Как решить пример найти неопределенный интеграл - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Простое объяснение принципов решения неопределенных интегралов и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения неопределенных интегралов

Неопределённым интегралом функции называется множество всех первообразных этой функции.

Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции, т.е., если – первообразная функции , то:

Для нахождения интегралов функций, используются свойства интегралов, а также таблица неопределённых интегралов.

Примеры решений неопределенных интегралов

Задача

Вычислить интеграл:

Решение

По таблице интегралов находим:

$[int sqrt{x}dx = int x^{frac{1}{2}}dx = frac{x^{frac{3}{2}}}{frac{3}{2}} = frac{2}{3}xsqrt{x} + C]$

Ответ

Задача

Вычислить интеграл:

$[int sqrt[3]{x^{2}}dx]$

Решение

$[int sqrt[3]{x^{2}}dx = int x^{frac{2}{3}}dx]$

По таблице интегралов находим:

$[int x^{frac{2}{3}}dx = frac{x^{frac{5}{3}}}{frac{5}{3}} + C = frac{3sqrt[3]{x^{5}}}{5} + C]$

Ответ

$[int sqrt[3]{x^{2}}dx = frac{3sqrt[3]{x^{5}}}{5} + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{dx}{sqrt{x}}]$

Решение

По таблице интегралов находим:

$[int frac{dx}{sqrt{x}} = 2sqrt{x} + C]$

Ответ

$[int frac{dx}{sqrt{x}} = 2sqrt{x} + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int 3x^{6}dx]$

Решение

Вынося постоянный множитель 3 за знак интеграла, применяем правило интегрирования показательной функции и по таблице интегралов находим:

$[int 3x^{6}dx = 3int x^{6}dx = 3cdotfrac{x^{7}}{7} + C]$

Ответ

$[int 3x^{6}dx = 3cdotfrac{x^{7}}{7} + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int (x^{3} + 2x^{2} + 5x)dx]$

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

$[int (x^{3} + 2x^{2} + 5x)dx = int (x^{3})dx + int (2x^{2})dx + int (5x)dx]$

$[int (x^{3})dx + int (2x^{2})dx + int (5x)dx = frac{x^{4}}{4} + 2cdotfrac{x^{3}}{3} + 5cdotfrac{x^{2}}{2} + C]$

$[frac{x^{4}}{4} + 2cdotfrac{x^{3}}{3} + 5cdotfrac{x^{2}}{2} + C = frac{3x^{4} + 8x^{3} + 30x^{2}}{12} + C]$

Ответ

$[int (x^{3} + 2x^{2} + 5x)dx = frac{3x^{4} + 8x^{3} + 30x^{2}}{12} + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

$[int (x^{4} - x^{2} + 4)dx]$

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

$[int (x^{4} - x^{2} + 4)dx = int (x^{4})dx - int (x^{2})dx + int (4)dx = frac{x^{5}}{5} - frac{x^{3}}{3} + 4x + C]$

Ответ

$[int (x^{4} - x^{2} + 4)dx = frac{x^{5}}{5} - frac{x^{3}}{3} + 4x + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

Преобразуя подынтегральную функцию каждого из интегралов к виду степенной, находим её интеграл по таблице интегралов:

$[int sqrt[n]{x}dx = int {x}^{frac{1}{n}}dx = frac{x^{frac{n + 1}{n}}}{frac{n + 1}{n}} + C = frac{ncdot x^{frac{n + 1}{n}}}{n + 1} + C = frac{n}{n + 1}xsqrt[n]{x} + C]$

$[int sqrt[m]{x}dx = int {x}^{frac{1}{m}}dx = frac{x^{frac{m + 1}{m}}}{frac{mn + 1}{m}} + C = frac{mcdot x^{frac{m + 1}{m}}}{m + 1} + C = frac{m}{m + 1}xsqrt[m]{x} + C]$

$[int (sqrt[n]{x} + sqrt[m]{x})dx = frac{n}{n + 1}xsqrt[n]{x} + frac{m}{m + 1}xsqrt[m]{x} + C]$

Ответ

$[int (sqrt[n]{x} + sqrt[m]{x})dx = frac{n}{n + 1}xsqrt[n]{x} + frac{m}{m + 1}xsqrt[m]{x} + C]$

Задача

Вычислить интеграл от дроби:

