Содержание:
Линейное уравнение с одной переменной
Уравнение — одно из важнейших понятий не только математики, но и многих прикладных наук. Это наиболее удобная математическая модель, наилучшее средство для решения сложнейших задач. Образно говоря, уравнение — это ключ, которым можно отворять тысячи дверей в неизвестное. Основные темы главы:
- общие сведения об уравнениях;
- равносильные уравнения;
- линейные уравнения;
- решение задач с помощью уравнений.
Общие сведения об уравнении
Алгебра в течение многих столетий развивалась как наука об уравнениях.
Уравнение — это равенство, содержащее не-известные числа, обозначенные буквами.
Неизвестные числа в уравнении называют переменными. Переменные чаще всего обозначают буквами х, у, z (икс, игрек, зет), хотя их можно обозначить и другими буквами.
Примеры уравнений: 
Например:
Рассмотрим уравнение 
. Если в нём вместо переменной х написать число 5, то будем иметь правильное числовое равенство 
. Говорят, что «число 5 удовлетворяет данное уравнение».
Число, удовлетворяющее уравнение, называется его корнем.
Уравнение 
имеет только один корень: 
Уравнение 
имеет три корня: 
Уравнение 
не имеет ни одного корня, так как при каждом значении переменной х число х + 7 на 7 больше, чем х.
Уравнение 
имеет бесконечное множество корней.
Решить уравнение — это означает, что надо найти все его корни или показать, что их не существует.
Простейшие уравнения можно решать, пользуясь известными зависимостями между слагаемыми и суммой, между множителями и произведением и т. п.
Пример:
Решите уравнение 
Решение:
В данном случае неизвестно вычитаемое. Чтобы найти его, следует от уменьшаемого отнять разность: 
Здесь неизвестный множитель х. Чтобы найти его, надо произведение разделить на известный множитель:
Ответ. х = 4.
Уравнение — это своеобразный кроссворд. Только в клеточки кроссворда вписывают буквы, чтобы получить нужные слова, а в уравнение вместо переменных подставляют числа, чтобы получались правильные равенства.
Например, уравнение 
можно записать в форме числового кроссворда:
Какое число надо поставить в квадратики, чтобы получилось верное равенство?
Уравнения бывают разных видов, в частности — содержащие неизвестную переменную в квадрате, в кубе, под знаком модуля и т. п. Решим, например, уравнения:
1) Ответим на вопрос: какое число надо возвести в квадрат, чтобы получить 9? Это числа 3 и -3. Это и есть корни данного уравнения.
2) Разделим обе части уравнения 
Какое число, возведённое в куб, равно 8? Таковым является число 2. Значит, решение данного уравнения х = 2.
3) Если модуль числа x — 2, то это число равно 5 или -5. Имеем: x — 2 = 5, отсюда х = 7, или x — 2 = -5, отсюда х = -3. Значит, уравнение 
имеет два корня: x = 7 и x = -3.
Пример:
Решите уравнение 
Решение:
Пример:
Я задумал число. Если его умножить на 3, от результата отнять 4, то получим 5. Какое число я задумал?
Решение:
Обозначим искомое число буквой х. Если умножить его на 3, то получим Зх. Отняв от результата 4, получим Зх — 4. Имеем уравнение: 
Решим это уравнение: 
Ответ. 3.
Пример:
При каком значении а уравнение 
будет иметь корень х = 3?
Решение:
Первый способ. Найдём неизвестный множитель х как частное от деления произведения 12 и известного множителя а + 5:
По условию x + 3, поэтому 
отсюда 
а = -1.
Второй способ. Подставим в уравнение 
вместо переменной х число 3:
Решим полученное уравнение относительно переменной а. Имеем:
Ответ. Если а = -1, то уравнение 
имеет корень х = 3.
Равносильные уравнения
Рассмотрим два уравнения: 
. Каждое из них имеет один и тот же корень: х = 5.
Два уравнения называют равносильными, если каждое из них имеет те же корни, что и другое. Равносильными считают и такие уравнения, которые не имеют корней.
Например:
Чтобы решать более сложные уравнения, нужно уметь заменять их более простыми и равносильными данным. Покажем, как это делается.
Из распределительного закона умножения следует, что при любом значении х числа 2x + 5x = 7x. Поэтому равносильными будут такие, например, уравнения: 
Из распределительного закона следует, что при каждом значении х числа 
. Поэтому равносильны и уравнения:
Вообще, если в любой части уравнения свести подобные слагаемые или раскрыть скобки, то получим уравнение, равносильное данному.
Прибавив к обеим частям верного числового равенства одно и то же число, получим также верное равенство. Подобно этому тела с равными массами, положенные на чаши уравновешенных весов, не нарушают равновесия (рис. 4).
Отсюда следует, что когда, например, к обеим частям уравнения 
(1) прибавить по -10y, то получим уравнение 
, равносильное данному. А прибавить к левой и правой частям уравнения (1) по -10y — это то же самое, что перенести 10y из правой части уравнения в левую с противоположным знаком. Вообще, если из одной части уравнения в другую перенести любой его член с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное данному.
Вспомним также, что обе части числового равенства можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Поэтому если обе части уравнения умножить иди разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному. Например, умножив обе части уравнения 
получим уравнение 
имеющее такой же корень, как и данное. А если обе части уравнения 
разделим на 20, то будем иметь более простое уравнение 
, равносильное данному.
Всегда справедливы такие основные свойства уравнений.
- В любой части уравнения можно свести подобные слагаемые или раскрыть скобки, если они есть.
- Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
- Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то число, отличное от нуля.
В результате таких преобразований всегда получаем уравнение, равносильное данному.
Сформулированные свойства часто используют для решения уравнений. Для примера решим уравнение:
Решение:
Умножим обе части уравнения на 6:
Перенесём 4х в правую часть, а -1 — в левую с противоположными знаками:
Сведём подобные члены:
Разделим обе части уравнения на 2:
Ответ. 
Откуда произошло название науки — алгебра? От названия книги об уравнениях узбекского математика IX в. Мухаммеда аль-Хо-резми (Мухаммеда из Хорезма). В те далёкие времена отрицательные числа не считались настоящими. Поэтому когда в результате перенесения отрицательного члена уравнения из одной его части в другую этот член становился положительным, считалось, что Qh восстанавливался, переходил из ненастоящего в настоящий. Такое преобразование уравнений Мухаммед аль-Хорезми назвал восстановлением (аль-джебр). Свойство об уничтожении одинаковых членов уравнения в обеих частях он назвал противопоставлением (аль-мукабала). Книга об этих преобразованиях называлась «Китаб мухтасар аль-джебр ва-л-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении»). Со временем её перевели на латинский Язык, взяв для названия только одно слово, которое стали писать Algebr. Отсюда и пошло название науки — алгебра. Преобразование «аль,-джебр» стало важным шагом в развитии алгебры, так как упростило решение уравнений.
Алгебра, арифметика, геометрия, математический анализ — основные составляющие математики (рис. 5). Арифметику — науку о числах и вычислениях — вы уже изучали на уроках математики. В 7-9 классах будете изучать алгебру и геометрию, с математическим анализом ознакомитесь в старших классах.
Пример:
Равносильны ли уравнения:
а)
б)
Решение:
а) Если раскрыть скобки в первом уравнении, то получим второе. Значит, уравнения равносильны.
б) Решим первое уравнение:
отсюда х = 1. Итак, данные уравнения не равносильны.
Ответ. а) Равносильны; б) не равносильны.
Пример:
Решите уравнение:
Решение:
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: 
Перенесём слагаемое 3 в правую часть, а Зх — в левую, изменив их знаки на противоположные:
Разделим обе части уравнения на 2. Получим: х = 6. Ответ. х = 6.
Пример:
Найдите корни уравнения: 
Решение:
Умножим обе части уравнения на 3. Получим: 
Линейные уравнения
Уравнение вида ax = b, где a и b — данные числа, называется линейным уравнением с переменной х.
Числа a и b — коэффициенты уравнения ax = b , a— коэффициент при переменной х,b — свободный член уравнения.
Если 
то уравнение ах = b называют уравнением первой степени с одной переменной. Его корень 
Каждое уравнение первой степени с одной переменной имеет один корень. Линейное уравнение может не иметь корней, иметь один или бесконечное множество корней.
Линейное уравнение ах = b:
Например, уравнение 0x = 5 не имеет ни одного корня, так как не существует числа, которое при умножении на 0 в произведении давало бы 5.
Уравнение 0x = 0 имеет бесконечное множество корней, так как его удовлетворяет любое значение переменной х.
Решая уравнение, его сначала стараются упростить, свести к линейному. Делают это преимущественно в такой последовательности.
- Избавляются от знаменателей (если они есть).
- Раскрывают скобки (если они есть).
- Переносят члены, содержащие переменные, в левую часть уравнения, а не содержащие — в правую.
- Приводят подобные слагаемые.
В результате такого преобразования получают уравнение, равносильное данному; его корни являются также корнями данного уравнения.
Пример 1. Решите уравнение:
Решение. Умножим обе части уравнения на 12 — наименьшее общее кратное знаменателей 2, 3, 4 и 12:
Ответ. -11.
Если коэффициенты уравнения многозначные, его удобно решать, пользуясь калькулятором. Пример 2. Решите уравнение
Ответ. 
Найденное значение корня — приближённое. Точное значение пришлось бы записать в виде смешанной дроби, а именно 
Решая прикладные задачи, ответ обычно округляют и записывают, например, так: 
Уравнение первой степени — это отдельный вид линейных уравнений. Соотношение между этими двумя видами уравнений наглядно проиллюстрировано на рисунке 7.
Ниже приведём примеры линейных уравнений, которые не являются уравнениями первой степени.
Уравнения первой степени
Уравнения 
не линейные,но сводящиеся к линейным.
Почему уравнение вида ах = b называют линейными, станет понятно, когда вы ознакомитесь с линейными функциями.
Пример:
Решите уравнения:
а) 
б) 
Решение:
а) 
— уравнение корней не имеет.
б) 
— любое число удовлетворяет уравнение.
Ответ. а) Уравнение корней не имеет;
б) уравнение имеет бесконечное множество корней.
Пример:
Найдите два числа, полусумма которых вдвое больше их полуразности, которая равна 35.
Решение:
Если полуразность чисел равна 35, то разность будет вдвое больше, а именно — 70. Обозначим меньшее число буквой х, тогда большее будет равно
70 + х. По условию задачи 
или 
, отсюда х = 35 — меньшее число, 70 + 35 = 105 — большее число. Ответ. 35 и 105.
Решение задач с помощью уравнений
Чтобы решить задачу с помощью уравнения, сначала надо составить соответствующее этой задаче уравнение. Образно говоря, надо перевести задачу с обычного языка на язык алгебры, то есть составить математическую модель данной задачи. Как это можно сделать, покажем на нескольких примерах.
Пример:
На двух токах 1000т зерна. Сколько зерна на каждом току, если на первом его на 200т меньше, чем на втором?
Решение:
Пусть на первом току 
зерна. Тогда на втором —
а на обоих — 
Имеем уравнение:
отсюда 
Ответ. 
Уравнение 
составленное по условию задачи, — это математическая модель данной задачи.
Составить уравнения часто помогает рисунок или схема (рис. 10)
Данную задачу можно решить и другими способами.
Если на втором току есть у т зерна, то на первом 
. Так как на втором току зерна на 200 т больше, то 
отсюда 
Ответ тот же.
Рисунок 10, рисунок 11., уравнение 
— это три разные математические модели прикладной задачи 1. В математике прикладными называют задачи, условия которых содержат не математические понятия.
Модель всегда подобна оригиналу. В ней отображаются те или иные важные свойства исследуемого объекта. Такими являются уменьшенные модели автомобиля, самолёта, строения. Глобус — модель Земли, кукла — модель человека. Если модель создана на основе уравнений, формул или других математических понятий, её называют математической моделью.
Для решения задач на движение также используют разные модели. Надо помнить, что при равномерном движении пройденное телом расстояние равно произведению скорости на время 
При этом все значения величин следует выражать в соответствующих единицах измерения. Например, если время дано в часах, а расстояние — в километрах, то скорость надо выражать в километрах в час. Если тело движется при наличии течения, то его скорость движения по течению (против течения) равна сумме (разности) его собственной скорости и скорости течения. С помощью схем многие задачи на движение можно решить устно (№ 124). Для решения некоторых сложных задач требуется построение нескольких моделей.
Рассмотрим задачу, составить уравнение к которой помогает таблица — ещё один вид математических моделей.
Пример:
Катер должен был пройти расстояние между городами со скоростью 15 км/ч, а на самом деле шёл со скоростью 12 км/ч и потому опоздал на 3 ч. Найдите расстояние между городами.
Ответ. Построим таблицу и заполним её в соответствии с условием задачи.
Катер шёл на 3 ч дольше, чем должен был идти. Этому условию соответствует уравнение:
Решим уравнение:
Ответ. 180 км.
Решив задачу с помощью уравнения, нужно всегда анализировать полученное значение неизвестного. Может получиться, что найденный корень уравнения не соответствует условию задачи.
Пример:
Периметр треугольника равен 17 см. Найдите его стороны, если одна из них короче другой на 2 см, а третьей — на б см.
Решение:
Пусть длина самой короткой стороны треугольника равна х см. Тогда длины других сторон соответственно будут равны 
.Получим уравнение: 
Решим его: 
Если длина первой стороны 3 см, то вторая и третья соответственно будут равны 5 и 9 см.
Существует ли треугольник с такими сторонами? Нет, так как каждая сторона треугольника короче суммы двух других, а
Ответ. Задача не имеет решения.
Решение прикладных задач методом математического моделирования состоит из трёх этапов:
- создание математической модели данной задачи;
- решение соответствующей математической задачи;
- анализ ответа.
Иногда с помощью уравнения решают не всю задачу, а только её часть.
Покажем, например, как можно заполнять пустые клеточки магического квадрата — таблицы чисел с одинаковым количеством строк столбцов, с одинаковой суммой чисел во всех строках, столбцах и по диагоналям.
Пример:
Перерисуйте в тетрадь рисунок 12 и в его пустые клеточки впишите такие числа, чтобы получился магический квадрат.
Решение:
Обозначим буквой х число в правой верхней клеточке Тогда сумма всех чисел первой строки будет равна 5+6+x, или 11 + x Такими же должны быть суммы и в каждой диагонали, и в среднем столбце поэтому в нижней строке следует написать 4, x — 2 , x — 1 (рис. 13). Та как сумма чисел должна быть равна 11 + х, то составим уравнение:
Подставим вместо х его значение 10, после чего пустые клеточки рисунка 14 заполнить нетрудно. 
В данном случае уравнение 
— модель части сформулированной задачи, дающая возможность вычислит только значение х.
Пример:
Катер прошёл расстояние между пристанями по течению реки за 2 ч, а обратно — за 2,5 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения равна 2 км/ч.
Решение:
Пусть собственная скорость катера равна x км/ч. Тогда:
— его скорость по течению;
— скорость катера против течения;
— такое расстояние катер прошёл по течению;
— такое расстояние катер прошёл против течения.
Расстояния 
равны. Итак, получим уравнение
Ответ. 18 км/ч.
Пример:
Решите математический кроссворд (рис. 15).
Решение:
В кружки следует вписать два числа так, чтобы их сумма была равна 200, а разность — 10. Если второе число обозначим буквой х, то первое будет равно 200 — х. Их разность равна 10, следовательно, 
, отсюда 2
Ответ на рисунке 16.
Исторические сведения:
Уравнения первой степени с одной переменной люди научились решать очень давно. Египетские учёные почти четыре тысячи лет тому назад искомое неизвестное число называли «аха» (в переводе — «куча») и обозначали специальным знаком. В папирусе, дошедшем до нас, есть такая задача: «Куча и её седьмая часть составляют 19. Найдите кучу». Теперь бы мы сформулировали её так: «Сумма неизвестного числа и его седьмой части равна 19. Найдите неизвестное число».
Задача сводится к уравнению 
Подобные задачи умели решать учёные Древней Греции, древних Индии, Китая. Древнегреческий математик Диофант (III в.) решал и более сложные уравнения, в частности такие, которые в современных символах имеют вид 
У Диофанта уравнение 
записывалось таким способом:
Аль-Хорезми и многие его преемники все уравнения записывали словами, не используя математических знаков.
От фамилии аль-Хорезми происходит ещё один важный для современной науки термин — алгоритм. Так называют совокупность правил, пользуясь которыми можно решить любую задачу из определённого класса задач. Например, известный вам способ умножения чисел «столбиком», способ определения наибольшего общего делителя двух или нескольких чисел — это алгоритмы. В современной науке понятие «алгоритм» играет огромную роль, существует даже специальная область математики — теория алгоритмов. Подробнее с алгоритмами вы ознакомитесь в старших классах.
Сначала алгеброй называли науку, изучающую различные способы решения уравнений. Со временем она значительно расширилась, обогатилась новыми идеями. Теперь уравнение — только одна из составляющих алгебры.
Напомню:
Уравнение — это равенство, которое содержит неизвестные числа, обозначенные буквами.
Числа, удовлетворяющие уравнение, — его корни. Решить уравнение — это значит найти все его корни или показать, что их не существует.
Два уравнения называют равносильными, если каждое из них имеет те же корни, что и другое. Уравнения, которые не имеют корней, также считают равносильными друг другу.
Основные свойства уравнений.
- В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые или раскрыть скобки, если они есть.
- Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
- Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
Уравнение вида ах = b, где а и b — произвольные числа, называют линейным уравнением с переменной х. Если 
, то уравнение ах = b называют уравнением первой степени с одной переменной.
Каждое уравнение первой степени ах = b имеет один корень 
. Линейное уравнение может иметь один корень, бесконечно много корней или не иметь ни одного корня.
Решение прикладных задач методом математического I моделирования состоит из трёх этапов:
- создание математической модели данной задачи;
- решение соответствующей математической задачи;
- анализ ответа.
Линейное уравнение с одной переменной
Рассмотрим три уравнения:
Очевидно, что число -1,5 является единственным корнем первого уравнения.
Поскольку произведение любого числа на нуль равно нулю, то корнем второго уравнения является любое число.
Понятно, что третье уравнение корней не имеет.
