Как решить задачу найдите объем прямоугольного параллелепипеда

Определение параллелепипеда

Параллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.

Онлайн-калькулятор объема параллелепипеда

Как и у куба, у этого многогранного тела есть двенадцать ребер, шесть граней и восемь вершин. Вид параллелепипеда зависит от геометрической фигуры, лежащей в основании, и от угла, образованного им при пересечении с гранями.

Если его гранями являются прямоугольники, то он называется прямоугольным.
Если такие прямоугольники имеют отношение только к боковым граням, то он называется прямым.
Иногда бывают случаи, когда эти грани образуют не прямой угол с основанием. Тогда в данном случае параллелепипед является наклонным.
Если он состоит исключительно из равных ромбов, то он называется ромбоэдром.
Если все грани параллелепипеда являются одинаковыми квадратами, то получаем куб. Таким образом, куб — это частный случай параллелепипеда.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Объемом такого параллелепипеда называется произведение всех его трех измерений: длины, ширины, высоты. Вычисляется он так:

Объем прямоугольного параллелепипеда

V=a⋅b⋅cV=acdot bcdot c

a,b,ca, b, c — длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда.

Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1

Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если известны его длина, равная 5 см.5text{ см.}, ширина, имеющая длину 10 см.10text{ см.} и высота длиной в 7 см.7text{ см.}

Решение

a=5a=5
b=10b=10
c=7c=7

Сразу подставляем в формулу численные значения:

V=a⋅b⋅c=5⋅10⋅7=350 см3V=acdot bcdot c=5cdot 10cdot 7=350text{ см}^3

Ответ

350 см3.350text{ см}^3.

Формула объема наклонного параллелепипеда

Объем наклонного параллелепипеда

V=Sосн⋅hV=S_{text{осн}}cdot h

SоснS_{text{осн}} — площадь основания наклонного параллелепипеда;
hh — его высота.

Задача 2

Вычислить объем наклонного параллелепипеда, если в его основании лежит прямоугольник со сторонами в 4 см.4text{ см.} и 5 см.5text{ см.}, а высота его равна 10 см.10text{ см.}

Решение

a=4a=4
b=5b=5
h=10h=10

Находим площадь основания, то есть площадь прямоугольника:

Sосн=a⋅b=4⋅5=20S_{text{осн}}=acdot b=4cdot 5=20

Сам объем равен:

V=Sосн⋅h=20⋅10=200 см3V=S_{text{осн}}cdot h=20cdot 10=200text{ см}^3

Ответ

200 см3.200text{ см}^3.

Формула объема параллелепипеда через определитель

Альтернативным способом нахождения объема параллелепипеда является вычисление смешанного произведения векторов, на которых построен данный параллелепипед.

Пусть параллелепипед построен на векторах a⃗vec{a}, b⃗vec{b} и c⃗vec{c} с координатами:

a⃗=(ax,ay,az)vec{a}=(a_x, a_y, a_z)
b⃗=(bx,by,bz)vec{b}=(b_x, b_y, b_z)
c⃗=(cx,cy,cz)vec{c}=(c_x, c_y, c_z),

тогда объем соответствующего параллелепипеда это определитель, составленный из этих координат:

Объем параллелепипеда как определитель

V=∣axayazbxbybzcxcycz∣V=begin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \
b_x & b_y & b_z \
c_x & c_y & c_z \
end{vmatrix}

Задача 3

Найти объем параллелепипеда через смешанное произведение векторов, координаты которых таковы: a⃗=(2,3,5)vec{a}=(2, 3, 5), b⃗=(1,4,4)vec{b}=(1, 4, 4), c⃗=(3,5,7)vec{c}=(3, 5, 7).

Решение

a⃗=(2,3,5)vec{a}=(2, 3, 5)
b⃗=(1,4,4)vec{b}=(1, 4, 4)
c⃗=(3,5,7)vec{c}=(3, 5, 7)

По формуле:

V=∣235144357∣=2⋅4⋅7+3⋅4⋅3+5⋅1⋅5−5⋅4⋅3−2⋅4⋅5−3⋅1⋅7=56+36+25−60−40−21=−4V=begin{vmatrix}
2 & 3 & 5 \
1 & 4 & 4 \
3 & 5 & 7 \
end{vmatrix}=2cdot4cdot7 + 3cdot4cdot3 + 5cdot1cdot5 — 5cdot4cdot3 — 2cdot4cdot5 — 3cdot1cdot7 = 56 + 36 + 25 — 60 — 40 — 21 = -4

Мы должны взять модуль этого числа, так как объем это неотрицательная величина:

V=4 см3V=4text{ см}^3

Ответ

4 см3.4text{ см}^3.

У вас не получается решить задачу по геометрии? Наши эксперты помогут вам!

Тест по теме «Объем параллелепипеда»

Как найти объем параллелепипеда

На данной странице калькулятор поможет рассчитать объем параллелепипеда онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину. Вычисления производятся в миллиметрах, сантиметрах, метрах. Результат выводится в кубических сантиметрах, литрах и кубических метров.

Прямоугольный параллелепипед – это многогранник, у которого все грани являются прямоугольниками.

На этом уроке мы поговорим о прямоугольном
параллелепипеде. Вспомним некоторые из его свойств. А затем подробно выведем
формулы для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда.

Ранее мы с вами уже познакомились с прямоугольным
параллелепипедом. Напомним, что параллелепипед называется прямоугольным,
если все его шесть граней прямоугольники.

Представление о форме прямоугольного
параллелепипеда дают спичечный коробок, коробка, холодильник и др.

Давайте представим себе, комнату, которая имеет
форму прямоугольного параллелепипеда.

Если говорить о её размерах, то обычно
употребляют слова «длина», «ширина» и «высота», имея в виду длины трех рёбер с
общей вершиной. В геометрии эти три величины объединяются общим названием: измерения
прямоугольного параллелепипеда.

На экране изображён прямоугольный
параллелепипед .
В качестве его измерений можно взять, например, длины рёбер ,
 и
,
все эти рёбра имеют общую вершину .
Тогда ребро  –
это есть длина данного параллелепипеда,  –
ширина и  –
его высота.

Прямоугольный параллелепипед обладает
следующими свойствами:

1)               
квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов
трёх его измерений.

2)               
объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его
измерений.

Итак, справедлива следующая теорема: объём
прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Докажем эту теорему. Пусть дан
прямоугольный параллелепипед .
Обозначим его измерения буквами ,
 и
,
а его объём буквой .

Докажем, что объём прямоугольного
параллелепипеда равен .

Возможны два случая:

Рассмотрим первый случай. Измерения ,
 и
 представляют
собой конечные десятичные дроби, у которых число знаков после запятой не
превосходит  ().

В этом случае числа ,
 и
 являются
целыми.

Разделим каждое ребро параллелепипеда на
равные части длины .
Затем через точки разбиения проведём плоскости, перпендикулярные к этому ребру.

Тогда наш параллелепипед  разобьётся
на равные кубы с длиной каждого ребра .
Общее же количество таких кубов будет равно .

Так как объём каждого такого куба равен ,
то объём всего параллелепипеда  будет равен .

Этим мы доказали, что объём прямоугольного
параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Что и требовалось доказать.

Перейдём ко второму случаю. Хотя бы одно из
измерений ,
 и
 представляет
собой бесконечную десятичную дробь.

Рассмотрим конечные десятичные дроби ,
,
,
которые получаются из чисел ,
,
,
если отбросить в каждом из них все цифры после запятой, начиная с -ой.

Заметим, что тогда справедливо неравенство ,
где .
Аналогичные неравенства будут выполняться и для чисел  и
:
,
,
где ,
.

Перемножим эти неравенства. Тогда видим, что .

Из неравенства понятно, что параллелепипед  содержит
в себе параллелепипед ,
а сам содержится в параллелепипеде .

А это говорит о том, что .

Теперь давайте будем неограниченно увеличивать
.
Тогда число  будет
становиться сколь угодно малым, и поэтому число  будет
сколь угодно мало отличаться от числа .

В итоге, они станут равны. Т.е. .
Что и требовалось доказать.

Из этой теоремы справедливы следующие следствия.

