Как с помощью котангенса найти синус

Тригонометрия — это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции, их свойства, взаимосвязи и применение.

Слово «тригонометрия» образовано от греческих слов «trigonom» (треугольник) и «metreo» (измерять).

Возникновение и развитие тригонометрии связаны с практическими потребностями в измерении и вычислении сначала элементов треугольников на местности, а позднее — в строительстве, мореплавании и астрономии. Современная тригонометрия широко применяется в разных областях математики, в частности в геометрии, других науках, в технике. Например, тригонометрические функции используются при решении задач оптики, задач кинематического анализа и синтеза механизмов, гармонического анализа и других.

Cинус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Нет понятий «просто синус» или «просто косинус», не имеют смысла записи типа «sin» и «cos» сами по себе, они сами по себе никакой величины не обозначают (точно так же, как и, например, значок квадратного корня сам по себе). Те, кто этого не понимает, часто делает грубую ошибку типа: sin x /cos x = in /co

Есть понятие синуса, косинуса, тангенса, котангенса как тригонометрических функций угла. Здесь угол — аргумент функции. Он может обозначаться «х», «а», «альфа», «бета», «гамма», «фи», «дельта» или ещё какой-нибудь буквой. Суть от этого не меняется.

Для того, чтобы более наглядно представить приведенные ниже определения, начертите прямоугольный треугольник. Это треугольник, один из углов которого — прямой (т.е. один из углов равен 90 градусов). Стороны, прилежащие к прямому углу (перпендикулярные друг другу стороны) — это катеты данного прямоугольного треугольника. Противолежащая прямому углу сторона — это гипотенуза.

Теперь выберите любой из двух других (острых) углов треугольника и обозначьте его, например, альфа. Один из катетов будет примыкать к вершине этого угла (и, собственно, образовывать этот угол вместе с гипотенузой). Это — прилежащий катет. Другой катет не примыкает к вершине этого угла, он находится как бы напротив данной вершины. Это — противолежащий катет.

Кстати, почему-то не все представляют, что такое угол треугольника при данной вершине. У треугольника (обозначим его ABC) есть три вершины: А, В и С. Когда говорят об угле А треугольника, то подразумевают угол, образованный сторонами ВА и АС. Это и есть угол при вершине А.

Итак,

Синусом острого угла называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.

Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего этому углу катета к противолежащему катету.

Секансом острого угла называется отношение гипотенузы к прилежащему к этому углу катету. Обозначается: sec x.

Косекансом острого угла называется отношение гипотенузы к противолежащему этому углу катету. Обозначается: cosec x.

Как найти углы в прямоугольном треугольнике, если известны стороны?

Дан треугольник АВС, угол С — прямой.

Стороны АВ, АС и ВС известны.

Т.к. угол С — прямой, он равен 90 градусам.

Другие углы можно найти, например, так:

если известен катет и гипотенуза

sinA = BC / AB,

sinB = AC / AB,

если известны два катета

tg A = BC / AC

tg B = AC / BC

Предположим, получили, что sin A = ½. По таблице смотрим, что такому значению sin x соответствует величина угла 30 градусов.

Или, к примеру, получили, что tg B = 1. Значит, угол В равен 45 градусов.

Или, к примеру, мы получили, что sin B = 0,259. По таблице Брадиса или с помощью калькулятора находим, что угол В равен 15 градусов.

sin 15° = 0,259

arcsin0,259 = 15°

Как найти углы в прямоугольном треугольнике, если известен один угол?

Поскольку треугольник прямоугольный, то один из его углов равен 90 градусов. Величина второго угла известна (по условию задачи, обозначим её альфа). В сумме углы треугольника составляют 180 градусов. Значит, третий угол равен 180—90—альфа.

Еединичная окружность (единичный круг)

Единичный круг — это круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице (R = 1).

Единичная окружность — это окружность единичного круга (т.е. окружность с центром в начале координат и с радиусом, равным единице).

Единичный радиус-вектор — это вектор, начало которого совпадает с началом координат, а его длина равна единице.

Углы отсчитывают от начального положения подвижного радиуса-вектора (совпадает с положением Ох).

Координатные четверти отсчитываются так:

                        y

                       |

                       |

(II четверть)   |   (I четверть)

                       |

________________________ x

                       |0

                       |

(III четверть)  |   (IV четверть)

                       |

                       |

Угол первой четверти — от 0 до 90 градусов (от 0 до пи/2).

Угол второй четверти — от 90 до 180 градусов (от пи/2 до пи).

Угол третьей четверти — от 180 до 270 градусов (от пи до 2пи/3).

Угол четвертой четверти — от 270 до 360 градусов (от 2пи/3 до 2пи).

Например:

  • углы первой четверти: 30 градусов, 85 градусов, пи/4;
  • углы второй четверти: 120 градусов, 178 градусов;
  • углы третьей четверти: 205 градусов, 260 градусов;
  • углы четвертой четверти: 272 градуса, 305 градусов.

Тригонометрические функции

К тригонометрическим функциям относятся функции:

y = sin x;

y = cos x;

y = tg x;

y = ctg x;

y = sec x;

y = cosec x.

Синусом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Оу к его длине.

Косинусом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Ох к его длине.

Тангенсом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Оу к его проекции на ось Ох.

Котангенсом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Ох к его проекции на ось Оу.

Секансом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение длины этого вектора к его проекции на ось Ох.

Косекансом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение длины этого вектора к его проекции на ось Оу.

Тригонометрические функции связаны между собой, и этим можно воспользоваться для нахождения синуса угла по его косинусу или котангенсу или косинуса угла по его синусу или тангенсу.

Как найти синус угла, если известен косинус?

Нужно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:

sin2a + cos2a = 1

sin2a = 1 − cos2a

|sin a| = КОРЕНЬ(1 − cos2a)

sin a = ± КОРЕНЬ(1 − cos2a)

знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, косинус положительный в I и IV четвертях)

Как найти косинус угла, если известен синус?

