Как составить формулу деления с остатком

Онлайн калькулятор поможет вам быстро вычислить остаток от деления двух чисел. Этот инструмент очень полезен для проверки решений в задачах по математике и арифметике. Это очень важная арифметическая операция, которую нужно знать для решения многих задач.

Онлайн калькулятор деление с остатком

Деление с остатком

Деление с остатком — это когда вы делите одно натуральное число на другое, и получаете остаток, который не равен нулю.

Деление с остатком целых положительных чисел

Это операция, при которой одно целое положительное число (делимое) делится на другое целое положительное число (делитель), и остается некоторое число, которое нельзя разделить на делитель без остатка.

Формула
a=b⋅q+ra = b cdot q + r

Деление с остатком может быть полезно при решении математических задач, например, для определения четности или нечетности числа. Если остаток от деления на 2 равен 0, то число четное, иначе — нечетное.

Пример
При делении 1010 на 33 с остатком получится результат 33 и остаток 11, так как 3⋅3=93 cdot3=9, и оставшаяся единица не может быть разделена на 33.

Деление с остатком целых отрицательных чисел

Деление с остатком для целых отрицательных чисел работает по тем же правилам, что и для целых положительных чисел.

Формула
r=a−b⋅qr = a − b cdot q

Вот простой алгоритм деления с остатком целых отрицательных чисел:

1. Найдите модуль делимого и делителя, то есть возьмите их положительные значения;
2. Разделите модуль делимого на модуль делителя, так же как при обычном делении с остатком;
3. Получите неполное частное и остаток;
4. Если делимое и делитель имеют разные знаки, то прибавьте 1 к неполному частному;
5. Вычислите остаток, используя формулу r=a−b⋅qr = a — b cdot q.

Пример
Если мы делим −7-7 на 33, мы получим неполное частное −2-2 и остаток −1-1. А если мы делим −7-7 на −3-3, то неполное частное будет равно 22, а остаток будет 11.

Деление с остатком положительного числа на целое отрицательное

Деление с остатком положительного числа на целое отрицательное выполняется так же, как и деление с остатком двух положительных чисел, но с некоторыми отличиями.

Первым шагом необходимо найти модули делимого и делителя, то есть их значения без учета знака. Затем выполнить обычное деление модуля делимого на модуль делителя и получить неполное частное и остаток. Далее, если знаки делимого и делителя различны, необходимо к неполному частному прибавить 1. Если же знаки одинаковы, то ничего добавлять не нужно. Наконец, вычислить окончательный остаток, используя формулу r=a−b⋅qr = a — b cdot q, где rr — остаток, aa — делимое, bb — делитель, qq — неполное частное.

Пример
Если нужно выполнить деление 2727 на −5-5, то сначала найдем модули: ∣27∣=27|27| = 27 и ∣−5∣=5|-5| = 5. Затем выполним обычное деление: 275=5frac{27}{5} = 5 (остаток 22). Так как знаки чисел различны, добавляем 11 к неполному частному и получаем 66. Наконец, вычисляем окончательный остаток: 27−(−5)⋅6=727 — (-5) cdot 6 = 7. Итак, 27:−5=−627:-5 = -6 (остаток 77).

Деление с остатком отрицательного числа на положительное

Деление с остатком отрицательного числа на положительное выполняется аналогично делению с остатком положительного числа на положительное. Нужно выполнить деление столбиком, а затем проверить правильность ответа, умножив неполное частное на делитель и добавив к произведению остаток. Если результат равен делимому, то деление с остатком выполнено верно.

Пример
Рассмотрим выражение: (−15):4=(−3)(-15) : 4 = (-3) (остаток −3-3). В этом выражении −15-15 — это делимое, 44 — делитель, −3-3 — остаток, а −3-3 — неполное частное. Чтобы проверить правильность ответа, нужно умножить неполное частное (−3)(-3) на делитель (4)(4) и добавить к произведению остаток (−3)(-3). Получим: (−3)⋅4+(−3)=−15(-3) cdot 4 + (-3) = -15. Результат равен делимому, значит, деление с остатком выполнено верно.

