Скачать материал
Скачать материал
- Сейчас обучается 42 человека из 30 регионов
- Сейчас обучается 27 человек из 18 регионов
Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
Комбинаторные задачи:
дерево возможных вариантов -
2 слайд
Имя урока: Комбинаторика
Девиз урока: «Услышал – забыл,
Увидел – запомнил,
Сделал – понял»
Китайская поговорка -
3 слайд
В странных русских сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне:
Вперёд поедешь – голову сложишь.
Налево поедешь – меча лишишься.
А дальше говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора.
Направо поедешь – коня потеряешь.Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации.
-
4 слайд
Что такое КОМБИНАТОРИКА?
Задачи, в которых требуется осуществить перебор всех возможных вариантов, или, как обычно говорят в таких случаях, всех возможных комбинаций, называют комбинаторными.
Область математики, изучающая комбинаторные задачи, называется комбинаторикой.
Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить. -
5 слайд
Задача №1
Запишите все трёхзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 1 и 2.
1 2
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
Ответ: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222 – восемь чисел.
Такой метод решения комбинаторных задач называется деревом выбора(дерево возможных вариантов) -
6 слайд
Задача №2
Запишите все трёхзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 0,7. -
7 слайд
Задача 3
В 5 «А» классе в среду 4 урока: математика, информатика, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на среду?
Решение: построим картину-схему.
Для удобства закодируем названия предметов:
математика – м,
информатика – и,
русский язык – р,
английский язык – а. -
8 слайд
Решение задачи 3
Расписание1 урок м и р а
2 урок и р а м р а м и а м и р
3 урок р а и а и р р а м а м р и а м а м и и р м р м и
4 урок а р а и р и а р а м р м а и а м и м р и р м и м
Ответ: 24 варианта: мира, миар, мриа, мраи, маир, мари, имра, имар, ирма, ирам, иамр, иарм, рмиа, рмаи, рима, риам, рами, раим, амир, амри, аимр, аирм, арми, арим.
-
9 слайд
Построенная схема напоминает перевернутое дерево: от ствола («расписание») отходят ветки, сначала четыре (м, и, р, а), от каждой из четырех веток – еще по три, затем еще по две и еще по одной. Видимо поэтому такую схему называют деревом возможных вариантов.
Дерево возможных вариантов можно считать геометрической моделью рассматриваемой ситуации. -
10 слайд
Задача №4
В правление фирмы входят 5 человек. Из своего состава правления должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами это можно сделать?
Президент
1Вице – президент
2 3 4 5
2
1 3 4 5
3
1 2 4 54
1 2 3 4
5
1 2 3 5
Такой метод решения комбинаторных задач называется правилом умножения.
Выбрать президента можно пятью способами, а для каждого выбранного президента четырьмя способами можно выбрать вице-президента . Следовательно, общее число способов выбрать президента и вице-президента фирмы равно: 5*4=20. -
11 слайд
Можно решить Задачу 3 короче, если применить правило умножения. Существует 4 варианта выбора первого урока. Для выбора второго урока есть только три варианта, так как один из четырех уроков мы уже выбрали. Тогда для третьего урока существует два варианта, а для четвертого только один. Применив правило умножения, получим
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙1= 24
Ответ: 24 варианта. -
12 слайд
Задача №5
В классе 15 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных(одну девочку и одного мальчика)? -
13 слайд
Задача 2.
В 6 классе в четверг 5 уроков: математика, информатика, русский язык, английский язык, физкультура.
а) Сколько имеется вариантов расписания при условии, что физкультура – последний урок?
б) Сколько имеется вариантов расписания при условии, что физкультура – последний урок, а математика – первый?
-
14 слайд
Задача 2 (продолжение).
В 6 классе в четверг 5 уроков: математика, информатика, русский язык, английский язык, физкультура.в) Сколько всего можно составить вариантов расписания на четверг?
