Как составить дерево возможных вариантов цифр 2

Презентация на тему: » Дерево возможных вариантов Из цифр 2, 4, 7 составить трёхзначные числа, в которых ни одна цифра не повторяется более двух раз.» — Транскрипт:

Методы решения комбинаторных задач

Перебор возможных вариантов

Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления различных таблиц и схем.

Задача 1.
Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Ответ: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

Задача 2.
В финальном забеге на 100 м участвуют Иванов, Громов и Орлов. Назовите возможные варианты распределения призовых мест.

Ответ:
Вариант 1: 1) Иванов, 2) Громов, 3) Орлов.
Вариант 2: 1) Иванов, 2) Орлов, 3) Громов.
Вариант 3: 1) Орлов, 2) Иванов, 3) Громов.
Вариант 4: 1) Орлов, 2) Громов, 3) Иванов.
Вариант 5: 1) Громов, 2) Орлов, 3) Иванов.
Вариант 6: 1) Громов, 2) Иванов, 3) Орлов.

Задача 3.
В кружок бального танца записались Петя, Коля, Витя, Олег, Таня, Оля, Наташа, Света. Какие танцевальные пары девочки и мальчика могут образоваться?

Ответ:
1) Таня — Петя, 2) Таня — Коля, 3) Таня — Витя, 4) Таня — Олег, 5) Оля — Петя, 6) Оля — Коля, 7) Оля — Витя, Оля — Олег, 9) Наташа — Петя, 10) Наташа — Коля, 11) Наташа — Витя, 12) Наташа — Олег, 13) Света — Петя, 14) Света — Коля, 15) Света — Витя, 16) Света — Олег.

Дерево возможных вариантов

Самые разные комбинаторные задачи решаются с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название метода — дерево возможных вариантов.

Задача 4.
Какие трехзначные числа можно составить из цифр 0, 2, 4?

Решение. Построим дерево возможных вариантов, учитывая, что 0 не может быть первой цифрой в числе.
 

Ответ: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.

Задача 5.
Школьные туристы решили совершить путешествие к горному озеру. Первый этап пути можно преодолеть на поезде или автобусе. Второй этап — на байдарках, велосипедах или пешком. И третий этап пути — пешком или с помощью канатной дороги. Какие возможные варианты путешествия есть у школьных туристов?

Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив путешествие на поезде П, на автобусе — А, на байдарках — Б, велосипедах — В, пешком — Х, на канатной дороге — К.

Ответ: На рисунке перечислены все 12 возможных вариантов путешествия школьных туристов.

Задача 6.
Запишите все возможные варианты расписания пяти уроков на день из предметов: математика, русский язык, история, английский язык, физкультура, причем математика должна быть вторым уроком.

Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив М — математика, Р — русский язык, И — история, А — английский язык, Ф — физкультура.

Ответ: Всего 24 возможных варианта:

Задача 7.
Саша ходит в школу в брюках или джинсах, к ним одевает рубашки серого, голубого, зеленого цвета или в клетку, а в качестве сменной обуви берет туфли или кроссовки.
а) Сколько дней Саша сможет выглядеть по-новому?
б) Сколько дней при этом он будет ходить в кроссовках?
в) Сколько дней он будет ходить в рубашке в клетку и джинсах?

Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив Б — брюки, Д — джинсы, С — серая рубашка, Г — голубая рубашка, З — зеленая рубашка, Р — рубашка в клетку, Т — туфли, К — кроссовки.

Ответ: а) 16 дней; б) 8 дней; в) 2 дня.

Составление таблиц

Решить комбинаторные задачи можно с помощью таблиц. Они, как и дерево возможных вариантов, наглядно представляют решение таких задач.

Задача 8.
Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?

Решение. Составим таблицу: слева первый столбец — первые цифры искомых чисел, вверху первая строка — вторые цифры.

Ответ: 28.

Задача 9.
Маша, Оля, Вера, Ира, Андрей, Миша и Игорь готовились стать ведущими на Новогоднем празднике. Назовите возможные варианты, если ведущими могут быть только одна девочка и один мальчик.

Решение. Составим таблицу: слева первый столбец — имена девочек, вверху первая строка — имена мальчиков.

Ответ: Все возможные варианты перечисляются в строках и столбцах таблицы.

Правило умножения

Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос — сколько их существует.

Задача 10.
В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий и зеленый цвета, причем были представлены все возможные варианты. Сколько команд участвовали в турнире?

Решение.
Трусы могут быть белого, красного, синего или зеленого цвета, т.е. существует 4 варианта. Каждый из этих вариантов имеет 4 варианта цвета майки.

4 х 4 = 16.

Ответ: 16 команд.

Задача 11.
6 учеников сдают зачет по математике. Сколькими способами их можно расположить в списке?

Решение.
Первым в списке может оказаться любой из 6 учеников,
вторым в списке может быть любой из оставшихся 5 учеников,
третьим — любой из оставшихся 4 учеников,
четвертым — любой из оставшихся 3 учеников,
пятым — любой из оставшихся 2 учеников,
шестым — последний 1 ученик.

6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 720.

Ответ: 720 способами.

Задача 12.
Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 4, 6, 7?

Решение.
Первой в двузначном числе может быть 5 цифр (цифра 0 не может быть первой в числе), второй в двузначном числе может быть 4 цифры (0, 2, 4, 6, т.к. число должно быть четным).
5 х 4 = 20.

Ответ: 20 чисел.

Новая редакция 2018-2023 г.

Вернуться к содержанию учебника

Страница 12

Вернуться к содержанию учебника

Варианты: 22, 23, 32, 33

Сумма: 22+ 23+ 32+33= 110

Пошаговое объяснение:

Дерево возможностей составляется следующим образом:

Пишем слева цифру, с которой может начинаться число. К примеру, 2. Затем чертятся 2 линии, около которых пишут варианты цифр, которые могут быть на 2 месте. 2 и 3. Выписываем числа : 22, 23. Берем и проделываем ту же операцию с цифрой 3 слева, в дальнейшем опять 2 варианта. Запишем числа: 32, 33. Больше вариантов нет. Сумма находится путем сложения между собой всех полученных чисел, а именно: 22+23+32+23=110

Тип урока:  формирование и
совершенствование умений и навыков.

Цели урока:

• Образовательные: закрепить умение решения
  комбинаторных задач на примере составления
   многозначных чисел из предложенных цифр с
  помощью перечисления комбинаций (дерева
  возможных вариантов), подсчет общего числа
  комбинаций по правилу умножения.
• Развивающие:  развитие математического
  мышления;  развитие познавательного интереса
  учащихся;  развитие умения самостоятельно
  выбирать способ решения и умения обосновать
  выбор;
• Воспитательные:  формирование навыков
  самоконтроля, воспитание самостоятельности и
  настойчивости в достижении цели.

Оборудование:  карточки с заданиями
для индивидуальной работы, карточки с решением
задач для самопроверки, карточки-«подсказки» для
решения задач.

Структура урока:

1. Организационный момент
2. Актуализация опорных знаний и умений учащихся
   (устный опрос)
3. Формирование и закрепление знаний и умений:
1. Коллективная работа над задачами
2. Индивидуальная работа над задачами
4. Подведение итогов урока
5. Домашнее задание

Показатель реального результата
достижения цели урока: самостоятельное
выполнение заданий на составление многозначных
чисел с применением дерева возможных вариантов и
подсчет общего числа комбинаций по правилу
умножения в знакомой  и измененной ситуациях.

ХОД УРОКА

1. Устный опрос

2. Натуральные числа

– Какие числа называются
натуральными? (Числа, используемые при счете
предметов)
– С помощью каких «знаков» можно
написать любое натуральное число? (С помощью
цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
– Как называется группа из трех цифр в
записи числа, считая справа налево? (Класс)
– Как называется место, занимаемое
цифрой в записи числа? (Разряд)
– Сколько разрядов в каждом классе? (Три)
– Что обозначает цифра 0 в десятичной
записи числа? (Отсутствие единиц данного
разряда)
– Какая цифра не может стоять в старшем
разряде числа? (0)

3. Комбинаторные задачи

– Какие задачи называются
комбинаторными? (Задачи, в которых идет речь о
тех или иных комбинациях объектов)
– Что такое комбинаторика? (Раздел
математики, в котором изучаются вопросы о том,
сколько различных комбинаций, подчиненных тем
или иным условиям, можно составить)
– Какими способами мы умеем решать
комбинаторные задачи? (С помощью правила
умножения и с помощью дерева возможных
вариантов)
– В чем заключается правило
умножения?  (Если первый элемент в
комбинации можно выбрать а способами,
после чего второй элемент b способами, то общее
число комбинаций из двух элементов будет a ^.
b).
– В чем заключается правило решения
задач с помощью дерева вариантов?

