Как составить эквивалентную схему цепи

Введение

Решение задач — неотъемлемая часть обучения
физике, поскольку в процессе решения задач
происходит формирование и обогащение физических
понятий, развивается физическое мышление
учащихся и совершенствуется их навыки
применения знаний на практике.

В ходе решения задач могут быть поставлены и
успешно реализованы следующие дидактические
цели:

• Выдвижение проблемы и создание проблемной
  ситуации;
• Обобщение новых сведений;
• Формирование практических умений и навыков;
• Проверка глубины и прочности знаний;
• Закрепление, обобщение и повторение материала;
• Реализация принципа политехнизма;
• Развитие творческих способностей учащихся.

Наряду с этим при решении задач у школьников
воспитываются трудолюбие, пытливость ума,
смекалка, самостоятельность в суждениях, интерес
к учению, воля и характер, упорство в достижении
поставленной цели. Для реализации перечисленных
целей особенно удобно использовать
нетрадиционные задачи.

§1. Задачи по расчету электрических
цепей постоянного тока

По школьной программе на рассмотрение данной
темы очень мало отводится времени, поэтому
учащиеся более или менее успешно овладевают
методами решения задач данного типа. Но часто
такие типы задач встречаются олимпиадных
заданиях, но базируются они на школьном курсе.

К таким, нестандартным задачам по расчету
электрических цепей постоянного тока можно
отнести задачи, схемы которых:

1) содержат большое число элементов –
резисторов или конденсаторов;

2) симметричны;

3) состоят из сложных смешанных соединений
элементов.

В общем случае всякую цепь можно рассчитать,
используя законы Кирхгофа. Однако эти законы не
входят в школьную программу. К тому же, правильно
решить систему из большого числа уравнений со
многими неизвестными под силу не многим учащимся
и этот путь не является лучшим способом тратить
время. Поэтому нужно уметь пользоваться
методами, позволяющими быстро найти
сопротивления и емкости контуров.

§2. Метод эквивалентных схем

Метод эквивалентных схем заключается в том, что
исходную схему надо представить в виде
последовательных участков, на каждом из которых
соединение элементов схемы либо
последовательно, либо параллельно. Для такого
представления схему необходимо упростить. Под
упрощением схемы будем понимать соединение или
разъединение каких-либо узлов схемы, удаление
или добавление резисторов, конденсаторов,
добиваясь того, чтобы новая схема из
последовательно и параллельно соединенных
элементов была эквивалентна исходной.

Эквивалентная схема – это такая схема, что при
подаче одинаковых напряжений на исходную и
преобразованную схемы, ток в обеих цепях будет
одинаков на соответствующих участках. В этом
случае все расчеты производятся с
преобразованной схемой.

Чтобы начертить эквивалентную схему для цепи
со сложным смешанным соединением резисторов
можно воспользоваться несколькими приемами. Мы
ограничимся рассмотрением в подробностях лишь
одного из них – способа эквипотенциальных узлов.

Этот способ заключается в том, что в
симметричных схемах отыскиваются точки с
равными потенциалами. Эти узлы соединяются между
собой, причем, если между этими точками был
включен какой-то участок схемы, то его
отбрасывают, так как из-за равенства потенциалов
на концах ток по нему не течет и этот участок
никак не влияет на общее сопротивление схемы.

Таким образом, замена нескольких узлов равных
потенциалов приводит к более простой
эквивалентной схеме. Но иногда бывает
целесообразнее обратная замена одного узла

несколькими узлами с равными потенциалами, что
не нарушает электрических условий в остальной
части.

Рассмотрим примеры решения задач эти методом.

З а д а ч а №1

Рассчитать сопротивление между точками А и В
данного участка цепи. Все резисторы одинаковы и
их сопротивления равны r.

Решение:

В силу симметричности ветвей цепи точки С И Д
являются эквипотенциальными. Поэтому резистор
между ними мы можем исключить. Эквипотенциальные
точки С и Д соединяем в один узел. Получаем очень
простую эквивалентную схему:

Сопротивление которой равно:

RАВ=Rac+Rcd=r*r/r*r+r*r/r+r=r.