Как проверить деление с остатком

Чтобы проверить деление с остатком, необходимо выполнить два шага:
Выполнить деление с остатком, как это делается обычно.
Проверить правильность результата, используя формулу: делимое == делитель ⋅cdot частное ++ остаток.

Формула
a=b⋅c+da = b cdot c + d, где aa — делимое, bb — делитель, cc — неполное частное, dd — остаток.

Если формула выполняется, то результат деления с остатком верный. Если нет, значит, была допущена ошибка при делении.

Пример
Задача: 274=6frac{27}{4} = 6 и остаток 33:

• Делимое равно 2727.
• Делитель равен 44.
• Частное равно 66.
• Остаток равен 33.
  Проверяем формулу: 27=4⋅6+327 = 4 cdot 6 + 3. Формула выполняется, поэтому результат верный.

Формула деления с остатком

При делении числа а на число b
устанавливается, сколько раз по b
содержится в а:

Если получилось с откладываний и осталось
r единиц (r < b), то а
= b • c + r. Это равенство называют
формулой деления с остатком. В нём
показана взаимосвязь между делимым,
делителем, частным и остатком:

Итак, при делении с остатком делимое
равно произведению делителя и частного
плюс остаток (остаток меньше делителя).

Задача.

Некоторое число разделили на 8. Получилось
частное 6 и остаток 3. Найти делимое.

Решение:

b = 8, с = 6, r = 3, Надо
найти а. По формуле деления с остатком
имеем:

а = b • с + r = 8 • 6 + 3 = 51.

Порядок выполнения
совместных действий. Скобки.

Рассмотренные нами четыре действия —
сложение, вычитание, умножение и деление
— принято делить на две ступени. Первые
два действия, т. е. сложение и вычитание,
называются действиями первой ступени,
а последние два, т. е. умножение и деление,
— действиями второй ступени. В каждой
ступени, следовательно, имеется одно
прямое и одно обратное ему действие.

Мы будем называть арифметическим
выражением всякую совокупность
чисел и знаков, указывающих, какие
действия над этими числами нужно
произвести.

Если в выражении встречаются только
действия первой ступени, то их принято
выполнять в том порядке, в каком они
написаны слева направо.

23 + 12— 5 = 35 — 5 = 30; 38— 18 + 11 = 20 + 11 = 31.

Если в выражении встречаются только
действия второй ступени, то их принято
выполнять в том порядке, в каком они
написаны, слева направо. Например:

60 24 : 8 = 1 440 : 8 =
180; 100 : 5  6 = 20 
6 = 120.

Если в выражении встречаются действия
и первой, и второй ступени, то сначала
принято выполнять действия второй
ступени, а потом первой.

1)  80  20 + 10 = 1 600 +
10 = 1 610,

2)  90 + 60 : 4 = 90 + 15 = 105.           

Всякое отклонение от этого порядка
должно быть обозначено скобками.

Например: (15 + 10)  4 —
(27 — 9) : 3 = 25  4 —
18 : 3 = 100 — 6 = 94.

Средним арифметическим нескольких
чисел называется частное от деления
суммы этих чисел на их число.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Открытый урок по математике

в 3 классе. Тема: « Формула деления с остатком».

                                          Учитель: Гущина С.В.

Тип урока: ОНЗ

Тема: «Формула деления с остатком»

Основные цели:

1) Уточнить смысл деления с остатком, название компонентов.

2) Сформировать умение составлять формулу деления с остатком.

3) Отработать навыки вычислений по формуле деления с остатком, решение текстовых задач.

4) способствовать развитию мыслительных операций, внимания, памяти, речи, познавательных интересов;

Мыслительные операции, необходимые на этапе проектирования: анализ, сравнение, аналогия, обобщение.