Первое следствие. Объём
прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство. Пусть грань с рёбрами
 и
 является основанием прямоугольного параллелепипеда. Тогда площадь
основания ,
а высота параллелепипеда .

Тогда можно заметить, что формулу для
вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда  можно
записать в виде ,
где  –
площадь основания,  –
высота прямоугольного параллелепипеда.

Таким образом, мы доказали, что объём
прямоугольного параллелепипеда равен .
Что и требовалось доказать.

Второе следствие. Объём прямой
призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен
произведению площади основания на высоту.

Доказательство. Для
доказательства этого утверждения достроим прямую треугольную призму с
основанием  ()
до прямоугольного параллелепипеда так, как показано на экране.

Учитывая первое следствие, объём этого
параллелепипеда равен ,
где  –
площадь основания ,
 –
высота призмы.

Плоскость  разбивает
параллелепипед на две равные прямые призмы, одна из которых – данная. Эти
призмы равны, так как имеют равные основания и равные высоты.

Следовательно, объём  данной
призмы равен ,
т.е. равен .
Что и требовалось доказать.

Замечание. Рассмотрим квадрат со
стороной а.

Исходя из теоремы Пифагора его диагональ равна
.
Поэтому площадь построенного на ней квадрата вдвое больше площади данного
квадрата. Таким образом, не составляет труда построить сторону квадрата,
площадь которого вдвое больше площади данного квадрата.

Рассмотрим теперь куб со стороной а.

Возникает вопрос: можно ли с помощью циркуля и
линейки построить сторону куба, объём которого вдвое больше объёма данного
куба, т.е. построить отрезок, равный ? 

Эта задача была сформулирована ещё в глубокой
древности. Она получила название «задача об удвоении куба». Лишь в 1837 году
французский математик Пьер Лоран Ванцель доказал, что такое построение
невозможно. Одновременно им была доказана неразрешимость ещё одной задачи на
построение – задачи о трисекции угла (произвольный данный угол разделить на три
равных угла).

Напомним, что к числу классических
неразрешимых задач на построение относится также задача о квадратуре круга
(построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга). Невозможность
такого построения была доказана в 1882 году немецким математиком Карлом Луизом
Фердинандом Линдеманом.

Задача: найдите объём прямоугольного
параллелепипеда с диагональю  см
и сторонами основания  см
и  см.

Решение: запишем формулу для
вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда через его измерения.

Из условия задачи нам известны длина, ширина и
диагональ прямоугольного параллелепипеда, но неизвестна его высота. Напомним,
что .

Выразим из этой формулы высоту  прямоугольного
параллелепипеда. Получим, что высота равна  и
равна  (см).

Подставим измерения нашего прямоугольного
параллелепипеда в формулу объёма. Посчитаем. Получим, что объем параллелепипеда
равен  (см³).

Не забудем записать ответ.

Задача:  прямоугольный
параллелепипед, основание  –
квадрат. Объем прямоугольного параллелепипеда равен  см³.
Определите высоту прямоугольного параллелепипеда, если  см.

Решение: на этом уроке мы
доказали, что объём прямоугольного параллелепипеда равен .
Выразим из формулы высоту. Отсюда, высота равна .
Так как в основании нашего прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат по
условию, то площадь основания равна  (см²).
По условию задачи, также известно, что объём прямоугольного параллелепипеда
равен .
Отсюда, высота равна  (см). Запишем ответ.

Итоги:

На этом уроке мы вспомнили понятие прямоугольного
параллелепипеда. Доказали, что объём прямоугольного параллелепипеда равен
произведению трёх его измерений. Доказали, что объём прямоугольного
параллелепипеда можно вычислить как произведение площади основания на высоту. А
также доказали, что объём прямой призмы, основанием которой является
прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

Онлайн калькулятор. Объем прямоугольного параллелепипеда

Используя этот онлайн калькулятор для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда, вы сможете очень просто и быстро найти объем прямоугольного параллелепипеда, зная значения его длины, ширины и высоты.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда, вы получите детальное решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденный материал.

Найти объем прямоугольного параллелепипеда

Введите данные:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, …). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.