Как составить график с данной функции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Пример 1

Дана функция:

Нужно построить ее график на промежутке [-5;5] с шагом равным 1.

Создание таблицы

Создадим таблицу, первый столбец назовем переменная x (ячейка А1), второй — переменная y (ячейка В1). Для удобства в ячейку В1 запишем саму функцию, чтобы было понятно, какой график будем строить. Введем значения -5, -4 в ячейки А2 и А3 соответственно, выделим обе ячейки и скопируем вниз. Получим последовательность от -5 до 5 с шагом 1.

Вычисление значений функции

Нужно вычислить значения функции в данных точках. Для этого в ячейке В2 создадим формулу, соответствующую заданной функции, только вместо x будем вводить значение переменной х, находящееся в ячейке слева (-5).

Важно: для возведения в степень используется знак ^, который можно получить с помощью комбинации клавиш Shift+6 на английской раскладке клавиатуры. Обязательно между коэффициентами и переменной нужно ставить знак умножения * (Shift+8).

Ввод формулы завершаем нажатием клавиши Enter. Мы получим значение функции в точке x=-5. Скопируем полученную формулу вниз.

Мы получили последовательность значений функции в точках на промежутке [-5;5] с шагом 1.

Построение графика

Выделим диапазон значений переменной x и функции y. Перейдем на вкладку Вставка и в группе Диаграммы выберем Точечная (можно выбрать любую из точечных диаграмм, но лучше использовать вид с гладкими кривыми).

Мы получили график данной функции. Используя вкладки Конструктор, Макет, Формат, можно изменить параметры графика.

Пример 2

Даны функции:

и y=50x+2. Нужно построить графики этих функций в одной системе координат.

Создание таблицы и вычисление значений функций

Таблицу для первой функции мы уже построили, добавим третий столбец — значения функции y=50x+2 на том же промежутке [-5;5]. Заполняем значения этой функции. Для этого в ячейку C2 вводим формулу, соответствующую функции, только вместо x берем значение -5, т.е. ячейку А2. Копируем формулу вниз.

Мы получили таблицу значений переменной х и обеих функций в этих точках.

Построение графиков

Для построения графиков выделяем значения трёх столбцов, на вкладке Вставка в группе Диаграммы выбираем Точечная.

Мы получили графики функций в одной системе координат. Используя вкладки Конструктор, Макет, Формат, можно изменить параметры графиков.

Последний пример удобно использовать, если нужно найти точки пересечения функций с помощью графиков. При этом можно изменить значения переменной x, выбрать другой промежуток или взять другой шаг (меньше или больше, чем 1). При этом столбцы В и С менять не нужно, диаграмму тоже. Все изменения произойдут сразу же после ввода других значений переменной x. Такая таблица является динамической.

Кратко об авторе:

Шамарина Татьяна Николаевна — учитель физики, информатики и ИКТ, МКОУ «СОШ», с. Саволенка Юхновского района Калужской области. Автор и преподаватель дистанционных курсов по основам компьютерной грамотности, офисным программам. Автор статей, видеоуроков и разработок.

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.

Источник

Для того, чтобы построить график функции необходимо провести полное исследование заданной функции. Затем поэтапно, используя полученные результаты, построить график.

Как построить график функции?

После краткого описания пунктов исследования, приведем ряд примеров по теме построения графиков функции с полным предварительным исследованием.

Приведем примерный алгоритм получения необходимых данных.

1.Нахождение области определения функции

Определение интервалов, на которых функция существует.

!!! Очень подробно об области определения функций и примеры нахождения области определения тут.

2.Нули функции

Для вычисления нулей функции, необходимо приравнять заданную функцию к нулю и решить полученное уравнение. На графике это точки пересечения с осью ОХ.

3.Четность, нечетность функции

Функция четная, если y(-x) = y(x). Функция нечетная, если y(-x) = -y(x). Если функция четная – график функции симметричен относительно оси ординат (OY). Если функция нечетная – график функции симметричен относительно начала координат.

4.Промежутки знакопостоянства

Расстановка знаков на каждом из интервалов области определения. Функция положительна на интервале — график расположен выше оси абсцисс. Функция отрицательна — график ниже оси абсцисс.

5. Промежутки возрастания и убывания функции.

Для определения вычисляем первую производную, приравниваем ее к нулю. Полученные нули и точки области определения выносим на числовую прямую. Для каждого интервала определяем знак производной. Производная положительна — график функции возрастает, отрицательна — убывает.