Нужно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:

sin2a + cos2a = 1

cos2a = 1 − sin2a

|cos a| = КОРЕНЬ(1 − sin2a)

cos a = ± КОРЕНЬ(1 − sin2a)

знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, косинус положительный в I и IV четвертях)

Как найти синус угла, если известен котангенс?

Нужно воспользоваться тригонометрическим тождеством

1 + ctg2 a = 1/sin2 a

sin2 a = 1 / (1 + ctg2 a)

|sin a| = 1/ КОРЕНЬ(1 + ctg2 a)

sin a = ±1/ КОРЕНЬ(1 + ctg2 a)

знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, котангенс положительный в I и III четвертях)

Как найти косинус угла, если известен тангенс?

Нужно воспользоваться тригонометрическим тождеством

1 + tg2 a = 1/cos2 a

cos2 a = 1 / (1 + tg2 a)

|cos a| = 1/ КОРЕНЬ(1 + tg2 a)

cos a = ±1/ КОРЕНЬ(1 + tg2 a)

знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (косинус положительный в I и IV четвертях, тангенс положительный в I и III четвертях)

Тригонометрическое тождество

Тригонометрическим тождеством называется равенство, в которое входят тригонометрические функции и которое удовлетворяется произвольным допустимым значением угла — аргумента тригонометрических функций, но не удовлетворяется, если каждую в отдельности тригонометрическую функцию заменить произвольной величиной.

Основные тригонометрические тождества:

sin2a + cos2a = 1

tg a = sin a / cos a

ctg a = cos a / sin a

sec a = 1 / cos a

cosec a = 1 / sin a

Arcsin, arcos, arctg, arcctg (обратные тригонометрические функции)

  • arcsin — читается: арксинус;
  • arcos — читается: арккосинус;
  • arctg — читается: арктангенс;
  • arcctg — читается: арккотангенс.

arcsin, arcos, arctg, arcctg — это обратные тригонометрические функции.

Обратной тригонометрической функцией y = arcsin x называют угол у, взятый на отрезке от –пи/2 до +пи/2, синус которого равен х:

y = arcsin x sin y = x

Обратной тригонометрической функцией y = arccos x называют угол у, взятый на отрезке от –пи до +пи, косинус которого равен х:

y = arccos x cos y = x

Обратной тригонометрической функцией y = arctg x называют угол у, взятый на промежутке от –пи/2 до +пи/2 (исключая концы), тангенс которого равен х:

y = arctg x tg y = x

Обратной тригонометрической функцией y = arcctg x называют угол у, взятый на промежутке от 0 до пи (исключая концы), котангенс которого равен х:

y = arctg x tg y = x

Например,

sin 30° = 0,5

arcsin0,5 = 30°

Синусоида и косинусоида

График функции y = sin x называется синусоидой.

График функции y = cos x называется косинусоидой.

Источники информации:

  • Справочник по элементарной математике. Геометрия, тригонометрия, векторная алгебра. Под редакцией П.Ф. Фильчакова. —К.: Наукова думка, 1967. — 442 с.
  • В.Д. Гетманцев, О.Ф. Саушкiн. Математика: Тригонометрiя: Посiбник для слухачiв пiдотовчих вiддiлень, вступникiв до вищих навчальних закладiв, студентiв педагогiчних iнститутiв (на укр.). —К.: Либiдь, 1994. — 144 с.
  • docme.ru — зачем нужна тригонометрия?
  • ru.wikipedia.org — Википедия — тригонометрия;
  • ru.wikihow.com — как изучать тригонометрию?

Прошу, очень надо!! Как найти синус, косинус и тангенс, если известен только котангенс??…

1 Ответ






оставил комментарий

11 Май, 18


от
15Anastasia15_zn
Начинающий

(359 баллов)








оставил комментарий

11 Май, 18


от
bayd_zn
Отличник

(7.5k баллов)








оставил комментарий

11 Май, 18


от
15Anastasia15_zn
Начинающий

(359 баллов)








оставил комментарий

11 Май, 18


от
15Anastasia15_zn
Начинающий

(359 баллов)








оставил комментарий

11 Май, 18


от
bayd_zn
Отличник

(7.5k баллов)








оставил комментарий

11 Май, 18


от
bayd_zn
Отличник

(7.5k баллов)








оставил комментарий

11 Май, 18


от
15Anastasia15_zn
Начинающий

(359 баллов)








оставил комментарий

11 Май, 18


от
bayd_zn
Отличник

(7.5k баллов)








оставил комментарий

11 Май, 18


от
15Anastasia15_zn
Начинающий

(359 баллов)








оставил комментарий

11 Май, 18


от
bayd_zn
Отличник

(7.5k баллов)



Как найти синус, если известен тангенс?

Как найти косинус, если известен тангенс?

довольно часто при решении уравнений и упрощении тригонометрических выражений требуется найти синус или косинус через тангенс.

Для этого существуют специальные формулы. Итак, для нахождения косинуса нужно извлечь квадратный корень из дроби в числителе которой единица, а в знаменателе выражение единица плюс тангенс в квадрате.

А вот для того, чтобы найти синус нужно извлечь квадратный корень из выражения один минус дробь

в числителе которой единица, а в знаменателе выражение единица плюс тангенс в квадрате.

Но нужно обратить на знак синуса и косинуса, в зависимости от того в какой четверти находится угол. И если синус находим, то в 3 и 4 четвертях он будет отрицателен, а если косинус, то во второй и третьей.

система выбрала этот ответ лучшим

Ксарф­акс
[156K]

4 года назад 

Косинус через тангенс

Для того, чтобы найти значение косинуса по известному тангенсу, нужно воспользоваться одним из тригонометрических тождеств.

Сумма квадрата тангенса и единицы равна отношению единицы и квадрата косинуса.

Отсюда можно выразить косинус:

Наличие знака ± связано с тем, что в одних четвертях косинус угла может быть положительным, а в других — отрицательным.

То есть в условии задачи должна оговариваться четверть, в которой находится угол.