г) Сколько времени потратит завуч на запись всех вариантов, если известно, что на запись одного варианта у него уходит 30 секунд?
-
-
-
17 слайд
Задача №1
Запишите все трёхзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 0,7.
Задача №2
Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7? Нарисуйте дерево выбора на альбомном листе.
Задача №3
Составьте комбинаторную задачу, которая решается с помощью правила умножения. Сделайте к ней рисунок.
Задача № 4
Тренер попросил Филю составить трехзначное число из цифр 1, 2, 3, 4, причем цифры в числе
могут повторяться. Сколько чисел может составить Филя?
Задача № 5
Тренер попросил Филю составить трехзначное число из цифр 1, 2, 3, 4 так, чтобы цифры в числе
не повторялись. Сколько чисел может составить Филя?
Домашнее задание
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 265 678 материалов в базе
- Выберите категорию:
- Выберите учебник и тему
- Выберите класс:
-
Тип материала:
-
Все материалы
-
Статьи
-
Научные работы
-
Видеоуроки
-
Презентации
-
Конспекты
-
Тесты
-
Рабочие программы
-
Другие методич. материалы
-
Найти материалы
Другие материалы
- 24.04.2017
- 1095
- 0
- 24.04.2017
- 626
- 0
- 24.04.2017
- 1131
- 0
Рейтинг:
4 из 5
- 24.04.2017
- 32748
- 272
- 24.04.2017
- 2577
- 2
- 24.04.2017
- 7020
- 11
- 24.04.2017
- 847
- 3
Вам будут интересны эти курсы:
-
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
-
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
-
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
-
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
-
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
-
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
-
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
-
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
-
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
ВИДЕО УРОК
Комбинаторикой называется область математики, в
которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем
или иным условиям, можно составить из элементов заданного множества.
Составляя комбинации, мы фактически выбираем из этого
множества различные элементы и объединяем их в группы по нашим потребностям,
поэтому вместо слова “комбинаторика”, часто используют слово “выборки”
элементов.
Комбинаторная
задача – задача, требующая осуществления перебора всех возможных
вариантов или подсчёта их числа.
Перебор возможных вариантов.
Простые задачи
решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов.
ЗАДАЧА:
У Маши имеются юбка с брюками и кофта, свитер, рубашка.
Сколько комплектов можно составить из этой одежды ?
РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА:
Какие двузначные числа можно составить из цифр
1, 3,
4, 5 ?
РЕШЕНИЕ:
11, 13,
14, 15, 33,
31, 34, 35,
41, 43,
44, 45, 51,
53, 54, 55.
Табличный метод (все условия вносятся в таблицу, в ней же
выполняется решение).
Решить
комбинаторные задачи можно с помощью таблиц. Они наглядно представляют решение
таких задач.
ЗАДАЧА:
Сколько нечётных двузначных чисел можно составить из цифр:
1, 2, 3, 5,
6, 7, 8, 9 ?
РЕШЕНИЕ:
Составим таблицу: слева первый
столбец – первые цифры искомых чисел, вверху первая строка вторые цифры.
ОТВЕТ: 40.
ЗАДАЧА:
Сколько нечётных двузначных чисел можно составить из цифр:
1, 3, 4, 6,
7, 8, 9 ?
РЕШЕНИЕ:
Составим таблицу: слева первый
столбец – первые цифры искомых чисел, вверху первая строка вторые цифры.
ОТВЕТ: 28.
ЗАДАЧА:
Маша, Оля, Вера, Ира, Андрей, Миша и Игорь готовились
стать ведущими на Новогоднем празднике. Назовите возможные варианты, если ведущими
могут быть только одна девочка и один мальчик.
РЕШЕНИЕ:
Составим таблицу: слева первый
столбец – имена девочек, вверху первая строка – имена мальчиков.
ОТВЕТ:
Все возможные варианты перечисляются в строках и столбцах
таблицы.