6. Выпуклость, вогнутость.

Вычисляем вторую производную. Находим значения, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Вторая производная положительна — график функции выпукл вверх. Отрицательна — график функции выпукл вниз.

7. Наклонные асимптоты.

Пример исследования функции и построения графика №1

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №2

Пример исследования функции и построения графика №3

Пример исследования функции и построения графика №4

Пример исследования функции и построения графика №5

Пример исследования функции и построения графика №6

Пример исследования функции и построения графика №7

Пример исследования функции и построения графика №8

Пример исследования функции и построения графика №9

Пример исследования функции и построения графика №10

Пример исследования функции и построения графика №11

Пример исследования функции и построения графика №12

Пример исследования функции и построения графика №13

Пример исследования функции и построения графика №14

Пример исследования функции и построения графика №15

Пример исследования функции и построения графика №16

Пример исследования функции и построения графика №17

Пример исследования функции и построения графика №18

Пример исследования функции и построения графика №19

Пример исследования функции и построения графика №20

Пример исследования функции и построения графика №21

Пример исследования функции и построения графика №22

Пример исследования функции и построения графика №23

Пример исследования функции и построения графика №24

Пример исследования функции и построения графика №25

Пример исследования функции и построения графика №26

Пример исследования функции и построения графика №27

Источник

Download Article

A graph of a function is a visual representation of a function’s behavior on an x-y plane. Graphs help us understand different aspects of the function, which would be difficult to understand by just looking at the function itself. You can graph thousands of equations, and there are different formulas for each one. That said, there are always ways to graph a function if you forget the exact steps for the specific type of function.

1

Recognize linear functions as simple, easily-graphed lines, like . There is one variable and one constant, written as in a linear function, with no exponents, radicals, etc. If you’ve got a simple equation like this, then graphing the function is easy.^[1] Other examples of linear functions include:
2

Use the constant to mark your y-intercept. The y-intercept is where the function crosses the y-axis on your graph. In other words, it is the point where . So, to find it, you simply set x to zero, leaving the constant in the equation alone. For the earlier example, , your y-intercept is 5, or the point (0,5). On your graph, mark this spot with a dot.^[2]

Advertisement
3

Find the slope of your line with the number right before the variable. In your example, , the slope is «2.» That is because 2 is right before the variable in the equation, the «x.» Slope is how steep a line is, or how high the line goes before going to the right or left. Bigger slopes mean steeper lines.
4
Break the slope into a fraction. Slope is about steepness, and steepness is simply the difference between movement up and down and movement left and right. Slope is a fraction of rise over run. How much does the line «rise» (go up) before it «runs» (goes to the side)? For the example, the slope of «2» could be read as ${displaystyle {frac {2{text{ }}up}{1{text{ }}over}}}$ .^[3]
- If the slope is negative, that means the line goes down as you move to the right.
5

Starting at your y-intercept, follow your «rise» and «run» to graph more points. Once you know your slope, use it to plot out your linear function. Start at your y-intercept, here (0,5), and then move up 2, over 1. Mark this point (1,7) as well. Find 1-2 more points to create an outline of your line.^[4]
6

Use a ruler to connect your dots and graph your linear function. To prevent mistakes or rough graphs, find and connect at least three separate points, though two will do in a pinch. This is the graph of your linear equation!^[5]

1

Determine the function. Get the function of the form like f(x), where y would represent the range, x would represent the domain, and f would represent the function. As an example, we’ll use y = x+2, where f(x) = x+2.^[6]
2

Draw two lines in a + shape on a piece of paper. The horizontal line is your x axis. The vertical line is your y axis.
3

Number your graph. Mark both the x axis and the y axis with equally-spaced numbers. For the x axis, the numbers are positive on the right side and negative on the left side. For the y axis, the numbers are positive on the upper side and negative on the lower side.^[7]
4
Calculate a y value for 2-3 x values. Take your function f(x) = x+2. Calculate a few values for y by putting the corresponding values for x visible on the axis into the function. For more complicated equations, you may want to simplify the function by getting one variable isolated first.^[8]
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
5

Draw the graph point for each pair. Simply sketch imaginary lines vertically for each x axis value and horizontally for each y axis value. The point where these lines intersect is a graph point.^[9]
6