**

Пример.

tgα = 1/√3, α находится в 1 четверти (0 < α < 90).

Найдём косинус: cosα = √ ( 1 / (1 + 1/3)) = √ ( 1 / (4/3)) = √ (3/4) = √3/2.

Итак, если тангенс равен 1/√3, то косинус равен √3/2.

Нетрудно догадаться, что мы имели дело с углом 30°.


Синус через тангенс

Здесь также понадобятся тригонометрические тождества.

Можно пойти двумя путями:

1) Выразить котангенс через тангенс и найти синус по котангенсу.

2) Найти косинус по тангенсу, а затем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством.

**

Пример.

tgα = √3, α находится в 1 четверти (0 < α < 90).

Найдём котангенс: ctga = 1 / tgα = 1 / √3.

Теперь найдём синус: sina = √ ( 1 / (1 + 1/3)) = √ ( 1 / (4/3)) = √ (3/4) = √3/2.

Или:

cosa = √ ( 1 / (1 + 3)) = √ (1/4) = 1/2.

sina = √ (1 — 1/4) = √ (3/4) = √3/2.

Таким образом, если тангенс равен √3, то синус равен √3/2.

Здесь также понятно, что это угол 60°.

Серге­йНико­лаев
[128K]

5 месяцев назад 

Для этого существуют вполне определённые математические тригонометрические формулы. Например, косинус любого угла можно найти, зная его тангенс, исходя из соотношения что он равен корню квадратному из дроби, в числителе которой будет единица, а в знаменателе квадрат тангенса плюс единица. Только надо учитывать момент, что он может быть положительным и отрицательным.

Зная косинус, несложно вычислить и синус любого угла, если вспомнить, что сумма их квадратов всегда равна единице. Также можно найти котангенс этого угла, разделив 1 на тангенс, а дальше воспользоваться аналогичной приведённой в первом абзаце формулой для синуса и котангенса.

Optor­ius
[13.8K]

6 месяцев назад 

Синус и косинус через тангенс можно найти:

1 — По таблице значений тригонометрических функций некоторых углов.

2 — Через вычисления по формулам тригонометрических тождеств. Сначала находим косинус, затем по нему синус.

3 — Через универсальные тригонометрические подстановки (полуугловые подстановки). Такой способ обычно используют при вычислении интегралов, он дает приближенный результат.

Для примера:

Возьмем tg = √3. По таблице sin = √3/2 ≈ 0,866. По второму способу sin = √(1-1/4) ≈ 0,866. По третьему способу sin = √3/(7/4) ≈ 0,9897.

Дмитр­ий Подко­паев
[95]

3 года назад 

Приведу на всякий случай, на мой взгляд, наиболее общий способ нахождения синуса и косинуса по тангенсу. Как говорится определил знак подставил в выражение и получил ответ.

В алгебре и геометрии очень часто при решении задач используются тригонометрические формулы, которые чаще называют тригонометрическими тождествами. Из любого тригонометрического тождества несложно вывести новую формулу, необходимую для нахождения одной из величин, входящих в его состав.

****************­*****************­*****************­*****************­*****

Для того, чтобы найти косинус угла, зная его тангенс, возьмем тригонометрическое тождество:

фото из интернета

.

Из данного тождества выводим новую формулу для вычисления косинуса:

фото из интернета

Не забываем, что косинус может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от четверти нахождения угла.

****************­*****************­*****************­*****************­*****

Для вычисления синуса угла через его тангенс можно действовать по-разному.

Например, вычислить по выведенной выше формуле косинус угла, а затем воспользоваться еще одним тригонометрическим тождеством и вывести из него формулу для вычисления синуса угла:

фото из интернета

Алиса в Стран­е
[364K]

3 года назад 

В тригонометрических тождествах нет, конечно, ничего сложного, вот только запомнить их все так, чтобы не пользоваться справочными материалами, обычному человеку достаточно трудно, поэтому всегда приходится где-то искать эти формулы. Вот одна из них:

Из нее то мы и будем получать формулу для выполнения задания из вопроса, а именно — нахождения косинуса через тангенс, проведя несложные преобразования, получим:

Как видите, действительно все очень просто.

Теперь, найдя косинус, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, преобразуем его, чтобы найти синус через уже найденный косинус, формула такая:

RIOLI­t
[176K]

5 лет назад 

конечно тангенс угла- это отношение синуса этого угла к косинусу того же угла- условно- а/б= с и а= с*в, в= а/с, сразу видно, что, кроме с, что- нибудь еще должно быть дано иначе не расколоть задачку, разве с будет равно 1 или еще какому замечательному значению, позволяющему определить величину угла угла.

Krust­all
[125K]

8 месяцев назад 

Синус, косинус и тангенс являются тригонометрическими функциями. Исторически они возникли как отношения между сторонами прямоугольного треугольника, поэтому их удобнее вычислять через прямоугольный треугольник. Однако через него могут быть выражены только тригонометрические функции острых углов. Для тупых углов вам нужно будет вставить окружность.

Иногда, необходимо найти синус или косинус через тангенс. Для этого существуют специальные формулы. Итак, чтобы найти косинус, нужно извлечь квадратный корень из дроби, в числителе которой единица, а в знаменателе выражение единица плюс тангенс к квадрату.

Но чтобы найти синус, нужно извлечь квадратный корень из выражения один минус дробь в числителе которого единица, а в знаменателе выражение равно единице плюс касательная к квадрату.

Но нужно обращать внимание на знак синуса и косинуса в зависимости от того, в какой четверти находится угол. И если мы найдем синус, то в 3-й и 4-й четвертях он будет отрицательным, а если косинус — во 2 и 3.

Если говорить о тангенсе угла, то является отношением синуса по отношению к косинусу. Так, следует воспользоваться тригонометрическим тождеством. Согласно ему выводится формула, которую используем для того, чтобы вычислить косинус.