Демонстрационный материал: презентация, эталон для этапа 2, ,  формула деления с остатком

Раздаточный материал: индивидуальные блокноты, эталон для самопроверки, сигнальные круги.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, в парах, в группах.

Технология: в рамках проблемно — диалогического обучения.

Методы обучения: проблемно — поисковые, практические, наглядные.

Планируемые метапредметные результаты:

Личностные результаты:     

— формирование положительного отношения и интереса к изучению   математики;

 — понимания причин собственной успешности (не успешности); чувства ответственности за выполнение своей части работы при работе в группе, в паре;

— устанавливать связь между целью учебной деятельности и ее мотивом;

— оценивать усваиваемое содержание исходя из и личностных ценностей.

Познавательные УУД:

— умение выполнять универсальные логические действия: анализ, синтез, сравнение; устанавливать аналогии;

— выстраивать логическую цепь рассуждений; ориентироваться в своей системе знаний; отличать новое от уже известного;  добывать новые знания, используя учебник, свой опыт и информацию, полученную на уроке.

Регулятивные УУД:

— определять и формулировать цель урока на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено, и того, что еще неизвестно;

— осуществлять  контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;

— вносить изменения в способ действия в случае расхождения с эталоном;

— оценивать свою деятельность на уроке.

Коммуникативные УУД:

—  уметь  слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном  обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками.

Ход урока:

1. Мотивация к учебной деятельности.

Цель:

1) включение учащихся в учебную деятельность;

2) определить содержательные рамки урока;

3) мотивация к учебной деятельности.

У меня хорошее настроение, потому что мы вместе. Улыбнитесь друг другу.  Подарите и мне вашу улыбку.  Пусть этот урок принесет нам радость общения. Я желаю всем сегодня сделать много хороших дел.

На экране слова В. Ломоносова:

Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит

Как вы понимаете его высказывание?

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном действии.

Цель:

1) актуализировать деления с остатком, название компонентов действий;

2) тренировать мыслительные операции, необходимые на этапе проектирования;

3) мотивировать к пробному действию и его самостоятельному выполнению и обоснованию;

4) предъявить индивидуальное задание для пробного действия (составления формулы деления с остатком);

5) организовать выполнения пробного действия и фиксацию затруднение в учебной деятельности (не успели; не смогли; выполнили, но не могут доказать);

6) организовать анализ полученных ответов и зафиксировать индивидуальные затруднения в обосновании выполнения задания.

Организация учебного процесса на этапе 2:

1. Актуализация знаний о деление с остатком.

— Но для того,  чтобы справиться с любыми трудностями на уроке сделаем зарядку для ума.

— У вас лежит карточка с заданием.

— Прочитайте задание. Работать будете в парах. Выполняйте

— Решите задачи и запишите решение выражением в столбик.

1. У Маши 15 открыток, а у Кати в а раз меньше. Сколько открыток у Кати?
2. В бидоне 20 л молока, это в а раз больше, чем в кувшине. Сколько литров молока в кувшине?
3. 45 кг печенья разложили поровну в а ящиков. Сколько килограммов печенья в одном ящике?
4. Надя сорвала 17 орехов и разделила их поровну между а подругами. Сколько орехов получила каждая подруга?

Самопроверка.

15:а

20:а

45:а

17:а

— Назовите признаки сходства этих выражений.

(1. буквенные выражения,

2. делимое – двузначное число,

3. делитель – а,

4. выражения на деление)

— Сколько значений может иметь буквенное выражение? (много, т.к. а – это любое натуральное число)

— Найдите значение этих выражений, при  а = 5. Запишите выражения во 2-й столбик и найдите их значение.

Взаимопроверка.

— Прочитайте примеры.

— Что у них общего? ( Это все примеры на деление, делимое двузначное число, делитель 5.)

— На какие 2 группы можно разделить эти числовые выражения?

— Значит, можно разделить любое число, просто остаётся остаток.

