Как с помощью окружностей найти высоту треугольника

Что касается высоты треугольника, то её можно построить, например, так: строим окружность циркулем, далееотмечаем точки пересечения окружностей с треугольником по прямой от его стороны, из этих точек проводим по окружности ещё. Находим точку пересечения и проводим прямую от вершины:

ВG — здесь высота.

Что касается бссектрисы, то она делит угол в трегольнике пополам, поэтому можно рассмотреть бессиктрису для угла, аналогично она строитя будет и в треугольнике, а вот алгоритм построения:

Бессиктриса здесь АD.

Теперь о медиане:

В таком заданном треугольнике как АВС будем строить медиану, которая падает из угла С в треугольнике на сторону АВ. Сут в том, что потребуется при помощи циркуля разбить сторону АВ на две равные части:

CD здесь медиана.

Итак, рассмотрим по порядку. Для начала построим медиану с помощью циркуля. У нас есть треугольника АСВ. Из точки А и В построим две окружности с таким радиусом, чтобы окружности пересеклись.

Точки пересечения окружностей назовем Р и Q. Теперь проводим прямую через эти точки. Прямая пересекается с АВ в точке D. CD будет медианой.

Теперь рассмотрим, как найти высоту в треугольнике. У нас треугольник АВС. Строим зеленую окружность, которая пересекает сторону АС в точке D и E (на рисунке точка Е не лежит на стороне АС). Далее строим синие окружности центром которых будут точки Е и D. ВQ здесь будет высотой.

Осталось рассмотреть только, как построить биссектрису. У нас есть треугольник АСВ. Из точки А строим окружность, которая будет пресекаться со стороной АС в точке N и со стороной АВ в точке М. Далее строим из точки N и М радиусом NM. Внутри треугольника окружности пересекутся в точке Х. Проводим прямую через точки АХ. АZ будет биссектрисой.

Давайте начнем с высоты.

Ниже дан для примера треугольник. Берем циркуль, проводим две окружности:

• первая с центром в точке А, радиус круга равен стороне АС;
• вторая с центром в точке В, радиус круга — и есть сторона СВ.

Далее нам нужно начертить зеркальный вариант искомого треугольника (я начертила его красным цветом). Останется только соединить вершины нашего нового треугольника с точкой С (отмечено желтым цветом). Высота треугольника найдена, все лишнее можно стереть.

Строим медиану.

Также нужно начертить циркулем две окружности, но сделать это нужно так, чтобы они в итоге заходили друг на друга. То есть делайте радиус таким, чтобы он был больше половины отрезка АВ.

Наши окружности пересеклись друг с другом в двух точках, соединяем их. Точка М — это середина АВ, нужно соединить ее с вершиной С — это и есть медиана.

Теперь осталась биссектриса (чертила сама, не судите строго).

Итак, чертим произвольную окружность с вершиной В в качестве ее центра (предположим, что именно биссектрису угла АВС нужно найти).

Окружность пересеклась со сторонами в точках М и Р. Из этих двух точек нужно провести еще две окружности. Радиус этих окружностей для наглядности сделайте чуть больше, чем отрезок МВ и ВР соответственно.

Эти две последние окружности пересеклись в точке Е. Соедините ее с В — вот и биссектриса.

Для того ,чтобы в треугольнике АВС провести из вершины В высоту ВН на стороны АС , то для этого нужно восстановить перпендикуляр к стороне АС из вершины В.И самый простой способ для этого это провести медиану в равнобедренном треугольнике АВС1 , где АВ = ВС1.Для получения точки С1 проведём циркулем из т.В засечку на АС раствором циркуля АВ=ВС1.с помощью циркуля найдём середину АС ,проведя раствором циркуля более половины АС1 полуокружности из точек А и С1 до пересечения.Места пересечек соединим , и получим на АС1 точку Н -середину АС1. Соединим точку Н с В , получим высоту треугольника ВН.