Вы можете вычислить по формуле, а также воспользуюсь еще 1 тригонометрическим тождеством, выведя формула вычислить:

Лара Изюми­нка
[59.9K]

2 года назад 

Итак , чтобы найти синус нужно взять корень из выражения 1 деленное на 1 плюс тангенс в квадрате.

Далее по основному тригонометрическому тождесьву можно найти косинус. Для этого нужно извлечь квадратный корень их 1 минус только что найденнный синус в квадрате.

sin=sqrt(1/(1+((1/tg)**2)))

cos=sqrt(1/(1+((1/ctg)**2)))

Знаете ответ?

Смотрите также:

Что такое тангенс, катангенс, синус, косинус, секанс, касеканс?

Как найти тангенс, если известен косинус и синус?

Как выучить значения косинусов, синусов, тангенсов?

Какова этимология слов «тангенс, котангенс, синус, косинус, тон»?

А вам в жизни когда нибудь приходились столкнуться с косинусами, синусами?

Как легко запомнить тригонометрический круг (единичную окружность)?

Как узнать синус угла в треугольнике если известны синусы остальных углов?

Определите знак выражения и как вы нашли?

Sin имеет много рациональных значений, а в таблицах мало, почему (см.)?

Для чего и где нужны математические Sin и Cos?

y=3x-3

k=3

m= -3

часто коэффициент b также называют коэффициентом m

Ответ:

-3а³ + а²

Объяснение:

1) Раскрываем скобки, выполнив умножение на -а :

-3а² × а — а × (-а)

2) вычисляем :

-3а³ + а²

Прямые параллельны, значит коэффициенты при х (тангенс угла между прямой и положительным направлением оси Ох) равны.
k=3
Варианты Б и Г отбрасываем
осталось проверить точку А(0;4):
просто подставляем в оставшиеся уравнения прямых
А) 4= 3*0-4
4= -4 не подходит
Остаётся вариант В)
4=3*0+4
4=4
Тождество верное, следовательно<span> уравнение прямой, которая параллельна прямой у=3х-2 и пересекает ось Оу в точке А(0,4) под буквой В)</span>

Вот, надеюсь всё понятно…

(корень из 6 — 2,5) — отрицательное число, значит  7-6х>0   6x<7     x<7/6

Тригонометрические функции любого угла и определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса:

Отметим на оси х справа от начала координат точку А и проведем через нее окружность с центром в точке О (рис. 64). Радиус OA будем называть начальным радиусом.

Повернем начальный радиус около точки О на 70° против часовой стрелки. При этом он перейдет в радиус ОВ. Говорят, что угол поворота равен 70°. Если повернуть начальный радиус около точки О на 70° по часовой стрелке, то он перейдет в радиус ОС. В этом случае говорят, что угол поворота равен —70°. Углы поворота в 70° и —70° показаны стрелками на рисунке 64.

Тригонометрические выражения

Вообще при повороте против часовой стрелки угол поворота считают положительным, а при повороте по часовой стрелке — отрицательным.

Из курса геометрии известно, что мера угла в градусах выражается числом от 0 до 180. Что касается угла поворота, то он может выражаться в градусах каким угодно действительным числом от Тригонометрические выражения Так, если начальный

Тригонометрические выражения

радиус повернуть против часовой стрелки на 180°, а потом еще на 30°, то угол поворота будет равен 210°. Если начальный радиус сделает полный оборот против часовой стрелки, то угол поворота будет равен 360°; если он сделает полтора оборота в том же направлении, то угол поворота будет равен 540° и т. д. На рисунке 65 стрелками показаны углы поворота в 405° и -200°.

Рассмотрим радиусы OA и ОВ (рис. 66). Существует бесконечно много углов поворота, при которых начальный радиус OA переходит в радиус ОВ. Так, если Тригонометрические выражения то соответствующие углы поворота будут равны 130° + 360°n, где n — любое целое число. Например, при n = 0, 1, —1, 2, —2 получаем углы поворота 130°, 490°, —230°, 850°, —590°.

Пусть при повороте на угол а начальный радиус OA переходит в радиус ОВ. В зависимости от того, в какой координатной четверти окажется радиус ОВ, угол а называют углом этой четверти. Так, если 0° < а < 90°, то а — угол I четверти; если 90° < а <180°, то а — угол II четверти; если 180° < а < 270°, то а — угол III четверти; если 270° < а < 360°, то а — угол IV четверти. Очевидно, что при прибавлении к углу целого числа оборотов получается угол той же четверти. Например, угол в 430° является углом I четверти, так как 430° = 360°+ 70° и 0°<70°<90°; угол в 920° является углом III четверти, так как Тригонометрические выражения200° < 270°.

Углы Тригонометрические выражения не относятся ни к какой четверти.

В курсе геометрии были определены синус, косинус и тангенс угла а при Тригонометрические выражения Теперь мы распространим эти определения на случай произвольного угла а. Кроме того, определим еще котангенс угла а, который обозначают ctg а.

Пусть при повороте около точки О на угол а начальный радиус OA переходит в радиус ОВ (рис. 67).

Тригонометрические выражения

Синусом угла а называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.

Косинусом утла а называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.

Тангенсом угла а называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.

Котангенсом угла а называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.

Если координаты точки В равны х и у, а длина начального радиуса равна R, то

Тригонометрические выражения

В курсе геометрии было показано, что значения синуса, косинуса и тангенса угла а, где Тригонометрические выражения зависят только от а и не зависят от длины радиуса R. И в общем случае sin а, cos a, tg а, а также ctg а зависят только от угла а.

Покажем, например, что sin а не зависит от R.

Пусть при повороте луча Тригонометрические выражения около точки О на угол а (рис. 68) радиусы Тригонометрические выражения займут положения Тригонометрические выраженияОбозначим координаты точки Тригонометрические выражения а координаты точки Тригонометрические выражения

Опустим перпендикуляры из точек Тригонометрические выраженияна ось х. Прямоугольные треугольники Тригонометрические выражения подобны. Отсюда

Тригонометрические выражения

Так как точки Тригонометрические выражения принадлежат одной и той же координатной четверти, то их ординаты Тригонометрические выражения имеют одинаковые знаки. Поэтому Тригонометрические выражения

Заметим, что это равенство верно и в том случае, когда точки Тригонометрические выражения попадают на одну из осей координат. Таким образом, для любого угла а отношение Тригонометрические выражения не зависит от длины радиуса R.