З а д а ч а № 2

Решение:

В точках F и F` потенциалы равны, значит
сопротивление между ними можно отбросить.
Эквивалентная схема выглядит так:

Сопротивления участков DNB;F`C`D`; D`, N`, B`; FCD равны
между собой и равны R1:

1/R1=1/2r+1/r=3/2r

R1=2/3*r

С учетом этого получается новая эквивалентная
схема:

Ее сопротивление и сопротивление исходной цепи
RАВ равно:

1/RАВ=1/r+R1+R1+1/r+R1+R1=6/7r

RАВ=(7/6)*r.

З а д а ч а № 3.

Решение:

Точки С и Д имеют равные потенциалы.
Исключением сопротивление между ними. Получаем
эквивалентную схему:

Искомое сопротивление RАВ равно:

1/RАВ=1/2r+1/2r+1/r=2/r

RАВ=r/2.

З а д а ч а № 4.

Решение:

Как видно из схемы узлы 1,2,3 имеют равные
потенциалы. Соединим их в узел 1. Узлы 4,5,6 имеют
тоже равные потенциалы- соединим их в узел 2.
Получим такую эквивалентную схему:

Сопротивление на участке А-1, R 1-равно
сопротивлению на участке 2-В,R3 и равно:

R1=R3=r/3

Сопротивление на участке 1-2 равно: R2=r/6.

Теперь получается эквивалентная схема:

Общее сопротивление RАВ равно:

RАВ= R1+ R2+ R3=(5/6)*r.

З а д а ч а № 5.

Решение:

Точки C и F-эквивалентные. Соединим их в один
узел. Тогда эквивалентная схема будет иметь
следующий вид:

Сопротивление на участке АС:

Rас=r/2

Сопротивление на участке FN:

R_FN =

Сопротивление на участке DB:

R_DB =r/2

Получается эквивалентная схема:

Искомое общее сопротивление равно:

R_AB= r.

Задача №6

Решение:

Заменим общий узел О тремя узлами с равными
потенциалами О, О₁ , О₂. Получим
эквивалентную систему:

Сопротивление на участке ABCD:

R₁=(3/2)*r

Сопротивление на участке A`B`C`D`:

R₂= (8/3)*r

Сопротивление на участке ACВ

R₃ = 2r.

Получаем эквивалентную схему:

Искомое общее сопротивление цепи R_AB
равно:

R_AB= (8/10)*r.

Задача №7.

Решение:

“Разделим” узел О на два эквипотенциальных
угла О₁ и О₂. Теперь схему можно
представить, как параллельные соединение двух
одинаковых цепей. Поэтому достаточно подробно
рассмотреть одну из них:

Сопротивление этой схемы R₁ равно:

R₁ = 3r

Тогда сопротивление всей цепи будет равно:

R_AB = (3/2)*r

З а д а ч а №8

Решение:

Узлы 1 и 2 – эквипотенциальные, поэтому соединим
их в один узел I. Узлы 3 и 4 также эквипотенциальные
– соединимих в другой узел II. Эквивалентная
схема имеет вид:

Сопротивление на участке A- I равно
сопротивлению на участке B- II и равно:

R_I =

Сопротивление участка I-5-6- II равно:

R_II = 2r

Cопротивление участка I- II равно:

R_III =

Получаем окончательную эквивалентную схему:

Искомое общее сопротивление цепи R_AB=(7/12)*r.

З а д а ч а №9

В ветви ОС заменим сопротивление на два
параллельно соединенных сопротивления по 2r.
Теперь узел С можно разделить на 2
эквипотенциальных узла С₁ и С₂.
Эквивалентная схема в этом случае выглядит так:

Сопротивление на участках ОС_IB и DC_IIB
одинаковы и равны, как легко подсчитать 2r. Опять
чертим соответствующую эквивалентную схему:

Сопротивление на участке AOB равно
сопротивлению на участке ADB и равно (7/4)*r. Таким
образом получаем окончательную эквивалентную
схему из трех параллельно соединенных
сопротивлений:

Ее общее сопротивление равно R_AB= (7/15)*r

З а д а ч а № 10

Точки СОD имеют равные потенциалы – соединим их
в один узел О^I .Эквивалентная схема
изображена на рисунке :

Сопротивление на участке А О^I равно . На участке
О^IВ сопротивление равно .Получаем совсем
простую эквивалентную схему:

ЕЕ сопротивление равно искомому общему
сопротивлению

R_AB=(5/6)*r

Задачи № 11 и № 12 решаются несколько иным
способом, чем предыдущие. В задаче №11 для ее
решения используется особое свойство
бесконечных цепей, а в задаче № 12 применяется
способ упрощения цепи.