Построение граф – схемы.
Граф – совокупность объектов со связями между ними.
Объекты
представляются как вершины,
или узлы графа,
а связи – как дуги,
или рёбра.
ЗАДАЧА:
Встретились пятеро друзей, как положено,
поздоровались друг с другом. Сколько рукопожатий было сделано ?
РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ: 10.
ЗАДАЧА:
Постройте отрезок АВ, и отметьте на нём 4
точки М,
С. К, Д. Определите с помощью грф – схемы количество отрезков.
РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ: 15.
При построении граф-схем кроме дуг и вершин используется петля. она используется в случаях, когда требуется показать, что число делится само на себя.
ЗАДАЧА:
Выберите граф, на котором показано, что одно число делится на другое и на само себя.
ОТВЕТ: Первый граф.
Дерево
возможных вариантов решений.
Самые
разные комбинаторные задачи решаются с помощью составления специальных схем.
Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название – дерево возможных вариантов.
Дерево
возможных вариантов – граф, схема, отражающая структуру задачи, упорядочения
многошагового процесса принятия решений.
Ветви дерева отображают различные события, которые могут иметь место,
а корень дерева
– состояние, в котором возникает необходимость выбора.
ЗАДАЧА:
Запишите все трёхзначные числа, которые
можно составить из цифр 1,
2, 3, так, чтобы числа не повторялись.
РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА:
Катя, Лена и Соня сегодня дежурные. Им
нужно расставить книги (К),
вымыть пол (П),
полить цветы (Ц). Сколькими
способами они могут распределить между собой обязанности ?
РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА:
Какие трёхзначные числа можно составить из
цифр
0, 3, 5 ?
РЕШЕНИЕ:
Построим дерево
возможных вариантов, учитывая, что 0 не может быть первой
цифрой в числе.
ОТВЕТ:
300, 303,
305, 330, 333,
335, 350, 353,
355,
500, 503, 505, 530, 533, 535, 550, 553, 555,
ЗАДАЧА:
Имеются три слова “ДРУЖБА”, “ДЕЛО”,
“ЛЮБИТ”. Сколькими способами из этих слов
можно составить фразу ?
РЕШЕНИЕ:
Обозначим предложенные слова заглавными буквами:
ДРУЖБА – Д
ЛЮБИТ – Л
ДЕЛО – Е (возьмём вторую букву этого слова).
Построим дерево
возможных вариантов:
ОТВЕТ: 6 способов.
Задания к уроку 1
- Задание 1
- Задание 2
- Задание 3
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Комбинаторика
- Комбинаторные задачи
Комбинаторика (от латинского слова combinare, означающего №соединять», «сочетать») — это область математики, которая изучает способы выбора, расположения, сочетания различных объектов. Решение задач в данном разделе математики требует рассмотрения и подсчёта всех возможных комбинаций (отсюда название комбинаторные задачи). Решая эти задачи, обычно надо отвечать на вопрос «Сколькими способами…?» или «Сколько вариантов..?«
Задача: Нам даны фигуры: треугольник, овал и прямоугольник . Необходимо построить пирамидку, состоящую из трех разных фигур. Сколькими способами это можно сделать?
Метод перебора
Данный метод удобен при небольшом числе вариантов. Решение в данном случае происходит путём перебора всех возможных вариантов. При этом очень важно выбрать правильный вариант перебора — логику перебора.
Воспользуемся методом перебора: Пусть в основании пирамидки находится прямоугольник, тогда возможны варианты построения: прямоугольник — овал — треугольник и прямоугольник — треугольник — овал.
Теперь в основании положим овал, тогда возможны варианты построения: овал — прямоугольник — треугольник и овал — треугольник — прямоугольник.
Теперь в основании положим треугольник, тогда возможны варианты построения: треугольник — прямоугольник — овал и треугольник — овал — прямоугольник.
Итак, мы получили шесть возможных вариантов:
Ответ: 6 способов.