Remove the imaginary lines. Once you have drawn all the graph points, you can erase the imaginary lines. Note: the graph of f(x) = x would be a line parallel to this one passing through the origin (0,0), but f(x) = x+2 is shifted two units up (along the y-axis) on the grid because of the +2 in the equation.^[10]

1
2

Find any zeros first. Zeros, also called x-intercepts, are the points where the graph crosses the horizontal line on the graph. While not all graphs even have zeros, most do, and it is the first step you should take to get everything on track. To find zeros, simply the entire function to zero and solve. For example:
3

Find and mark any horizontal asymptotes, or places where it is impossible for the function to go, with a dotted line. This is usually points where the graph does not exist, like where you are dividing by zero. If your equation has a variable in a fraction, like $y={frac {1}{4-x^{2}}}$ , start by setting the bottom of the fraction to zero. Any places where it equals zero can be dotted off (in this example, a dotted line at x=2 and x=-2), since you cannot ever divided by zero. Fractions, however, are not the only places you can find asymptotes. Usually, all you need is some common sense:
4
Plug in and graph several points. Simply pick a few values for x and solve the function. Then graph the points on your graph. The more complicated the graph, the more points you’ll need. In general, -1, 0, and 1 are the easiest points to get, though you’ll want 2-3 more on either side of zero to get a good graph.^[13]
- For the equation $y=5x^{2}+6$ , you might plug in -1,0,1, -2, 2, -10, and 10. This gives you a nice range of numbers to compare.
- Be smart selecting numbers. In the example, you’ll quickly realize that having a negative sign doesn’t matter — you can stop testing -10, for example, because it will be the same as 10.
5

Map the end behavior of the function to see what happens when it is really huge. This gives you an idea of the general direction of a function, usually as a vertical asymptote. For example — you know that eventually, $y=x^{2}$ gets really, really big. Just one additional «x» (one million vs. one million and one) makes y much bigger. There are a few ways to test end behavior, including:
6

Connect the dots, avoiding asymptotic and following the end behavior to graph an estimate of the function. Once you have 5-6 points, asymptotes, and a general idea of end behavior, plug it all in to get an estimated version of the graph.^[15]
7

Get perfect graphs using a graphing calculator. Graphing calculators are powerful pocket computers that can give exact graphs for any equation. They allow you to search exact points, find slope lines, and visualize difficult equations with ease. Simply input the exact equation into the graphing section (usually a button labeled «F(x) = «) and hit graph to see your function at work.

Add New Question

Question

How do I sketch a graph of a square root function?

The process is the same as shown in the article above except, of course, it involves calculating (or estimating) the square roots of certain values.
Question

How do I graph function y = -2 sin(2/3x)?

Choose a value for x. Find 2/3 of that value. Then use a trigonometry table to find the sine of that last value. Then multiply the sine by -2. That gives you the value of y that corresponds to the chosen value of x. Do this again for other x values, and you will then have several x-y pairs to form the graph of the function.

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

If you are ever completely lost with what to do, start plugging in points. You could technically graph the entire function like this if you tried infinite combinations of numbers.
Graphing calculators are a great way to practice. Try to graph by hand, then use the calculator to get a perfect image of the graph and see how you did.

References

About This Article

Article SummaryX

To graph a function, start by plugging in 0 for x and then solving the equation to find y. Then, mark that spot on the y-axis with a dot. Next, find the slope of the line, which is the number that’s right before the variable. Once you know your slope, write it as a fraction over 1 and then use the rise over run to plot the rest of the points from the spot you marked on the y-axis. Finally, use a ruler to draw a line connecting all of the points on your graph. To learn how to graph complicated functions by hand, scroll down!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 138,970 times.

Did this article help you?

Источник

Функции и их графики — одна из самых увлекательных тем в школьной математике. Жаль только, что проходит она… мимо уроков и мимо учеников. На нее вечно не хватает времени в старших классах. А те функции, которые проходят в 7-м классе, — линейная функция и парабола — слишком просты и незамысловаты, чтобы показать все разнообразие интересных задач.

Умение строить графики функций необходимо для решения задач с параметрами на ЕГЭ по математике. Это одна из первых тем курса математического анализа в вузе. Это настолько важная тема, что мы в ЕГЭ-Студии проводим по ней специальные интенсивы для старшеклассников и учителей, в Москве и онлайн. И часто участники говорят: «Жаль, что мы не знали этого раньше».