Задача № 11

Решение

Выделим в этой цепи бесконечно повторяющееся
звено, оно состоит в данном случае из трех первых
сопротивлений. Если мы отбросим это звено, то
полное сопротивление бесконечной цепи R не
измениться от этого , так как получится точно
такая же бесконечная цепь. Так же ничего не
измениться, если мы выделенное звено подключим
обратно к бесконечному сопротивлению R, но при
этом следует обратить внимание , что часть звена
и бесконечная цепь сопротивлением R соединены
параллельно. Таким образом получаем
эквивалентную схему :

Получается уравнения

R_AB=2ч +

R_AB = R

Решая систему этих уравнений, получаем:

R=ч (1+ ).

§3. Обучение решению задач по расчету
электрических цепей способом эквипотенциальных
узлов

Задача – это проблема, для разрешения которой
ученику потребуются логические рассуждения и
выводы. Строящиеся на основе законов и методов
физики. Таким образом, с помощью задач происходит
активизация целенаправленного мышления
учащихся.

В то же время. Теоретические знания можно
считать усвоенными только тогда, когда они
удачно применяются на практике. Задачи по физике
описывают часто встречающиеся в жизни и на
производстве проблемы, которые могут быть решены
с помощью законов физики и, если ученик успешно
решает задачи, то можно сказать, что он хорошо
знает физику.

Для того, чтобы ученики успешно решали задачи,
недостаточно иметь набор методов и способов
решения задач, необходимо еще специально учить
школьников применению этих способов.

Рассмотрим план решения задач по расчету
электрических цепей постоянного тока методом
эквипотенциальных узлов.

1. Чтение условия.
2. Краткая запись условия.
3. Перевод в единицы СИ.
4. Анализ схемы:
1. установить, является ли схема симметричной;
2. установить точки равного потенциала;
3. выбрать, что целесообразнее сделать –
   соединить точки равных потенциалов или же,
   наоборот, разделить одну точку на несколько
   точек равных потенциалов;
4. начертить эквивалентную схему;
5. найти участки только с последовательным или
   только с параллельным соединением и рассчитать
   общее сопротивление на каждом участке по законам
   последовательного и параллельного соединения;
6. начертить эквивалентную схему, заменяя участки
   соответствующими им расчетными сопротивлениями;
7. пункты 5 и 6 повторять до тех пор, пока не
   останется одно сопротивление, величина которого
   и будет решением задачи.
5. Анализ реальности ответа.

Подробнее об анализе схемы

а) установить, является ли схема симметричной.

Определение. Схема симметрична, если одна ее
половина является зеркальным отражением другой.
Причем симметрия должна быть не только
геометрической, но должны быть симметричны и
численные значения сопротивлений или
конденсаторов.

Примеры:

1)

Схема симметричная, так как ветви АСВ и АДВ
симметричны геометрически и отношение
сопротивления на одном участке АС:АД=1:1 такое же,
как и на другом участке СД:ДВ=1:1.

2)

Схема симметричная, так как отношение
сопротивлений на участке АС:АД=1:1 такое же, как и
на другом участке СВ:ДВ=3:3=1:1

3)

Схема не симметрична, так как отношения
сопротивлений численно

не симметричны -1:2 и 1:1.

б) установить точки равных потенциалов.

Пример:

Из соображений симметрии делаем вывод, что в
симметричных точках потенциалы равны. В данном
случае симметричными точками являются точки С и
Д. Таким образом, точки С и Д – эквипотенциальные
точки.

в) выбрать, что целесообразно сделать –
соединить точки равных потенциалов или же,
наоборот, разделить одну точку на несколько
точек равных потенциалов.

Мы видим в этом примере, что между точками
равных потенциалов С и Д включено сопротивление,
по которому ток не будет течь. Следовательно, мы
можем отбросить это сопротивление, а точки С и Д
соединить в один узел.

г) начертить эквивалентную схему.

Чертим эквивалентную схему. При этом получаем
схему с соединенными в одну точку точками С и Д.

д) найти участки только с последовательным или
только с параллельным соединением и рассчитать
общее сопротивление на каждом таком участке по
законам последовательного и параллельного
соединения.

Из полученной эквивалентной схемы видно, что на
участке АС мы имеем два параллельно соединенных
резистора. Их общее сопротивление находится по
закону параллельного соединения:

1/ Rобщ=1/R1+1/R2+1/R3+…

Таким образом 1/RAC=1/r+1/r=2/r,откуда RAC= r/2.

На участке СВ картина аналогичная:

1/RCB= 1/r+1/r =2/r, откуда RCB=r/2.

е)начертить эквивалентную схему, заменяя
участки соответствующими им расчетными
сопротивлениями.

Чертим эквивалентную схему подставляя в нее
рассчитанные сопротивления участков RAC и RCB:

ж)пункты д) и е) повторять до тех пор, пока
останется одно сопротивление, величина которого
и будет решением задачи.

Повторяем пункт д): на участке АВ имеем два
последовательно соединенных сопротивления. Их
общее сопротивление находим по закону
последовательного соединения:

Rобщ= R1+R2+R3+… то есть, RAB=RAC+RCB = r/2+r/2 =2r/2 = r.

Повторяем пункт е): чертим эквивалентную
схему:

Мы получили схему с одним сопротивлением,
величина которого равна сопротивлению исходной
схемы. Таким образом, мы получили ответ RAB = r.

Далее, для проверки усвоения данного материала
можно учащимся предложить задания для
самостоятельной работы, взятые из
дидактического материала. (см. приложение)

Литература

1. Балаш. В.А. задачи по физике и методы их решения. —
   М: Просвещение,1983.
2. Лукашик В.И. Физическая олимпиада.- М:
   Просвещение, 2007
3. Усова А.В., Бобров А.А. Формирование учебных
   умений и навыков учащихся на уроках физики.- М:
   Просвещение,1988
4. Хацет А. Методы расчета эквивалентных схем
   //Квант.
5. Чертов А. Г. Задачник по физике. – М.: Высшая
   школа,1983
6. Зиятдинов Ш.Г., Соловьянюк С.Г. (методические
   рекомендации) г. Бирск,1994г
7. Марон А.Е., Марон Е.А. Физика. Дидактические
   материалы. Москва, “Дрофа”, 2004г

Главная
→
Примеры решения задач ТОЭ
→
Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Основными законами, определяющими расчет электрической цепи, являются законы Кирхгофа.

На основе законов Кирхгофа разработан ряд практических методов расчета электрических цепей постоянного тока, позволяющих сократить вычисления при расчете сложных схем.

Существенно упростить вычисления, а в некоторых случаях и снизить трудоемкость расчета, возможно с помощью эквивалентных преобразований схемы.

Преобразуют параллельные и последовательные соединения элементов, соединение «звезда» в эквивалентный «треугольник» и наоборот. Осуществляют замену источника тока эквивалентным источником ЭДС. Методом эквивалентных преобразований теоретически можно рассчитать любую цепь, и при этом использовать простые вычислительные средства. Или же определить ток в какой-либо одной ветви, без расчета токов других участков цепи.

В данной статье по теоретическим основам электротехники рассмотрены примеры расчета линейных электрических цепей постоянного тока с использованием метода эквивалентных преобразований типовых схем соединения источников и потребителей энергии, приведены расчетные формулы.

Решение задач Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

---

Задача 1. Для цепи (рис. 1), определить эквивалентное сопротивление относительно входных зажимов a−g, если известно: R₁ = R₂ = 0,5 Ом, R₃ = 8 Ом, R₄ = R₅ = 1 Ом, R₆ = 12 Ом, R₇ = 15 Ом, R₈ = 2 Ом, R₉ = 10 Ом, R₁₀= 20 Ом.

Рис. 1

Решение

Начнем эквивалентные преобразования схемы с ветви наиболее удаленной от источника, т.е. от зажимов a−g:

---

Задача 2. Для цепи (рис. 2, а), определить входное сопротивление если известно: R₁ = R₂ = R₃ = R₄= 40 Ом.

Рис. 2

Решение

Исходную схему можно перечертить относительно входных зажимов (рис. 2, б), из чего видно, что все сопротивления включены параллельно. Так как величины сопротивлений равны, то для определения величины эквивалентного сопротивленияможно воспользоваться формулой:

где R — величина сопротивления, Ом;

n — количество параллельно соединенных сопротивлений.

---

Задача 3. Определить эквивалентное сопротивление относительно зажимов a–b, если R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = R₅ = R₆ = 10 Ом (рис. 3, а).

Рис. 3

Решение

Преобразуем соединение «треугольник» f−d−c в эквивалентную «звезду». Определяем величины преобразованных сопротивлений (рис. 3, б):

По условию задачи величины всех сопротивлений равны, а значит:

На преобразованной схеме получили параллельное соединение ветвей между узлами e–b, тогда эквивалентное сопротивление равно:

И тогда эквивалентное сопротивление исходной схемы представляет последовательное соединение сопротивлений:

---

Задача 4. В заданной цепи (рис. 4, а) определить методом эквивалентных преобразований входные сопротивления ветвей a−b, c–d и f−b, если известно, что: R₁ = 4 Ом, R₂ = 8 Ом, R₃ =4 Ом, R₄ = 8 Ом, R₅ = 2 Ом, R₆ = 8 Ом, R₇ = 6 Ом, R₈ =8 Ом.

Решение

Для определения входного сопротивления ветвей исключают из схемы все источники ЭДС. При этом точки c и d, а также b и f соединяются накоротко, т.к. внутренние сопротивления идеальных источников напряжения равны нулю.

Рис. 4

Ветвь a−b разрывают, и т.к. сопротивление R_a–b = 0, то входное сопротивление ветви равно эквивалентному сопротивлению схемы относительно точек a и b (рис. 4, б):

Аналогично методом эквивалентных преобразований определяются входные сопротивления ветвей R_cd и R_bf. Причем, при вычислении сопротивлений учтено, что соединение накоротко точек a и b исключает ( «закорачивает») из схемы сопротивления R₁, R₂, R₃, R₄ в первом случае, и R₅, R₆, R₇, R₈ во втором случае.

---

Задача 5. В цепи (рис. 5) определить методом эквивалентных преобразований токи I₁, I₂, I₃ и составить баланс мощностей, если известно: R₁ = 12 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 30 Ом, U = 120 В.

Рис. 5

Решение

Эквивалентное сопротивлениедля параллельно включенных сопротивлений:

Эквивалентное сопротивление всей цепи:

американские сигареты парламент.

Ток в неразветвленной части схемы:

Напряжение на параллельных сопротивлениях:

Токи в параллельных ветвях:

Баланс мощностей:

---

Задача 6. В цепи (рис. 6, а), определить методом эквивалентных преобразований показания амперметра, если известно: R₁ = 2 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 30 Ом, R₄ = 40 Ом, R₅ = 10 Ом, R₆ = 20 Ом, E = 48 В. Сопротивление амперметра можно считать равным нулю.

Рис. 6

Решение

Если сопротивления R₂, R₃, R₄, R₅ заменить одним эквивалентным сопротивлением R_Э, то исходную схему можно представить в упрощенном виде (рис. 6, б).

Величина эквивалентного сопротивления:

проститутки академическая. Смотри здесь строительство и ремонт деревянного дома.

Преобразовав параллельное соединение сопротивлений R_Э и R₆ схемы (рис. 6, б), получим замкнутый контур, для которого по второму закону Кирхгофа можно записать уравнение:

откуда ток I₁:

Напряжение на зажимах параллельных ветвей U_ab выразим из уравнения по закону Ома для пассивной ветви, полученной преобразованием R_Э и R₆:

Тогда амперметр покажет ток:

---

Задача 7. Определить токи ветвей схемы методом эквивалентных преобразований (рис. 7, а), если R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = 3 Ом, J = 5 А, R₅ = 5 Ом.