$[int (frac{1}{x} + frac{1}{x^{3}})dx]$

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов:

$[int (frac{1}{x} + frac{1}{x^{3}})dx = int frac{1}{x}dx + frac{1}{x^{3}}dx]$

$[int frac{1}{x}dx = int frac{dx}{x} = ln{x} + C]$

$[frac{1}{x^{3}}dx = -frac{1}{2x^{2}} + C]$

$[int (frac{1}{x} + frac{1}{x^{3}})dx = ln{x} - frac{1}{2x^{2}} + C]$

Ответ

$[int (frac{1}{x} + frac{1}{x^{3}})dx = ln{x} - frac{1}{2x^{2}} + C]$

Задача

Вычислить интеграл:

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

Далее найдём каждый интеграл суммы:

Ответ

Задача

Вычислить интеграл:

$[int frac{dx}{7x - 1}]$

Решение

$[int frac{dx}{7x - 1} = frac{1}{7}intfrac{7dx}{7x -1} = frac{1}{7}ln|7x - 1| + C]$

Ответ

$[int frac{dx}{7x - 1} = frac{1}{7}ln|7x - 1| + C]$

Источник

Матан — самое сильное колдунство на сегодняшний день.

Лурк

Мы остались с ним в пустом классе и он медленно начал объяснять мне, как правильно брать разные интегралы разными способами. И вот уже в конце нашего первого занятия он предложил мне взять мой первый в жизни интеграл. Но как только я его увидела, я жутко испугалась и убежала.

Сайт МИФИ

Два математика в ресторане поспорили, насколько хорошо знают математику большинство людей. Один (пессимист) утверждал, что большинство ее вообще не знает, а другой (оптимист) — что хоть и не много, но знают. Когда пессимист отошел в туалет, оптимист подозвал симпатичную официантку-блондинку и говорит:

— Когда мой коллега вернется, я задам вам вопрос. Суть не важна.

Все, что вы должны сделать — это сказать «Треть икс куб».

— Как-как? Третий скуп? — переспрашивает официантка?

— Да нет, Треть Икс Куб, Понятно?

— А-а! Третик скуп? — повторяет официантка.

— Да, да. Это все о чем я вас прошу.

Официантка уходит твердя про себя как заклинание фразу «Третик скуп».

Тут возвращается пессимист. Оптимист говорит — давай спросим у нашей официантки чему равен какой-нибудь простенький интеграл. Пессимист со смехом соглашается. Оптимист вызывает официантку и спрашивает:

— Извините, вы не помните чему равен интеграл от x^2 по dх?

— Треть икс куб… — отвечает официантка.

Пессимист сильно удивляется, на что официантка добавляет:

— А хули ты удивляешься, блять? Училась по гайдам с ДТФ.

Все очень просто. Глядим на эту картинку:

Да, это скриншот с Word. Криворукие программисты сайта дтф за десять лет так и не прикрутили поддержку формул в постах.

Слева от знака равно находится то, что тебе дано изначально. Функция1 — это функция, зависящая от х. Функция2 — это то, что тебе нужно получить из функции1 путем математических манипуляций. Получил? Молодец, даже инспектор Гаджет не справился бы лучше. Теперь прибавь к этому буковку «С» и ответ готов. Тебе не нужно знать, что такое dx, что такое С и вообще теорию интегралов, тебе достаточно знать правила преобразования функции1 в функцию2, чтобы получить 2 на контрольной. И в этом посте я дам тебе такие правила.

Теперь смотрим на эту картинку:

Хочешь стать самым крутым? Придется выучить эту срань.

Тебе всего лишь нужно привести функцию1 к какому-нибудь пункту из этой таблицы. А дальше просто смотришь в нее и пишешь ответ. И «С» не забудь.

Готов к потере интегральной девственности? Вот первый пример:

Такое даже Буратино может решить в уме.

Запоминаем:

Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.
Если перед подынтегральной функцией стоит константа, то ее можно вынести за знак интеграла.

Применяя оба правила на практике получаем:

Распад исходного интеграла на более мелкие является крупнейшей геоматематической катастрофой этого блога.

Для решения первых двух интегралов используем пункт 3 из таблицы. Вместо n нужно подставить соответствующие значения (n=2 для первого случая, n=1 для второго). Для третьего интеграла — пункт 2 из таблицы. И получается вот что:

Кто-то может сказать, что у нас сумма 3 разных интегралов, а, соответственно, сумма трех разных С. Но С — это любое число, а сумма трех любых чисел дает любое число.

Как привлечь внимание дурака? Читай дальше.

Сейчас мы этот интеграл почленно делить будем. Вот:

По статистике, 85% аудитории Доты 2 не поняло, что произошло.

Ну первый интеграл ты знаешь как решать, если не анимешник. Второй интеграл — табличный, пункт 4. А теперь самостоятельная работа. Закончи пример и дай ответ.

Дай ответ

Не дам

Иди нахуй + С

Показать результаты

Переголосовать

Проголосовать

Молодец, что не забыл С. Идем дальше.

По статистике, 96% анимешников не понимают, что изображено на картинке.

Вообще-то интеграла от sin2x в таблице нет. Придется делать замену переменной. А для этого придется все-таки узнать, что такое dx.

Обзовем 2x как u. А теперь магия: du=2dx, значит dx =1/2du. Кто не понял, я просто взял производную по х от u и приписал в конце dx. Подставляем всю эту хрень в исходный интеграл и получаем:

А это, дамы и господа, база под номером 7 в списке баз. Получив косинус и вернув х вместо u, получаем базированный ответ:

Изучим решение интегралов по частям (по-Питерски).

Нижняя строчка означает, что u и v — это какие-то функции от х.

Применять данный метод надо, когда у нас произведение двух разных функций под интегралом. Пример:

U это х, а dv это sin(x)dx. Теперь нужно найти du и v, чтобы у нас были все элементы формулы. Раз u=x, то du=dx. Если dv=sin(x)dx, то v=-cos(x) (это я небольшой интегральчик взял). Подставляем в формулу выше:

Ну интеграл от косинуса ты знаешь где искать. Окончательный ответ:

Готов к полному пиздецу?

Полный пиздец как он есть.

Применим метод, который в нашей семье передается из поколения в поколение — метод неопределенных коэффициентов. Бачим сюда:

Ловко, да? Все, что нам нужно — это найти эти а, б и с. Дальше интеграл распадется на три табличных.

Мысль понятна?

Я смотрю аниме

Да

Показать результаты

Переголосовать

Проголосовать

Это мы коммунистическим путем привели левую часть к общему знаменателю.

Теперь можно и сократить знаменатели.

Надо раскрыть скобки.

Ну тут даже камню понятно, что: а+б+с=1; 5а+2б+с=-19; 6а-3б-2с=6. Решается оно так:

Ну а теперь:

Глядим на пункт 4 в таблице и получаем (если что dx и d(x+3) это одно и тоже):

Модуль ставить обязательно. Ты же помнишь, что функция под логарифмом всегда должна быть больше нуля?

Вот и все. Полученных знаний тебе хватит, чтобы не обосраться на первой контрольной и слегка обосраться на второй.

Источник

Содержание:

Неопределённый интеграл
Свойства неопределённого интеграла
Основные формулы интегрирования (таблица интегралов)
Таблица основных интегралов
Непосредственное интегрирование
Интегрирование методом подстановки (замена переменной)
Интегрирование по частям
Интегралы от функций, которые содержат квадратный трёхчлен
Интегрирование рациональных функций
Неопределенный интеграл и его определение
Интеграл постоинной и степенной функции
Свойства неопределенного интеграла
Интегралы тригонометрических функций
Задания на нахождение постоянной интегрирования
Задания на реальную жизненную ситуацию
Пример задачи на прирост населения

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл — это совокупность всех первообразных данной функции.

Понятие неопределённого интеграла:

Дифференцирование — это действие, с помощью которого по данной функции находят производную или дифференциал данной функции.

Нахождение производной имеет большое практическое значение. Так, по известному закону движения тела мы дифференцированием находим скорость , а позже и ускорение ; если задано равенство прямой , то легко вычислить угловой коэффициент касательной, проведённой к данной кривой: .

Важными являются обратные задачи, например:

а) известна скорость движения тела, установить закон его движения.

б) дан угловой коэффициент касательной к кривой, найти уравнение этой кривой.

Иначе говоря, по данной производной надо найти функцию, от которой найдена эта производная, то есть выполнить действие обратное дифференцированию. Это действие называют интегрированием. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалом функции находят саму функцию, которую называют первоначальной.