4. Работа по теме урока:

1 этап. Коллективная работа над задачами

№ 1

Запишите все трехзначные числа, для записи
которых употребляются только цифры 1 и 2.

– Какая цифра может стоять в разряде
сотен? (1 или 2)
– Какая цифра может стоять в разряде
десятков в каждом из полученных двух случаев? (1
или 2)
– Какая цифра может стоять в разряде
единиц в каждом из полученных четырех случаев? (1
или 2)
По ходу рассуждений выполняется схема на доске

Получили 8 чисел: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222

№ 2

Сколько трехзначных чисел можно составить из
цифр  2, 4, 6, 8, если цифры в записи числа не
повторяются?

– Сколько цифр дано? (Четыре)
– Какое условие поставлено? (Цифры не
должны повторяться)
– Какая цифра может стоять на первом
месте? (Любая)
– Если цифру поставили на первое место,
может она занимать второе, третье место? (Нет)

Первой цифрой числа может быть любая из четырех
данных цифр, второй – любая из трех других. А
третьей – любая из двух оставшихся. Всего из
данных цифр можно составить
4 ^. 3 ^. 2 = 24
трехзначных числа.

Ответ: 24 числа.

Вывод: для удобства перечисления всех
возможных вариантов мы пользовались деревом
вариантов. При большом количестве комбинаций
дерево быстро ветвится и становится необозримым.
Поэтому для подсчета количества комбинаций, если
не требуется перечислить все комбинации, лучше
пользоваться правилом умножения.

2 этап. Индивидуальная работа над задачами

Индивидуальная работа над задачами состоит из
двух шагов:

Шаг 1 задачи № 3 и № 4. Задачи решаются
самостоятельно с последующей самопроверкой по
карточке с решением, выданным учителем. (Приложение 1)
Если учащиеся справились с решением задач № 3 и №
4, то им предлагаются  задачи № 5,  № 6, № 7
Если учащийся не справился с задачами № 3 и № 4,
ему предлагаются аналогичные задачи № 3.1 и №
4.1.  Если учащийся справляется с задачами № 3.1 и
№ 4.1, он решет  № 5, № 6, № 7.
В случае, если учащиеся затрудняются в решении
задач № 3.1, № 4.1, № 5, № 6, № 7 им выдаются
карточки-«подсказки». (Приложение
2)

№ 3

Запишите все трехзначные числа, для записи
которых используются цифры 5 и 7.

№ 4

Запишите все трехзначные числа, для записи
которых используются цифры 0, 2, 5, если цифры в
записи не повторяются.

№ 3.1

Запишите все трехзначные числа, для записи
которых используются цифры 2 и 9

№ 4.1

Запишите все трехзначные числа,  в записи
которых используются цифры 0, 3, 7. Если цифры в
записи не повторяются.

№ 5

Сколько двухзначных  чисел можно составить
из цифр 0, 2, 4, 6, если цифры в записи числа не
повторяются? Запишите все эти числа.

№ 6

Сколько трехзначных чисел можно составить из
нечетных цифр, если цифры в записи числа не
повторяются? Запишите первые 12  чисел, если
составленные числа расположены в порядке
возрастания.

№ 7

Сколько существует трехзначных чисел, в записи
которых нет цифры 3?

Ответы:

№ 3.1          222, 229, 292, 299,
922, 929, 992, 999
№ 4.1          307, 370, 703, 730
№ 5             3 ^.
3 = 9 чисел 20, 24, 26, 40, 42, 46, 60, 62, 64
№ 6             5 ^.
4 ^. 3 = 60 чисел 135, 137, 139, 153, 157, 159, 173, 175,
179, 193, 195, 197
№ 7             8 ^.
9 ^. 9 = 648 чисел

5. Итог урока

– Чем удобно пользоваться при
перечислении всех возможных комбинаций?
– Почему при большом количестве
комбинаций неудобно пользоваться деревом
вариантов?
– Какое правило вы знаете для подсчета
количества комбинаций? Сформулируйте его.

6. Рефлексия. Что нового узнали на
уроке? Что уже было знакомо ранее? Какие задачи
вызвали наибольшее затруднение? Какая задача
понравилась больше остальных?

7. Оценивание работы на уроке каждого
учащегося в соответствии с количеством и
номерами решенных задач и взятых подсказок.

8. Задание на дом

– Составить и решить две  комбинаторных
задачи на составление многозначных чисел из
предложенных цифр.