Построение медианы.Для этого находим середину стороны АС описанным выше способом.Получив точку М — середину АС , соединим М с В , МВ- медиана.

Биссектриса.Для построения нужно поделить угол <ABC пополам известным способом , проведя из т.В раствором циркуля АВ= ВС1 , и найдя точку М1 — середину АС1 ,соединим М1 с точкой В .ВМ1 — биссектриса <ABC.Продолжив ВМ1 до АС получим точку L1 , BL1 биссектриса в треугольнике АВС.

Вспоминаем, что такое медиана, биссектриса и высота треугольника. Прежде всего это отрезки или лучи.

Медиана соединяет любую вершину с точкой-серединой стороны противоположной.

Биссектриса делит угол пополам, это луч.

Высота:

Мы имеем треугольник, циркуль и по умолчанию линейку, которой и будем чертить прямые.

Для построения медианы, мы делим отрезок пополам, для этого проводим полуокружности одного радиуса из двух точек, соединяем точки пересечения их и находим точку пересечения со стороной треугольника, соединяем с противоположной вершиной. Готово.

Чтобы построить биссектрису, мы из угла чертим окружность, из 2-х точек пересечения со сторонами чертим еще 2 дуги или полуокружности одного радиуса, получаем точку пересечения. Эту точку соединяем с вершиной угла. На рисунке АЕ соединяем и получаем биссектрису.

Построим высоту следующим образом. Чертим окружности АС и СВ, где радиусы равны сторонам, находим точку пересечения и соединяем. СМ — высота.

Одного циркуля мало, нужна еще линейка.

Теперь представим, что перед нами треугольник с вершиной А и основанием ВС. Берем циркуль, устанавливаем его иглой в точке В. Проходим круг так, чтобы он проходил через вершину А. Тоже самое делаем с точкой С. Получаем две окружности, которые пересекаются в двух точках, соединяем их линией. Так мы получили высоту.

Так мы найдем медиану:

Проводим также из точек В и С две окружности (обозначения взяты из предыдущего примера), но уже произвольные, так, чтобы они также пересекались в двух местах, точки пересечения соединяем, берем ту точку, которая у нас таким образом образовалась на основании (на рисунке это точка М), соединяем ее с вершиной.

Биссектриса находится путем черчения трех окружностей: первая — с центром в вершине А, вторые две — с центром в тех точках, которые получились в результате черчения первой окружности. Нижнюю точку пересечения этих двух окружностей соединяем с вершиной.

Треугольник АВС. В — вершина. АС — основание.

Высота. Нужно из точки А провести дугу радиусом АВ, из точки С дугу радиусом ВС. Получится точка пересечения за пределами треугольника. Через эту точку из точки В чертим линию до основания.

Биссектриса. Чертим дугу с центром В так, чтобы дуга пересекла стороны АВ и ВС, на сторонах получаем две промежуточные точки, из которых проводим две дуги с равным радиусом, который несколько больше половины основания, соединяем точку пересечения с В.

Медиана. Из точек А и С проводим две дуги радиусом несколько больше половины основания, две полученные точки соединяем, линия пересекает основание в середине. Среднюю точку соединяем с точкой В.

Такие действия можно провести с любым углом и стороной.

Можно сделать всё намного проще (при помощи этого способа можно найти и высоту, и медиану, и биссектрису одновременно).

Итак, для начала чертим горизонтальную прямую, отмечаем на ней две точки на любом расстоянии (пускай это будут точки D и B).

После, от точки D делаем при помощи циркуля окружность с радиусом равный отрезку DB и уже потом от точки B проводим точно такой же радиус.

По итогу у нас есть две точки соприкосновения двух окружностей, проведём через них прямую линию и получим серединный перпендикуляр (то есть линию которая будет делить наш отрезок DB на две равные части, а также в точке соприкосновения, которую мы назовём точкой А, будет угол равный 90 градусов).