При решении данной задачи мы изображали фигуры, но для упрощения решения можно использовать кодирование. Данный прием позволяет заметить фигуры, например, первыми буквами их названия, то есть овал обозначаем буквой О, треугольник — Т, прямоугольник — П. Тогда решение будет выглядеть так:
Т О Т П О П
О Т П Т П О
П П О О Т Т
Дерево возможных вариантов
Данный метод заключается в построении схемы, которая и называется деревом возможных вариантов. Данная схема действительно похожа на перевернутое дерево, «корень» которого обозначается «*». Построим данную схему для нашей задачи: Для этого от «корня» проведем три «ветки» — отрезки, на концах которых подпишем варианты фигур, которые мы можем взять за основание. Далее от каждой фигуры проводим такое количество «веток», которое будет соответствовать числу вариантов фигур на втором месте, в нашем случае по две «ветки» от каждой фигуры. Затем от каждой фигуры, стоящей на втором месте, проводим такое число «веток», которое будет соответствовать числу вариантов фигур на третьем месте, в нашем случае по одной «ветке» от каждой фигуры. Тогда имеем следующее дерево возможных вариантов:
Метод отрезков
Данный метод используется только для составления всевозможных пар. Например, рассмотрим прямую, на которой обозначены точки A, B, C, D, F:
Необходимо ответить на вопрос: » Сколько отрезков изображено на рисунке?». Мы знаем, что отрезок обозначается двумя буквами, значит, для ответа на вопрос необходимо перебрать всевозможные пары букв. Это можно сделать при помощи следующей схемы: Отметим точки так, чтобы никакие 3 не лежали на одной прямой:
Соединим данные точки отрезками между собой. Число отрезков будет числом вариантов, то есть числом отрезков, изображенных на рисунке:
Итак, мы получили 10 отрезков, соединяющих точки.
Ответ: На рисунке 10 отрезков.
Советуем посмотреть:
Случайные события. Вероятность случайного события
Комбинаторика
Правило встречается в следующих упражнениях:
5 класс
Задание 356,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 598,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 835,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 922,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1071,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1728,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1750,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 388,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1
Номер 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 5,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
6 класс
Номер 24,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 822,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 990,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1021,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1023,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1212,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 24,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 232,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 355,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 462,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
7 класс
Номер 78,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 301,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Методы решения комбинаторных задач
Перебор возможных вариантов
Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления различных таблиц и схем.
Задача 1.
Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
Ответ: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.
Задача 2.
В финальном забеге на 100 м участвуют Иванов, Громов и Орлов. Назовите возможные варианты распределения призовых мест.
Ответ:
Вариант 1: 1) Иванов, 2) Громов, 3) Орлов.
Вариант 2: 1) Иванов, 2) Орлов, 3) Громов.
Вариант 3: 1) Орлов, 2) Иванов, 3) Громов.
Вариант 4: 1) Орлов, 2) Громов, 3) Иванов.
Вариант 5: 1) Громов, 2) Орлов, 3) Иванов.
Вариант 6: 1) Громов, 2) Иванов, 3) Орлов.
Задача 3.
В кружок бального танца записались Петя, Коля, Витя, Олег, Таня, Оля, Наташа, Света. Какие танцевальные пары девочки и мальчика могут образоваться?
Ответ:
1) Таня — Петя, 2) Таня — Коля, 3) Таня — Витя, 4) Таня — Олег, 5) Оля — Петя, 6) Оля — Коля, 7) Оля — Витя, 
Оля — Олег, 9) Наташа — Петя, 10) Наташа — Коля, 11) Наташа — Витя, 12) Наташа — Олег, 13) Света — Петя, 14) Света — Коля, 15) Света — Витя, 16) Света — Олег.
Дерево возможных вариантов
Самые разные комбинаторные задачи решаются с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название метода — дерево возможных вариантов.
Задача 4.
