Как составить график линейной функции по графику

Как по графику линейной функции написать формулу. (см. рисунок)?

Формулу по графику функции можно восстановить (написать) по следующему алгоритму.

1) Определяем общий вид функции. График прямая линия, значит общий вид этой функции такой: y=кх+b.

2) Находим по графику точки, координаты которых можно точно определить. Например, точки с координатами (-1;-2) и (0;-4).

3) Подставляем эти значения аргументов х1 и х2 и функций у1 и у2 в общий вид и вычитаем одно из другого. у2-у1=к(х2-х1) и определяем значение коэффициента к. к=(у2-у1)/(х2-х1)=(-4-(-2))/(0-(-1))=-2/1=-2.

4) Определяем коэффициент b. Для этого подставляем в общий вид значение к и координаты любой точки. Например, -4=-2*0+b, b=-4.

Линейная функция

Функция не всегда сразу задана в виде (y=kx+b), иногда такой вид получится только после преобразований. Например, (y=6(x-1)+10x) — это линейная функция, потому что если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые мы получим (y=16x-6).

График линейной функции всегда представляет собой прямую линию – отсюда и название: «линейная функция».

Чтобы в этом убедиться построим графики функций (y=2x), (y=fracx-5), (y=8).

Если вы вдруг забыли, как строить графики, можете прочитать об этом здесь.

Как меняется график при разных (k)?

Чтобы определить, как влияет на график коэффициент (k), построим несколько функций разными (k): (frac),(-frac),(2),(-2) и (0). При этом во всех функциях сделаем (b) одинаковым (равным нулю), чтобы убрать его влияние.
То есть, построим графики для функций: (y=fracx), (y=-fracx), (y=2x), (y=-2x), (y=0).

Заметьте, что при (k=2) и (frac) — функция возрастает, а при (k=-2) и (-frac) — убывает. На самом деле:

При любом (k>0) функция возрастает и при любом (k<0) — убывает. Когда же (k=0) — она не возрастает и не убывает, а идет параллельна оси (x) (или совпадает с ней).

Так же можно заметить, чем больше модуль (k), тем «круче» график.

Как по графику определить коэффициент k?

1. Сначала определим, возрастает или убывает функция. Если возрастает – знак коэффициента (k) плюс, если убывает – минус.
2. Дальше надо построить на прямой прямоугольный треугольник, так чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Примерно вот так:

Чтобы определить значение (k) по модулю (то есть, без учета знака), надо вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную. Можно использовать правило для запоминания: «стоячий бьет лежачего». В данных случаях (|k|=frac). То есть на первом графике (k=2),а на втором (k=-frac).

Как меняется график при разных значениях (b)?

Чтобы определить, как (b) влияет на график, построим несколько функций с разными (b): (6), (2), (0), (-3) и (-8). При этом (k) пусть во всех функциях будет равен (2).

Не сложно заметить, что прямая либо поднимается на (b) (если (b>0)) либо опускается на (|b|) если
((b<0)).

Как по графику функции определить значение (b)?

Очень просто — прямая пересекает ось (y) всегда в точке (b). Вы можете это увидеть на предыдущем графике.

Пример (ОГЭ): На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида (y=kx+b). Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов (k) и (b).

A. B.C.

Коэффициенты

1) (k>0),(b>0)

2) (k<0), (b>0)

3) (k<0), (b<0)

4) (k>0), (b<0)

Решение:
А. – функция убывает, поэтому (k<0). Точка пересечения оси (y) и прямой находится выше нуля, значит (b>0). Подходит вариант под цифрой 2).

B. — функция возрастает — (k>0). Точка пересечения оси (y) и прямой находится выше нуля, значит (b>0). Подходит вариант под цифрой 1).

C. – функция убывает — (k<0). Точка пересечения оси (y) и прямой находится ниже нуля, значит (b<0). Подходит вариант под цифрой 3).
Ответ: 213.

«Читерский» способ строить график линейной функции

Отмечаем точку (b) на оси игреков.

От неё идем вправо на количество клеточек равное знаменателю (k), и вверх на количество клеточек равное числителю (k) (если (k>0)) или вниз на тоже количество (если (k<0)).

Проводим через эти две точки прямую.

Пример: Построить график функции (y=3x+1).

(b=1), поэтому отмечаем точку с этим значением на оси (y)

(k=3), а тройка это тоже самое, что (frac). При этом (k>0). Поэтому идем вправо на единицу и вверх на (3). Ставим точку.

Проводим через эти две точки прямую.

Пример: Построить график функции (y=-frac x-3).

(b=-3) отмечаем точку с этим значением на оси (y).

(k=-frac), (k<0), числитель (1), знаменатель (4). Значит, идем вправо на (4) и вниз на единицу.

Проводим через эти две точки прямую.

Немного потренируйтесь и вы сами поймете, какой это классный способ строить линейную функцию.

Построение графиков функций

Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот, какими способами ее можно задать:

Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Графический способ — наглядно.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох.

Например, для функции вида область определения выглядит так

х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): (-∞; 0) ⋃ (0; +∞).

Область значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

Например, естественная область значений функции y = x 2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): [0; +∞).

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться при решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

стационарные и критические точки;

точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

Найти область определения функции.

Найти область допустимых значений функции.

Проверить не является ли функция четной или нечетной.

Проверить не является ли функция периодической.

Найти точку пересечения с осью OY (если она есть).

Вычислить производную и найти критические точки, определить промежутки возрастания и убывания.

На основании проведенного исследования построить график функции.

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах или воспользуйтесь онлайн тренажером.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

при х ≠ -1.

График функции — прямая y = x — 1 с выколотой точкой M (-1; -2).

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Задача 3. Построить графики функций:

Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, b = 0 — график проходит через начало координат.

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 4. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax 2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a < 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины

Ветви вверх, следовательно, a > 0.

Точка пересечения с осью Oy — c > 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a < 0.

Точка пересечения с осью Oy — c > 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.

Задача 5. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Построить графики можно при помощи элементарных преобразований.

Если построен график функции y = f(x), то при a > 0 следующие графики получаются с помощью сдвига графика f(x).

y = f(x) + a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вверх;

y = f(x) − a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вниз;

y = f(x + a) — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц влево;

y = f(x − a) — график функции у = f(x) сдвигается на a единиц вправо.

Преобразование график по типу y = mf(x): y = f(x) → y = mf(x), где m — положительное число.

Если m > 1, то такое преобразование графика называют растяжением вдоль оси y с коэффициентом m.

Если m < 1, то такое преобразование графика называют сжатием к оси x с коэффициентом 1/m.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Преобразование в одно действие типа f(x — a).

Сдвигаем график вправо на 1:

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.