Но это не все. Именно с понятия функции и начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции — это все-таки арифметика. Преобразования выражений — это алгебра. А математика — наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Язык функций и графиков понятен и физику, и биологу, и экономисту. И, как сказал Галилео Галилей, «Книга природы написана на языке математики».

Точнее, Галилео Галилей сказал так:«Математика есть алфавит, посредством которого Господь начертал Вселенную».

Темы для повторения:

Понятие функции

Типы элементарных функций

Преобразования графиков функций

Производная функции

Асимптоты. Поведение функции в бесконечности

1. Построим график функции $y=frac{x^2-1}{x+1}$

Знакомая задача! Такие встречались в вариантах ОГЭ по математике. Там они считались сложными. Но сложного ничего здесь нет.

Упростим формулу функции:

$y=frac{x^2-1}{x+1}=frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)}=x-1$ при xne -1

График функции — прямая y=x-1 с выколотой точкой

2. Построим график функции $y=frac{2x+4}{x-3}$

Выделим в формуле функции целую часть:

$y=frac{2x+4}{x-3}=frac{2x-6+6+4}{x-3}=frac{2(x-3)}{x-3}+frac{10}{x-3}=2+frac{10}{x-3}$

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции $y=frac{1}{x}.$

Выделение целой части — полезный прием, применяемый в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин в задачах на числа и их свойства. Он встретится вам также на первом курсе, когда придется брать интегралы.

3. Построим график функции

Он получается из графика функции y=|x| растяжением в 2 раза, отражением по вертикали и сдвигом на 1 вверх по вертикали

4. Построим график функции $y=3{sin left(2x+frac{ pi }{3}right)+}1$

Главное — правильная последовательность действий. Запишем формулу функции в более удобном виде:

$y=3{sin 2cdot left(x+frac{ pi }{6}right)+}1.$

Действуем по порядку:

1) График функции y=sinx сдвинем на $frac{ pi }{6}$ влево;

2) сожмем в 2 раза по горизонтали,

3) растянем в 3 раза по вертикали,

4) сдвинем на 1 вверх

Сейчас мы построим несколько графиков дробно-рациональных функций. Чтобы лучше понять, как мы это делаем, читайте статью «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты».

5. Построим график функции $y=frac{(x-1)(x-3)}{x}$

Область определения функции:

Нули функции: x = 1 и x = 3.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Прямая x = 0 (ось Y) — вертикальная асимптота функции. Асимптота — прямая, к которой бесконечно близко подходит график функции, но не пересекает ее и не сливается с ней (смотри тему «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты»)

Есть ли другие асимптоты у нашей функции? Чтобы выяснить это, посмотрим, как ведет себя функция, когда x стремится к бесконечности.

Раскроем скобки в формуле функции:

$y=frac{(x-1)(x-3)}{x}=frac{x^2-4x+3}{x}=x-4+frac{3}{x}$

Если x стремится к бесконечности, то $frac{3}{x}$ стремится к нулю. Прямая y = x-4 является наклонной асимптотой к графику функции.

6. Построим график функции

$y=frac{(x+3)(x-2)(x-6)}{x^2(x-4)}$

Это дробно-рациональная функция.

Область определения функции

Нули функции: точки — 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты:

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот эскиз графика:

Еще один интересный прием — сложение графиков.

7. Построим график функции $y=x+frac{1}{x}.$

Если x стремится к бесконечности, то $frac{1}{x}$ стремится к нулю и график функции будет бесконечно близко подходить к наклонной асимптоте y =x.

Если x стремится к нулю, то функция ведет себя как $frac{1}{x}.$ Это мы и видим на графике:

Вот мы и построили график суммы функций. Теперь график произведения!

8. Построим график функции $y={{log}_2 x}{cos x} .$

Область определения этой функции — положительные числа, поскольку только для положительных x определен ${{log}_2 x}.$

Значения функции равны нулю при x = 1 (когда логарифм равен нулю), а также в точках, где то есть при $x{rm =}frac{pi }{{rm 2}}{rm +}pi {rm n}{rm ,}$

При значение cos x равно единице. Значение функции в этих точках будет равно ${{log}_2 x},$ при nneq 0

9. Построим график функции $y={frac{sinx}{x} }.$

Функция определена при xne 0. Она четная, поскольку является произведением двух нечетных функций y=sin x и $y=frac{1}{x}.$ График симметричен относительно оси ординат.

Нули функции — в точках, где то есть при при nneq 0.

Если x стремится к бесконечности, $y=frac{sinx}{x}$ стремится к нулю. Но что же будет, если x стремится к нулю? Ведь и x, и sin x будут становиться меньше и меньше. Как же будет вести себя частное $frac{sinx}{x}$ ?

Оказывается, что если x стремится к нулю, то ${frac{sinx}{x} }$ стремится к единице. В математике это утверждение носит название «Первого замечательного предела».

А как же производная? Да, наконец-то мы до нее добрались. Производная помогает более точно строить графики функций. Находить точки максимума и минимума, а также значения функции в этих точках.

10. Построим график функции $y=frac{4x}{4+x^2}.$

Область определения функции — все действительные числа, поскольку

Функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.

При x=0 значение функции равно нулю. При значения функции положительны, при отрицательны.

Если x стремится к бесконечности, то $y=frac{4x}{4+x^2}=frac{4}{frac{4}{x}+x}$ стремится к нулю.

Найдем производную функции $y=frac{4x}{4+x^2}.$
По формуле производной частного, $left(frac{u}{v}right)^{$

$y^{$

$y^{$ если x=2 или x=-2.

В точке x=-2 производная меняет знак с «минуса» на «плюс», x=-2 — точка минимума функции.

В точке x=2 производная меняет знак с «плюса» на «минус», x=2 — точка максимума функции.

Найдем значения функции при x=2 и при x=-2.

Графики функций удобно строить по определенному алгоритму, или схеме. Помните, вы изучали ее в школе?

Общая схема построения графика функции:

1. Область определения функции

2. Область значений функции

3. Четность — нечетность (если есть)

4. Периодичность (если есть)

5. Нули функции (точки, в которых график пересекает оси координат)

6. Промежутки знакопостоянства функции (то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна).

7. Асимптоты (если есть).

8. Поведение функции в бесконечности

9. Производная функции

10. Промежутки возрастания и убывания. Точки максимума и минимума и значения в этих точках.

Графики функций с модулями

Покажем полезные примеры построения графиков модулей функций. Такие графики с модулями встречаются на ЕГЭ в задачах с параметрами.

11. Построим графики функций:

а)

б)

в)

Решение:
а) Первый график построить легко. Выделим полный квадрат в формуле функции

График – квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево и на 1 вверх и перевернутая ветвями вниз.

б) Чтобы построить график функции зеркально отражаем относительно оси Х те части первого графика, которые лежали под ней. А та часть первого графика, которая лежала выше оси Х, остается на месте. Точки (2; 0) и (4; 0), в которых график пересекал ось Х, также остаются на месте.

в) Теперь график функции

Он тоже получается из графика первой функции, но преобразования другие. Часть первого графика, лежащая справа от оси Y, остается на месте. Действительно, модуль неотрицательного числа равен самому этому числу. Получили график функции для неотрицательных . И отражаем его зеркально относительно оси Y в левую полуплоскость.

12. Построим график функции

Функция определена при всех действительных х.

Нули функции:

Функция получается из элементарной функции y=|x| в результате следующих преобразований:

1) Сдвиг на 2 единицы вниз,
2) Отражение части графика, лежащей ниже оси ОХ, в верхнюю полуплоскость. Стандартный прием при построении графика модуля функции.

13. Построим график функции $left|frac{6}{x}-5right|.$

Ее график получается из графика функции $y=frac{6}{x}$ сдвигом на 5 единиц вниз вдоль оси ОУ и симметричным отображением части графика, лежащей ниже оси ОХ, в верхнюю полуплоскость.

x=0 – вертикальная асимптота графика, y=5 — горизонтальная асимптота.

Читайте также: Асимптоты. Поведение функции в бесконечности

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Построение графиков функций» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
07.05.2023

Источник

В научных исследованиях при решении практических задач всегда рассматривают изменения одних величин в зависимости от изменений других. Например, в электрической цепи величина тока меняется в зависимости от величины сопротивления, объем шара меняется в зависимости от его радиуса и т.д.

Взаимосвязь изменяемых величин в математике описывают с помощью функций.

Формальное определение выглядит следующим образом.

Функция

Пусть существует некоторый закон ff, по которому каждому числовому значению переменной xx ставится в соответствие единственное определенное числовое значение другой переменной yy. Такой закон называется функцией от xx и символически записывается в виде y=f(x)y = f(x).

При этом переменную xx называют независимой переменной или аргументом, переменную yy – зависимой переменной или функцией. Буква ff в записи y=f(x)y = f(x) обозначает правило или совокупность действий, которые нужно произвести над значением аргумента xx, чтобы получить значение функции yy.

Согласно определению функции, каждому числовому значению переменной xx должно ставиться в соответствие единственное числовое значение другой переменной yy. Чтобы подчеркнуть эту особенность, такую функцию называют однозначной. Но существуют также функции, в которых одному значению аргумента соответствуют два и более значений функции. Такие функции называются многозначными.

Способы задания функции

Существуют аналитический, табличный и графический способы задания функции.
Аналитический способ представляет собой задание функции с помощью формулы. Это самый удобный способ, так как формулу можно исследовать по полной программе. К сожалению, далеко не всегда изменения одних величин в зависимости от изменений других могут быть описаны в виде формулы.

При табличном способе задания в определенном порядке выписываются значения аргумента x1x_1, x2x_2, …, xnx_n и соответствующие значения функции y1y_1, y2y_2, …, yny_n. В таком виде часто получают функции во время измерительных экспериментов. Кроме того, таблицы значений разнообразных специальных функций мы можем видеть в справочниках.

Кроме аналитического и табличного способов задания функции, существует еще и графический, который позволяет «увидеть» функцию.

График функции

Графиком функции y=f(x)y = f(x) называется множество всех точек плоскости, для которых значения аргумента принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям из области значений функции. Другими словами, график функции y=f(x)y = f(x) – это множество всех точек плоскости, координаты xx, у которых удовлетворяют соотношению y=f(x)y = f(x).

Графики позволяют выполнять предварительный визуальный анализ функций, дают возможность видеть характерные особенности их поведения. При этом можно обнаружить такие характерные свойства функций, как монотонность, ограниченность, четность или нечетность, а также периодичность.

Системы координат для построения графиков функций

Для построения графиков функций на плоскости используют декартову прямоугольную систему координат и полярную систему координат.

Прямоугольная система координат позволяет отображать функционально зависимые пары чисел xx и yy. Эта система координат образована двумя взаимно перпендикулярными осями, которые называются осями координат.

Точка пересечения осей координат называется началом координат и обозначается буквой OO. Горизонтальная ось направлена слева направо, называется осью абсцисс и обозначается OxO_x. Вертикальная ось направлена снизу вверх, называется осью ординат и обозначается OyO_y. С целью указания числовых значений координат на обоих осях выбирають масштабную единицу (одинаковую или разную).

При указанных условиях расположение любой точки M(x,y)M(x, y) на плоскости полностью определяется её координатами. Первая координата xx (абсцисса) точки MM указывает положение точки M1M_1 на оси OxO_x. Вторая координата y (ордината) точки MM указывает положение точки M2M_2 на оси OyO_y.

Оси координат делят плоскость на четыре части, которые называются четвертями или квадрантами. Квадранты нумеруют римскими цифрами против часовой стрелки. Знаки координат в каждом из квадрантов следующие:

– I квадрант – x>0x > 0, y>0y > 0;
– II квадрант – x<0x < 0, y>0y > 0;
– III квадрант – x<0x < 0, y<0y < 0;
– IV квадрант – x>0x > 0, y<0y < 0.

Точки на оси OyO_y имеют координату x=0x = 0, точки на оси OxO_x имеют координату y=0y = 0.

Начало координат имеет нулевые значения обеих координат.

На плоскости, кроме декартовой прямоугольной системы координат, используют также полярную систему координат. Это связано с тем, что сложность аналитических представлений многих кривых зависит от системы координат. Поэтому при удачном выборе системы координат можно существенно упростить решение той или иной задачи. Например, уравнение окружности радиуса RR с центром в начале координат в прямоугольной системе координат имеет вид: x2+y2=R2x^2 + y^2 = R^2. Уравнение той же окружности в полярной системе координат: ρ=Rρ = R.

Способы построения графиков функций

Известны следующие основные способы построения графиков функций:

построение графика функции по точкам;
построение графика функции посредством сложения графиков элементарных функций;
построение графика сложной функции посредством преобразования графика элементарной функции
построение графика функции на основе результатов её исследования.

Графическое изображение функции непосредственно чаще всего можно получить в тех или иных физических экспериментах, например, на экране осциллографа. В большинстве других случаев для построения графика функции необходимо иметь либо аналитическое, либо табличное её представление.

Тест по теме «Построение графика функции»

Источник