Как составить канонические уравнения всех высот треугольника

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6dfda459eda71628 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Пример.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

Решение:

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

   

Таким образом, уравнение прямой BC —

   

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

   

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

   

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

   

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

   

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

   

Уравнение прямой AB:

   

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

   

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

   

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

   

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

   

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

   

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

   

Решить треугольник Онлайн по координатам

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

8

Даны вершины
треугольника.
Найти:

1. длину стороны ВС;

2. уравнение высоты ВС;

3. уравнение высоты, проведённой из вершины
   А;

4. длину высоты, проведённой из вершины
   А;

5. угол В.

Сделать чертёж.

Дано: А(-8;3), В(4;-2), С(7;2).

РЕШЕНИЕ

1. Длину стороны ВС находим по формуле
   .
   По условию имеем В(4;-2), С(7;2).

1. Найдём уравнение стороны ВС. Найдём
   уравнение прямой, на которой лежит
   сторона ВС. Используем уравнение прямой,
   проходящей через две точки
   ,
   полагая
   

1. Найдём уравнение высоты, проведённой
   из вершины А. При составлении уравнения
   прямой, на которой лежит высота
   треугольника, воспользуемся формулой
   
   и условием перпендикулярности двух
   прямых
   :

Определим угловой коэффициент прямой
ВС. Для этого разрешим уравнение стороны
ВС относительно у:

Следовательно, высота, проведённая из
точки А, имеет угловой коэффициент

Тогда, уравнение высоты, опущенной из
вершины А(-8;3) на сторону ВС:

1. Найдём длину высоты, проведённой из
   вершины А. Она равна расстоянию от точки
   А(-8;3) до прямой ВС заданной уравнением
   .
   По формуле
   
   вычисляем расстояние от точки А до
   прямой ВС, полагая
   

1. Найдём угол В. Угол В равен углу между
   прямыми ВС и АВ и может быть найден с
   помощью формулы
   .
   Угловой коэффициент прямо ВС известен
   и равен
   .
   Найдём угловой коэффициент прямой АВ
   по формуле:
   

Тогда получаем,

И угол равен

Выполним чертёж. В прямоугольной
декартовой системе координат хОу строим
исходные точки и получаем треугольник
АВС. Затем из вершины А опустим
перпендикуляр на сторону ВС, получим
АК.

18

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.
Найти:

1. координаты вектора
   
   и длину ребра
   ;

2. угол между рёбрами
   
   и
   ;

3. площадь грани
   ;

4. объём пирамиды;

5. уравнение плоскости
   ;

6. уравнение прямой
   ;

7. угол между ребром
   
   и гранью
   ;

8. уравнение высоты, опущенной из вершины
   
   на грань
   ;

Сделать чертёж.

Дано: А₁(7;2;2), А₂(5;7;7), А₃(5;3;1),
А₄(2;3;7).

РЕШЕНИЕ

1. Вектор
   
   равен

Длину ребра

можно найти как расстояние между двумя
точками

и
,
оно равно

Получаем

1. Угол между рёбрами
   
   и
   
   найдём как угол между векторами
   
   и
   .

Вектор

Таким образом, имеем два вектора

и
,
угол между ними найдём по формуле:

Скалярное произведение двух векторов
в числителе дроби находили как сумму
произведений одноимённых координат
(проекций).

1. Площадь грани
   
   равна половине площади параллелограмма,
   построенного на векторах, как на
   сторонах. И площадь треугольника
   
   можно вычислить через векторное
   произведение
   

Координаты вектора

или

Векторное произведение вычислим через
определитель 3-го порядка, разложив его
по элементам первой строки:

Модуль векторного произведения

1. Объём треугольной пирамиды А₁А₂А₃А₄
   можно рассматривать как одну шестую
   часть объёма параллелепипеда, построенного
   на векторах
   ,
   
   и
   
   как на рёбрах:

Смешанное произведение трёх векторов
равно

1. Уравнение плоскости
   
   имеет вид

или для нашей задачи

Разложим определитель по элементам
первой строки:

1. Уравнения прямой
   
   найдём в канонической форме, для этого
   воспользуемся уравнением прямой,
   проходящей через две заданные точки
   
   и
   :

,

1. Углом ψ между ребром
   
   и гранью
   
   будет острый угол между прямой
   
   и её проекцией на плоскость
   .
   Для нахождения угла ψ воспользуемся
   формулой

Канонические уравнения прямой

получим как:

Отсюда l=5; m=1;
n=-5, где l,
m, n –
координаты направляющего вектора прямой
:

;

Уравнение плоскости

было получено в пункте 5:

Отсюда А=5; В=7; С=-4, где А, В, С – координаты
нормального вектора плоскости
:

Тогда получаем

1. Уравнения высоты, опущенной из вершины
   
   на грань
   .

Канонические уравнения прямой, проходящей
через точку
,
имеют вид
,
где l, m, n
– координаты направляющего вектора
прямой.

Так как высота перпендикулярна плоскости
,
то из условия перпендикулярности прямой
и плоскости

координаты направляющего вектора
прямой, перпендикулярной плоскости
можно заменить координатами нормального
вектора плоскости l=A=5;
m=B=7; n=C=-4.

Окончательно получим

Выполним чертёж пирамиды как пересечения
плоскостей её граней:

Грань А₁А₂А₄:

Грань А₁А₂А₃:

Грань А₁А₃А₄:

Грань А₂А₃А₄:

28

Составить уравнение и построить линию,
каждая точка которой равноотстоит от
оси ординат и от окружности

РЕШЕНИЕ

В системе координат хОу строим ось
ординат х=0 и окружность

Пусть точка М(х; у) – произвольная точка
искомого геометрического места точек.
Опустим перпендикуляры на ось ординат
и на окружность.

Тогда расстояние от произвольной точки
М(х; у) до оси ординат
–
абсцисса точки М(х; у), а расстояние от
точки М(х; у) до окружности
.
Приравнивая эти расстояния и снимая
знак модуля, получаем

Получили уравнение параболы, строим
верхнюю часть окружности и параболы,
так как чертёж симметричный:

Соседние файлы в папке Приборостроителям

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.

Другие решения по аналитической геометрии на плоскости

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.