Дифференцированная функция называется первоначальной для функции на промежутке , если для каждого .

Так, для функции первоначальной является функция , поскольку Отметим, что данная функция имеет не единственную первоначальную. Например, функция которые отличаются только на постоянную, тоже удовлетворяют условие

Докажем теорему: если — первоначальна для на некотором промежутке, то и функция , где любая постоянная, также является первоначальной для функции на этом промежутке.

Доказательство:

Следовательно, достаточно найти для функции только одну первоначальную функцию , чтобы найти все её первоначальные, так как она отличаются одна от другой только на постоянную величину С.

Совокупность всех первоначальных функций на интервале называют неопределённым интегралом от функции на этом интервале и обозначают .

Тут подынтегральное выражение, — подынтегральная функция, х— переменная интегрирования, С— произвольная постоянная.

Например:

Геометрически выражение можно изобразить как семейство кривых, полученных параллельным переносом любой из них вдоль оси OY (рис. 1).

Если функция f(х) имеет на некотором промежутке хотя бы одну первоначальную, то её называют интегрированной на этом промежутке.

Свойства неопределённого интеграла

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределённого интеграла равный подынтегральному выражению:

2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равный этой функции:

3. Постоянный множитель можно вынести за знак интервала:

4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функции равный такой же самой алгебраической сумме неопределённых интегралов от каждой функции:

5. Если функция F(х) является первоначальной для f(х), где k и b произвольные числа (), то

Для доказательства свойств 1 — 5 достаточно найти производные обоих частей равенства.

Например, докажем свойство 4:

и производная левой части

Основные формулы интегрирования (таблица интегралов)

Из каждой формулы дифференцирования выходит соответствующая её формула интегрирования. Например, с того, что , следует равенство

Таблица основных интегралов

Справедливость этих формул легко проверить дифференцированием.

Непосредственное интегрирование

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ нахождения интеграла, когда путём тождественных преобразований подынтегральных функций и использованием свойств неопределённого интеграла приходим к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1. Найти интеграл

Решение: Используем свойство степени с отрицательным показателем и найдём неопределённый интеграл от степенной функции:

Ответ:

Пример 2. Найти интеграл

Решение: Используем свойство степени с дробным показателем и найдём неопределённый интеграл от степенной функции:

Ответ:

Пример 3. Найти интеграл

Решение: Используем свойство степени с дробным показателем и правилом умножения степени с одинаковыми основами

Найдём неопределённый интеграл от степенной функции:

Ответ:

Пример 4. Найти интеграл

Решение: Используем свойства степени с дробным показателем, правила действий над степенями с одинаковыми основами и найдём интеграл от каждого слагаемого отдельно:

Ответ:

Пример 5. Найти интеграл

Решение: Откроем скобки по формуле и неопределённый интеграл от полученной алгебраической суммы функций заменим такой же алгебраической суммой неопределённых интегралов от каждой функции:

Ответ:

Пример 6. Найти интеграл:

Решение: Для нахождения интеграла воспользуемся формулой и свойствами неопределённого интеграла:

Ответ:

В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать формулы, которые вытекают из свойства 5:

Так, при нахождении можно использовать формулу:

Интегрирование методом подстановки (замена переменной)

Если интеграл невозможно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то одним из способов интегрирования является метод подстановки (замены переменной).

Суть метода подстановки заключается в следующем: заменяют новую переменную на такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой получаем ту часть, что осталась (не учитывая постоянного множителя, на который всегда можно перемножить или разделить соответствующее выражение). В результате введения замены подынтегральное выражение должно принять вид:

что позволяет привести интеграл к табличному виду.

Пример 7. Найти интеграл:

Решение: Сделаем подстановку

Ответ:

Припер 8. Найти интеграл:

Решение:

Ответ:

Припер 9. Найти интеграл:

Решение: Пусть тогда Далее получим:

Ответ:

Пример 10. Найти интеграл:

Решение: Пусть , тогда отсюда Получаем:

Ответ:

Интегрирование по частям

Выведем формулу интегрирования по частям. Известно, что:

Как видим, нахождение сводится к нахождению , который должен выявиться больше простым или табличным интегралом.

При использовании метода интегрирования по частям подынтегральную функцию представляют в виде произведения двух множителей u и dv, и находят du и v. Если полученный интеграл окажется сложным, то можно попробовать поменять значения u и dv. Для удобства выражения u, dv, du, v оформляют в виде таблицы.

Метод интегрирования по частям часто используют при интегрировании функций, которые содержат произведение, логарифмы и обратные тригонометрические функции.

Пример 11. Найти интеграл:

Решение:

Пример 12. Найти интеграл:

Решение:

Пример 13. Найти интеграл:

Решение:

Интегралы от функций, которые содержат квадратный трёхчлен

Для нахождения указанных интегралов квадратный трёхчлен преобразуют в квадратный двучлен, выделяя полный квадрат

Такие представления подынтегрального выражения позволяет свести искомые интегралы к табличным или к интегралам вида

Приведём примеры.

Пример 14. Найти интеграл:

Решение: Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат

тогда интеграл приобретёт вид

Выведем замену: , получим

Ответ:

Пример 15. Найти интеграл:

Решение: Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат

и введём замену Тогда

Первый из полученных интегралов, , табличный

а второй, , находим замену

Вернёмся к переменной х и запишем результат

Ответ:

Пример 16. Найти интеграл

Решение: Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена

и введём замену ; получим

Ответ:

Пример 17. Найти интеграл

Решение: Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат

и введём замену . Тогда

Первый интеграл, , находим введя замену

Второй интеграл является табличным

Подставим найденные интегралы и вернёмся к переменной х, получим

Ответ:

Пример 18. Найти интеграл:

Решение: Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении

теперь используя уже известные формулы интегрирования, и положив вычисляем

Ответ:

Пример 19. Найти интеграл:

Решение: Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении

теперь используя уже известные формулы интегрирования, и положив вычисляем

Ответ:

Интегрирование рациональных функций

Целая рациональная функция — это многочлен, который интегрируется непосредственно:

Интеграл от дробной рациональной функции многочлены, можно выразить через элементарные функции путём разложения на слагаемые, если степень числителя меньше степени знаменателя. Такую рациональную дробь называют правильной, в других случаях — неправильной дробью. Неправильная рациональная дробь всегда можно преобразовать в правильную, разделив числитель на знаменатель.

Правильную рациональную дробь можно разложить на слагаемые следующих двух видов:

где m, n — целые положительные числа.

Для разложения правильной рациональной дроби на слагаемые необходимо:

1. Разложить знаменатель на простейшие действительные множители, то есть записать в виде

2. Записать схему разложения дроби на элементарные слагаемые

где неизвестные постоянные. Слагаемых с соответствующими знаменателями столько, какая степень каждого множителя в разложении

3. Освободиться от знаменателей, умножив обе части на

4. Составить систему уравнений относительно неизвестных

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обоих частях.

6. Полученные в разложении дроби приводятся к интегралам типа

Интеграл I₃ находят по правилам рассмотренным в параграфе.

Пример 20. Найти интеграл

Решение: Выполним действия согласно приведённой схеме:

1) разложим знаменатель на простейшие действительные множители:

2) запишем схему разложения подынтегральной дроби на элементарные слагаемые

3) освободимся от знаменателей, умножив обе части на

4) составим систему равенств для определения неизвестных А, В, В₁, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х:

5) решим полученную систему:

6) запишем разложение подынтегральной функции на элементарные слагаемые и проинтегрируем

Ответ:

Пример 21. Найти интеграл

Решение:

1) разложим знаменатель на простейшие действительные множители:

2) запишем схему разложения подынтегральной дроби на элементарные слагаемые

3) освободимся от знаменателей, умножив обе части на

4) составим систему равенств для определения неизвестных , приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х:

5) решим полученную систему:

6) запишем разложение подынтегральной функции на элементарные слагаемые и проинтегрируем

Интеграл I запишем в виде

Неопределенный интеграл и его определение

Определение. Множество всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом, обозначается и читается как «интеграл эф от икс де икс».

Если функция является одной из первообразных для , то по определению .

Здесь — знак интеграла, — подынтегральная функция, — переменная интегрирования, — постоянная интегрирования. За переменную интегрирования можно принять любую переменную. Нахождение функции по производной называется интегрированием.

Задача пример №124

По определению найдите неопределенные интегралы.

Решение:

Так как:

Задача пример №125

Найдите интеграл .

Решение:

подумаем, производной какой функции является функция . Например, известно, что производной функции является функция . Значит, множителем искомой функции является дробь , которая потом сократиться с коэффициентом 4 и получится . Такой функцией является функция . Значит,

Интеграл постоинной и степенной функции

Интеграл постоянной:

Интеграл степенной функции

Задача пример №126

Найдите неопределенный интеграл

Решение:

Задача пример №127

Найдите общий вид первообразных функции .

Решение:

Так как функция одна из первообразных функции , то одна из первообразных функции будет . Тогда общий вид первообразных имеет вид: . Значит, .

Свойства неопределенного интеграла

При интегрировании используют следующие свойства:

Задача пример №128

Найдите интеграл .

Решение:

В отличии от произвордной, у интеграла нет формулы для интегрирования произведения и частного. Поэтому, если это возможно, функцию представляют в виде суммы или разности, а потом находят первообразную.

Задача пример №129

Найдите первообразную функции

Решение:

запишем заданную функцию в виде

Тогда получим,

Интегралы показательной функции и функции

Интеграл показательной функции

Интеграл функции :

При

При в любом промежутке

В общем случае:

Задача пример №130

Найдите неопределенные интегралы: a) ; b)

Решение: a) b)

Интегралы тригонометрических функций

Задача пример №131

Найдите интеграл

Решение:

При интегрировании тригонометрических функций удобно использовать тригонометрические тождества.

Задача пример №132

Найдите первообразную функции .

Решение:

Так как , то

Задача пример №133

Вычислите интеграл .

Решение:

Воспользуемся тождеством . Тогда,

Задача пример №134

Найдите интеграл .

Решение:

Воспользуемся формулой :

Задания на нахождение постоянной интегрирования

Задача пример №135

Найдите первообразную функции , график которой проходит через точку: а) М(2;2); Ь) Р(-1;3).

Решение:

Сначала запишем общий вид первообразных функции на промежутке .

a) По условию . Тогда , отсюда = -2. Значит, первообразная функции , график которой проходит через точку М(2;2), имеет вид .

b) По условию . Тогда 1 + = 3, отсюда = 2. Значит, первообразная функции , график которой проходит через точку Р(-1;3), имеет вид: .

Задания на реальную жизненную ситуацию

Задача пример №136

Движение. Скорость мяча, брошенного с высоты 1 м вверх, можно выразить как . Здесь показывает время в секундах. Запишите функцию, которая позволит найти на какой высоте находится мяч через секунд после начала движения и найдите на какой высоте окажется мяч на 2 секунде.

Решение:

так как , то для функции неопределенным интегралом является функция :

Как можно найти постоянную ?

Мяч брошен с высоты 1 м. Т.е. в момент мяч находился на высоте 1 м и = 1. Тогда 1 = -4,9 • 0 +12 • 0 + , отсюда = 1. Значит, в момент высоту на которой находится мяч, можно найти по формуле . При = 2 получим

. Т.е. в момент = 2 секундам мяч будет находится на высоте 5,4 м.

Пример задачи на прирост населения

Статистические исследования показывают, что при помощи отношения можно найти прирост городского населения за год. Здесь показывает количество лет после 1960 года, — численность населения в данный (-ый) год в тыс. человек. Если в 1990 году в городе было 820 тыс. человек, то сколько, приблизительно, тыс. человек будет в городе в 2020 году?

Решение:

найдем первообразную для функции , показывающую численность населения, соответствующую функции :

Теперь найдем постоянную .

Например, по условию при = 30 (1960 — 1990) численность населения достигла 820 тыс. человек. Подставим (30; 820) в формулу функции. . Тогда .

Численность населения в 2020 году соответствует значению функции в = 60:

Т.е. в 2020 году численность городского населения будет приблизительно равна 1979800 человек.

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Другие темы которые вам помогут понять математику:

Задачи на экстремумы. Оптимизации

Первообразная функция

Площадь, ограниченная кривой

Определенный интеграл

Лекции:

График производной функции
Перпендикулярность прямой и плоскости
Выпуклость функции
Сложение матриц: примеры решения
Исследовать функцию на экстремум
Модуль комплексного числа
Пределы функций примеры решения
Найти предел используя правило Лопиталя
Решение неравенств
Элементы дифференциальной геометрии

Источник