Как составить каноническое уравнение медианы

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Параметрические уравнения прямой на плоскости: описание, примеры, решение задач

Одним из подпунктов темы «Уравнение прямой на плоскости» является вопрос составления параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. В статье ниже рассматривается принцип составления подобных уравнений при определенных известных данных. Покажем, как от параметрических уравнений переходить к уравнениям иного вида; разберем решение типовых задач.

Вывод параметрических уравнений прямой на плоскости

Конкретная прямая может быть определена, если задать точку, которая принадлежит этой прямой, и направляющий вектор прямой.

Допустим, нам задана прямоугольная система координат O x y . А также заданы прямая а с указанием лежащей на ней точки М 1 ( x 1 , y 1 ) и направляющий вектор заданной прямой a → = ( a x , a y ) . Дадим описание заданной прямой a , используя уравнения.

Используем произвольную точку М ( x , y ) и получим вектор М 1 М → ; вычислим его координаты по координатам точек начала и конца: M 1 M → = ( x — x 1 , y — y 1 ) . Опишем полученное: прямая задана множеством точек М ( x , y ) , проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( a x , a y ) . Указанное множество задает прямую только тогда, когда векторы M 1 M → = ( x — x 1 , y — y 1 ) и a → = ( a x , a y ) являются коллинеарными.

Существует необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов, которое в данном случае для векторов M 1 M → = ( x — x 1 , y — y 1 ) и a → = ( a x , a y ) возможно записать в виде уравнения:

M 1 M → = λ · a → , где λ – некоторое действительное число.

Уравнение M 1 M → = λ · a → называют векторно-параметрическим уравнением прямой.

В координатной форме оно имеет вид:

M 1 M → = λ · a → ⇔ x — x 1 = λ · a x y — y 1 = λ · a y ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Уравнения полученной системы x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ носят название параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Суть названия в следующем: координаты всех точек прямой возможно определить по параметрическим уравнениям на плоскости вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при переборе всех действительных значений параметра λ

Составление параметрических уравнений прямой на плоскости

Согласно вышесказанному, параметрические уравнения прямой на плоскости x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ определяют прямую линию, которая задана в прямоугольной системе координат, проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( a x , a y ) . Следовательно, если заданы координаты некоторой точки прямой и координаты ее направляющего вектора, то возможно сразу записать параметрические уравнения заданной прямой.

Необходимо составить параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат, если заданы принадлежащая ей точка М 1 ( 2 , 3 ) и ее направляющий вектор a → = ( 3 , 1 ) .

Решение

На основе исходных данных получим: x 1 = 2 , y 1 = 3 , a x = 3 , a y = 1 . Параметрические уравнения будут иметь вид:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Ответ: x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Необходимо отметить: если вектор a → = ( a x , a y ) служит направляющим вектором прямой а, а точки М 1 ( x 1 , y 1 ) и М 2 ( x 2 , y 2 ) принадлежат этой прямой, то ее возможно определить, задав параметрическими уравнениями вида: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , а также и таким вариантом: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .

К примеру, нам заданы направляющий вектор прямой a → = ( 2 , — 1 ) , а также точки М 1 ( 1 , — 2 ) и М 2 ( 3 , — 3 ) , принадлежащие этой прямой. Тогда прямую определяют параметрические уравнения: x = 1 + 2 · λ y = — 2 — λ или x = 3 + 2 · λ y = — 3 — λ .

Следует обратить внимание и на такой факт: если a → = ( a x , a y ) — направляющий вектор прямой a , то ее направляющим вектором будет и любой из векторов μ · a → = ( μ · a x , μ · a y ) , где μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Таким образом, прямая а на плоскости в прямоугольной системе координат может быть определена параметрическими уравнениями: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ при любом значении μ , отличном от нуля.

Допустим, прямая а задана параметрическими уравнениями x = 3 + 2 · λ y = — 2 — 5 · λ . Тогда a → = ( 2 , — 5 ) направляющий вектор этой прямой. А также любой из векторов μ · a → = ( μ · 2 , μ · — 5 ) = 2 μ , — 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 станет направляющим вектором для заданной прямой. Для наглядности рассмотрим конкретный вектор — 2 · a → = ( — 4 , 10 ) , ему соответствует значение μ = — 2 . В таком случае заданную прямую можно также определить параметрическими уравнениями x = 3 — 4 · λ y = — 2 + 10 · λ .

Переход от параметрических уравнений прямой на плоскости к прочим уравнениям заданной прямой и обратно

В решении некоторых задач применение параметрических уравнений является не самым оптимальным вариантом, тогда возникает необходимость перевода параметрических уравнений прямой в уравнения прямой другого вида. Рассмотрим, как же это сделать.

Параметрическим уравнениям прямой вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ будет соответствовать каноническое уравнение прямой на плоскости x — x 1 a x = y — y 1 a y .

Разрешим каждое из параметрических уравнений относительно параметра λ , приравняем правые части полученных равенств и получим каноническое уравнение заданной прямой:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y

При этом не должно смущать, если a x или a y будут равны нулю.

Необходимо осуществить переход от параметрических уравнений прямой x = 3 y = — 2 — 4 · λ к каноническому уравнению.

Решение

Запишем заданные параметрические уравнения в следующем виде: x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ

Выразим параметр λ в каждом из уравнений: x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ ⇔ λ = x — 3 0 λ = y + 2 — 4

Приравняем правые части системы уравнений и получим требуемое каноническое уравнение прямой на плоскости:

x — 3 0 = y + 2 — 4

Ответ: x — 3 0 = y + 2 — 4

В случае, когда необходимо записать уравнение прямой вида A x + B y + C = 0 , при этом заданы параметрические уравнения прямой на плоскости, необходимо сначала осуществить переход к каноническому уравнению, а затем к общему уравнению прямой. Запишем всю последовательность действий:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x · ( y — y 1 ) ⇔ A x + B y + C = 0

Необходимо записать общее уравнение прямой, если заданы определяющие ее параметрические уравнения: x = — 1 + 2 · λ y = — 3 · λ

Решение

Для начала осуществим переход к каноническому уравнению:

x = — 1 + 2 · λ y = — 3 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y — 3 ⇔ x + 1 2 = y — 3

Полученная пропорция идентична равенству — 3 · ( x + 1 ) = 2 · y . Раскроем скобки и получим общее уравнение прямой: — 3 · x + 1 = 2 · y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Ответ: 3 x + 2 y + 3 = 0

Следуя вышеуказанной логике действий, для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом, уравнения прямой в отрезках или нормального уравнения прямой необходимо получить общее уравнение прямой, а от него осуществлять дальнейший переход.

Теперь рассмотрим обратное действие: запись параметрических уравнений прямой при другом заданном виде уравнений этой прямой.

Самый простой переход: от канонического уравнения к параметрическим. Пусть задано каноническое уравнение вида: x — x 1 a x = y — y 1 a y . Каждое из отношений этого равенства примем равным параметру λ :

x — x 1 a x = y — y 1 a y = λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y

Разрешим полученные уравнения относительно переменных x и y :

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Необходимо записать параметрические уравнения прямой, если известно каноническое уравнение прямой на плоскости: x — 2 5 = y — 2 2

Решение

Приравняем части известного уравнения к параметру λ : x — 2 5 = y — 2 2 = λ . Из полученного равенства получим параметрические уравнения прямой: x — 2 5 = y — 2 2 = λ ⇔ λ = x — 2 5 λ = y — 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Ответ: x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Когда необходимо осуществить переход к параметрическим уравнениям от заданного общего уравнения прямой, уравнения прямой с угловым коэффициентом или уравнения прямой в отрезках, необходимо исходное уравнение привести к каноническому, а после осуществлять переход к параметрическим уравнениям.

Необходимо записать параметрические уравнения прямой при известном общем уравнении этой прямой: 4 x — 3 y — 3 = 0 .

Решение

Заданное общее уравнение преобразуем в уравнение канонического вида:

4 x — 3 y — 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Приравняем обе части равенства к параметру λ и получим требуемые параметрические уравнения прямой:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 · λ y = — 1 3 + 4 · λ

Ответ: x = 3 · λ y = — 1 3 + 4 · λ

Примеры и задачи с параметрическими уравнениями прямой на плоскости

Рассмотрим чаще всего встречаемые типы задач с использованием параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат.

  1. В задачах первого типа заданы координаты точек, принадлежащих или нет прямой, описанной параметрическими уравнениями.

Решение таких задач опирается на следующий факт: числа ( x , y ) , определяемые из параметрических уравнений x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при некотором действительном значении λ , являются координатами точки, принадлежащей прямой, которая описывается этими параметрическими уравнениями.

Необходимо определить координаты точки, которая лежит на прямой, заданной параметрическими уравнениями x = 2 — 1 6 · λ y = — 1 + 2 · λ при λ = 3 .

Решение

Подставим в заданные параметрические уравнения известное значение λ = 3 и осуществим вычисление искомых координат: x = 2 — 1 6 · 3 y = — 1 + 2 · 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Ответ: 1 1 2 , 5

Также возможна следующая задача: пусть задана некоторая точка M 0 ( x 0 , y 0 ) на плоскости в прямоугольной системе координат и нужно определить, принадлежит ли эта точка прямой, описываемой параметрическими уравнениями x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ .

Чтобы решить подобную задачу, необходимо подставить координаты заданной точки в известные параметрические уравнения прямой. Если будет определено, что возможно такое значение параметра λ = λ 0 , при котором будут верными оба параметрических уравнения, тогда заданная точка является принадлежащей заданной прямой.

Заданы точки М 0 ( 4 , — 2 ) и N 0 ( — 2 , 1 ) . Необходимо определить, являются ли они принадлежащими прямой, определенной параметрическими уравнениями x = 2 · λ y = — 1 — 1 2 · λ .

Решение

Подставим координаты точки М 0 ( 4 , — 2 ) в заданные параметрические уравнения:

4 = 2 · λ — 2 = — 1 — 1 2 · λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Делаем вывод, что точка М 0 принадлежит заданной прямой, т.к. соответствует значению λ = 2 .

Далее по аналогии проверим заданную точку N 0 ( — 2 , 1 ) , подставив ее координаты в заданные параметрические уравнения:

— 2 = 2 · λ 1 = — 1 — 1 2 · λ ⇔ λ = — 1 λ = — 4

Очевидно, что не существует такого параметра λ , которому будет соответствовать точка N 0 . Другими словами, заданная прямая не проходит через точку N 0 ( — 2 , 1 ) .

Ответ: точка М 0 принадлежит заданной прямой; точка N 0 не принадлежит заданной прямой.

  1. В задачах второго типа требуется составить параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Самый простой пример такой задачи (при известных координатах точки прямой и направляющего вектора) был рассмотрен выше. Теперь разберем примеры, в которых сначала нужно найти координаты направляющего вектора, а потом записать параметрические уравнения.

Пример 8

Задана точка M 1 1 2 , 2 3 . Необходимо составить параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку и параллельной прямой x 2 = y — 3 — 1 .

Решение

По условию задачи прямая, уравнение которой нам предстоит опередить, параллельна прямой x 2 = y — 3 — 1 . Тогда в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через заданную точку, возможно использовать направляющий вектор прямой x 2 = y — 3 — 1 , который запишем в виде: a → = ( 2 , — 1 ) . Теперь известны все необходимые данные для того, чтобы составить искомые параметрические уравнения:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + ( — 1 ) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 — λ

Ответ: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 — λ .

Задана точка М 1 ( 0 , — 7 ) . Необходимо записать параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно прямой 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Решение

В качестве направляющего вектора прямой, уравнение которой надо составить, возможно взять нормальный вектор прямой 3 x – 2 y – 5 = 0 . Его координаты ( 3 , — 2 ) . Запишем требуемые параметрические уравнения прямой:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = — 7 + ( — 2 ) · λ ⇔ x = 3 · λ y = — 7 — 2 · λ

Ответ: x = 3 · λ y = — 7 — 2 · λ

  1. В задачах третьего типа требуется осуществить переход от параметрических уравнений заданной прямой к прочим видам уравнений, которые ее определяют. Решение подобных примеров мы рассматривали выше, приведем еще один.

Пример 10

Дана прямая на плоскости в прямоугольной системе координат, определяемая параметрическими уравнениями x = 1 — 3 4 · λ y = — 1 + λ . Необходимо найти координаты какого-либо нормального вектора этой прямой.

Решение

Чтобы определить искомые координаты нормального вектора, осуществим переход от параметрических уравнений к общему уравнению:

x = 1 — 3 4 · λ y = — 1 + λ ⇔ λ = x — 1 — 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x — 1 — 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 · x — 1 = — 3 4 · y + 1 ⇔ x + 3 4 y — 1 4 = 0

Коэффициенты переменных x и y дают нам требуемые координаты нормального вектора. Таким образом, нормальный вектор прямой x = 1 — 3 4 · λ y = — 1 + λ имеет координаты 1 , 3 4 .

источники:

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlain-reshit-treugolnik

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/parametricheskie-uravnenija-prjamoj-na-ploskosti/

Уравнение медианы треугольника

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:

  1. Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
  2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).

Найти уравнения медиан треугольника.

Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A1, B1, C1.

Уравнение медианы AA1 будем искать в виде y=kx+b.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A1(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:

Отсюда k= 4; b= -11.

Уравнение медианы AA1: y=4x-11.

2) Аналогично, координаты точки B1 — середины отрезка AC

Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B1(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы BB1 можно найти ещё быстрее: y= -3.

3) Координаты точки C1 — середины отрезка BC:

Отсюда уравнение медианы CC1 : y=0,8x-4,6.

Образцы выполнения некоторых заданий

Рассмотрим решения некоторых практических упражнений.

Задание 2(е)

На плоскости даны точки А(11; -5), В(6;7), С(-10; -5). Найти уравнение биссектрисы угла А.

Решение задания 2(е)

Найдем направляющий вектор биссектрисы как сумму ортов векторов и

,

или (умножая на )

.

; ;

; .

.

Таким образом, в качестве направляющего вектора биссектрисы угла А можно взять вектор и уравнение биссектрисы будет иметь вид

.

Задание 3

Дана точка (0;2) пересечения медиан треугольника и уравнения двух его сторон 5х – 4у + 15 = 0 и 4х + у – 9 = 0. Найти координаты вершин треугольника и уравнение третьей стороны.

Решение Координаты одной вершины найдем как координаты точки пересечения данных сторон, для чего решим систему уравнений

Получаем или

Точка Оц пересечения медиан треугольника называется его центром. Отметим одно свойство центра треугольника, которое используем для нахождения координат остальных вершин:

; ,

где хц, уц – координаты центра треугольника;

хi, yi – координаты i-ой вершины треугольника,

Для доказательства этих формул рассмотрим треугольник А1А2А3, где Аi(xi;yi), i = 1-3 (см.рис.2.1).

Рис.2.1. Вспомогательный чертеж к заданию 3

Пусть В середина стороны А1А2. Тогда А3В – медиана треугольника А1А2А3. По известному из элементарной геометрии свойству медиан треугольника .

Тогда координаты точки В найдем по формулам

и ,

а координаты центра Оц из векторного соотношения , которое в координатной форме записывается так

, .

Отсюда, выражая хц и уц через xi, yi, получим требуемые формулы.

Вернемся к решению задания 3. Используя доказанные формулы, полагая в них х1 = 1 и у1 = 5, хц = 0 и уц = 2, получим два уравнения, которым должны удовлетворять координаты остальных двух вершин

; ,

Еще два уравнения получим, если потребуем, чтобы искомые точки, вершины треугольника, принадлежали заданным сторонам, т.е. их координаты удовлетворяли уравнениям этих сторон

Итак, для определения четырех неизвестных х2, у2, х3, у3, мы имеем четыре независимых (!) условия (уравнения)

Решив эту систему, получим х2 = -3, у2 = 0, х2= 2, у3 = 1.

Наконец, уравнение третьей стороны запишем как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (-3;0) и (2;1)

или .

Итак, уравнение третьей стороны x – 5у + 3 = 0, а вершины треугольника имеют координаты (1;5), (-3;0), (2;1).

Задание 7

Составить уравнение линии, для каждой точки М которой, отношение расстояний до точки F( ) и до прямой
равно .

Привести уравнение линии к каноническому виду, определить тип линии и построить линию на чертеже. Показать на чертеже фокусы, директрисы, асимптоты (если они имеются у построенной линии).

Замечание. Отметим, что в заданиях этого модуля ; ; .

Пусть n = 101. Тогда:

, т.к. ;

, т.к. ;

, т.к. .

Итак, для n = 101 первая часть задания 7 принимает вид:

Составить уравнение линии, для каждой точки М которой, отношение расстояния до точки F(-4;1) и до прямой x = 1
равно .

Решение задания 7 (для n = 101).

Пусть М(х;у) произвольная точка искомой линии, r – расстояние от М до F и d – расстояние от точки М до прямой x = 1. Тогда

и .

По условию , т.е. d = 2r.

— уравнение искомой линии.

Упростим уравнение линии и приведем его к каноническому виду. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат и выполним следующие преобразования уравнения

х 2 – 2х +1 = 4х 2 + 32х + 64 + 4(у – 1) 2 ,

3х 2 + 34х + 4(у – 1) 2 + 63 = 0,

,

.

Последнее уравнение – это каноническое уравнение эллипса с полуосями и ( ), центр которого находится в точке с координатами . Координаты вершин эллипса
и , т.е. (-9;1), , ,
. Построим эллипс на чертеже (см.рис.2.2).

Рис.2.2. Эллипс с уравнением

Фокусы эллипса имеют координаты , где .

.

Итак, координаты фокусов F1(-4;1), F2( ;1).

Директрисы эллипса имеют уравнения , где е – эксцентриситет эллипса

.

Уравнения директрис , т.е.

D2: .

Отметим фокусы и директрисы эллипса на рис.2.2.

Обратите внимание на совпадение фокуса F1 с точкой, данной в условии задания 7, на совпадение директрисы D1 с прямой х = 1 из условия этого задания, и совпадение эксцентриситета е с параметром е в условии. По этому поводу см. теоретическое упражнение 18.

В пространстве даны точки А(-2; -4;1), В(3;1; -1), С(5;1;1),
S(1;-4;0). Найти координаты центра и радиус вписанной в пирамиду SABC сферы (условие сформулировано для n = 101).

Решение задания 4(м)

Пусть точка О(x0;y0;z0) – центр сферы, вписанной в пирамиду SABC. Найдем точку О как точку, равноудаленную от граней пирамиды. Для этого найдем уравнения всех граней и расстояния от точки О до этих граней (уравнения некоторых граней находятся в предшествующих пункту М пунктах задания 4).

Грань АВС. Уравнение грани

или 5х – 7у – 5z – 13 = 0.

Точки О и S лежат по одну сторону от грани АВС, поэтому отклонения этих точек от грани АВС имеют одинаковые знаки. Отклонение (S) точки S от грани АВС равно

> 0.

.

Аналогично все делается для граней ABS, BCS, CAS.

Грань ABS имеет уравнение 5х + у + 15z – 1 = 0 и
.

Грань BCS имеет уравнение 5х – 3у – 5z – 17 = 0 и
.

Наконец, грань CAS имеет уравнение 5х – 7у + 15z + 33 = 0 и
.

Так как О – центр сферы, вписанной в пирамиду SABC, то

d(O; ABC) = d(O; ABS) = d(O; BCS) = d(O; CAS) = r,

где r – радиус вписанной сферы.

Тогда координаты точки О должны удовлетворять системе

В отличие от других заданий этого модуля, коэффициенты и решение этой системы найдем приближенно, с помощью микрокалькулятора или ЭВМ. Получим систему

и уравнение вписанной сферы

.

1. Общее уравнение прямой на плоскости. Нормальный вектор прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.

3. Каноническое и параметрическое уравнения прямой на плоскости. Направляющий вектор прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.

4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

5. Уравнения прямых, проходящих через данную точку параллельно и перпендикулярно данной прямой (3 случая задания данной прямой: общим уравнением, каноническим уравнением, уравнением с угловым коэффициентом).

6. Общее уравнение плоскости в пространстве, нормальный вектор плоскости. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности.

7. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой.

8. Общее, каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.

9. Угол между прямой и плоскостью в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

10. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данной прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данной плоскости.

11. Расстояние от точки до: прямой на плоскости; прямой в пространстве; плоскости в пространстве.

12. Уравнение линии на плоскости. Общее уравнение кривой второго порядка.

13. Каноническое и параметрическое уравнения окружности.

14. Эллипс (фокусы и директрисы, фокальные радиусы точки, эксцентриситет). Каноническое и параметрическое уравнения эллипса.

15. Гипербола (фокусы, директрисы и асимптоты, фокальные радиусы точки, эксцентриситет). Каноническое и параметрическое уравнения гиперболы.

16. Парабола (фокус и директриса, фокальный радиус точки, эксцентриситет). Каноническое уравнение параболы.

17. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

18. Полярные координаты на плоскости. Уравнение линии в полярных координатах.

19. Уравнение поверхности в пространстве. Общее уравнение поверхностей второго порядка.

20. Основные типы поверхностей второго порядка и их канонические уравнения.

1. Бугров Н.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980. 176 с.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1: Учебное пособие для студентов втузов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1980. 320 с.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1981. 232 с.

4. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980. 240 с.

5. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа/Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидович. – М.: Наука, 1981, 464 с.

6. Высшая математика. Методические указания и контрольные задания/Под ред. Ю.С. Арутюнова. – М.: Высшая школа, 1985.

7. Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. – Изд. 3-е. – Минск: Изд-во БГУ, 1973. 532 с.

8. Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты): Учеб. пособие для втузов. – М.: Высшая школа, 1983. 175 с.

9. Погорелов А.В.Аналитическая геометрия.– М.:Наука, 1968. 176с

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

A ( ; ), B ( ; ), C ( ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

источники:

http://poisk-ru.ru/s5347t9.html

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlain-reshit-treugolnik

Федеральное агентство по образованию

Государственное
образовательное учреждение

высшего
профессионального образования

ПЕРМСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Аналитическая
геометрия

Индивидуальные
задания

Пособие
разработано ст. преп. Смышляевой
Т. В.

Одобрено методической комиссией
кафедры «Высшая математика»

©
2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

Пермь
2007

Образец
решения варианта

  1. Даны
    вершины треугольника: А (1,-3), В (2,5) и С
    (8,1). Найти точку пересечения медианы,
    проведенной из вершины А и высоты – из
    вершины В, а также длину медианы,
    проведенной из вершины А.

Решение:

Рис.
1

Составим
уравнение медианы АD.
Координаты точки D
определяем по формулам координат
середины отрезка
.D
(5; 3). Используем уравнение прямой,
проходящей через две точки
.
Получаем.

Уравнение
медианы AD:
.

Составим
уравнение высоты, проведенной из вершины
В. Так как ВЕ 
АС, следовательно
.
Угловой коэффициент прямой АС определяем
по формуле.
Следовательно,.
Используем уравнение прямой, проходящей
через данную точку М0
(x0,y0)
в данном направлении
.

Уравнение
высоты из вершины В:
,.

Для
нахождения координат точки пересечения
медианы, проведенной из вершины А и
высоты, проведенной из вершины В нужно
решить совместно из уравнения
.
Точка О (4;).

Длина
медианы определяется по формуле
расстояния d
между точками А (x1,y1
D
(x2,y2)
на плоскости
.

А
(1,-3), D
(5,3)
.

  1. Составить
    уравнения прямых, проходящих через
    начало координат и образующих с прямой
    .

Решение:

Рис.
2

Уравнения
искомых прямых имеют вид
,
так как прямые проходят через начало
координат. Задача имеет два решения
(Рис. 2). Для решения используем формулу,
причем, поскольку нас интересует острый
угол, правую часть формулы возьмём по
абсолютной величине. Пусть угловой
коэффициент одной из искомых прямых
равенk.
Угловой коэффициент заданной прямой
равен 3. Так как угол между этими прямыми
равен
,
то.

Тогда
,
отсюдаи.

Решая
каждое из получившихся уравнений,
находим, что угловой коэффициент одной
из прямой
,
а другой.
Уравнения искомых прямых.

  1. Даны
    вершины А (-3,-2), В (4,-1), С (1,3) трапеции ABCD
    (AD
    
    BC).
    Составить уравнение средней линии
    трапеции. Полученное уравнение привести
    к уравнению в «отрезках» и к нормальному.

Решение:
Составим уравнение прямой ВС (уравнение
прямой, проходящей через две точки).

От
общего уравнения прямой ()
перейдем к уравнению с угловым
коэффициентом ().

Средняя
линия трапеции параллельна ВС и проходит
через середину отрезка АВ. Е – середина
АВ, следовательно Е ().

Так
как прямые параллельны, то
.
Используем уравнение прямой

Уравнение
средней линии трапеции:
.

Уравнение
прямой в отрезках:

Рис.
3

,
а
– величина отрезка отсекаемого прямой
на оси ОХ, b
— величина отрезка отсекаемого прямой
на оси ОY.

Перенося
свободный член данного уравнения в
правую часть равенства, получим
.
Деля обе части равенства на -5, будем
иметь.
Следовательно,(Рис. 4).

Рис.
4

Нормальное
уравнение прямой (Рис. 5)
,р
– длина перпендикуляра, опущенного из
начала координат на прямую, 
— угол, который образует этот перпендикуляр
с положительным направлением оси ОХ.

Рис.
5

Для
приведения общего уравнения прямой к
нормальному виду обе его части надо
умножить на нормирующий множитель
,
причем перед дробью следует выбрать
знак, противоположный знаку свободного
члена С в общем уравнении прямой.

Находим
нормирующий множитель
(знак минус берется потому, что С = 5
0). Таким образом, нормальное уравнение
полученной прямой имеет вид
.

Направляющие
косинусы
.
Длина перпендикуляра из начала координат
к прямой.

  1. Найти
    расстояние между параллельными прямыми
    .

Решение:
Искомое расстояние найдем как расстояние
от произвольной точки первой прямой до
второй прямой. Возьмем на первой прямой
произвольную точку, например, точку с
абсциссой
.
Её ордината.
Итак, на первой прямой выбрана точка А
(1;3). Найдем теперь расстояние этой точки
до второй прямой по формуле.

.

  1. Даны
    точки М1
    (-3; 7; -5) и М2
    (-8; 3; -4). Составить уравнение плоскости,
    проходящей через точку М1
    и перпендикулярной вектору
    .

Решение:
Найдем координаты нормального вектора
.
Имеем.

Уравнение
плоскости, проходящей через данную
точку М ().
Перпендикулярно данному вектору:.

Искомое
уравнение плоскости:
.

  1. Через
    точку пересечения плоскостей
    провести плоскость, параллельную
    плоскости.
    Найти расстояние точки М1
    (1; -1; -1) до построенной плоскости.

Решение:

Плоскости
пересекаются, следовательно
.
Решив систему уравнений,
получим точку М (3; 5; 7).

Так
как искомая плоскость параллельна
плоскости
,
то в качестве ее нормального вектора
можно взять нормальный векторданной плоскости (— условие параллельности двух плоскостей).

Используя
теперь уравнение плоскости, проходящей
через точку М перпендикулярно данному
вектору
,
получаем.
Это и есть искомое уравнение.

Расстояние
от точки
до плоскостиопределяется по формуле.
В данном случае.

  1. Плоскость

    проходит через точки:
    .
    Плоскость
    проходит через ось ОХ и точку
    .
    Найти угол между плоскостями
    и .

Решение:
Уравнение плоскости, проходящей через
три данные точки
имеет вид.
В данном случае.

Раскрывая
этот определитель, получим
— уравнение плоскости.
Если плоскость проходит через ось ОХ,
А = 0, D = 0(общее уравнение плоскости
)
т. е..
Плоскость
проходит через ось ОХ и точку М4
(9,-3, 8). Подставляем в это уравнение
координаты точки М4
получимили,
таким образом, имеем,
т. е.— уравнение плоскости.

Угол
между плоскостями определяется по
формулам
,
где.
Нормальный вектор плоскости:
.
Для плоскости:
.
Определяем острый угол между плоскостями
и :

.

  1. Общее
    уравнение прямой
    преобразовать к каноническому виду.

Решение:

Первый
способ
.
Наметим такой план решения задачи: из
системы исключим сначала y и выразим z
через x, потом исключим х и выразим z
теперь уже через y.

Для
того чтобы из системы исключить у, сложим
первое уравнение системы почленно со
вторым. Получим, что
,
откуда.

Умножая
первое уравнение на (2), а второе на ,(-3)
и складывая их почленно, получим
,
откудаили.

Сравнивая
найденные значения z,
получаем уравнение прямой в каноническом
виде
.

Умножая
теперь все знаменатели на 15, окончательно
получим
.
Прямая проходит через точкуи
имеет направляющий вектор.

Второй
способ
.
Найдем направляющий вектор
прямой. Так как он должен быть
перпендикулярен нормальным векторам
заданных плоскостейи,
то в качестве его можно взять векторное
произведение векторов:.

Таким
образом, l
= -3, m
= 8, n
= -15. За точку
,
через которую проходит искомая прямая,
можно принять точку её пересечения с
любой из координатных плоскостей,
например с плоскостью ХOY. Поскольку при
этом,
координатыопределяются из системы уравнений
заданных плоскостей, если положить в
них

,
отсюда получаем
.
Так как каноническое уравнение имеет
вид,
то в данном случае.

  1. Написать
    уравнение прямой l,
    проходящей через точки А (-1; 2; 3) и В (5;
    -2; 1). Лежат ли на этой прямой точки: К
    (-7; 6; 5), L
    (2; 0; 1), М (-4; 4; 4)? При каком значении m
    прямая l
    перпендикулярна прямой
    .

Решение:
Уравнение прямой, проходящей через две
данные точки М (х1;
y1;
z1)
и N(x2;
y2;
z2):

Прямая
l:
.
Подставляем в эти уравнения координаты
точек K,L,
M,
соответственно находим:
;;.
Следовательно, Kl,
Ml,
Ll.
Условие перпендикулярности двух прямых

.
В данном случае для прямой.

Тогда

При

прямые перпендикулярны.

  1. При
    каких значениях n и А прямая
    и плоскостьбудут перпендикулярны? Приn
    = -1 и А = 3 найти точку пересечения прямой
    с плоскостью и угол между ними.

Решение:
— условие перпендикулярности прямой и
плоскости (Рис. 6).

Рис.
6

В
данном случае

При
А = -4; n =
прямая и плоскость перпендикулярны.

Если
n = -1, то прямая имеет вид
.

Если
А = 3, то плоскость имеет вид
.

Запишем
уравнение прямой в параметрическом
виде:
.
Подставляя значенияx,
y, z

в уравнение плоскости, имеем
,
откуда.
Подставляя теперь это значениеt
в параметрические уравнения прямой,
находим координаты точки пересечения:
,
М (5; 5; -2).

Острый
угол между прямой
и плоскостьюопределяется по формуле.
Учитывая, чтополучаем

  1. Дана
    прямая
    и вне её точка М (1; 1; 1). Найти точку N,
    симметричную М относительно данной
    прямой.

Решение:
Проведем через М плоскость ,
перпендикулярную к данной прямой.
:
или.

Найдем
точку Q, где эта плоскость пересекает
данную прямую. Запишем уравнение прямой
в параметрическом виде:
.
Подставляяx,
y, z

в уравнение плоскости, получим
,
отсюда

Точка
Q имеет координаты
.
Тогда координаты симметричной точки
можно найти из формулы координат середины
отрезка, т. е.или.
Откуда.
Следовательно,.

Соседние файлы в папке Индивидуальные_задания

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Пример 1:

Построить треугольник, вершины которого находятся в точках А (2; 4), В (-3; 2), С (-3; -4). Найти:

1) уравнения сторон треугольника АВС;

2) координаты точки пересечения медиан;

3) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;

4) площадь треугольника.

Решение от преподавателя:

Уравнение, прямой проходящей через две точки
1) Уравнения сторон треугольника АВС

2) Координаты точки пересечения медиан

Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Координаты т. E как середины отрезка ВС.

Уравнение АЕ

Координаты т. К как середины отрезка АВ.

Уравнение СК

3) Длина и уравнение высоты, опущенной из вершины А

Расстояние от точки до прямой

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой

Уравнение AN

4) Площадь треугольника

Длина ВС

Пример 2:

Решение от преподавателя:


Пример 3:

По координатам вершин треугольника ABC найти:

  • периметр треугольника;
  • уравнения сторон AB и BC;
  • уравнение высоты AD; угол ABC;
  • площадь треугольника.

Сделать чертеж.

А(1; 2); В (–1; 2); С(3; 0).

Решение от преподавателя:



Пример 4:

Даны координаты вершин треугольникаА, В, С.

Требуется найти:

1) уравнение и длину стороны ВС;

2) уравнение и длину высоты, проведённой из вершиныА;

3) уравнение медианы, проведённой из вершиныА;

4) площадь треугольника.

Сделать чертёж.

А(4;-3), B(-2;-1), C(3;-2).

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Решение от преподавателя:

1)

2)

3) Находим координаты точки М – середины стороны ВС:

       

Определяем длину медианы АМ:

4) Составляем уравнение медианы – прямой АМ:

5) Если ВН – высота, проведенная из вершины В к стороне АС, то, поскольку ВН проходит через точку В перпендикулярно вектору , то составляем уравнение высоты по формуле , где (a,b) – координаты вектора перпендикулярного искомой прямой,  – координаты точки, принадлежащей этой прямой. Находим координаты вектора АС:

и подставляем в формулу, ,

6) Длину высоты ВН находим как расстояние от точки В до прямой АС:

7) Площадь треугольника АВС:

8) Находим угол ВАС треугольника:

9) Составляем уравнение прямой, проходящей через т.А параллельно ВС:

Ответ:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

  1. Уравнение прямой 
    Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями: 
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%20x_%7b1%7d%7d%7bx_%7b2%7d%20-%20x_%7b1%7d%7d%20=%20frac%7by%20-%20y_%7b1%7d%7d%7by_%7b2%7d%20-%20y_%7b1%7d%7d
    Уравнение прямой AB 
    Каноническое уравнение прямой: 
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%2010%7d%7b-4%20-%2010%7d%20=%20frac%7by%20%2B%202%7d%7b4%20-%20(-2)%7d
    или 
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%2010%7d%7b-14%7d%20=%20frac%7by%20%2B%202%7d%7b6%7d
    или 
    y = -3/7x + 16/7 или 7y + 3x — 16 = 0 
  2. Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. 
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7bm%7d%20=%20frac%7bx_%7bA%7d%20%2B%20x_%7bB%7d%7d%7b2%7d%20=%20frac%7b10%20%2B%20(-4)%7d%7b2%7d%20=%203
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=y_%7bm%7d%20=%20frac%7by_%7bA%7d%20%2B%20y_%7bB%7d%7d%7b2%7d%20=%20frac%7b-2%20%2B%204%7d%7b2%7d%20=%201
    M(3;1) 
    Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-8;2) и М(3;1), поэтому: 
    Каноническое уравнение прямой: 
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20%2B%208%7d%7b3%20-%20(-8)%7d%20=%20frac%7by%20-%202%7d%7b1%20-%202%7d
    или 
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20%2B%208%7d%7b11%7d%20=%20frac%7by%20-%202%7d%7b-1%7d
    или 
    y = -1/11x + 14/11 или 11y + x — 14 = 0 
  3. Уравнение высоты через вершину C 
    Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: 
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%20x_%7b0%7d%7d%7bA%7d%20=%20frac%7by%20-%20y_%7b0%7d%7d%7bB%7d
    Найдем уравнение высоты через вершину C 
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%20(-8)%7d%7b3%7d%20=%20frac%7by%20-%202%7d%7b7%7d
    y = 7/3x + 62/3 или 3y -7x — 62 = 0
  4. уравнение параллельной прямой AB, проходящей через точку (-8,2)
    Уравнение прямой AB: y = -3/7x + 16/7
    Уравнение KN параллельно AB находится по формуле:
    y — y0 = k(x — x0)
    Подставляя x0 = -8, k = -3/7, y0 = 2 получим:
    y-2 = -3/7(x-(-8))
    или
    y = -3/7x — 10/7 или 7y + 3x +10 = 0

Пример 7:

Даны координаты вершин треугольника: A(1,1), B(4,13), C(10,5). 

Решение от преподавателя:

4) Уравнение высоты через вершину C 
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: 

Найдем уравнение высоты через вершину C 

y = -1/4x + 15/2 или 4y +x -30 = 0 
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AB. 
Уравнение AB: y = 4x -3, т.е. k1 = 4 
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1. 
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим: 
4k = -1, откуда k = -1/4 
Так как перпендикуляр проходит через точку C(10,5) и имеет k = -1/4,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0). 
Подставляя x0 = 10, k = -1/4, y0 = 5 получим: 
y-5 = -1/4(x-10) 
или 
y = -1/4x + 15/2 или 4y + x — 30 = 0 
Найдем точку пересечения с прямой AB: 
Имеем систему из двух уравнений: 
y -4x +3 = 0 
4y + x — 30 = 0 
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение. 
Получаем: 
x = 42/17 
y = 117/17 
D(42/17;117/17
Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C 
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины: 

Найдем расстояние между точкой C(10;5) и прямой AB (y -4x +3 = 0) 

5,7) Уравнение медианы треугольника 
Обозначим середину стороны BC буквой Е. Тогда координаты точки Е найдем по формулам деления отрезка пополам. 


Е(7;9) 
Уравнение медианы AЕ найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки A(1;1) иЕ(7;9), поэтому: 
Каноническое уравнение прямой: 

или 

или 
y = 4/3-1/3 или 3y -4x +1 = 0 
Найдем длину медианы. 
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой: 

6) CDдиаметр окружности. Центр окружности точка О лежит в середине отрезка CD

Уравнение окружности  (x-x0)2+(y-y0)2=r2

(x-106/17)2+(y-101/17)2=256/17 

8) Уравнение прямой, параллельной CD, проходящей через точку A 

Так как прямая  проходит через точку А(1,1) и имеет k = -1/4, ( так как уравнение CD:y = -1/4x + 15/2 или 4y + x — 30 = 0 ),
то будем искать уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0). 
Подставляя x0 = 1, k = -1/4, y0 = 1получим: 
y-1 = -1/4(x-1) 
или 
y = -1/4x + ¼+1 или 4y + x — 5 = 0 

Пример 8:

Решение от преподавателя:

Точка D – середина стороны АВ , ее координаты равны полусумме координат А и В. Получим D(1, -1)

Пример 9:

Даны координаты вершин треугольника АВС: А (3,-2), В (-5,-4),  С (-1,6).

Найдите: 1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС;

2) периметр (сумму длин) треугольника;

3) уравнение высоты СН;

4) расстояние d от точки С до прямой АВ;

5) сделайте чертеж.

Решение от преподавателя:

Решение.

1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС

Уравнение, прямой проходящей через две точки

2) периметр (сумму длин) треугольника

Расстояние между двумя точками

3) уравнение высоты СН

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой

4) расстояние d от точки С до прямой АВ

Расстояние от точки до прямой

Пример 10:

Даны вершины A (x1; y1), B (x2; y2), C (x3; y3)    треугольника.

Найти: 1) уравнение стороны AB;

2) уравнение медианы, проведенной из вершины C;

3) уравнение высоты, проведенной из вершины C ;

4) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB .

A (6; 0), B (2; − 6), C (−3; −9).

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Дан треугольник  с координатами вершин найти:

а) длину стороны AB;

б) косинус угла ABC;

в) площадь треугольника ABC (через векторное произведение);

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Решение от преподавателя:

Даны координаты вершин треугольника: A(6,0), B(2,-6), C(-3,-9). 
1) Уравнение прямой 
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями: 

Уравнение прямой AB 
Каноническое уравнение прямой: 

или 

или 
y = 3/2x -9 или 2y -3x +18 = 0 

2) Уравнение медианы треугольника 
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. 


M(4;-3) 
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-3;-9) и М(4;-3), поэтому: 
Каноническое уравнение прямой: 

или 

или 
y = 6/7-45/7 или 7y -6x +45 = 0 
3) Уравнение высоты через вершину C 
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: 

Найдем уравнение высоты через вершину C 

y = -2/3x -11 или 3y +2x + 33 = 0 
4) Уравнение прямой, параллельной AB, проходящей через С(-3,-9) 
Уравнение прямой AB: 2y -3x +18 = 0 
Уравнение СN параллельно AB находится по формуле: 

Или     2y -3x +9 = 0 

Пример 14:

Даны вершины треугольника А(8,1), В(0,3), С(-2,-3). Напишите уравнения стороны AB, медианы AD, высоты BE.

Решение от преподавателя:

Даны координаты вершин треугольника: A(8,1), B(0,3), C(-2,-3). 
1) Уравнение прямой (АВ)
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями: 

Уравнение прямой AB 


или 

или 
 4y + x — 12 = 0 

2)Уравнение медианы (АD)

Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. 


M(-1;0) 
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(8;1) и М(-1;0), поэтому: 

или 

или 
y = 1/9x + 1/9 или 9y -x — 1 = 0 
3) Уравнение высоты через вершину B

Найдем уравнение высоты через вершину B 

Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AC. 

Уравнение прямой AC 
уравнение прямой, проходящей через 2 точки: 

или 

или 
y = 2/5-11/5  т.е. k1 = 2/5 
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1. 
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим: 
2/5k = -1, откуда k = -5/2 
Так как перпендикуляр проходит через точку B(0,3) и имеет k = -5/2,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0). 
Подставляя x0 = 0, k = -5/2, y0 = 3 получим: 
y-3 = -5/2(x-0) 
или 
y = -5/2x + 3 или 2y + 5x — 6 = 0    — уравнение (ВЕ)

Пример 15:

Дан треугольник АВС. Найти:

а) величину угла А;

б) уравнение стороны АС;

в) уравнение высоты и медианы, опущенных из вершины В.

Сделать чертеж.

А(-1,2); В(1,3); С(3,-4).

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Треугольник задан вершинами А(-6; -2);  В(4; 8); С(2; -8). Найти:

а) уравнение прямой BN, параллельной  стороне АС;

б) уравнение медианы CD;

в) уравнение высоты АЕ;

Решение от преподавателя:

а) уравнение прямой BN, параллельной  стороне АС;

Уравнение прямой AC:

Каноническое уравнение прямой:
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20%2B%206%7d%7b2%20-%20(-6)%7d%20=%20frac%7by%20%2B%202%7d%7b-8%20-%20(-2)%7d
или
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20%2B%206%7d%7b8%7d%20=%20frac%7by%20%2B%202%7d%7b-6%7d
или
y = -3/4-13/2 или 4y + 3x +26 = 0

Уравнение BN параллельно AC находится по формуле:
y — y0 = k(x — x0)
Подставляя x0 = 4, k = -3/4, y0 = 8 получим:
y-8 = -3/4(x-4)
или
y = -3/4x + 11 или 4y + 3x — 44 = 0

б) уравнение медианы CD;

Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7bm%7d%20=%20frac%7bx_%7bA%7d%20%2B%20x_%7bB%7d%7d%7b2%7d%20=%20frac%7b-6%20%2B%204%7d%7b2%7d%20=%20-1
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=y_%7bm%7d%20=%20frac%7by_%7bA%7d%20%2B%20y_%7bB%7d%7d%7b2%7d%20=%20frac%7b-2%20%2B%208%7d%7b2%7d%20=%203
M(-1;3)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(2;-8) и М(-1;3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%202%7d%7b-1%20-%202%7d%20=%20frac%7by%20%2B%208%7d%7b3%20-%20(-8)%7d
или
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%202%7d%7b-3%7d%20=%20frac%7by%20%2B%208%7d%7b11%7d
или
y = -11/3-2/3 или 3y + 11x +2 = 0

в) уравнение высоты АЕ;

Прямая, проходящая через точку Е0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%20x_%7b0%7d%7d%7bA%7d%20=%20frac%7by%20-%20y_%7b0%7d%7d%7bB%7d
Найдем уравнение высоты через вершину A
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%20(-6)%7d%7b-8%7d%20=%20frac%7by%20-%20(-2)%7d%7b1%7d
y = -1/8x — 11/4 или 8y +x + 22 = 0

Пример 17:

A(1, 2), В(5, 8), С(11, 3).

Решение от преподавателя:


Пример 18:

В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (-3;4), точки В (-4;-3), точки С (8;1).

Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК)  и медианы (CМ).

Решение от преподавателя:

Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20%2B%204%7d%7b-4%20-%20(-4)%7d%20=%20frac%7by%20-%204%7d%7b-3%20-%204%7d
или
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20%2B%204%7d%7b0%7d%20=%20frac%7by%20-%204%7d%7b-7%7d
или
x +4 = 0 или x = -4
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20%2B%204%7d%7b8%20-%20(-4)%7d%20=%20frac%7by%20-%204%7d%7b1%20-%204%7d
или
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20%2B%204%7d%7b12%7d%20=%20frac%7by%20-%204%7d%7b-3%7d
или
y = -1/4x + 3 или 4y + x — 12 = 0

Найдем уравнение высоты через вершину B
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%20(-4)%7d%7b1%7d%20=%20frac%7by%20-%20(-3)%7d%7b4%7d
y = 4x + 13 или y -4x — 13 = 0

Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(8;1) и М(-4;1/2), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%208%7d%7b-4%20-%208%7d%20=%20frac%7by%20-%201%7d%7b%7b1%20over%202%7d%20-%201%7d
или
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%208%7d%7b-12%7d%20=%20frac%7by%20-%201%7d%7b%7b-1%20over%202%7d%7d
или
y = 1/24x + 2/3 или 24y -x — 16 = 0

Пример 19:

Дан треугольник ABC с координатами вершин A(-5;-3; 2), B(-2;-6;-3) и C(-2; 2;-1).
Найти:
а) длину стороны АВ;
б) косинус угла ABC;
в) площадь треугольника АВС (через векторное произведение).

Решение от преподавателя:

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:

  1. Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
  2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Пример.

Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).

Найти уравнения медиан треугольника.

Решение:

Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A1, B1, C1.

1) По формулам координат середины отрезка

    [x_{A_1 } = frac{{x_B + x_C }}{2} = frac{{6 + ( - 3)}}{2} = 1,5;]

    [y_{A_1 } = frac{{y_B + y_C }}{2} = frac{{ - 3 + ( - 7)}}{2} = - 5.]

Уравнение медианы AA1 будем искать в виде y=kx+b.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A1(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:

    [left{ begin{array}{l} 1 = k cdot 3 + b; \ - 5 = k cdot 1,5 + b. \ end{array} right.]

Отсюда k= 4; b= -11.

Уравнение медианы AA1: y=4x-11.

2) Аналогично, координаты точки B1 — середины отрезка AC

    [x_{B_1 } = frac{{x_A + x_C }}{2} = frac{{3 + ( - 3)}}{2} = 0;]

    [y_{B_1 } = frac{{y_A + y_C }}{2} = frac{{1 + ( - 7)}}{2} = - 3.]

Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B1(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы  BB1 можно найти ещё быстрее: y= -3.

3) Координаты точки C1 — середины отрезка BC:

    [x_{C_1 } = frac{{x_A + x_B }}{2} = frac{{3 + 6}}{2} = 4,5;]

    [y_{C_1 } = frac{{y_A + y_B }}{2} = frac{{1 + ( - 3)}}{2} = - 1.]

C(-3;-7), C(4,5;-1), y=kx+b:

    [left{ begin{array}{l} - 7 = k cdot ( - 3) + b; \ - 1 = k cdot 4,5 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = 0,8;b = - 4,6.]

Отсюда уравнение медианы CC1 : y=0,8x-4,6.

uravnenie-mediany-treugolnika

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти удельную теплоемкость газа при
  • Как найти вики шоу ютуб
  • Как составить график дежурств на год в виде таблицы
  • Код ошибки 0x3bc3 как исправить
  • Как найти статью в аиф