Теперь от недавно найденной точки А, проведём окружность с радиусом равный отрезку DА и увидим 4 новые точки соприкосновения, но нам нужна только верхняя вертикальная точка соприкосновения, назовём это точку С.

Теперь можно провести при помощи циркуля от точки С ещё одну окружность равную отрезку СА и не меняя радиус циркуля, провести от точки В точно такую же, последнюю окружность.

И если сделать всё правильно то получим совершенно новые, две точки соприкосновения двух радиусов, можно их соединить между собой (линия, которую мы только что провели должна идеально проходить через точку А), а так же можно соединить две точки С и В, получив прямоугольный треугольник САВ, где точка А будет равна 90 градусов.

Теперь можно переходить на последний этап, а именно, назвать новую точку пересечения с отрезком СВ, пускай это точка будет называться О.

И наконец, мы всё сделали, а именно:

1.Получили прямоугольный треугольник САВ, где угол А будет равен 90 градусов;

2.Получили отрезок АО, который будет являться и медианой, и биссектрисой, и высотой треугольника САВ.

Самое простое — это медиана. Находим с помощью циркуля середину противоположной стороны угла. Равным раствором циркуля, чуть большим предполагаемой середины рисуем окружности из вершин треугольника. Соединяем две точки пересечения окружностей. Пересечение этой линии со стороной — середина. Соединяем вершину треугольника с сединой противоположной стороны и получает медиану.

Биссектриса. Из вершины треугольника чертим две окружности одинакового раствора циркуля, из точек пересечения со сторонами треугольника чертим еще две окружности и соединяем вершину с точкой пересечения последних окружностей.

А вот найти высоту задача поинтересней. Я бы ее решила так. Построила бы внутри нашего треугольника равнобедренный и соединила бы середину стороны нового треугольника с вершиной из которой нам надо опустить высоту.

Мне очень сложно правильно словами описать весь процесс построения, поэтому легче к словам прикрепить схему, как это делается.

1) Рисуем медиану.

Для этого из точки А произвольным радиусом рисуем окружность. Не меняя радиуса строим окружность из точки С. Соединяем две точки пересечений окружностей. Их той точки, где пересекает отрезок треугольника, рисуем биссектрису.

2) Рисуем биссектрису.

Из точки А треугольника рисуем циркулем произвольный радиус. Отмечаем точки окружности пересечения окружности с треугольником. Теперь в одной из этих точек строим снова циркулем произвольную окружность. Из другой точки рисуем окружность этим же радиусом. Смотрим пересечение этих двух окружностей. Рисуем биссектрису.

3) А вот так можно при помощи циркуля рисовать высоту.

Вспоминаем, что такое высота, это перпендикуляр, проходящий через один из углов треугольника и противоположную сторону. Построить с помощью циркуля очень легко, смотрим на рисунок:

Проводим циркулем окружность с радиусом равным стороне ВС и центром в точке В, а затем окружность с радиусом АС и центром в точке А. Две точки пересечения этих окружностей как раз и лежать на нужной нам высоте, проводим высоту через эти две точки.

В построении медианы тоже нет ничего сложного, нам нужно просто определить с помощью циркуля середину стороны треугольника АВ:

Для этого чертим две окружности, одну с центром в точке А, другую с центром в точке В, окружности должны иметь такие радиусы, чтобы находить друг на друга, две точки пересечения дадут нам прямую, которая пересечет сторону треугольника АВ в ее середине, пусть это будет точка М. Теперь соединяем эту точку М и вершину треугольника С, получим медиану СМ.

А теперь построим биссектрису треугольника, то есть биссектрису одного из углов треугольника, смотрим на рисунок:

Сначала чертим окружность с центром в вершине угла А произвольного радиуса, точки пересечения этой окружности со сторонами треугольника, прилегающими к вершине А обозначим — В и С. Теперь чертим окружности с центрами в этих точках — В и С, они пересекутся в точке D? через эту точку и вершину угла А и проводим биссектрису угла А.