  -Какие остатки могут получаться при делении числа на 2 (1), а 3(1,2) на 5(1,2,3,4)?

• Вывод Что знаете про остаток? (В остатке получаются числа меньшие делителя.)распечатать

Учитель вывешивает вывод на доску.

2. Актуализация знаний названия компонентов при делении с остатком.

 

— Перед вами на карточках графические модели.

— Найдите по графической модели делимое, делитель, частное и остаток.

— Запишите в тетрадях соответствующее числовое равенство.

-Учащиеся самостоятельно выполняют задание в тетрадях, проверка организуется фронтально. Учащиеся с места озвучивают результат выполнения, учитель делает соответствующую запись на доске.

— Что вы сейчас повторили? (Деление с остатком, названия компонентов при делении с остатком.)

— На предыдущих уроках мы с вами говорили о том, что для более краткой записи существуют формулы.

Вы уже составляли формулы? (да)

 Сегодня на уроке постараемся вывести формулу деления с остатком.

• Сформулируйте тему нашего урока? (Формула деления с остатком.)

3. Пробное действие.

Учитель открывает на доске задание:

— Прочитайте задание.

— Что нового в этом задании? (Надо записать формулу деления с остатком.)

— Попробуйте выполнить данное задание. На работу даю 2 минуты.

Учащиеся работают 2 минуты.

— Поднимите руку, у кого нет результата?

— В чём ваше затруднение? ( Я пока не могу записать формулу деления с остатком.)

 У кого есть результат?

3. Выявление места и причины затруднения.

Цель:

1) организовать восстановление выполненных операций и фиксацию (вербальную и знаковую) места – шага, операции, где возникло затруднение;

2) организовать соотнесение действий учащихся с используемым способом (алгоритмом, понятием и т.д.) и на этой основе организовать выявление и фиксирование во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний, умений или способностей, которых недостаёт для решения исходной задачи такого класса или типа.

Организация учебного процесса на этапе 3:

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Цель:

в коммуникативной форме организовать построение учащимися проекта будущих учебных действий:

1) уточнение цели проекта (составить формулу зависимости  между делимым a, делителем b, частным c, и остатком r при делении с остатком.)

2) уточнить тему урока;

3) определение средств (алгоритмы, модели, учебник и т.д.);

4) построение плана достижение цели.

Организация учебного процесса на этапе 4.

Почему вы не смогли выполнить задание?

— Зафиксируйте причину затруднения. (Я не знаю, как записать формулу деления с остатком.)

— Какую цель поставите перед собой ? (Узнать, как записать формулу деления с остатком

5. Реализация построенного проекта.

Цель:

1) организовать коммуникативное взаимодействие с целью реализации построенного проекта, направленного на приобретение недостающих знаний: составления формулы деления с остатком;

2) зафиксировать в речи, знаковой форме (с помощью эталона, опорной схемы), сформировать умение использовать открытые знания на практике;

3) организовать уточнение общего характера нового знания.

Организация учебного процесса на этапе 5:

Для того чтобы составить общую формулу для деления с остатком , что нужно сделать? (вместо чисел подставить буквенные обозначения)

 Какая может получиться формула, если подставить вместо чисел буквы?

1. = 5 ∙ 2 + 3

       a     b   c     r

 a = b ∙ c + r,  r < b

запишите формулу

(При делении с остатком делимое равно произведению делителя и частного плюс остаток (остаток меньше делителя.)

У вас получился эталон формулы деления с остатком.

Эталон формулы деления с остатком. (Слайд)

Что можно сказать про делитель и остаток?

— Где можем проверить, что правильно записали формулу деления с остатком?(в учебнике)

Посмотрите в учебник на стр.

— Достигли вы цели? ( Да, мы узнали формулу деления с остатком.)

Физкультминутка.

6. Первичное закрепление во внешней речи.

Цель:

зафиксировать новый способ действий во внешней речи, тренироваться в применении, новой формулы деления с остатком.

Организация учебного процесса на этапе 6:

— Какой следующий шаг на уроке? (Будем учиться применять новое знание.)

№ 5(1), стр. 93

— Какое задание надо выполнить?

Это задание направлено на закрепление алгоритма деления  с остатком, фиксацию его в речи учащихся, усвоение формулы и формирование способности к её  использованию для вычисления значений делимого.

a = b ∙ c + r, где   r < b

Учащиеся вслух произносят формулу, записывают её на доске.

(Делимое равно произведению делителя и частного плюс остаток, остаток меньше делителя.)

1) b = 7,  c = 4,  r = 1

a = 7 ∙ 4 + 1 = 29

№ 6 (1), стр. 93

По сравнению с предыдущим заданием новым здесь является то, что значение  b = 7,  c = 4,  r = 1

Не даны в готовом виде, а их нужно выделить из текста условия. Записать текст на математическом языке.

a = b ∙ c + r, где   r < b

1)  b= 15,   c = 6,   r = 9

a = 15 ∙ 6 + 9 = 99

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Цель:

1) организовать самостоятельное выполнение учащимися заданий на применение новой формулы;

2) организовать самооценку детьми правильности выполнения задания (при необходимости – коррекцию возможных ошибок).

Организация учебного процесса на этапе 7:

— Как вы можете проверить, что запомнили формулу деления с остатком? (Выполнить самостоятельную работу.)

Для самостоятельной работы предлагается № 5 (2), № 6 (2), стр.93. На работу отводиться 3 минуты.

Каждый получает эталон для самопроверки.

— У кого  есть ошибки? Почему они появились? Исправьте их.

— Кто всё выполнил верно?

— Оцените свою работу и зафиксируйте результаты знаками «+» или «?».

Молодцы! Идём дальше.

8. Включение в систему знаний и повторение.

Цель:

тренировать умение в использовании формулы деления с остатком, решение задач на определение начала, конца и продолжительности событий.

Организация учебного процесса на этапе 8:

— А теперь давайте посмотрим, как формулу деления с остатком можно использовать при выполнении разных заданий.

№ 10(а), стр. 94

— Прочитайте задачу.

— Что известно в задаче?

— Какова вместимость одного грузовика?

— Что требуется узнать?

— Какие знания необходимы?

-Решите задачу самостоятельно.

— Кто хочет записать решение на доске?

Чтобы узнать, сколько 5- тонных грузовиков, надо определить, сколько раз по 5 тон содержится в 48 т, и к полученному числу грузовиков прибавить 1 грузовик (для перевозки остатка).

1) 48: 5 = 9 (ост. 3 т.) (гр.)- количество полных грузовиков;

2) 9 + 1 = 10  (гр.)-

Ответ: потребуется 10 грузовиков.

— Сравните своё решение с решением на доске.

— Какие есть замечания?

9. Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Цель:

1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;

2) организовать рефлексивный анализ учебной деятельности с точки зрения выполнения требований, известных учащимся;

3) оценить собственную деятельность на уроке;

4) зафиксировать неразрешенные на уроке затруднения, если они есть, как направления будущей учебной деятельности;

5) обсудить и записать домашнее задание.

Организация учебного процесса на этапе 9:

— Какую цель ставили? (Узнать  формулу деления с остатком.)

— Достигли цели? 

— Докажите. (Мы выполняли разные задания с использованием новой формулы. Ошибок было мало.)

• Оцените свою работу с помощью светофора. (Слайд)

• Если запомнили тему,  эталон, можете объяснить другим, то покажите зелёный свет.
• Если запомнили тему,  эталон, были ошибки в самостоятельной работе, то покажите жёлтый свет.
•  Если тему урока, с самостоятельной работой не справился, то покажите красный свет.

Я благодарю вас за сотрудничество на уроке. Меня порадовали … , они активно участвовали в открытии новых знаний, без ошибок выполнили самостоятельную работу.