Выражения sin а и cos а определены при любом а, так как для любого угла поворота можно найти соответствующие значения дробей Тригонометрические выражения Выражение tg а имеет смысл при любом а, кроме углов поворота Тригонометрические выражения так как для этих углов не имеет смысла дробь Тригонометрические выражения Для выражения ctg а исключаются углы 0°, ±180°, ±360°, для которых не имеет смысла дробь Тригонометрические выражения

Каждому допустимому значению а соответствует единственное значение sin a, cos а, tg а и ctg а. Поэтому синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями угла а. Их называют тригонометрическими функциями.

Можно доказать, что областью значений синуса и косинуса является промежуток [—1; 1], а областью значений тангенса и котангенса — множество всех действительных чисел.

Приведем примеры вычисления значений тригонометрических функций.

Пример:

Найдем с помощью чертежа приближенные значения sin 110°, cos 110°, tg 110° и ctg 110°.

Начертим окружность с центром в начале координат и радиусом OA = R = 3 (рис. 69). Повернем радиус OA на 110°. Получим радиус ОВ. Найдем по рисунку координаты х и у точки В: Тригонометрические выражения Отсюда

Тригонометрические выражения
Тригонометрические выражения
Тригонометрические выражения

В таблице приведены известные из курса геометрии значения синуса, косинуса и тангенса углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90°. Прочерк сделан в том случае, когда выражение не имеет смысла.

Тригонометрические выражения

Значения котангенса могут быть получены из значений тангенса, так как котангенс угла является числом, обратным тангенсу этого же угла. Поэтому, например,

Тригонометрические выражения

Пример:

Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс углов 180° и 270°.

При повороте на 180° около точки О радиус OA, равный 1, (рис. 70) переходит в радиус ОВ, а при повороте на 270° — в радиус ОС.

Тригонометрические выражения

Так как точка В имеет координаты х = — 1 и у = 0, то

Тригонометрические выражения

Так как точка С имеет координаты х = 0 и у = —1, то

Тригонометрические выражения

Напомним, что выражения ctg 180° и tg 270° не имеют смысла.

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Рассмотрим некоторые свойства тригонометрических функций.

Выясним сначала, какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей.

Пусть при повороте радиуса OA, равного R, на угол а точка А перешла в точку В с координатами х и у (см. рис. 67).

Так как Тригонометрические выражения то знак sin а зависит от знака у.

В I и II четвертях у > 0, а в III и IV четвертях у < 0. Значит, sin a > 0, если а является углом I или II четверти, и sin a < 0, если а является углом III или IV четверти.

Знак cos а зависит от знака х, так как Тригонометрические выражения В I и IV четвертях х > 0, а во II и III четвертях х < 0. Поэтому cos a > 0, если а является углом I или IV четверти, и cos a<0, если a является углом II или III четверти.

Так как Тригонометрические выражения то знаки tg а и ctg а зависят от знаков х и у. В I и III четвертях хну имеют одинаковые знаки, а во II и IV — разные. Значит, tg a > 0 и ctg a > 0, если а является углом I или III четверти; tg a < 0 и ctg a < 0, если а является углом II или IV четверти.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в каждой из четвертей показаны на рисунке 73.

Тригонометрические выражения

Выясним теперь вопрос о четности и нечетности тригонометрических функций.

Пусть при повороте на угол а радиус OA переходит в радиус ОВ, а при повороте на угол — а в радиус ОС х (рис. 74). Соединив отрезком точки В и С, получим равнобедренный треугольник ВОС. Луч OA является биссектрисой угла ВОС. Значит, отрезок ОК является медианой и высотой треугольника ВОС. Отсюда следует, что точки В и С симметричны относительно оси абсцисс.

Тригонометрические выражения

Пусть координаты точки В равны х и у, тогда координаты точки С равны х и -у. Пользуясь этим, найдем, что

Тригонометрические выражения

Мы получили формулы, выражающие зависимость между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов:

Тригонометрические выражения

Например:

Тригонометрические выражения

Итак, синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, а косинус является четной функцией.

Рассмотрим еще одно свойство тригонометрических функций.

Если при повороте радиуса OA на угол а получен радиус ОВ (см. рис. 67), то тот же радиус получится и при повороте OA на угол, отличающийся от а на целое число оборотов. Отсюда следует, что при изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются.

Например:

Тригонометрические выражения

Рассмотренные свойства позволяют свести нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к нахождению их значений для неотрицательного угла, меньшего 360°.

Пример:

Найдем sin 765° и cos ( — 1170°). Имеем:

Тригонометрические выражения

Радианная мера угла. Вычисление значении тригонометрических функции с помощью микрокалькулятора

Как известно, углы измеряются в градусах, минутах, секундах. Эти единицы измерения связаны между собой соотношениями

Тригонометрические выражения

Кроме указанных, используется также единица измерения углов, называемая радианом.

Углом в один радиан называют центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

Угол, равный 1 рад, изображен на рисунке 75.

Тригонометрические выражения

Радианная мера угла, т. е. величина угла, выраженная в радианах, не зависит О А от длины радиуса. Это следует из того, что фигуры, ограниченные углом и дугой окружности с центром в вершине этого угла, подобны между собой (рис. 76).

Установим связь между радиан-ным и градусным измерениями углов.

Углу, равному 180°, соответствует полуокружность, т. е. дуга, длина l которой равна Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Чтобы найти радианную меру этого угла, надо длину дуги l разделить на длину радиуса R. Получим:

Тригонометрические выражения

Следовательно, радианная мера угла в 180° равна Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Отсюда получаем, что радианная мера угла в 1° равна Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Приближенно 1° равен 0,017 рад.

Из равенства Тригонометрические выражения рад также следует, что градусная мера угла в 1 рад равна Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Приближенно 1 рад равен 57°.

Рассмотрим примеры перехода от радианной меры к градусной и от градусной меры к радианной.

Пример:

Выразим в градусах 4,5 рад.

Так как Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Пример:

Найдем радианную меру угла в 72°.

Так как Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

При записи радианной меры угла обозначение «рад» часто опускают. Например, вместо равенства Тригонометрические выражения рад обычно пишут:

Тригонометрические выражения

Выразим в радианной мере углы 30°, 45°, 60°, 90°, 270° и 360°. Получим:

Тригонометрические выражения

Радианная мера угла часто используется в тригонометрических выражениях. Так, запись sirfl означает синус угла в 1 радиан, запись sin ( — 2,5) означает синус угла в —2,5 радиана, запись Тригонометрические выраженияозначает синус угла в Тригонометрические выражения радиан. Вообще запись sin х, где х — произвольное действительное число, означает синус угла, равного х радианам.

Значения тригонометрических функций для углов, выраженных как в градусах, так и в радианах, можно находить, используя микрокалькулятор. Так, с помощью микрокалькулятора «Электроника БЗ-З6» значения синуса, косинуса и тангенса вычисляют следующим образом. Переводят переключатель «ГРАД — РАД», находящийся в нижней части корпуса, в положение «ГРАД», если угол задан в градусах, или в положение «РАД», если угол задан в радианах. Вводят угол, нажимают клавишу Тригонометрические выражения а затем клавишу, над которой написано название соответствующей функции.

Пример:

Найдем с помощью микрокалькулятора значение выражения с точностью до 0,001:

Тригонометрические выражения

а) Установим переключатель в положение «ГРАД», затем выразим 28°17′ в градусах и нажмем «последовательно клавиши Тригонометрические выражения Так как Тригонометрические выражения то программа вычислений выглядит так:

Тригонометрические выражения

Получаем, что Тригонометрические выражения

б) Устанавливаем переключатель в положение «РАД» и находим значение cos 3,9 по программе:

Тригонометрические выражения

Получаем, что cos Тригонометрические выражения

в) Переключатель устанавливаем в положение «РАД». При нахождении значения выражения Тригонометрические выражения воспользуемся тем, что на панели микрокалькулятора «Электроника БЗ-З6» имеется специальная клавиша Тригонометрические выражения при нажатии которой высвечивается число 3,1415926 — приближенное значение числа Тригонометрические выражения с точностью до Тригонометрические выражения Вычисления проводим по программе:

Тригонометрические выражения

Получаем, что Тригонометрические выражения

Отметим, что для вычисления котангенса угла надо сначала найти значение тангенса этого угла, а потом обратное число, нажав клавиши Тригонометрические выражения

Основные тригонометрические формулы

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла:

Рассмотрим, как связаны между собой синус и косинус одного и того же угла.

Пусть при повороте радиуса OA вокруг точки О на угол а получен радиус ОВ (рис. 77). По определению

Тригонометрические выражения

где х — абсцисса точки В, у — ее ордината, a R — длина радиуса OA. Отсюда

Тригонометрические выражения

Так как точка В принадлежит окружности с центром в начале координат, радиус которой равен R, то ее координаты удовлетворяют уравнению

Тригонометрические выражения

Подставив в это уравнение вместо х и у выражения R cos а и R sin а, получим:

Тригонометрические выражения

Разделив обе части последнего равенства на Тригонометрические выражения найдем, что

Тригонометрические выражения

Равенство (1) верно при любых значениях а. Выясним теперь, как связаны между собой тангенс, синус и косинус одного и того же угла.

По определению Тригонометрические выражения Так как y = R sin a, x = R cos a,

Тригонометрические выражения

Таким образом,

Тригонометрические выражения

Аналогично

Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Равенство (2) верно при всех значениях а, при которых cos Тригонометрические выражения, а равенство (3) верно при всех значениях а, при которых sin Тригонометрические выражения

С помощью формул (1) — (3) можно получить другие формулы, выражающие соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Из равенств (2) и (3) получим:

Тригонометрические выражения

Равенство (4) показывает, как связаны между собой тангенс и котангенс угла а. Оно верно при всех значениях а, при которых tg а и ctg а имеют смысл.

Заметим, что формулу (4) можно получить и непосредственно из определения тангенса и котангенса.

Выведем теперь формулы, выражающие соотношения между тангенсом и косинусом, а также между котангенсом и синусом одного и того же угла.

Разделив обе части равенства (1) на Тригонометрические выражения получим:

Тригонометрические выражения

Если обе части равенства (1) разделить на Тригонометрические выражения то будем иметь:

Тригонометрические выражения

т. е.

Равенство (5) верно, когда cos Тригонометрические выражения а равенство (6), когда sin Тригонометрические выражения

Равенства (1) — (6) являются тождествами. Их называют основными тригонометрическими тождествами. Рассмотрим примеры использования этих тождеств для нахождения значений тригонометрических функций по известному значению одной из них.

Пример:

Найдем cos a, tg а и ctg а, если известно, что sinТригонометрические выражения

Найдем сначала cos а. Из формулы Тригонометрические выраженияполучаем, что Тригонометрические выражения

Так как а является углом II четверти, то его косинус отрицателен. Значит,

Тригонометрические выражения

Зная синус и косинус угла а, можно найти его тангенс:

Тригонометрические выражения

Для отыскания котангенса угла а удобно воспользоваться формулой tg a • ctg a = 1. Имеем:

Тригонометрические выражения

Пример:

Известно, что Тригонометрические выражения Найдем sin a, cos a и ctg a.