Какие трехзначные числа можно составить из цифр 0, 2, 4?
Решение. Построим дерево возможных вариантов, учитывая, что 0 не может быть первой цифрой в числе.
Ответ: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.
Задача 5.
Школьные туристы решили совершить путешествие к горному озеру. Первый этап пути можно преодолеть на поезде или автобусе. Второй этап — на байдарках, велосипедах или пешком. И третий этап пути — пешком или с помощью канатной дороги. Какие возможные варианты путешествия есть у школьных туристов?
Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив путешествие на поезде П, на автобусе — А, на байдарках — Б, велосипедах — В, пешком — Х, на канатной дороге — К.
Ответ: На рисунке перечислены все 12 возможных вариантов путешествия школьных туристов.
Задача 6.
Запишите все возможные варианты расписания пяти уроков на день из предметов: математика, русский язык, история, английский язык, физкультура, причем математика должна быть вторым уроком.
Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив М — математика, Р — русский язык, И — история, А — английский язык, Ф — физкультура.
Ответ: Всего 24 возможных варианта:
|
Р |
Р |
Р |
Р |
Р |
Р |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
А |
А |
А |
А |
А |
А |
Ф |
Ф |
Ф |
Ф |
Ф |
Ф |
Задача 7.
Саша ходит в школу в брюках или джинсах, к ним одевает рубашки серого, голубого, зеленого цвета или в клетку, а в качестве сменной обуви берет туфли или кроссовки.
а) Сколько дней Саша сможет выглядеть по-новому?
б) Сколько дней при этом он будет ходить в кроссовках?
в) Сколько дней он будет ходить в рубашке в клетку и джинсах?
Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив Б — брюки, Д — джинсы, С — серая рубашка, Г — голубая рубашка, З — зеленая рубашка, Р — рубашка в клетку, Т — туфли, К — кроссовки.
Ответ: а) 16 дней; б) 8 дней; в) 2 дня.
Составление таблиц
Решить комбинаторные задачи можно с помощью таблиц. Они, как и дерево возможных вариантов, наглядно представляют решение таких задач.
Задача 8.
Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?
Решение. Составим таблицу: слева первый столбец — первые цифры искомых чисел, вверху первая строка — вторые цифры.
Ответ: 28.
Задача 9.
Маша, Оля, Вера, Ира, Андрей, Миша и Игорь готовились стать ведущими на Новогоднем празднике. Назовите возможные варианты, если ведущими могут быть только одна девочка и один мальчик.
Решение. Составим таблицу: слева первый столбец — имена девочек, вверху первая строка — имена мальчиков.
Ответ: Все возможные варианты перечисляются в строках и столбцах таблицы.
Правило умножения
Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос — сколько их существует.
Задача 10.
В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий и зеленый цвета, причем были представлены все возможные варианты. Сколько команд участвовали в турнире?
Решение.
Трусы могут быть белого, красного, синего или зеленого цвета, т.е. существует 4 варианта. Каждый из этих вариантов имеет 4 варианта цвета майки.
4 х 4 = 16.
Ответ: 16 команд.
Задача 11.
6 учеников сдают зачет по математике. Сколькими способами их можно расположить в списке?
Решение.
Первым в списке может оказаться любой из 6 учеников,
вторым в списке может быть любой из оставшихся 5 учеников,
третьим — любой из оставшихся 4 учеников,
четвертым — любой из оставшихся 3 учеников,
пятым — любой из оставшихся 2 учеников,
шестым — последний 1 ученик.
6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 720.
Ответ: 720 способами.
Задача 12.
Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 4, 6, 7?
Решение.
Первой в двузначном числе может быть 5 цифр (цифра 0 не может быть первой в числе), второй в двузначном числе может быть 4 цифры (0, 2, 4, 6, т.к. число должно быть четным).
5 х 4 = 20.
Ответ: 20 чисел.
План урока
- Метод перебора вариантов
- Метод «дерево возможных вариантов»
- Графы
Цели урока
- Знать способы решения комбинаторных задач.
- Уметь решать комбинаторные задачи несколькими способами.
Разминка
- Сколько цифр может быть на первом месте в записи четырехзначного числа?
- На отрезке АВ отмечена точка С. Сколько отрезков получилось на чертеже?
Метод перебора вариантов
Представьте, что за вами должно приехать такси. По телефону оператор называет номер машины 24… А последнюю цифру в номере вы не услышали. Сколько существует номеров автомобиля с первыми цифрами 2, 4 (буквы не учитываем)?
Последней цифрой может быть любая от 0 до 9. Получается, что таких номеров 10. Такие варианты номеров называются комбинациями, а сами задачи — комбинаторными.
Коля, Вася и Петя участвовали в эстафете. Сколько вариантов распределения мест среди этих трех учеников может быть?
Решение способом 1
Рассмотрим первый случай. Первое место занимает Коля, тогда либо Вася второе и Петя третье, либо Петя второе, а Вася третье.
Если первое место занимает Вася, тогда либо Петя второе и Коля третье, либо Коля второе, а Петя третье.
Если первое место занимает Петя, тогда либо Вася второе и Коля третье, либо Вася третье, тогда Коля занимает второе место.
Удобнее посмотреть все варианты в таблице:
Рис. 1. Пример 1. Способ 1
Ответ: 6 вариантов.
Метод «дерево возможных вариантов»
Способ 2
Задачу можно решить еще более наглядным способом с помощью схемы, где верхний ряд — первое место, второй ряд — второе место, третий ряд — третье место.
Решение
Рис. 2. Пример 1. Способ 2
Такая схема называется деревом возможных вариантов.
Подсчитываем количество вариантов по третьему ряду.
Ответ: 6 вариантов.
Способ 3
На первом месте может оказаться один из трех ребят. Значит на втором двое, так как третий занял первое место. Значит на каждый из трех вариантов 1 места приходится по 2 варианта второго места (3 · 2). На третьем месте — один вариант, так как первое и второе места заняты. То есть на каждый вариант 2 места приходится только 1 вариант 3 места.
Получаем 3 · 2 · 1 = 6.
Ответ: 6 вариантов.
Сколько углов на рис. 3?
Рис. 3. Пример 2. Углы с общей вершиной
Решение
Угол обозначим 3 буквами, одной из которых будет О, как вершина угла. Учтем, что углы BOC и COB — один и тот же угол.
Начнем с буквы B. Выпишем углы, которые начинаются с этой буквы: BOC, BOD, BOE.
Берем букву С, но помним, что букву В повторно использовать уже не можем: COD, COE.
Осталась буква D, буквы C и В не используем: DOC.
C точки Е назвать угол не сможем, так как этот угол будет повторным.
Итого получили 6 углов.
Ответ: 6 углов.
Графы
При встрече четыре приятеля обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?
Рис. 4. Пример 3
Решение
Построим 4 точки, которые соответствуют четырем приятелям. Каждое рукопожатие отметим отрезком. Осталось сосчитать количество отрезков. Заметим, что если 1 пожал руку 2, то и 2 пожал руку 1 — засчитываем как одно рукопожатие. Получаем 6 отрезков. Такой графический метод решения задачи называется методом графов.
Ответ: 6
1. Укажите все трёхзначные числа, для записи которых используются только цифры (цифры не могут повторяться) 1, 2 и 3.
2. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1 и 2 (цифры могут повторяться)?
3. Сколько существует различных прямоугольников, площади которых равны 12 см2, а длины сторон выражены целым числом сантиметров?
1. Что такое «комбинаторные задачи»?
2. Что такое дерево возможных вариантов?
3. Какие способы решения комбинаторных задач вы знаете?
Ответы
1. 123, 132, 213, 231, 312, 321.
2. 6.
3. 3.