Как составить дерево по математике 5 класс

Конспект урока математики в 5 классе

Учитель математики МБОУ СОШ № 1 Слюнко О.В.

Тема: Дерево возможных вариантов.

Цель:  познакомить учащихся с основными приёмами подсчета различных вариантов при решении комбинаторных задач.

Задачи:

·        развивать логическое мышление, память, внимание, умение сравнивать и обобщать;

·         воспитание интереса к предмету, культуры умственного труда.

 Оборудование:

ПК или ноутбук, проектор, экран.

Программное  обеспечение: ОС Windows, MS Power Point, презентация к уроку.

Ход урока

1. Организационный момент, сообщение темы и цели урока.

(Слайд 1)

 II. Объяснение нового материала

        В старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора (Слайд 2)

 Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую.

      Люди, которые  владеют техникой решения комбинаторных задач, а, следовательно, обладают хорошей логикой, умением рассуждать, перебирать различные варианты решений, очень часто находят выходы, казалось бы, из самых трудных безвыходных ситуаций. Примером мог бы послужить сказочный герой Барон Мюнхгаузен, который находил выход из любой сложной и трудной ситуации. В жизни эти умения очень часто помогают человеку. Ведь в повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называют комбинаторными.

 Комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Задачей комбинаторики можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений.

 Сегодня рассмотрим с вами некоторые задачи  комбинаторики. Мы научимся определять ход их решения, а также познакомимся и научимся применять на практике несколько методов решения комбинаторных задач.

Эти методы носят следующие названия: метод перебора, дерево возможных вариантов.

Задача 1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7? (Слайд 3)

Решение. Для того чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4 и, наконец, с цифры 7. Получаем следующий расклад.

 Таким образом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел. Мы решили задачу методом перебора вариантов.

 Существует единый подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название – дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян.

Вернемся к задаче о составлении двузначных чисел из цифр 1, 4 и 7. Для ее решения можно построить специальную схему. (Слайд 4)

Первая цифра         1                               4                                   7

Вторая цифра 1         4       7         1          4           7            1        4            7

Число               11    14       17      41         44       47          71        74         77  

 Эта схема действительно похожа на дерево, правда, «вверх ногами» и без ствола. Знак “*” изображает корень дерева, ветви дерева – различные варианты решения. Чтобы получить двузначное число, надо сначала выбрать первую его цифру, а для нее есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому из точки * проведены три отрезка и на концах поставлены цифры 1, 4 и 7.

Теперь надо выбрать вторую цифру, а для этого также есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому от каждой первой цифры проведено по три отрезка, на концах которых снова записано 1, 4 или 7. Итак, получено всего 9 различных двузначных чисел. Других двузначных чисел из этих трех цифр составить невозможно.

Задача 2. В алфавите племени УАУА имеются всего две буквы – «а» и «у». Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени? (Слайд 5)

Построим схему – дерево возможных вариантов:

				¤
		а				у
	а		у		а		у
а	у	а	у	а	у	а	у
ааа	аау	ауа	ауу	уаа	уау	ууа	ууу

Первая буква                          

Вторая буква

Третья буква

Слово (Слайд 6)

Задача 3. Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Сколькими различными способами он может это сделать, если у него есть морковь, свекла и капуста? (Слайд 7)

                                                                              ¤

Первый овощ                 М                                   С                                       К

Второй овощ        С                 К                    М               К                   М                С

                             МС               МК             СМ           СК               КМ                 КС

В итоге получаем 6 вариантов при учете, что мы делаем различие между МС и СМ и другими аналогичными парами. Но, если смотреть на то, что три из них эквивалентны трем другим парам (МС – СМ, МК – КМ, СК – КС), то получаем, что различных вариантов только три.

Задача 4.  На прямой отметили 4 точки: А, В,С,Д. Сколько получилось отрезков? (Слайд

А                    В        С                Д

•                     •         •                  •                      

Построим дерево вариантов.

                                         *

         А                             В                     С

В      С     Д                  С     Д                  Д                                  

Отрезки АВ, АС, АД, ВС, ВД, СД

III. Закрепление нового материала

Решение задач

1.Сколько трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и5?

Ответ: 8

2. Андрей зашел в магазин, чтобы купить майки. В магазине оказались майки четырех цветов: белые, голубые, красные, черные.

а) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две майки?

Подсказка: обозначьте цвета маек буквами Б, Г, К, Ч. Составьте дерево возможных вариантов

б) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две майки разного цвета?

 IV. Итог урока.

Ответить на вопросы:

1). Что изучает комбинаторика?

