Как составить каноническое уравнение окружности

Выделяют четыре
основных типа кривых второго порядка:
окружность,
эллипс, гипербола и парабола
.

1. Окружность

Определение.
Окружностью
называется множество, состоящее из всех
точек плоскости, находящихся на равном
расстоянии R от фиксированной точки С.

Число R
называется радиусом
окружности, точка С
центром.

Воспользуемся
определением окружности для вывода ее
уравнения.

П

Рис. 5

усть точка

– центр окружности. Точка

– произвольная точка окружности, а
радиус этой окружности равен
.
По определению
,
тогда, используя формулу вычисления
длины вектора
,
имеем
,
тогда

.
Возведем обе части равенства в квадрат.
Тогда уравнение окружности с центром
в точке

и радиусом R
имеет вид:


каноническое
уравнение окружности

В частности,
уравнение окружности с центром в начале
координат и радиусом R
имеет вид:
.

Пример

Составить
каноническое уравнение окружности,
центр которой находится в точке
,
а диаметр
.

Решение:

Найдем радиус
,
тогда уравнение окружности имеет вид


или
.

Пример

Построить окружность
по заданному уравнению
.
Привести каноническое уравнение к
общему виду.

Решение:

П

Рис. 6

о заданному уравнению определяем,
что центр окружности
,
а радиус
.
Теперь преобразуем каноническое
уравнение к общему виду

или
,
полученное уравнение является общим
уравнением окружности с центром в точке

и радиусом
.

Возможно решение
обратной задачи: общее уравнение
преобразовать в каноническое.

2. Эллипс

Определение
1.
Эллипсом
называется множество, состоящее из всех
точек плоскости, сумма расстояний от
каждой из которых до двух заданных точек
плоскости

и
,
называемых фокусами, есть величина
постоянная, большая, чем расстояние
между фокусами.

В случае, когда
фокусы эллипса

и

расположены
на оси Ox
(или на оси Oy)
симметрично относительно начала
координат, его уравнение называется
каноническим
и имеет
вид:

.

Обозначим через
2с
расстояние между фокусами эллипса. Если
a >
b
(a <
b),
то фокусы эллипса расположены на оси
Ox
(на оси Oy)
и


(cм. рис. 7). Фокусы эллипса всегда лежат
на большей оси. Отрезки ОА
и ОВ
называются полуосями
эллипса. Точки пересечения линии эллипса
с осями координат А,
В,
А1,
В1
называются вершинами
эллипса
.
Эллипс имеет две оси симметрии (в случае,
если эллипс задается каноническим
уравнением, оси симметрии совпадают с
осями координат) и центр симметрии (в
случае, если эллипс задается каноническим
уравнением, центр симметрии совпадает
с началом координат).


Рис. 7

Для количественной
оценки формы эллипса введена величина,
называемая эксцентриситетом эллипса.

Определение
2.

Эксцентриситетом
эллипса называется величина, равная
отношению расстояния между фокусами к
длине его большей оси.

Обозначим
эксцентриситет эллипса через .
Пусть a >
b
(a <
b).
Тогда

().
Так как 0 <
с < a
(0 <
с <
b)
, то 0 < 
< 1. Чем ближе эксцентриситет к единице,
тем эллипс более вытянут вдоль большей
оси.

3. Гипербола

Определение
1.
Гиперболой
называется множество, состоящее из всех
точек плоскости, модуль разности
расстояний от которых до двух фиксированных
точек

и
,
называемых фокусами, есть величина
постоянная, меньшая, чем расстояние
между фокусами, и отличная от нуля.

Каноническое
уравнение

гиперболы имеет вид:

(1)

(в случае, если
фокусы

и

расположены
на оси Ох
симметрично относительно начала
координат, см. рис. 8) или

(2)

(в случае, если
фокусы

и

расположены
на оси Оу
симметрично
относительно начала координат, см. рис.
9).

Гиперболы, заданные
уравнениями (1) и (2), называются сопряженными
относительно друг друга.

Обозначим через
2с
расстояние между фокусами гиперболы.
Тогда
.


Рис. 8 Рис. 9

Точки А и А1вершины
гиперболы. Точки В и В1
вершины гиперболы.

Прямоугольник,
составленный прямыми

,
называется основным
прямоугольником
гиперболы.
Его диагонали совпадают с прямыми
,
которые являются асимптотами
гиперболы. Отрезки ОА
= a
и OB = b
называются полуосями
гиперболы. Ось координат, на которой
расположены фокусы гиперболы (и которую
пересекает гипербола) называется
действительной,
другая ось координат (с которой у
гиперболы нет общих точек) – мнимой.

Гипербола называется
равносторонней,
если длины осей равны
.

Форму гиперболы
определяет отношение длин основного
прямоугольника. Для количественной
оценки формы гиперболы, как и в случае
эллипса, вводится понятие эксцентриситета.

Определение
2.

Эксцентриситетом
гиперболы называется величина, равная
отношению половины расстояния между
фокусами к длине действительной полуоси.

Обозначим
эксцентриситет гиперболы через .
Для гиперболы, заданной уравнением (1),
;
для гиперболы, заданной уравнением (2)
.
Так как 0 <
а < с
и
0 <
b
< с,
то 
> 1. Чем ближе эксцентриситет к единице,
тем основной прямоугольник гиперболы
более вытянут вдоль ее оси, соединяющей
вершины.

4. Парабола

Определение.
Параболой
называется множество, состоящее из всех
точек на плоскости, для которых расстояние
до некоторой фиксированной точки F,
называемой фокусом, равно расстоянию
до некоторой фиксированной прямой,
называемой директрисой.

На рисунках 10–13
представлены все простейшие случаи
расположения параболы и соответствующие
им канонические уравнения.

p
– параметр, он равен расстоянию между
фокусом и директрисой;

точка F
– фокус.

Рис. 10
Рис. 11

На рис. 10 парабола
;
уравнение директрисы
.

На рис. 11 парабола
;
уравнение директрисы
.

Рис. 12
Рис. 13

На рис. 12 парабола
;
уравнение директрисы
.

На рис. 13 парабола
;
уравнение директрисы
.

Пример

По заданному
каноническому уравнению

построить кривую,
найти координаты фокусов.

Решение:

Заданное
уравнение есть уравнение эллипса, где
,
,
следовательно,
,
,
тогда
.

На оси

отметим точки

и
,
а на оси

отметим

и

это вершины эллипса.

Соединим полученные
точки плавной линией. Прямоугольных
участков быть не должно. Эллипс – это
сжатая окружность.

Найдем фокусы
эллипса, так как
,
то фокусы располагаются на оси

и имеют координаты

и
.

Пример

Общее уравнение

кривой привести к каноническому виду,
построить кривую, найти координаты
фокусов.

Решение:

Перенесем свободный
член вправо
.
Разделим слагаемое уравнения на 225,
получим
,
это уравнение
соответствует
каноническому уравнению эллипса, где
,
,
следовательно,
,
,
тогда
.

На оси

отметим точки

и
,
а на оси

отметим

и

– это вершины эллипса.

Найдем фокусы
эллипса, так как
,
то фокусы располагаются на оси

и имеют координаты

и
.

Пример

Дано каноническое
уравнение гиперболы
.
Записать уравнение гиперболы, сопряженной
с заданной. Найти координаты фокусов и
построить обе гиперболы.

Решение:

Уравнение

соответствует гиперболе, у которой
действительная ось симметрии есть ось
.
Следовательно, уравнение сопряженной
гиперболы
,
у которой действительная ось симметрии
есть ось
.
Межфокусное расстояние у сопряженных
гипербол одинаковое, равно
,
где
.

Подготовка
к построению сопряженных гипербол
одинаковая. На осях координат строим
основной прямоугольник со сторонами

и
.
Прямоугольник строится так, чтобы точка
пересечения его диагоналей совпадала
с началом координат. Продолжение
диагоналей являются асимптотами
гиперболы. В нашем случае уравнения
асимптот имеют вид:
.
Для уравнения заданной гиперболы вершины
гиперболы

и
,
так же как и фокусы

и
,
находятся на оси
.
Линия гиперболы касается вспомогательного
прямоугольника только в одной точке
(вершине) и плавно стремится к асимптотам.
Для уравнения сопряженной гиперболы
вершины гиперболы

и
,
так же как и фокусы

и
,
находятся на оси
.

Рис. 16

Пример

Построить
по заданному уравнению параболы
,
определить координаты фокуса, составить
уравнение директрисы.

Решение:

Данное
уравнение

– это уравнение параболы с осью симметрии
.
Для нахождения координат фокуса надо
найти параметр
.
Сравнивая каноническое уравнение
параболы

и заданное уравнение
,
находим
,
откуда
.
Следовательно,

и уравнение директрисы
,
а ветви параболы направлены вверх. Кроме
вершины

найдем еще хотя бы 4 точки, принадлежащие
данной параболе (рис. 17). Для этого
составим таблицу

0

0

1

4

Пример

Привести
уравнение

к каноническому виду и выполнить задания
предыдущего примера.

Решение:

Преобразуем
уравнение к каноническому виду
.
Это уравнение соответствует уравнению

,
то есть уравнению параболы с осью
симметрии
.
Аналогично предыдущему примеру находим
,
откуда
.
Следовательно,

и уравнение директрисы
,
а ветви параболы направлены влево. Кроме
вершины

найдем еще хотя бы 4 точки, принадлежащие
данной параболе (рис. 18). Для этого
составим таблицу

0

-1,5

-6

0

62

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Если точка С — центр окружности, R — ее радиус, а М — произвольная точка окружности, то по определению окружности

Равенство (1) есть уравнение окружности радиуса R с центром в точке С.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат (рис. 104) и точка С(а; b) — центр окружности радиуса R. Пусть М(х; у) — произвольная точка этой окружности.

Так как |СМ| = ( sqrt <(x — a)^2 + (у — b)^2>), то уравнение (1) можно записать так:

Уравнение (2) называют общим уравнением окружности или уравнением окружности радиуса R с центром в точке (а; b). Например, уравнение

есть уравнение окружности радиуса R = 5 с центром в точке (1; —3).

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (2) принимает вид

Уравнение (3) называют каноническим уравнением окружности.

Задача 1. Написать уравнение окружности радиуса R = 7 с центром в начале координат.

Задача 2. Написать уравнение окружности радиуса R = 9 с центром в точке С(3; —6).

(х — 3) 2 + (у — (—6)) 2 = 81 или (х — 3) 2 + (у + 6) 2 = 81.

Задача 3. Найти центр и радиус окружности

Сравнивая данное уравнение с общим уравнением окружности (2), видим, что а = —3, b = 5, R = 10. Следовательно, С(—3; 5), R = 10.

Задача 4. Доказать, что уравнение

является уравнением окружности. Найти ее центр и радиус.

Это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке (—2; 1); радиус окружности равен 3.

Задача 5. Написать уравнение окружности с центром в точке С(—1; —1), касающейся прямой АВ, если A (2; —1), B(— 1; 3).

или 4х + 3y —5 = 0.

Так как окружность касается данной прямой, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой. Для отыскания радиуса необходимо найти расстояние от точки С(—1; —1) — центра окружности до прямой 4х + 3y —5 = 0:

Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность x 2 + у 2 = R 2 . Рассмотрим ее произвольную точку М(х; у) (рис. 105).

Пусть радиус-вектор OM > точки М образует угол величины t с положительным направлением оси Ох, тогда абсцисса и ордината точки М изменяются в зависимости от t

(0 2 = 3 cos 2 t, у 2 = 3 sin 2 t. Складывая эти равенства почленно, получаем

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Линии второго порядка

1. Основные понятия.

6. Общее уравнение линий второго порядка.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

.

Коэффициенты уравнения – действительные числа, но, по крайней мере, одно из чисел отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка.

ОКРУЖНОСТЬ

Простейшей кривой второго порядка является окружность.

Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке называется множество всех точек плоскости, удовлетворяющих условию .

Каноническое уравнение окружности .

Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса .

у

с – половина расстояния между фокусами; a – большая полуось; b – малая полуось.

и называются фокальными радиусами. ,

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

Определение.Характеристикой эллипса, показывающей меру его вытянутости, является эксцентриситет – величина, определяемая отношением: .

Замечание. Для эллипса .

Определение.Прямые называются директрисами эллипса.

Теорема. Если ­­– расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусы директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса: .

Замечание. Если a = b, то c = 0, а значит, фокусы сливаются, и эллипс превращается в окружность.

Если же , то уравнение определяет эллипс, большая ось которого лежит на оси Оу, а малая ось – на оси Ох. Фокусы такого эллипса находятся в точках F1 (0;с); F2(0;-с), где b 2 = a 2 + c 2 .

Пример. Составьте уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), а большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: .

Расстояние между фокусами: 2c = , таким образом,

a 2 – b 2 = c 2 = .

По условию большая ось равна 2, то есть 2а = 2, откуда получаем, что

а = 1, b = .

Тогда искомое уравнение эллипса имеет вид: .

Гипербола

Определение. Гиперболойназывается линия, для всех точек которой модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы .

y

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси гиперболы связаны соотношением:

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Прямоугольник со сторонами 2а и2b называется основным прямоугольником гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Замечание.Для гиперболы эксцентриситет .

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/ε от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Определение. Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны ( ).

Ее каноническое уравнение .

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояние между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается : .

Кривая, определяемая уравнением , также есть гипербола, действительная ось которой расположена на оси , а мнимая ось – на оси .

Гиперболы и имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Пример. Составьте уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса, заданного уравнением

Найдем фокусное расстояние для эллипса:

Тогда искомое уравнение гиперболы .

Парабола

Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы y 2 = 2px .

у

Конспекты :»Кривые второго порядка»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

1. Окружность и ее уравнение

Кривая второго порядка линия на плоскости, задаваемая уравнением: Ах 2 +2Вху+Су 2 +2Dx+2Ey+F=0 , где коэффициенты А, В, С, D, E, F – любые действительные числа при условии, что А, В, С одновременно не равны нулю.

Выделяют следующие кривые второго порядка:

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.

Пусть центром окружности является точка О ( a;b ), а расстояние до любой точки М ( x;y ) окружности равно R (рис.1). Составим уравнение окружности.

Расстояние от точки М до центра окружности можно найти, пользуясь формулой расстояния между точками:

Подставив в это выражение координаты точек М и О ,получим:

Поскольку расстояние ОМ равно радиусу R , следовательно, R = .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Это уравнение называется каноническим уравнением окружности с центром О ( a ; b ) и радиусом R .

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности имеет вид: x 2 + y 2 = R 2 .

Пример 1 Составьте уравнение окружности с центром О (3; -2) и радиусом r = 5.

Решение: Подставив a =3, b =-2 и r = 5 в каноническое уравнение окружности , получим: .

Пример 2 Запишите уравнение окружности с центром в точке М(-3;1), которая проходит через точку К(-1;5)

Подставим значения в уравнение окружности

Составьте уравнение окружности

А. О(-2;1) R =4 Б. М ( 1; -4) , R = 2; В. М ( 0; -5) , R = 3; Г. О (-3;2), R =4.

Составьте уравнение окружности с центром в точке М (1; -4), проходящей через точку А(0; 3).

Определите по уравнению окружности координаты ее центра и радиус :

А) (Х+2)² + ( У – 5)² = 49 Б) (Х+7)² + ( У + 1)² = 36

В) (Х- 6)² + ( У + 15)² = 81 Г) Х ² + ( У -9)² = 2

Эллипс и его уравнение

Эллипсом называется множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами ) есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы эллипса принято обозначат буквами F 1 и F 2 , расстояние между фокусами – через , сумму расстояний от любой точки эллипса до фокусов- через 2а (2а).

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Где a , b , c – связаннымежду собой равенством или .

Рассмотрим два основных случая расположения эллипса относительно осей координат. Эти случаи представлены в следующей таблице:

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большей оси. Эксцентриситет обозначается буквой .

Так как по определению 2 a , то эксцентриситет всегда выражается правильной дробью, те 0

Если то эллипс сильно вытянут;

если же то эллипс имеет более круглую форму.

если то эллипс вырождается в окружность.

1Найти координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением

Находим фокусы эллипса: а 2 =16 b 2 =32

Откуда а=4; b =или 4.

Так как b , то фокусы эллипса расположены на оси ординат

Находим длины осей:

Найти координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением:

Гипербола и ее уравнение

Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная.

Эта постоянная величина положительна и меньше расстояния меду фокусами.

Фокусы гиперболы принято обозначат буквами F 1 и F 2 , расстояние между фокусами – через , постоянную разность между расстояниями от любой точки гиперболы до ее фокусов — через 2а (2а).

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

Где a , b , c – связанны между собой равенством .

Рассмотрим два основных случая расположения гиперболы относительно осей координат. Эти случаи представлены в следующей таблице:

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояние между фокусами к длине действительной оси.

Так как по определению 2а

Прямые называются асимптотами ; их уравнения имеет вид

1 Найти координаты фокусов, длины осей, эксцентриситет и уравнения асимптот, если гипербола задана уравнением

Приведем уравнение к каноническому виду, т.е. разделим обе его части на 400

Самостоятельно: Найти координаты фокусов, длины осей, эксцентриситет и уравнения асимптот, если гипербола задана уравнением .

Парабола и ее уравнение

Параболой называется множество точек на плоскости, равноудаленных от заданной точки ( называемой фокусом ) и данной прямой ( называемой директрисой ).

Фокус параболы принято обозначать буквой F , директрису буквой d , расстояние от фокуса до директрисы — буквой p ( p ). Рассмотрим основные случаи расположения параболы относительно осей координат.

Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси абсцисс (рис.61,62), имеет вид

Эти два случая представлены в следующей таблице:

Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси ординат (рис.63,64), имеет вид

Эти два случая представлены в следующей таблице:


№1 Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением

2 Найти каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты (0;-3).

Фокус параболы отрицателен, т.к. его координаты (0;-3) следовательно, уравнение параболы имеет вид (ветви параболы направлены вниз ).

Составляем уравнение параболы:

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 587 722 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

  • 17.12.2018
  • 254
  • 0
  • 17.12.2018
  • 215
  • 0
  • 17.12.2018
  • 216
  • 0
  • 17.12.2018
  • 882
  • 19
  • 17.12.2018
  • 387
  • 6
  • 17.12.2018
  • 305
  • 9
  • 17.12.2018
  • 686
  • 13
  • 17.12.2018
  • 457
  • 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 17.12.2018 5692
  • DOCX 162.3 кбайт
  • 89 скачиваний
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Фадина Кристина Валерьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

  • На сайте: 5 лет и 7 месяцев
  • Подписчики: 1
  • Всего просмотров: 60991
  • Всего материалов: 63

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

источники:

http://poisk-ru.ru/s7872t3.html

http://infourok.ru/konspekti-krivie-vtorogo-poryadka-3454036.html

Для составления уравнения окружности нужно знать координаты центра этой окружности — по оси абцисс (х) — а и по оси ординат(y — b , и размер её радиуса : R.

Для конкретного примера пусть дано :координаты центра окружности а = 5 , b = 7 , а радиус R = 10 , Тогда уравнение окружности в общем виде будет :

(x — a )^2 + (y — b )^2 = R^2

——————————,

В случае , когда центр окружности совпадает с центром координат (0 ,0 ),уравнение примет вид :

x ^2 + y^2 = R^2

И в частном виде при приведённых данных координат центра окружности (5 , 7 ) и радиуса 10 :

(x -5 )^2 + (y — 7 )^2 = 10^2 = 100

Содержание:

  1. Кривые второго порядка и их нахождение и решение
  2. Окружность
  3. Эллипс
  4. Гипербола
  5. Парабола
  6. Общее уравнение второго порядка с двумя переменными
  7. Кривые второго порядка
  8. Окружность и его уравнения
  9. Эллипс и его уравнения
  10. Гипербола и ее уравнение
  11. Асимптоты гиперболы
  12. Парабола и ее уравнение
  13. Линии второго порядка. Общее уравнение линии второго порядка
  14. Окружность и ее уравнение
  15. Каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет
  16. Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты. Эксцентриситет
  17. Каноническое уравнение параболы
  18. Кривые линии второго порядка
  19. Круг 
  20. Эллипс 
  21. Гипербола 
  22. Парабола
  23. Общее уравнение кривой второго порядка: типы кривых
  24. Канонические уравнения окружности и эллипса
  25. Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты гиперболы
  26. Парабола. Каноническое уравнение
  27. Возведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
  28. Квадратичные формы. Применение к превращению уравнений кривой 2-го порядка

Кривые второго порядка и их нахождение и решение

Кривые, которые получаются при пересечении круговой конической поверхности плоскостью называются конечными поверхностями или кониками. К ним относятся такие кривые как окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Действительно:

— Если плоскость пересекает коническую поверхность перпендикулярно оси вращения, то в пересечении образуется окружность, если плоскость проходит через вершину конуса, то в пересечении образуется точка, то есть вырожденная окружность (рис. 1).

Кривая второго порядка

— Если плоскость пересекает только одну часть конической поверхности и не параллельна ни одной образующей, тогда в пересечении будет эллипс (рис. 2).

— Если плоскость пересекает одну часть конической поверхности и параллельна одной образующей, тогда в пересечении будет парабола (рис. 3а), если плоскость проходит через вершину и одну из образующих, тогда в пересечении будет прямая, то есть вырожденная парабола (рис. 3б).

Кривая второго порядка

— Если плоскость пересекает две части конической поверхности и параллельна оси конической поверхности, то в пересечении будет гипербола (рис. 4а), если секущая плоскость проходит через вершину конуса и пересекает две его части, то в пересечении будет пара прямых, которые пересекаются, то есть вырожденная гипербола (рис. 4б).

Рассмотрим каждую из этих кривых.

Окружность

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки, которая называется центром. Если точка С — цент окружности, R — её радиус, М — произвольная точка окружности, то по определению окружности

Кривая второго порядка

Кривая второго порядка

Данное равенство является уравнением окружности радиуса R с центром в точке С.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартовая система координат (рис. 5) и точка Кривая второго порядка центр окружности радиуса R. Пусть М(х, у) — произвольная точка этой окружности. Поскольку Кривая второго порядка, то уравнение окружности можно записать 

Кривая второго порядка

Данное уравнение называют общим уравнением окружности или уравнением окружности радиуса R с центром в точке Кривая второго порядка

Например, уравнение 

Кривая второго порядка

является уравнением окружности радиуса R=5, с центром в точке (1; -3).

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности принимает вид:

Кривая второго порядка

Данное уравнение называют каноническим уравнением окружности.

Пример 1. Составить уравнение окружности радиуса R=9 с центром в точке C(3; -6).

Решение: 

Подставив значения координат точки С и значение радиуса в уравнение окружности, получаем Кривая второго порядка, или

Кривая второго порядка

Пример 2. Доказать, что уравнение Кривая второго порядка является уравнением окружности. Найти её центр и радиус.

Решение: 

Преобразуем левую часть заданного уравнения

Кривая второго порядка

Это уравнение является уравнением окружности с центром в точке (-2; 1), радиус окружности равен 3.

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же самой плоскости постоянна и больше чем расстояние между этими точками.

Такие точки называются фокусами эллипса, а расстояние между ними фокальным расстоянием. Покажем, как, исходя из определения эллипса, можно разбить эллиптическую клумбу. Забьём в землю два колышка (рис. 6) потом нитку свяжем в кольцо и натянем это кольцо на оба колышка. Натянув нитку третьим колышком, чертим эллипс. Изменив расстояние между колышками и длину нитки, получаем эллипсы разных размеров и форм.

Кривая второго порядка

Обозначим фокусы эллипса буквами Кривая второго порядка Путь фокальное расстояние Кривая второго порядка. Если М — произвольная точка эллипса (рис. 7), то по определению эллипса сумма Кривая второго порядка является величиной постоянной. Обозначив её через Кривая второго порядка, получаем

Кривая второго порядка

Заметим, что по определению эллипса Кривая второго порядка то есть Кривая второго порядка Предыдущее равенство является уравнением эллипса. Если точка Кривая второго порядка совпадает с точкой Кривая второго порядка то уравнение эллипса приобретает вид

Кривая второго порядка

Это уравнение является уравнением окружности радиуса Кривая второго порядка с центром в точке Кривая второго порядка. Таким образом, окружность является отдельным случаем эллипса.

Кривая второго порядка

Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокусы эллипса, ось ординат через середину отрезка Кривая второго порядкаКривая второго порядка и перпендикулярна ему.

Тогда фокусами будут точки Кривая второго порядка любая точка эллипса, тогда

Кривая второго порядка

подставляя найденные значения Кривая второго порядка в уравнении эллипса, получаем

Кривая второго порядка

Сведём данное уравнение до простейшего вида. Для этого перенесём второе слагаемое в правую часть и возведём обе части в квадрат

Кривая второго порядка

после упрощений получаем

Кривая второго порядка

Возведя обе части в квадрат получаем

Кривая второго порядка

по определению эллипса Кривая второго порядка поэтому Кривая второго порядка положительное число. Обозначим его через Кривая второго порядка, то есть Кривая второго порядка. Тогда уравнение приобретает вид

Кривая второго порядка

Разделив обе части равенства на Кривая второго порядка получим

Кривая второго порядка

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Если Кривая второго порядка то есть Кривая второго порядка то уравнение эллипса приобретает вид

Кривая второго порядка

что вычисляет уравнение окружности.

Пример 1. Составить каноническое уравнение эллипса, который проходит через точку М(5;0), если фокальное расстояние равно 6.

Решение:

Поскольку фокальное расстояние равняется 6, то с=3. Запишем уравнение эллипса

Кривая второго порядка

По условию задачи точка М(5; 0) принадлежит эллипсу, следовательно

Кривая второго порядка

отсюда Кривая второго порядка Найдём Кривая второго порядка

Следовательно, искомым уравнением эллипса является уравнение 

Кривая второго порядка

Пример 2. Доказать, что уравнение Кривая второго порядка является уравнением эллипса, найти координаты фокусов и фокальное расстояние.

Решение:

Разделив обе части уравнений на 3600, получаем

Кривая второго порядка

это является уравнением эллипса.

Из уравнение Кривая второго порядка следует, что Кривая второго порядка Поскольку Кривая второго порядка отсюда с=8. Фокусы эллипса находятся в точках Кривая второго порядка и Кривая второго порядка. Фокальное расстояние

Кривая второго порядка

Исследуем эллипс по его уравнению.

1. Эллипс не проходит через начало системы координат, так как координаты точки О(0; 0) не удовлетворяют уравнение.

2. Эллипс пересекает каждую из осе координат в двух точках.

Чтобы вычислить координаты точек пересечения эллипса с осью Ох, необходимо решить уравнение Кривая второго порядка, и  у=0, получим Кривая второго порядка

Следовательно, точками пересечения эллипса с осью Ох будут Кривая второго порядка

Аналогично находим точки пересечения с осью Оу: Кривая второго порядка

Точки А, В, С, D называют вершинами эллипса.

Отрезок АВ называется большой осью эллипса, отрезок ВD  — малой осью. Фокусы эллипса  Кривая второго порядка и Кривая второго порядка лежат на большой оси. Длина большой оси равняется Кривая второго порядка, малой оси Кривая второго порядка. Числа Кривая второго порядка и Кривая второго порядка называются полуосями эллипса.

3. Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, а также центр симметрии.

Это легко показать, так как неизвестные в уравнение входят только во второй степени. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

4. Эллипс можно получить равномерным сжиманием окружности.

Рассмотрим окружность радиуса Кривая второго порядка с центром в начале координат. Пусть Кривая второго порядка произвольная точка окружности (рис. 9).

Кривая второго порядка

Тогда Кривая второго порядка. Точки Кривая второго порядка на окружности поставим поставим в соответствие точку Кривая второго порядка такую, чтобы Кривая второго порядка и Кривая второго порядка. Точки Кривая второго порядка найдём благодаря сдвигу точки Кривая второго порядка, при котором абсцисса не меняется, а ордината уменьшается в отношенииКривая второго порядка. Координаты точки Кривая второго порядка удовлетворяют уравнение эллипса

Кривая второго порядка

Следовательно, Кривая второго порядка находится на эллипсе.

Таким образом, эллипс можно достать с окружности равномерным сжатием до оси Ох, при котором, ордината точек уменьшается в том самом соотношении Кривая второго порядка. Отсюда вытекает, что форма эллипса зависит от значения Кривая второго порядка. Чем меньше это соотношение, тем более сжатым будет эллипс, и, наоборот, чем больше соотношение Кривая второго порядка, тем эллипс будет более округлым. Если значение Кривая второго порядка наибольшее, то есть Кривая второго порядка=1, то эллипс превращается в окружность. Для характеристики формы эллипса целесообразно пользоваться не соотношением Кривая второго порядка, а соотношением Кривая второго порядка. Соотношение полу-фокусного расстояния с к большой полуоси Кривая второго порядка называется эксцентриситетом эллипса. Его обозначают буквой е.

Кривая второго порядка

Поскольку Кривая второго порядка, то эксцентриситет эллипса удовлетворяет неравенство Кривая второго порядка. Отсюда Кривая второго порядка

Пример. Дано два эллипса Кривая второго порядка. Сравнить их форму.

Решение:

Перепишем уравнение эллипсов в виде Кривая второго порядка. Для первого эллипса Кривая второго порядка соответственно Кривая второго порядка Для второго эллипса Кривая второго порядка, соответственно Кривая второго порядка. В данном случаи Кривая второго порядка, соответственно второй эллипс сжатый до большой оси больше чем первый.

Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний к двум данным точкам плоскости постоянный и меньший чем расстояние между этими точками.

Такие точки называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними — фокальным расстоянием.

Обозначим фокусы гиперболы буквами Кривая второго порядка Пусть фокальное расстояние Кривая второго порядка

Кривая второго порядка

Если М — произвольная точка гиперболы (рис. 10), то по определению гиперболы модуль разности Кривая второго порядка постоянный. Обозначив его как Кривая второго порядка, получаем

Кривая второго порядка

Отметим, что по определениям гиперболы Кривая второго порядка, то есть Кривая второго порядка

Данное равенство является уравнением гиперболы. Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус гиперболы; ось ординат проходила через середину отрезка Кривая второго порядка перпендикулярно ему. Тогда фокусами гиперболы будут точки Кривая второго порядкаи Кривая второго порядка

Пусть Кривая второго порядка любая точка гиперболы, тогда

Кривая второго порядка и Кривая второго порядка

Подставляя значения Кривая второго порядка и Кривая второго порядка в уравнение получим

Кривая второго порядка

Это уравнение является гиперболой в выбранной системе координат. Его можно привести к более простому виду.

Пусть Кривая второго порядка, тогда уравнение можно записать без знака модуля:

Кривая второго порядка

Возведём обе части уравнения в квадрат

Кривая второго порядка

По определению гиперболы Кривая второго порядка поэтому Кривая второго порядка положительное число. Обозначим его Кривая второго порядка, то есть положим Кривая второго порядка, тогда уравнение приобретает вид

Кривая второго порядка

Разделив почленно на Кривая второго порядка, получим уравнение

Кривая второго порядка

Если Кривая второго порядка, тогда уравнение записывают без знака модуля

Кривая второго порядка

и также, как при Кривая второго порядка, сводится к конечному виду.

Уравнение Кривая второго порядка называется каноническим уравнением гиперболы.

Пример 1. Записать каноническое уравнение гиперболы, которая проходит через точку Кривая второго порядка, если фокальное расстояние гиперболы равняется 10.

Решение. Поскольку Кривая второго порядка то с=5. Запишем каноническое решение уравнения гиперболы

Кривая второго порядка

По условию точка принадлежит гиперболе, следовательно:

Кривая второго порядка

Из второго уравнения получим соотношение для вычисленияКривая второго порядка

Кривая второго порядка

Решим систему:

Кривая второго порядка

найдём Кривая второго порядка Искомым уравнением является уравнение Кривая второго порядка

Пример 2. Доказать, что уравнение

Кривая второго порядка

является уравнением гиперболы. Найти координаты фокусов.

Решение: Разделив обе части уравнения на 580, получим

Кривая второго порядка

Это является уравнением гиперболы, для которой Кривая второго порядка. Из соотношения Кривая второго порядка находим Кривая второго порядка Следовательно, фокусы гиперболы находятся в точках Кривая второго порядка

Исследуем гиперболу по её уравнениям.

Рассмотрим гиперболу, заданную в некоторой прямоугольной декартовой системе координат своим каноническим уравнением

Кривая второго порядка

Приведём такие свойства гиперболы:

1. Гипербола не имеет общих точек с осью Оу, а ось Ох пересекает в двух точках.

Чтобы вычислить координаты точек пересечения гиперболы с осью Оу, необходимо решить совместно их уравнения

Кривая второго порядка

Подставляя х=0 в уравнение гиперболы, получим Кривая второго порядка, а это означает, что система не имеет решения. Следовательно, гипербола не пересекает ось ординат.

Чтобы вычислить координаты точек пересечения с осью Ох, необходимо решить совместно их уравнения

Кривая второго порядка

Точка пересечения гиперболы с осью Ох должна иметь ординату у=0 и, кроме того, должна принадлежать гиперболе. Подставив у=0 в уравнение гиперболы, получим

Кривая второго порядка

Следовательно, точками пересечения гиперболы с осью Ох будут точки Кривая второго порядка и Кривая второго порядка; они называются вершинами гиперболы.

Отрезок АВ называется действительной осью гиперболы. Длина отрезка АВ, очевидно, равна Кривая второго порядка. Число Кривая второго порядка называют действительной полуосью гиперболы, число b — мнимой полуосью.

2. Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

В уравнение переменные х и у входят только во второй степени. Таким образом, если координаты точки N(x; y) удовлетворяют уравнение, то это же уравнение будут удовлетворять и координаты точек Кривая второго порядка и Кривая второго порядка

Легко увидеть, что точка Кривая второго порядка симметрична точке N относительно оси ординат, точка N2 симметрична точке N относительно оси абсцисс. Таким образом, гипербола имеет две оси симметрии, они взаимно перпендикулярны.

3. Гипербола имеет центр симметрии.

Если координаты точки N(x; y) удовлетворяют уравнение гиперболы, то это же уравнение удовлетворяют и координаты Кривая второго порядка Точка К, очевидно, симметрична точке N относительно начала координат. Таким образом, гипербола имеет центр симметрии.

Центр симметрии гиперболы называется центром гиперболы.

4. Гипербола пересекается с прямой Кривая второго порядка в двух точках. Если Кривая второго порядка то общих точек у гиперболы и прямой нет.

Чтобы вычислить координаты точек пересечения гиперболы и прямой у=kх, необходимо решить систему уравнений

Кривая второго порядка

При Кривая второго порядка, то есть при Кривая второго порядка полученное уравнение, а потому и система решений не имеют. Следовательно, прямые, которые проходят через начало координат с угловым коэффициентом,  модуль которого больше или равен Кривая второго порядка не пересекают гиперболу. Прямые, уравнения которых имеют вид Кривая второго порядка, называются асимптотами гиперболы.

При Кривая второго порядка то есть при Кривая второго порядка система имеет два решения:

Кривая второго порядка

Таким образом, каждая прямая, которая проходит через начало координат с угловым коэффициентом, модуль которой меньше чем Кривая второго порядка пересекает гиперболу в двух точках. При k=0 из формул получаем Кривая второго порядка то есть прямая у=0 пересекает гиперболу в её вершинах.

Поскольку гипербола симметрична относительно осей координат, то достаточно выучить её формулу в первом квадранте координатной плоскости. По формулам

Кривая второго порядка

имеем, что из возрастания k от Кривая второго порядка (при этом прямая у=kх поворачивается против часовой стрелки) и абсциссы, и ординаты точек пересечения прямой с гиперболой возрастают. Прямая у=kх пересекает гиперболу в более отдалённых от начала координат точках. Следовательно, гипербола имеет вид, изображённый на рис. 11. Она составляется из двух не связанных между собой частей, которые называются её ветками.

Кривая второго порядка

Как уже видели (рис. 11), ветка гиперболы размещена выше от асимптоты Кривая второго порядка и ниже от асимптоты Кривая второго порядка. Поэтому соотношения Кривая второго порядка полуосей гиперболы определяют её формулу. Чем меньше это соотношение, тем сильнее гипербола сжата до оси Ох.

Как и в случаи эллипса, для характеристики формулы гиперболы целесообразно пользоваться не соотношением Кривая второго порядка, а соотношением Кривая второго порядка.

Соотношение полуфокусного расстояния с к действительной полуоси Кривая второго порядка называется эксцентриситетом гиперболы. Эксцентриситет обозначают буквой е. Следовательно,

Кривая второго порядка

Поскольку для гиперболы Кривая второго порядка, то эксцентриситет гиперболы удовлетворяет неравенству Кривая второго порядка.

Выразим эксцентриситет гиперболы через соотношение Кривая второго порядка её полуосей:

Кривая второго порядка

то есть: Кривая второго порядка

Согласно формуле, меньшим значением соотношения Кривая второго порядка соответствуют меньшие значения эксцентриситету. Таким образом, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем сильнее сжата она к оси абсцисс.

Гипербола называется равносторонней (или равнобокой), если длины её полуосей равны между собой. Поскольку для равносторонней гиперболы Кривая второго порядка то её уравнение имеет вид:

Кривая второго порядка

Асимптотами равносторонней гиперболы являются прямые у=х и у= -х. Следовательно, асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.

Эксцентриситет равносторонней гиперболы:

Кривая второго порядка

Пример 3. Даны фокусы гиперболы Кривая второго порядка и Кривая второго порядка и её асимптоту 4х+3у=0. Найти уравнение гиперболы.

Решение. 

Записав уравнение асимптоты в виде Кривая второго порядка, найдём соотношение полуосей гиперболы Кривая второго порядка

Из условия задачи вытекает, что с=10. Поэтому Кривая второго порядка Задача сводится к решению уравнений

Кривая второго порядка

Подставив Кривая второго порядка во второе уравнение системы, получим

Кривая второго порядка

откуда Кривая второго порядка Теперь находим Кривая второго порядка Следовательно, гипербола имеет уравнение Кривая второго порядка

Парабола

Параболой называется множество точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки равно расстоянию до данной прямой, которая не проходит через данную точку.

Такая точка называется фокусом параболы, а прямая — директрисой (направляющей). Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается как р.

Выберем систему координат таким образом, чтобы ось Ох была проведена через фокус F перпендикулярно к директрисе. Точка пересечения оси абсцисс с директрисой обозначим D (рис. 12), за начало координат О возьмём середину отрезка DF, за положительное направление оси Ох — направление луча OF/

В этой системе координат фокус F имеет координаты Кривая второго порядка, а уравнением директрисы является уравнение

 Кривая второго порядка

Пусть М(х; у) — любая искомая точка искомого множества. Опустим из точки М перпендикуляр на директрису, и пусть N — основа этого перпендикуляра. Тогда |MN| является расстоянием от точки М до директрисы и, следовательно, 

Кривая второго порядка

Кривая второго порядка

Это уравнение является уравнением параболы в выбранной системе координат. Его можно упростить. В следствии того, что обе части уравнения неотъемлемые, то уравнение

Кривая второго порядка

равносильно предыдущему уравнению. В результате преобразований получим уравнение

Кривая второго порядка

Оно называется каноническим уравнением параболы.

Приведём такие свойства параболы:

1. Парабола имеет ось симметрии.

Переменная у входит в уравнение только во второй степени. Поэтому, если координаты точки М1(х; у) удовлетворяют уравнение параболы, то и его координаты N2 (х; -у) будут удовлетворять его. Точка N1 симметрична точке N2 относительно оси Ох. Следовательно, ось Ох является симметрией параболы. Ось симметрии параболы называется осью параболы. Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Вершина параболы находится в начале координат.

Кривая второго порядка

2. Парабола расположена в полуплоскости Кривая второго порядка

Правда, поскольку параметр р положительный, то уравнения могут удовлетворять только точки с неотрицательными абсциссами, то есть точки полуплоскости Кривая второго порядка

3. Парабола является объединением графиков функций

Кривая второго порядка

Чтобы убедиться в этом, достаточно решить уравнение относительно переменной у.

Пример 1. Световой луч у=-2 падает на зеркало, осевым сечением которого является парабола у2=24х (рис. 14). Найти уравнение прямой, которой принадлежит отражённый луч.

Кривая второго порядка

Решение.

Если падающий луч параллельный главной оптической оси параболического зеркала, то отражённый луч проходит через его фокус. В этом случаи ось параболического зеркала совпадает с осью Ох. Прямая у=-2 параллельна оси абсцисс, и поэтому отражённый луч пройдёт через фокус параболы у2=24х. Поскольку 2р=24, то есть Кривая второго порядка, то фокусом параболы является точка F(6; 0).

Чтобы найти точки падения светового луча, необходимо решить систему уравнений

Кривая второго порядка

Решив эту систему, найдём точку падения луча Кривая второго порядка.

Отражённый луч принадлежит прямой, которая проходит через точки Кривая второго порядка и Кривая второго порядка.

Запишем уравнение этой прямой

Кривая второго порядка

Отсюда получим Кривая второго порядка

Если фокус параболы расположенный левее оси Оу (рис. 15), то есть имеет координаты Кривая второго порядка, то уравнение параболы будет:

Кривая второго порядка

Если фокус параболы лежит на оси Оу (рис. 16), то есть имеет координаты Кривая второго порядка, то уравнение параболы будет:

Кривая второго порядка

Если фокус параболы лежит правее оси Оу (рис. 17), то есть имеет координаты Кривая второго порядка, то уравнение параболы будет:

Кривая второго порядка

Кривая второго порядка

Общее уравнение второго порядка с двумя переменными

Общее уравнение второго порядка с двумя переменными имеет вид

Кривая второго порядка

Рассмотренные ранее канонические уравнения прямых являются частными случаями данного уравнения.

1. Кривая второго порядка уравнение будет иметь вид

Кривая второго порядка

и, соответственно, будет уравнением окружности.

2. Кривая второго порядка уравнение будет иметь вид

Кривая второго порядка

и, соответственно, будет уравнением эллипса.

3. Кривая второго порядка уравнение будет иметь вид

Кривая второго порядка

и, соответственно, будет уравнением гиперболы.

4. Кривая второго порядка уравнение будет иметь вид

Кривая второго порядка

и, соответственно, будет уравнением параболы.

Кривые второго порядка

Кривыми второго порядка называются линии, уравнения которых являются уравнениями второй степени относительно бегущих координат. Общий вид уравнения кривой второго порядка

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.                                                                           (2.109)

К кривым второго порядка относятся круг, эллипс, гипербола и парабола.

Окружность и его уравнения

Определение 1. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называется центром окружности.

Кривая второго порядка

Рис. 50.

Пусть центр окружности находится в произвольной точке С (a, b) (рис. 50). Выходя из определения 1, расстояние произвольной точки M (x, y) плоскости к центру C (a, b) — величина постоянная и равна r. По формуле (2.3) имеем Кривая второго порядка. Возведя обе части этого равенства в квадрат, получим уравнение, которое называется нормальным уравнением окружности:
(x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2.                                                                                           (2.110)
Выясним условия, при которых общее уравнение второй степени с двумя переменными (2.109) является уравнением окружности. В этом уравнении А, В и С не равны нулю одновременно, т .е. A2 + B2 + C2 ≠ 0. Когда в уравнении (2.110) раскрываем скобки, то получим
x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = 0.                                                                 (2.111)

Чтобы уравнения (2.109) и (2.111) представляли одну и ту же линию, нужно, чтобы коэффициент B = 0, а все остальные пропорциональны, в частности
Кривая второго порядка ,  отсюда A = C ≠ 0. Теперь уравнение (2.109) имеет вид:

Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0.                                                                                     (2.112)

Уравнение (2.112) называется общим уравнением окружности.

Обе части уравнения (2.112) поделим на A ≠ 0 и дополним члены, содержащие x и y, до полных квадратов. Получим
Кривая второго порядка                                      (2.113)

Сравнивая (2.113) с уравнением окружности (2.110), можно сделать вывод, что уравнение (2.109) является уравнением окружности при следующих трех условиях:
1) A = C,                  2) B = 0,                      3) D2 + E2 – 4AE > 0.

При выполнении этих условий для окружности (2.113) центр находится в точке Кривая второго порядка  а  радиус  Кривая второго порядка

Пример 1. Привести общее уравнение окружности x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 к нормальному виду.

Решение. Сгруппируем члены с x и y и дополним их до полного квадрата, тогда получим
(x2 – 6 x + 9) – 9 + (y2 + 4 y + 4) – 4 – 3 = 0,   или   (x – 3) 2 + (y + 2) 2 = 16.  Координаты центра окружности a = 3, b = 2, а радиус окружности r = 4.

Пример 2 (экономического характера). Два предприятия, расстояние между которыми 80 км, производят некоторую продукцию, причем фабрично-заводская цена продукции на обоих предприятиях одинакова и равна p. Пусть транспортные расходы на перевозку единицы продукции от компании A до потребителя составляет 10 руб./км, а от компании B составляет 6 руб./км. Как будет размещен рынок сбыта, если расходы потребителей должны быть одинаковыми?

Кривая второго порядка

Рис. 51.

Решение. Оси координат проведем через середину отрезка AB. Предположим, что потребитель находится в точке M (x, y); введем обозначения AM = s1, BM = s2 (рис. 51). Расходы потребителя на покупку единицы изделия у компании A составляют
p + s1⋅ 10, а у предприятия B — p + s2⋅ 6. Расходы потребителей одинаковые, если p + s1⋅ 10 = p + s2⋅ 6, или  10 s1 = 6 s2,   5 s1 = 3 s2.
Из рис. 51 видно, что Кривая второго порядка  или  Кривая второго порядка
Аналогично Кривая второго порядка    или   Кривая второго порядка

Для потребителя расходы на покупку продукции одинаковые, если Кривая второго порядка. Возведем обе части в квадрат и сгруппируем. Получим x2 + y2 + 170 x + 1600 = 0  и, выделив полный квадрат относительно x, имеем

(x + 85)2 + y2 = 5625.  Это нормальное уравнение окружности, центр которой находится на оси абсцисс с абсциссой «–85», а радиус окружности r = 75.

Для потребителей, которые находятся на этой окружности, расходы на покупку изделия одинаковы. Для потребителей, которые находятся за окружностью, расходы на покупку продукции меньше на предприятии B, а для потребителей, которые находятся внутри окружности — на предприятии A. Значит, рынок будет распределен следующим образом:

а) потребители, которые находятся внутри окружности, будут приобретать данные изделия на предприятии А;

б) для потребителей, находящихся на окружности, все равно, на каком предприятии будут производиться закупки;

в) потребители, которые находятся снаружи окружности, будут закупать изделия на предприятии В.

Эллипс и его уравнения

Определение 2. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Исходя из определения 2, выведем уравнение эллипса. Пусть заданы две точки, которые называются фокусами,  F1 и F2, расстояние между которыми обозначим через 2с (фокальное расстояние) (рис.52). Через фокусы проведем прямую, которую возьмем за ось абсцисс, а за ось ординат возьмем прямую, перпендикулярную оси OX, проходящую через середину отрезка F1F2 (точка О).

Поскольку расстояние между фокусами приняли за , то координаты фокусов будут соответственно  F(c, 0) и F(–c, 0)
Кривая второго порядка

Рис. 52.

Пусть M (x, y) произвольная точка эллипса. Отрезки F1и F2M, соединяющие точку эллипса с его фокусами, называют локальными радиус-векторами этой точки и обозначают r1 и r2 . Тогда  r1 + r2  является величиной постоянной по определению, обозначим ее через :
r1 + r2                                                                                             (2.114)
(2а > 2с, потому что в треугольнике F1MF2  сумма двух сторон больше третьей). Покажем, какому уравнению удовлетворяют координаты точки M (x, y).
Найдем  r1 и  r2:
Кривая второго порядка,                                                                        (2.115)
Кривая второго порядка.                                                                        (2.116)

Возведя обе части (2.115) и (2.116) в квадрат и отнимая, получим
Кривая второго порядка.                                                                                      (2.117)
Расписав разность квадратов в (2.117) и учитывая (2.114), получим
Кривая второго порядка.                                                                                    (2.118)
Рассмотрим систему из уравнений (2.114) и (2.118):
Кривая второго порядка                                                                                (2.119)
Из этой системы находим
Кривая второго порядка                                                                                    (2.120)
Кривая второго порядка.                                                                                      (2.121)
Подставим (2.121) в (2.116), получим
Кривая второго порядка,   или
Кривая второго порядка.                                                         (2.122)
Обозначим a2 – c2 = b2                                                                     (2.123)
и тогда (2.122) перепишем после простых преобразований в виде
Кривая второго порядка.                                                                                    (2.124)

Уравнение (2.124) является каноническим уравнением эллипса. Это уравнение второй степени, значит, эллипс — кривая второго порядка. Уравнение (2.124) содержит x и y в четных степенях, значит, кривая, определяемая этим уравнением, симметрична относительно осей Оx и Оy. Оси симметрии эллипса называют его осями. Точку О называют центром эллипса. Из уравнения (2.124) найдем y:
Кривая второго порядка                                                    (2.125)
Так как у, который находится в первом квадранте, является положительным, то
Кривая второго порядка.                                                                                    (2.126)
Из равенства (2.126) видно, если x = 0, то y = b и при возрастании x от нуля до a, y убывает от b к нулю.

В первом квадранте часть эллипса — это дуга  A1B1. Если провести зеркальное отражение этой дуги относительно осей координат, то мы получим весь эллипс (рис. 52).

Если в уравнении (2.124) y = 0, то x = ± a, a если x = 0, то y = ± b. Значит вершинами эллипса есть точки A1 (a, 0), A2 (–a, 0),  B1 (0, b),  B2 (0, –b).  Отрезок A2 A1 = 2a, а отрезок B2 B1 = 2b. Эти
отрезки соответственно называются большой и малой осями эллипса. Соответственно, a и b — большая и малая полуоси эллипса.

Определение 3. Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси.

Обозначим эксцентриситет через ε, то тогда
Кривая второго порядка.                                                                                 (2.127)
Если a = b (ε = 0), то эллипс превращается в окружность. Подставим (2.127) в (2.120) и (2.121), тогда получим
r1 = a – εx,                                                                                            (2.128)
r2 = a + εx.                                                                                             (2.129)

Эти формулы используются при решении задач.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что большая ось 2a = 10, а эксцентриситет ε = 0,8.

Решение. Из уравнения (2.127) найдем c. Зная, что a = 5, c = a ⋅ ε = 5 ⋅ 0,8 = 4. А теперь найдем b из равенства (2.123):

b2 = a2 – c2 = 52 – 42 = 25 – 16 = 9,  b = 3.
Подставляя a = 5, b = 3  в уравнение (2.124), получим  Кривая второго порядка.

Гипербола и ее уравнение

Определение 4. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютное значение разницы расстояний которых от двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Основываясь на определении 4, выведем каноническое уравнение гиперболы. Пусть заданы две точки F1 и F2 , являющиеся фокусами гиперболы. Обозначим расстояние между ними через 2c, а абсолютную величину разности расстояний точки гиперболы от точек F1 и F2 обозначим через 2a (a > 0). За ось абсцисс возьмем прямую, проходящую через фокусы, а за ось ординат возьмем прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через середину отрезка F2F1 (рис. 58), то есть через точку О. Поскольку  F2F1 = 2с, то координатами фокусов будут соответственно F1 (c; 0) и F2(–c; 0), а фокальные радиусы соответственно r1 = F1M,  r2 = F2MКривая второго порядка ,  где M (x, y) — произвольная точка гиперболы.

Кривая второго порядка
Рис. 58.

Пользуясь формулой расстояния между двумя точками и определением 4, имеем уравнение гиперболы:
Кривая второго порядка                               (2.130)
Запишем это уравнение в таком виде:   

Кривая второго порядка  или

 Кривая второго порядка.                                  (2.131)

Возведя в квадрат обе части этого уравнения, получим:
Кривая второго порядка
или после упрощения Кривая второго порядка.  Опять возведя обе части полученного уравнения в квадрат, получим после упрощений
x2 (c2 – a2) – a2 y2 = a2 (c2 – a2).                                                                   (2.132)

Разделив обе части уравнения (2.132) на a2 (c2 – a2), получим:
Кривая второго порядка.                                                                                       (2.133)

Покажем, что c2 – a> 0 (c > a). Поскольку в любом треугольнике разность двух сторон меньше трех, то
Кривая второго порядка  или  2a < 2c, или a < c . Тогда c2 – a величина положительная, и ее обозначим через b2. То есть
c2 – a2 = b2.                                                                                                     (2.134)

Подставляя (2.134) в (2.133), получим каноническое уравнение гиперболы
Кривая второго порядка.                                                                                               (2.135)

Уравнение (2.135) является уравнением второй степени, значит гипербола является кривой второго порядка. Исследуем форму гиперболы по ее уравнению (2.135). Поскольку уравнение содержит x и y только в четных степенях, то гипербола симметрична относительно обеих осей координат.
Найдя y и x из уравнения (2.135), получим
Кривая второго порядка                                                                         (2.136)
Кривая второго порядка                                                                         (2.137)

Из уравнения (2.136) можно сделать следующие выводы:

а) значения у мнимые, если | х | < a , значит гипербола не пересекает оси Оу и не имеет точек, находящихся в полосе, ограниченной прямыми х = ± a;

б) когда x = ± a, y = 0, значит гипербола пересекает ось абсцисс в двух точках A1 (a, 0) и  A2 (–a, 0), которые называются вершинами гиперболы;

в) для каждого | x | > a, ордината y имеет два значения, которые отличаются только знаком, отсюда следует, что гипербола симметрична относительно оси Оx.

Уравнение (2.137) показывает, что гипербола симметрична и относительно оси Оy.

При неограниченном росте абсциссы x ордината также неограниченно растет. Поскольку гипербола находится вне полосы, ограниченной прямыми x = ± a, то гипербола состоит из двух отдельных веток (рис. 59).

Отрезок A2 A1 называется действительной осью гиперболы, а точки A1 (a, 0) и A2 (–a, 0) —вершинами гиперболы. Отрезок  B1B2, соединяющий точки В1 (0, b) и В2 (0, –b), называется мнимой осью гиперболы. Точки F1 (c, 0) и F2 (–c, 0) называются фокусами гиперболы.

Кривая второго порядка
Рис. 59.

Гипербола, которая определяется уравнением   Кривая второго порядка , имеет действительную ось B2B1 = 2b,  а воображаемая ось A2A1 = 2a (показана на рис. 59 пунктиром) называется сопряженной по отношению к гиперболе
Кривая второго порядка .

Если действительная и мнимая оси равны, то гипербола называется равносторонней, а ее уравнение будет x2 — y2 = a2.

Степень сжатия гиперболы характеризуется ее эксцентриситетом.

Определение 5. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами 2с к длине ее действительной оси 2a, то есть
Кривая второго порядка.                                                                                                      (2.138)
Так как для гиперболы с > a, то ε > 1.

Примечание. Для гиперболы легко показать как связаны  r1 и  r2 с ε, а именно

Кривая второго порядка  (х > 0),
Кривая второго порядка    (х > 0),                                                              (2.139)
Кривая второго порядка     (х < 0),
Кривая второго порядка    (x <0).                                                             (2.140)

Формулы (2.139) и (2.140) получаются аналогично как и для эллипса.

Предоставим читателю самостоятельно убедиться в справедливости формул (2.139) и (2.140).

Асимптоты гиперболы

Определение 6. Прямая l называется асимптотой кривой (k), если расстояние d = MN от точки M кривой до точки N прямой l стремится к нулю при неограниченном удаленные точки M от начала координат вдоль кривой (k) в том или ином направлении (рис. 60).
Кривая второго порядка

Рис. 60.

Покажем, что прямая  Кривая второго порядка   (2.141) является асимптотой гиперболы (2.135). Для этого рассмотрим прямую MN, параллельной оси Oy (рис. 59). Абсцисса точки M и точки N одна и та же, то есть x, а ордината точки M является y, а точки N ∈ Y.

Найдем разницу между ординатами (Y-y)  точек N и M, которые имеют одну и ту же абсциссу Кривая второго порядка.

Теперь умножим и разделим правую часть этого равенства на Кривая второго порядка и после упрощений получим Кривая второго порядка.
Отсюда видно, что при неограниченном увеличении абсциссы x разница (Y-y) неограниченно уменьшается. Таким образом, точка гиперболы ограниченно удаляясь по ветке гиперболы, неограниченно приближается к асимптоте Кривая второго порядка, но никогда ее не достигает. Значит, гипербола (2.135) имеет две асимптоты Кривая второго порядка   и Кривая второго порядка, которые совпадают с диагональю прямоугольника и проходят через начало координат.

Пример 4. Составить уравнение гиперболы, если известно, что она проходит через точку M1 (10; 5) и имеет асимптоты Кривая второго порядка  и  Кривая второго порядка.
Решение. Из условия задачи получаем, что Кривая второго порядка  и координатs точки M1 удовлетворяют уравнению гиперболы, то есть  Кривая второго порядка Таким образом, получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:
Кривая второго порядка
Из первого уравнения находим  Кривая второго порядка  и подставляем во второе уравнение Кривая второго порядка  или    Кривая второго порядка
Отсюда Кривая второго порядка  Далее находим  Кривая второго порядка
Итак, искомое уравнение гиперболы будет  Кривая второго порядка

Парабола и ее уравнение

Определение 7. Параболой называется множество точек плоскости, одинаково удаленных от заданной точки, называемой фокусом, и от заданной прямой, называемой директрисой.

Исходя из определения 7, выведем уравнение параболы. Пусть прямая AB является директрисой параболы, а точка F является ее фокусом (рис. 61).
Кривая второго порядка

Рис. 61.

Проведем через точку F прямую, перпендикулярную директрисе AB, и возьмем эту прямую за ось абсцисс, а за ось ординат возьмем прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через точку O, середину отрезка CF. Длину отрезка CF обозначим через (p > 0). Координаты фокуса будут Кривая второго порядка, а уравнение директрисы AB  есть  Кривая второго порядка.
Пусть точка M (x, y) является произвольной точкой параболы. Опустим из точки перпендикуляр на директрису AB в точке D и соединим точку M с фокусом F. Тогда
по определению 7 имеем, что DM = MF. Точка D имеет координаты Кривая второго порядка  По формуле расстояния между двумя точками находим
Кривая второго порядка.

Это и будет уравнение параболы относительно выбранной системы координат. Возведя обе части данного уравнения в квадрат и упростив, получим
y2 = 2 px.                                                                                                   (2.142)

Уравнение (2.142) и является каноническим уравнением параболы. Как видно из уравнения (2.142), парабола является линией второго порядка, и все ее точки размещены справа от оси Оy. Парабола проходит через начало координат. Решив уравнение (2.142) относительно y, получим
Кривая второго порядка.                                                                                       (2.143)

Так как p > 0, то y будет действительной величиной только тогда, когда x положительные, а когда p < 0, то парабола определена для x ≤ 0.

Из (2.143) видно, что каждому значению x соответствует два знания y, которые равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.

Значит ось Оx является осью симметрии для параболы. Точку O (0,0) называют вершиной параболы.

Если x неограниченно растет, то и y неограниченно растет. Величина р называется параметром параболы и при увеличении р парабола расширяется, то есть ее точки будут удаляться от оси Ох.

Если уравнение параболы имеет вид y2 = –2px, то вершина параболы находится в начале координат, осью симметрии является ось абсцисс, но парабола размещена слева от оси Oy (рис. 62), а директриса такой параболы будет размещена справа от оси ординат, а фокус Кривая второго порядка будет слева от начала координат.
Если директриса параболы параллельна оси абсцисс, а фокус находится на оси ординат, то уравнение параболы имеет вид:         x2 = ± 2py.                                   (2.144)

Кривая второго порядка             Кривая второго порядка
Рис. 62.                                                                  Рис. 63.

Парабола (2.144) изображена на рис. 63. Эта парабола симметрична относительно оси Oy и размещена над осью абсцисс, если в уравнении взять знак (+), и под осью абсцисс, если взять знак (-).

Если в уравнении (2.144) обозначить Кривая второго порядка, то получим уравнение параболы y = ax2, которую изучают в средней школе.

Пример 5. Фермы, поддерживающие железнодорожный мост длиной 112 м, имеют вид параболы, которая задается уравнением y = ax2. Найти уравнение соответствующей параболы, если наибольшая высота мостовой арки составляет 44 м.

Решение. Возьмем за начало координат вершину фермы. Тогда симметричные точки в основании фермы будут иметь координаты (-56; -44) и (56; -44). Подставляя любую пару координат в уравнение y = ax2, получим — 44 = a ⋅ 3136. Отсюда
Кривая второго порядка.
Таким образом, мостовая ферма имеет вид параболы Кривая второго порядка.

Линии второго порядка. Общее уравнение линии второго порядка

Напомним, что линия второго порядка — это множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям вида

Кривая второго порядка, (1)

где коэффициенты a,b,c,d,e,f— действительные числа, причем хотя бы одно из чисел a,b,c отлично от нуля, то есть Кривая второго порядка. В частности, к линиям второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола. Заметим, что множеством точек (Кривая второго порядка;Кривая второго порядка) с действительными координатами, удовлетворяющими уравнению (1), может быть не только одна из названых линий. Уравнение (1) может определять на плоскости Кривая второго порядка также две прямые (Кривая второго порядка), одну прямую (Кривая второго порядка-2 =0), точку (Кривая второго порядка =0) или не определять ни одной точки (Кривая второго порядка + 1 = 0).

Линии второго порядка называют также коническими сечениями, так как их можно получить пересечением кругового конуса с плоскостью. Окружность образуется как линия пересечения плоскости, перпендикулярной к оси конуса и не проходящей через его вершину (рис. 1, а); эллипс — линия пересечения плоскости, пересекающей все образующие конуса, не перпендикулярная к оси конуса и не проходящая через его вершину (рис. 1, б); если пересечь двуполостной конус плоскостью, параллельной двум образующим, то получим гиперболу (рис. 1, в), а одной образующей — параболу (рис. 1, г).

Кривая второго порядка

Кривые второго порядка — важная составляющая окружающего мира.

1. Планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, имеющим общий фокус, в котором расположено Солнце.

2. Если в фокусе параболы разместить источник света, то лучи, отразившись от параболы, пойдут параллельно ее оси. На этом свойстве основывается конструкция прожектора.

3. Движение материальной точки под действием центрального поля силы тяготения осуществляется по одной из линий второго порядка.

Окружность и ее уравнение

Окружностью называют множество точек плоскости (рис. 2), находящихся на одинаковом расстоянии Кривая второго порядка (радиус окружности) от заданной точки плоскости Кривая второго порядка (центра окружности). Уравнение окружности имеет вид

Кривая второго порядка. (2)

Если в уравнении (2) раскрыть скобки, то получим общее уравнение окружности

Кривая второго порядка, (3)

где А = -2а , В = -2b, С = Кривая второго порядка. Поэтому окружность — линия второго порядка.

Кривая второго порядка Рис. 2. Окружность

Уравнение окружности имеет следующие свойства.

1°. Коэффициенты Кривая второго порядка и Кривая второго порядка равны между собой.

2°. В уравнении отсутствует член с произведением Кривая второго порядка.

Если центр окружности расположен в начале координат, то а =b = 0 и уравнение (2) имеет вид

Кривая второго порядка. (4)

Уравнение (4) называется каноническим уравнением окружности.

Пример №7

Найти центр и радиус окружности Кривая второго порядка.

Решение:

Сгруппируем произведения с переменной Кривая второго порядка и переменной Кривая второго порядка и дополним полученные выражения до полных квадратов:

Кривая второго порядка

Поэтому, точка (-2; 3) — центр окружности, a Кривая второго порядка = 6 — его радиус.

Каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет

Возьмем на плоскости две точки Кривая второго порядка и Кривая второго порядка, и разместим прямоугольную систему координат так, чтобы ось Кривая второго порядка проходила через них, а начало координат делило отрезок Кривая второго порядка пополам. Эллипсом называют множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых от данных точек Кривая второго порядка и Кривая второго порядка этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и больше расстояния между фокусами (рис. 3, а). Расстояние между фокусами называют фокальным и обозначают через Кривая второго порядка. Сумму расстояний от произвольной точки эллипса Кривая второго порядка до фокусов обозначим через Кривая второго порядка Кривая второго порядка. Тогда фокусы имеют координаты Кривая второго порядка (-с; 0 и Кривая второго порядка(c; 0), и по определению эллипса Кривая второго порядка, то есть а > с.

Кривая второго порядка

Каноническим уравнением эллипса называется равенство

Кривая второго порядка (5)

где

Кривая второго порядка. (6)

Отметим некоторые свойства эллипса.

1°. Эллипс симметричен относительно осей Кривая второго порядка и Кривая второго порядка, а также относительно точки Кривая второго порядка(0; 0), которую называют центром эллипса.

2°. Эллипс пересекает оси координат в точках Кривая второго порядка(а; 0), Кривая второго порядка(-а; 0), Кривая второго порядка(0; b), Кривая второго порядка(0; —b). Эти точки называются вершинами эллипса (рис. 3, б). Величины Кривая второго порядка и Кривая второго порядка называются, соответственно, большой и малой осями эллипса, а числа а и bбольшой и малой полуосями эллипса.

3°. Если а = b , то уравнение (5) принимает вид Кривая второго порядка, то есть получается уравнение окружности. Поэтому окружность является частным случаем эллипса. При а = b имеем с = 0, то есть окружность — это эллипс, у которого фокусы совпадают с его центром.

Мера отклонения эллипса от окружности характеризуется величиной Кривая второго порядка, которая называется эксцентриситетом эллипса и равняется отношению половины его фокального расстояния к длине большой полуоси:

Кривая второго порядка (7)

причем Кривая второго порядка, поскольку Кривая второго порядка. Из формул (6) и (7) получим

Кривая второго порядка .

Итак, если Кривая второго порядка = 0 , то b = а , то есть эллипс превращается в окружность; если Кривая второго порядка приближается к единице, то отношение осей b/а уменьшается, то есть эллипс все больше растягивается вдоль оси Кривая второго порядка.

4°. Пусть Кривая второго порядка — произвольная точка эллипса с фокусами Кривая второго порядка и Кривая второго порядка (рис. 3, б). Расстояния Кривая второго порядка и Кривая второго порядка, называются фокальными радиусами точки Кривая второго порядка. Очевидно, что Кривая второго порядка. Прямые Кривая второго порядка называются директрисами эллипса. Отношение фокальных радиусов произвольной точки эллипса к расстояниям от этой точки до соответствующих директрис есть величина постоянная и равна эксцентриситету эллипса, то есть

Кривая второго порядка. (8)

Пример №8

Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Кривая второго порядка симметрично начала координат, если расстояние между фокусами равно 14, а эксцентриситет равен 7/9 .

Решение:

Поскольку 2с = 14, то с = 7. Из формул (7) и (6) получим а = 9 и Кривая второго порядка = 32. Поэтому искомое уравнение имеет вид

Кривая второго порядка

Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты. Эксцентриситет

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим через Кривая второго порядка и Кривая второго порядка фокусы гиперболы, расстояние между ними — через 2с, а модуль разности расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов — через 2а. По определению а<с. Возьмем на плоскости прямоугольную систему координат Кривая второго порядка так, чтобы ось Кривая второго порядка проходила через фокусы, а начало координат делило бы отрезок Кривая второго порядка пополам (рис. 4). Точка Кривая второго порядка плоскости принадлежит гиперболе тогда и только тогда, когда Кривая второго порядка. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

Кривая второго порядка (9) где

Кривая второго порядка (10)

Кривая второго порядка. Рис. 4. Гипербола и ее свойства Рассмотрим некоторые свойства гиперболы.

1°. Гипербола симметрична относительно осей Кривая второго порядка, Кривая второго порядка и начала координат.

2°. Удаляясь в бесконечность, переменная точка Кривая второго порядка гиперболы неограниченно приближается к одной из прямых

Кривая второго порядка-. (11)

Такие прямые называются асимптотами гиперболы.

Оси симметрии называются осями гиперболы, а точка пересечения осей — ее центром. Ось Кривая второго порядка пересекает гиперболу в двух точках Кривая второго порядка(а; 0) и Кривая второго порядка(-а; 0), которые называются вершинами гиперболы. Действительной осью называют отрезок Кривая второго порядка, соединяющий вершины гиперболы, и его длину Кривая второго порядка. Отрезок Кривая второго порядка, который соединяет точки Кривая второго порядка(0; b) и Кривая второго порядка(0; —b), и его длина, называется мнимой осью. Величины а и b, соответственно, называются действительной и мнимой полуосями гиперболы. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.

При построении гиперболы (9) удобно сначала построить ее основной прямоугольник (рис. 4), провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, — асимптоты гиперболы и определить вершины Кривая второго порядка и Кривая второго порядка гиперболы. Уравнение

Кривая второго порядка 12)

также определяет гиперболу, которая называется сопряженной гиперболе (9). Гипербола (12) показана на рис. 4 штриховой линией. Вершины этой гиперболы находятся в точках Кривая второго порядка(0; b) и Кривая второго порядка(0; —b), а ее асимптоты совпадают с асимптотами гиперболы (9).

3°. Эксцентриситет гиперболы определяется как отношение половины фокального расстояния к длине ее действительной полуоси:

Кривая второго порядка. (13)

Поскольку с > а, то Кривая второго порядка > 1. Кроме того, из формул (10) и (13) следует, что Кривая второго порядка

Поэтому эксцентриситет гиперболы характеризует ее форму: чем больше эксцентриситет, тем больше отношение Кривая второго порядка, то есть тем больше основной прямоугольник растягивается в направлении оси Кривая второго порядка, а гипербола отклоняется oт оси Кривая второго порядка; чем ближе эксцентриситет к единице, тем больше основной прямоугольник растягивается в направлении оси Кривая второго порядка и гипербола приближается к этой оси.

4°. Прямые .Кривая второго порядка, где а — действительная полуось гиперболы, а Кривая второго порядка — ее эксцентриситет, называют директрисами гиперболы. Директрисы гиперболы имеют такое же свойство (8), как и директрисы эллипса.

Пример №9

Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси Кривая второго порядка симметрично начала координат, действительная ось равна 6, а эксцентриситет Кривая второго порядка.

Решение:

Поскольку 2а = 6, то а= 3. Из формул (10) и (13) находим, что b = 4. Искомое уравнение имеет вид

Кривая второго порядка

Каноническое уравнение параболы

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой, и не проходит через фокус.

Пусть заданы фокус Кривая второго порядка и директриса, причем расстояние между ними равно р. Возьмем прямоугольную систему координат Кривая второго порядка так, чтобы ось Кривая второго порядка проходила через фокус, перпендикулярно к директрисе, а ось Кривая второго порядка делила расстояние между фокусом Кривая второго порядка и директрисой пополам. Тогда фокус имеет координаты Кривая второго порядка , а Кривая второго порядка — уравнение директрисы. Пусть Кривая второго порядка — произвольная точка плоскости, а отрезки МВ и MF расстояния от нее до директрисы и фокуса. Точка М тогда принадлежит параболе, когда = MF (рис. 5).

Кривая второго порядка Рис. 5. Парабола и ее свойства

Каноническое уравнение параболы имеет вид

Кривая второго порядка. (14)

Ось симметрии параболы называется ее осью; точка пересечения оси с параболой — вершиной параболы; число, равное расстоянию от фокуса до директрисы, — параметром параболы. Осью параболы, заданной уравнением (14), является ось Кривая второго порядка, вершиной — точка Кривая второго порядка(0; 0) и параметром — число р .

Замечание. Используя свойство 4° эллипса и гиперболы и определение параболы, можно дать такое общее определение кривой второго порядка (кроме окружности): множество точек, для которых отношение Кривая второго порядка расстояния до фокуса и до соответствующей директрисы есть величина постоянная. Это эллипс при 0 < Кривая второго порядка < 1, парабола при Кривая второго порядка = 1 или гипербола при Кривая второго порядка > 1.

Пример №10

В параболу Кривая второго порядка вписан равносторонний треугольник так, что одна из вершин совпадает с вершиной параболы. Найти сторону треугольника и сделать рисунок.

Решение:

Пусть точка А(Кривая второго порядка) — одна из вершин треугольника. Тогда другими его вершинами будут точки Кривая второго порядка и Кривая второго порядка(0; 0). Поскольку треугольник равносторонний, то АВ = АО= ВО, откуда Кривая второго порядка. Решая это уравнение вместе с уравнением Кривая второго порядка, находим Кривая второго порядка. Поэтому сторона треугольника равна Кривая второго порядка.

Кривая второго порядка

Рис. 6 Иллюстрация к примеру 4.

Эта лекция взята из раздела о предмете высшая математика, там вы найдёте другие лекци по всем темам высшей математики:

Другие темы которые вам помогут понять высшую математику:

Кривые линии второго порядка

Кривая второго порядка — геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида.

Круг 

Кругом называется геометрическое место точек плоскости, которые равноудалены от одной и той же точки этой плоскости (рис. 2.13). 

Уравнение круга с центром Кривая второго порядка и радиусом Кривая второго порядка имеет вид: Кривая второго порядка (2.16). В случае, когда центр круга находится в начале координат, уравнение имеет вид: Кривая второго порядка

Кривая второго порядка

Круг — уравнение второго порядка. Общее уравнение кривой второго порядка: Кривая второго порядка являет собой круг, если коэффициенты при квадратах координат равны между собой Кривая второго порядка  и если отделенный член с произведением координат Кривая второго порядка то есть Кривая второго порядка

Эллипс 

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых к двум фиксированным точкам, что называются фокусами, является постоянными и равны Кривая второго порядка (рис. 2.14). Каноническое уравнение эллипса имеет вид: 

Кривая второго порядка

Координаты фокусов эллипса Кривая второго порядка и Кривая второго порядка Расстояние между фокусами равно Кривая второго порядка Точки пересечения эллипса с осями координат Кривая второго порядка Кривая второго порядка и Кривая второго порядка — называются вершинами эллипса. 

Отрезки Кривая второго порядка — называются осями эллипса

Эксцентриситет эллипса Кривая второго порядка

Кривая второго порядка

Расстояние Кривая второго порядка и Кривая второго порядка точки Кривая второго порядка эллипса к эго фокусам называются фокальными радиусами этой точки и обозначаются по формулам: 

 Кривая второго порядка

Две прямые, которые параллельны к малой оси эллипса и находятся от нее на расстоянии Кривая второго порядка называются директрисами эллипса. Их уравнение: 

Кривая второго порядка  или Кривая второго порядка

Уравнение эллипса с осями, что параллельные координатными осям, имеет вид: 

Кривая второго порядка

где Кривая второго порядка — координаты центра эллипса. 

Гипербола 

Гиперболой называют геометрическое место точек, для каждой их которых абсолютное значение разницы расстояний от двух заданный точек, что называется фокусами, является величина постоянная и равна Кривая второго порядка (рис. 2.15). Каноничное уравнение гиперболы имеет вид: 

Кривая второго порядка

Кривая второго порядка

Координаты фокусов гиперболы Кривая второго порядка и Кривая второго порядка Расстояние между фокусами равно Кривая второго порядка

Точки пересечения гиперболы с осью абсцисс  Кривая второго порядка называются действительными вершинами. Расстояние Кривая второго порядка называется действительной осью гиперболы

Точки Кривая второго порядка называются мнимыми вершинами, а отрезок Кривая второго порядка — мнимой осью гиперболы

Эксцентриситет гиперболы Кривая второго порядка

Расстояние Кривая второго порядка и Кривая второго порядка точки Кривая второго порядка гиперболы к его фокусам называются фокальными радиусами этой точки и обозначаются формулами: 

Кривая второго порядка

по условию, что точка Кривая второго порядка лежит на правой ветке гиперболы. 

Две прямые, которые параллельны мнимой оси гиперболы и находятся от нее на расстоянии Кривая второго порядка называются директрисами гиперболы. Их уравнение:  

Кривая второго порядка

Прямые, которые обозначаются уравнением: 

Кривая второго порядка

называются асимптотами гиперболы.

Две гиперболы, что заданы уравнениями: 

Кривая второго порядка

называются спряженными. Они имеют общие асимптоты. 

Если оси гиперболы равны, то есть Кривая второго порядка то гипербола называется равнобедренной или равносторонней. Ее уравнение имеет вид: 

Кривая второго порядка

Ее асимптотами служат биссектрисы координатных углов. 

Если за оси координат принять асимптоты равносторонней гиперболы, то ее уравнение получит вид: Кривая второго порядка где Кривая второго порядка

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек равноудаленных от заданной точки — фокуса и заданной прямой — директрисы (рис. 2.16).

Каноничное уравнение параболы имеет вид: 

Кривая второго порядка

где Кривая второго порядка — расстояние от фокуса к директрисе. Вершина параболы находится в начале координат, осью симметрии является ось абсцисс. 

Кривая второго порядка

Координаты фокуса Кривая второго порядка  Уравнение директрисы   Кривая второго порядка имеет вид: 

Кривая второго порядка

Фокальный радиус Кривая второго порядка параболы равен Кривая второго порядка

Эксцентриситет параболы считается равным единице, то есть Кривая второго порядка

Если осью симметрии параболы служит ось ординат (рис. 2.17), то уравнение параболы имеет вид: 

Кривая второго порядка

Уравнение директрисы в этом случае: Кривая второго порядка

Кривая второго порядка

Уравнение параболы с осью симметрии =, которая параллельна одной из координатных осей, имеет вид: Кривая второго порядка

или 

Кривая второго порядка

где Кривая второго порядка — координаты вершин параболы. 

Примеры решения задач:

Задача 2.51.

Сложить уравнение круга с центром в точке Кривая второго порядка и радиусам, что равны 6. 

Решение. В уравнении (2.16) Кривая второго порядка получим Кривая второго порядка Кривая второго порядка Сразу получим: 

Кривая второго порядка

Задача 2.52 

Обозначить центр и радиус угла, которое задано уравнением:Кривая второго порядка

Решение. Как в заданном уравнении коэффициент при Кривая второго порядка и Кривая второго порядка равны между собой и отделенный член с произведением координат, то заданное уравнение является уравнением круга. Его необходимо привести к виду (2.16). Выпишем члены, которые содержат только Кривая второго порядка и член, которые содержат только Кривая второго порядка

Выделим полный квадрат: 

Кривая второго порядка

Левая часть заданного уравнения запишем так: 

Кривая второго порядка

откуда: Кривая второго порядка

Уравнивая полученное уравнение с уравнением (2.16) приходим к выводу, что это уравнение обозначает круг, центр которого имеет координаты Кривая второго порядка

Задача 2.53 

Сложить уравнение круга, что проходит через точки Кривая второго порядка и Кривая второго порядка если центр его лежит на прямой Кривая второго порядка

Решение. Каноническое уравнение круга: 

Кривая второго порядка

Так как круг проходит через точки Кривая второго порядка и Кривая второго порядка то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению круга. Отсюда имеет два уравнения: 

Кривая второго порядка

если центр круга находится на прямой Кривая второго порядка то координаты центра должны удовлетворять уравнению прямой. Получим третье уравнение: Кривая второго порядка

решим систему уравнений: 

Кривая второго порядка

отнимем от первого уравнения второе.

Получим систему: 

Кривая второго порядка

Получим: 

Кривая второго порядка

подставим полученное значение Кривая второго порядка в уравнении Кривая второго порядка получим значение параметра Кривая второго порядка

Кривая второго порядка

Таким образом, координаты центра круга: Кривая второго порядка

Чтобы обозначить Кривая второго порядка воспользуется уравнением: 

Кривая второго порядка

Следует, уравнение круга: 

Кривая второго порядка

Задача 2.54

Сложим уравнение круга, что проходит через три заданные точки: Кривая второго порядка  и Кривая второго порядка

Решение. Искомое уравнение имеет вид Кривая второго порядка Так как круг проходит через заданные точки, то координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению круга. 

Подставим по очереди в искомое уравнение координаты заданных точек, получим три уравнения для определения Кривая второго порядка и Кривая второго порядка

Кривая второго порядка

От первого уравнения отнимем второе, а потом от первого уравнения отнимем третье. Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными: 

Кривая второго порядка

Откуда. Кривая второго порядка

Для нахождения Кривая второго порядка воспользуемся точкой Кривая второго порядка и уравнением: 

Кривая второго порядка

искомое уравнение круга имеет вид: Кривая второго порядка

Задача 2.55 

Найти длину осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса Кривая второго порядка

Решение. Приведем эти уравнения к каноничному виду (2.17): 

Кривая второго порядка

Разделив обе части заданного уравнения на 144, получим: 

Кривая второго порядка

отсюда получим, что Кривая второго порядка Следует, Кривая второго порядка Кривая второго порядка Зная Кривая второго порядка  и Кривая второго порядка из соотношения Кривая второго порядка находим Кривая второго порядка

Кривая второго порядка

Координаты фокусов будут: Кривая второго порядка и Кривая второго порядка 

эксцентриситет эллипса Кривая второго порядка

Задача 2.56 

Большая ось эллипса равно 8, а расстояние между директрисами равно 16. Найти уравнение эллипса. Чему равен его эксцентриситет? 

Решение. Для нахождения уравнения эллипса необходимо найти его полуоси Кривая второго порядка  и Кривая второго порядка  По условию Кривая второго порядка

Полуось Кривая второго порядка находим из соотношения Кривая второго порядка а Кривая второго порядка можно найти, используя расстояние между директрисами 

Кривая второго порядка

Таким образом, Кривая второго порядка

Получим уравнение эллипса: Кривая второго порядка

Эксцентриситет эллипса будет Кривая второго порядка

Задача 2.57 

Сложить уравнение гиперболы, фокусы которого находятся на оси абсцисс, симметрично началу координат, если задана точка Кривая второго порядка гиперболы и уравнения асимптот Кривая второго порядка

Решение. Для нахождения уравнения гиперболы Кривая второго порядка  необходимо найти ее полуось Кривая второго порядка  и Кривая второго порядка  Воспользуется условием: точка Кривая второго порядка находятся на гиперболе, а это означает, что координаты точки Кривая второго порядка должны удовлетворять уравнению гиперболы: 

Кривая второго порядка

Уравнение асимптот Кривая второго порядка а у нас получится Кривая второго порядка следует, Кривая второго порядка

Получили систему уравнений: 

Кривая второго порядка

Подставим полученные значения параметров в каноничное уравнение гиперболы: 

Кривая второго порядка

Таким образом, получим искомое уравнение гиперболы: 

Кривая второго порядка

Задача 2.58 

Найти каноническое уравнение гиперболы, если угол между ее асимптотами равно Кривая второго порядка и расстояние между фокусами равны Кривая второго порядка 

Решение. Каноничное уравнение гиперболы имеет вид: 

Кривая второго порядка

Уравнение асимптот Кривая второго порядка где Кривая второго порядка а Кривая второго порядка — угол наклона асимптоты к оси Кривая второго порядка

Так как угол между асимптотами равен Кривая второго порядка, то Кривая второго порядка

Отсюда, Кривая второго порядка

По условию задачи Кривая второго порядка то Кривая второго порядка Из соотношения Кривая второго порядка получим второе уравнение: Кривая второго порядка

Решим систему уравнений: 

Кривая второго порядка

Получим уравнение: Кривая второго порядка

Задача 2.59

Вычислить длину стороны правильного треугольника, который вписан в параболу Кривая второго порядка 

Решение. Треугольник Кривая второго порядка размещенный симметрично относительно оси параболы. Одна из его вершин совпадает с вершиной параболы, а противоположная сторона — перпендикуляр к оси параболы (рис. 2.18).

По условию задачи Кривая второго порядка равносторонний. Угол Кривая второго порядка то Кривая второго порядка Пусть координаты точки Кривая второго порядкаИз Кривая второго порядка получим Кривая второго порядка то есть Кривая второго порядка

Следует, точка Кривая второго порядка имеет координаты Кривая второго порядка

Кривая второго порядка

Эта точка лежит на параболе, ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Отсюда: 

Кривая второго порядка

тогда, 

Кривая второго порядка

Длина сторон треугольника Кривая второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка: типы кривых

Кривой второго порядка называется линия, которая описывается уравнением

Кривая второго порядка

где Кривая второго порядка переменные — текущие координаты точек линии;

Кривая второго порядказаданные действительные числа — коэффициенты при переменных и свободный член Кривая второго порядка; при этом числа Кривая второго порядка одновременно не могут равняться нулю: Кривая второго порядка

Уравнение (8.1) называют общим уравнением линии 2-го порядка. При определенных условиях относительно значений коэффициентов при переменных и свободного члена оно описывает одну из четырех, знакомых со школы, кривых: круг, эллипс, гиперболу, параболу.

Однако может случиться, что не существует точек Кривая второго порядка с действительными координатами, которые бы удовлетворяли уравнения (8.1). В этом случае кривую 2-го порядка называют мнимой кривой. Например, уравнение Кривая второго порядка, определяет воображаемое круг.

Кроме того, имеют место случаи вырождения кривых 2-го порядка в прямые или точку. К примеру:

Кривая второго порядкауравнению удовлетворяют лишь координаты точки Кривая второго порядка

Кривая второго порядкауравнения параллельных или совпадающих прямых;

Кривая второго порядкауравнения прямых, пересекающихся Кривая второго порядка

Известно, что в зависимости от знака величины Кривая второго порядка уравнения (8.1) описывает один из трех типов линий второго порядка:
1) эллиптический, если Кривая второго порядка уравнение (8.1) описывает эллипс (окружность при Кривая второго порядка и Кривая второго порядка), кажущуюся кривую или кривую, вырождается в точку;
2) гиперболический, если Кривая второго порядка уравнение (8.1) описывает гиперболу или пару прямых, пересекающихся;
3) параболический, если Кривая второго порядка уравнение (8.1) описывает параболу, пару параллельных прямых или воображаемую кривую.

Канонические уравнения окружности и эллипса

Круг — это множество точек плоскости, расстояние от которых до одной фиксированной точки, называется центром, является величиной постоянной. Расстояние от центра круга до любой точки называют радиусом круга.

Каноническое уравнение окружности (7.2) было получено в примере к главе 7:

Кривая второго порядка

Если в уравнении (8.2) раскрыть скобки, получим общее уравнение кривой 2-го порядка при Кривая второго порядка и Кривая второго порядка, то есть уравнение

Кривая второго порядка

которое называется общим уравнением круга.

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) является величиной постоянной. Пусть точка Кривая второго порядка является произвольной точкой эллипса (рис. 8.1), фокусы эллипса расположены на оси Кривая второго порядка и находятся в точках Кривая второго порядка, а сумма расстояний точек эллипса к фокусам
равна Кривая второго порядка.

Кривая второго порядка

Рис. 8.1

Тогда согласно определению эллипса имеет место соотношение: Кривая второго порядка. Используя формулу расстояния между двумя точками, имеем:

Кривая второго порядка

или 

Кривая второго порядка

Далее избавляемся от иррациональности поднесением к квадрату обеих частей (8.4) и упрощаем:

Кривая второго порядка

или

Кривая второго порядка

Уравнение (8.5) называют каноническим уравнением эллипса.
Поскольку Кривая второго порядка (сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны), поэтому обозначение Кривая второго порядка — через Кривая второго порядка является корректным.

Анализируя уравнение (8.5), делаем выводы:
1) точки эллипса не выходят за пределы прямоугольника, который описывается неровностями: Кривая второго порядка (рис. 8.2), что вытекает из развязанного относительно переменной Кривая второго порядка уравнения (8.5):

Кривая второго порядка

Кривая второго порядка

Рис. 8.2

2) эллипс является симметричным относительно осей координат, поскольку уравнение содержит только квадраты текущих координат Кривая второго порядка и Кривая второго порядка, поэтому координатные оси являются осями симметрии эллипса; ось симметрии, на которой лежат фокусы, называется фокальной осью; точку пересечения осей симметрии называют центром симметрии, или центром эллипса;
3) кривая пересекает координатные оси в точках — вершинах эллипса — с абсциссами Кривая второго порядка и с ординатами Кривая второго порядка (рис. 8.2): Кривая второго порядка, Кривая второго порядка отрезки Кривая второго порядка и Кривая второго порядка, соединяющих противоположные вершины эллипса, а также их длины Кривая второго порядка и Кривая второго порядка, называют соответственно большой и малой осями эллипса; длины Кривая второго порядка и Кривая второго порядкабольшой и малой полуосями.

Форма эллипса относительно оси Кривая второго порядка определяется отношением расстояния между фокусами Кривая второго порядка к большой оси Кривая второго порядка, которое называется эксцентриситетом эллипса Кривая второго порядка:

Кривая второго порядка

С помощью соотношения Кривая второго порядка эксцентриситет Кривая второго порядка легко подать через полуоси Кривая второго порядка и Кривая второго порядка:

Кривая второго порядка

Каноническое уравнение окружности Кривая второго порядка (см. (7.3)) является частным случаем канонического уравнения эллипса (8.5) при условии, что Кривая второго порядка. Но если Кривая второго порядка, то Кривая второго порядка. То есть, эксцентриситет окружности равен нулю.

Если эксцентриситет эллипса Кривая второго порядка стремится к нулю (Кривая второго порядка), то по своей форме эллипс приближается к кругу; если же Кривая второго порядка приближается к единице (Кривая второго порядка), то полуось эллипса Кривая второго порядка стремится к нулю, а эллипс — к вырождению в отрезок.

Известно, что планеты и кометы движутся по орбитам, имеющих форму эллипса. Орбиты планет близки к кругам, а орбиты комет — до вытянутых эллипсов (эксцентриситет орбиты Земли и кометы Галлея равны соответственно 0,02 и 0,97).

Прямые Кривая второго порядка, параллельные малой оси эллипса, называются директрисами эллипса.

Расстояния от произвольной точки эллипса до его фокусов называют локальными радиусами эллипса (рис. 8.1):

Кривая второго порядка

Фокальные радиусы связаны соотношением Кривая второго порядка (по определению эллипса), а их связь с эксцентриситетом описывается равенствами Кривая второго порядка

Замечания. Каноническое уравнение эллипса можно получить, выбирая фокусы на оси Кривая второго порядка, тогда будет большой полуось Кривая второго порядка.

Найдем уравнение эллипса Кривая второго порядка, который проходит через точку Кривая второго порядка, а его эксцентриситет равен 0,8. Для этого необходимо определить параметры его уравнения.

Поскольку точка Кривая второго порядка, то ее координаты удовлетворяют уравнениюе эллипса. Согласно условию зада

чи Кривая второго порядка, откуда Кривая второго порядка. Таким образом, для нахождения параметров эллипса имеем систему уравнений:

Кривая второго порядка

Следовательно, уравнение эллипса имеет вид:

Кривая второго порядка

Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты гиперболы

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величиной постоянной, отличной от нуля.

Выберем оси координат таким образом, чтобы фокусы гиперболы Кривая второго порядка и Кривая второго порядка были расположены на оси Кривая второго порядка, а модуль разности расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим Кривая второго порядка

Воспользуемся рисунком 8.1, на котором теперь Кривая второго порядка — произвольная точка гиперболы. Согласно определению Кривая второго порядка. Отсюда, применив формулу расстояния между двумя точками, получаем:

Кривая второго порядка

или

Кривая второго порядка

Выполняем преобразования, аналогичные тем, которые осуществлялись при выводе уравнения эллипса:

Кривая второго порядка

или

Кривая второго порядка

Уравнение (8.9) называется каноническим уравнением гиперболы.

Поскольку Кривая второго порядка (разница двух сторон треугольника всегда меньше третьей стороны), поэтому разница Кривая второго порядка — есть положительным числом, которое обозначили через Кривая второго порядка.
Анализ полученного уравнения позволяет прийти к выводам:
1) точки гиперболы выходят (кроме двух) за пределы вертикальной полосы, которая описывается неравенством: Кривая второго порядка (рис. 8.3). Это следует из развязанного относительно переменной Кривая второго порядка уравнения (8.9):

Кривая второго порядка

2) гипербола симметрична относительно осей координат, поскольку ее уравнение содержит только квадраты переменных Кривая второго порядка и Кривая второго порядка, поэтому координатные оси являются осями симметрии гиперболы; ось симметрии, на которой лежат фокусы, называется фокальной, или действительной осью; вторая — мнимой осью симметрии; точка пересечения осей симметрии является центром симметрии гиперболы, или центром гиперболы;
3) кривая пересекает ось Кривая второго порядка в точках — вершинах гиперболы — с абсциссами Кривая второго порядка Кривая второго порядка Кривая второго порядка (рис. 8.3); с осью Кривая второго порядка кривая общих точек не имеет; ось Кривая второго порядка называется действительной, а вот Кривая второго порядка — мнимой осями гиперболы. Отрезок Кривая второго порядка, соединяющий вершины гиперболы, принадлежит действительной оси Кривая второго порядка; отрезок Кривая второго порядка принадлежит воображаемой оси гиперболы Кривая второго порядка.

Кривая второго порядка

Рис. 8.3

Прямоугольник со сторонами Кривая второго порядка и Кривая второго порядка и центром симметрии в начале координат называют основным прямоугольником гиперболы.

Асимптотой гиперболы называется прямая, расстояние до которой от точек гиперболы стремится к нулю при неограниченном росте абсциссы Кривая второго порядка.

Асимптоты гиперболы описываются уравнениями прямых:

Кривая второго порядка

на которых лежат диагонали основного прямоугольника гиперболы.

Пусть Кривая второго порядка точка гиперболы, где Кривая второго порядка. Найдем расстояние от этой точки до асимптоты с уравнением Кривая второго порядка по формуле (7.26):

Кривая второго порядка

Поделим и умножим правую часть (8.11) на выражение, сопряженный к выражению под знаком модуля, то есть на выражение Кривая второго порядка, тогда получим:

Кривая второго порядка

При неограниченном росте Кривая второго порядка знаменатель дроби неограниченно увеличивается, а самый дробь уменьшается и приближается к нулю.
Аналогично можно показать, что прямая Кривая второго порядка также является асимптотой гиперболы.

Согласно определению асимптот гиперболы ее геометрическое изображение начинают с построения основного прямоугольника и его диагоналей.

Части графика кривой при Кривая второго порядка и Кривая второго порядка называют ветвями гиперболы.

Как и для эллипса, форму гиперболы характеризует отношение фокусного расстояния Кривая второго порядка к действительной оси Кривая второго порядка, как и для эллипса, такое отношение называется эксцентриситетом:

Кривая второго порядка

Прямые Кривая второго порядка, параллельные мнимой оси гиперболы, называются директрисами гиперболы.

Расстояния от произвольной точки гиперболы до ее фокусов называют фокальными радиусами гиперболы:

Кривая второго порядка

Фокальные радиусы связаны соотношением Кривая второго порядка (по определению гиперболы), а их связь с эксцентриситетом описывается равенствами Кривая второго порядка, Кривая второго порядка, где знак Кривая второго порядка соответствует правой (левой) ветви гиперболы.

Примечание:
1) каноническое уравнение гиперболы в случае расположения ее фокусов на оси Кривая второго порядка имеет вид:

Кривая второго порядка

тогда действительной осью гиперболы является Кривая второго порядка, а мнимой — Кривая второго порядка.
Кривые, описываемые уравнениями (8.9) и (8.14), называются взаимно сопряженными гиперболами;

2) если в уравнениях (8.9) и (8.14) Кривая второго порядка, то получим:

Кривая второго порядка или Кривая второго порядка

Кривые, описываемые уравнениями (8.15), называются равносторонними гиперболами.

Пусть задано общее уравнение гиперболы: Кривая второго порядка.

Найдем ее параметры и определим координаты вершин.

Запишем уравнение гиперболы в канонической форме: Кривая второго порядка
Отсюда имеем:Кривая второго порядка и Кривая второго порядка, тогда Кривая второго порядка полуоси гиперболы, а вершины гиперболы имеют координаты: Кривая второго порядка

Парабола. Каноническое уравнение

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки (фокуса) и фиксированной прямой (директрисы).

Выберем на плоскости систему координат Кривая второго порядка (рис. 8.4). Обозначим расстояние от фокуса параболы Кривая второго порядка до директрисы Кривая второго порядка через Кривая второго порядка Кривая второго порядка. Найдем уравнение параболы с фокусом в точке Кривая второго порядка, и директрисой, параллельной оси Кривая второго порядка, с уравнением Кривая второго порядка

Кривая второго порядка

Рис. 8.4

Пусть Кривая второго порядкапроизвольная точка параболы. Тогда согласно определению параболы Кривая второго порядка. По формуле расстояния между двумя точками имеем:

Кривая второго порядка

или

Кривая второго порядка

Уравнение (8.16) называется каноническим уравнением параболы.
Число Кривая второго порядка — расстояние от фокуса до директрисы — называют параметром параболы.

Анализ уравнения (8.16) позволяет прийти к выводам:
1) парабола симметрична относительно оси Кривая второго порядка, потому переменная Кривая второго порядка входит в
уравнения в второй степени; ось симметрии (Кривая второго порядка) называют осью параболы (рис. 8.5 а) переменная Кривая второго порядка не может быть отрицательной Кривая второго порядка; точка Кривая второго порядка, принадлежащей кривой и является точкой пересечения параболы с ее осью, называется вершиной параболы;
2) при росте Кривая второго порядка по модулю от Кривая второго порядка до Кривая второго порядка переменная y неограниченно растет по закону Кривая второго порядка. Если Кривая второго порядка, то получаем уравнение параболы Кривая второго порядка, которое известно еще из школьного курса математики.

Парабола с фокусом в точке Кривая второго порядка и директрисой Кривая второго порядка (Рис. 8.5 в) описывается уравнением:

Кривая второго порядка

Кривая второго порядка

Рис. 8.5

Задачи на составление канонических уравнений параболы сводятся к отысканию только одной величины — параметра Кривая второго порядка

Составим каноническое уравнение параболы, проходящей через точку Кривая второго порядка, а ее осью является ось Кривая второго порядка.

Поскольку точка Кривая второго порядка лежит в четвертом квадранте и осью симметрии параболы является ось Кривая второго порядка, то соответствующее уравнение имеет вид: Кривая второго порядка. Подставляем координаты заданной точки в уравнение и находим значение p, при котором оно удовлетворяется:

Кривая второго порядка или Кривая второго порядка

Уравнение Кривая второго порядка и Кривая второго порядка определяют ветви параболы. Кривые круга, эллипс и гипербола называются центральными кривыми второго порядка, а парабола — нецентральной; ее эксцентриситетом считается отношение фокального радиуса Кривая второго порядка  произвольной точки Кривая второго порядка параболы до расстояния Кривая второго порядка (рис. 8.4) от этой точки до директрисы, то есть Кривая второго порядка

Задача вывода уравнений кривых 2-го порядка усложняется, если центр центральных кривых лежит не в начале координат и (или) оси симметрии не является координатными осями; а для нецентральных кривых — если фокус не лежит на координатной оси и (или) директриса не ортогональная одной из осей координат.

Для установления положение на плоскости кривых 2-го порядка, которые описываются общим уравнением, путем параллельного переноса и (или) поворота исходной системы координат переходят к такой системе координат, в которой общее уравнение приобретает каноническому виду.

Возведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Выберем на плоскости две системы координат, тогда координаты той же точки в этих системах будут разными.

Задача преобразования координат заключается в том, чтобы найти связь между координатами точек в двух системах координат, одну из которых назовем выходной, вторую — новой. Любую новую систему координат Кривая второго порядка (рис. 8.6) можно получить из исходной системы Кривая второго порядка параллельным переносом, то есть перемещением начала координат в точку Кривая второго порядка с сохранением направления осей (что дает систему координат Кривая второго порядка), а затем поворотом системы Кривая второго порядка на определенный угол Кривая второго порядка вокруг точки Кривая второго порядка.

Кривая второго порядка

Рис. 8.6

Параллельный перенос. Выберем на плоскости произвольную точку Кривая второго порядка. Пусть Кривая второго порядка — исходная, Кривая второго порядка — новая система координат (рис. 8.7) с началом в точке Кривая второго порядка. Тогда пара Кривая второго порядка определяет координаты точки Кривая второго порядка в исходной системе координат, а Кривая второго порядка — координаты этой же точки Кривая второго порядка в новой системе координат.

Кривая второго порядка

Рис. 8.7

Введем в рассмотрение радиусы-векторы Кривая второго порядка

Кривая второго порядка

Вектор Кривая второго порядкаявляется разницей векторов Кривая второго порядка и Кривая второго порядка что позволяет определить связь между координатами точки в системах координат: 

Кривая второго порядка

Соотношения (8.17) называются формулами параллельного переноса.

Поворот осей координат. Установим связь между координатами произвольной точки Кривая второго порядка плоскости в системах с общим началом и различным направлением осей координат. Пусть Кривая второго порядка — исходная, а Кривая второго порядка — новая системы координат (рис. 8.8), тогда пара (Кривая второго порядка определяет координаты точки Кривая второго порядка в исходной системе координат, а Кривая второго порядка — координаты этой же точки в новой системе координат.

Кривая второго порядка

Рис. 8.8

Обозначим через Кривая второго порядка угол поворота исходной системы вокруг точки Кривая второго порядка. Найдем направляющие косинусы новых осей Кривая второго порядка и Кривая второго порядка в исходной системе, или, что то же самое, координаты единичных векторов Кривая второго порядка и Кривая второго порядка новой системы координат в системе Кривая второго порядка:

Кривая второго порядка

Найдем проекции вектора Кривая второго порядка на новые оси координат как скалярные произведения этого вектора на направляющие векторы Кривая второго порядка и Кривая второго порядка соответственно:

Кривая второго порядка

Соотношение (8.18) называют формулами поворота осей координат.

Если осуществляется параллельный перенос и поворот осей координат, то исходные координаты Кривая второго порядка, можно определить через новые Кривая второго порядка следующим образом:

Кривая второго порядка

Найдем уравнение равносторонней гиперболы Кривая второго порядка в системе координат, которая полученная из исходной системы поворотом вокруг начала координат на угол Кривая второго порядка.

По формуле (8.18) выражаем текущие координаты точек исходной системы через текущие координаты новой системы:

Кривая второго порядка

Подставляем выражения для Кривая второго порядка и Кривая второго порядка в исходное уравнение и получаем уравнение гиперболы в новых координатах, асимптотами которой является оси новой системы Кривая второго порядка:

Кривая второго порядка

Рассмотрим применение формул параллельного переноса и поворота осей координат до сведения общего уравнения кривой 2-го порядка к каноническому виду.

1. Сведение к каноническому виду общего уравнения, не содержит произведения переменных Кривая второго порядка

Кривая второго порядка

Преобразование уравнения (8.20) в уравнение каноническому виду осуществляется с помощью параллельного переноса системы координат, которому предшествует выделение полных квадратов по обоим переменным.

Пусть задано общее уравнение кривой: Кривая второго порядкаКривая второго порядка Определим тип этой кривой и ее параметры. Решение задачи предполагает следующие этапы:
а) устанавливаем тип заданной кривой Кривая второго порядка Кривая второго порядкаКривая второго порядка уравнение описывает кривую гиперболического типа;

б) группируем в левой части уравнения члены с переменными Кривая второго порядка, Кривая второго порядка и выделяем полные квадраты двучлена с этими переменными:

Кривая второго порядка

в) вводим новые координаты: Кривая второго порядка и записываем каноническое уравнение в новой системе с началом в точке Кривая второго порядка

Кривая второго порядка

Итак, заданная кривая 2-го порядка является гиперболой с полуосями: Кривая второго порядка и центром в точке Кривая второго порядка

2. Возведение общего уравнения кривой к каноническому виду.

Кривая второго порядка

Преобразование этого уравнения в уравнение каноническому виду осуществляется в два этапа:
1-й этап. С помощью поворота осей координат сводим общее уравнение к уравнению (8.20), которое не содержит произведения переменных. Соответствующий угол поворота осей Кривая второго порядка определяется соотношением (выводить его не будем):

Кривая второго порядка

откуда по формулам тригонометрии имеем:

Кривая второго порядка

где знак выбирается в зависимости от того, в какой четверти находится угол Кривая второго порядка.

По формуле (8.18) выражаем текущие координаты точек исходной системы через текущие координаты новой системы:

Кривая второго порядка

что дает возможность получить уравнения относительно переменных Кривая второго порядка и Кривая второго порядка, которое не содержит их произведения.

2-й этап. С помощью параллельного переноса осей координат превращаем уравнение, которое было получено на первом этапе, на уравнение канонического виду.

Замечания. Преобразование общего уравнения кривой 2-го порядка можно начинать с параллельного переноса осей с целью избавиться членов, содержащих переменные в первой степени. В этом случае получают квадратичную форму, которую приводят к каноническому виду известными методами, например, методами Лагранжа, Якоби, Сильвестра. Кроме того применяют аппарат приведения матрицы коэффициентов квадратичной формы к диагональному виду с помощью собственных чисел и собственных векторов этой матрицы. Данные методы являются достаточно громоздкими и выходят за рамки данного учебника.

Приведем еще один пример применения параллельного переноса осей.

Проведем исследование кривой 2-го порядка, заданной общим уравнением:

Кривая второго порядка

Это уравнение можно представить в виде дробно линейной функции:

Кривая второго порядка

Поделим числитель на знаменатель дроби (8.24), то есть выделяем целую часть дроби, а именно:

Кривая второго порядка

Обозначим:

Кривая второго порядка

Уравнение (8.25) в новой системе координат приобретает следующий вид:

Кривая второго порядка

Следовательно, графиком дробно-линейной функции является гипербола с асимптотами, параллельными осям координат, и центром симметрии в точке Кривая второго порядка

Квадратичные формы. Применение к превращению уравнений кривой 2-го порядка

Пусть Кривая второго порядка переменные величины. Квадратичной формой Кривая второго порядка называется однородный многочлен второй степени относительно переменных Кривая второго порядка

 Кривая второго порядка

где Кривая второго порядка коэффициенты при переменных (числовые параметры).

Квадратичная форма Кривая второго порядка, в которой a Кривая второго порядка, называется симметричной:

Кривая второго порядка

Квадратичная форма Кривая второго порядка, которая содержит только квадраты переменных, называется канонической (или говорят: имеет канонический вид):

Кривая второго порядка

Матрица Кривая второго порядка составленная из числовых параметров Кривая второго порядка называется матрицей квадратичной формы, a матрица-столбец Кривая второго порядка вектором переменных.

Теорема 8.1 (о матричной записи квадратичной формы). Любую квадратичную форму можно представить в матричном виде как произведение двух линейных преобразований, первое из которых тождественно Кривая второго порядка, а матрицей второго есть матрица Кривая второго порядка квадратичной формы: Кривая второго порядка

Доказательство. С помощью тождественных алгебраических преобразований получаем:

Кривая второго порядка

Теорема обобщается на квадратичные формы относительно любого конечного числа переменных:

Кривая второго порядка

При Кривая второго порядка переменные обозначают буквами без индексов: Кривая второго порядка.

Теорема 8.2 (о сведении симметричной квадратичной формы к каноническому виду). Если вектор переменных Кривая второго порядка является линейной комбинацией векторов ортонормированного базиса Кривая второго порядка, составленного из собственных векторов матрицы Кривая второго порядка, то симметричная квадратичная форма приобретает каноническому виду:

Кривая второго порядка

где Кривая второго порядка — коэффициенты разложения вектора Кривая второго порядка по базису Кривая второго порядкаКривая второго порядка собственные числа матрицы симметричной квадратичной формы.

Доказательство. Подставим в матричный запись квадратичной формы вместо Кривая второго порядка его выражение через базис из собственных векторов Кривая второго порядка и Кривая второго порядка матрицы Кривая второго порядка, и раскроем скобки в соответствии со свойствами линейного оператора:

Кривая второго порядка

После перехода к ортонормированному базису с учетом свойств: Кривая второго порядкаКривая второго порядка, получаем (8.29).

Если по теореме 8.2 сводить к каноническому виду уравнение кривых второго порядка, то в зависимости от того, каким будет определитель матрицы квадратичной формы Кривая второго порядка сравнению с нулем, возможны следующие случаи:

Кривая второго порядкакривая эллиптического типа;

Кривая второго порядкакривая гиперболического типа; Кривая второго порядка

Кривая второго порядкакривая параболического типа.

Покажем справедливость третьего соотношения:

Пусть, Кривая второго порядкатогда Кривая второго порядка

Найдем собственные числа:

Кривая второго порядка

В новом (ортонормированном) базисе уравнением кривой будет квадрат только одной переменной, а значит соответствующая линия является кривой параболического типа.

Аналогично доводятся другие случаи, когда каноническая форма (8.29) содержит слагаемые соответствии с одинаковыми или разными знаками.
Для использования квадратичных форм с целью упрощения уравнений кривых второго порядка коэффициенты при переменных обозначают строчными буквами с индексами:

Кривая второго порядка

Сведем к канонической форме общее уравнение кривой

Кривая второго порядка

где Кривая второго порядка

В данном уравнении Кривая второго порядка для свободного члена Кривая второго порядка предлагается рассмотреть три значения.

а) Кривая второго порядка. Осуществим параллельный перенос так, чтобы в новой системе координат уравнение не имело переменных в первой степени. Для этого переходим к новым координатам:

Кривая второго порядка

решаем систему двух линейных уравнений:

Кривая второго порядка

определяя таким образом начало новой координатной системы Кривая второго порядка:

Кривая второго порядка

В системе Кривая второго порядка кривая описывается уравнением

Кривая второго порядка 

которое в левой части содержит квадратичную форму относительно переменных Кривая второго порядка

Находим собственные числа матрицы этой квадратичной формы:

Кривая второго порядка

Поскольку Кривая второго порядка, то кривая эллиптического типа.

Определяем собственные векторы, принадлежащие каждому собственному числу:

Кривая второго порядка

Векторы Кривая второго порядка и Кривая второго порядка составляют ортогональный базис новой системы координат Кривая второго порядка.
Переходим от полученного базиса к ортонормированному:

Кривая второго порядка

в котором каноническая форма заданного уравнения имеет вид:

Кривая второго порядка и описывает воображаемый эллипс.

Кривая второго порядкаВ системе Кривая второго порядка исходное уравнение принимает вид:

Кривая второго порядка

Следовательно, имеем случай вырождения кривой в точку.

Кривая второго порядка Каноническая форма заданного уравнения в новой системе такова: 

Кривая второго порядка

то есть кривой является эллипс с параметрами Кривая второго порядка

Замечания. Для кривых параболического типа упрощения уравнения начинают, как правило, с поворота осей координат.

В заключение отметим, что существуют величины, составленные из коэффициентов уравнения (и свободного члена), которые не изменяются при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой такой же системы. Эти величины называются инвариантами кривой второго порядка. К ним относятся:
1) сумма коэффициентов при квадратах координат: Кривая второго порядка
2) определитель, образованный из коэффициентов при старших членах:

Кривая второго порядка

3) определитель, составленный из параметров уравнения:

Кривая второго порядка

По значениям инвариантов, возведенными в табл. 8.1, устанавливают не только тип кривой, но и возможные случаи ее вырождения.

Инварианты кривой второго порядка и распознавания за ними типа кривой           Таблица 8.1

Кривая второго порядка

Установим, вырожденная ли линия второго порядка, заданная уравнением:

Кривая второго порядка

Вычисляем инварианты кривой и анализируем результаты:

Кривая второго порядка

Согласно табл. 8.1 кривая гиперболического типа, распадается на две прямые, пересекающиеся: Кривая второго порядка

Лекции:

  • Линейные дифференциальные уравнения
  • Теорема Муавра Лапласа
  • Вычислить двойной интеграл
  • Формула Ньютона-Лейбница
  • Найти первую и вторую производные функции
  • Признаки сходимости рядов
  • Цилиндр
  • Условный экстремум
  • Коэффициент вариации
  • Функция плотности распределения

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти адрес юрлица
  • Как работодателю найти соискателя
  • Как найти документ по дате создания windows
  • Сталкер как найти дорогу на лиманск
  • Как найти начинающему актеру работу