 20% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 30% изучают французский язык. Сколько учеников в школе изучают французский язык, если в начальной школе французский язык не изучают?

Решение: Для начала из общего количества учеников исключим тех, кто французский язык точно не изучает, т.е. учеников начальной школы. Ученики начальной школы – это 20%, т.е. 0,2, мы уменьшаем на этот процент, следовательно, вычитаем из единицы и получаем 1 – 0,2 = 0,8.

1000 * 0,8 = 800

Из 800 полученных учеников французский язык изучают только 30%.

Обратите внимание, что здесь идет речь о проценте от числа. Т.е. мы не уменьшаем на 30% (в этом случае мы вычитаем значение процента в долях из единицы) и не увеличиваем на 30% (в этом случае мы прибавляем к значению процента в долях к единице), а берем 30% от заданного числа (в этом случае мы умножаем заданное число на значение процента в долях). Всегда внимательно читайте условия задачи!

В нашем случае нам нужно найти 30% от 800:

800 * 0,3 = 240

Это и есть ответ. 240 учеников изучают французский язык в школе.

Ответ: 240 учеников.

Задача 9

Разберем еще одну задачу на проценты, которая часто встречается на ЕГЭ и в которой легко можно допустить ошибку.

Задача: Зарплата рабочего составляла 30 000 рублей, затем зарплату повысили на 30%, а потом понизили на 30%. Какую зарплату стал получать рабочий?

Решение: быстро прочитав условие задачи, сходу хочется дать ответ – зарплата останется прежней, ее размер не изменился. Но это не так! Давайте разбираться.

Будем решать по формуле простого процента.

Первое событие – зарплату повысили на 30%. Следовательно, первоначальную сумму мы увеличиваем на 30%:Второе событие – зарплату понизили на 30%. Следовательно, нашу увеличенную зарплату мы теперь уменьшаем на 30%:Таким образом, рабочий теперь будет получать зарплату 27 300 рублей.

Данную задачу мы могли бы решить в одно действие, применяя формулу для вычисления сложного процента. Напомним ее:

S = P (1 + i)ⁿ, где

S – это конечная сумма;

P – это первоначальная сумма;

i – это процент/100;

n – количество периодов.

Т.к. 30% — это 0,3, то, применяя формулу для вычисления сложного процента к нашей задаче, мы получим:

30 000 * (1 + 0,3)¹ (1 – 0,3)¹ = 27 300 рублей

Результат получился тот же.

Ответ: 27 300 рублей

В этой статье были разобраны достаточно простые примеры задач на проценты, чтобы максимально доступно продемонстрировать методы решения задач на проценты. В профильном ЕГЭ с процентами вы можете столкнуться в задаче с экономическим содержанием по вкладам и кредитам. Такие задачи гораздо сложнее и подробное их решение вы можете посмотреть на нашем сайте.

Итак, надеюсь, что данная статья помогла вам понять, как решать задачи на проценты. Мы увидели, что задачи на проценты можно решать тремя способами – с помощью формулы простого процента, методом пропорции и методом коэффициентов. Выбирайте тот, который вам наиболее понятен, и которым вам решать такие задачи проще.

---

УПРАЖНЕНИЯ

1. а) За контрольную работу по математике 8 % учащихся получили отметку 10 баллов. Если 10 баллов получили 4 учени­ка, то сколько человек выполняли контрольную работу?
    б) В олимпиаде по математике приняли участие 40  учащих­ся восьмых и девятых классов. Если восьмиклассники состави­ли 45 % всех учащихся, то сколько девятиклассников приняло участие в олимпиаде? 

   б) В классе 25 учеников. На факультатив приходят занимается 40 % учеников. Сколько человек занимается на факультативе?

Решение:
а)                              кг                     в %
Всего                        280                    100%
Продали                    х                        70%


280:х=100:70,
х=280*70:100=196 (кг)
Ответ: 196 кг

---

3. а) В трех классах школы 81 ученик. В первом классе уче­ников на 10 % больше, чем во втором, а в третьем — на 6 человек меньше, чем в первом. Найдите количество учеников в каждом классе.
    б) В трех коробках 61 карандаш. В первой на 15 % больше, чем во второй, а в третьей на 4 больше, чем в первой. Найдите количество карандашей в каждой коробке.

Решение:
а)  Пусть в 1-м классе х учеников. 10% от числа х равны 0,1х,  тогда во 2-м классе х-0,1х учеников, в 3-м —  х-6 учеников. Всего учеников 81. Составим уравнение:
х+х-0,1х+х-6=81,
2,9х=87,
х=30 (учю) — в 1-м классе.
1) 30-6-24 (уч.) — в 3-м классе.
2) 30-0,1*30=30-3=27 (уч.) — во 2-м классе.
Ответ: 30; 27; 24 ученика.

---

4. а) Сумма двух чисел равна 160. Найдите эти числа, если 20 % одного равны 60 % другого.
    б) Сумма двух чисел равна 90. Найдите эти числа, если 30% одного равны 60% другого.
Решение:
а)  Обозначим одно число х, второе — у. 20% числа х равны 0,2х, 60% числа у равны 0,6у.

Ответ: 40; 120.

---

5. В коробке  не хватает 5 % фломастеров. В коробку положили недостающие фломастеры плюс один. Сколько фломастеров в коробке, если положили:
а) 4 фломастера;    б) 3 фломастера?
Решение:
а) 1) 4-1=3 (фл.) — недоставало в коробке.
        3 фломастера   — 5%
        х фломастеров — 100%


    2) х=100*3:5=60 (фл.) — должно быть в коробке.
    3) 60+1=61 (фл.) — стало в коробке.
Ответ: 61 фломастер.

---

6. а) Цена товара повысилась от 130 000 р. до 156 500 р. На сколько процентов повысилась цена товара?
    б) Цена товара понизилась от 64500 р. до 54000 р. На сколько процентов понизилась цена товара?
Решение:
а) 1) 156500-130000=26500(руб.) — повысилась цена товара
   130 000 рублей    —    100%
   26 500  рублей    —      х%
    2) х=26500*100:130000=20 5/13% — повысилась цена товара
Ответ: на 20 5/13%

---

7. а)Цену изделия снизили на 15 %, а затем новую цену сни­зили еще на 20 %. После этих двух снижений стоимость изделия оказалась равной 17000 р. Найдите первоначальную стоимость изделия.
   б) Цену изделия снизили на 20 %, а затем новую цену снизили еще на 10 %. После этих двух снижений стоимость изделия ока­залась равной 23040 р. Найдите первоначальную стоимость.

Решение:
а) Пусть х — первоначальная стоимость изделия. 
После первого снижения изделие стало стоить (100%-15%):100*х=0,85х. 
После второго снижения изделие стало стоить (100%-20% ):100*0,85х = 0,8*0,85х = 0,68х и это равно 17000 рублей.
0,68х=17000,
х=17000:0,68,
х=25000 (р.) — первоначальная стоимость изделия.
Ответ: 25000 рублей.

Решение:
а) По условию а=0,5b и а=0,2с, также известно, что с=b+42.
Из первых двух равенств получим 0,5b=0,2c и b=0,4c.
Подставим b в третье равенство: с=0,4с+42, 0,6с=42, с=42:0,6=70.
Найдем остальные числа: а=0,2с=0,2*70=14;   b=с-42=70-42=28.
Ответ: 14; 28; 70.

Решение:
а)  Нектар        5кг        100%
     Вода             х кг       60%
1) х=5*60:100=3 (кг) — вода
2) 5-3=2 (кг) — сухой остаток в нектаре
3) 100-15=85% — составляет сухой остаток меда


     Мед                     х кг        100%   
     Сух. остаток      2 кг       85%
4) х=2*100:85=2 6/17 (кг) — меда
Ответ: 2 6/17 кг

Решение:
а)    Раствор     0,8 л      100%
       Соль            х л             25%
1) х=0,8*25:100=0,2 (л) — соли


      Соль           0,2 л      10%
      Раствор     х л         100%
2) х=0,2*100:10=2 (л) — новый раствор
3) 2-0,8=1,2 (л) — воды добавили
Ответ: 1,2 литра

    б) В кастрюле  80-процентный раствор сахара. Из нее отлили 15 л раствора и долили кастрюлю водой. Затем из нее отлили еще 15 л и снова долили водой, после чего концентрация сахара в кастррюле составила 10 % . Найдите объем кастрюли.

---

Проверь себя

Рассмотрим три основных типа задач на проценты.

Нахождение процента от числа

Разбор примера

Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых
60% имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества
изготовило предприятие?

Решение:

Ответ: 300 насосов высшей категории качества.

Нахождение числа по его проценту

Так как задачи «процент по числу» и «число по его проценту» очень похожи и часто
не сразу понятно какой тип задачи перед нами, старайтесь внимательно читать
текст. Если вам встречаются слова «который», «что составляет» и «который составляет»,
скорее всего перед вами задача «число по его проценту».

Разбор примера

Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23%
числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Решение:

Итак, нам неизвестно сколько всего страниц в книге. Но мы знаем, что часть, которую
прочитал ученик (138 страниц) составляет 23% от общего количества
страниц в книге.

Так как 138 стр. — это всего лишь часть, само количество
страниц, естественно, будет больше 138. Это поможет нам при проверке.

Проверка: 600 > 138 (это означает, что 138 является частью 600).

Ответ: 600 (стр.) — общее количество страниц в книге.

Сколько процентов одно число составляет от другого

Разбор примера

Из 200 арбузов 16 оказались незрелыми.
Сколько процентов всех арбузов составили незрелый арбузы?

Решение:

О чем спрашивают? О незрелых арбузах. Значит, 16
делим на общее количество арбузов и умножаем на 100%.

Ответ: 8% — составляют незрелые арбузы от всех арбузов.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---