2).Что такое дерево возможных вариантов?

V. Домашнее задание: придумать свою комбинаторную задачу и решить её.

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Комбинаторика
5. Комбинаторные задачи

Советуем посмотреть:

Случайные события. Вероятность случайного события

Комбинаторика

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 283,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 323,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 356,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 694,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 388,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1

Задание 871,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2

Задание 872,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2

Задание 928,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2

Номер 647,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 5,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 678,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 822,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 990,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1136,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1212,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1343,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 232,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 410,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 462,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 35,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1

7 класс

Номер 78,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 301,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

---

Тип урока:  формирование и
совершенствование умений и навыков.

Цели урока:

• Образовательные: закрепить умение решения
  комбинаторных задач на примере составления
   многозначных чисел из предложенных цифр с
  помощью перечисления комбинаций (дерева
  возможных вариантов), подсчет общего числа
  комбинаций по правилу умножения.
• Развивающие:  развитие математического
  мышления;  развитие познавательного интереса
  учащихся;  развитие умения самостоятельно
  выбирать способ решения и умения обосновать
  выбор;
• Воспитательные:  формирование навыков
  самоконтроля, воспитание самостоятельности и
  настойчивости в достижении цели.

Оборудование:  карточки с заданиями
для индивидуальной работы, карточки с решением
задач для самопроверки, карточки-«подсказки» для
решения задач.

Структура урока:

1. Организационный момент
2. Актуализация опорных знаний и умений учащихся
   (устный опрос)
3. Формирование и закрепление знаний и умений:
1. Коллективная работа над задачами
2. Индивидуальная работа над задачами
4. Подведение итогов урока
5. Домашнее задание

Показатель реального результата
достижения цели урока: самостоятельное
выполнение заданий на составление многозначных
чисел с применением дерева возможных вариантов и
подсчет общего числа комбинаций по правилу
умножения в знакомой  и измененной ситуациях.

ХОД УРОКА

1. Устный опрос

2. Натуральные числа

– Какие числа называются
натуральными? (Числа, используемые при счете
предметов)
– С помощью каких «знаков» можно
написать любое натуральное число? (С помощью
цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
– Как называется группа из трех цифр в
записи числа, считая справа налево? (Класс)
– Как называется место, занимаемое
цифрой в записи числа? (Разряд)
– Сколько разрядов в каждом классе? (Три)
– Что обозначает цифра 0 в десятичной
записи числа? (Отсутствие единиц данного
разряда)
– Какая цифра не может стоять в старшем
разряде числа? (0)

3. Комбинаторные задачи

– Какие задачи называются
комбинаторными? (Задачи, в которых идет речь о
тех или иных комбинациях объектов)
– Что такое комбинаторика? (Раздел
математики, в котором изучаются вопросы о том,
сколько различных комбинаций, подчиненных тем
или иным условиям, можно составить)
– Какими способами мы умеем решать
комбинаторные задачи? (С помощью правила
умножения и с помощью дерева возможных
вариантов)
– В чем заключается правило
умножения?  (Если первый элемент в
комбинации можно выбрать а способами,
после чего второй элемент b способами, то общее
число комбинаций из двух элементов будет a ^.
b).
– В чем заключается правило решения
задач с помощью дерева вариантов?

4. Работа по теме урока:

1 этап. Коллективная работа над задачами

№ 1

Запишите все трехзначные числа, для записи
которых употребляются только цифры 1 и 2.

– Какая цифра может стоять в разряде
сотен? (1 или 2)
– Какая цифра может стоять в разряде
десятков в каждом из полученных двух случаев? (1
или 2)
– Какая цифра может стоять в разряде
единиц в каждом из полученных четырех случаев? (1
или 2)
По ходу рассуждений выполняется схема на доске

Получили 8 чисел: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222

№ 2

Сколько трехзначных чисел можно составить из
цифр  2, 4, 6, 8, если цифры в записи числа не
повторяются?

– Сколько цифр дано? (Четыре)
– Какое условие поставлено? (Цифры не
должны повторяться)
– Какая цифра может стоять на первом
месте? (Любая)
– Если цифру поставили на первое место,
может она занимать второе, третье место? (Нет)

Первой цифрой числа может быть любая из четырех
данных цифр, второй – любая из трех других. А
третьей – любая из двух оставшихся. Всего из
данных цифр можно составить
4 ^. 3 ^. 2 = 24
трехзначных числа.

Ответ: 24 числа.