Несмотря на существенное различие полученных ответов, приведенные уравнения внешне похожи: все они имеют вид 
где 
— переменная, 
— некоторые числа.
Уравнение вида 
где 
— переменная, 
— некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.
Вот еще примеры линейных уравнений: 
Текст, выделенный жирным шрифтом, разъясняет смысл термина «линейное уравнение». В математике предложение, раскрывающее суть нового термина (слова, понятия, объекта), называют определением.
Итак, мы сформулировали (или говорят: «дали») определение линейного уравнения.
Заметим, что, например, уравнения 
линейными не являются.
Если 
то, разделив обе части уравнения 
на 
получим 
. Отсюда следует: если то уравнение 
имеет единственный корень, равный 
Если же 
то линейное уравнение приобретает такой вид: 
Здесь возможны два случая: 
В первом случае получаем уравнение 
Тогда, если 
то уравнение имеет бесконечно много корней: любое число является его корнем.
Во втором случае, когда 
при любом значении получим неверное равенство 
Отсюда, если 
и то уравнение корней не имеет.
Следующая таблица подытоживает приведенные рассуждения.
Пример:
Решите уравнение:
1) 
Решение:
1) Так как произведение нескольких множителей равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, получаем:
Ответ: -0,7; 4.
2) Учитывая, что модуль только чисел 4 и -4 равен числу 4, имеем: 
Ответ: 2; 0,4.
Обратим ваше внимание на то, что рассмотренные уравнения не являются линейными, однако решение каждого из них сводится к решению линейных уравнений.
Пример:
Решите уравнение:
Решение:
1) При 
уравнение принимает вид 
В этом случае корней нет. При 
имеем 
Ответ: если , то уравнение не имеет корней; если , то 
2) При 
уравнение принимает вид 
В этом случае корнем уравнения является любое число. При 
имеем 
Ответ: если 
, то 
— любое число; если 
, то 
Решение задач с помощью уравнений
Вам много раз приходилось решать задачи с помощью составления уравнений (текстовые задачи). И разнообразие решенных задач является лучшим подтверждением эффективности и универсальности этого метода. В чем же заключается секрет его силы?
Дело в том, что условия непохожих друг на друга задач удается записать математическим языком. Полученное уравнение — это результат перевода условия задачи с русского языка на математический.
Часто условие задачи представляет собой описание какой-то реальной ситуации. Составленное по этому условию уравнение называют математической моделью этой ситуации.
Конечно, чтобы получить ответ, уравнение надо еще решить. Для этого в алгебре разработаны различные методы и приемы. С некоторыми из них вы уже знакомы, многие другие вам еще предстоит изучить.
Найденный корень — это еще не ответ задачи. Следует выяснить, не противоречит ли полученный результат реальной ситуации, описанной в условии.
Рассмотрим, например, такие задачи:
- За 4 ч собрали 6 кг ягод. Сколько ягод собирали за каждый час?
- Несколько мальчиков собрали 6 кг ягод. Каждый из них собрал по 4 кг. Сколько мальчиков собирали ягоды?
Обе задачи приводят к одному и тому же уравнению 
, корнем которого является число 1,5. Но в первой задаче решение «полтора килограмма ягод за час» является приемлемым, а во второй — «ягоды собирали полтора мальчика» — нет.
При решении задач на составление уравнений удобно пользоваться следующей схемой:
- по условию задачи составить уравнение (сконструировать математическую модель задачи);
- решить уравнение, полученное на первом шаге;
- выяснить, соответствует ли найденный корень смыслу задачи, и дать ответ.
Эту последовательность действий, состоящую из трех шагов, можно назвать алгоритмом решения текстовых задач.
Пример:
Рабочий должен был выполнить заказ за 8 дней. Однако, изготавливая ежедневно 12 деталей сверх нормы, он уже за 6 дней работы не только выполнил заказ, но и изготовил дополнительно 22 детали. Сколько деталей ежедневно изготавливал рабочий?
Решение:
Пусть рабочий изготавливал ежедневно 
деталей. Тогда по плану он должен был изготавливать ежедневно 
деталей, а всего их должно было быть изготовлено 
На самом деле он изготовил 
деталей. Так как по условию задачи значение выражения 
на 22 больше значения выражения 
то
Тогда
Ответ: 37 деталей.
Пример:
Велосипедист проехал 65 км за 5 ч. Часть пути он проехал со скоростью 10 км/ч, а оставшийся путь — со скоростью 15 км/ч. Сколько времени он ехал со скоростью 10 км/ч и сколько — со скоростью 15 км/ч?
Решение:
Пусть велосипедист ехал ч со скоростью 10 км/ч. Тогда со скоростью 15 км/ч он ехал 
ч. Первая часть пути составляет 
км, а вторая — 
км. Имеем:
Следовательно, со скоростью 10 км/ч велосипедист ехал 2 ч, а со скоростью 15 км/ч — 3 ч.
Ответ: 2 ч, 3 ч.
——
Что такое уравнение, линейное уравнение, что значит решить уравнение
Алгебра длительное время была частью арифметики — одной из древнейших математических дисциплин. Слово «арифметика» в переводе с греческого означает «искусство чисел». Алгебру же после выделения ее в отдельную науку рассматривали как искусство решать уравнения.
В данном разделе мы выясним, что такое уравнение, линейное уравнение, что значит решить уравнение, как решать задачи с помощью уравнений.
Что такое уравнение
Рассмотрим задачу:
Масса 4 больших и 15 малых деталей равна 270 г. Масса большой детали в три раза больше массы малой. Какова масса малой детали?
Пусть масса малой детали равна 
г, тогда масса большой — 
г. Масса 15 малых деталей равна 
г, а 4 больших —
(г). По условию задачи сумма этих масс равна 270 г:
.
Мы пришли к равенству, которое содержит неизвестное число, обозначенное буквой (еще говорят: равенство содержит переменную ). Чтобы решить задачу, нужно найти значение , при котором равенство является верным числовым равенством.
Равенство с неизвестным значением переменной называют уравнением с одной переменной (или уравнением с одним неизвестным).
Корень уравнения
Рассмотрим уравнение 
. Подставляя вместо переменной некоторые числа, будем получать числовые равенства, которые могут быть верными или неверными. Например:
Значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство, называют корнем, или решением уравнения.
Итак, число 3 является корнем уравнения , а число 4 — нет.
Количество корней уравнения
Уравнения могут иметь разное количество корней. Например:
уравнению 
удовлетворяет любое число ; говорят, что это уравнение имеет бесконечно много корней.
Уравнение может и не иметь корней. Рассмотрим, например, уравнение 
. Для любого числа значение левой части уравнения на 1 больше значения правой части. Следовательно, какое бы число мы не взяли, равенство будет неверным. Поэтому это уравнение не имеет корней.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Решим уравнение, составленное выше по условию задачи о больших и малых деталях:
Таким образом, масса малой детали равна 10 г.
Примеры решения уравнений:
Пример №86
Является ли число 2,5 корнем уравнения 
?
Решение:
Если 
, то:
значение левой части уравнения равно: 
; значение правой части равно: 
. Значения обеих частей уравнения равны, поэтому 
— корень данного уравнения.
- Заказать решение задач по высшей математике
Пример №87
Решить уравнение:
а) 
; б) 
; в) 
.
а) 
; 
; 
; 
; 
. Ответ. 11.
б) Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, 
или 
; 
или 
. Ответ.-0,5; 2.
в) 
; 
; 
. Квадрат числа не может быть равен отрицательному числу. Поэтому данное уравнение корней не имеет. Ответ. Уравнение корней не имеет.
Решение уравнений. Свойства уравнений
Решение любого уравнения сводится к выполнению определенных преобразований, в результате которых данное уравнение заменяют более простым.
Решим, например, уравнение:
. (1)
1. Раскроем скобки:
. (2)
2. Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
. (3)
3. Перенесем слагаемые с переменной 
в левую часть уравнения, а без переменной — в правую, изменив их знаки на противоположные:
. (4)
4. Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:
. (5)
5. Разделим обе части уравнения на 2:
.
Таким образом, уравнение (1) имеет единственный корень — число 4.
При решении уравнения (1) мы выполняли некоторые преобразования: раскрывали скобки, приводили подобные слагаемые, переносили слагаемые из одной части уравнения в другую, делили обе части уравнения на число. С этими преобразованиями связаны следующие основные свойства уравнений:
Свойство 1. В любой части уравнения можно раскрыть скобки или привести подобные слагаемые.
Свойство 2. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный.
Свойство 3. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
Если в некотором уравнении выполнить одно из преобразований, указанных в свойствах 1, 2 или 3, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и начальное уравнение.
Решая уравнение (1), мы последовательно получали уравнения (2), (3), (4), (5). Все они вместе с уравнением (1) имеют один и тот же корень — число 4.
Для тех, кто хочет знать больше
Свойства уравнений можно обосновать, используя следующие свойства числовых равенств:
Если а — b — верное числовое равенство и с — некоторое число, то:
Если к обеим частям верного числового равенства прибавить одно и то же число, то получим верное числовое равенство.
Если обе части верного числового равенства умножить на одно и то же число, то получим верное числовое равенство.