Рис. 7

Решение

Преобразуем «треугольник» сопротивлений R₁, R₂, R₃ в эквивалентную «звезду» R₆, R₇, R₈ (рис. 7, б) и определим величины полученных сопротивлений:

Преобразуем параллельное соединение ветвей между узлами 4 и 5

Ток в контуре, полученном в результате преобразований, считаем равным току источника тока J, и тогда напряжение:

И теперь можно определить токи I₄ и I₅:

Возвращаясь к исходной схеме, определим напряжение U₃₂ из уравнения по второму закону Кирхгофа:

Тогда ток в ветви с сопротивлением R₃ определится:

Величины оставшихся неизвестными токов можно определить из уравнений по первому закону Кирхгофа для узлов 3 и 1:

---

Электронная версия статьи Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Примеры решения задач Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

---

Метод эквивалентных преобразований

Электрические
цепи считают простыми,
если они содержат только последовательное
или только параллельное соединение
элементов.

Участок цепи,
содержащий и параллельное, и последовательное
соединение элементов называют сложным
или участком
со смешанным соединением
элементов.

Преобразования
электрических цепей считают эквивалентными,
если при их выполнении напряжения и
токи на интересующих нас участках не
изменяются.

При преобразовании
сложных электрических цепей пользуются
последовательным методом, то есть
последовательно преобразуют участки
цепи, имеющие простое соединение
элементов.

4.3.1. Эквивалентное преобразование схемы при последовательном соединении элементов

Рассмотрим
комплексную схему замещения электрической
цепи, состоящей из последовательного
соединения отдельных элементов (рис.
4.6). Данная цепь представляет собой
контур, у которого через все элементы
протекает общий для всех элементов ток.
Эквивалентно преобразуем схему к одному
элементу, но так чтобы напряжение и ток
на выводах схемы сохранили свои значения.
Это возможно, когда сопротивление
исходной цепи и эквивалентной цепи
одинаковы. На основании закона Ома и
второго закона Кирхгофа в комплексной
форме можно записать уравнение
электрического равновесия

Напряжение
и ток для обеих схем одинаковы, когда

.

Вывод. При
эквивалентном преобразовании, при
последовательном соединении элементов
их комплексные сопротивления складываются.

1) Эквивалентное преобразование сопротивлений

Рассмотрим
электрическую цепь схема, которой
приведена на рис.4.7. Эквивалентно
преобразуем сопротивления R₁и
R₂
к одному сопротивлению R_экв.

Учитывая, что Z_R=R,
и соотношение полученное выше, получим
R_экв=R₁+R₂.

2) Эквивалентное
преобразование емкостей.

Рассмотрим
электрическую цепь схема, которой
приведена на рис.4.8. Эквивалентно
преобразуем емкости С₁и
С₂
к одной эквивалентной емкости С_экв.

Учитывая, что
Z_С=1/(jωC),
и соотношение полученное выше, получим

.

3) Эквивалентное
преобразование индуктивностей

Рассмотрим
электрическую цепь схема, которой
приведена на рис.4.9 . Эквивалентно
преобразуем индуктивностиL₁и
L₂
к одной эквивалентной индуктивности
L_экв.

Учитывая, что
Z_L=jωL,
и соотношение полученное выше, получим
L_экв=L₁+L₂.

4.3.2. Эквивалентное преобразование схемы при параллельном соединении элементов

Рассмотрим
комплексную схему замещения электрической
цепи, состоящей из параллельного
соединения отдельных элементов (рис.
4.10). Данная цепь содержит два узла, между
которыми включены все элементы. Общим
для всех элементов является напряжение
на них. Эквивалентно преобразуем схему
к одному элементу, но так чтобы напряжение
и ток на выводах схемы сохранили свои
значения. Это возможно, когда сопротивление
исходной цепи и эквивалентной цепи
одинаковы. На основании закона Ома и
первого закона Кирхгофа в комплексной
форме можно записать уравнение
электрического равновесия

I=I₁+I₂+…+I_n,
или
(U/Z_экв)
= (U/Z₁)
+ (U/Z₂)
+ …(U/Z_n)
.

Отсюдаследует,
что

(1/Z_экв)
= (1/Z₁)
+ (1/Z₂)
+ … +(1/Z_n),
или Z_экв
= 1/[(1/Z₁)
+ (1/Z₂)
+ … +(1/Z_n)].

Учитывая, (1/Z)
= Y
– комплексная проводимость элемента,
можно записать, что

Y_экв
= Y₁
+ Y₂
+ … + Y_n.