Воспользовавшись формулой Тригонометрические выражения найдем cos a. Имеем:

Тригонометрические выражения

По условию угол a является углом I четверти, поэтому его косинус положителен. Значит,

Тригонометрические выражения

Зная cos а и tg а, можно найти sin а. Из формулы Тригонометрические выражения получим:

Тригонометрические выражения

По известному tg а легко найти ctga:

Тригонометрические выражения

Итак,

Тригонометрические выражения

Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражении

Мы уже встречались с некоторыми простейшими преобразованиями тригонометрических выражений. Рассмотрим более сложные примеры.

Пример:

Упростим выражение Тригонометрические выражения

Воспользовавшись формулами Тригонометрические выраженияТригонометрические выражения получим:

Тригонометрические выражения

Пример:

Упростим выражение Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Пример:

Докажем тождество

Тригонометрические выражения

Преобразуем левую часть данного равенства:

Тригонометрические выражения

Мы получили выражение, стоящее в правой части равенства. Таким образом, тождество доказано.

Формулы приведения

Тригонометрические функции углов вида Тригонометрические выражения Тригонометрические выражения могут быть выражены через функции угла а с помощью формул, которые называют формулами приведения.

Выведем сначала формулы приведения для синуса и косинуса.

Докажем, что для любого а

Тригонометрические выражения

Повернем радиус OA, длина которого равна R, на угол а и на угол Тригонометрические выражения При этом радиус OA перейдет соответственно в радиусы ОВ1 и ОВ2 (рис. 78).

Тригонометрические выражения

Опустим из точки В1 перпендикуляры Тригонометрические выражения на оси координат. Получим прямоугольник Тригонометрические выражения

Повернем прямоугольник Тригонометрические выражения около точки О на угол Тригонометрические выражения Тогда точка В1 перейдет в точку В2, точка С1 перейдет в точку С2 на оси у, точка D1 — в точку D2 на оси х, а прямоугольник Тригонометрические выражения перейдет в равный ему прямоугольник Тригонометрические выражения

Отсюда следует, что ордината точки В2 равна абсциссе точки В1, а абсцисса точки В2 равна числу, противоположному ординате точки В1. Обозначим координаты точки B1 через Тригонометрические выражения а координаты точки В2 через Тригонометрические выражения Тогда

Тригонометрические выражения

Значит,

Тригонометрические выражения

Из формул (1) следует, что

Тригонометрические выражения

Действительно, представим разность Тригонометрические выражения в виде суммы Тригонометрические выражения Тогда

Тригонометрические выражения

Формулы приведения для синуса и косинуса угла Тригонометрические выражения выглядят так:

Тригонометрические выражения

Для доказательства достаточно представить Тригонометрические выражения в виде Тригонометрические выражения и дважды воспользоваться формулами (1). Например :

Тригонометрические выражения

Заметим, что к формулам (2) легко прийти и из геометрических соображений (рис. 79). При повороте радиуса OA на угол а и на угол Тригонометрические выражения точка А перейдет соответственно в точки В1 и В2, которые симметричны относительно начала координат. Абсциссы, а также ординаты симметричных относительно

Тригонометрические выражения

начала координат точек равны по модулю и противоположны по знаку. Отсюда следует, что Тригонометрические выражения а также Тригонометрические выражения — противоположные числа.

Из формул (2) следует, что

Тригонометрические выражения

Для доказательства достаточно представить Тригонометрические выражения в виде суммы Тригонометрические выражения и применить формулы (2).

Формулы приведения для синуса и косинуса угла Тригонометрические выражения имеют вид:

Тригонометрические выражения

Чтобы доказать формулы (3), достаточно представить Тригонометрические выражения и применить последовательно формулы (1) и (2).

Из формул (3) нетрудно получить, что

Тригонометрические выражения

Наконец, формулы приведения для синуса и косинуса угла Тригонометрические выражения следуют из того, что при изменении угла на целое число оборотов значения синуса и косинуса не изменяются:

Тригонометрические выражения

Справедливы также формулы

Тригонометрические выражения

Например, для Тригонометрические выражения

Формулы приведения для тангенса и котангенса можно получить с помощью формул приведения для синуса и косинуса. Например:

Тригонометрические выражения

Все формулы приведения сведем в две таблицы, поместив в первой из них формулы для углов Тригонометрические выражения а во второй — для углов Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Цо таблицам легко проследить закономерности, имеющие место для формул приведения. Эти закономерности позволяют сформулировать правило, с помощью которого можно записать любую формулу приведения, не прибегая к таблице:

Функция в правой части равенства берется с тем же знаком, какой имеет исходная функция, если считать, что угол а является углом 1 четверти;

для углов Тригонометрические выражения название исходной функции сохраняется; для углов Тригонометрические выражения название исходной функции заменяется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).

Пример:

Выразим Тригонометрические выражения через тригонометрическую функцию угла а.

Если считать, что a — угол I четверти, то Тригонометрические выражения будет углом II четверти. Во II четверти тангенс отрицателен, значит, в правой части равенства следует поставить знак «минус». Для угла Тригонометрические выраженияназвание исходной функции «тангенс» сохраняется. Поэтому

Тригонометрические выражения

С помощью формул приведения нахождение значений тригонометрических функций любого угла можно свести к нахождению значений тригонометрических функций угла от Тригонометрические выражения.

Пример:

Найдем значение Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Пример:

Найдем значение sin (— 585°).

Тригонометрические выражения

Формулы сложения и их следствия

Выведем формулы, выражающие тригонометрические функции суммы и разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.

Повернем радиус OA, равный R, около точки О на угол а и на угол Тригонометрические выражения(рис. 80). Получим радиусы ОВ и ОС.

Найдем скалярное произведение векторов Тригонометрические выражения Пусть координаты точки В равны Тригонометрические выражения координаты точки С равны Тригонометрические выражения Эти же координаты имеют соответственно и векторы Тригонометрические выражения По определению скалярного произведения векторов:

Тригонометрические выражения

Выразим скалярное произведение Тригонометрические выражения через тригонометрические функции углов а и Тригонометрические выражения. Из определения косинуса и синуса следует, что

Тригонометрические выражения

Подставив значения Тригонометрические выражения в правую часть равенства Тригонометрические выражения получим:

Тригонометрические выражения

С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторов имеем:

Тригонометрические выражения

Угол ВОС между векторами Тригонометрические выражения может быть равен а — Тригонометрические выражения (см. рис. 80), Тригонометрические выражения (рис. 81) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos Тригонометрические выражения Поэтому

Тригонометрические выражения

Так как Тригонометрические выражения равно также Тригонометрические выражения то

Тригонометрические выражения

Формулу (1) называют формулой косинуса разности.

Косинус разности двух углов равен произведению косинусов этих углов плюс произведение синусов этих углов.

С помощью формулы (1) легко получить формулу косинуса суммы:

Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения

Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов этих углов минус произведение синусов этих углов.

Выведем теперь формулы синуса суммы и синуса разности. Используя формулы приведения и формулу (1), получим:

Тригонометрические выражения

Синус суммы двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс произведение косинуса первого угла на синус второго.

Для синуса разности имеем:

Тригонометрические выражения

Синус разности двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго минус произведение косинуса первого угла на синус второго.

Формулы (1) — (4) называют формулами сложения для синуса и косинуса.

Приведем примеры использования формул сложения.

Пример:

Вычислим cos 15° и sin 15°. Представим 15° в виде разности 45° — 30°. Тогда

Тригонометрические выражения

Пример:

Упростим выражение Тригонометрические выражения Воспользовавшись формулами косинуса суммы и косинуса разности, получим:

Тригонометрические выражения

Используя формулы (1) — (4), можно вывести формулы сложения для тангенса и котангенса. Выведем, например, формулу тангенса суммы:

Тригонометрические выражения

Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на произведение cos a cos Тригонометрические выражения, предполагая, что Тригонометрические выраженияПолучим:

Тригонометрические выражения

Значит,

Тригонометрические выражения

Аналогично можно доказать, что

Тригонометрические выражения

Формулы двойного угла

Формулы сложения позволяют выразить sin 2a, cos 2a и tg 2a через тригонометрические функции угла a. Положим в формулах

Тригонометрические выражения

Тригонометрические выражения равным a. Получим тождества:

Тригонометрические выражения

Эти тождества называют формулами двойного угла.

Приведем примеры применения формул двойного угла для нахождения значений тригонометрических функций и преобразования тригонометрических выражений.

Пример:

Найдем значение sin 2а, зная, что cosa = — 0,8 и a — угол III четверти.

Сначала вычислим sin а. Так как a — угол III четверти, то sin а < 0. Поэтому

Тригонометрические выражения

По формуле синуса двойного угла

Тригонометрические выражения

Пример:

Упростим выражение

Тригонометрические выражения

Вынесем за скобки sin a cos a и воспользуемся формулами двойного угла:

Тригонометрические выражения

Из формулы (2) следует, что

Тригонометрические выражения

Действительно, выразив cos 2a через sin a, получим:

Тригонометрические выражения

Отсюда Тригонометрические выражения

Аналогично, выразив cos 2a через cos a, получим:

Тригонометрические выражения

Формулы (4) и (5) используются в вычислениях и преобразованиях.

Пример:

Упростим выражение Тригонометрические выражения

Применим формулы (4) и (5) к выражениям 1 — cos а и 1 + cos а, представив а в виде произведения Тригонометрические выражения Получим:

Тригонометрические выражения

Формулы суммы и разности тригонометрических функции

Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.

Чтобы представить в виде произведения сумму sin a + sin Тригонометрические выражения, положим Тригонометрические выражения и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:

Тригонометрические выражения

Из равенств a = x + y и Тригонометрические выражения= x — y находим, что Тригонометрические выражения и Тригонометрические выражения Поэтому

Тригонометрические выражения

Мы получили формулу суммы синусов двух углов.

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.

Аналогично можно вывести формулы разности синусов, суммы и разности косинусов.

Формула разности синусов:

Тригонометрические выражения

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.

Формула суммы косинусов:

Тригонометрические выражения

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы, этих углов на косинус их полуразности.

Формула разности косинусов:

Тригонометрические выражения

Разность косинусов двух углов равна взятому со знаком *минус» удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.

Учитывая, что Тригонометрические выражения формулу разности косинусов можно записать в другом виде:

Тригонометрические выражения

Приведем примеры применения полученных формул.

Пример:

Упростим сумму sin 10° + sin 50°.

Воспользовавшись формулой суммы синусов, получим:

Тригонометрические выражения

Пример:

Представим в виде произведения разность Тригонометрические выражения

Воспользовавшись формулой приведения, представим данное выражение в виде разности косинусов и преобразуем ее в произведение. Тогда

Тригонометрические выражения

Пример:

Представим в виде произведения выражение 1 — sin а.

Так как Тригонометрические выражения то данное выражение можно представить в виде разности синусов. Поэтому

Тригонометрические выражения

Эту задачу можно решить иначе:

Тригонометрические выражения

С помощью формул приведения первое из полученных выражений можно преобразовать во второе и наоборот.

Вычисление значений тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений

Вычисление значений тригонометрических выражений

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Решение заданий и задач по предметам:

  • Математика
  • Высшая математика
  • Математический анализ
  • Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Обратные тригонометрические функции
  86. Теорема Безу
  87. Математическая индукция
  88. Показатель степени
  89. Показательные функции и логарифмы
  90. Множество
  91. Множество действительных чисел
  92. Числовые множества
  93. Преобразование рациональных выражений
  94. Преобразование иррациональных выражений
  95. Геометрия
  96. Действительные числа
  97. Степени и корни
  98. Степень с рациональным показателем
  99. Тригонометрические функции угла
  100. Тригонометрические функции числового аргумента
  101. Преобразование тригонометрических выражений
  102. Комбинаторика
  103. Вычислительная математика
  104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  105. Прямая и плоскость
  106. Линии и уравнения
  107. Прямая линия
  108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как составить два текста
  • Как составить гороскоп видео
  • Как найти уменьшения площади
  • Как найти дисперсию точки
  • Как составить онлайн петицию