Если обе части верного числового равенства разделить на одно и то же число. отличное от нуля то получим верное числовое равенство.
Из первого свойства числовых равенств можно получить такое следствие: если из одной части верного числового равенства перенести в другую часть слагаемое, изменив его знак на противоположный, то получим верное числовое равенство.
Используя свойства числовых равенств, докажем, например, что уравнение
(6)
имеет тс же корни, что и уравнение
. (7)
(Это свойство 2 для уравнения .)
• Пусть 
— произвольный корень уравнения (6). Тогда 
— верное числовое равенство. Перенесем слагаемое 
в левую часть равенства, изменив его знак на противоположный. Получим верное числовое равенство 
, из которого следует, что является корнем уравнения (7). Мы доказали, что произвольный корень уравнения (6) является корнем уравнения (7).
Наоборот, пусть 
— произвольный корень уравнения (7). Тогда числовое равенство 
является верным. Перенесем слагаемое 
в правую часть равенства, изменив его знак на противоположный. Получим верное числовое равенство 
, из которого следует, что является корнем уравнения (6). Мы доказали, что произвольный корень уравнения (7) является корнем уравнения (6). Таким образом, уравнения (6) и (7) имеют одни и тс же корни. • Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Следовательно, уравнения (6) и (7) являются равносильными.
Примеры решения уравнений:
Пример №88
Решить уравнение 
.
Решение:
Умножив обе части уравнения на 14, получим:
; 
; 
;
Ответ. 15.
Пример №89
Решить уравнение 
.
Решение:
Разделив обе части уравнения на 25, получим:
Ответ. 1,6.
Линейные уравнения с одной переменной
Линейные уравнения с одной переменной
Рассмотрим уравнения:
Левая часть каждого из этих уравнений является произведением некоторого числа и переменной, а права часть — некоторым числом. Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной переменной.
Определение:
Уравнение вида 
, где 
— некоторые известные числа, а 
— переменная, называют линейным уравнением с одной переменной.
Числа а и b называют коэффициентами линейного уравнения.
Когда при решении уравнения выполняют некоторые преобразования, приводя данное уравнение к более простому, то во многих случаях этим «простым» уравнением является именно линейное уравнение.
Выясним, сколько корней может иметь линейное уравнение. Для этого рассмотрим сначала три следующих уравнения:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
- Чтобы решить уравнение
, достаточно обе его части разделить на 3. Получим один корень: - В уравнении значение левой части равно 0 для любого числа . Правая же часть уравнения не равна нулю. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.
- Равенство является верным для любого числа . Поэтому корнем уравнения является любое число (уравнение имеет бесконечно много корней).
В общем случае для линейного уравнения получим:
Итог: количество корней линейного уравнения
|
уравнение |
Коэффициенты | Корни |
 |
 — единственный корень |
|
 и  |
корней нет | |
и  |
корнем является любое число (уравнение имеет бесконечно много корней) |
Уравнения с модулями
Напомним, что модулем положительного числа и числа 0 является это же число, модулем отрицательного числа является противоположное ему число:
Так, 
. Модуль любого числа является неотрицательным числом, то есть 
.
Уравнения 
содержат переменную под знаком модуля. Такие уравнения называют уравнениями с модулем.
Уравнение вида 
. Решая уравнение вида 
, где а — некоторое известное число, можно использовать геометрический смысл модуля числа: модуль числа — это расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число на координатной прямой.
Рассмотрим уравнение 
. На координатной прямой существуют две точки, расположенные на расстоянии 2 единицы от начала отсчета. Это точки, соответствующие числам 2 и -2 (рис. I). Поэтому уравнение 
имеет два корня: 2 и -2.
Рис. 1
Уравнение 
имеет один корень — число 0, а уравнение 
не имеет корней (модуль любого числа является неотрицательным числом и не может быть равен -2).
В общем случае уравнение 
:
Решение уравнений с модулями, исходя из определения модуля числа
Решим уравнение
(1)
Это уравнение нельзя привести к виду , где а — некоторое число. Для его решения рассмотрим два случая.
1. Если — неотрицательное число (
), то 
и уравнение (1) принимает вид 
, откуда 
. Число 1 — неотрицательное (удовлетворяет неравенству ), поэтому оно является корнем уравнения (1).
2. Если — отрицательное число (
), то 
и уравнение (1) принимает вид 
, откуда 
. Число 2 не является отрицательным (не удовлетворяет неравенству ), поэтому оно не является корнем уравнения (1).
Таким образом, уравнение 
имеет один корень .
Примеры выполнения заданий:
Пример №90
Решить уравнение 
.
Решение:
Ответ. -3.
Пример №91
Решить уравнение 
.
Решение:
Ответ. Уравнение корней не имеет.
Пример №92
Решить уравнение 
Решение:
Ответ. Корнем уравнения является любое число.
Пример №93
Решить уравнение 
.
Решение:
Умножив обе части уравнения на 36 (36 — наименьшее общее кратное знаменателей дробей), получим:
Ответ. 6.
Итог. При решении уравнения нужно придерживаться следующей схемы:
- Если в уравнении есть выражения с дробными коэффициентами, то умножить обе его части на наименьший общий знаменатель дробей.
- Раскрыть скобки.
- Перенести все слагаемые, содержащие переменную, в одну часть уравнения (как правило, в левую), а слагаемые, не содержащие переменной, — в другую часть (в правую).
- Привести подобные слагаемые.
- Разделить обе части уравнения на коэффициент при переменной, если он не равен нулю. Если же он равен 0, то уравнение или не имеет корней, или его корнем является любое число.
Пример №94
Решить уравнение 
.
Решение:
Если модуль числа равен 3, то этим числом является 3 или -3. Поэтому возможны два случая:
1) 
2) 
Ответ. 3; 0.
Пример №95
Решить уравнение 
.
Решение:
Ответ. -4; 4.
Решение задач с помощью уравнений
При решении задач с помощью уравнений в большинстве случаев придерживаются следующей схемы:
- выбирают неизвестное и обозначают его буквой (или какой-нибудь другой буквой);
- используя условие задачи, составляют уравнение;
- решают уравнение и отвечают на вопросы, поставленные в задаче.
Рассмотрим примеры.
Пример №96
В двух цистернах находится 66 т бензина, причем в первой бензина в 1,2 раза больше, чем во второй. Сколько бензина в каждой цистерне?
Решение:
Пусть во второй цистерне т бензина, тогда в первой — 
т. В двух цистернах вместе находится 
т бензина, что по условию равно 66 т. Получаем уравнение:
Решим это уравнение: 
.
Таким образом, во второй цистерне 30 т бензина, а в первой — 1,2 • 30 = 36 (т).
Ответ. 36 т, 30 т.
Примечание. Чтобы решить задачу 1, можно рассуждать и так. Пусть во второй цистерне т бензина, тогда в первой — 
т. В первой цистерне бензина в 1,2 раза больше, чем во второй, поэтому 
. Остается решить это уравнение и записать ответ задачи.
Пример №97
Из. города А в город В выехал грузовой автомобиль. Через 30 мин навстречу ему из города В выехал легковой автомобиль, скорость которого на 25 км/ч больше скорости грузового. Автомобили встретились через 1,3 ч после выезда грузового автомобиля из города А. Найти расстояние между городами, если за все время движения грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой.
Решение:
Пусть скорость грузового автомобиля км/ч, тогда скорость легкового — 
км/ч.
До момента встречи грузовой автомобиль был в пути 1,3 ч, а легковой на 30 мин = 0,5 ч меньше: 1,3 ч — 0,5 ч = 0,8 ч. За 1,3 ч грузо&ой автомобиль проехал 1,3 км, а легковой за 0,8 ч — 0,8 км. Поскольку грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой, то разность расстояний 1,3 км и 0,8 км равна 10 км.
| Скорость, км/ч | Время, ч | Путь, км | |
| Грузовой автомобиль | |
1,3 | 1,3 |
| Легковой автомобиль | |
0,8 |  |
Получили уравнение: 
Решим это уравнение:
Итак, скорость грузового автомобиля равна 60 км/ч.
Расстояние между городами равно сумме расстояний, которые проехали оба автомобиля, то есть 
км. Поскольку = 60, то получим:
Ответ. 146 км. •
Примечание. Опираясь на решение задач 1 и 2, проанализируем первые два шага приведенной выше схемы решения задач с помощью уравнений.
1) Выбор неизвестного, которое мы обозначали буквой, в решениях этих задач был разным. В задаче 1 мы обозначили через т одну из искомых величин (массу бензина во второй цистерне). В задаче 2 искомой величиной является расстояние между городами. Если эту величину обозначить через км, то при составлении уравнения рассуждения будут довольно сложными. Мы же через км/ч обозначили неизвестную скорость грузового автомобиля, выразили через расстояния, пройденные автомобилями, и составили уравнение, зная, что разность расстояний равна 10 км.
Таким образом, обозначать через 
(или какую-нибудь другую букву) желательно ту неизвестную величину, через которую легче выражаются величины, значения которых можно приравнять.
2) Чтобы составить уравнение, сначала выражаем через 
те величины, значения которых будем приравнивать. После этого записываем уравнение.
Математическая модель:
Вам, наверное, уже приходилось видеть модели корабля, самолета, автомобиля, изготавливать модели куба, прямоугольного параллелепипеда. Каждая модель, в зависимости от ее предназначения, отображает некоторые свойства оригинала.
Математическая модель — это описание некоторого реального объекта или процесса на языке математики.
Опишем на языке математики задачу 2. Определяя скорость грузового автомобиля в этой задаче, мы обозначили ее через км/ч. Скорость легкового автомобиля на 25 км/ч больше, чем скорость грузового, что на языке математики записывают так: скорость легкового автомобиля равна 
км/ч.
На языке математики расстояние, пройденное грузовым автомобилем, записывают: 1,3 км, а расстояние, пройденное легковым автомобилем, — 
км.
По условию задачи грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой, что на языке математики можно выразить так: разность расстояний, пройденных грузовым и легковым автомобилями, равна 10 км, и записать: 
.
Полученное уравнение и является математической моделью задачи на движение автомобилей. Построив математическую модель, мы свели задачу на движение к математической задаче — решить уравнение.
Кроме уравнений, есть и другие виды математических моделей, с которыми ми познакомимся в процессе изучения алгебры.
Интересно знать. История науки знает немало примеров, когда в рамках удачно построенной математической модели с помощью вычислений, как говорят, «на кончике пера», удавалось предвидеть существование новых физических объектов и явлений. Так, опираясь на математические модели, астрономы Дж. Адамс (Англия) в 1845 году и У. Леверье (Франция) в 1846 году независимо друг от друга пришли к выводу о существовании неизвестной тогда еще планеты и указали ее расположение на небе. По расчетам Леверье астроном Г. Галле (Германия) нашел эту планету. Ее назвали Нептуном.
Интересно знать
На протяжении многих столетий алгебра была наукой об уравнениях и способах их решения. Линейные уравнения умели решать еще древние египтяне и вавилоняне (1 тысячелетие до н. э.).
О состоянии математики в Древнем Египте свидетельствуют математические тексты, написанные на особой бумаге — папирусе, изготовленном из стеблей растения, которое имеет такое же название. Написание некоторых папирусов относят к XVIII в. до н. э., хотя описанные в них математические факты были известны древним египтянам задолго до их изложения.
Один из таких папирусов был найден в 1872 году в одной из египетских пирамид. Его приобрел английский коллекционер древностей Райнд, и сейчас >тот папирус — папирус Райнда — хранится в Лондоне.
В папирусе Райнда особое место занимают задачи на «аха» («хау»).
Это задачи, которые решаются с помощью линейных уравнений с одним нечестным. «Аха» («хау») означает «совокупность», «куча» (неизвестная величина). Пример такой задачи: «Куча. Ее
, ее 
, ее 
и ее целое. Это 33». Если обозначить «кучу» — неизвестную величину — через , то получим уравнение: 
.
Более заметные успехи в создании начал алгебры были достигнуты в Древнем Вавилоне. До нашего времени сохранились вавилонские глиняные плитки с комбинациями клиновидных черточек — клинописью. Такие плитки имели в Вавилоне то же значение, что и папирусы в Египте. На плитках встречаются и и клинописные математические тексты, которые свидетельствуют, что уже более 4000 лет гому назад в Вавилоне могли решать уравнения, содержащие квадрат неизвестного.
Начиная с VII в. до н. э., древние греки после знакомства с достижениями египтян и вавилонян в сфере математики продолжили их науку. При этом достаточно мало греческих ученых при решении задач использовали уравнения. Одним из тех, кто использовал уравнения, был древнегреческий математик Диофант.
О Диофанте известно мало, даже точно не установлены годы его жизни. Кое-что о жизни Диофанта и о том, сколько он прожил лет, можно узнать из надписи на его могильной плите.
| Надпись на плите | Языком алгебры |
| Путник! Здесь погребен Диофант. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. |  |
| Часть шестую его представляло прекрасное детство. |  |
| Двенадцатая часть протекла его жизни — покрылся пухом тогда подбородок. |  |
| Седьмую в бездетном браке провел Диофант. |  |
| Прошло пятилетие; он был осчастливлен рождением прекрасного первенца-сына, | 5 |
| коему рок дал половину лишь жизни прекрасной и светлой на земле по сравнению с отцом. |  |
| И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. | 4 |
| Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант? |  |
Греческую науку в Средневековье заимствовали ученые Востока — индийцы и арабы. Именно на Востоке в IX в. алгебра становится самостоятельной математической наукой.
Происхождение слова «алгебра» также связано с Востоком.
Город Багдад в VII-IX в. был столицей могущественного Арабского халифата. Багдадские халифы оказывали содействие развитию природоведения и математических наук. За годы правления халифа Гаруна аль-Рашида в Багдаде была оборудована большая библиотека, а халиф аль-Мамун организовал своеобразную академию — «Дом мудрости» и построил хорошо оборудованную обсерваторию.
При дворе аль-Мамуна жил и работал ученый Мухаммед бен Муса аль-Хорезми (около 780 — около 850). Он собрал и систематизировал способы решения уравнений и описал их в работе «Китаб аль-джебр аль-мукабала», что дословно означает «Книга о восстановлении и противопоставлении». В то время отрицательные числа считались «ненастоящими», и, когда в процессе решения уравнения в какой-то его части появлялось отрицательное число, его нужно было перенести в другую часть. Эту операцию называли восстановлением (аль-джебр), то есть переведением «ненастоящих» (отрицательных) чисел в «настоящие» (положительные). С помощью противопоставления (аль-мукабала) отбрасывали одинаковые слагаемые в обеих частях уравнения.
В XII в. сочинение аль-Хорезми перевели на латинский язык, сохранив в его названии только слово «аль-джебр», которое вскоре стали произносить как алгебра.
Постепенно сформировалась современная алгебра, которая охватывает не только теорию решения уравнений, а и способы проведения операций (действий) с разнообразными объектами (в частности, с числами).
- Целые выражения
- Одночлены
- Многочлены
- Формулы сокращенного умножения
- Отношения и пропорции
- Рациональные числа и действия над ними
- Делимость натуральных чисел
- Выражения и уравнения
Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид
aх + b = 0, где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.
Например, все уравнения:
2х + 3= 7 – 0,5х; 0,3х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) — линейные.
Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения.
Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.
А значение х = 3 не обращает уравнение 3х + 7 = 13 в верное равенство, так как 3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.
Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида
aх + b = 0.
Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим
aх = ‒ b.
Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .
Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.
Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим
3х = 11 – 2.
Выполним вычитание, тогда
3х = 9.
Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть
х = 9 : 3.
Значит, значение х = 3 является решением или корнем уравнения.
Ответ: х = 3.
Если а = 0 и b = 0, то получим уравнение 0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения является любое число.
Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.
Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.
Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
5х – 3х ‒ 2х = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Приведем подобные члены:
0х = 0.
Ответ: х — любое число.
Если а = 0 и b ≠ 0, то получим уравнение 0х = — b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но b ≠ 0 .
Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.
Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.
Приведем подобные члены:
0х = ‒ 3.
Ответ: нет решений.
На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения
Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.
Пример 4. Пусть надо решить уравнение
1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.
2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)
3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .
4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.
6) Разделим на – 22 , Получим
х = 7.
Как видим, корень уравнения равен семи.
Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме:
а) привести уравнение к целому виду;
б) раскрыть скобки;
в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;
г) привести подобные члены;
д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.
Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2), третьего (Пример. 1, 3) и даже с пятого этапа, как в примере 5.
СЛОЖНА-А-А 🙀 Ты же знаешь, что если не разобраться в теме сейчас, то потом придется исправлять оценки. Беги на бесплатное онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).
Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.
Находим неизвестное х = 1/4 : 2,
х = 1/8 .
Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.
Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.
Решение
2х + 6 = 5 – 6х
2х + 6х = 5 – 6
8х = ‒1
х = ‒1 : 8
х = ‒ 0, 125
Ответ: ‒ 0, 125
Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.
Решение
– 30 + 18х = 8х – 7
18х – 8х = – 7 +30
10х = 23
х = 23 : 10
х = 2,3
Ответ: 2,3
Пример 8. Решите уравнение
Решение:
3(3х – 4) = 4 · 7х + 24
9х – 12 = 28х + 24
9х – 28х = 24 + 12
-19х = 36
х = 36 : (-19)
х = — 36/19
Ответ: — 
.
Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 37-х
Решение
Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.
Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.
Если х = 4, тогда
f(6) = 37-4 = 33 = 27
Ответ: 27.
Молодец! Раз ты дочитал это до конца, вероятно, ты все отлично усвоил. Но если вдруг что-то еще непонятно — попробуй онлайн-занятие с репетитором (подробности тут + 🎁).
Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ. Буду рада Вам помочь!
Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Линейное уравнение с одной переменной
Содержание:
- Что такое линейное уравнение с одной переменной
- Свойства, алгоритм вычислений, основные принципы
- Виды уравнений с одной переменной
-
Решение уравнений (алгоритм сведения уравнений к линейным)
- Графический способ решения уравнений с одной переменной
- Дробные уравнения с одной переменной
- Линейные уравнения с одной переменной со скобками
- Примеры решений
Что такое линейное уравнение с одной переменной
Рассмотреть понятие линейного уравнения можно на образце задачи. Предположим, что нужно определить такие численные значения переменной х, при которых соответственные значения выражений 3х и х+8 будут одинаковыми. Для этого необходимо решить уравнение:
3х=х+8
Если х=4, правая и левая части уравнения будут равны. В данном случае число 4 является решением или корнем рассматриваемого уравнения.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Определение
Корень уравнения с одной переменной является числом, благодаря которому данное уравнение становится верным равенством.
Решить уравнение в алгебре — значит определить множество всех его корней.
Линейным уравнением является любое алгебраическое уравнение, обладающее одним неизвестным, степень которого равна единице.
Общий вид линейного уравнения можно записать, таким образом:
kx+b=0
Где k и b — являются произвольными числами.
Примеры линейных уравнений:
- Уравнение x+5=8 обладает одним корнем 3. Уникальность корня объясняется тем, что при x<3 левая часть уравнения будет меньше 8, а при x>3 больше 8.
- Уравнение (x+2)(x-1)(x-7)=0 включает три корня: -2, 1 и 7. Каждый корень при подстановке в выражение превращает его в справедливое равенство. Когда х равен любому другому числу, ни один из множителей (а значит, и их произведение) не равен нулю.
- Уравнение x+3=x-1 не обладает корнями, так как при любых x значение выражения, стоящего в левой части уравнения, на 4 больше соответственного значения выражения, которое расположено в правой части. Множество корней будет пустым.
- Уравнение x=|x| обладает бесконечным множеством корней. Какое-либо число, больше нуля, или ноль может стать его корнем.
- Уравнение 5(x+8)=40+5x обладает бесконечным множеством корней. При этом любое значение х — корень уравнения, в связи с тем, что выражения 5(x+8) и 40+5x тождественно равны. Данное уравнение удовлетворяется тождественно.
Перечисленные уравнения обладают общей формой:
(kx+b=0 Leftrightarrow kx=-b)
Рассматриваемые выражения по внешнему виду схожи друг с другом. Значение х является переменной или неизвестным, k и b — представляют собой произвольные числа.
Уравнения, которые не соответствуют этой записи, не являются линейными, к примеру:
(x^{2}-1=0)
(x-3)(x+5)=0
(left | x right |=2)
Свойства, алгоритм вычислений, основные принципы
При решении задач с линейными уравнениями целесообразно воспользоваться определенными закономерностями.
Определение
Какое-либо слагаемое допустимо перенести из одной части равенства в другую, изменив его знак.
К примеру:
(x+2=0 Rightarrow x=-2)
Необходимость в смене знака объясняется тем, что к обоим частям уравнения можно прибавить одинаковое число. При этом равенство остается справедливым:
x+2+(-2)=0+(-2)
(x+0=0-2 Rightarrow x=-2)
Определение
Любую из частей уравнения допустимо умножать, делить на одно и то же число, которое не равно нулю. При этом сохраняется смысл уравнения.
К примеру, можно умножить обе части выражения на 4 и получить следующее равенство:
(x+2=0 Rightarrow (x+2)cdot 4=0cdot 4)
4x+8=0
В математике существует понятие равносильных уравнений. Можно рассмотреть подобные равенства на примере:
- (x+2)(x-3)=0
- x(x+2)(x-3)=0
В данном случае первое уравнение обладает двумя корнями: -2 и 3, а второе — тремя корнями: 0, -2 и 3. Любой корень первого уравнения представляет собой и корень второго уравнения. Однако не каждый корень второго уравнения будет определен, как корень первого уравнения. Если x=0 второе уравнение будет являться верным равенством, а первое — нет.
Уравнение x(x+2)=3(x+2) обладает двумя корнями: -2 и 3. Любое решение третьего уравнения будет также являться решением первого уравнения. Каждое из решений первого уравнения соответствует решению третьего уравнения. Таким образом, первое и третье уравнения будут называть равносильными.
Определение
Равносильными называют уравнения, у которых множества решений совпадают.
Рассмотреть свойства равенств удобно на примере двух уравнений: 2x-5=9 и 2x=14. Определить, равносильны ли они, можно с помощью следующих свойств:
- Рефлексивность. Каждое число равно самому себе, то есть а=а.
- Симметричность. В том случае, когда одно число равно второму, то второе число также будет равно первому, то есть, если а=b, то b=а.
- Транзитивность. В том случае, когда первое число равно второму, а второе обладает таким же значением, как и третье, то первое число будет равно третьему: a=b и b=c, то a=c.
- При сложении обеих частей справедливого равенства с одним и тем же числом в результате получится верное равенство, то есть если a=b, то a+c=b+c.
- При умножении обеих частей справедливого равенства на одно и то же число результатом будет являться верное равенство: если a=b, то (acdot c=bcdot c).
Решение линейных уравнений с применением свойств равенств можно разобрать на конкретных примерах.
Задача 1
Требуется найти решение уравнения:
6x-42=0
Решение:
В первую очередь следует сложить левую и правую части уравнения с числом 42. Таким образом, будет осуществлен перенос числа -42 в правую часть равенства с противоположным знаком. В результате уравнение приобретает следующий вид:
6x=42
В том случае, когда при каком-то значении х равенство справедливо, то верным будет и то равенство, которое было записано. Наоборот, когда имеется некоторое значение х, записанное равенство справедливо, то исходное равенство также будет верным. Данный факт является следствием рассмотренных свойств равенств. Таким образом, можно говорить о равнозначности уравнений:
(6x-42=0Leftrightarrow6x=42)
Далее следует умножить все части уравнения на:
(frac{1}{6} )
Получим:
x=7
Исходя из свойства равенств, можно сделать вывод о равнозначности последних двух уравнений:
(6x=42 Leftrightarrow x=7)
Таким образом, согласно свойству транзитивности равносильных уравнений, можно считать равносильными и данные уравнения:
(6x-42=0 Leftrightarrow x=7)
Получается, что 7 является корнем исходного уравнения.
Ответ: х=7.
С помощью данного примера можно заключить, что при переносе элементов равенства из одной части в другую с противоположным знаком и умножении, либо делении обеих частей уравнения на число, которое отлично от нуля, получается уравнение, равносильное данному.
Задача 2
Необходимо найти решение уравнения:
(frac{3}{4}x-frac{5x}{16}=2)
Решение
В первую очередь следует привести все слагаемые левой части равенства к общему знаменателю:
(frac{3x}{4}cdotfrac{4}{4}-frac{5x}{16}=2)
(frac{12x}{16}-frac{5x}{16}=2)
(frac{12x-5x}{16}=2)
(frac{7x}{16}=2)
Далее можно умножить каждую часть уравнения на:
(frac{16}{7})
После того, как исключен коэффициент при неизвестном, получим:
(frac{7x}{16}cdotfrac{16}{7}=2cdotfrac{16}{7})
В данном случае допустимо сократить числа 7 и 16, что в результате позволит получить равенство:
(x=frac{32}{7})
Ответ: (x=frac{32}{7})
Подытожив рассмотренные примеры, можно записать алгоритм решения линейных уравнений с одним неизвестным:
kx+b=0
Решение определяется параметрами k и b. Исходя из этого, можно предложить несколько вариантов решений.
Вариант 1, при котором коэффициент при неизвестной k имеет нулевое значение, а свободный член b не равен нулю:
(k=0, bneq 0 Rightarrow 0cdot x=-b)
В таком случае, не получится определить такое число х, которое, находясь в уравнении, преобразует его в справедливое равенство. Это связано с тем, что при умножении на 0 получится результат с нулевым значением. Таким образом, можно сделать вывод об отсутствии решений, что следует записать, как «х принадлежит пустому множеству»:
(xin oslash)
Вариант 2, при котором значения коэффициента при неизвестной и свободный член не равны нулю:
(kneq 0, bneq 0 Rightarrow kx=-b Rightarrow x=frac{-b}{k})
Таким образом, х будет являться действительным и единственным решением в форме отношения пары чисел: -b и k.
Вариант 3, при котором k и b равны нулю, то есть:
(k=0, b=0 Rightarrow kx=-b Rightarrow 0cdot x=0)
При любом х равенство будет справедливым. Это связано с тем, что, если число умножить на 0, получится 0. В этом случае, х является любым числом, либо принадлежит множеству всех действительных чисел, что можно записать, таким образом:
(xin mathbb{R})
Существует несколько способов записи решения. К примеру, можно воспользоваться двойным неравенством:
(-infty <x< infty)
Данная формулировка означает, что х является числом из промежутка от минус бесконечности до плюс бесконечности. Так как бесконечность не является числом, неравенство будет строгим. Ответ можно представить, как интервал:
(xin(-infty;infty))
Знак (in )справедливо заменить словом «принадлежит». Такой символ носит название квантора принадлежности. В этом случае формулировка будет следующей: «х принадлежит любому числу из данного интервала».
Исходя из того, что решение линейного уравнения — это корень уравнения. Следовательно, при решении линейного уравнения необходимо привести его к виду:
x=…
Виды уравнений с одной переменной
Существуют разные алгебраические уравнения. Наиболее распространенными из них являются:
- линейные;
- квадратные.
Линейные уравнения записывают в виде:
ах + b = 0
Где a и b — являются действительными числами.
В решении линейных уравнений удобно применять следующие свойства:
- в том случае, когда а не равно нулю, уравнение обладает единственным корнем: х = -b : а;
- при нулевом значении, а уравнение не имеет корней;
- когда а и b равны нулю, корень уравнения является любым числом.
Квадратное уравнение имеет следующий вид:
ax2 + bx + c = 0,
Где коэффициенты a, b и c — являются произвольными числами, a обладает ненулевым значением.
Решение уравнений (алгоритм сведения уравнений к линейным)
Решить многие уравнения можно путем их сведения к линейным. Существует несколько действенных способов. Алгоритм действий может отличаться в зависимости от вида уравнения.
Графический способ решения уравнений с одной переменной
Решить уравнения с одной переменной можно графическим методом. Стандартный алгоритм включает несколько шагов:
- выразить( displaystyle x) с помощью (displaystyle y);
- определить, к какому типу относится функция;
- построить графики получившихся функций;
- найти точки, в которых пересекаются графики;
- записать корректный ответ, учитывая ОДЗ и знаки неравенств;
- проверить ответ, то есть подставить корни в уравнение или систему.
Графическое решение линейных уравнений
График линейного уравнения представляет собой прямую линию. Разобрать данный способ удобно на конкретном примере. Требуется решить уравнение:
(displaystyle 2{x} -10=2)
Способ 1 заключается в переносе неизвестных в одну сторону, а известных — в другую. Таким образом:
(displaystyle 2x=2+10)
(displaystyle 2x=12)
Далее необходимо поделить правую часть уравнения на левую, чтобы получить искомый корень. Однако можно пойти другим путем и представить обе части уравнения в виде различных функций в одной системе координат:
(displaystyle {{y}_{1}}=2x)
(displaystyle {{y}_{2}}=12)
График будет иметь следующий вид:
В данном случае координата (displaystyle x) точки пересечения графиков является корнем уравнения:
Ответ: (displaystyle x=6)
Полученный корень уравнения следует проверить, подставив его в уравнение.
Способ 2 не предусматривает перенос элементов уравнения, а заключается в том, что графики строят напрямую. Дано уравнение:
(displaystyle 2{x} -10=2)
Построим графики:
(displaystyle {{y}_{1}}=2{x} -10)
(displaystyle {{y}_{2}}=2)
В данном случае решением будет та же координата (displaystyle x) точки пересечения графиков, которая была получена в решении уравнения первым способом:
Ответ: (displaystyle x=6)
Графическое решение квадратных уравнений
Графическим методом можно решать квадратные уравнения. К примеру, дано уравнение, корни которого необходимо найти:
(displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0)
Способ 1 позволяет решить уравнение напрямую. Для этого необходимо построить параболу, согласно уравнению:
(displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0)
Как правило, начинают строить график после определения вершины параболы. Определить ее координаты можно, таким образом:
(displaystyle x=-frac{b}{2a})
(displaystyle y=-frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a})
Получилось следующее:
(displaystyle x=frac{-2}{2}=-1)
(displaystyle y=-frac{{{2}^{2}}-4cdot left( -8 right)}{4}=-frac{4+32}{4}=-9)
Далее нужно построить точки в количестве от (displaystyle 3). Парабола симметрична относительно своей вершины. К примеру:
Таким образом, нужно построить еще пару точек слева и справа по ветвям параболы. Далее эти точки необходимо симметрично отразить на противоположную сторону:
Получена точка (displaystyle Aleft( -1;-9 right)). Требуется еще пара точек. Целесообразно взять положительные. Можно выполнить расчет при (displaystyle x=0) и (displaystyle x=2).
При (displaystyle x=0:)
(displaystyle y={{0}^{2}}+0-8=-8)
При (displaystyle x=2:)
(displaystyle y={{2}^{2}}+2cdot 2-8=0)
Получив три точки, можно построить параболу, отразив две последние точки относительно ее вершины:
Решением уравнения будут точки, в которых (displaystyle y=0). Таким образом, (displaystyle x=2) и (displaystyle x=-4) представляют собой корни уравнения, так как ({{x}^{2}}+2{x} -8=0). В том случае, когда (y={{x}^{2}}+2{x} -8), можно сделать вывод, что (displaystyle y) тоже должен быть равен( displaystyle 0), либо (displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8=0.)
Способ 2 заключается в разбивке уравнения на несколько функций. Можно записать исходное уравнение (displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0) по-другому, то есть:
(displaystyle {{x}^{2}}=8-2x)
Преобразование является равносильным. Далее необходимо построить отдельно пару функций:
- (displaystyle {{y}_{1}}={{x}^{2}}) — график представляет собой простую параболу, которую можно построить, не определяя вершину с помощью формул и подготовки таблицы для определения прочих точек;
- (displaystyle {{y}_{2}}=8-2x) — график представляет сбой прямую, которую можно построить, подобрав значения (displaystyle x) и (displaystyle y.)
Графики:
Корнями уравнения являются координаты по (displaystyle x), полученные, когда пересекаются графики: (displaystyle {{y}_{1}}={{x}^{2}}) и (displaystyle {{y}_{2}}=8-2x). Таким образом:
В таком случае уравнение будет иметь следующие решения:
(displaystyle {{x}_{1}}=2)
(displaystyle {{x}_{2}}=-4)
В качестве другого примера можно решить следующее уравнение:
(displaystyle 2{{x}^{2}}-5x+3=0)
Получатся графики:
(displaystyle {{y}_{1}}=2{{x}^{2}})
(displaystyle {{y}_{2}}=5{x} -3)
Таким образом, корнями уравнения являются:
(displaystyle {{x}_{1}}=1)
(displaystyle {{x}_{2}}=1,5)
Графическое решение смешанных уравнений
Разобрать данный способ можно на примере решения следующего уравнения:
(displaystyle frac{3}{x}-x+2=0)
Нужно построить пару графиков:
(displaystyle {{y}_{1}}=frac{3}{x}) — график представляет собой гиперболу.
(displaystyle {{y}_{2}}={x} -2) — график является прямой, которую можно построить, подобрав значения (displaystyle x) и (displaystyle x.)
В результате получим следующие графики:
Таким образом, корнями уравнения являются:
(displaystyle {{x}_{1}}=-1)
(displaystyle {{x}_{2}}=3)
Ответ можно подтвердить, таким образом:
При подстановке корней в уравнение получим:
При( displaystyle {{x}_{1}}=-1:frac{3}{-1}-left( -1 right)+2=-3+1+2=0.)
При (displaystyle {{x}_{2}}=3:frac{3}{3}-3+2=1-3+2=0.)
Второй пример заключается в решении следующего уравнения:
(displaystyle 2{{x}^{3}}-{x} -1=0)
В данном случае целесообразно сначала перенести часть уравнения в правую сторону. Таким образом, в обеих частях останутся функции, которые просто построить:
(displaystyle 2{{x}^{3}}=x+1), соответственно:
(displaystyle {{y}_{1}}=2{{x}^{3}}) — кубическая парабола.
(displaystyle {{y}_{2}}=x+1) — обыкновенная прямая.
В результате получим корень уравнения:
(displaystyle {{x}_{1}}=1)
Дробные уравнения с одной переменной
При решении уравнений с дробями, которые содержат одну переменную, можно руководствоваться стандартным алгоритмом. Последовательность действий такова:
- определение области допустимых значений;
- поиск общего знаменателя;
- умножение каждого компонента уравнения на общий знаменатель для последующего сокращения полученных дробей и исключения знаменателей;
- раскрытие скобок, что моет сопровождаться приведением подобных слагаемых;
- решение полученного уравнения;
- сравнение полученных корней с областью дополнительных значений;
- запись ответа, который был предварительно проверен.
Метод пропорции
Данный способ подразумевает приведение дроби к общему знаменателю.
Определение
Правило сформулировано, таким образом: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
Рассмотреть эту закономерность удобно на практическом примере. Требуется решить линейное уравнение, в котором есть дроби:
Левая часть уравнения содержит одну дробь. Ее можно не преобразовывать. Правая часть уравнения включает сумму, которую следует упростить до получения одной дроби.
Решение:
В итоге левая и правая части уравнения содержат одну дробь. Далее необходимо воспользоваться методом пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели:
Метод избавления от дробей
Рассмотрим уравнение из предыдущего примера, но с другим решением:
Уравнение содержит пару дробей, которые необходимо исключить. Порядок действий следующий:
- подбор числа, которое можно разделить на каждый знаменатель без остатка;
- умножение данного числа на каждый компонент уравнения.
В рассматриваемом примере нужно найти наименьшее число, которое без остатка можно разделить на 5 и 9. Число 45 подходящее. Следует умножить на 45 каждый член уравнения и исключить знаменатели.
Примечание
Есть несколько важных моментов, которые необходимо учитывать при решении дробных уравнений с одной переменной. Например, если при значении переменной знаменатель равен 0, такое значение является неверным. Делить и умножать уравнение на 0 нельзя.
Линейные уравнения с одной переменной со скобками
Решение линейных уравнений данным способом заключается в следующих действиях:
- раскрытие скобок;
- перенесение х в левую часть уравнения, а чисел — в правую;
- приведение подобных слагаемых.
Полученное уравнение будет иметь вид: ax=b, которое является корнем рассматриваемого линейного уравнения: x=ba.
Данный метод можно рассмотреть на примере уравнения, которое необходимо решить:
2x+1=2(x−3)+8
Данное уравнение является линейным, так как переменная стоит в первой степени. В первую очередь уравнение необходимо привести к виду: ax=b. Для этого следует раскрыть скобки:
2x+1=4x−6+8
В левую часть нужно перенести все слагаемые, содержащие х, а в правую — числа:
2x−4x=2−1
−2x=1
Далее следует поделить обе части уравнения на число (-2):
−2x−2=1−2=−12=−0,5
Ответ: х=-0,5
В качестве примера можно решить еще несколько задач распространенного типа. Дано уравнение, корни которого нужно найти:
2x−4=2(x−2)
Данное уравнение является линейным. Следует избавиться от скобок, перенести х в левую часть, а числа — в правую:
2x−4=2x−4
2x−2x=−4+4
0=0
В результате преобразований было получено справедливое равенство. Можно сделать вывод, что от значения х тождество не зависит. Таким образом, х является любым числом.
Ответ: x∈(−∞; +∞)
Во втором примере необходимо решить уравнение:
2x−4=2(x−8)
Данное уравнение является линейным. Требуется раскрыть скобки, перенести х в левую часть, а числа — в правую:
2x−4=2x−16
2x−2x=−16+4
0=−12
В итоге х будет сокращен, и получилось неверное равенство. Таким образом. При любом х равенство будет неверным. В таком случае отсутствуют значения х, при которых получилось бы справедливое тождество.
Ответ: x∈∅
Примеры решений
Задача 1
Нужно найти корни уравнения:
0,9x-0,6(x-3)=2(0,2x-1,3)
Решение:
В первую очередь следует раскрыть скобки и привести подобные:
0,9x-0,6x+1,8=0,4x-2,6
0,3x+1,8=0,4x-2,6
Далее необходимо перенести слагаемые, в которых присутствует неизвестная, в одну часть, а слагаемые без неизвестной — в другую:
1,8+2,6=0,4x-0,3x
4,4=0,1x
После того, как две части уравнения будут умножены на 10, получим:
x=44
Ответ: x=44
Задача 2
Необходимо решить уравнение:
-36(6x+1)=9(4-2x)
Решение:
После раскрытия скобок в обеих частях равенства получим:
-216x-36=36-18x
Далее можно перенести переменные в правую часть, а остальные слагаемые — в левую:
-36-36=-18x+216x
После приведения подобных получим:
-72=198x
Затем стоит разделить правую и левую часть уравнения на 198:
(x=frac{-72}{198})
Сократив дробь на 18. получим:
(x=-frac{4}{11})
Ответ: (x=-frac{4}{11})
Задача 3
Нужно определить наибольший из корней уравнения:
(1,8-0,3y)(2y+9)=0
Решение:
В данном случае целесообразно применить свойство произведения. Произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю. Таким образом, одно из выражений в скобках должно обладать нулевым значением.
В первом случае:
(1,8-0,3y=0Rightarrow 1,8=0,3y)
Следует перенести слагаемые и умножить обе части уравнения на 10, а затем, поделить на 3:
(frac{1,8cdot 10}{3}=frac{0,3ycdot 10}{3})
(frac{18}{3}=frac{3y}{3})
y=6
Второй случай:
2y+9=0
2y=-9
Поделив обе части уравнения на 2, получим:
(y=frac{-9}{2})
y=-4,5
Таким образом, уравнением имеет пару корней, обращающих его в 0. Если выбрать наибольший из них, то:
y=6
Ответ: y=6
Задача 4
Дано уравнение, корень которого необходимо найти:
(frac{3m+5}{4}=frac{5m+1}{3})
Решение:
В первую очередь следует умножить обе части уравнения на общий знаменатель 12, то есть на 4 и 3, чтобы привести его к виду: x=…
(frac{3m+5}{4}cdot frac{4cdot 3}{1}=frac{5m+1}{3}cdot frac{4cdot 3}{1})
Сокращая слева на 4, а справа на 3 получим:
((3m+5)cdot 3=(5m+1)cdot 4)
Далее нужно раскрыть скобки:
(3mcdot 3+5cdot 3=5mcdot 4+1cdot 4)
(9m+15=20m+4)
В рассматриваемом примере целесообразно перенести 9m в правую часть равенства, чтобы не избавляться от минуса. После переноса слагаемых необходимо привести подобные и записать ответ:
15-4=20m-9m
11=11m
m=1
Ответ: m=1
Задача 5
Необходимо определить такое значение а, при котором корень уравнения будет равен -9:
3ax=12-x
Решение:
Путем подстановки -9 на место х можно получить а, при котором такая ситуация имеет место:
(3acdot (-9)=12-(-9))
Далее следует обратить внимание на правую часть уравнения и воспользоваться свойством: в том случае, когда перед скобками стоит знак минус, при их раскрытии все знаки, которые стоят в скобках, меняются на противоположные. Получим:
-27a=12+9
-27a=21
Затем можно поделить правую и левую части уравнения на (-27):
(a=frac{21}{-27})
После сокращения правой части равенства на 3 получим ответ:
(a=-frac{7}{9})
Ответ: (a=-frac{7}{9})
Алгебра
Глава 6. Линейные уравнения
6.5. Линейное уравнение с одним неизвестным
Ученик
Что такое линейное уравнение с одним неизвестным?
Учитель
Такое уравнение представляет собой равенство двух линейный функций. Любое уравнение первой степени с одним неизвестным можно представить в виде 
, где 
— неизвестное, коэффициент 
и свободный член 
— любые действительные числа.
Пример
В уравнении 
перенесем все члены правой части в левую: 
, а затем приведем подобные члены: 
. Уравнение равносильно уравнению , и оба они имеют одни и те же корни.
Ученик
А как же оно решается?
Определение
называют нормальной формой линейного уравнения с одним неизвестным.
Учитель
Решается оно (если 
) так: 
, 
.
При любом действительном значении уравнение в этом случае 
имеет корень, причем единственный.
Если 
и 
, то получаем уравнение 
, которому не удовлетворяют никакие значения , т. е. оно не имеет ни одного корня.
Если 
и 
, то уравнение обращается в тождество при любых значениях , т. е. имеет бесконечное множество корней .
Примечание.
При решении вопроса равносильности уравнений учитываем лишь действительные их корни.
Учитель
Чтобы найти корень данного уравнения, надо заменять его более простыми и равносильными ему уравнениями до тех пор, пока не получится уравнение вида 
, где — неизвестное данного уравнения, 
— некоторое число. Уравнение равносильно данному уравнению, которое также имеет корень .
Ученик
Так, не совсем понятно… Как именно можно преобразовывать уравнение?
Учитель
Решение уравнения выполняется обычно но схеме, состоящей из следующих этапов (первый и второй иногда удобнее переставлять и не в каждом уравнении нужно выполнять все пять этапов):
1) сделать все коэффициенты уравнения целыми, умножив все члены обеих его частей на наименьшее общее кратное всех знаменателей (согласно следствию 3, полученное при этом уравнение равносильно данному уравнению);
2) раскрыть скобки (при этом каждая часть уравнения преобразуется в тождественно равную ей и поэтому полученное уравнение равносильно предыдущему и данному уравнениям);
3) перенести члены с неизвестным из правой части в левую, а известные члены из левой части в правую (по следствию 2 получаем уравнение, равносильное предыдущему, а поэтому и данному);
4) привести подобные члены в каждой часто уравнения (тождественное преобразование не нарушает равносильности) ;
5) разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, если он не нуль (по следствию 4 полученное уравнение равносильно предыдущему, а поэтому — и данному уравнению).
Ученик
О, я знаю! Полученное при этом значение неизвестного является искомым корнем данного уравнения.
Учитель
Правильно, ты молодец! А еще, если подставить этот корень в данное уравнение вместо неизвестного и выполнить указанные в уравнении действия, то в левой и правой частях должно получиться одно и то же число.
Ученик
А если получится неверное равенство?
Учитель
Если же получится неверное равенство, то в решении была допущена ошибка, которую надо найти и устранить. Это называется проверкой решения уравнения.
Учитель
Главное значение уравнений состоит в том, что они дают наиболее удобный способ решения задач. Даже те задачи, которые в арифметике решаются сложно, в алгебре при помощи уравнений решаются значительно проще.
Ученик
Как же составлять уравнения по условию задачи?
Учитель
Составление уравнения по условию задачи выполняется по следующей схеме:
1) выбираем неизвестное (обычно лучше то, которое в задаче требуется найти, хотя можно и другое) и обозначаем его буквой (например, );
2) выражаем другие величины, о которых говорится в задаче, через и данные в задаче числа (получаем функции от );
3) составляем уравнение, приравнивая две из полученных функций от или одну из функций и число, которые по условию задачи или по зависимости между величинами должны быть равны;
4) решаем уравнение;
5) получаем ответ на вопрос задачи (если корней несколько, то все ли они могут удовлетворить условию задачи; если в задаче требуется найти несколько чисел, то находим остальные; если через было обозначено вспомогательное неизвестное, то находим число, которое требуется определить в задаче);
6) проверка решения и ответа по условию задачи.
Ученик
Кажется понятно.
Учитель
Ты молодец!