Вывод.
При эквивалентном преобразовании, при
параллельном соединении элементов их
комплексные проводимости складываются.

Соседние файлы в папке elekteh_lek

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Методы расчета электрических цепей

Основными методами расчета электрических цепей являются:

1. Метод наложения.
2. Расчет электрических цепей с использованием законов Кирхгофа и Ома.
3. Метод эквивалентного генератора.
4. Метод эквивалентных преобразований.
5. Метод узловых потенциалов.
6. Метод контурных токов.

Большинство методов расчета электрических цепей основано на упрощении процедуры нахождения тока в ее ветвях. Некоторые из них основаны на упрощении систем уравнений, по которым осуществляется расчет, а в других случаях упрощается сама схема. Упрощение схемы применяется тогда, когда есть необходимость в определении электрического тока только в одной ветви.

Метод эквивалентных преобразований. Примеры расчета

Преобразование электрической цепи считается эквивалентным, в том случае, если при замене участка рассматриваемой электрической цепи более простыми электрические токи и напряжения участка, который не был преобразован, остаются неизменными. На практике, при расчетах электрических цепей используется преобразование со смешанным соединением элементов, представляющее собой сочетание простых параллельных и последовательных соединений. При помощи метода эквивалентных преобразований можно рассчитать практически любую цепь, при этом используются простые вычислительные средства и операции. Данный метод также позволяет рассчитать ток в ветви цепи, без расчета других участков.

Рассмотри схему, которая представлена на рисунке ниже.

«Метод эквивалентных преобразований» 👇

Так как в представленной схеме всего один источник, то можно определить истинные направления токов, как и показано на рисунке. Таким образом мы можем рассчитать эквивалентное сопротивление всей схемы:

$Rэк = ((((R3*R4)/(R3+R4)+R5))/R2) / ((R3*R4)/(R3+R4)+R5+R2))+R1$

Поэтому эквивалентная схема будет иметь следующий вид

Так как при эквивалентности замены участка схемы необходима неизменность токов и напряжений остальной цепи, то электрический ток будет везде одинаков. Таким образом электрический ток источника можно рассчитать следующим образом:

$I1 = E/Rэкв$

Так как нам известно сопротивление на первом участке, то мы можем рассчитать напряжение на элементе R1:

$U1 = I1*R1$

Согласно второму закону Кирхгофа запишем уравнение для контура R1-E-R2:

$E = U1+U2 = I*=I1*R1+I2*R2$

Откуда

$U2 = E-U1$

Теперь согласно закону Ома можно рассчитать ток на втором участке:

$I2 = U2/R2$

Применяя закон на третьем участке рассчитываем электрический ток на третьем участке:

$I3 = I1-I2$

Напряжение на резисторе 3 рассчитывается по второму закону Кирхгофа, действительного для контура R2-R5-R3:

$U4 = U2-U3$

Так как в рассматриваемой схеме сопротивления 3 и 4 соединены параллельно, то напряжение на них будет одинаково, поэтому можно рассчитать токи I4 и I5 по следующим формулам:

$I4 = U4/R3$

$I5 = U4/R4$

Рассмотрим схему, которая представлена на рисунке ниже.

Предположим, что нам известны следующие величины R1, R2, R3, R4, R5, R6, E1, E2, J. На рисунках ниже изображено поэтапное преобразование исходной схемы, задачей которого является расчет I3.

На схеме б резисторы 4 и 6 соединены последовательно и могут быть заменены на один резистор R46, который рассчитывается следующим образом:

$R46 = R4+R6$

В схеме в источник электродвижущей силы 1 пересчитывается в эквивалентный источник тока следующим образом:

$Jэ = Е1/R3$

Затем сопротивление R2 и R3 могут быть заменены эквивалентны R23, которое рассчитывается по формуле:

$R23 = (R2*R3) / (R2+R3)$

Затем производится (рисунок д) обратный расчет эквивалентного источника электрического тока в эквивалентный источник электродвижущей силы:

$Eэ = Jэ*R23$

Рассмотрим рисунок е, на котором изображен пересчет электродвижущей силы Е2 в эквивалентный источник тока:

$Jэ1 = Е2/R46$

Теперь Jэ1 с источником J объединяется в один эквивалентный источник тока, суммарный ток которого можно рассчитать по следующей формуле:

$Jэ2 = J + Jэ1$

В данном случае сопротивление (рисунок з) R5 не будет учитываться, потому что сопротивление источника тока бесконечно. В последнем рисунке производится обратный переход к источнику электродвижущей силы:

$Еэ1 = Jэ2*R46$

В итоге получается одноконтурная схема, по которой можно рассчитать I3

$I3 = (Eэ+Еэ1) / (R1+R23+R46)$

Из схемы д можно рассчитать электрический ток I4, для чего используется первый закон Кирхгофа:

$I4+J-I3=0$
Отсюда

$I4 = I3-J$
Так как теперь известны токи I3 и I4, то по рисунку б можно рассчитать электрический ток I1, для чего составляется уравнение по второму закону Кирхгофа для внешнего контура схемы:

$I1*R3+I4*R46+I3*R1 = E1+E2$

Из вышепредставленного уравнения находится I1, а затем по второму закону рассчитывается электрический ток I2:

$I2+I3-I1 = 0$

Отсюда

$I2 = I1-I3$

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

Батракова В.С.

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

Цель занятия:

научиться преобразовывать электрические цепи используя метод потенциалов

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

Схематическое представление

Элемент цепи

R = 0

R ≠ 0

ε , r = 0

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

[ φ ] = [ B ] – потенциал

φ₁ — φ₂ = Δ φ = U – разность потенциалов (напряжение)

Идеальный проводник: Δφ = 0 φ₁ φ₁ φ₁

Неидеальный проводник: Δφ = U φ₁ φ₂

Идеальный источник тока: Δφ = ε

ε

0

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

При параллельном соединении проводников напряжение на всех участках одинаковое

ε

0

ε

0

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

Алгоритм:

• Определите идеальные проводники
• Выберите нулевой провод
• Расставьте потенциалы на схеме
• Определите точки с одинаковым потенциалом
• Начертите эквивалентную схему

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

Задание № 1

Начертите эквивалентную схему представленной электрической цепи

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

1.

Определим идеальные проводники. Их здесь два

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

1.

Определим идеальные проводники. Их здесь два

2. За «нулевой» провод выберем красный

0

ε

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

1.

Определим идеальные проводники. Их здесь два

2. За «нулевой» провод выберем красный

3. Расставим потенциалы

0

0

ε

ε

0

ε

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

1.

Определим идеальные проводники. Их здесь два

2. За «нулевой» провод выберем красный

3. Расставим потенциалы

0

0

2

3

1

ε

ε

0

ε

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

Эквивалентная схема

0

0

2

3

1

ε

ε

0

ε

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

Задание № 2

Начертите эквивалентную схему представленной электрической цепи

2

3

1

4

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

1. Определим идеальные проводники. Их здесь три

2

3

1

4

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

1. Определим идеальные проводники. Их здесь три

2. За «нулевой» провод выберем красный

3. Расставим потенциалы

φ

0

ε

ε

ε

0

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

ε

0

φ

ε

ε

0

φ

0

ε

ε

ε

0

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

Задание № 3

Начертите эквивалентную схему представленной электрической цепи

5

3

1

2

4

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

1. Определим идеальные проводники. Их здесь четыре

5

3

1

2

4

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

1. Определим идеальные проводники. Их здесь четыре

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

1. Определим идеальные проводники. Их здесь четыре

2. За «нулевой» провод выберем красный

ε

φ₁

0

φ₂

ε

0

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

Задание № 3

φ₂

0

ε

φ₁

ε

φ₁

0

φ₂

ε

0

ε

0

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

Задание № 4

Начертите эквивалентную схему представленной электрической цепи

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

1. Определим идеальные проводники.

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

1. Определим идеальные проводники. Их здесь четыре

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

• Определим идеальные проводники. Их здесь четыре
• За «нулевой» провод выберем голубой

ε

φ₂

φ₁

ε

0

φ₂

0

φ₂

0

Метод потенциалов для преобразования электрических цепей

φ₂

ε

φ₂

φ₁

ε

0

φ₁

ε

ε

0

0

φ₂

0

φ₂

0

Спасибо за внимание