Вывод: для удобства перечисления всех
возможных вариантов мы пользовались деревом
вариантов. При большом количестве комбинаций
дерево быстро ветвится и становится необозримым.
Поэтому для подсчета количества комбинаций, если
не требуется перечислить все комбинации, лучше
пользоваться правилом умножения.

2 этап. Индивидуальная работа над задачами

Индивидуальная работа над задачами состоит из
двух шагов:

Шаг 1 задачи № 3 и № 4. Задачи решаются
самостоятельно с последующей самопроверкой по
карточке с решением, выданным учителем. (Приложение 1)
Если учащиеся справились с решением задач № 3 и №
4, то им предлагаются  задачи № 5,  № 6, № 7
Если учащийся не справился с задачами № 3 и № 4,
ему предлагаются аналогичные задачи № 3.1 и №
4.1.  Если учащийся справляется с задачами № 3.1 и
№ 4.1, он решет  № 5, № 6, № 7.
В случае, если учащиеся затрудняются в решении
задач № 3.1, № 4.1, № 5, № 6, № 7 им выдаются
карточки-«подсказки». (Приложение
2)

№ 3

Запишите все трехзначные числа, для записи
которых используются цифры 5 и 7.

№ 4

Запишите все трехзначные числа, для записи
которых используются цифры 0, 2, 5, если цифры в
записи не повторяются.

№ 3.1

Запишите все трехзначные числа, для записи
которых используются цифры 2 и 9

№ 4.1

Запишите все трехзначные числа,  в записи
которых используются цифры 0, 3, 7. Если цифры в
записи не повторяются.

№ 5

Сколько двухзначных  чисел можно составить
из цифр 0, 2, 4, 6, если цифры в записи числа не
повторяются? Запишите все эти числа.

№ 6

Сколько трехзначных чисел можно составить из
нечетных цифр, если цифры в записи числа не
повторяются? Запишите первые 12  чисел, если
составленные числа расположены в порядке
возрастания.

№ 7

Сколько существует трехзначных чисел, в записи
которых нет цифры 3?

Ответы:

№ 3.1          222, 229, 292, 299,
922, 929, 992, 999
№ 4.1          307, 370, 703, 730
№ 5             3 ^.
3 = 9 чисел 20, 24, 26, 40, 42, 46, 60, 62, 64
№ 6             5 ^.
4 ^. 3 = 60 чисел 135, 137, 139, 153, 157, 159, 173, 175,
179, 193, 195, 197
№ 7             8 ^.
9 ^. 9 = 648 чисел

5. Итог урока

– Чем удобно пользоваться при
перечислении всех возможных комбинаций?
– Почему при большом количестве
комбинаций неудобно пользоваться деревом
вариантов?
– Какое правило вы знаете для подсчета
количества комбинаций? Сформулируйте его.

6. Рефлексия. Что нового узнали на
уроке? Что уже было знакомо ранее? Какие задачи
вызвали наибольшее затруднение? Какая задача
понравилась больше остальных?

7. Оценивание работы на уроке каждого
учащегося в соответствии с количеством и
номерами решенных задач и взятых подсказок.

8. Задание на дом

– Составить и решить две  комбинаторных
задачи на составление многозначных чисел из
предложенных цифр.

Дерево возможных вариантов
Комбинаторика

• раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов

КОМБИНАТОРНАЯ ЗАДАЧА –
КОМБИНАТОРНАЯ ЗАДАЧА –
это задача, требующая осуществления
перебора всех возможных вариантов
или подсчета их числа.
Решить

• Решить

комбинаторную задачу — это значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др., отвечающих условию задачи.

Разыгрываем  сценку
У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух – пятидесятирублевые. Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. Как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?
Решение задачи методом полного перебора всех возможных вариантов
№2 Прямоугольник состоит из трех квадратов. Сколькими способами можно раскрасить эти квадраты тремя красками: красной, зеленой и синей?
Решение задачи:

6 способов

Решение задач
№ 651, 653, 655, 656, 658.
Физкультминутка для глаз.

Упражнение « Фигуры».
Задача.
Рассмотрим задачу о составлении трехзначных чисел из цифр 1;4;7 (цифры в записи числа не повторяются).
Для её решения построим схему-дерево возможных вариантов.

число

1

4

7

4

7

7

4

1

7

7

1

1

4

4

1

Ответ: числа 147; 174; 417; 471; 714; 741

Рефлексия

• На сегодняшнем уроке мне было … (легко, обычно, трудно)
• Новый материал я … (усвоил и могу применить, усвоил и затрудняюсь применить, не усвоил)
• Моя самооценка за урок …

Домашняя работа

• 652, 654, 657