Как решить найти угол между векторами - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Угол между векторами

Иногда студенты при решении задач аналитической геометрии сталкиваются с вопросом: «Как найти угол между векторами?». Чтобы решить такую задачу нужно сначала найти косинус угла между ними, а затем и сам угол. Для этого применяется такая формула: $$ phi = arccos(cos phi) $$

Если воспользоваться данной формулой, то сначала нужно найти угол между векторами $ cos phi $. Затем находим арккосинус от косинуса угла $ phi $. А чему равен $ cos phi $? Для его нахождения необходимо воспользоваться следующими формулами.

Формула

Если векторы расположены на плоскости и координаты их заданы в виде: $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $, то найти угол между ними можно так:

$$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}| cdot |overline{b}|} = frac{a_xcdot b_x + a_y cdot b_y}{sqrt{a_x ^2 + a_y ^2}cdot sqrt{b_x ^2 + b_y ^2}} $$

Если вектора находятся в пространстве и координаты каждого из них заданы в виде: $ overline{a} = (a_x; a_y; a_z) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y; b_z) $, то вычислить косинус угла следует по формуле:

$$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}| cdot |overline{b}|} = frac{a_xcdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z}{sqrt{a_x ^2 + a_y ^2 + a_z ^2}cdot sqrt{b_x ^2 + b_y ^2 + b_z ^2}} $$

Пояснение. В числителе расположено скалярное произведение векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $. Оно равно сумме произведений соответствующих координат. В знаменателе перемножаются модули (длины) векторов.

Примеры решений

Пример 1

Найти угол между векторами $ overline{a} = (2;4) $ и $ overline{b} = (3;1) $

Решение

Сначала находим косинус угла между векторами по формуле:

$$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}| cdot |overline{b}|} = frac{2cdot 3 + 4 cdot 1}{sqrt{2^2 + 4^2} cdot sqrt{3^2 + 1^2} } = frac{10}{sqrt{20} cdot sqrt{10}} = $$

$$ = frac{10}{sqrt{200}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} $$

Теперь искомый угол $ phi $ находим по другой формуле:

$$ phi = arccos (cos phi) = arccos (cos frac{sqrt{2}}{2}) = 45^0 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

Угол между двумя векторами равен $ phi = 45^0 $

Пример 2

Найти угол $ phi $ между двумя векторами $ overline{a} = (8;-11;7) $ и $ overline{b} = (-2;-7;8) $

Решение

Подставляем координаты в формулу и вычисляем:

$$ cos phi = frac{8cdot (-2) + (-11)cdot (-7) + 7cdot 8}{sqrt{8^2+(-11)^2+7^2} cdot sqrt{(-2)^2+(-7)^2+8^2} } = $$

$$ = frac{-16+77+56}{sqrt{234} cdot sqrt{117}} = frac{117}{sqrt{234} cdot sqrt{117}} = $$

$$ = frac{sqrt{117}}{sqrt{234}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} $$

Далее находим сам угол $ phi $ с помощью арккосинуса:

$$ phi = arccos frac{sqrt{2}}{2} = 45^0 $$

Ответ

Угол $ phi = 45^0 $

Источник

Содержание:

Формула
Примеры вычисления угла между векторами

Формула

Чтобы найти угол $phi$ между векторами нужно вначале найти
косинус угла, а затем от него найти арккосинус, то есть:

$$phi=arccos (cos phi)$$

Косинус угла между векторами равен
скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их
длин.
В случае если векторы заданны на плоскости и имеют координаты
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$, $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, то косинус между ними вычисляется по формуле:

$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$$

В случае, если векторы заданы в пространстве, то есть
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$, то косинус угла между ними равен:

$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$

Примеры вычисления угла между векторами

Пример

Задание. Найти угол $phi$ между векторами
$bar{a}=(1 ; 3)$ и $bar{b}=(4 ; 2)$

Решение. Сначала по формуле

$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$$

найдем косинус угла между заданными векторами:

$$begin{aligned} cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=& frac{1 cdot 4+3 cdot 2}{sqrt{1^{2}+3^{2}} cdot sqrt{4^{2}+2^{2}}}=frac{4+6}{sqrt{1+9} cdot sqrt{16+4}}=\ &=frac{10}{sqrt{10} cdot sqrt{20}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2}} end{aligned}$$

Тогда искомый угол равен

$$phi=arccos left(frac{sqrt{2}}{2}right)=45^{circ}$$

Ответ. $phi=45^{circ}$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти угол $phi$ между векторами
$bar{a}=(8 ;-7 ;-2)$ и $bar{b}=(7 ;-11 ; 8)$

Решение. Найдем сначала косинус угла между заданными векторами, для этого воспользуемся формулой

$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} cdot sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$

Подставляя координаты векторов
$bar{a}$ и $bar{b}$, получим

$$begin{aligned} cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{8 cdot 7+(-7) cdot(-11)+(-2) cdot 8}{sqrt{8^{2}+(-7)^{2}+(-2)^{2}} sqrt{7^{2}+(-11)^{2}+8^{2}}} &=\=frac{56+77-16}{sqrt{64+49+4} sqrt{49+121+64}}=frac{117}{sqrt{117} sqrt{234}}=\=frac{117}{117 sqrt{2}}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} end{aligned}$$

Угол же будет равен

$$phi=arccos left(frac{sqrt{2}}{2}right)=45^{circ}$$

Ответ. $phi=45^{circ}$

Читать дальше: как найти косинус угла между векторами.

Источник

Нахождение угла между векторами с помощью скалярного произведения

Косинус угла между векторами a⃗=(a1;a2)vec{a}=(a_{1};a_{2}) и b⃗=(b1;b2)vec{b}=(b_{1};b_{2}) может быть вычислен по формуле

cos⁡(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=a1⋅b1+a2⋅b2a12+a22⋅b12+b22.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}= frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}.

Следовательно, угол между векторами a⃗=(a1;a2)vec{a}=(a_{1};a_{2}) и b⃗=(b1;b2)vec{b}=(b_{1};b_{2}) может быть вычислен по формуле

(a⃗,b⃗^)=arccos⁡(a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣)=arccos⁡(a1⋅b1+a2⋅b2a12+a22⋅b12+b22).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft(frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}right)=arccosleft(frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}right).

Пример 1

Найти угол между векторами a⃗=(1;−1)vec{a}=(1; -1) и b⃗=(1;2).vec{b}=(1; 2).

cos⁡(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=1⋅1+(−1)⋅212+(−1)2⋅12+22=1−22⋅5=−110.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{1cdot1+(-1)cdot2}{sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}cdot sqrt{1^{2}+2^{2}}}=frac{1-2}{sqrt{2}cdotsqrt{5}}=frac{-1}{sqrt{10}}.

(a⃗,b⃗^)=arccos⁡(−110)=arccos⁡(−1010).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{-1}{sqrt{10}} right )=arccosleft ( frac{-sqrt{10}}{10} right ).

Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos⁡(−1010).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{-sqrt{10}}{10} right).

Пример 2

Найти угол между векторами a⃗=(2;3)vec{a}=(2; 3) и b⃗=(3;1).vec{b}=(3; 1).

cos⁡(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=2⋅3+3⋅122+32⋅32+12=6+313⋅10=9130=9130130.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{2cdot3+3cdot1}{sqrt{2^{2}+3^{2}}cdot sqrt{3^{2}+1^{2}}}=frac{6+3}{sqrt{13}cdotsqrt{10}}=frac{9}{sqrt{130}}=frac{9sqrt{130}}{130}.

(a⃗,b⃗^)=arccos⁡(9130130).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{9sqrt{130}}{130} right ).

Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos⁡(9130130).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccos left ( frac{9sqrt{130}}{130} right ).

Косинус угла между векторами a⃗=(a1;a2;a3)vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3}) и b⃗=(b1;b2;b3)vec{b}=(b_{1};b_{2};b_{3}) может быть вычислен по формуле

cos⁡(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3a12+a22+a32⋅b12+b22+b32.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}= frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}+a_{3}cdot b_{3}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}.

Следовательно, угол между векторами a⃗=(a1;a2;a3)vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3}) и b⃗=(b1;b2;b3)vec{b}=(b_{1};b_{2};b_{3}) может быть вычислен по формуле

(a⃗,b⃗^)=arccos⁡(a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣)=arccos⁡(a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3a12+a22+a32⋅b12+b22+b32).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft(frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}right)=arccosleft(frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}+a_{3}cdot b_{3}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+ a_{3}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+ b_{3}^{2}}}right).

Пример 3

Найти угол между векторами a⃗=(1;2;3)иb⃗=(1;−2;3).vec{a}=(1; 2; 3) и vec{b}=(1; -2; 3).

cos⁡(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=1⋅1+2⋅(−2)+3⋅312+22+32⋅12+(−2)2+32=1−4+914⋅14=614=37.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{1cdot1+2cdot(-2)+3cdot3}{sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}cdot sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}}=frac{1-4+9}{sqrt{14}cdotsqrt{14}}=frac{6}{14}=frac{3}{7}.

(a⃗,b⃗^)=arccos⁡(37).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{3}{7} right ).

Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos⁡(37).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{3}{7} right ).

Пример 4

Найти угол между векторами a⃗=(2;−1;−2)vec{a}=(2; -1; -2) и b⃗=(1;3;−2).vec{b}=(1; 3; -2).

cos⁡(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=2⋅1+(−1)⋅3+(−2)⋅(−2)22+(−1)2+(−2)2⋅12+32+(−2)2=2−3+49⋅14=33⋅14=114=1414.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{2cdot1+(-1)cdot3+(-2)cdot(-2)}{sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}cdot sqrt{1^{2}+3^{2}+(-2)^{2}}}=frac{2-3+4}{sqrt{9}cdotsqrt{14}}=frac{3}{3cdotsqrt{14}}=frac{1}{sqrt{14}}=frac{sqrt{14}}{14}.

(a⃗,b⃗^)=arccos⁡(1414).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{sqrt{14}}{14} right ).

Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos⁡(1414).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{sqrt{14}}{14} right ).

Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения

Синус угла между векторами можно вычислить по формуле: sin⁡(a⃗,b⃗^)=∣a⃗×b⃗∣∣a⃗∣⋅∣b⃗∣.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{left | vec{a}times vec{b} right |}{left | vec{a} right |cdotleft | vec{b} right |}.

Пример 1

Найти угол между векторами a⃗=(2;−1;2)vec{a}=(2;-1;2) и b⃗=(3;0;1).vec{b}=(3;0;1).

a⃗×b⃗=∣ijk2−12301∣=(−1−0)i−(2−6)j+(0+3)k=−i+4j+3k.vec{a}times vec{b}=begin{vmatrix}i&j&k\2&-1&2\3&0&1end{vmatrix}=(-1-0)i-(2-6)j+(0+3)k=-i+4j+3k.

∣a⃗×b⃗∣=(−1)2+42+32=1+16+9=26.left | vec{a}times vec{b} right |=sqrt{(-1)^{2}+4^{2}+3^{2}}=sqrt{1+16+9}=sqrt{26}.

∣a⃗∣=22+(−1)2+22=4+1+4=9=3.left | vec{a} right |=sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=sqrt{4+1+4}=sqrt{9}=3.

∣b⃗∣=32+02+12=9+0+1=10.left | vec{b} right |=sqrt{3^{2}+0^{2}+1^{2}}=sqrt{9+0+1}=sqrt{10}.

sin⁡(a⃗,b⃗^)=26310=132325=1335=6515.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{sqrt{26}}{3sqrt{10}}=frac{sqrt{13}sqrt{2}}{3sqrt{2}sqrt{5}}=frac{sqrt{13}}{3sqrt{5}}=frac{sqrt{65}}{15}.

(a⃗,b⃗^)=arcsin⁡(6515).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{65}}{15} right ).

Ответ: (a⃗,b⃗^)=arcsin⁡(6515).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{65}}{15} right ).

Пример 2

Найти угол между векторами a⃗=(1;1;3)vec{a}=(1;1;3) и b⃗=(0;1;1).vec{b}=(0;1;1).

a⃗×b⃗=∣ijk113011∣=(1−3)i−(1−0)j+(1−0)k=−2i−j+k.vec{a}times vec{b}=begin{vmatrix}i&j&k\1&1&3\0&1&1end{vmatrix}=(1-3)i-(1-0)j+(1-0)k=-2i-j+k.

∣a⃗×b⃗∣=(−2)2+(−1)2+12=4+1+1=6.left | vec{a}times vec{b} right |=sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=sqrt{4+1+1}=sqrt{6}.

∣a⃗∣=12+12+32=1+1+9=11.left | vec{a} right |=sqrt{1^{2}+1^{2}+3^{2}}=sqrt{1+1+9}=sqrt{11}.

∣b⃗∣=02+12+12=0+1+1=2.left | vec{b} right |=sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}=sqrt{0+1+1}=sqrt{2}.

sin⁡(a⃗,b⃗^)=6112=32112=311=3311.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{sqrt{6}}{sqrt{11}sqrt{2}}=frac{sqrt{3}sqrt{2}}{sqrt{11}sqrt{2}}=frac{sqrt{3}}{sqrt{11}}=frac{sqrt{33}}{11}.

(a⃗,b⃗^)=arcsin⁡(3311).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{33}}{11} right ).

Ответ: (a⃗,b⃗^)=arcsin⁡(3311).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{33}}{11} right ).

Тест по теме “Как найти угол между двумя векторами”

Источник

Определение. Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Пример 1. Найти угол между векторами a = {3; 4} и b = {4; 3}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

|a| = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √4² + 3² = √16 + 9 = √25 = 5

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	24	=	24	= 0.96
\|a\| · \|b\|	5 · 5	25

Пример 2. Найти угол между векторами a = {7; 1} и b = {5; 5}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

|a| = √7² + 1² = √49 + 1 = √50 = 5√2
|b| = √5² + 5² = √25 + 25 = √50 = 5√2

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	40	=	40	=	4	= 0.8
\|a\| · \|b\|	5√2 · 5√2	50	5

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Пример 3. Найти угол между векторами a = {3; 4; 0} и b = {4; 4; 2}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

|a| = √3² + 4² + 0² = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √4² + 4² + 2² = √16 + 16 + 4 = √36 = 6

Найдем угол между векторами:

cos α =	a · b	=	28	=	14
\|a\| · \|b\|	5 · 6	15

Пример 4. Найти угол между векторами a = {1; 0; 3} и b = {5; 5; 0}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Найдем модули векторов:

|a| = √1² + 0² + 3² = √1 + 9 = √10
|b| = √5² + 5² + 0² = √25 + 25 = √50 = 5√2

Найдем угол между векторами:

cos α =

a · b|a| · |b|

5√10 · 5√2

12√5

√510

= 0.1√5

Источник

Марина Николаевна Ковальчук

Эксперт по предмету «Геометрия»

Задать вопрос автору статьи

Угол между векторами

Для того, чтобы мы могли ввести формулу для вычисления угла между векторами через координаты, нужно сначала разобраться с самим понятием угла между этими векторами.

Определение 1

Пусть нам даны два вектора $overline{α}$ и $overline{β}$. Возьмем в пространстве какую-либо точку $O$ и отложим от нее векторы $overline{α}=overline{OA}$ и $overline{β}=overline{OB}$, тогда угол $AOB$ будет носить название угол между двумя векторами. (рис. 1).

Рисунок 1. Угол между векторами. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Причем мы будем считать, что если векторы $overline{α}$ и $overline{β}$ будут сонаправленными, или один или оба из них будет нулевым вектором, то угол между этими векторами будет равняться $0^circ$.

Обозначение: $∠(overline{α},overline{β})$

Нахождение угла между векторами в пространстве с помощью скалярного произведения

Вспомним сначала, что называется скалярным произведением и каким образом его можно находить.

Определение 2

Скалярным произведением двух векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.

Математически это может выглядеть следующим образом:

$overline{δ}overline{β}=|overline{δ}||overline{β}|cos∠(overline{δ},overline{β})$

Также, помимо того, как из самого определения 1, для нахождения скалярного произведения можно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 1

Скалярное произведение двух данных векторов $overline{δ}$ и $overline{β}$ с координатами $(δ_1,β_1,γ_1)$ и $(δ_2,β_2,γ_2)$, равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Математически выглядит следующим образом

$overline{δ}cdot overline{β}=δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2$

«Как найти угол между векторами» 👇

Обозначение: $overline{δ}cdot overline{β}$.

С помощью скалярного произведения мы можем найти косинус угла между векторами. Пусть нам даны векторы $overline{δ}$ и $overline{β}$ с координатами $(δ_1,β_1,γ_1)$ и $(δ_2,β_2,γ_2)$, соответственно. Из определения 2 получим, что

$cos∠(overline{δ},overline{β})=frac{overline{δ}cdot overline{β}}{|overline{δ}||overline{β}|}$

Из теоремы 1 мы знаем, что $overline{δ}cdot overline{β}=δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2$, следовательно

$cos∠(overline{δ},overline{β})=frac{δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2}{|overline{δ}||overline{β}|}$

Расписывая по формуле длины вектора значения $|overline{δ}|$ и $|overline{β}|$, окончательно получим

$cos∠(overline{δ},overline{β})=frac{δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2}{sqrt{δ_1^2+β_1^2+γ_1^2 } sqrt{δ_2^2+β_2^2+γ_2^2}}$

Найдя значение косинуса, мы легко найдем и значение самого угла.

Пример 1

Найти косинус угла между векторами $overline{δ}$ и $overline{β}$, имеющими координаты $(1,-2,2)$ и $(3,0,4)$, соответственно.

Решение.

Найдем скалярное произведение между данными векторами через координаты:

$overline{δ}cdot overline{β}=1cdot 3+(-2)cdot 0+2cdot 4=11$

Найдем длины этих векторов:

$|overline{δ}|=sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=sqrt{9}=3$

$|overline{β}|=sqrt{3^2+0^2+4^2}=sqrt{25}=5$

В результате, получим

$cos⁡∠(overline{δ},overline{β})=frac{11}{3cdot 5}=frac{11}{15}$

Ответ: $frac{11}{15}$.

Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения

Вспомним сначала, определение векторного произведения и каким образом его можно находить.

Определение 3

Векторным произведением двух векторов называется такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина равна произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют ту же ориентацию, как и декартова система координат.

Обозначение: $overline{δ}хoverline{β}$.

Математически это выглядит следующим образом:

$|overline{δ}хoverline{β}|=|overline{δ}||overline{β}|sin⁡∠(overline{δ},overline{β})$
$overline{δ}хoverline{β}⊥overline{δ}$, $overline{δ}хoverline{β}⊥overline{β}$
$(overline{δ}хoverline{β},overline{δ},overline{β})$ и $(overline{i},overline{j},overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 2)

Рисунок 2. Векторное произведение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для нахождения вектора векторного произведения можно пользоваться следующей формулой:

$overline{δ}хoverline{β}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\δ_1&δ_2&δ_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}$

С помощью векторного произведения мы можем найти синус угла между данными векторами. Пусть нам даны векторы $overline{δ}$ и $overline{β}$ с координатами $(δ_1,δ_2,δ_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Из определения 3 получим, что

${sin angle left(overrightarrow{delta },overrightarrow{beta }right) }=frac{left|overrightarrow{delta }хoverrightarrow{beta }right|}{left|overrightarrow{delta }right||overrightarrow{beta }|}$

Найдем вектор векторного произведения по формуле:

$overline{δ}хoverline{β}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\δ_1&δ_2&δ_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}=(δ_2 β_3-δ_3 β_2,δ_3 β_1-δ_1 β_3,δ_1 β_2-δ_2 β_1)$

Расписывая по формуле длины вектора значения $|overline{δ}|$, $|overline{β}|$ и $|overline{δ}хoverline{β}|$, окончательно получим

$sin∠(overline{δ},overline{β})=frac{sqrt{(δ_2 β_3-δ_3 β_2)^2+(δ_3 β_1-δ_1 β_3)^2+(δ_1 β_2-δ_2 β_1)^2}}{sqrt{δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2}sqrt{β_1^2+β_2^2+β_3^2}}$

Найдя значение синуса, мы легко найдем и значение самого угла между векторами через координаты через формулу.

Пример 2

Найти синус угла между векторами $overline{δ}$ и $overline{β}$, имеющими координаты $(1,-2,2)$ и $(3,0,4)$, соответственно.

Решение.

Найдем вектор векторного произведения между данными векторами по формуле:

$overline{δ}хoverline{β}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\1&-2&2\3&0&4end{vmatrix}=-8overline{i}+2overline{j}+6overline{k}=(-8,1,6)$

Найдем длины этих векторов:

$|overline{δ}хoverline{β}|=sqrt{(-8)^2+2^2+6^2}=sqrt{104}=2sqrt{26}$

$|overline{δ}|=sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=sqrt{9}=3$

$|overline{β}|=sqrt{3^2+0^2+4^2}=sqrt{25}=5$

В результате, получим

$sin∠(overline{δ},overline{β})=frac{2sqrt{26}}{3cdot 5}=frac{2sqrt{26}}{15}$

Ответ: $frac{2sqrt{26}}{15}$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник