Как составить квадратный трехчлен если известны его коэффициенты

Пример:

(x^2-2x+1)
(3x^2-5x+6)

Почему его называют именно так? Потому что, наибольшая степень у него – квадрат, а состоит он из трех слагаемых (одночленов). Вот и получается – квадратный трехчлен.

Примеры не квадратных трехчленов:

(x^3-3x^2-5x+6) — кубический четырёхчлен
(2x+1) — линейный двучлен

Корень квадратного трехчлена:

Пример:
У трехчлена (x^2-2x+1) корень (1), потому что (1^2-2·1+1=0)
У трехчлена (x^2+2x-3) корни (1) и (-3), потому что (1^2+2-3=0) и ((-3)^2-6-3=9-9=0)

Например:  если нужно найти корни для квадратного трехчлена (x^2-2x+1), приравняем его к нулю и решим уравнение (x^2-2x+1=0).

(D=4-4cdot1=0)
(x=frac{2-0}{2}=frac{2}{2}=1)

Готово. Корень равен (1).

Разложение квадратного трёхчлена на множители:

Например, рассмотрим трехчлен (3x^2+13x-10).
У квадратного уравнения (3x^2+13x-10=0) дискриминант равен 289 (больше нуля), а корни равны (-5) и (frac{2}{3}). Поэтому (3x^2+13x-10=3(x+5)(x-frac{2}{3})). В верности этого утверждения легко убедится – если мы раскроем скобки, то получим исходный трехчлен.

Например, рассмотрим трехчлен (x^2+6x+9).
У квадратного уравнения (x^2+6x+9=0) дискриминант равен (0), а единственный корень равен (-3). Значит, (x^2+6x+9=(x+3)^2) (здесь коэффициент (a=1), поэтому перед скобкой не пишется – незачем). Обратите внимание, что тоже самое преобразование можно сделать и по формулам сокращенного умножения.

Например, у трехчленов (x^2+x+4) и (-5x^2+2x-1) – дискриминант меньше нуля. Поэтому разложить их на множители невозможно.

Пример. Разложите на множители (2x^2-11x+12).
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения (2x^2-11x+12=0)

(D=11^2-4 cdot 2 cdot 12=121-96=25>0)
(x_1=frac{11-5}{4}=1,5;) (x_2=frac{11+5}{4}=4.)

Значит, (2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4))
Ответ: (2(x-1,5)(x-4))

Полученный ответ, может быть, записать по-другому: ((2x-3)(x-4)).

Пример. (Задание из ОГЭ) Квадратный трехчлен разложен на множители (5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)). Найдите (a).
Решение:
(5x^2+33x+40=0)
(D=33^2-4 cdot 5 cdot 40=1089-800=289=17^2)
(x_1=frac{-33-17}{10}=-5)
(x_2=frac{-33+17}{10}=-1,6)
(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6))
Ответ: (-1,6)

Смотрите также:
Квадратный трехчлен (шпаргалка)

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Как разложить на множители квадратный трёхчлен

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax 2 + bx + c .

В прошлых уроках мы решали квадратные уравнения. Общий вид таких уравнений выглядел так:

Левая часть этого уравнения является квадратным трёхчленом.

Одним из полезных преобразований при решении задач является разложение квадратного трёхчлена на множители. Для этого исходный квадратный трёхчлен приравнивают к нулю и решают квадратное уравнение. В этом случае говорят, что выполняется поиск корней квадратного трёхчлена.

Полученные корни x₁ и x₂ следует подстáвить в следующее выражение, которое и станет разложением:

Таким образом, чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители при помощи решения квадратного уравнения, нужно воспользоваться следующей готовой формулой:

Где левая часть — исходный квадратный трёхчлен.

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Найдём корни квадратного трёхчлена. Для этого приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим квадратное уравнение:

В данном случае коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента. Чтобы сэкономить время, некоторые подробные вычисления можно пропустить:

Итак, x₁ = 6 , x₂ = 2 . Теперь воспользуемся формулой ax 2 + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). В левой части вместо выражения ax 2 + bx + c напишем свой квадратный трёхчлен x 2 − 8x + 12. А в правой части подставим имеющиеся у нас значения. В данном случае a = 1, x₁ = 6, x₂ = 2

Если a равно единице (как в данном примере), то решение можно записать покороче:

Чтобы проверить правильно ли разложен квадратный трёхчлен на множители, нужно раскрыть скобки у правой части получившегося равенства.

Раскроем скобки у правой части равенства, то есть в выражении (x − 6)(x − 2) . Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен x 2 − 8x + 12

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение:

Как и в прошлом примере коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента:

Итак, x₁ = 4 , x₂ = 3 . Приравняем квадратный трехчлен 2x 2 − 14x + 24 к выражению a(x − x₁)(x − x₂) , где вместо переменных a , x₁ и x₂ подстáвим соответствующие значения. В данном случае a = 2

Выполним проверку. Для этого раскроем скобки у правой части получившегося равенства. Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен 2x 2 − 14x + 24

Как это работает

Разложение квадратного трёхчлена на множители происходит, если вместо коэффициентов квадратного трёхчлена подстáвить теорему Виета и выполнить тождественные преобразования.

Для начала рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена равен единице:

Вспоминаем, что если квадратное уравнение является приведённым, то теорема Виета имеет вид:

Тогда приведённый квадратный трехчлен x 2 + bx + c можно разложить на множители следующим образом. Сначала выразим b из уравнения x₁ + x₂ = −b . Для этого можно умножить обе его части на −1

Переменную c из теоремы Виета выражать не нужно — она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть:

Теперь подставим выраженные переменные b и c в квадратный трёхчлен x 2 + bx + c

Раскроем скобки там где это можно:

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

Из первых скобок вынесем общий множитель x , из вторых скобок — общий множитель −x₂

Далее замечаем, что выражение ( x − x₁ ) является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Но это был случай, когда исходный квадратный трёхчлен является приведённым. В нём коэффициент a равен единице. И соответственно, в формуле разложения такого квадратного трехчлена коэффициент a можно опустить.

Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена не равен единице. Это как раз тот случай, когда в формуле разложения присутствует перед скобками коэффициент a

Вспоминаем, что если квадратное уравнение не является приведённым, то есть имеет вид ax 2 + bx + c = 0 , то теорема Виета принимает следующий вид:

Это потому что теорема Виета работает только для приведённых квадратных уравнений. А чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 стало приведённым, нужно разделить обе его части на a

Далее чтобы квадратный трёхчлен вида ax 2 + bx + c разложить на множители, нужно вместо b и c подставить соответствующие выражения из теоремы Виета. Но в этот раз нам следует использовать равенства и

Для начала выразим b и c . В первом равенстве умножим обе части на a . Затем обе части получившегося равенства умножим на −1

Теперь из второго равенства выразим c . Для этого умножим обе его части на a

Теперь подставим выраженные переменные b и с в квадратный трёхчлен ax 2 + bx + c . Для наглядности каждое преобразование будем выполнять на новой строчке:

Здесь вместо переменных b и c были подставлены выражения −ax₁ − ax₂ и ax₁x₂ , которые мы ранее выразили из теоремы Виета. Теперь раскроем скобки там где это можно:

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

Теперь из первых скобок вынесем общий множитель ax , а из вторых — общий множитель −ax₂

Далее замечаем, что выражение x − x₁ тоже является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Вторые скобки содержат общий множитель a . Вынесем его за скобки. Его можно расположить в самом начале выражения:

Отметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители. Действительно, если не найдены корни квадратного трёхчлена, то нéчего будет подставлять в выражение a(x − x₁)(x − x₂) вместо переменных x₁ и x₂ .

Если квадратный трёхчлен имеет только один корень, то этот корень одновременно подставляется в x₁ и x₂ . Например, квадратный трёхчлен x 2 + 4x + 4 имеет только один корень −2

Тогда значение −2 в процессе разложения на множители будет подставлено вместо x₁ и x₂ . А значение a в данном случае равно единице. Её можно не записывать, поскольку это ничего не даст:

Скобки внутри скобок можно раскрыть. Тогда получим следующее:

При этом если нужно получить короткий ответ, последнее выражение можно записать в виде (x + 2) 2 поскольку выражение (x + 2)(x + 2) это перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен (x + 2)

Примеры разложений

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения. В левой части напишем квадратный трёхчлен 3x 2 − 2x − 1 , а в правой части — его разложение в виде a(x − x₁)(x − x₂) , где вместо a , x₁ и x₂ подстáвим соответствующие значения:

Во вторых скобках можно заменить вычитание сложением:

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Упорядочим члены так, чтобы старший коэффициент располагался первым, средний — вторым, свободный член — третьим:

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

Упростим получившееся разложение. Вынесем за первые скобки общий множитель 3

Теперь воспользуемся сочетательным законом умножения. Напомним, что он позволяет перемножать сомножители в любом порядке. Умножим 3 на вторые скобки. Это позвóлит избавиться от дроби в этих скобках:

Пример 3. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

Пример 4. Найдите значение k , при котором разложение на множители трёхчлена 3x 2 − 8x + k содержит множитель (x − 2)

Если разложение содержит множитель (x − 2) , то один из корней квадратного трёхчлена равен 2 . Пусть корень 2 это значение переменной x₁

Чтобы найти значение k , нужно знать чему равен второй корень. Для его определения воспользуемся теоремой Виета.

В данном случае квадратный трёхчлен не является приведённым, поэтому сумма его корней будет равна дроби , а произведение корней — дроби

Выразим из первого равенства переменную x₂ и сразу подстáвим найденное значение во второе равенство вместо x₂

Теперь из второго равенства выразим k . Так мы найдём его значение.

Пример 5. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Перепишем данный трёхчлен в удобный для нас вид. Если в первом члене заменить деление умножением, то получим . Если поменять местами сомножители, то получится . То есть коэффициент a станет равным

Коэффициент b можно перевести в обыкновенную дробь. Так проще будет искать дискриминант:

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

Задания для самостоятельного решения

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Квадратные уравнения

Решение неполных квадратных уравнений

Выделение полного квадрата

Дискриминант

Разложение квадратного трехчлена на множители

Формула для корней квадратного уравнения

Прямая и обратная теоремы Виета

Квадратным трёхчленом относительно переменной x называют многочлен

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

Квадратным уравнением относительно переменной x называют уравнение

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

Полным квадратным уравнением относительно переменной x называют уравнение

где a, b и c – произвольные вещественные числа, отличные от нуля.

Неполными квадратными уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:

Решение неполных квадратных уравнений

Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения на примерах.

Пример 1 . Решить уравнение

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Вынося в левой части уравнения (3) переменную x за скобки, перепишем уравнение в виде

Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда, или первый сомножитель равен нулю, или второй сомножитель равен нулю, то из уравнения (4) получаем:

Ответ : .

Пример 3 . Решить уравнение

Ответ : .

Пример 4 . Решить уравнение

Решение . Поскольку левая часть уравнения (5) положительна при всех значениях переменной x , а правая часть равна 0, то уравнение решений не имеет.

Ответ : .

Выделение полного квадрата

Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:

Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:

Формула (6) получена.

Дискриминант

Дискриминантом квадратного трёхчлена (1) называют число, которое обозначается буквой D и вычисляется по формуле:

Дискриминант квадратного трёхчлена играет важную роль, и от того, какой знак он имеет, зависят различные свойства квадратного трёхчлена.

Используя дискриминант, формулу (6) можно переписать в виде

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Утверждение . В случае, когда , квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда D , квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

Доказательство . В случае, когда D = 0 , формула (8) и является разложением квадратного трехчлена на линейные множители:

В случае, когда D > 0 , выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов»:

Таким образом, в случае, когда D > 0 , разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид

В случае, когда D , выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), является суммой квадратов и квадратный трёхчлен на множители не раскладывается.

Замечание . В случае, когда D , квадратный трехчлен всё-таки можно разложить на линейные множители, но только в области комплексных чисел, однако этот материал выходит за рамки школьного курса.

Формула для корней квадратного уравнения

Из формул (9) и (10) вытекает формула для корней квадратного уравнения .

Действительно, в случае, когда D = 0 , из формулы (9) получаем:

Следовательно, в случае, когда D = 0 , уравнение (1) обладает единственным корнем, который вычисляется по формуле

В случае, когда D > 0 , из формулы (10) получаем:

Таким образом, в случае, когда D > 0 , уравнение (1) имеет два различных корня , которые вычисляются по формулам

Замечание 1 . Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:

Замечание 2 . В случае, когда D = 0 , обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда D = 0 , квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня , вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:

Замечание 3 . В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов», корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.

В случае, когда D = 0 , разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):

ax 2 + bx + c = = a (x – x1) 2 .

(16)

В случае, когда D > 0 , разложение квадратного трехчлена на линейные множители (10) с помощью формул (12) и (13) переписывается так:

ax 2 + bx + c = = a (x – x1) (x – x2) .

(17)

Замечание 4 . В случае, когда D = 0 , корни x₁ и x₂ совпадают, и формула (17) принимает вид (16).

Прямая и обратная теоремы Виета

Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части формулы (17), получаем равенство

Отсюда, поскольку формула (17) является тождеством, вытекает, что коэффициенты многочлена

равны соответствующим коэффициентам многочлена

Таким образом, справедливы равенства

следствием которых являются формулы

Формулы (18) и составляют содержание теоремы Виета (прямой теоремы Виета) .

Словами прямая теорема Виета формулируется так: — «Если числа x₁ и x₂ являются корнями квадратного уравнения (1), то они удовлетворяют равенствам (18)».

Обратная теорема Виета формулируется так: — «Если числа x₁ и x₂ являются решениями системы уравнений (18), то они являются корнями квадратного уравнения (1)».

Для желающих ознакомиться с примерами решений различных задач по теме «Квадратные уравнения» мы рекомендуем наше учебное пособие «Квадратный трехчлен».

Графики парабол и решение с их помощью квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.

Как решать квадратные уравнения

О чем эта статья:

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

• если D 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

• x 2 — 2x + 6 = 0
• x 2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

• 2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:

Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0. Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0. Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0. Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений: ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0; ax 2 + c = 0, при b = 0; ax 2 + bx = 0, при c = 0. Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам. Как решить уравнение ax 2 = 0 Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0. Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0. Пример 1. Решить −6x 2 = 0. Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль. По шагам решение выглядит так: Как решить уравнение ax 2 + с = 0 Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный. Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами. Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0: перенесем c в правую часть: ax 2 = — c, разделим обе части на a: x 2 = — c/а. Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи. Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней. Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое: не имеет корней при — c/а 0. В двух словах Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0. Перенесем свободный член в правую часть: Разделим обе части на 8: В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней. Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней. Как решить уравнение ax 2 + bx = 0 Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0. Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение: Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня: Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0 Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0. Решить линейное уравнение: 0,5x = 0,125, х = 0,125/0,5 Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25. Ответ: х = 0 и х = 0,25. Как разложить квадратное уравнение С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так: Формула разложения квадратного трехчлена Если x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2). Дискриминант: формула корней квадратного уравнения Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так: где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения. Эта запись означает: Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться. Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни. В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней. Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0: вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac; если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет; если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a; если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться! Примеры решения квадратных уравнений Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике. Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0. Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0 Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень Найдем корень Ответ: единственный корень 3,5. Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0. Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1 Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую Ответ: два корня 3 и — 3. Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0. Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители Ответ: два корня 0 и 1. Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39. Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую Ответ: два корня 7 и −7. Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0. Найдем дискриминант по формуле D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112 Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет. Ответ: корней нет. В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся. Формула корней для четных вторых коэффициентов Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула. Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней: 2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″> Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D1. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид: где D1 = n 2 — ac. Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения. Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно: вычислить D1= n 2 — ac; если D1 0, значит можно найти два действительных корня по формуле Формула Виета Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену. Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства: Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам. Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0. Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре: Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит: Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента: 2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″> Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное. 2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″> Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется: 2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″> Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения: Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она: Обратная теорема Виета Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0. Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение. Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0. Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8. 2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″> Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы. Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже. Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам: Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p> Упрощаем вид квадратных уравнений Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту. Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0. Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100. Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов. Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто. А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0. Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0. Связь между корнями и коэффициентами Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты: Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами. Например, можно применить формулы из теоремы Виета: Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3. Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты: источники: http://www.resolventa.ru/spr/algebra/kv.htm http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-reshat-kvadratnye-uravneniya

Содержание:

Квадратные уравнения

В предыдущих классах вы уже научились составлять и решать уравнения, но лишь простейшие, к которым сводятся относительно несложные задачи. Для решения более сложных задач используют квадратные уравнения. Изучив эту тему, вы сможете решать прикладные задачи из разных отраслей знаний.

В этой главе вы узнаете, что такое:

• неполные квадратные уравнения;
• формула корней квадратного уравнения;
• теорема Виета;
• разложение квадратного трёхчлена на множители.

Неполные квадратные уравнения

Пример:

Одно из двух чисел больше другого на 6, а их произведение равно 112. Найдите эти числа.

Решение:

Обозначим меньшее искомое число буквой х. Тогда большее число равно х + 6. Их произведение — 112. Следовательно,

х(х + 6) = 112, или х² + 6х- 112 = 0.

Это уравнение второй степени с одной переменной. Такие уравнения называют также квадратными.

Квадратным называют уравнение вида ах² + bх + c = 0, где х — переменная, а, b, с — данные числа, причём

Числа а, b, с — коэффициенты квадратного уравнения: а — первый коэффициент, b — второй, с — свободный член.

По определению, первый коэффициент квадратного уравнения не может быть равен нулю. Если хотя бы один коэффициент (b или с) равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1) ах² = 0; 2) ах² + bх = 0; 3) ах² + с = 0.

1. Уравнение вида ах² = О равносильно уравнению х² = 0, и поэтому всегда имеет только один корень х = О.

2. Уравнение вида ах² + bх = 0 равносильно уравнению х(ах + b) = 0 и всегда имеет два корня: х₁ = 0, х₂ =

Пример:

Решите уравнение 5х² + 4х = 0.

Решение:

Вынесем переменную х за скобки: х(5х + 4) = 0. Следовательно, х = О, или 5х + 4 = 0,отсюда х = -0,8. О т в е т. х₁ = 0, х₂ = -0,8.

3. Квадратное уравнение вида ах² + с = О равносильно уравнению х² = . Если > 0 , то оно имеет два решения: если <0 — ни одного решения.

Пример:

Решите уравнение 4х² -3 = 0.

Решение:

Преобразуем данное уравнение: 4х^₂ = 3, , х — число, квадрат которого равен , то есть квадратный корень из числа . Таких корней два: и . Ответ. . Если знаки коэффициентов а и с разные, то число положительное, и уравнение имеет два корня. Если знаки коэффициентов а и с одинаковы, то число — отрицательное. Следовательно, уравнение ах² + с = 0 не имеет корней.

Хотите знать ещё больше?

Некоторые квадратные уравнения (полные) можно решать приведением их к неполным квадратным уравнениям. Например, по формуле квадрата двучлена, уравнение х² — 2х + 1 = 0 можно представить в виде (х — 1)² = 0 и решить так: (х-1)² равно нулю лишь в том случае, если х — 1 = 0, то есть х = 1.

Таким способом можно решить любое квадратное уравнение, выразив его левую часть в виде квадрата двучлена.

Например, .

Выполним вместе!

Пример:

Решите квадратное уравнение: а) Зх² — 6х = 0; б) 2у² -72 = 0.

Решение:

а) Зх² — 6х = 0; Зх(х — 2) = 0; х₁ = 0; х-2 = 0; х₂ = 2.

б) 2у² -72 = 0; 2(у² 36)-0; у²— 36 — 0; y₁ = 6; y₂ = -6. Ответ. a) x₁ = 0, х₂ = 2; б)у₁=6, у₂ =-6.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

, , , отсюда х₁ = -20, х₂ = 20.

При этих значениях х знаменатель не равен нулю. Следовательно, х₁ = — 20, х₂ = 20 — корни уравнения. О т в е т. х₁ = — 20, х₂ = 20 .

Формула корней квадратного уравнения

Решим уравнение х² + 6х-112=0, которое мы составили по условию задачи.

Решение:

Если к выражению х² + 6х прибавить 9, то получим квадрат двучлена х + 3. Поэтому данное уравнение равносильно уравнению х² + 6х + 9-9-112=0, или (х + 3)² = 121. Следовательно, х + 3 = 11, отсюда х = 8; или х + 3 = -11, отсюда х = -14. Ответ. х₁ = 8, х₂ = -14.

Такой способ решения квадратного уравнения называют способом выделения квадрата двучлена.

Решим этим способом уравнение 5х² — 2х — 3 = 0.

Чтобы первый его член стал квадратом одночлена с целым коэффициентом, умножим обе части данного уравнения на 5: 25х² -10х — 15=0, 25х²-2 ^. 5х + 1 — 1 — 15 = 0, (5х- 1)² = 16.

Следовательно, 5х — 1 = 4, отсюда 5х = 5, х = 1; или 5х — 1 = — 4, отсюда 5х = — 3, х = — 0,6. От в е т. х₁ = 1, х₂ = -0,6.

Решим таким способом уравнение ах² + bх + с = 0.

Умножим обе части уравнения на 4а (помним, что ):

4а²х² + 4ах^.b + 4ас = 0,

(2ах)² + 2 ^. 2ах ^. b + b² — b² + 4ас = 0,

(2ах + b)² = b² — 4ас.

Выражение b² — 4ас называют дискриминантом (от латинскогоdiscriminans — различающий) данного квадратного уравнения и обозначают буквой D.

Если D < 0, то данное уравнение не имеет корней: не существует такого значения х, при котором значение выражения (2ах + b)² было бы отрицательным.

Если D = 0, то 2ах + и = 0, отсюда х = — единственный корень. Если D > 0, то данное квадратное уравнение равносильно уравнению , отсюда

или

В этом случае уравнение имеет два корня, они отличаются только знаками перед . Кратко их записывают так: , где .

Это формула корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0. Пользуясь ею, можно решить любое квадратное уравнение.

Пример:

Решите уравнение: а) Зх² — 5х + 2 = 0; б) х² + 6х + 9 = 0; в) 5х² — х + 1 = 0.

Решение:

a) D = 25 — 24 = 1, D > 0,

;

б) D = 36-36 = 0,

;

в) D =1 — 20 = -19, D < 0. Уравнение корней не имеет.

Ответ. а)х₁ = 1, х₂= ; б) х = -3: в) уравнение корней не имеет. Формулу корней квадратного уравнения применяют при решении многих уравнений, которые-сводятся к квадратным.

Пример:

Решите уравнение: а) 4х⁴ — 9х² +5=0; б) (Зх² — x — 3)(3х² — х + 5) = 9.

Решение:

Такие уравнения удобно решать путём введения вспомогательной переменной.

a) 4x⁴ — 9x² + 5 = 0. Пусть x² — t, тогда x⁴ = t², получим уравнение относительно переменной t: 4x² — 9x²+ 5 = 0, D = (-9)² — 4 ^.4 ^.5 = 81 — 80 = 1, D > 0,

/

Вернёмся к переменной x: l) x² = l, x_l=-l, x₂=l;

2)

Уравнение вида ax⁴ + bx² + c=0 называют биквадратным. б) (Зх² — х — 3)(3х² — х + 5) = 9. Пусть 3х² — х = t, тогда относительно переменной t получим уравнение: (t — 3)(t + 5) = 9, t² + 2t — 15 = 9, t² + 2t — 24 = 0, D= 4^. 4 (-24) = 4 + 96 — 100, D > 0,

.

1)3х²-х=-6,Зх²-х + 6-0, D = (-1)²-4^. 3^. 6=-71, D<0, следовательно, это уравнение корней не имеет. 2 ) Зх² — х = 4, Зх² — х — 4 — О, х₁ = -1, х₂ = . Ответ. а) х₁ = -1, х₂ = 1, х_³ = , х₄ = ; б) x₁ = -1, x₂ = .

Хотите знать ещё больше?

Формулу корней уравнения ах² + bх + с = 0 можно записать и в таком виде:

.

Если второй коэффициент уравнения — чётное число, то есть уравнение имеет вид ах² + 2kx + с = 0, то

.

Если первый коэффициент квадратного уравнения равен 1, то такое уравнение называют приведённым. Приведённое квадрат ное уравнение имеет вид х² + рх + q = 0, Формула его корней:

.

Выведите эти формулы из основной формулы корней квадратного уравнения.

Выполним вместе!

Пример:

Приведите уравнение (х — 4)(2х + 1) = Зх(х — 1) к квадратному и найдите его корни.

Решение:

(х- 4)(2х 4-1) = Зх(х-1). Раскроем скобки и сведём подобные слагаемые: 2х² — 8х + х — 4 = 3х² — 3х,

Зх² — 2х² — 3х + 8х — х + 4 = 0, х² +4х +4 = 0.

Решим полученное уравнение, принимая во внимание, что в его левой части — квадрат двучлена: х² + 2 ^. х ^. 2 + 2² = (х +2)². Следовательно, (х +2)² — 0, отсюда х + 2 = 0, х = -2.

Ответ. х = -2.

Пример:

Решите дробное рациональное уравнение:

Решение:

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, х² — 5х + 6 = 0:

D=25-4^.6=1, , х₁ =2, х₂ =3. Данное уравнение эти значения не удовлетворяют, поскольку при х = 2 знаменатель первой дроби равен 0, а при х = 3 знаменатель второй дроби равен 0. Ответ. Уравнение корней не имеет.

Теорема Виета

Квадратное уравнение называют приведённым, если первый его коэффициент равен единице. В таблице — примеры трёх приведённых квадратных уравнений, их корни, а также суммы и произведения корней:

Сравните сумму корней каждого приведённого квадратного уравнения с его вторым коэффициентом, а произведение корней — со свободным членом.

Теорема Виета: Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня, то их сумма равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену.

Доказательство. Если уравнение х² + рх + q = 0 имеет корни х₁ и х₂, то их можно найти по формулам:

где D = р² — 4q — дискриминант уравнения.

Сложим и перемножим эти корни:

Итак, x₁ + х₂ =— р, x₁ ^. х₂ = q, что и требовалось доказать. Примечание. Если р² — 4q = 0, то уравнение х²+ рх + q = 0 имеет один корень .

Формулы (*) в этом случае дают и Поэтому часто считают, что данное уравнение имеет два равных корня. Теорема Виета верна и для этого случая, поскольку

Каждое квадратное уравнение вида равносильно приведённому квадратному уравнению Если такое уравнение имеет корни х₁ и х₂,то

Теорема (обратная теореме Виета). Если сумма m и n произведение чисел тип равны соответственно — р и q, то m и n тип — корни уравнения х² + рх + q =0.

Доказательство. Пусть m + n =-р и m ^. n =q. При данных условиях уравнение х² + рх 4 q = 0 равно сильно уравнению х² — (m + n)х + m n = 0.

Подставим в это уравнение вместо переменной х числа m и n:

m² — (m +n)m + mn = m² — m² — nm + mn= 0,

n² — (m +n)n+ mn = n² — mn — n² +mn = 0.

Итак, m и n — корни данного уравнения, что и требовалось доказать. Из теоремы Виета следует: если р и q — целые числа, то целые решения уравнения х² + рх + q= 0 — это делители числа q. Пользуясь обратной теоремой, можно проверить, является та или другая пара чисел корнями приведённого квадратного уравнения. Это даёт возможность устно решать такие уравнения.

Пример:

Решите уравнение х² + 12х + 11 = 0.

Решение:

Если уравнение имеет целые корни, то их произведение равно 11. Это могут быть числа 1 и 11 либо — 1 и -11. Второй коэффициент уравнения положительный, поэтому корни отрицательные. Ответ. х₁ = -1, х₂ = -11.

Хотите знать ещё?

Теорема Виета верна не толоко для приведённого квадратного уравнения, но и для уравнений высших степеней Например, если уравнение третьей степени х³+4ах² +bх + с = 0 имеет корни х₁, х₂ и х₃, то

x₁+x₂+x₃=-a

x₁x₂+x₁x₃₊x₂x₃=b

x₁x₂x₃ = — c.

Если такое уравнение с целыми коэффициентами имеет целые решения, то они являются делителями свободного члена.

Выполним вместе!

Пример:

Найдите сумму и произведение корней уравнения:

а) х² + х-6 = 0; б)х2 + 2х + 3 = 0.

Решение:

а) D=1 +24 >0. Корни существуют, поэтому x₁ + х₂ = -1; x₁ ^. х₂ = -6;

б) D= 4-12<0. Корней не существует. Ответ. а)х1 + х2 = -1,х1 -х2 = -6; б) корней не существует.

Пример:

При каких значениях m произведение корней уравнения х² + 8х + m — 7 = 0 равно 3?

Решение:

m-7 = 3, m = 10. Ответ. m = 10.

Пример:

Не решая уравнение х² — 4х + 1 = 0, найдите сумму квадратов его корней.

Решение:

D = 16 — 4 > 0. Корни существуют. x₁ + х₂ = 4; х₁ ^.х₂ = 1;

(x₁ + x₂)² = 16; x²₁+2x₁x₂+x²₂ =16;

х¹₂ +2^. 1+x²₂ =16; x²₁ +x²₂ =16-2, х²₁ +х²₂ =14.

Ответ. x²₁+x²₂=14.

Квадратный трёхчлен

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида ах² + bх+ с, где х — не ременная, a, b, c — данные числа, причём .

Переменную квадратного трёхчлена можно обозначить любой буквой. Примеры квадратных трёхчленов:

Если квадратный трёхчлен приравнять к нулю, то получим квадратное уравнение. Его корни и дискриминант называют соответственно корнями и дискриминантом данного квадратного трёхчлена. Например, дискриминант и корни квадратного трёхчлена 5х² — 7х — 6 равны соответственно 169, 2 и , поскольку это дискриминант и корни уравне ния 5х² — 7х — 6 = 0.

Из теоремы Виета следует правило разложения квадратных трёхчленов на множители.

Если m и n — корни уравнения x²+ рх + q = 0, то х² + рх + q = (х-m)(х — n).

Поскольку х² + рх + q = х² — (m -n)х 4+mn = х² — mх — nх 4- mn = (y- m )(х — n).

Пример:

Разложите на множители трёхчлен: х²+4х- 21.

Решение:

а) Корни уравнения х²+4х- 21=0 равны 3 и -7. Поэтому

х²+ 4х — 21 =(х- 3)(х +7).

Ответ.(х- 3)(х +7).

Верна и такая теорема.

Если корни квадратного трёхчлена ах² + bх + с равны m и n, то его можно разложить на множители:

ах² +bх + с = а(х — m)(х — n).

Доказательство:

. Следовательно, корни m и n трёхчлена ах²+bx+c также являются корнями уравнения . По теореме Виета,

Поэтому

Например, если нужно разложить на множители трёхчлен Зх²+5х-2, то решаем уравнение Зх²+5х-2-0. Его дискриминант D = 25+24= 49, поэтому

Следовательно,

Ответ можно записать и так;

Зх²+ 5х 2 = (Зх 1 )(х+ 2).

Разложение квадратных трёхчленов на множители применяется при сокращении дробей, приведении их к общему знаменателю и т. д. Например, чтобы сократить дробь сначала следует разложить ее числитель и знаменатель на множители. Поскольку

Каждый квадратный трёхчлен ах² + bх + c можно представить в виде а(х-k)²+ р, где k и р некоторые числа. Такое преобразование называют выделением квадрата двучлена. Как выполнить подобное преобразование, покажем на примере. Чтобы выделить из квадратного трёхчлена 2х² — 12х + 25 квадрат двучлена, сначала вынесем за скобки множитель 2:

Одночлен 6х представим в виде произведения 2 ^. Зх, прибавим к нему 9 и отнимем 9:

В результате имеем: 2х² — 12х + 25 = 2 (х — 3)² + 7.

Выделение квадрата двучлена даёт возможность решать задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения квадратного трёхчлена. Например, чтобы найти, при каком значении х значение выражения 2х² -12х + 25 наименьшее, выделим из него квадрат двучлена:

2х²— 12x+25 =2(х-3)² + 7.

Второе слагаемое полученной суммы — число 7, а первое имеет наименьшее значение, если равно 0, то есть х=3. Следовательно, трёхчлен 2х²— 12x+25 имеет наименьшее значение 7. если х = 3.

Хотите знать ещё больше?

Если квадратный трёхчлен имеет дробные корни, го при разложении его на линейные множители желательно первый коэффициент этого трёхчлена «внести в скобки» Например:

Выполним вместе!

Пример:

Найдите значение функции при х = 2008.

Решение:

Числитель формулы разложим на множители:

Если х = 2008, то у = 2008 — 1 = 2007. О т в е т. у = 2007.

Решение задач составлением квадратных уравнений

С помощью квадратных уравнений можно упростить решение многих задач.

Пример:

Найдите два числа, произведение и среднее арифметическое которых равны соответственно 108 и 10,5.

Решение:

Если среднее арифметическое двух чисел равно 10,5, то их сумма в 2 раза больше, то есть 21. Пусть одно из искомых чисел х, тогда другое равно 21-х.

Имеем уравнение:

х(21 — х) = 108, или х² — 21х + 108 = 0.

Решим это уравнение: D = 21² — 4^. 108 = 9,

Если х = 9, то 21 — х = 12; если х = 12, то 21 — х = 9.

Ответ. 9 и 12.

Пример:

Собственная скорость моторной лодки — 18 км/ч. Расстояние 12 км по течению реки она проходит на 9 мин быстрее, чем против течения. Найдите скорость течения реки.

Решение:

9 мин = 0,15 ч. Если скорость течения реки равна х км/ч, то скорость лодки по течению составляет (18 + х) км/ч, а против течения — (18 — х) км/ч. Расстояние 12 км по течению она проходит за ч, а против течения — за ч. Имеем уравнение:

или

отсюда 4(18 + х) — 4(18 — х) — 0,05(18 — х)(18 + х) = 0,

х² + 160х — 324 = 0, D = 160² + 4^.324 = 26 896.

Задачу удовлетворяет только положительный корень. Ответ. 2 км/ч.

Пример:

На плоскости n точек расположены таким образом, что никакие три из них не лежат на одной прямей. Если любую из этих точек соединить отрезком со всеми другими, то получим 351 отрезок. Найдите число n.

Решение:

Из одной точки выходит n — 1 отрезков, из всех n данных точек — n(n — 1) отрезков. При этом каждый отрезок повторяется дважды, поскольку имеет два конца. Следовательно, всего отрезков

Имеем уравнение:

Решим это уравнение: D = 1 + 4 ^.702 = 2809, отсюда n₁= 27, n₂ = -26. Отрицательный корень задачу не удовлетворяет.

Ответ. n = 27

Хотите знать ещё больше?

В задачах кроме числовых данных иногда бывают и параметры. В этом случае решение желательно дополнить соответствующими исследованиями — указать, какие значения могут принимать параметры. Например, решим такую задачу.

Пример:

Найдите стороны равнобедренного треугольника, если известно, что две его неравные высоты равны а и b.

Решение:

Обозначим стороны треугольника буквами: АС = АВ = х, СВ = у (рис. 62).

Рис. 62

Воспользуемся теоремой Пифагора и формулой для вычисления площади треугольника и составим систему

Вычислим из второго уравнения с, подставим его в первое и получим:

Тогда .

Следовательно,

Исследование. В полученных значениях x и у под знаком корня имеем разность 4а² — b², которая должна быть положительной, что возможно только при b < 2а.

Следовательно, данное решение задачи верно не при любых положительных а и b, а лишь при b < 2а.

Далее. Мы рассмотрели случай, когда на основание y и опущена высота а. Но для этих же значений а и b возможен иной вариант (рис. 63). Имеем:

отсюда

В этом случае а < 2b. Ответ. Если a < 2b < 4а, то задача имеет два решения:

Если , тo задача имеет одно решение

Если , тo задача имеет также одно решение

Выполним вместе!

Пример:

Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 509.

Решение:

Пусть искомые числа: х -1, х, х + 1. Тогда имеем уравнение: (х — 1)² + х² + (х + 1)² =509. Решим его.

Раскроем скобки и сведём подобные слагаемые: х² -2х + 1+ х²+ х²+2х+1- 509=0,.

3х²-507=0, отсюда х² =169, х₁= 13, х₂=- 13

= 0, отсюда х2 — 169, х, 13, х . = 13. Следовательно, два других числа: 12, 14 или -12, 14. Ответ. 12, 13, 14 или 12. -13, II.

Следовательно, два других числа: 12,14 или -12, -14.

Ответ. 12,13,14 или -12, 13, 14.

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Квадратные уравнения простейших видов вавилонские математики умели решать ещё 4 тыс. лет тому назад. Со временем их решали также в Китае и Греции. Особое внимание квадратным уравнениям уделил Мухаммед аль-Хо-резми (IX в.). Он показал, как решать (при положительных а и b) уравнения видов х² + ах = b, х² + а = bх, ах + b = х², не используя каких-либо выражений, даже числа записывал словами. Например, уравнение х² + 21 = 10х учил решать так: «Раздели пополам корни, получится пять, и умножь это на равное ему — будет двадцать пять, и отними от этого двадцать один, то останется четыре, добудь из этого корень, будет два, и отними это от половины корней, то есть от пяти, — останется три; это и будет корень, который ты ищешь». Отрицательных корней тогда не вычисляли. Индийские учёные в решении этого вопроса пошли дальше. Они находили также отрицательные корни квадратных уравнений. Например, Бхаскара (1114 -1178), решая уравнение х² — 45х = 250, находит два корня: 50 и 5. И только после этого делает замечание: «Второе значение в данном случае не следует брать, люди ведь не воспринимают отрицательных абстрактных чисел». Алгебраические задачи на составление уравнений индийские учёные записывали в стихотворной форме и рассматривали их как особый вид искусства. Они объясняли: «Как солнце затмевает звёзды своим светом, так и человек учёный способен затмить славу других на народных собраниях, предлагая алгебраические задачи и, тем более, решая их». Формулы корней квадратного уравнения вывел Франсуа Виет (1540—1603). Теорему, впоследствии названную его именем, учёный сформулировал так: «Если (В + В) А -А² равно BD, то А равно В и равно В». Отрицательных корней он не рассматривал. Современные способы решения квадратных уравнений появились благодаря научным трудам Рене Декарта (1596— 1650) и Исаака Ньютона (1643—1727).

ОСНОВНОЕ В ГЛАВЕ

Уравнение — это равенство, которое содержит неизвестные числа, обозначенные буквами. Числа, удовлетворяющие уравнению, — его решения (или корни). Решить уравнение означает найти все его решения либо показать, что их не существует. Два уравнения называют равносильными, если каждое из них имеет те же решения, что и другое. Уравнения, не имеющие решений, также считают равносильными друг другу. Квадратным называют уравнения вида ах² + bх + с = 0, где х — переменная, а, b, с — данные числа, причём . Выражение D = b² — 4ас — его дискриминант. Если , то данное уравнение имеет два корня: Если D — 0, то эти корни равны. Если D < 0, то такое квадратное уравнение не имеет действительных корней. Если необходимо, например, решить квадратное уравнение 2х² + 9х — 5 = 0, то находим его дискриминант: D = 9² — 4^.2 ^.(-5) =121. Поэтому корни уравнения:

Квадратное уравнение называют неполным, если хотя бы один его коэффициент, кроме первого, равен нулю. Уравнение: ах² = 0 имеет единственный корень: х = 0;

ax² = 0 имеет единственный корень: х = 0; ах² +bх = 0 имеет два корня: х₁ = 0, х₂=; ах² + с = 0 имеет два корня: , если с : а < 0, и ни одного, если с • а > 0.

Квадратное уравнение называют приведенным, если его первый коэффициент равен единице. Если уравнение х² + рх + q = 0 имеет два корня, то

Теорема Виета Если приведённое квадратное уравнение х² +рх + q = 0 имеет два корня, то их сумма равна р, а произведение — q.

Квадратные уравнения

• Изучив материал этого параграфа, вы научитесь решать уравнения вида
• Ознакомитесь с теоремой Виета для квадратного уравнения.
• Овладеете приемами решения уравнений, сводящихся к квадратным.

Вы умеете решать линейные уравнения, то есть уравнения вида , где — переменная, и — некоторые числа.

Если то уравнение называют уравнением первой степени.

Например, каждое из линейных уравнений

является уравнением первой степени. А вот линейные уравнения не являются уравнениями первой степени.

Числа и называют коэффициентами уравнения первой степени .

То, что множество уравнений первой степени является подмножеством множества линейных уравнений, иллюстрирует схема на рисунке 34.

Вы также умеете решать некоторые уравнения, содержащие переменную во второй степени. Например, готовясь к изучению новой темы, вы решили уравнения (упражнение 589). Каждое из этих уравнений имеет вид

Определение: Квадратным уравнением называют уравнение вида где — переменная, — некоторые числа, причем

Числа и называют коэффициентами квадратного уравнения. Число называют первым или старшим коэффициентом, число — вторым коэффициентом, число — свободным членом.

Например, квадратное уравнение имеет следующие коэффициенты:

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

Например, — это приведенные квадратные уравнения.

Поскольку в квадратном уравнении старший коэффициент не равен нулю, то неприведенное квадратное уравнение всегда можно преобразовать в приведенное, равносильное данному. Разделив обе части уравнения на число получим приведенное квадратное уравнение

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Существует три вида неполных квадратных уравнений.

1. При имеем:
2. При и имеем:
3. При и имеем:

Решим неполные квадратные уравнения каждого вида.

1. Поскольку то уравнение имеет единственный корень
2. Уравнение представим в виде Это уравнение имеет два корня и один из которых равен нулю, а другой является корнем уравнения первой степени Отсюда и
3. Уравнение представим в виде Поскольку то возможны два случая: или Очевидно, что в первом случае уравнение корней не имеет. Во втором случае уравнение имеет два корня: и

Обобщим полученные результаты:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

При имеем: Отсюда

или Но корень не удовлетворяет условию

При имеем: Отсюда Последнее уравнение не имеет корней.

Ответ: 2.

Формула корней квадратного уравнения

Зная коэффициенты и уравнения первой степени можно найти его корень по формуле

Выведем формулу, позволяющую по коэффициентам и квадратного уравнения находить его корни.

Имеем:

(1)

Поскольку то, умножив обе части этого уравнения на 4а, получим уравнение, равносильное данному:

Выделим в левой части этого уравнения квадрат двучлена:

(2)

Существование корней уравнения (2) и их количество зависят от знака значения выражения Это значение называют дискриминантом квадратного уравнения и обозначают буквой то есть Термин «дискриминант» происходит от латинского слова discriminare, что означает «различать», «разделять».

Теперь уравнение (2) можно записать так:

(3)

Возможны три случая:

1. Если то уравнение (3), а следовательно, и уравнение (1) корней не имеет. Действительно, при любом значении выражение принимает только неотрицательные значения.

Вывод: если то квадратное уравнение корней не имеет.

2. Если то уравнение (3) принимает вид

Отсюда

Вывод: если то квадратное уравнение имеет один корень

3. Если то уравнение (3) можно записать в виде

Отсюда или Тогда или

Вывод: если то квадратное уравнение имеет два корня и

Применяют также краткую форму записи:

Эту запись называют формулой корней квадратного уравнения

Полученную формулу можно применять и в случае, когда Имеем:

При решении квадратных уравнений удобно руководствоваться следующим алгоритмом:

Если второй коэффициент квадратного уравнения представить в виде то можно пользоваться другой формулой, которая во многих случаях облегчает вычисления.

Рассмотрим квадратное уравнение Найдем его дискриминант: Обозначим выражение через

Если то по формуле корней квадратного уравнения получаем:

то есть

где

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) Для данного уравнения

Дискриминант уравнения

Следовательно,

Ответ:

2) Имеем:

Следовательно, данное уравнение имеет один корень:

Заметим, что данное уравнение можно решить другим способом. Умножив обе части уравнения на —2, получаем:

Отсюда

Ответ: 2.

3)

Уравнение имеет два корня:

Ответ можно записать одним из двух способов:

или

4) Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

5) Представим данное уравнение в виде и применим формулу корней для уравнения вида

Ответ:

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) Имеем:

При получаем уравнение которое имеет

корни —8 и 2, однако корень —8 не удовлетворяет условию

При получаем уравнение которое имеет корни —2 и 8, однако корень 8 не удовлетворяет условию

Ответ: —2; 2.

2) Поскольку при то искомые корни должны удовлетворять двум условиям одновременно: и В таком случае говорят, что данное уравнение равносильно системе

Уравнение имеет корни —2 и 12, но корень —2 не удовлетворяет условию

Ответ: 12.

3) Данное уравнение равносильно системе Отсюда

Ответ:

Пример:

При каком значении имеет единственный корень уравнение:

Решение:

1) Данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю. Имеем:

Ответ: или

2) При получаем линейное уравнение имеющее один корень.

При данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю:

Имеем: отсюда или

Ответ: или или

Несколько поколений учителей математики приобретали педагогический опыт, а их учащиеся углубляли свои знания, пользуясь чудесной книгой «Квадратные уравнения» блестящего украинского педагога и математика Николая Андреевича Чайковского. Н. А. Чайковский оставил значительное научное и педагогическое наследие. Его труды известны далеко за пределами Украины.

Теорема Виета

Готовясь к изучению этого пункта, вы выполнили упражнения 677, 678. Возможно, эти упражнения подсказали вам, каким образом сумма и произведение корней квадратного уравнения связаны с его коэффициентами.

Теорема: (теорема Виета). Если и — корни квадратного уравнения то

Доказательство: Условием теоремы предусмотрено, что данное квадратное уравнение имеет корни. Поэтому его дискриминант не может быть отрицательным.

Пусть Применив формулу корней квадратного уравнения, запишем:

Имеем:

Пусть В этом случае считают, что Имеем:

Следствие. Если и — корни приведенного квадратного уравнения то

Иными словами, сумма корней приведенного квадратного уривнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Теорема: (обратная теореме Виета). Если числа и таковы, что и то эти числа являются корнями квадратного уравнения

Доказательство: Рассмотрим квадратное уравнение Преобразуем его в приведенное:

Французский математик, по профессии юрист. В 1591 г. ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений, благодаря чему стало возможным выражать свойства уравнений и их корни общими формулами. Среди своих открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений.

Согласно условию теоремы это уравнение можно записать так: (*)

Подставим в левую часть этого уравнения вместо сначала число а затем число Получим:

Таким образом, числа и являются корнями уравнения (*), а следовательно, и корнями квадратного уравнения

Следствие. Если числа и таковы, что и то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения

Это следствие позволяет решать некоторые квадратные уравнения устно, не используя формулу корней квадратного уравнения.

Пример:

Найдите сумму и произведение корней уравнения

Решение:

Выясним, имеет ли данное уравнение корни. Имеем: Следовательно, уравнение имеет два корня и

Тогда по теореме Виета

Пример:

Найдите коэффициенты и уравнения если его корнями являются числа —7 и 4.

Решение:

По теореме Виета

Пример:

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны: 1) 4 и ; 2) и .

Решение:

1) Пусть и

Тогда По теореме, обратной теореме Виета, числа и являются корнями уравнения Умножив обе части этого уравнения на 7, получаем квадратное уравнение с целыми коэффициентами:

2) Пусть и

Тогда

Следовательно, и являются корнями уравнения Отсюда искомым является уравнение

Пример:

Известно, что и — корни уравнения

Не решая уравнения, найдите значение выражения

Решение:

По теореме Виета

Тогда имеем:

Ответ:

Пример:

Число 4 является корнем уравнения Найдите второй корень уравнения и значение

Решение:

Пусть и — корни данного уравнения, причем По теореме Виета Тогда Имеем:

Ответ:

Пример:

Составьте квадратное уравнение, корни которого на 4 больше соответствующих корней уравнения

Решение:

Пусть и — корни данного уравнения, и — корни искомого уравнения.

По условию

По теореме Виета

Тогда имеем:

Следовательно, по теореме, обратной теореме Виета, искомым является уравнение

Ответ:

Квадратный трехчлен

Определение: Квадратным трехчленом называют многочлен вида где — переменная, и — некоторые числа, причем

Приведем примеры многочленов, являющихся квадратными трехчленами:

Заметим, что левая часть квадратного уравнения является квадратным трехчленом.

Определение: Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при котором значение квадратного трехчлена равно нулю.

Например, число 2 является корнем квадратного трехчлена

Чтобы найти корни квадратного трехчлена надо решить соответствующее квадратное уравнение

Значение выражения называют дискриминантом квадратного трехчлена

Если то квадратный трехчлен корней не имеет. Если то квадратный трехчлен имеет один корень, если — то два корня.

Рассмотрим квадратный трехчлен Разложим его на множители методом группировки (подобное упражнение, 724, вы выполняли при подготовке к изучению этого пункта).

Имеем:

О таком тождественном преобразовании говорят, что квадратный трехчлен разложили на линейные множители и

Связь между корнями квадратного трехчлена и линейными множителями, на которые он раскладывается, устанавливает следующая теорема.

Теорема: Если дискриминант квадратного трехчлена положительный, то данный трехчлен можно разложить на линейные множители:

где и — корни квадратного трехчлена.

Доказательство: Поскольку числа и являются корнями квадратного уравнения то по теореме Виета

Тогда

Замечание. Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то считают, что квадратный трехчлен имеет два равных корня, то есть В этом случае разложение квадратного трехчлена на линейные множители имеет следующий вид:

Теорема:. Если дискриминант квадратного трехчлена отрицательный, то данный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

Доказательство: Предположим, что квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители. Тогда существуют такие числа и при которых выполняется равенство Отсюда получаем, что тип — корни данного квадратного трехчлена. Следовательно, его дискриминант неотрицательный, что противоречит условию.

Пример:

Разложите на множители квадратный трехчлен:

Решение:

1) Найдем корни данного трехчлена:

Следовательно,

2) Решим уравнение Имеем:

Следовательно,

3) Решим уравнение Имеем:

Тогда

Пример:

Сократите дробь

Решение:

Разложим на множители квадратный трехчлен, являющийся числителем данной дроби. Решив уравнение получаем:

Теперь можно записать:

Тогда получаем:

Ответ:

Пример:

При каком значении разложение на множители трехчлена содержит множитель

Решение:

Поскольку разложение данного трехчлена на множители должно содержать множитель то один из корней этого трехчлена равен —5. Тогда имеем:

Ответ:

Решение уравнений, приводимых к квадратным уравнениям

Пример:

Решите уравнение

Решение.

Пусть Тогда Подставив в исходное уравнение вместо и соответственно и , получим квадратное уравнение с переменной

Решая это уравнение, находим:

Поскольку то решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений:

Отсюда

Ответ можно записать двумя способами: или

Определение: Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют биквадратным уравнением.

Заменой биквадратное уравнение сводится к квадратному уравнению Такой способ решения уравнений называют методом замены переменной.

Метод замены переменной можно использовать не только при решении биквадратных уравнений.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Выполним замену Тогда исходное уравнение сводится к квадратному уравнению

Отсюда

Теперь надо решить следующие два уравнения:

и Первое из них корней не имеет. Из второго уравнения получаем:

или

Отсюда

Ответ: 0; 1.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Пусть Тогда Получаем:

Отсюда

Получаем два уравнения:

Поскольку то эти уравнения корней не имеют, а следовательно, и исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно системе

Отсюда

Ответ: —3.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Имеем:

Следовательно, данное уравнение равносильно системе

Отсюда

Ответ: 7.

Решение уравнений методом замены переменной

В п. 22 вы ознакомились с решением уравнений методом замены переменной. Рассмотрим еще несколько примеров, иллюстрирующих эффективность этого метода.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Пусть Тогда Получаем уравнение Это уравнение равносильно системе

Отсюда

Теперь решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ: —3; —1; 2; 6.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Преобразуем это уравнение:

Пусть Тогда

Отсюда

Следовательно, или

Решив эти два квадратных уравнения, получаем ответ.

Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

С помощью проверки легко убедиться, что число 0 не является корнем данного уравнения. Тогда, разделив обе части данного уравнения на перейдем к равносильному уравнению:

Отсюда

Произведем замену: Тогда Получаем уравнение откуда

С учетом замены получаем два уравнения:

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Пусть Тогда

Отсюда

Такая замена позволяет переписать исходное уравнение следующим образом:

Отсюда

Следовательно, или

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

С помощью проверки можно убедиться, что число 0 не является корнем данного уравнения. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на Получим уравнение, равносильное исходному:

Замена приводит к квадратному уравнению

Завершите решение самостоятельно.

Ответ:

Может возникнуть вопрос: почему при решении примеров 1—5 мы не пытались упростить уравнения с помощью тождественных преобразований?

Дело в том, что после тождественных преобразований нам пришлось бы решать уравнение вида (вы можете убедиться в этом самостоятельно). При такое уравнение называют уравнением четвертой степени, при и — уравнением третьей степени. Частным случаем этого уравнения, когда и является биквадратное уравнение. Его вы решать умеете.

В общем случае для решения уравнений третьей и четвертой степеней необходимо знать формулы нахождения их корней. С историей открытия этих формул вы можете ознакомиться в следующем рассказе.

Секретное оружие Сципиона дель Ферро

Вы легко решите каждое из следующих уравнений третьей степени:

Все они являются частными случаями уравнения вида

где — переменная, и — некоторые числа, причем Вывести формулу его корней — задача сложная. Недаром появление этой формулы считают выдающимся математическим открытием XVI века.

Первым изобрел способ решения уравнения вида где и — положительные числа, итальянский математик Сципион дель Ферро (1465-1526). Найденную формулу он хранил в секрете. Это было обусловлено тем, что карьера ученого того времени во многом зависела от его выступлений в публичных математических турнирах. Поэтому было выгодно хранить открытия в тайне, рассчитывая использовать их в математических соревнованиях как секретное оружие.

После смерти дель Ферро его ученик Фиоре, владея секретной формулой, вызвал на математический поединок талантливого математика-самоучку Никколо Тарталья. За несколько дней до турнира Тарталья сам вывел формулу корней уравнения третьей степени. Диспут, на котором Тарталья одержал убедительную победу, состоялся 20 февраля 1535 года.

Впервые секретная формула была опубликована в книге известного итальянского ученого Джероламо Кардан о «Великое искусство». В этой работе также описан метод решения уравнения четвертой степени, открытый Людовико Феррари (1522—1565).

В XVTI-XVIII вв. усилия многих ведущих математиков были сосредоточены на поиске формулы для решения уравнений пятой степени. Получению результата способствовали работы итальянского математика Паоло Руффини (1765-1822) и норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. Сам результат оказался абсолютно неожиданным: было доказано, что не существует формулы, с помощью которой можно выразить корни любого уравнения пятой и более высоких степеней через коэффициенты уравнения, используя лишь четыре арифметических действия и действие извлечения корня.

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

В п. 7 вы уже ознакомились с задачами, в которых рациональные уравнения служили математическими моделями реальных ситуаций. Теперь, когда вы научились решать квадратные уравнения, можно существенно расширить круг рассматриваемых задач.

Пример:

Из пункта выехал велосипедист, а через 45 мин после этого в том же направлении выехал грузовик, догнавший велосипедиста на расстоянии 15 км от пункта . Найдите скорость велосипедиста и скорость грузовика, если скорость грузовика на 18 км/ч больше скорости велосипедиста.

Решение:

Пусть скорость велосипедиста равна км/ч, тогда скорость грузовика составляет км/ч. Велосипедист проезжает 15 км за ч, а грузовик — за ч. Разность показывает, на сколько часов грузовик проезжает 15 км быстрее, чем велосипедист. Поскольку грузовик проехал 15 км на 45 мин,

то есть на ч, быстрее, чем велосипедист, то получаем уравнение

Решим это уравнение:

Решив квадратное уравнение системы, получим или

Корень —30 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость велосипедиста равна 12 км/ч, а скорость грузовика составляет: 12 + 18 = 30 (км/ч).

Ответ: 12 км/ч, 30 км/ч.

Пример:

Одна бригада работала на ремонте дороги 7 ч, после чего к ней присоединилась вторая бригада. Через 2 ч их совместной работы ремонт был завершен. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно, если первой для этого требуется на 4 ч больше, чем второй?

Решение:

Пусть первая бригада может самостоятельно отремонтировать дорогу за ч, тогда второй для этого нужно ч. За 1 ч первая бригада ремонтирует часть дороги, а вторая часть дороги. Первая бригада работала 9 ч и отремонтировала дороги, а вторая бригада работала 2 ч и отремонтировала соответственно дороги. Поскольку в результате была отремонтирована вся дорога, то можно составить уравнение

Полученное уравнение имеет два корня: и (убедитесь в этом самостоятельно). Второй корень не удовлетворяет условию задачи, поскольку тогда вторая бригада могла бы отремонтировать дорогу за 3 — 4 = —1 (ч), что не имеет смысла.

Следовательно, первая бригада может отремонтировать дорогу за 12 ч, а вторая — за 8 ч.

Ответ: 12 ч, 8 ч.

Пример:

Водный раствор соли содержал 120 г воды. После того как в раствор добавили 10 г соли, его концентрация увеличилась на 5 %. Сколько граммов соли содержал раствор первоначально?

Решение:

Пусть исходный раствор содержал г соли. Тогда его масса была равна г, а концентрация соли составляла

После того как к раствору добавили 10 г соли, ее масса

в растворе составила г, а масса раствора г. Теперь концентрация соли составляет что на 5 %, то есть на больше, чем Отсюда можно записать:

Полученное уравнение имеет два корня: и (убедитесь в этом самостоятельно), из которых второй корень не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, раствор содержал первоначально 30 г соли.

Ответ: 30 г.

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 3

Уравнение первой степени

Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют уравнением первой степени.

Квадратное уравнение

Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют квадратным уравнением.

Приведенное квадратное уравнение

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

Неполное квадратное уравнение

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Решение неполного квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения

Для уравнения вида где его дискриминант — это значение выражения

Решение квадратного уравнения

Если то квадратное уравнение корней не имеет.

Если то квадратное уравнение имеет один корень

Если то квадратное уравнение имеет два корня и :

Теорема Виета:

Если и — корни квадратного уравнения

то

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа и таковы, что и то эти числа являются корнями квадратного уравнения

Квадратный трехчлен

Многочлен вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют квадратным трехчленом.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Если дискриминант квадратного трехчлена положительный, то данный трехчлен можно разложить на линейные множители: — корни квадратного трехчлена.

Биквадратное уравнение

Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют биквадратным уравнением.

——

Квадратные уравнения

В этом разделе вы научитесь:

• решать квадратные уравнения различными способами;
• применять квадратные уравнения для решения задач;
• по каким формулам находят площади треугольников и четырёхугольников;
• применять формулы площадей при решении задач;
• находить площадь сложных фигур, разделяя их на простые геометрические фигуры.

Квадратные уравнения широко применяются в строительстве, финансах и дизайне.

На практике также, широко применяются формулы для вычисления площадей.

Это интересно!

Великий учёный Востока аль — Хорезми в своём труде «Китаб мухтасаб ал-джабр и ва-л-мукабала», что в переводе означает «Книга о восполнении и противопоставлении» показал различные способы решения квадратных уравнений. Одним из них является метод подбора. Хорезми выбирал число и подставлял его в уравнение вместо неизвестного. После чего, становилось понятно, является ли данное число корнем уравнения.

Например,

Квадратные уравнения

Уравнение вида при называется квадратным уравнением. Здесь — постоянные, — неизвестная. — первый коэффициент, — второй коэффициент, — свободный член.

Например, в уравнении

Если квадратное уравнение с обеих сторон разделить на , то получим уравнение Здесь, обозначив можно записать

Уравнение вида называется приведённым квадратным уравнением. Например, разделив уравнение на 2, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Уравнения, являются неполными квадратными уравнениями.

1) Решение уравнений вида Разделив обе части уравнения на число получим уравнение Его корнями является

Пример 1. Разделим обе части уравнения

2) Решение уравнений вида Для решения таких уравнений применяют вынесение общего множителя за скобку: Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, т.е. или Отсюда следует, что уравнение имеет два корня, один из которых всегда равен

Пример 2. Для решения уравнении надо левую часть уравнения разложить на множители:

3) Решение уравнений вида

Запишем уравнение в виде

Если имеют одинаковые знаки, то действительных корней нет (почему?). Если имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня

Пример 3. Решим уравнение

Решение квадратного уравнения методом разложения на множители

Решение уравнения методом разложения на множители

Для разложения левой части уравнения на множители надо найти два числа тип (если это возможно), чтобы их произведение было равно а сумма . Если являются целыми числами, то и — также целые числа. В этом случае, если то заданной уравнение можно записать в виде :

Пример 1. В уравнении Так как и положительные числа, то надо найти два положительных числа, чтобы их произведение было равно 8, а сумма — равна 6. Это числа 2 и 4. Зная, что то уравнение можно записать в виде Отсюда находим

Пример 2. Так как в уравнении отрицательное число, а положительное, то надо найти два отрицательных числа, чтобы их произведение было равно 18, а сумма была равна -9. Зная, что то уравнение можно записать так Отсюда находим

Пример 3.

Корни уравнения

Пример 4.

Корни уравнения

Решение уравнения вида методом разложения на множители

Для разложения левой части уравнения на множители, надо найти два числа, чтобы их произведение было равно а сумма Тогда за-данное уравнение можно решить записав его в виде

Пример 1. Запишем уравнение в виде

Числа и такие , что

Тогда

Пример 2. Решим уравнение В нём тогда а значит оба числа и отрицательные. Найдём два целых отрицательных, числа, произведение которых равно 40, а сумма равна -13. Это числа -5 и -8.

Пример 3. В трёхчлене Составим список целых отрицательных множителей числа 16. Как видно целых чисел, которые удовлетворяют условию не существует. Это говорит о том, что данный трёхчлен невозможно разложить на множители.

Метод выделения полного квадрата

Для выделения полного квадрата из двухчленах его надо дополнить членом

Это правило одинаково как для положительных, так и для отрицательных Пример 1. Запишем уравнение в виде С обеих сторон дополним данное уравнение

Пример 2. Для решения уравнения методом выделения полного квадрата, сначала запишем его в виде Для того, чтобы выражение слева соответствовало модели площади квадрата, не хватает всего одной единичной алгебраической карты. Значит, с каждой стороны следует добавить 1. Тогда выражение слева можно представить в виде квадрата двухчлена так

Решение квадратного уравнения графическим методом

Графический метод

Запишем уравнение в виде Тогда решением уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой При этом прямая может пересекаться с параболой (тогда уравнение имеет два различных корня), может касаться параболы (в этом случае уравнение удовлетворяется при единственном значении неизвестного) или может вообще не иметь общих точек с параболой (тогда уравнение не имеет действительных-корней).

Пример:

Графики пересекаются в двух точках. Абсциссы точек пересечения равны — 3 и 1. При проверке убеждаемся, что обе точки являются корнями уравнения.

Пример:

Для построения прямой составим таблицу

Абсцисса точки касания прямой и параболы равна 1. Уравнение удовлетворяется при единственном значении неизвестного:

Пример:

Графики не имеют точек пересечения. Это говорит о том, что данное уравнение не имеет действительных корней.

Обе части квадратного уравнения можно преобразовать в приведённое квадратное уравнение, разделив его на которое затем удобно решить по способу, представленному выше. Обычно графическим способом находятся приближенные значения корней.

Калькулятор для построения графиков

Используя онлайн калькуляторы для построения графиков можно построить различные графики. На рисунке представлены графики функций построенные при помощи графического калькулятора www.meta-calculator.com/online.

Решить квадратное уравнение также можно при помощи графического калькулятора, построив в одной системе координат параболу и прямую

На рисунке корни уравнение записанного в виде найдены графически при помощи графического калькулятора www.my.hrw.com/malh06_07/nsmedia/tools/Graph_Calcula-tor/graphCa lc.html

Формула для нахождения корней квадратного уравнения

Мы уже научились находить корни квадратного уравнения методом разложения на множители и методом выделения полного квадрата. Для нахождения корней любого квадратного уравнения методом выделения полного квадрата можно записать обобщённую формулу.

При эта формула является формулой корней квадратного уравнения

Если в формуле для нахождения корней квадратного уравнения принять то ее можно записать как

Наличие корней квадратного уравнения зависит от знака называется дискриминантом (определителем) квадратного уравнения.

1) Если то уравнение не имеет действительных корней.

2) Если то уравнение имеет два равных корня.

3) Если то уравнение имеет два различных корня:

Пример:

В уравнении Тогда а это значит, что уравнение имеет два различных действительных корня.

В уравнении дискриминант находится по формуле для приведённого квадратного уравнения При для корней приведённого квадратного уравнения, верны следующие формулы

Если второй коэффициент квадратного уравнения является четным числом (т.е. ), то уравнение можно записать в виде Тогда Обозначим тогда

Пример:

Решим уравнение

Теорема Виета

Решим приведённое квадратное уравнение: По формуле нахождения корней приведённого квадратного уравнения имеем т.е.

Внимание! Если сложить найденные корни, то получим число противоположное коэффициенту при На самом деле, из уравнения с другой стороны Если умножить полученные корни, получим число равное свободному члену уравнения: 3 • 4 = 12. Это свойство верно для любого приведённого квадратного уравнения.

Теорема: В приведённом квадратном уравнении сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение, равно свободному члену

Доказательство: Известно, что корни приведённого квадратного уравнения Отсюда получим:

Таким образом, для уравнения Если обе части любого квадратного уравнения разделить на , то получим равносильное приведённое квадратное уравнение Тогда к нему можно будет применить теорему Виета. Сумма корней равна а произведение равно Теорема Виета остаётся в силе, если (когда квадратное уравнение имеет два равных корня).

Найдём корни квадратного уравнения методом подбора. По теореме Виета

Таким образом корнями уравнения являются числа 4 и 5.

Теорема, обратная теореме Виета

Обратная теорема. Если сумма чисел равна а произведение равно то эти числа являются корнями уравнения

Эту теорему можно записать так: любые числа являются корнями уравнения

Доказательство. На самом деле, если принять, что то получим: т.е. число действительно удовлетворяет уравнению. Таким же образом можно показать, что число также является корнем уравнения.

Пример:

Составим квадратное уравнение, если известно, что числа и являются его корнями. Так как то уравнение будет выглядеть как

Решение задач при помощи квадратных уравнений

Задача. Один из катетов прямоугольного треугольника на 2 см больше другого и на 2 см меньше гипотенузы. Найдите периметр треугольника.

1 этап — составление уравнения

Обозначим длину одного из катетов через тогда длина другого катета будет а гипотенуза будет равна

2 этап — решение уравнения. Согласно теореме Пифагора получим уравнение

3 этап — решение уравнения. Преобразуем уравнение Отсюда

4 этап — анализ результата.

Решению задачи соответствует корень т.к. длины сторон выражаются положительными числами. Тогда длина другого катета будет а длина гипотенузы Периметр: Ответ: периметр треугольника равен 24 см.

• Заказать решение задач по высшей математике

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения

В математике, физике, экономике, практической деятельности человека встречаются задачи, математическими моделями которых являются уравнения, содержащие переменную во второй степени.

Пример №256

Длина земельного участка на 15 м больше ширины, а площадь равна Найдите ширину участка.

Решение:

Пусть м- ширина участка, тогда ее длина — м. По условию задачи площадь участка равна Тогда Получаем уравнение:

Такое уравнение называют квадратным.

Квадратным уравнением называют уравнение вида где —переменная, — некоторые числа, причем

Например, уравнения также являются квадратными.

Числа называют коэффициентами квадратного уравнения, число — первым коэффициентом, число — вторым коэффициентом, число — свободным членом.

В уравнении коэффициенты следующие: В уравнении следующие: а в уравнении следующие:

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным. Уравнение — приведенное, а уравнение — не является приведенным.

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Например, неполным квадратным уравнением, в котором является уравнение в котором -уравнение в котором — уравнение

Таким образом, неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

Рассмотрим решение каждого из них.

1.Уравнение вида

Так как имеем уравнение корнем которого является число 0.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень:

2.Уравнение вида

Имеем то есть Так как Если то уравнение имеет два корня:

Если то уравнение корней не имеет.

Пример №257

Решите уравнение:

Решение:

Ответ. 2) корней нет.

3. Уравнение вида

Разложим левую часть уравнения на множители и решим полученное уравнение где

Значит, уравнение имеет два корня:

Пример №258

Решите уравнение

Решение:

Имеем:

Таким образом,

Ответ.

Систематизируем данные о решениях неполного квадратного уравнения в виде схемы:

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим полное квадратное уравнение где и найдем его решения в общем виде.

Умножим левую и правую части уравнения на (так как

Далее прибавим к обеим частям уравнения

Так как получим:

Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения

Слово дискриминант происходит от латинского различающий. Дискриминант обозначают буквой

Учитывая, что запишем уравнение в виде:

и продолжим его решать.

Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от значения

(при делении на учли, что

Следовательно, если то уравнение имеет два различных корня:

Коротко это можно записать так:

Получили формулу корней квадратного уравнения.

2) Тогда имеем уравнение

откуда

Таким образом, если то уравнение имеет один корень: Этот корень можно было бы найти и по формуле корней квадратного уравнения, учитывая, что Поэтому можно считать, что уравнение при имеет два одинаковых корня, каждый из которых равен

3) В этом случае уравнение не имеет корней, так как не существует такого значения при котором значение выражения было бы отрицательным.

Систематизируем данные о решениях квадратного уравнения с помощью схемы:

Пример №259

Решите уравнение:

Решение:

Ответ:

Пример №260

Решите уравнение

Решение:

Умножим левую и правую части уравнения на чтобы его коэффициенты стали целыми числами, получим уравнение:

тогда

Так как то

Ответ.

Неполные квадратные уравнения и некоторые виды полных квадратных уравнений (например, вида вавилонские математики умели решать еще 4 тыс. лет назад. В более поздние времена некоторые квадратные уравнения в Древней Греции и Индии математики решали геометрически. Приемы решения некоторых квадратных уравнений без применения геометрии изложил древнегреческий математик Диофант (III в.).

Много внимания квадратным уравнениям уделял арабский математик Мухаммед ал-Хорезми (IX в.). Он нашел, как решить уравнения вида (для положительных и получить их положительные корни.

Формулы, связывающие между собой корни квадратного уравнения и его коэффициенты, были найдены французским математиком Франсуа Виетом в 1591 году. Он пришел к следующему выводу (в современных обозначениях): «Корнями уравнения являются числа

После публикации трудов нидерландского математика А. Жирара (1595-1632), а также француза Р. Декарта (1596-1650) и англичанина И. Ньютона (1643-1727) формула корней квадратного уравнения приобрела современный вид.

Теорема Виета

Рассмотрим несколько приведенных квадратных уравнений, имеющих два различных корня. Внесем в таблицу следующие данные о них: само уравнение, его корни сумму его корней произведение его корней

Обратим внимание, что сумма корней каждого из уравнений таблицы равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Это свойство выполняется для любого приведенного квадратного уравнения, имеющего корни.

Приведенное квадратное уравнение в общем виде обычно записывают так:

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену.

Доказательство: Пусть — корни приведенного квадратного уравнения дискриминант которого Если то уравнение имеет два корня:

Если то уравнение имеет два одинаковых корня:

Найдем сумму и произведение корней:

Следовательно, Теорема доказана.

Эту теорему называют теоремой Виета — в честь выдающегося французского математика Франсуа Виета, который открыл это свойство. Его можно сформулировать следующим образом:

Если и — корни приведенного квадратного уравнения

Два последних равенства, показывающих связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения, называют формулами Виста.

Используя теорему Виета, можно записать соответствующие формулы и для корней любого неприведенного квадратного уравнения

Так как разделим обе части уравнения на Получим приведенное квадратное уравнение:

Тогда по теореме Виета:

Если — корни неприведенного квадратного уравнения то

Пример №261

Не решая уравнения найдите сумму и произведение его корней.

Решение:

Найдем дискриминант уравнения, чтобы убедиться, что корни существуют: Очевидно, что следовательно, уравнение имеет два корня

По теореме Виета:

Ответ.

Если в уравнении коэффициент является целым числом, то из равенства следует, что целыми корнями этого уравнения могут быть только делители числа

Пример №262

Найдите подбором корни уравнения

Решение:

Пусть — корни данного уравнения. Тогда Если — целые числа, то они являются делителями числа -4. Ищем среди этих делителей два таких, сумма которых равна -3. Нетрудно догадаться, что это числа 1 и -4. Таким образом,

Ответ. 1; -4.

Пример №263

Один из корней уравнения равен 3. Найдите коэффициент и второй корень уравнения.

Решение:

Пусть — один из корней уравнения — второй его корень. По теореме Виета: Учитывая, что имеем:

Ответ.

Пример №264

Пусть — корни уравнения Не решая уравнения, найдите значение выражения:

Решение:

По теореме Виета:

Тогда: 1)

Ответ.

Справедливо и утверждение, обратное теореме Виета.

Теорема (обратная теореме Виета). Если числа и таковы, что то эти числа являются корнями уравнения

Доказательство: По условию Поэтому уравнение можно записать так:

Проверим, является ли число корнем этого уравнения, для чего подставим в левую часть уравнения вместо переменной число Получим:

Следовательно, — корень этого уравнения.

Аналогично подставим в левую часть уравнения вместо переменной число Получим:

то есть — также корень этого уравнения.

Таким образом, корни уравнения что и требовалось доказать.

Пример №265

Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа -5 и 2.

Решение:

Искомое квадратное уравнение имеет вид По теореме, обратной теореме Виета:

Таким образом, — искомое уравнение.

Ответ,

Квадратное уравнение как математическая модель текстовых и прикладных задач

В 7 классе мы уже знакомились с задачами, которые можно решить с помощью линейных уравнений или систем линейных уравнений. Для решения прикладной задачи сначала создают ее математическую модель, то есть записывают зависимость между известными и неизвестными величинами с помощью математических понятий, отношений, формул, уравнений и т. п. Математической моделью многих задач в математике, физике, технике, практической деятельности человека может быть не только линейное уравнение или система линейных уравнений, но и квадратное уравнение.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №266

Разность кубов двух натуральных чисел равна 279. Найдите эти числа, если одно из них на 3 больше другого.

Решение:

Пусть меньшее из этих чисел равно тогда большее равно По условию задачи имеем уравнение:

Упростим левую часть уравнения.

Получим: откуда По условию задачи Поэтому условию удовлетворяет только число 4. Следовательно, первое искомое число 4, а второе

Ответ. 4; 7.

Пример №267

В кинотеатре количество мест в ряду на 6 больше количества рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если мест в нем 432?

Решение:

Пусть в кинотеатре рядов, тогда мест в каждом ряду Всего мест в зале

Имеем уравнение:

Перепишем уравнение в виде откуда

По смыслу задачи значение должно быть положительным. Этому условию удовлетворяет только Следовательно, в кинотеатре 18 рядов.

Ответ. 18 рядов.

Пример №268

У выпуклого многоугольника 54 диагонали. Найдите, сколько у него вершин.

Решение:

Пусть у многоугольника вершин. Из каждой его вершины выходит диагонали. Тогда из всех его вершин выходит диагонали. Но при этом каждую из его диагоналей посчитали дважды. Следовательно, всего диагоналей будет

Получим уравнение: то есть откуда Отрицательный корень уравнения не может быть решением задачи.

Ответ. 12.

Пример №269

Тело подбросили вертикально вверх со скоростью Высота (в м), на которой через с будет тело, вычисляется по формуле В какой момент времени тело окажется на высоте 15 м?

Решение:

По условию: , следовательно, после упрощения имеем уравнение: решив которое, найдем корни:

Оба корня являются решением задачи, так как на высоте 15 м тело окажется дважды: сначала при движении вверх (это произойдет через 1 с), а во второй раз — при падении (это произойдет через 3 с).

Ответ. 1 с, 3 с.

Пример №270

В 9 часов утра из базового лагеря в восточном направлении отправилась группа туристов со скоростью Через час из того же лагеря со скоростью отправилась другая группа туристов, но в северном направлении. В котором часу расстояние между группами туристов будет 17 км?

Решение:

За первый час первая группа туристов преодолеет 5 км: (рис. 19). Дальше будут двигаться обе группы.

Пусть расстояние в 17 км между группами будет через часов после начала движения второй группы. Тогда за это время первая группа преодолеет км, а вторая — км, Всего первая группа преодолеет расстояние

Из по теореме Пифагора тогда имеем уравнение: откуда

Учитывая, что получим

Следовательно, расстояние 17 км между группами туристов будет в 12 часов.

Ответ. В 12 часов.

В результате хозяйственной деятельности человека возникли прикладные задачи, решением которых люди занимаются уже на протяжении нескольких тысячелетий. Самые древние из известных нам письменных памятников, содержащих правила нахождения площадей и объемов, были составлены в Египте и Вавилоне приблизительно 4 тыс. лет назад. Около 2,5 тыс. лет назад греки переняли геометрические знания египтян и вавилонян и стали развивать теоретическую (чистую) математику.

Также в древние времена математики использовали математические модели, в частности и для геометрических построений (метод подобия фигур).

Современное понятие математической модели в качестве описания некоторого реального процесса языком математики стали использовать в середине XX в. в связи с развитием кибернетики — науки об общих законах получения, хранения, передачи и обработки информации. А раздел современной математики, изучающий математическое моделирование реальных процессов, даже выделили в отдельную науку — прикладную математику.

Существенный вклад в развитие прикладной математики был сделан нашими выдающимися земляками — математиками М.П. Кравчуком и М.В. Остроградским.

Развитие кибернетики связывают с именем академика Виктора Михайловича Глушкова — выдающегося математика, доктора физико-математических наук, профессора. В 1953 г. он возглавил лабораторию вычислительной техники Института математики, стал ее мозговым и энергетическим центром. На базе этой лаборатории в 1957 г. был создан Вычислительный центр, а в 1962 г. -Институт кибернетики который и возглавил В.М. Глушков. Лаборатория известна тем, что в 1951 г. в ней создали первую в Евразии Малую электронную счетную машину, а уже в Вычислительном центре завершили работу по созданию первой большой электронно-вычислительной машины. Сегодня Институт кибернетики носит имя В.М. Глушкова и является, в частности, разработчиком прикладных информационных технологий для решения неотложных практических задач, возникающих при моделировании экономических процессов, проектировании объектов теплоэнергетики, решении проблем экологии и защиты окружающей среды.

Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Выражения являются многочленами второй степени с одной переменной стандартного вида. Такие многочлены называют квадратными трехчленами.

Квадратным трехчленом называют многочлен вида переменная, — числа, причем

Например, выражение является квадратным трехчленом, у которого

Пример №271

Рассмотрим квадратный трехчлен Если то его значение равно нулю. Действительно, В таком случае число -1 называют корнем этого квадратного трехчлена.

Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при котором значение трехчлена обращается в нуль.

Чтобы найти корни квадратного трехчлена нужно решить уравнение

Пример №272

Найдите корни квадратного трехчлена

Решение:

Решим уравнение Получим: Следовательно, корни квадратного трехчлена

Ответ.

Квадратный трехчлен, как и квадратное уравнение, может иметь два различных корня, один корень (то есть два равных корня) или не иметь корней. Это зависит от знака дискриминанта квадратного уравнения который также называют и дискриминантом квадратного трехчлена

Если то квадратный трехчлен имеет два различных корня, если то квадратный трехчлен имеет один корень (то есть два равных корня), если то квадратный трехчлен не имеет корней.

Если корни квадратного трехчлена известны, то его можно разложить на линейные множители, то есть на множители, являющиеся многочленами первой степени.

Теорема (о разложении квадратного трехчлена на множители). Если корни квадратного трехчлена то справедливо равенство

Доказательство: Если — корни квадратного уравнения (по теореме Виета).

Для доказательства теоремы раскроем скобки в правой части равенства:

Таким образом, что и требовалость доказать.

Если же квадратный трехчлен не имеет корней, то на линейные множители его разложить нельзя.

Пример №273

Разложите на множители квадратный трехчлен:

Решение:

1) Корни трехчлена — числа -1 и 2,5. Поэтому Это можно записать иначе, умножив первый в разложении множитель -2 на двучлен Получим:

2) Квадратное уравнение не имеет корней. Поэтому квадратный трехчлен на множители не разлагается.

3) Квадратное уравнение имеет два одинаковых корня Поэтому

Нетрудно заметить, что если квадратный трехчлен имеет два равных корня, то он представляет собой квадрат двучлена или произведение некоторого числа на квадрат двучлена.

Пример №274

Сократите дробь

Решение:

Числа 1 и -0,5 — корни квадратного трехчлена Поэтому Имеем:

Ответ.

При решении некоторых задач, связанных с квадратным трехчленом бывает удобно представить его в виде — некоторые числа. Такое преобразование называют выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

Пример №275

Выделите из трехчлена квадрат двучлена.

Решение:

Вынесем за скобки множитель 2:

Воспользовавшись формулой квадрата суммы двух чисел преобразуем выражение в скобках, считая, что Тогда откуда определяем, что число 4 является вторым слагаемым квадрата суммы, то есть поэтому добавим и вычтем

Ответ.

Пример №276

Дан квадратный трехчлен При каком значении он принимает наибольшее значение? Найдите это значение.

Решение:

Выделим из трехчлена квадрат двучлена:

Выражение при любом значении принимает не положительное значение, то есть причем это выражение равно нулю только при Поэтому при значение данного в условии трехчлена равно 16 и является для него наибольшим.

Таким образом, квадратный трехчлен принимает наибольшее значение, равное 16, при

Ответ. 16 при

Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Дробные рациональные уравнения

Решение дробных рациональных уравнений часто сводится к решению квадратных уравнений. Вспомним один из методов решения дробного рационального уравнения

Пример №277

Решите уравнение

Решение:

Чтобы найти область допустимых значений переменной и общий знаменатель, разложим на множители знаменатели дробей в уравнении:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей — выражение учитывая ОДЗ: Получим:

откуда

Ответ. 3.

Метод разложения многочлена на множители

Некоторые уравнения, правая часть которых равна нулю, можно решить с помощью разложения левой части на множители.

Пример №278

Решите уравнение

Решение:

Вынесем в левой части уравнения общий множитель за скобки. Получим:

Таким образом, уравнение имеет три корня:

Ответ. 0; 3; -5.

Биквадратные уравнения

Уравнение вида где называют биквадратным уравнением. Его можно решить с помощью введения новой переменной, то есть обозначив Тогда а исходное уравнение принимает вид:

Такой метод решения называют методом введения новой переменной или методом замены переменной.

Пример №279

Решите уравнение

Решение:

Сделаем замену получим уравнение корнями которого являются числа

Вернемся к переменной

Таким образом, корни исходного уравнения — числа 2 и -2.

Ответ. 2; -2.

Метод замены переменной

Не только биквадратные, но и некоторые другие виды уравнений можно решить, используя замену переменной.

Пример №280

Решите уравнение

Решение:

Если мы раскроем скобки в левой части уравнения, получим уравнение четвертой степени, которое не всегда возможно решить методами школьной математики. Поэтому скобки раскрывать не будем. Заметим, что в обеих скобках выражения, содержащие одинаковы, поэтому можно воспользоваться заменой Получим уравнение которое является квадратным относительно переменной Перепишем его в виде откуда

Возвращаемся к переменной

Таким образом, корнями исходного уравнения являются числа

Ответ.

Пример №281

Решите уравнение

Решение:

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

Заметим, что выражения, содержащие переменную в обеих частях уравнения одинаковы, поэтому сделаем замену Получим уравнение с переменной

Найдем его корни:

Вернемся к переменной

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня:

Ответ.

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Дробные рациональные уравнения также могут служить математическими моделями текстовых задач.

Пример №282

Из одного города в другой, расстояние между которыми 560 км, одновременно выехали легковой и грузовой автомобили. Скорость легкового была на больше скорости грузового, поэтому он прибыл в пункт назначения на 1 ч раньше грузового. Найдите скорость каждого автомобиля.

Решение:

Пусть скорость грузового автомобиля Систематизируем условие задачи в виде таблицы:

Так как значение величины на 1 ч меньше значения величины то можем составить уравнение:

У него два корня: Отрицательный корень не соответствует смыслу задачи, поэтому скорость грузового автомобиля 70 Тогда скорость легкового автомобиля:

Ответ.

Пример №283

Мастер и его ученик, работая вместе, могут выполнить задание за 8 ч. За сколько часов может выполнить это задание самостоятельно каждый из них, если мастеру на это нужно на 12 ч меньше, чем его ученику?

Решение:

Пусть мастеру для самостоятельного выполнения задания нужно ч, тогда ученику ч. Если вид и объем работ в задачах на работу не конкретизирован (как в данном случае), его принято обозначать единицей. Напомним, что производительность труда — это объем работы, выполняемый за единицу времени. Тогда за 1 ч мастер выполнит — часть задания, а ученик часть, это и есть их производительности труда. По условию задачи мастер и ученик проработали 8 ч, поэтому мастер выполнил часть задания, а ученик Учитывая, что они выполнили все задание, имеем уравнение:

откуда

Второй корень не соответствует смыслу задачи, так как является отрицательным.

Таким образом, мастер, работая отдельно, может выполнить задание за 12 ч, а его ученик — за

Условие этой задачи, как и предыдущей, можно также систематизировать в виде таблицы:

Ответ. 12 ч и 24 ч.

Обратите внимание, что условия большинства задач на движение или работу можно систематизировать в виде таблицы, что поможет избежать громоздких текстовых записей.

«Желаю тебе стать вторым Остроградским…»

Михаил Васильевич Остроградский родился 12 сентября 1801 года в д. Пашенная Полтавской губернии (в настоящее время деревня Пашеновка). Предки Михаила Васильевича служили в казацком войске, участвовали во многих боях, не раз проявляли военную доблесть и героизм. По-видимому, именно поэтому в детстве Михаил Васильевич так мечтал стать военным. Но ему суждено было стать всемирно известным ученым.

В детстве Михаил обладал исключительной наблюдательностью и увлекался измерениями. Учился он в пансионе при Полтавской гимназии, потом в этой гимназии. Закончив ее, стал свободным слушателем Харьковского университета, а в дальнейшем и его студентом. После окончания университета с отличием в августе 1820 года, менее чем через год (в апреле 1821 года) получил степень кандидата наук за исследования в прикладной математике. В 1822 году Остроградский уезжает в Париж, чтобы усовершенствовать М.В. Остроградский свое математическое образование, и становится слушателем университета в Сорбонне.

Именно там он публикует свои первые научные труды, становится известным ученым и заслуживает уважение французских математиков. За неимением средств Михаил Васильевич вынужден был покинуть Париж, преодолев пешком зимой 1828 года путь от Парижа до Петербурга.

Научные круги Петербурга встретили молодого ученого с радостью и надеждой. Его авторитет среди петербургских деятелей науки был высоким и незыблемым. В том же 1828 году Остроградский начинает преподавательскую деятельность в Морском кадетском корпусе Петербурга, его избирают адъюнктом Петербургской академии наук. А с 1830 года преподает еще в четырех высших учебных заведениях Петербурга. В 1834 году Остроградский был избран членом Американской академии наук, в 1841 году — членом Туринской академии, в 1853 — членом Римской академии Линчей и в 1856 году -членом-корреспондентом Парижской академии наук.

Лекции Остроградского посещали не только студенты, но и преподаватели, профессура, известные математики. Всем нравилась его система преподавания предмета — широта темы, но при этом выразительность и сжатость изложения, а также его остроумие. На лекциях он украшал свою речь словами, пословицами и поговорками. Поэтому студенты вспоминали его лекции с восторгом.

Любимым писателем Остроградского был Т.Г. Шевченко, с которым он был лично знаком и значительную часть произведений которого, зная наизусть, охотно декламировал. В 1858 году, когда Тарас Григорьевич возвращался из ссылки на родину через Петербург, Михаил Васильевич предложил Кобзарю остановится в его петербургской квартире.

Вернувшись из ссылки, Шевченко писал в «Дневнике»: «Великий математик принял меня с распростертыми объятиями, как земляка и как надолго выехавшего члена семьи».

Михаил Васильевич был выдающимся, оригинальным, всесторонне одаренным человеком. Его ценили не только за ум, но и за независимость, демократизм, скромность, искренность и простоту, за уважение к людям труда. Находясь на вершине славы, отмеченный за свои научные труды во всей Европе, Остроградский был прост в общении и не любил говорить о своих заслугах.

И какие бы проблемы не решал ученый (занимался он алгеброй, прикладной математикой, теорией чисел, теорией вероятностей, механикой и т. п.), все его научные труды отличаются глубиной мысли и оригинальностью, в них неизменно присутствует широта его взглядов, умение углубиться в суть проблемы, систематизировать и обобщить.

На всю жизнь Михаил Васильевич сохранил любовь к родной Земле и родному языку. Почти ежегодно летом он выезжал с целью погрузиться в полное спокойствие и полюбоваться замечательными пейзажами. Летом 1861 года Остроградский, пребывая на родине, заболел и 1 января 1862 года умер.

За свою почти 40-летнюю научную деятельность Михаил Васильевич написал свыше 50 трудов из разных отраслей математики: математического анализа, аналитической и небесной механики, математической физики, теории вероятностей. Свои педагогические взгляды М.В. Остроградский изложил в учебниках по элементарной и высшей математике.

Именем М.В. Остроградского назван Кременчугский национальный университет.

И хотя почти всю свою жизнь Михаил Остроградский занимался наукой, он был широко известен своим соотечественникам. Авторитет и популярность М.В. Остроградского были настолько значимыми, что родители, отдавая ребенка на учебу, желали ему «стать вторым Остроградским».

Сведения из курса математики 5-6 классов и алгебры 7 класса

Десятичные дроби

Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют поразрядно, записывая их одна под другой так, чтобы запятая размещалась под запятой.

Примеры:

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, а потом в произведении отделить занятой справа налево столько цифр, сколько их после занятой в обоих множителях вместе.

Примеры:

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо выполнить деление, не обращая внимания на запятую, но после окончания деления целой части делимого нужно в частном поставить занятую.

Примеры:

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, нужно в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.

Пример:

Обычные дроби

Частное от деления числа на число можно записать в виде обычной дроби где числитель дроби, — ее знаменатель.

Основное свойство дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число.

Примеры:

(сократили дробь на 5);

(привели дробь к знаменателю 14).

Дроби с одинаковыми знаменателями складывают и вычитают по формулам:

Примеры:

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют действие по правилу сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Примеры:

На следующих примерах показано, как выполнить сложение и вычитание смешанных чисел.

Примеры:

Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели и первый результат записать числителем произведения, а второй — знаменателем:

Примеры:

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю:

Примеры:

Положительные и отрицательные числа

Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.

Модуль положительного числа и числа нуль — само это число, а модуль отрицательного — противоположное ему число:

Примеры:

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным результатом записать знак

Пример:

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля слагаемых вычесть меньший модуль и перед полученным результатом записать знак слагаемого с большим модулем.

Примеры:

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Примеры:

Произведение двух чисел с одинаковыми знаками равно произведению их модулей. Произведение двух чисел с разными знаками равно произведению их модулей, взятому со знаком «-».

Примеры:

Частное двух чисел с одинаковыми знаками равно частному от деления их модулей. Частное двух чисел с разными знаками равно частному от деления их модулей, взятому со знаком «-».

Примеры:

Уравнение

Корнем, или решением, уравнения называют число, обращающее уравнение в правильное числовое равенство.

Примеры:

1) Число 3 является корнем уравнения так как

2) Число -2 не является корнем уравнения так как

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и уравнения, не имеющие корней.

Примеры:

1) Уравнения равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень, равный 2.

2) Уравнения не являются равносильными, так как корень первого — число 1, а второго — число 2.

Для решения уравнений используют следующие свойства:

1) если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, получим уравнение, равносильное данному;

2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, получим уравнение, равносильное данному;

3) если обе части уравнения

Уравнение вида где числа, переменная, называют линейным уравнением с одной переменной.

Решение линейного уравнения представим в виде схемы:

Примеры:

В большинстве случаев уравнения последовательными преобразованиями приводят к линейному уравнению, равносильному данному.

Примеры:

Раскроем скобки: Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть уравнения, остальные — в правую, изменив знаки переносимых слагаемых на противоположные: приведем подобные слагаемые: решим полученное линейное уравнение:

Ответ.

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей — число 6:

Дальше решаем, как в предыдущем примере:

Ответ. Любое число.

Степень с натуральным показателем

Степенью числа с натуральным показателем называют произведение множителей, каждый из которых равен Степенью числа с показателем 1 называют само это число.

Примеры:

Свойства степени с натуральным показателем

Примеры:

Используя свойства степени с натуральным показателем, можем существенно упростить вычисления.

Одночлен

Целые выражения — числа, переменные, их степени и произведения называют одночленами.

Например — одночлены; выражения Не одночлены.

Если одночлен содержит только один числовой множитель, записанный первым, и содержит степени разных переменных, то такой одночлен называют одночленом стандартного вида.

Например, — одночлен стандартного вида, а одночлен не является одночленом стандартного вида.

Этот одночлен можно привести к одночлену стандартного вида:

Умножение одночленов

Примеры:

Возведение одночлена в степень

Примеры:

Многочлен

Многочленом называют сумму одночленов. Многочлен, являющийся суммой одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных слагаемых, называют многочленом стандартного вида.

Многочлен не является многочленом стандартного вида, но его можно привести к стандартному виду:

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Формулы сокращенного умножения

Разложение многочленов на множители

Вынесение общего множителя за скобки

Способ группировки

Использование формул сокращенного умножения

Примеры:

Функция

Если каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, то такую зависимость называют функциональной зависимостью, или функцией.

Переменную в этом случае называют независимой переменной (или аргументом), а переменную — зависимой переменной (или функцией от заданного аргумента).

Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная (функция), образуют область значений функции.

Линейной называют функцию, которую можно задать формулой вида независимая переменная, -некоторые числа.

Графиком любой линейной функции является прямая. Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Пример:

Построим график функции

Составим таблицу для любых двух значений аргумента:

Отметим на координатной плоскости полученные точки и проведем через них прямую (рис. 20).

Пример:

Построим график функции Любому значению соответствует одно и то же значение равное числу -2. Графиком функции является прямая, состоящая из точек с координатами — любое число. Обозначим две любые такие точки, например и проведем через них прямую (рис. 21).

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Если нужно найти общее решение двух (или более) уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему уравнений.

Пример:

система уравнений с двумя неизвестными

Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, при которых каждое уравнение обращается в верное числовое равенство.

Пара чисел является решением данной выше системы, поскольку

Пара чисел не является решением системы. Для этих значений переменных первое уравнение обращается в верное равенство а второе — нет

Решить систему уравнений — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки Решить систему уравнений

Решение системы двух линейных уравнении с двумя переменными способом сложения

Решить систему уравнений

Вопросы
занятия:

·  вспомнить, что
называют квадратным трёхчленом;

·  вспомнить, как
находят корни квадратного трёхчлена;

· поговорить о разложении квадратного трёхчлена
на множители.

Материал урока

Вам хорошо известны такие
понятия, как одночлен и многочлен. Среди многочленов выделяют квадратный
трёхчлен.

Определение.

Многочлен вида: ,
где ,
 и
 –
некоторые числа, причём ,
называется квадратным трёхчленом.

Числа ,
 и
 –
коэффициенты квадратного трехчлена. Причём, число а называют первым
(или старшим) коэффициентом, число  –
вторым коэффициентом и число  –
свободным членом.

Задание.

Найти среди многочленов
те, которые являются квадратными трёхчленами, и назвать их коэффициенты.

Квадратными трёхчленами
будут многочлены: .
Здесь ,
,
.

Многочлен: .
Здесь коэффициент ,
,
.

И многочлен: .
Здесь коэффициент ,
,
.

Теперь вспомним, как же
находят корни квадратного трёхчлена.

Определение.

Вообще, значение
переменной, при котором многочлен равен нулю, называют корнем
многочлена.

Понятно, что для того
чтобы найти корни квадратного трёхчлена ,
нужно решить квадратное уравнение ,
т.е. найти его корни.

Задание.

Найти корни квадратных
трёхчленов:

,         
,         
.

Решение:

Напомним, что квадратный
трёхчлен, как и квадратное уравнение, может иметь: 1 корень, 2 корня
или не иметь корней вовсе.

Перейдём к разложению
квадратного трёхчлена на множители.

Если дискриминант
квадратного трёхчлена  положителен
,
то трёхчлен можно представить в виде:

где  и
 –
корни уравнения .

Если дискриминант
квадратного трёхчлена  равен
нулю ,
то трёхчлен можно представить в виде:

где  –
корень уравнения .

Формулы, которые вы
видите на экране, называются формулами разложения квадратного трёхчлена на
множители.

Если же квадратный трёхчлен
 не
имеет корней, то соответствующий многочлен  (со
старшим коэффициентом 1) называется неприводимым многочленом второй степени
(так как его невозможно разложить на множители меньшей степени).

Задание.

Разложить многочлены на
множители:

а) ;          
б) ;             
   в) .

Итак, первый квадратный
трёхчлен: .

Разложим на множители
следующий квадратный трёхчлен: .

И разложим на множители
последний квадратный трёхчлен: .

Задание.

Составить квадратный
трёхчлен, корнями которого являются числа 7 и ,
а старший коэффициент равен 1.

Итак, запишем квадратный
трёхчлен в общем виде: .
Если у него есть два корня, то можно разложить его на множители: .

Числа 7 и  корни
трёхчлена по условию.

Подставим  и
 в
формулу разложения квадратного трёхчлена на множители.

Итоги урока

На этом
уроке мы рассмотрели тему «квадратный трёхчлен». Вспомнили, что называют
квадратным трёхчленом. Как находят корни квадратного трёхчлена. А затем
поговорили о разложении квадратного трёхчлена на множители.

Квадратный трехчлен – это многочлен вида a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ).

Исследование квадратного трёхчлена

Задача:

C аэростата, находящегося на высоте 1000 м, сбросили груз со скоростью 20 м в секунду. На каком расстоянии от земли этот груз будет через 15 сек.? (Сопротивление воздуха в расчёт не принимается.)

Путь, проходимый падающим телом, вычисляется по формуле: (1)
где — начальная скорость, a g=9,8 м/сек²—ускорение силы тяжести.

В данном случае =20 м/сек² , и формула примет вид:
s=20t+4,9t². (2)

Такой путь пройдёт падающий груз за t секунд. Значит, через t секунд он будет находиться на высоте
x=1000-20t— 4,9t² (3)
метров от земли. Чтобы определить х — высоту груза над землёй через 15 сек., очевидно, достаточно в (3) подставить t = 15 и произвести вычисления. Получим:
x = 1000-20∙15-4,9∙15²= —402,5.

Отрицательное значение х здесь не имеет смысла, и, следовательно, наша задача не имеет решения. Почему так получилось? Чтобы ответить на этот вопрос, определим сначала, через сколько секунд сброшенный груз упадёт на землю? Очевидно, это произойдёт в тот момент, когда груз пройдёт путь, равный высоте, с которой он был сброшен, т. е. 1000 м. Значит, мы должны иметь:
20t- 4,9t² =1000,
или
4,9t² +20t-1000= 0. (4)

Решив это уравнение, найдём t =12,4 сек. (с точностью до). Берём только положительный корень. Значит, через 12,4 сек. груз уже упал на землю, а потому вопрос задачи не имеет смысла.

При каких же значениях t задача допускает вполне определённое решение? Очевидно, только для тех значений, при которых путь, пройденный грузом, меньше 1000 м, т. е. при условии, что
4,9t²+20t< 1000,
или, что то же,
4,9t2⅛20∕ — 1000 <0. (5)

Значит, задача имеет решение только при таких (положительных) значениях /, при которых трёхчлен 4,9t²+20t— 1000 является отрицательным числом. Это будет при t<12,4.

Во многих задачах, как в приведённой выше, требуется определить для данного трёхчлена, при каких значениях входящей в него буквы он является положительным и при каких отрицательным. В этом и заключается исследование квадратного трёхчлена.

Квадратный трёхчлен, имеющий действительные различные корни

Пример:

Пусть дан трёхчлен:
y=2x² — 7x+3. (1)

Требуется определить, при каких значениях х этот трёхчлен будет иметь положительные и при каких отрицательные значения.

Мы знаем, что всякий квадратный трёхчлен можно представить в виде произведения коэффициента при х² и разностей между переменным и корнями трёхчлена.

Найдём корни данного трёхчлена, для чего решим уравнение
2x² — 7x+3=0. (2)

Получим: ; x₂=3 (через x₁ будем в дальнейшем обозначать меньший из действительных корней). Тогда данный трёхчлен можно представить в таком виде:
(3)

Исследуем теперь, при каких значениях х это произведение будет числом положительным и при каких отрицательным. Разберём три случая.

1. Пусть , тогда и подавно x<3. Отсюда, перенеся все члены в левую часть, получим:

Следовательно, произведение , как произведение двух отрицательных чисел, является числом положительным. По умножении его на положительное число 2 получим опять положительное число. Отсюда следует, что при выражение (3), а значит и данный трёхчлен является положительным числом.

2. Пусть
но х <3,
т. е. значения х заключены между корнями данного трёхчлена. Из этих неравенств, после переноса членов в левую часть, получим:
и х — 3<0.

Стало быть, в произведении один сомножитель положителен, другой отрицателен. Значит, произведение будет отрицательно, и по умножении его на положительное число 2 получим отрицательное число. Итак, при

выражение (3), а следовательно, и данный трёхчлен, является отрицательным числом.

3. Пусть х>3, тогда и подавно . Отсюда получаем:
х — 3 >> 0 и х

Произведение , а следовательно, и произведение
будут положительными числами. Значит, при х>3
данный трёхчлен — число положительное. Итак, мы пришли к следующему выводу. Трёхчлен 2x²-7x+3 имеет положительные значения при всех значениях х, меньших , и при всех значениях х, больших 3. Трёхчлен имеет отрицательные значения при всех значениях х, заключённых между и 3.

Проверка сделанных выводов на некоторых числовых значениях х дана в следующей таблице, где в верхней строке даны значения х, а в нижней — соответствующие значения трёхчлена:

x	-5	-3	-1	0	1	2	4	7	10
2x²-7х+3	88	42	12	3	-2	-3	7	52	133

К тем же результатам мы придём, если рассмотрим график трёхчлена 2x²-7х+3. Мы знаем, что этим графиком является парабола, пересекающая ось x-ов в точках, абсциссы которых равны и 3. Из рассмотрения графика (черт. 36) непосредственно видно, что точки параболы, абсциссы которых меньше или больше 3, расположены выше оси х-ов, и значит, их ординаты, т. е. значения y=2x²-7x+3, будут положительны.

Точки же параболы, абсциссы которых заключены между и 3, находятся ниже оси х-ов, и значит, их ординаты отрицательны.

Пример:

Исследуем таким же способом трёхчлен:
y=3x²-x-10.

Решив квадратное уравнение Зх²-х-10=0, найдём корни данного трёхчлена. Они будут равны: и х₂=2. Тогда трёхчлен
можно представить в таком виде:

или

Рассуждая так же, как и в первом примере, найдём:
1) При будет также и x<2. Отсюда:
и х-2<0.
Следовательно, при этих значениях х произведение
т. е. данный трёхчлен имеет положительные значения.

2) При и x<2 будем иметь:
и х-2<0.
Следовательно,

т. е. трёхчлен имеет отрицательные значения.

3) При х>2 будет также и . Тогда будем иметь:
и х — 2 > 0.
Отсюда:

и трёхчлен имеет положительные значения.

Общий вывод будет такой же, как и в первом примере: трёхчлен имеет положительные значения при всех значениях х, меньших , и при всех значениях х, больших 2.

Он имеет отрицательные значения для всех значений х, заключённых между и 2. Этот вывод подтверждается таблицей, а также графиком трёхчлена Зх² — х — 10 (черт. 37).

x	-5	-2	-1	0	1	2	3	5
Зх²-х-10	70	4	-6	-10	-8	0	14	60

Пример:

Рассмотрим теперь такой трёхчлен, у которого первый коэффициент (т. е. коэффициент при х²) является отрицательным
числом. Пусть, например, дан трёхчлен:
y=-2x²+4x+16.

Найдя корни этого трёхчлена: x₁= — 2 и x₂=4, мы можем его переписать так:
y=-2(x+2) (x-4)

Исследуя знак этого произведения в том же порядке, как и в предыдущих примерах, мы найдём:

1. При х < 2 будет также и х<4. Отсюда:
x+2<0 и х-4<0.

Произведение этих множителей (x+2) (х-4) положительно. Но при умножении этого положительного числа на —2 получим, очевидно, отрицательное число, и, значит, данный трёхчлен при х<-2 имеет отрицательные значения.

2. При х>-2 и x<4 имеем:
x+2> 0 и х — 4<0.

Произведение (x+2) (x-4) — число отрицательное, а, значит, по умножении его на отрицательное число — 2 получится положительное число.

Следовательно, при значениях х, заключённых между корнями трёхчлена — 2 и 4, данный трёхчлен имеет положительные значения.

3. Наконец, при х>4 получим:
x+2>0 и х-4>0.

Произведение (x+2) (х-4) — число положительное. По умножении его на — 2 получим отрицательное число, и, значит, трёхчлен при х>4 имеет отрицательные значения.

Мы видим, что в этом случае мы имеем положение, обратное тому, которое наблюдали в первых двух примерах: при значениях х, меньших — 2, и при значениях, больших 4, он имеет отрицательные значения; при значениях х, заключённых между корнями трёхчлена, он имеет положительные значения. Этот вывод подтверждает и таблица для отдельных числовых значений х.

x	-5	-3	-2	-1	0	1	3	4	5	8
-2x²+4x+16	-54	-14	0	10	16	18	10	0	-14	-80

К тому же выводу мы придём, если рассмотрим график трёхчлена -2x²+4x+16. Мы уже знаем, что при a<0 график трёхчлена αx²+bx+c будет обращён вершиной вверх и пересечёт ось х-ов в точках, абсциссы которых равны корням трёхчлена. В данном случае график имеет такой вид (черт. 38). Мы видим, что при х<-2 и при х> 4 ординаты точек кривой, т. е. значения у =- 2x²+4x+16, отрицательны, а при — 2<x< 4 — положительны.

Сопоставляя третий пример с первым и со вторым, мы замечаем, что во всех трёх случаях при значениях х, меньших меньшего корня, а также больших большего корня, трёхчлен имеет тот же знак, что и коэффициент при x²; при значениях х, заключённых между корнями, трёхчлен имеет знак, противоположный знаку коэффициента при х².

Убедимся в том, что такой вывод верен для любых значений коэффициентов а, b и с в случае действительных и различных корней. Для этого исследуем квадратный трёхчлен в общем виде.

Общий случай:

Пусть дан трёхчлен:
y=αx²+bx+c,
где а, b и с — любые действительные числа, удовлетворяющие лишь тому условию, что трёхчлен имеет действительные и различные корни (и, конечно, α≠0). Обозначим эти корни через
x₁ и x₂ (x₁<x₂)

Тогда трёхчлен может быть представлен в таком виде:
y=a(x-x₁) (x-x₂).

Исследуем, какие значения имеет этот трёхчлен при различных значениях х.

1. Пусть x<x₁, а значит, x<x₂ (так как x₁<x₂).
Отсюда имеем:
х-x₁<0 и х-x₂<0.

Следовательно, произведение (х-x₁) (х-x₂) будет числом положительным. Отсюда следует, что а (х-x₁) (х-x₂) положительно, если а положительно, и отрицательно, если а отрицательно. Другими словами, при x<x₁ значение трёхчлена ax²+bx+c имеет тот же
знак, что и коэффициент а.

2. Пусть x<x₁ и x<x₂.
Тогда:
x-x₁>0 и x-x₂<0.
Произведение (х — x₁) (х — x₂), как произведение чисел с разными знаками, будет числом отрицательным. Отсюда следует, что произведение а (х — x₁) (х — x₂) отрицательно при положительном а и положительно при отрицательном а.

Значит, в этом случае значения трёхчлена имеют знак, противоположный знаку коэффициента а.

3. Пусть х>х₂, а значит, и x>x₁ (так как x₂ >x₁).
Тогда:
х —x₂>0 и х —x₁>0

Произведение (х — x₁) (х — x₂) будет положительным, а следовательно, произведение а (х — x₁) (х — x₂) положительно при а положительном и отрицательно при а отрицательном. Значит, в этом случае числовое значение трёхчлена имеет тот же знак, что и коэффициент а.

Объединяя все три случая, мы можем теперь сделать такой общий вывод:

Если квадратный трёхчлен ax²+bx+c имеет действительные различные корни, то при значениях х, меньших меньшего из корней, и при значениях х, больших большего из корней, он имеет тот же знак, что и коэффициент при x². При значениях х, заключённых между корнями трёхчлена, он имеет знак, противоположный знаку коэффициента при х².

Примечание. Если условиться называть значения х<x₁ и х>x₂ значениями х вне промежутка между корнями, а значения x₁<x<x₂ значениями х внутри промежутка между корнями, то этот вывод можно ещё сформулировать так:

Если трёхчлен ax²+bx+c имеет действительные различные корни x₁ и x₂, то при значениях х вне промежутка между корнями трёхчлен имеет тот же знак, что и коэффициент при х²; при значениях х внутри промежутка между корнями трёхчлен имеет знак, противоположный знаку коэффициента при x².

Квадратный трёхчлен, имеющий равные корни

Пример:

Пусть требуется исследовать трёхчлен:
y=2x²-8х+8.

Найдём корни этого трёхчлена, для чего приравняем его нулю и решим уравнение:
2х² —8x+8=0.

Получим x₁= x₂=2. Значит, данный трёхчлен можно представить в таком виде:
y=2(x-2) (х-2),
или
y=2 (х — 2)².

Очевидно, что при любых действительных значениях x, кроме х=2, выражение (х — 2)² — число положительное. А значит, и по умножении его на положительное число 2 будем иметь положительное число. Следовательно, трёхчлен 2x²-8x+8 имеет положительные значения при всех значениях х, кроме значения, равного корню трёхчлена, т. е. при х=2.
(При х=2 трёхчлен равен нулю.)

Построив график трёхчлена 2x²-8x+8, мы замечаем (черт. 39), что при всех значениях х точки кривой расположены выше оси х, т. e. y>0, и только при x= 2 будет y=0. В этой точке кривая касается оси абсцисс.

Пример:

Исследуем трёхчлен:

Найдём корни этого трёхчлена, для чего решим уравнение:

Получим: x₁=x₂=3. Следовательно, данный трёхчлен можем представить в таком виде:

или

Как и в предыдущем примере, заключаем, что выражение (х-3)² при всех значениях х, кроме х=3, является числом положительным.

По умножении его на получим отрицательное число.

Таким образом, в этом случае при всех значениях х, кроме х=3, трёхчлен имеет отрицательные значения.

Построив график трёхчлена , мы видим
(черт. 40), что все точки параболы, кроме точки (3; 0), находятся ниже оси х-ов. Значит, ординаты всех этих точек, т. е. значения , будут отрицательны.

Сопоставляя оба примера, мы замечаем, что в обоих случаях знак численной величины трёхчлена совпадает со знаком коэффициента при x². Чтобы убедиться, что это имеет место при любых коэффициентах (в случае равных корней), рассмотрим трёхчлен в общем виде.

Общий случай: Пусть дан трёхчлен:
y=ax²+bx+c,
причём известно, что он имеет равные корни. Обозначив корень через x₁, представим трёхчлен в таком виде:
y = α(x- x₁) (x-x₁),
или
y = α(x- x₁)²

Отсюда заключаем: какова бы ни была разность x-x₁, если только она не равна нулю, квадрат этой разности является числом положительным. Значит, при положительном а произведение а (x-x₁ )², а следовательно, и у будут числами положительными, а при отрицательном а — отрицательными. Таким образом, мы можем сделать вывод:

Если трёхчлен имеет равные корни, то при всех значениях х, кроме значения, равного корню трёхчлена, значения трёхчлена имеют тот же знак, что и коэффициент при х².

Квадратный трёхчлен, имеющий мнимые корни

Пример:

Исследуем трёхчлен:
y=2x²-3x+3.

Решая уравнение 2x²-3x+3=0, мы получим:

Корни трёхчлена оказались мнимыми. В этом случае разности x-x₁ и x-x₂ будут мнимыми числами. Так как вопрос о знаке мнимых чисел не имеет смысла, то мы проведём исследование данного случая другим способом. Вынесем сначала за скобки первый коэффициент, получим:

Рассматривая теперь второй член , равный , как удвоенное произведение х и дополним выражение

до полного квадрата, прибавив, а затем вычтя

Будем иметь:

Исследуем теперь полученное выражение. Очевидно, что при любых значениях х выражение — число положительное и
только при равно нулю. Второе слагаемое в прямых скобках — тоже положительное число. Значит, и вся сумма в прямых скобках положительна. От умножения её на положительное число 2 получим опять положительное число. Итак, в данном случае трёхчлен имеет положительные значения при всех значениях х.

График трёхчлена y=2x²-3x+3 (черт. 41) показывает, что действительно все точки параболы расположены выше оси х-ов, т. е. их ординаты положительны.

Пример:

Исследуем трёхчлен:
y= — 3x²+2x- 1.

Решив уравнение —3x²+2x—1=0, найдём его корни.
Имеем:

Корни трёхчлена оказались мнимыми. Применим поэтому тот же способ исследования, что и в примере 1. Вынесем за скобки первый коэффициент и в скобках выделим квадрат двучлена:

Выражение равно нулю при и положительно при всех других значениях х. Значит, сумма всегда положительна.

По умножении её на — 3 получим отрицательное число. Отсюда делаем вывод, что трёхчлен — 3x²+2x — 1 имеет отрицательные значения при всех значениях х. График трёхчлена (черт. 42) показывает, что все точки параболы расположены ниже оси х-ов, т. е. их ординаты отрицательны.

Сопоставляя примеры 1 и 2, замечаем, что в обоих случаях знак численной величины трёхчлена совпадал со знаком коэффициента при х² при всех без исключения значениях переменного х. Покажем, что это будет иметь место для всякого трёхчлена, имеющего мнимые корни.

Общий случай: Пусть дан трёхчлен:
y=ax²+bx+c,

причём известно, что он имеет мнимые корни. Мы знаем, что в этом случае должно быть
b² — 4αc < 0.

Преобразуем трёхчлен так же, как мы это делали в примерах 1 и 2:

или

Прибавим и вычтем по получим:

При всех значениях х выражение положительно или
равно нулю . Посмотрим, какой знак имеет второе слагаемое . Мы уже знаем, что в случае мнимых корней выражение b² — 4ас отрицательно. Это значит, что противоположное ему число — (b²— 4ас), т. е. 4ас—b², будет числом положительным. Знаменатель 4α²— тоже число положительное. Следовательно, всё выражение —— является положительным числом. Итак, вся сумма, заключённая в прямые скобки, является положительным числом при всех (действительных) значениях х.

Отсюда следует, что знак численной величины трёхчлена зависит только от знака а; при а положительном и трёхчлен имеет положительные значения, при отрицательном — отрицательные.

Итак, мы можем сделать вывод:

Если трёхчлен имеет мнимые корни, то при всех значениях х его численная величина имеет тот же знак, что и коэффициент при х².

Общий вывод: Мы можем теперь подвести общий итог проведённого исследования квадратного трёхчлена. Но прежде сделаем следующие замечания.

1. Мы разбили исследование трёхчлена на три случая в зависимости от того, какие корни имеет трёхчлен. Но мы знаем что корни квадратного уравнения связаны с его дискриминантом b²—4ас следующей зависимостью:
1) Если b²— 4αc>0, то корни действительны и различны.
2) Если b² — 4αc=0, то корни действительны и равны.
3) Если b² — 4ас<0, то корни мнимы.

Следовательно, вместо того чтобы говорить, например: „если корни трёхчлена действительны и различны’, — мы можем сказать короче: „если дискриминант больше нуля’; аналогично изменяем формулировку и в остальных двух случаях.

2. Мы исследовали, какой знак имеет численная величина трёхчлена при различных численных значениях переменного. В дальнейшем для краткости вместо „знак численной величины трёхчлена’ условимся говорить короче: „знак трёхчлена’, помня, что речь идёт о знаке числа, которое получится, если вместо переменного подставить его численное значение. Точно так же вместо слов „трёхчлен имеет положительные (отрицательные) значения’ будем говорить короче: „трёхчлен положителен (отрицателен)’. Теперь мы можем сформулировать общий вывод так:

1) Если дискриминант трёхчлена ax²+bx+c положителен, то при всех значениях х, заключённых внутри промежутка между корнями, он имеет знак, противоположный знаку коэффициента а; при всех значениях х, содержащихся вне этого промежутка, трёхчлен имеет тот же знак, что и коэффициент а.

2) Если дискриминант трёхчлена равен нулю, то трёхчлен при всех значениях х, кроме значения, равного корню трёхчлена, имеет тот же знак, что и коэффициент а.

3) Если дискриминант отрицателен, то при всех значениях х трёхчлен имеет тот же знак, что и коэффициент а.
Этот вывод можно представить в виде следующей таблицы:

Дискриминант	Значение х	Знак у = ax²+bx+c
		α>0	α<0
b² — 4αc > 0	1) x₁<x<x₂ 2) x<x₁; x>x₂	отрицательный положительный	положительный отрицательный
b² — 4ac = 0	любое, кроме x=x₁=x₂	положительный	отрицательный
b² — 4αc<0	любое	положительный	отрицательный

Примеры:

1. у = x² -7x+10. Дискриминант: b²-4ac=49-40 = 9>0; α=1>0. Корни трёхчлена: x₁ = 2; x₂ = 5. Следовательно, при х<2 и при х>5 трёхчлен положителен, а при 2<x<5 — отрицателен.

2. у =-2x²+6x+80. Дискриминант: 36+640=676>0;
а=-2<0. Корни трёхчлена: x₁ =-5; x₂ =8. Следовательно, при -5<x<8 трёхчлен положителен; при х<-5 и при x>8 — отрицателен.

3. у = —x²+4х-15. Дискриминант: 16- 4·15=-44 <0. Следовательно, при всех значениях х трёхчлен отрицателен.

4. y=5x²-10x-5. Дискриминант: 10²-4∙5∙5=0. Корень трёхчлена: x₁= x₂=1; α=5>0. Следовательно, при всех значениях х, кроме х=1, трёхчлен положителен.

5. Определить, при каких значениях m трёхчлен 2x²-6x+m будет иметь положительные значения при любом значении х. Так как здесь α=2>0, то трёхчлен будет иметь положительные значения при любом х в том случае, если b²— 4αc<0. Подставляя сюда значения: α=2, b=-6, с=m, получим: 36-4∙2m=36- 8m. Значит, должно быть 36 — 8m<0. Отсюда находим: m >. Итак, при m, большем , данный трёхчлен будет иметь положительные значения при любом значении х.

6. Определить, при каких значениях р трёхчлен x²+(p— 2) x+4-2p+l будет иметь положительные значения при любом значении х.

Дискриминант трёхчлена (р — 2)²—4(2p+1) =p²-12p=p(p—12). Следовательно, для того чтобы данный трёхчлен имел положительные значения при любом х, должно быть:
p(p-12)<0.

Решив уравнение:
р (р -12)=0,
найдём:
p₁=0; p₂=12.

Решим неравенство: р(р — 12) < 0. Оно будет верно при условии
I p< 0 и р — 12 >0 или
II р>0 и р—12≤0.

Первая система неравенств несовместна (при р < 0, очевидно, и р-12 < 0). Вторая же система даёт решение:
0<р< 12.

Итак, при всех значениях р от 0 до 12, т. е. при условии 0<p<12, данный трёхчлен имеет положительные значения при любом значении х.

Неравенства второй степени: Неравенствами второй степени с одним неизвестным называются неравенства вида:
ax²+bx+c > 0 (1)
и
ax²+bx+c < 0, (2)
где а, b и с — любые действительные числа, причём α≠0.

Так как неравенство вида (2) всегда может быть приведено к виду (1) путём умножения его на —1, то мы можем в дальнейшем ограничиться рассмотрением неравенств вида (1).

Решить неравенство — значит определить, при каких значениях х это неравенство справедливо. Для неравенства (1) это значит, что мы должны найти те значения х, при которых трёхчлен в левой части-является числом положительным.

После того как было изложено относительно знака квадратного трёхчлена, ответ на этот вопрос не представляет затруднений.

Решим несколько примеров.

Пример:

Пусть требуется решить неравенство:
2х²-13x+15> 0. (1)

Это значит, что нам нужно определить, при каких значениях х трёхчлен 2x²— 13x-f-15 является числом положительным. Решение проведём в таком порядке:

а) Устанавливаем, что первый коэффициент положителен (α=2>0).
б) Устанавливаем, что дискриминант трёхчлена 132 — 4∙2∙15>0.
Отсюда заключаем , что неравенство (1) справедливо при всех значениях х, больших большего, и при всех значениях х, меньших меньшего из корней трёхчлена.
в) Чтобы определить эти значения, решаем уравнение:
2x² — 13x+15=0.

Находим: x₁=; x₂=5.

Следовательно, данное неравенство справедливо при значениях х, меньших, и при значениях х, больших 5.

Пример:

Решить неравенство:
— 4x²+4x-1 <0. (1)

Умножив обе части на —1, получим равносильное неравенство:
4x² — 4x+1 >0. (2)

а) Коэффициент α=4>0.
б) Дискриминант 4²-4·4=0.

Следовательно, трёхчлен имеет равные корни. В этом случае, как мы знаем, трёхчлен (2) имеет положительные значения при всех значениях х, кроме значения, равного корню трёхчлена. Найдём этот корень, решив уравнение:
4x² — 4x+1=0.

Получим . Итак, данное неравенство (1) справедливо при всех значениях х, кроме .

Пример:

Решить неравенство:
3x²- 5x+4 >0.

а) Коэффициент α=3 > 0.
б) Дискриминант 5²-4∙3∙4=-23 <0.
Отсюда сразу заключаем, что неравенство справедливо при любых значениях х.

Пример:

Решить неравенство:
(2х — 1) (x+3) — (x+7) (х-1) — 4х < 0.

Раскрыв скобки и произведя упрощения, получим:
x² -5x+4< 0, (1)
или по умножении на — 1:
— x²+5x-4>0. (2)

а) Коэффициент
а= —1 <0.
б) Дискриминант
5²-4-(— 1).(— 4)=9>0.

Следовательно, неравенство (2), а значит, и (1) справедливо при всех значениях х, заключённых между корнями трёхчлена. Найдём эти корни:
х² —5x+4=0,
отсюда x₁=1, x₂=4. Итак, неравенство (1) справедливо при 1<х<4.

Пример:

Решить неравенство:
-x+ < 0. (1)

Умножив обе части на —6, получим:
— x²+6x- 9 > 0. (2)

а) Коэффициент а=-1<0.
б) Дискриминант 6²- 4·(—1)∙(—9)=0. Отсюда сразу заключаем, что неравенство (1) не имеет решений (при х=3 трёхчлен (2) равен 0, при всех остальных значениях — отрицателен).

Пример:

Решить неравенство:

— 3x²+4x- 10 >0.

Так как а=-3<0 и дискриминант 4²-120<0, то непосредственно заключаем, что неравенство решений не имеет.

Решённые примеры, а также рассмотрение таблицы приводят к следующему общему выводу для неравенства:
ax²+bx+-c>0.

I. Если b²-4αc<0, то:
а) при α > 0 неравенство справедливо при любых значениях х;
б) при α < 0 неравенство не имеет решений.

II. Если b²- 4αc=0, то:
а) при α > 0 неравенство справедливо при всех значениях х, кроме значения, равного корню трёхчлена в левой части;
б) при α < 0 не имеет решений.

III. Если b² — 4ас > 0, то:
а) при α > 0 неравенство справедливо при значениях х, больших большего, и при значениях х, меньших меньшего из корней трёхчлена в левой части (или, как мы условились говорить короче: „при значениях х вне промежутка между корнями трёхчлена»);
б) при α< 0 неравенство справедливо при значениях х, заключённых между корнями трёхчлена в левой части (или при значениях х внутри промежутка между корнями).

Примечание. Во всех приведённых примерах мы проводили решение, полностью основываясь на результатах исследования квадратного трёхчлена. Но, конечно, в каждом случае возможно и вполне самостоятельное исследование. Так, в примере 1, решив уравнение 2x²—13x+15=0 и найдя x₁=, x₂=5, мы могли данное неравенство представить в виде:

Теперь решение данного неравенства привелось к решению двух систем неравенств первой степени:

Первая система даёт х > 5, вторая: х <. Значит, данное неравенство справедливо при значениях х>5 и при значениях х<.
Мы пришли к тому же результату, что и в первом примере, но гораздо более длинным путём.

Решим теперь несколько неравенств более сложного вида.

Пример:

Решить неравенство:

Решение этого неравенства приводится к решению двух систем:

Решим первую систему неравенств. Так как 8²-4 ∙7=36>0, то трёхчлен x²-8x+7 имеет действительные и различные корни. Решив уравнение х²-8x+7=0, найдём: x₁=1; x₂=7. В таком случае, как мы знаем, неравенство (1) будет иметь место при x<1 и при х>7.

Но решив неравенство (2), найдём х>3. Значит, обоим неравенствам удовлетворяют лишь значения х>7.

Решим вторую систему. Неравенство (3) будет справедливо при всех значениях х, заключающихся между 1 и 7, т. е. при 1 < x < 7. Но неравенство (4) даёт x<3. Следовательно, обоим неравенствам вместе удовлетворяют лишь значения х, заключённые между 1 и 3, т. е. при 1 < x < 3. Теперь мы можем сделать общий вывод: данное неравенство справедливо:
при 1< x< 3 и при х > 7.

Проверьте правильность решения подстановкой в данное неравенство значений: x=- 1; 0; 1; 2; 4; 6; 8; 10.

Пример:

Решить неравенство:

Решение приводится к решению систем:

или

Так как 9²-56=25>0 и 5²-16=9>0, то оба трёхчлена имеют действительные и различные корни. Решив соответствующие уравнения, найдём для первого трёхчлена: x₁=2; x₂=7, второго трёхчлена: x₁=1;x₂=4. Отсюда заключаем:

1) Неравенство (1) справедливо при x<2 и х>7, а неравенство (2) — при х<1 и x>4. Следовательно, оба неравенства вместе будут верны лишь при х<4 и х >7.

2) Неравенство (3) верно при 2<x<7, а неравенство (4)—при 1<х<4. Следовательно, оба неравенства одновременно будут иметь место лишь при 2<x<4. Итак, решениями данного неравенства будут следующие значения х: 1) х<1; 2) 2<x<4; 3) x>7.

Замечание:

Найдя корни обоих трёхчленов, мы могли данное неравенство представить в таком виде:

Тогда решение этого неравенства свелось бы к решению двух систем:

или

Решение каждого из этих неравенств мы можем провести подобно тому, как это было сделано в первом примере. Очевидно, что мы пришли бы к тому же результату, как и выше, но ход решения был бы значительно более длинным.

Пример:

Решить неравенство:

Решение сводится к решению систем:

или

Дискриминанты трёхчленов: 3²+4∙ 10=49>0 и 3²-4∙10= =-31<0. Отсюда сразу заключаем, что система I не имеет решений. Действительно, раз дискриминант трёхчлена (2) меньше нуля, то трёхчлен положителен при любых значениях х и, следовательно, неравенство (2) не может иметь места.

Обращаемся к системе II. Мы уже знаем, что неравенство (4) верно при всех значениях х. Значит, остаётся решить неравенство (3). Найдя корни трёхчлена x²-Зх-10, получим: x₁=-2; x₂=5. Следовательно, решениями неравенства (3), а значит, и системы II будут лишь значения х, заключённые между -2 и 5.

Итак, данное неравенство будет верно при —2≤x≤5.

Квадратный трехчлен и квадратные неравенства

Умение решать квадратные неравенства необходимо каждому учащемуся, готовящемуся к выпускным экзаменам в школе и вступительным экзаменам в вузе. Чтобы успешно решать квадратные неравенства и сводящиеся к ним, следует твердо знать свойства квадратного трехчлена и квадратичной функции.

График квадратичной функции.

Функцию

где а,b,с — действительные числа, причем , называют квадратичной. Область ее определения — множество R действитель-ных чисел.

Применив метод выделения полного квадрата, запишем квадратичную функцию (1) в виде

где

Введем следующие обозначения:

Тогда формула (1) примет вид

Из формулы (4) следует, что графиком квадратичной функции является такая же парабола, как но сдвинутая вдоль оси Ох на |m| единиц и вдоль оси Оу на |l| единиц так, что ее вершина — точка А(m;l).

Знак числа а определяет направление ветвей параболы: при а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а < 0 — вниз. Ось симметрии параболы — прямая, параллельная оси Оу и проходящая через вершину А параболы.

График функции можно построить, используя следующую схему:

1) найти координаты вершины А(m;l) параболы, пользуясь формулами (3) или применяя метод выделения полного квадрата;

2) построить ось параболы;

3) найти точки пересечения параболы с осью Оу и осью Ох (найти корни уравнения , если

4) нарисовать эскиз графика функции, используя найденные точки и учитывая роль знака числа а.

Для более точного изображения параболы найти координаты нескольких ее точек.

На рис. 20.1 изображен график функции

Теорема:

Квадратичная функция принимает при наименьшее значение, если а > 0, и наибольшее значение, если а < 0.

Для доказательства этой теоремы можно воспользоваться формулой

где

Замечание:

Эта теорема имеет простой геометрический смысл. Если а > 0, то самая нижняя точка параболы (рис. 20.2) — ее вершина А(m;l). Ордината l вершины и есть наименьшее значение функции т. е. Значение l функция принимает при Аналогично рассматривается случай а < 0.

Исследование квадратного трехчлена

Теорема:

Если то при всех знак квадратичной функции совпадает со знаком числа а (рис. 20.3 и 20.4).

Теорема:

Если D = 0, то при всех , кроме знак квадратичной функции совпадает со знаком числа а; при квадратичная функция обращается в нуль (рис. 20.5 и 20.6).

Теорема:

Если D > 0, то знак квадратичной функции

а) совпадает со знаком числа а для всех х, лежащих вне отрезка где — корни уравнения

такие, что (рис. 20.7 и 20.8),

б) противоположен знаку числа а при всех х таких, что (рис. 20.7 и 20.8).

Теоремы 2 и 3 можно доказать с помощью формулы (5), записанной в виде

а теорему 4 — с помощью разложения квадратного трехчлена на множители:

Теорема:

Квадратичная функция принимает положительные значения при всех тогда и только тогда, когда

Доказательство:

Достаточность следует из теоремы 2. В самом деле, если то по теореме 2 знак у совпадает со знаком числа при и при для всех .

Докажем необходимость, т. е. покажем, что если при всех , то и . Предположим, что условие не выполняется, тогда и поэтому квадратный трехчлен имеет действительные корни и ( при ), т. е.

что противоречит условию ( при всех ). Итак, и в силу теоремы 2 имеем .

Квадратные неравенства.

Пусть где — заданные числа, причем — неизвестное. Тогда неравенства вида

называют квадратными неравенствами или неравенствами второй степени, причем первые два из этих неравенств называют строгими, остальные — нестрогими.

Перейдем к нахождению решений квадратных неравенств. Ограничимся рассмотрением строгих неравенств и заметим, что всякое строгое квадратное неравенство можно привести к одному из следующих видов:

Из теорем 2-4 следует:

1) если

то решениями неравенства (1) являются все действительные числа (см. рис. 20.3), а неравенство (2) не имеет решений;

2) если , то решениями неравенства (1) являются все действительные значения , кроме (см. рис. 20.5), а неравенство (2) не имеет решений;

3) если то решениями неравенства (1) являются все числа такие, что или (см. рис. 20.7), где и— корни квадратного уравнения т.е. все значения , лежащие вне отрезка решениями неравенства (2) являются числа такие, что (см. рис. 20.7), т.е. все значения из интервала

Примеры с решениями:

Пример:

Определить знаки чисел если парабола расположена так, как указано на рис. 20.9.

Решение:

Ветви параболы направлены вверх и поэтому . Из рис. 20.9 видно, что абсцисса вершины параболы отрицательна, т. е. , откуда следует, что так как .

Наконец, , поскольку — ордината точки , в которой парабола пересекает ось

Ответ.

Пример:

Квадратичная функция при принимает наибольшее значение равное , а при она обращается в нуль. Найти значение этой функции при

Решение:

Так как — значение функции при , то в формуле (5) и поэтому По условию т. е. откуда Итак, откуда находим

Ответ.

Пример:

Квадратный трехчлен не имеет действительных корней, а его коэффициенты связаны условием Определить знак числа .

Решение:

По условию график квадратичной функции не пересекает ось . Это означает, что либо , либо при всех . Заметим, что и поэтому при всех . В частности,

Ответ. .

Пример:

Квадратичная функция принимает при положительное значение, а при — отрицательное значение. Можно ли утверждать, что квадратный трехчлен имеет действительные корни?

Решение:

Предположим, что квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Тогда парабола не пересекает ось и поэтому либо при всех , либо при всех , что противоречит условиям данного примера. Следовательно, квадратный трехчлен имеет действительные корни.

Пример:

Решить неравенство:

Решение:

а) Неравенство равносильно неравенству а его Решениями являются все значения .

б) Неравенство равносильно неравенству и имеет единственное решение

в) Уравнение имеет корни а решения неравенства

все числа , лежащие вне отрезка т.е. все значения такие, что или

г) Уравнение имеет корни а решения неравенства — все числа из отрезка т. е.

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Полагая получаем неравенство равносильное неравенству откуда находим Поэтому множество решений исходного неравенства — объединение множеств решений неравенств и которые равносильны неравенствам и соответственно.

Ответ.

Пример:

Найти все значения , при которых неравенство

верно для всех .

Решение:

Если , то неравенство (3) справедливо Если то неравенство (3) имеет вид и не является верным для всех (например, число не является решением этого неравенства).

Пусть т. е. и Тогда задачу можно сформулировать так: найти все значения , при которых квадратичная функция

принимает положительные значения для всех .

По теореме 5 это имеет место тогда и только тогда, когда дискриминант квадратного трехчлена (4) отрицателен, а коэффициент при положителен, т. е. для всех , удовлетворя-ющих системе неравенств

Неравенство (5) равносильно каждому из неравенств а его решения — значения такие, что или

Неравенство (6) справедливо при и Следовательно, решениями системы (5), (6) являются значения такие, что или

Ответ.

Пример:

Найти все значения , при которых неравенство

верно для всех значений .

Решение:

Так как

для всех , то, умножая обе части исходного неравенства на получаем равносильное неравенство

Неравенство

равносильное неравенству (7), не является верным при

Если то неравенство (8) является квадратным и справедливо для всех тогда и только тогда, когда и

Отсюда следует, что , т. е.

Ответ.

Пример:

Найти все значения , при которых неравенство

верно для всех значений

Решение:

Пусть неравенство (9) является верным для каждого Тогда оно верно при и Подставляя эти значения в (9), получаем систему неравенств

Первому неравенству системы (10) удовлетворяют значения и , второму — значения и откуда следует, что множество решений системы (10) — совокупность промежутков

Таким образом, условия (11) являются необходимыми (искомыми значениями могут быть только такие значения, которые содержатся в промежутках и ).

Покажем, что условия (11) являются достаточными. Пусть и ; тогда и, значит, неравенство (9) — верное.

Пусть и ; тогда и поэтому неравенство (9) справедливо.

Ответ.

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Данное неравенство равносильно системе неравенств

которая равносильна следующей системе:

Множество решений первого неравенства — интервал второе неравенство является верным при всех

Ответ.

Пример:

Решить неравенство

Решение:

На рис. 20.10 изображены графики четных функций и Решив уравнение найдем его положительный корень

График функции лежит выше графика функции вне отрезка Поэтому множество решений данного неравенства— совокупность промежутков и

Ответ.

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Данное неравенство равносильно совокупности неравенств

и

Множество решений первого неравенства, равносильного неравенству

представляет собой объединение промежутков и . Множество решений второго неравенства, равносильного неравенству

есть интервал

Ответ.

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Первый способ. Число не является решением данного неравенства, а при неравенство справедливо: его левая часть неотрицательна при всех , а правая отрицательна.

Если , то исходное неравенство равносильно совокупности неравенств

Эти неравенства равносильны неравенствам

соответственно. Решив систему

получаем

Аналогично, из системы

следует, что . Итак, множество решений данного неравенства — объединение промежутков

Ответ.

Второй способ. Построим графики функций и (рис. 20.11).

Эти графики имеют общую точку . Две другие общие точки получим, найдя отрицательные корни уравнений и Такими корнями являются и При и график функции лежит выше графика функции

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Воспользуемся тем, что неравенство равносильно каждому из неравенств Тогда данное неравенство равносильно каждому из следующих неравенств где Отсюда находим множество решений неравенства:

Ответ.

Пример:

Найти множество значений функции , если:

Решение:

а) Число а принадлежит множеству значений функции тогда и только тогда, когда уравнение имеет действительные корни. Функция определена при , а уравнение

можно записать в виде или в виде

Уравнение (12) при имеет корень , а при является квадратным и имеет действительные корни тогда и только тогда, когда , где Отсюда получаем

Ответ.

б) Пусть , тогда и где

График функции на отрезке изображен на рис.20.12.

Из рис. 20.12 видно, что т. е. причем функция принимает все значения из отрезка Следовательно,

Ответ.

Пример:

Найти все значения , при которых расстояние между вершинами парабол и меньше .

Решение:

Для нахождения координат вершин парабол воспользуемся методом выделения полного квадрата. Получим

Пусть и — вершины парабол, —расстояние между вершинами. Тогда

Пусть тогда По условию , откуда или

Так как то полученное неравенство равносильно неравенству , откуда

Ответ.

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Квадратный трехчлен и алгоритм решения с примерами

Почти вся теория квадратного трехчлена, а также решение многих задач, связанных с ним, основываются на приеме, называемом «выделение полного квадрата». Применяя этот прием к квадратному трехчлену приходим к равенству

Нет необходимости эту формулу запоминать. Гораздо важнее в каждом конкретном случае уметь проделать соответствующие преобразования и выделить полный квадрат. Например,

Выражение называется дискриминантом квадратного трехчлена Квадратное уравнение имеет соответственно 2, 1 или 0 решений в зависимости от того, будет его дискриминант положительным (D>0), равным нулю (D = 0), или отрицательным ( D <0). (Напомним, что по опреде­лению квадратного уравнения ) Корни квадратного уравнения равны:

Правда, нумерация корней условна. Обычно стараются за­ нумеровать их в порядке возрастания, но это не обязательно.

Дадим два практических совета. Во-первых, если второй коэффициент (b) четный (причем он может быть просто четным числом, а может иметь вид b = 2k), то удобнее пользоваться для нахождения корней формулами

Во-вторых, старайтесь по возможности «работать» с квадратным трехчленом, у которого старший коэффициент (а — коэффициент при ) положительный. Этого всегда можно добиться при решении уравнений, неравенств с числовыми коэффициентами.

Задачи, связанные с квадратным трехчленом, встречающиеся в школьной и конкурсной практике, чрезвычайно разнообразны.
Нередки среди них такие, где основное, что требуется от учащегося,— это внимательность к формулировке. Например:

1.Определить все значения параметра а, при которых уравнение имеет один корень.

Решение:

Здесь главное — не забыть про случай а = 0, поскольку в условии не сказано, что рассматривается квадратное уравнение. При а = 0 имеем линейное уравнение с единственным корнем . Остальные значения параметра а мы получим из уравнения D = 0, а лучше

Ответ.

К азбуке квадратного трехчлена относится и теорема Виета. Для того чтобы были корнями уравнения необходимо и достаточно выполнения равенств Обратите внимание на то, что здесь сформулировано два утверждения — прямое и обратное. Часто, формулируя теорему Виета, ограничиваются одним прямым утверждением: «Если — корни квадратного уравнения то выполняются равенства…»

Некоторые логические и терминологические проблемы возникают в случае D = 0, но мы их не будем обсуждать. Заметим лишь, что выражения «квадратное уравнение, имеющее одно решение» и «квадратное уравнение с равными корнями» означают одно и то же.

Из теоремы Виета следует следующее разложение на множители квадратного трехчлена:

На теореме Виета основан целый ряд традиционных задач и методов решения.

2.Решить уравнение

Решение:

Решение этого уравнения непосредственно по формуле корней квадратного уравнения приводит к большим вычислительным трудностям.

Если же заметить, что 319-1988+1669 = 0, откуда следует, что является корнем уравнения, то по теореме Виета

Ответ.

Сталкиваясь с квадратным уравнением, решение которого требует громоздких арифметических или алгебраических пре­ образований, попытайтесь выяснить, не имеет ли это уравнение «хорошего» целого корня, в частности 1 (в этом случае имеет место равенство а+b + с = 0) или —1 (а —b + с = 0).

3.Пусть — корни уравнения Выразить через р и q.

Решение:

Нам нужно выразить через — и Имеем

Ответ.

4. Разложить на множители выражение

Решение:

Данное выражение можно рассматривать как квадратное относительно любого входящего в него переменного. Сгруппируем его члены и расположим их по степеням х. Получим

Коэффициент при х представляет собой квадратный трехчлен относительно у (можно z) Найдем его корни:

Следовательно,

Таким образом, в каждом из коэффициентов квадратного трех­ члена (1) есть множитель у — 2z. Вынося его за скобки, получим

Квадратный трехчлен имеет корни (проверьте):

Ответ.

Решая эту задачу, мы сознательно не стали использовать некоторые соображения, которые могли бы привести к цели быстрее. Так, например, выделив множитель (у — 2z), учитывая цикличность исходного выражения (оно не меняется при замене х на у, у на z, z на х), можно было сразу получить требуемое разложение на множители. В данном случае мы следовали по­ говоркам: «От добра добра не ищут» и «Тише едешь…» Однако в других, более сложных случаях подобного рода особенности могут сыграть решающую роль. И еще на одно очень важное обстоятельство следует обратить внимание: надо учиться «видеть» квадратный трехчлен в тех случаях, когда он не задан в стандарт­ ной канонической форме; уметь выделять переменное, параметр, алгебраическое выражение, относительно которого данное выражение представляет собой квадратный трехчлен; делать замену переменного, превращающую его в квадратный трехчлен.

Существование корней квадратного уравнения. Знаки корней

Как мы знаем, для того чтобы квадратное уравнение имело корни, необходимо и достаточно выполнения неравенства Как правило, в случае необходимости доказать, что заданное квадратное уравнение имеет решение, начинают с вычисления его дискриминанта, с тем чтобы затем до­ казать его неотрицательность. Однако в некоторых случаях можно указать и иные, более простые способы доказательства существования решения квадратного уравнения. Эти способы основываются на очевидных графических соображениях. Так, если а>0, то для доказательства того, что уравнение имеет два решения, достаточно указать одну точку в которой Чаще всего в качестве берут 0 (дает достаточное условие с<0), 1 (условие а+b+c<0) или—1 (условие а —6 + c<0). Например, чтобы убедиться в том, что уравнение имеет два корня, заметим, что значение левой части при х=1 равно При этом мы избежим хотя и несложных, но громоздких вычислений. Похожая идея «работает» и в следующей задаче.

5. Доказать, что при любом а уравнение

имеет решение.

Решение:

Можно, конечно, попытаться найти дискрими­нант и доказать, что он положителен. Но не будем спешить.
Обозначим левую часть данного уравнения через f (х). Сразу видно, что при любом а. Утверждение задачи будет доказано, если мы найдем для которого Попробуем . (Выбор такого значения выглядит естественным, поскольку в этом случае пропадают члены с ) при любом а. Теперь легко сделать вывод, что наше уравнение всегда имеет решение. Более того, если т. е. данное уравнение имеет два корня; при этом всегда имеется корень, удовлетворяющий неравенству 0<х< 1.

Мы не будем обсуждать здесь проблему, в какой мере допустимо и законно использование тех или иных графических соображений в условиях конкурсного экзамена. Общими словами здесь не отделаешься — истина конкретна. К сожалению, четких и согласованных критериев, которых бы придерживались комиссии разных вузов (и даже члены одной комиссии), нет. Нам все же кажется, что степень обоснованности решений, аппелирующих к графическому образу квадратного трехчлена, зачастую гораздо выше, чем это считают некоторые чрезмерно педантичные экзаменаторы.

Мы советуем ученикам почаще обращаться в процессе поиска решения к «картинкам», искать соответствующую графическую интерпретацию.

Теорема Виета очевидным образом используется в задачах, в которых требуется определить знаки корней квадратного уравнения.

6. При каких значениях параметра а уравнение

имеет решение? Определить знаки корней в зависимости от а.

Решение:

Прежде всего, если то уравнение имеет корни разных знаков. (Дискриминант при этом «автоматически» положителен.) В остальных случаях или корней нет, или они одного знака. Отдельно надо рассмотреть случаи, когда корни равны или один из них равен 0. В случае положительности дискриминанта и свободного члена на основании теоремы Виета знаки обоих корней противоположны по знаку коэффициенту при х — второму коэффициенту уравнения. Значит, для того чтобы было необходимо и достаточно выполнения неравенств

откуда а >5. Точно так же рассматриваются другие случаи.

Ответ. Если а<1 или если а = 1 или а =2, то если то если если то корней нет; если а = 5, то если а>5, то

Ответ выглядит сложнее, чем решение задачи.

Расположение корней квадратного трехчлена

Выделим прежде всего два наиболее распространенных типа задач, связанных с расположением корней квадратного трех­ члена. Первый тип — задачи, в которых изучается расположение корней относительно заданной точки А. Возможны три случая, не считая случая отсутствия корней: оба корня меньше А; один корень меньше, а другой больше А; оба корня больше А. Задачи первого типа без труда сводятся к проблеме,— определению знаков корней квадратного трехчлена. Это делается при помощи замены t = х —A, х =t+A, в результате которой трехчлен относительно х переходит в трехчлен относительно t. Знаки корней нового квадратного трехчлена очевидным образом определяют расположение корней исходного квадратного трехчлена относительно А. Мож­но и не делать замену.

7. При каком значении параметра а один корень уравнения больше 1, а другой меньше 1?

Решение:

Решение легко получается на основании следующего простого графического соображения. График функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось х, причем отрезок должен содержать внутри себя точку 1 (рис. 7). Следовательно, значение квадратного трехчлена при х = 1 должно быть отрицательным. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы выполнялись неравенства

Ответ. а> —2.

В общем случае для того, чтобы уравнение имело бы один корень меньше A, а другой больше А, не­ обходимо и достаточно выполнения неравенства (Докажите

это самостоятельно.) Не следует последнее условие заучивать. Необходимо понять принцип его получения и уметь провести необходимые рассуждения в конкретных задачах.

8. При каких значениях параметра а оба корня уравнения
больше 1?

Решение:

Для того чтобы оба корня уравнения

были больше 1, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

Необходимость условия 1) очевидна. Неравенство 2) означает, что знак f (х) при х=1 совпадает со знаком старшего коэффициента. Квадратные трехчлены, удовлетворяющие условиям 1) и 2), обладают тем свойством, что все они имеют два корня и оба эти корня либо меньше 1, либо больше 1 (рис. 8). Неравенство 3) выделяет из них те трехчлены, у которых оба корня больше 1. Оно означает, что вершина параболы расположена правее прямой х = 1.

Система неравенств 1) —3) дает нам необходимое и достаточное условие для того, чтобы оба корня данного уравнения были больше 1. Неравенство 2) дает А из равенства 3) следует, что Таким образом, нам нет необходимости решать неравенство 1), поскольку уже неравенства 2) и 3) несовместимы.

Ответ. Ни при каких.

В задачах второго типа исследуется расположение корней квадратного трехчлена относительно заданного отрезка [А; В].
Здесь можно выделить 6 возможных случаев расположения корней (оба меньше А, один меньше А, а другой на отрезке [А; В] и т. д.). Если же отдельно рассматривать ситуацию, когда D = 0, то добавится еще 3 случая. Мы вновь не будем заниматься по­ строением общей теории, а рассмотрим конкретные примеры.

9. При каких значениях параметра а все решения уравне­ния удовлетворяют условию 0<х<3?

Решение:

Обозначим Необходимым и достаточным условием для того, чтобы f (х) (если ) имела все свои корни внутри отрезка [0; 3], будет выполнение системы неравенств:

(Проверьте, что если f (х) имеет корни на данном отрезке, то все неравенства выполняются. Проверьте обратное утверждение, что если выполняются все неравенства, то корни f (х) расположены на отрезке [0; 3]. Покажите, что ни одно из не­ равенств нельзя отбросить, т. е. если выполняются все неравенства, кроме одного, то квадратный трехчлен не удовлетворяет условию задачи.)

Оба неравенства 2) и 3) выполняются при или а <0.
Решим неравенство 4): Будем иметь или

Значит, система неравенств 2), 3), 4) имеет решение или Условие дает нам или откуда а поскольку или

Отдельно рассматривается случай а=1.
Ответ.

Заметим, что если бы в условии требовалось, чтобы оба корня располагались на заданном отрезке, т. е. указывалось на наличие двух различных корней, то правое нестрогое неравенство ответа следовало бы заменить на строгое и исключить случай а= 1.

10. Определить, как расположены корни уравнения относительно отрезка [—I; 4].

Решение:

Решим эту задачу несколько иначе, способом, который можно назвать «обобщенным методом интервалов».
Сначала определим, где обращается в ноль дискриминант урав­нения. Имеем

При 1<а<9 корней у данного уравнения нет. Обозначив, как обычно, левую часть уравнения через f (х), найдем f (—1) = 6а+10, f(4) = 6a —5. Как видно, f(— 1) и f (4) меняют знаки соответственно при . Множество значений параметра а точками разбивается на четыре интервала и две полупрямые (рис. 9, а; к найденным ранее значениям параметра а добавлено значение, при котором обращается в 0 старший коэффициент, а = 0).

Рассмотрим эти 6 случаев.

1. Имеем Можно проверить, что при будет Значит, уравнение имеет корни, ветви

параболы направлены вниз, значения f (х) при х= —1 и х=4 отрицательны, вершина параболы расположена между прямыми х=-1 и х = 4 (рис. 9,б). Следовательно, в этом случае оба корня расположены между — 1 и 4.

2) (случай рассматривается отдельно). Имеем А поскольку а<0, то (рис. 9, в) один корень меньше — 1, а другой расположен между — 1 и 4.
Точно так же рассматриваются остальные случаи.

Ответ. При имеем при имеем при имеем при корней нет. Если то если то один корень если то если если

11. Определить, как расположены корни уравнения

относительно отрезка [1; 3].

Решение:

В данном случае приемы, которые мы использовали при решении предыдущего примера, не нужны; все гораздо проще, рассматриваемое уравнение всегда (при ) имеет корни: (Проверьте. Здесь не обязательно ) Теперь закончить решение не составляет труда.

Вывод очевиден — при решении задач не стоит увлекаться общими теориями, следует попытаться сначала выявить специфику данного конкретного примера.

Взаимное расположение корней двух квадратных трехчленов

12. Найти все значения параметра а, при которых уравне­ния имеют хотя бы один общий корень.

Решение:

Решение основывается на следующей простой идее: если два уравнения имеют общий корень то при любых и уравнение имеет тот же корень

Возьмем сначала и так, чтобы в комбинации исчез свободный член: Получим после сокращения на х, поскольку очевидно, что уравнение

Затем выберем и так, чтобы исчез член с

Получим уравнение

Так как х должен удовлетворять обоим полученным линейным уравнениям, для а должно выполняться соотношение

Далее получаем Левая часть разлагается на множители:

Ответ.

Два замечания. 1. Для каждого из найденных значений а необ­ходимо убедиться, что соответствующие уравнения имеют решения, (Достаточно проверить существование корней у одного из них.) 2. Заданную пару квадратных уравнений можно рассматривать как систему из двух уравнений с неизвестными х и а.

13. Расположить корни уравнений

в порядке возрастания.

Решение:

Обозначим — корни уравнения — корни уравнения g(x) = 0. По смыслу задачи следует рассматривать лишь те значения параметра а, для которых оба уравнения имеют решения. Условие неотрицательности обоих дискриминантов дают нам неравенства.

Найдем значения х, при которых Уравнения имеют общий корень, если откуда а=—3.

Таким образом, множество значений параметра а, при которых оба уравнения имеют корни, разбито на три интервала (рис. 10, а). Концы интервалов удобнее рассматривать отдельно. Возникают три случая.

1. Имеем

С точностью до обозначений, какая из двух парабол соответст­вует f(х), а какая g (х), возможны два случая (рис. 10, б, в). Посмотрим, как расположены вершины каждой из парабол по отношению к прямой . Для f (х) имеем . На рассматриваемом интервале изменения а имеем (Докажите.) Вершина второй параболы также левее прямой (Проверьте правильность неравенства ) Следовательно, имеет место случай, изображенный на рисунке 10, б. (На рис. 4, в вершины парабол расположены по разные стороны от прямой ) Осталось выяснить, какая из двух парабол на этом рисунке соответствует f (х), а какая g (х).

Если Значит, при идет выше Если

2) В этом случае Как и в предыдущем пункте, при т. е. графики f (х) и g(х) расположены так, как показано на рисунке 10, г, и Если

3) Имеем Обе вершины — слева от прямой (рис. 10, д). Следовательно, Если

Заметим, что получить правильный ответ в данном примере можно было бы несколько проще, хотя и менее законно. Из соображений непрерывности следует, что на каждом из трех интервалов имеет место один и тот же порядок следования корней (граничными точками такого рода интервалов являются: запрещенные значения параметра, в данном случае а = 0; нули дискриминантов— точки и значения параметра, при которых уравнения имеют один и тот же корень а = — 3; в общем случае сюда надо добавить значения параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при ). Для выявления этого порядка следования достаточно рассмотреть какое-либо значение параметра а из соответствующего интервала. В нашем случае для крайних интервалов можно взять даже их концы: а для среднего, например, а =— 1.

Уравнения, неравенства и системы с параметром

В большинстве задач, рассмотренных в предыдущих пунктах, требовалось узнать «при каких значениях параметра…?». Подобного рода вопрос для уравнений, неравенств, систем уравнений или неравенств с параметром не всегда фигурирует в условии задачи. Однако наличие параметра заранее предполагает специ­альную форму записи ответа, такую, чтобы по ней можно было указать, каков будет ответ для любого допустимого значения параметра.

14. Решить уравнение

Решение:

Обозначим тогда Для у получаем уравнение

которое надо решить при условии Неотрицательность дискриминанта дает нам неравенство . Если корни уравнения, то по теореме Виета Следовательно, оба корня не могут быть отрицательными. При получаем одно решение: при два решения: при — одно решение: Теперь возвращаемся к неизвестному х.

Ответ. Если если если если , то решений нет.

Если решать уравнение 14 более обычным путем, возводя в квадрат обе его части, то приходим к уравнению при условии Технически этот путь несколько сложнее. (Доведите его до конца самостоятельно.)

15. Решить уравнение

Решение:

Возводим обе части уравнения в квадрат (условие ):

Еще раз возводим в квадрат (условие ). Получаем окончательно уравнение

среди решений которого надо найти те, для которых Получившееся уравнение имеет четвертую степень относительно неизвестного х, но зато является квадратным относительно параметра а. (Умение «видеть» квадратный трехчлен!) Попробуем этим обстоятельством воспользоваться:

Найдем дискриминант, надеясь, что он окажется полным квадратом:

Итак, наши надежды оправдались. Теперь правая часть уравнения раскладывается на множители Наше уравнение распадается на два: каждое из которых надо решить при условии, что

Начнем с уравнения Поскольку то из того, что следует, что Значит, нам достаточно найти лишь те решения, для которых х>0; тогда неравенство будет выполняться автоматически. Но сумма корней (если они есть) равна —1; следовательно, уравнение может иметь лишь один неотрицательный корень при условии Значит, при будет

Перейдем ко второму уравнению Из этого уравнения Левая часть неположительна, правая неотрицательна. Равенство возможно лишь, если а = 0, х = 0.

Ответ. Если если а = 0, то х = 0; при остальных а решений нет.

16. Для каждого неотрицательного значения параметра а
решить неравенство

Решение:

Левая часть неравенства представляет собой многочлен как относительно х, так и относительно параметра а. Степени соответственно равны 4 и 3. Однако если умножить многочлен на а, а затем сделать замену у = ах, то в новом многочлене максимальная степень параметра а будет равна 2. Случай а = 0 дает нам ответ . Будем теперь считать, что а>0. Умножив обе части неравенства на а и сделав замену у = ах, получим

Левая часть представляет собой квадратный трехчлен относительно а:

Раскладывая левую часть неравенства на множители, получим

или

Второй множитель положителен при всех у, если а>0. Приходим к неравенству откуда, если 0<а<2, или если у — любое. Возвращаясь к х, получим ответ.

Ответ. Если а=0, то если любое.

Очень часто уравнения, неравенства, системы с параметром сводятся к задачам о расположении корней одного или двух квадратных трехчленов. Основные методы решения подобных задач мы рассматривали в двух предыдущих пунктах.

17. Решить систему неравенств

Решение:

Поскольку решением первого неравенства является то задача сводится (при ) к выяснению расположения корней квадратного трехчлена относительно отрезка [1; 2]. Имеем

Область изменения параметра а оказалась разделенной на 4 части (не считая граничных точек).

1) Если а , второе неравенство, а следовательно, и данная система не имеют решения. То же имеет место и при

2) Если Для вершины и
параболы выполняется неравенство (рис. 11, а).
Следовательно, множество решений второго неравенства не содержит

точек отрезка [1; 2] Система не имеет решения. То же имеет место и при а = 0.

3) Если 0<а<5, то f (1)<0, f(2)<0 (рис. 11, б). Значит, на всем отрезке [1; 2] f (х)<0. Система вновь не имеет решения.

4) Если то (рис. 11, в). Решением системы будет где — больший корень уравнения f(x)=O.

Ответ. Если а <5, система не имеет решения; если то

18. Решить систему неравенств

Решение:

Задача, по существу, сводится к выяснению, в каком порядке следуют корни уравнений

Вычисляя их дискриминанты, получим, что первое уравнение имеет корни, если второе — если . Найдем — абсциссу точки пересечения графиков Имеем следующие три случая.

1) a<0 (рис. 12). Если и — корни уравнения — корни уравнения то Это следует из того, что при выполняется равенство f(x), так как g (х) — f (х)= — 2x+6, и f (3) = g (3) = а<0. Значит, при а<0 решением системы будет или

2) 0<а<1. В этом случае порядок следования корней будет (Докажите.) Система не имеет решений.
Если Решений нет.

3) . Второе неравенство, а значит, и система неравенств не имеют решения.

Ответ. Если а<0, то если то решений нет.

Уравнения, неравенства и системы с параметром. Графические интерпретации

Начнем с того, что еще раз решим систему неравенств 18.
Эту систему можно переписать в виде двойного неравенства

Рассмотрим координатную плоскость (х; а). Множество точек, координаты которых удовлетворяют нашей системе неравенств, ограничено графиками двух квадратных трехчленов и состоит из точек, расположенных выше первого графика и ниже второго. Графики этих двух квадратных трехчленов пересекаются в точке (3; 0) На рисунке 13 изображено это множество точек. Сразу «видно», что при система не имеет решений.

Чтобы найти решение системы неравенств при некотором рассмотрим горизонтальную прямую Эта прямая пересекает найденное нами множество по отрезку. Абсциссы концов этого отрезка и будут задавать интервал изменения х, при этом Понятно, что для нахождения этих абсцисс надо решить относительно х уравнения и и взять большие корни этих уравнений. Таким образом, мы получим найденный выше ответ, причем, как нам кажется, с меньшими затратами.

Рассмотрим еще несколько примеров.

19. При каких значениях а уравнение х |х —2а| —За + 2=0 имеет один корень?

Решение:

Рассмотрим функцию у = х|х — 2а| — За + 2. Ее график состоит из частей двух парабол: если то если х<2а, то (рис. 14, а). Если то функция возрастает при х<а и х>2а и убывает на отрезке [а; 2а]. При а<0 эта функция возрастает на участках х<2а и х>а и убывает на отрезке [2а; а].

Нетрудно сделать вывод, что, для того чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы у (а) и у (2а) были одного знака (у (а) и у (2а) одновременно или выше, или ниже оси х), т. е. у (а) у (2d) > 0.
Получаем неравенство для а:

Найдем, где обращается в ноль первый множитель: а|а| — За + 2 =0. Если Если а<0, то (Другой корень положителен.)

Второй множитель обращается в ноль при Легко видеть, что в каждой из этих четырех точек левая часть неравенства меняет знак. Расставим эти точки на числовой оси (рис. 14,6). При а>2 первый множитель положителен, второй

отрицателен, т. е. (а|а| — За + 2)( — За + 2)<0. При переходе через отмеченные точки знак меняется.
Ответ.

20. Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение

Решение:

Изобразим на плоскости (х; а) все точки, удовлетворяющие данному уравнению. Если то если (рис. 15). (Аналитически мы нашли точки А и В — точки пересечения каждой параболы с прямой а = х и вершину первой параболы — точку С, вершина другой параболы совпала с точкой В. Затем от каждой параболы оставили ее часть, расположенную в нужной полу­ плоскости относительно прямой а = х.) Следовательно, если то уравнение имеет два решения. (Горизонтальная прямая, соответствующая этим значениям параметра, пересекает наш график дважды.) Если или а= — 1, решение единственное. Для остальных значений а уравнение не имеет решений.

21. Решить неравенство

Решение:

Напомним, что неравенство эквивалент­ но двойному неравенству В нашем случае после преобразований приходим к системе неравенств

Изобразим на плоскости (х; а) множество точек, координаты которых удовлетворяют полученной системе (рис. 16). При конкретном значении параметра а =а, решением нашего неравенства будут абсциссы тех точек горизонтальной прямой а = а, которые находятся в заштрихованной области. Найдем точки пересечения А (2; 2), В ( — 2; —2) наших парабол и вершину С ( — 0,5; —4,25) параболы

Далее получаем: если а>2, решений нет; горизонтальная прямая не пересекается с заштрихованной областью.

Если то соответствующая прямая пересекается с заштрихованной областью по отрезку. Концами этого отрезка будут точки с абсциссами (больший корень уравнения (больший корень уравнения или

Если то горизонтальная прямая, соответствующая таким а, пересекается с заштрихованной областью по двум отрезкам. Решением неравенства будет

Если

Подведем итог этому пункту. Мы рассмотрели здесь задачи, при решении которых использовались наглядно-графические соображения. Подчеркнем два характерных приема.

Первый прием (использовался при решении задачи 19). На плоскости (х; у) рассматривается семейство кривых, зависящих от параметра a: y = f(x; а). Затем в этом семействе выделяется множество кривых, обладающих требуемым свойством. При этом очень часто поступают следующим образом: изучают, как перемещается кривая семейства при изменении параметра, и находят граничные значения параметра, отделяющие множество значений параметра, которым соответствуют кривые, имеющие нужное свойство. (Правда, в задаче 19 путь решения был несколько иной. Нам удалось сразу получить удобное необходимое и достаточное условие, выделяющее искомое множество кривых.)

Второй прием состоит в том, что рассматривается плоскость (х; а), на которой изображается множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению или неравенству (см. решения задач 20 и 21). После этого, проводя прямые, параллельные оси х, находят решение этого уравнения или не­ равенства при соответствующем значении параметра. Значения параметра, при переходе через которые меняется формула, даю­щая решение, естественным образом определяются построенным множеством.

Задачи на максимум-минимум. Доказательство неравенств

Простейший прием нахождения наибольших и наименьших значений, основанный на свойствах квадратичной функции, состоит в том, что исследуемая функция при помощи преобразова­ний или замены переменной приводится к квадратичной, после чего выделяется полный квадрат.

22. Найти наибольшее значение функции

Решение:

Обозначим тогда Отсюда . Переходя к переменной t, получаем, что надо найти
наибольшее значение функции при условии Выделим полный квадрат: Наибольшее значение будет у=1 при t=1. Возвращаясь к х (в данной задаче это не обязательно), найдем, что наибольшее значение у=1 будет при х = 0.

Другой прием иллюстрирует следующая задача.

23. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Решение:

Рассмотрим данное равенство как уравнение с неизвестным х и параметром у. (Можно для создания большего психологического комфорта заменить у на а.) После преобразований получим

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

откуда

Слева в неравенстве стоит наименьшее значение у, справа — наибольшее.

Интересно сравнить данное решение задачи с решением, использующим производные.

Идея, на которой основано решение задачи 23, чрезвычайно проста. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) мы, рассматривая данное равенство как уравнение с неизвестным х, решаем задачу, при каких у это уравнение имеет решение.

Рассмотрим еще два примера, в которых работает эта же идея с небольшими вариациями.

24. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
2х— Зу, если

Решение:

Обозначим 2х — 3y = s, тогда Заменим у через х и s в заданном соотношении. После упрощений получим

Для того чтобы это уравнение (относительно х) имело решение, необходимо и достаточно выполнения неравенства

откуда

Как и в предыдущем случае, слева в двойном неравенстве стоит наименьшее значение s = 2x —Зу, справа — наибольшее.

25. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения при условии, что

Решение:

Задача сводится к определению наибольшего и наименьшего значений а, при которых система

имеет решение.

Левые части каждого из уравнений представляют собой однородные многочлены второй степени относительно х и у. Умножим первое уравнение на 4, второе на — а и сложим получившиеся уравнения. Получим

Разделив это уравнение на , будем иметь квадратное относительно уравнение

Нам необходимо, чтобы дискриминант этого уравнения был неотрицателен:

откуда Осталось проверить, для любых ли а из этого отрезка система имеет решение. Подставляя во второе уравнение x = yt, получим уравнение которое имеет решение при любом t. Следовательно, если а таково, что квадратное уравнение, определяющее t, имеет неотрицательный дискриминант, то исходная система имеет решение.

Ответ. Наименьшее значение при условии, что равно а наибольшее равно

Рассмотрим еще две задачи, решение которых основывается на графических соображениях.

26. Пусть М — точка на прямой у = 2х+1, а N — точка на параболе Чему равно наименьшее значение длины отрезка MN?

Решение:

Найдем уравнение прямой, параллельной данной прямой у = 2х+1 и касающейся параболы Для этого, учитывая, что прямая у = 2х+1 не параллельна оси параболы, надо среди прямых вида у = 2х + b найти ту, которая имеет единственную общую точку с параболой. Это означает, что уравнение

имеет дискриминант, равный нулю: Прямая у = 2х+1 и парабола расположены в разных полуплоскостях по отношению к прямой (За исключением одной точки на параболе, которая принадлежит также и прямой рис. 17.)

Теперь очевидно, что наименьшее значение длины отрезка МN равно расстоянию между параллельными прямыми у = 2х+1 и Это расстояние равно Но tga = 2, следовательно, cos

Ответ.

Замечание:

Возможно, более простым будет следующее решение. Найдем наименьшее значение разности где (рис. 17). Поскольку

искомое наименьшее значение равно и достигается при Для нахождения расстояния между данными прямой и параболой надо умножить на .

27. Найти все значения параметра а, для которых наименьшее значение функции меньше —

Решение:

График данной функции состоит из частей двух парабол, «склеенных» в точке с абсциссой при Наименьшее значение эта функция принимает или при х= — 2 (соответствует вершине первой параболы), или при х= —1 (соответствует вершине второй параболы), или при х = а (абсцисса точки склейки).

Мы перечислили все возможные значения аргумента, которые «подозреваются на минимум». (Не беда, если среди них окажутся лишние. Единственное следствие — некоторое увеличение объема вычислительной работы.) Следовательно» условию задачи удовлетворяют все те значения (и только те) параметра а, для которых выполняется хотя бы одно из трех неравенств

Все три неравенства объединены квадратной скобкой, что означает, что нам надо, решив каждое из них, полученные ответы объединить (а не находить множество значений параметра а, удовлетворяющее всем трем одновременно, как это делается в системах уравнений или неравенств).

Решая неравенства, получим для каждого из них соответ­ственно

Ответ.

Мы не будем здесь подробно рассматривать задачи на дока­зательство неравенств, решения которых основываются на использовании тех или иных свойств квадратного трехчлена. (Выделение полного квадрата, оценка дискриминанта и т. д.) Ограничимся одним известным и полезным неравенством, при доказательстве которого свойства квадратного трехчлена используются весьма нестандартно.

28. Доказать, что для любых справедливо неравенство

(неравенство Коши-Буняковского).

Решение:

Рассмотрим следующую квадратичную функцию от х:

При всех х функция Следовательно, где D — дискриминант:

Значит,

откуда получаем требуемое неравенство. Легко видеть, что равенство в неравенстве Коши-Буняковского имеет место, если существует х, обращающий в ноль все слагаемые в выражении для иными словами, если наборы пропорциональны.

Доказанное неравенство имеет очевидную геометрическую интерпретацию. Для n = 2; 3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в прост­ранстве не превосходит произведения их длин. Так же можно
интерпретировать неравенство Коши-Буняковского и для произвольных n.

Из полученного неравенства можно получить следствия. На­ пример, возьмем Будем иметь неравенство

Небольшой обзор различных типов и видов задач, относящихся к теме «Квадратный трехчлен», показывает, сколь разно­ образны по тематике, методам решения, уровню сложности за­ дачи, составляющие эту тему. Многие идеи, рассмотренные в нашем обзоре, носят достаточно общий характер и с успехом могут быть использованы при решении задач, относящихся к самым различным разделам алгебры и анализа.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Производная
39. Применение производной к исследованию функций
40. Приложения производной
41. Дифференциал функции
42. Дифференцирование в математике
43. Формулы и правила дифференцирования
44. Дифференциальное исчисление
45. Дифференциальные уравнения
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат