Как составить логическое выражение по предложению - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Алгебра логики

Алгебра логики (англ. algebra of logic) — один из основных разделов математической логики, в котором методы алгебры используются в логических преобразованиях.

Основоположником алгебры логики является английский математик и логик Дж. Буль (1815–1864), положивший в основу своего логического учения аналогию между алгеброй и логикой. Любое высказывание он записывал с помощью символов разработанного им языка и получал «уравнения», истинность или ложность которых можно было доказать, исходя из определенных логических законов, таких как законы коммутативности, дистрибутивности, ассоциативности и др.

Современная алгебра логики является разделом математической логики и изучает логические операции над высказываниями с точки зрения их истинностного значения (истина, ложь). Высказывания могут быть истинными, ложными или содержать истину и ложь в разных соотношениях.

Логическое высказывание — это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно утверждать, что его содержание истинно или ложно.

Например, «3 умножить на 3 равно 9», «Архангельск севернее Вологды» — истинные высказывания, а «Пять меньше трех», «Марс — звезда» — ложные.

Очевидно, что не всякое предложение может быть логическим высказыванием, т. к. не всегда есть смысл говорить о его ложности или истинности. Например, высказывание «Информатика — интересный предмет» неопределенно и требует дополнительных сведений, а высказывание «Для ученика 10-А класса Иванова А. А. информатика — интересный предмет» в зависимости от интересов Иванова А. А. может принимать значение «истина» или «ложь».

Кроме двузначной алгебры высказываний, в которой принимаются только два значения — «истинно» и «ложно», существует многозначная алгебра высказываний. В такой алгебре, кроме значений «истинно» и «ложно», употребляются такие истинностные значения, как «вероятно», «возможно», «невозможно» и т. д.

В алгебре логики различаются простые (элементарные) высказывания, обозначаемые латинскими буквами (A, B, C, D, …), и сложные (составные), составленные из нескольких простых с помощью логических связок, например таких, как «не», «и», «или», «тогда и только тогда», «если … то». Истинность или ложность получаемых таким образом сложных высказываний определяется значением простых высказываний.

Обозначим как А высказывание «Алгебра логики успешно применяется в теории электрических схем», а через В — «Алгебра логики применяется при синтезе релейно-контактных схем».

Тогда составное высказывание «Алгебра логики успешно применяется в теории электрических цепей и при синтезе релейно-контактных схем» можно кратко записать как А и В; здесь «и» — логическая связка. Очевидно, что поскольку элементарные высказывания А и В истинны, то истинно и составное высказывание А и В.

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение.

Логических значений всего два: истина (TRUE) и ложь (FALSE). Это соответствует цифровому представлению — 1 и 0. Результаты каждой логической операции можно записать в виде таблицы. Такие таблицы называют таблицами истинности.

Основные операции алгебры логики

1. Логическое отрицание, инверсия (лат. inversion — переворачивание) — логическая операция, в результате которой из данного высказывания (например, А) получается новое высказывание (не А), которое называется отрицанием исходного высказывания, обозначается символически чертой сверху ($A↖{-}$) или такими условными обозначениями, как ¬, ‘not’, и читается: «не А», «А ложно», «неверно, что А», «отрицание А». Например, «Марс — планета Солнечной системы» (высказывание А); «Марс — не планета Солнечной системы» ($A↖{-}$); высказывание «10 — простое число» (высказывание В) ложно; высказывание «10 — не простое число» (высказывание B ) истинно.

Операция, используемая относительно одной величины, называется унарной. Таблица значений данной операции имеет вид

A	¬A
истина	ложь
ложь	истина

или

Высказывание $A↖{-}$ ложно, когда А истинно, и истинно, когда А ложно.

Геометрически отрицание можно представить следующим образом: если А — это некоторое множество точек, то $A↖{-}$ — это дополнение множества А, т. е. все точки, которые не принадлежат множеству А.

2. Конъюнкция (лат. conjunctio — соединение) — логическое умножение, операция, требующая как минимум двух логических величин (операндов) и соединяющая два или более высказываний при помощи связки «и» (например, «А и В»), которая символически обозначается с помощью знака ∧ (А ∧ В) и читается: «А и В». Для обозначения конъюнкции применяются также следующие знаки: А ∙ В; А & В, А and В, а иногда между высказываниями не ставится никакого знака: АВ. Пример логического умножения: «Этот треугольник равнобедренный и прямоугольный». Данное высказывание может быть истинным только в том случае, если выполняются оба условия, в противном случае высказывание ложно.

Таблица истинности операции имеет вид

A	B	A ∧ B
истина	ложь	ложь
ложь	истина	ложь
ложь	ложь	ложь
истина	истина	истина

или

A	B	A ∧ B
1	0	0
0	1	0
0	0	0
1	1	1

Высказывание А ∧ В истинно только тогда, когда оба высказывания — А и В истинны.

Геометрически конъюнкцию можно представить следующим образом: если А, В — это некоторые множества точек, то А ∧ В есть пересечение множеств А и В.

3. Дизъюнкция (лат. disjunction — разделение) — логическое сложение, операция, соединяющая два или более высказываний при помощи связки «или» (например, «А или В»), которая символически обозначается с помощью знака ∨ (А ∨ В) и читается: «А или В». Для обозначения дизъюнкции применяются также следующие знаки: А + В; А or В; А | B. Пример логического сложения: «Число x делится на 3 или на 5». Это высказывание будет истинным, если выполняются оба условия или хотя бы одно из условий.

Таблица истинности операции имеет вид

A	B	A ∨ B
истина	ложь	истина
ложь	истина	истина
ложь	ложь	ложь
истина	истина	истина

или

A	B	A ∨ B
1	0	1
0	1	1
0	0	0
1	1	1

Высказывание А ∨ В ложно только тогда, когда оба высказывания — А и В ложны.

Геометрически логическое сложение можно представить следующим образом: если А, В — это некоторые множества точек, то А ∨ В — это объединение множеств А и В, т. е. фигура, объединяющая и квадрат, и круг.

4. Дизъюнкция строго-разделительная, сложение по модулю два — логическая операция, соединяющая два высказывания при помощи связки «или», употребленной в исключающем смысле, которая символически обозначается с помощью знаков ∨ ∨ или ⊕ (А ∨ ∨ В, А ⊕ В) и читается: «либо А, либо В». Пример сложения по модулю два — высказывание «Этот треугольник тупоугольный или остроугольный». Высказывание истинно, если выполняется какое-то одно из условий.

Таблица истинности операции имеет вид

А	В	А ⊕ B
истина	ложь	истина
ложь	истина	истина
ложь	ложь	ложь
истина	истина	ложь

или

А	В	А ⊕ B
1	0	1
0	1	1
0	0	0
1	1	0

Высказывание А ⊕ В истинно только тогда, когда высказывания А и В имеют различные значения.

5. Импликация (лат. implisito — тесно связываю) — логическая операция, соединяющая два высказывания при помощи связки «если…, то» в сложное высказывание, которое символически обозначается с помощью знака → (А → В) и читается: «если А, то В», «А влечет В», «из А следует В», «А имплицирует В». Для обозначения импликации применяется также знак ⊃ (A ⊃ B). Пример импликации: «Если полученный четырехугольник квадрат, то около него можно описать окружность». Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием. Результат операции ложен только тогда, когда предпосылка есть истина, а следствие — ложь. Например, «Если 3 * 3 = 9 (А), то Солнце — планета (В)», результат импликации А → В — ложь.

Таблица истинности операции имеет вид

А	В	А → В
истина	ложь	ложь
ложь	истина	истина
ложь	ложь	истина
истина	истина	истина

или

А	В	А → В
1	0	0
0	1	1
0	0	1
1	1	1

Для операции импликации справедливо утверждение, что из лжи может следовать все что угодно, а из истины — только истина.

6. Эквивалентность, двойная импликация, равнозначность (лат. aequalis — равный и valentis — имеющий силу) — логическая операция, позволяющая из двух высказываний А и В получить новое высказывание А ≡ В, которое читается: «А эквивалентно B». Для обозначения эквивалентности применяются также следующие знаки: ⇔, ∼. Эта операция может быть выражена связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «равносильно». Примером эквивалентности является высказывание: «Треугольник будет прямоугольным тогда и только тогда, когда один из углов равен 90 градусам».

Таблица истинности операции эквивалентности имеет вид

А	В	А ∼ В
истина	ложь	ложь
ложь	истина	ложь
ложь	ложь	истина
истина	истина	истина

или

А	В	А ∼ В
1	0	0
0	1	0
0	0	1
1	1	1

Операция эквивалентности противоположна сложению по модулю два и имеет результат «истина» тогда и только тогда, когда значения переменных совпадают.

Зная значения простых высказываний, можно на основании таблиц истинности определить значения сложных высказываний. При этом важно знать, что для представления любой функции алгебры логики достаточно трех операций: конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

Сложение по модулю два	А ⊕ В	$(A↖{-} ∧B) ∧ (A ∧ B↖{-})$
Импликация	А → В	$A↖{-} ∨ B$
Эквивалентность	А ∼ В	$(A↖{-} ∧ B↖{-}) ∨ (A ∧ B)$

Приоритет выполнения логических операций следующий: отрицание («не») имеет самый высокий приоритет, затем выполняется конъюнкция («и»), после конъюнкции — дизъюнкция («или»).

С помощью логических переменных и логических операций любое логическое высказывание можно формализовать, т. е. заменить логической формулой. При этом элементарные высказывания, образующие составное высказывание, могут быть абсолютно не связаны по смыслу, но это не мешает определять истинность или ложность составного высказывания. Например, высказывание «Если пять больше двух (А), то вторник всегда наступает после понедельника (В)» — импликация А → В, и результат операции в данном случае — «истина». В логических операциях смысл высказываний не учитывается, рассматривается только их истинность или ложность.

Рассмотрим, например, построение составного высказывания из высказываний А и В, которое было бы ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. В таблице истинности для операции сложения по модулю два находим: 1 ⊕ 1 = 0. А высказывание может быть, например, таким: «Этот мяч полностью красный или полностью синий». Следовательно, если утверждение А «Этот мяч полностью красный» — истина, и утверждение В «Этот мяч полностью синий» — истина, то составное утверждение — ложь, т. к. одновременно и красным, и синим мяч быть не может.

Примеры решения задач

Пример 1. Определить для указанных значений X значение логического высказывания ((X > 3) ∨ (X < 3)) → (X < 4) :

1) X = 1; 2) X = 12; 3) X = 3.

Решение. Последовательность выполнения операций следующая: сначала выполняются операции сравнения в скобках, затем дизъюнкция, и последней выполняется операция импликации. Операция дизъюнкции ∨ ложна тогда и только тогда, когда оба операнда ложны. Таблица истинности для импликации имеет вид

A	B	A → B
1	0	0
0	1	1
0	0	1
1	1	1

Отсюда получаем:

1) для X = 1:

((1 > 3) ∨ (1 < 3)) → (1 < 4) = ложь ∨ истина → истина = истина → истина = истина;

2) для X = 12:

((12 > 3) ∨ (12 < 3) → (12 < 4) = истина ∨ ложь → ложь = истина → ложь = ложь;

3) для X = 3:

((3 > 3) ∨ (3 < 3)) → (3<4) = ложь ∨ ложь → истина = ложь → истина = истина.

Пример 2. Указать множество целых значений X, для которых истинно выражение ¬((X > 2) → (X > 5)) .

Решение. Операция отрицания применена ко всему выражению ((X > 2) → (X > 5)) , следовательно, когда выражение ¬((X > 2) → (X > 5)) истинно, выражение ((X > 2) →(X > 5)) ложно. Поэтому необходимо определить, для каких значений X выражение ((X > 2) → (X > 5)) ложно. Операция импликации принимает значение «ложь» только в одном случае: когда из истины следует ложь. А это выполняется только для X = 3; X = 4; X = 5.

Пример 3. Для каких из приведенных слов ложно высказывание ¬(первая буква гласная ∧ третья буква гласная) ⇔ строка из 4 символов? 1) асса; 2) куку; 3) кукуруза; 4) ошибка; 5) силач.

Решение. Рассмотрим последовательно все предложенные слова:

1) для слова асса получим: ¬(1 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 — высказывание истинно;

2) для слова куку получим: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 — высказывание истинно;

3) для слова кукуруза получим: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 0, 1 ⇔ 0 — высказывание ложно;

4) для слова ошибка получим: ¬ (1 ∧ 1) ⇔ 0, 0 ⇔ 0 — высказывание истинно;

5) для слова силач получим: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 0 — высказывание ложно.

Логические выражения и их преобразование

Под логическим выражением следует понимать такую запись, которая может принимать логическое значение «истина» или «ложь». При таком определении среди логических выражений необходимо различать:

выражения, которые используют операции сравнения («больше», «меньше», «равно», «не равно» и т. п.) и принимают логические значения (например, выражение а > b , где а = 5 и b = 7, равно значению «ложь»);
непосредственные логические выражения, связанные с логическими величинами и логическими операциями (например, A ∨ В ∧ С, где А = истина, B = ложь и C = истина).

Логические выражения могут включать в себя функции, алгебраические операции, операции сравнения и логические операции. В этом случае приоритет выполнения действий следующий:

вычисление существующих функциональных зависимостей;
выполнение алгебраических операций (вначале умножение и деление, затем вычитание и сложение);
выполнение операций сравнения (в произвольном порядке);
выполнение логических операций (вначале операции отрицания, затем операции логического умножения, логического сложения, последними выполняются операции импликации и эквивалентности).

В логическом выражении могут использоваться скобки, которые изменяют порядок выполнения операций.

Пример. Найти значение выражения:

$1 ≤ a ∨ A ∨ sin(π/a — π/b) < 1 ∧ ¬B ∧ ¬(b^a + a^b > a + b ∨ A ∧ B)$ для а = 2, b = 3, A = истина, В = ложь.

Решение. Порядок подсчета значений:

1) b^a + a^b > a + b, после подстановки получим: 3² + 2³ > 2 + 3, т. е. 17 > 2 + 3 = истина;

2) A ∧ B = истина ∧ ложь = ложь.

Следовательно, выражение в скобках равно (b^a + a^b > a + b ∨ A ∧ B) = истина ∨ ложь = истина;

3) 1≤ a = 1 ≤ 2 = истина;

4) sin(π/a — π/b) < 1 = sin(π/2 — π/3) < 1 = истина.

После этих вычислений окончательно получим: истина ∨ А ∧ истина ∧ ¬В ∧ ¬истина.

Теперь должны быть выполнены операции отрицания, затем логического умножения и сложения:

5) ¬В = ¬ложь = истина; ¬истина = ложь;

6) A ∧ истина ∧ истина ∧ ложь = истина ∧ истина ∧ истина ∧ ложь = ложь;

7) истина ∨ ложь = истина.

Таким образом, результат логического выражения при заданных значениях— «истина».

Примечание. Учитывая, что исходное выражение есть, в конечном итоге, сумма двух слагаемых, и значение одного из них 1 ≤ a = 1 ≤ 2 = истина, без дальнейших вычислений можно сказать, что результат для всего выражения тоже «истина».

Тождественные преобразования логических выражений

В алгебре логики выполняются основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений.

Закон	Для ∨	Для ∧
Переместительный	A ∨ B = B ∨ A	A ∧ B = B ∧ A
Сочетательный	A ∨ (B ∨ C) = (B ∨ A) ∨ C	A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C
Распределительный	A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)	A ∨ B ∧ C = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
Правила де Моргана	${A ∨ B}↖{-}$ = $A↖{-} ∧ B↖{-}$	${A ∧ B}↖{-}$ = $A↖{-} ∨ B↖{-}$
Идемпотенции	A ∨ A = A	A ∧ A = A
Поглощения	A ∨ A ∧ B = A	A ∧ (A ∨ B) = A
Склеивания	(A ∧ B) ∨ (A↖{-} ∧ B) = B	(A ∨ B) ∧ (A↖{-} ∨ B) = B
Операция переменной с ее инверсией	$A ∨ A↖{-}$ = 1	$A ∧ A↖{-}$ = 0
Операция с константами	A ∨ 0 = A A ∨ 1 = 1	A ∧ 1 = A A ∧ 0 = 0
Двойного отрицания	$A↖{=}$ = A

Доказательства этих утверждений производят на основании построения таблиц истинности для соответствующих записей.

Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определенному виду путем использования основных законов алгебры логики. Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквивалентности, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая содержит либо меньшее по сравнению с исходной число операций, либо меньшее число переменных.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т. п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Рассмотрим на примерах некоторые приемы и способы, применяемые при упрощении логических формул:

1) X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 ∪ ¬X1 ∧ X2 = X1 ∧ X2 ∨ ¬X1 ∧ X2 = (X1 ∨ ¬X1) ∧ X2 = 1 ∧ X2 = X2 .

Для преобразования здесь можно применить закон идемпотенции, распределительный закон; операцию переменной с инверсией и операцию с константой.

2) X1 ∨ X1 ∧ X2 = X1 ∨ (1 ∨ 1 ∧ X2) = X1 ∨ (1 ∨ X2) = X1 .

Здесь для упрощения применяется закон поглощения.

3) ¬(X1 ∧ X2) ∨ X2 = (¬X1 ∨ ¬X2) ∨ X2 = ¬X1 ∨ ¬X2 ∨ X2 = ¬X1 ∨ 1 = 1 .

При преобразовании применяются правило де Моргана, операция переменной с ее инверсией, операция с константой

Примеры решения задач

Пример 1. Найти логическое выражение, равносильное выражению A ∧ ¬(¬B ∨ C) .

Решение. Применяем правило де Моргана для В и С: ¬(¬B ∨ C) = B ∧ ¬C .

Получаем выражение, равносильное исходному: A ∧ ¬(¬B ∨ C) = A ∧ B ∧ ¬C .

Ответ: A ∧ B ∧ ¬C.

Пример 2. Указать значение логических переменных А, В, С, для которых значение логического выражения (A ∨ B) → (B ∨ ¬C ∨ B) ложно.

Решение. Операция импликации ложна только в случае, когд а из истинной посылки следует ложь. Следовательно, для заданного выражения посылка A ∨ B должна принимать значение «истина», а следствие, т. е. выражение B ∨ ¬C ∨ B , — «ложь».

1) A ∨ B — результат дизъюнкции — «истина», если хотя бы один из операндов — «истина»;

2) B ∨ ¬C ∨ B — выражение ложно, если все слагаемые имеют значение «ложь», т. е. В — «ложь»; ¬C — «ложь», а следовательно, переменная С имеет значение «истина»;

3) если рассмотреть посылку и учесть, что В — «ложь», то получим, что значение А — «истина».

Ответ: А — истина, В — ложь, С — истина.

Пример 3. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание (35 < X · X) → (X < (X — 3)) ?

Решение. Запишем таблицу истинности для операции импликации:

A	B	A → B
1	0	0
0	1	1
0	0	1
1	1	1

Выражение X < (X — 3) ложно при любых положительных значениях X. Следовательно, для того чтобы результатом импликации была «истина», необходимо и достаточно, чтобы выражение 35 < X · X также было ложно. Максимальное целое значение X, для которого 35 < X · X ложно, равно 5.

Ответ: X = 5.

Использование логических выражений для описания геометрических областей

Логические выражения могут быть использованы для описания геометрических областей. В этом случае задача формулируется так: записать для заданной геометрической области такое логическое выражение, которое принимает значение «истина» для значений x, y тогда и только тогда, когда любая точка с координатами (x; y) принадлежит геометрической области.

Рассмотрим описание геометрической области с помощью логического выражения на примерах.

Пример 1. Задано изображение геометрической области. Записать логическое выражение, описывающее множество точек, принадлежащих ей.

1) .

Решение. Заданную геометрическую область можно представить в виде набора следующих областей: первая область — D1 — полуплоскость ${x}/{-1} +{y}/{1} ≤ 1$, вторая — D2 — круг с центром в начале координат $x^2 + y^2 ≤ 1$. Их пересечение D1 $∩$ D2 представляет собой искомую область.

Результат: логическое выражение ${x}/{-1}+{y}/{1} ≤ 1 ∧ x^2 + y^2 ≤ 1$.

Эту область можно записать так: |x| ≤ 1 ∧ y ≤ 0 ∧ y ≥ -1 .

Примечание. При построении логического выражения используются нестрогие неравенства, а это значит, что границы фигур также принадлежат заштрихованной области. Если использовать строгие неравенства, то границы учитываться не будут. Границы, не принадлежащие области, обычно изображаются пунктиром.

Можно решить обратную задачу, а именно: нарисовать область для заданного логического выражнения.

Пример 2. Нарисовать и заштриховать область, для точек которой выполняется логическое условие y ≥ x ∧ y + x ≥ 0 ∧ y < 2 .

Решение. Искомая область представляет собой пересечение трех полуплоскостей. Строим на плоскости (x, y) прямые y = x; y = –x; y = 2. Это границы области, причем последняя граница y = 2 не принадлежит области, поэтому ее наносим пунктирной линией. Для выполнения неравенства y ≥ x нужно, чтобы точки находились слева от прямой y = x, а неравенство y = –x выполняется для точек, которые находятся справа от прямой y = –x. Условие y < 2 выполняется для точек, лежащих ниже прямой y = 2. В результате получим область, которая изображена на рис.:

Использование логических функций для описания электрических схем

Логические функции очень удобны для описания работы электрических схем. Так, для схемы, представленной на рис., где значение переменной X — это состояние выключателя (если он включен, значение X — «истина», а если выключен — «ложь»), это значение Y — это состояние лампочки (если она горит — значение «истина», а если нет — «ложь»), логическая функция запишется так: Y = X . Функцию Y называют функцией проводимости.

Для схемы, представленной на рис., логическая функция Y имеет вид: Y = X1 ∪ X2, т. к. достаточно одного включенного выключателя, чтобы горела лампочка. В схеме на рис., для того чтобы горела лампочка, должны быть включены оба выключателя, следовательно, функция проводимости имеет вид: Y = X1 ∧ X2 .

Для более сложной схемы функция проводимости будет иметь вид: Y = (X11 ∨ (X12 ∧ X13)) ∧ X2 ∧ (X31 ∨ X32).

Схема также может содержать контакты на замыкание. В этом случае размыкаемый контакт как выключатель обеспечивает загорание лампочки, когда кнопка отпущена, а не нажата. Для таких схем размыкающий выключатель описывается отрицанием.

Две схемы называются равносильными, если через одну из них ток проходит тогда, когда он проходит и через другую. Из двух равносильных схем более простой считается схема, функция проводимости которой содержит меньшее число элементов. Задача нахождения наиболее простых схем среди равносильных очень важна.

Использование аппарата алгебры логики при проектировании логических схем

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера. Любая информация при обработке на компьютере представляется в двоичной форме, т. е. кодируется некоторой последовательностью 0 и 1. Обработку двоичных сигналов, соответствующих 0 и 1, выполняют в компьютере логические элементы. Логические элементы, которые выполняют основные логические операции И, ИЛИ, НЕ, представлены на рис.

Условные обозначения логических элементов являются стандартными и используются при составлении логических схем компьютера. С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу компьютера.

Технически компьютерный логический элемент реализуется в виде электрической схемы, которая представляет собой соединение различных деталей: диодов, транзисторов, резисторов, конденсаторов. На вход логического элемента, который называют также вентилем, поступают электрические сигналы высокого и низкого уровней напряжения, на выход выдается один выходной сигнал также либо высокого, либо низкого уровня. Эти уровни соответствуют одному из состояний двоичной системы: 1 — 0; ИСТИНА — ЛОЖЬ. Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем. Работу логических схем описывают с помощью таблиц истинности. Условное обозначение на схеме ИЛИ знак «1» — от устаревшего обозначения дизъюнкции как «>=1» (значение дизъюнкции равно 1, если сумма двух операндов больше или равна 1). Знак «&» на схеме И является сокращенной записью английского слова and.

Из логических элементов составляются электронные логические схемы, выполняющие более сложные логические операции. Набор логических элементов, состоящий из элементов НЕ, ИЛИ, И, с помощью которых можно построить логическую структуру любой сложности, называется функционально полным.

Построение таблиц истинности логических выражений

Для логической формулы всегда можно записать таблицу истинности, т. е. представить заданную логическую функцию в табличном виде. В этом случае таблица должна содержать все возможные комбинации аргументов функции (формулы) и соответствующие значения функции (результаты формулы на заданном наборе значений).

Удобной формой записи при нахождении значений функции является таблица, содержащая, кроме значений переменных и значений функции, также значения промежуточных вычислений. Рассмотрим пример построения таблицы истинности для формулы ${X1}↖{-} ∧ X2 ∨ {X1 ∨ X2}↖{-} ∨ X1$.

X1	X2	${X1}↖{-}$	${X1}↖{-}$ X2	X1 ∧ X2	${X1 ∨ X2}↖{-}$	${X1}↖{-}$ ∧ X2 ∨ ${X1 ∨ X2}↖{-}$	${X1}↖{-}$ ∧ X2 ∨ ${X1 ∨ X2}↖{-}$ ∨ X1
1	1	0	0	1	0	0	1
1	0	0	0	1	0	0	1
0	1	1	1	1	0	1	1
0	0	1	0	0	1	1	1

Если функция принимает значение 1 при всех наборах значений переменных, она является тождественно-истинной; если при всех наборах входных значений функция принимает значение 0, она является тождественно-ложной; если набор выходных значений содержит как 0, так и 1, функция называется выполнимой. Приведенный выше пример является примером тождественно-истинной функции.

Зная аналитическую форму логической функции, всегда можно перейти к табличной форме логических функций. С помощью заданной таблицы истинности можно решить обратную задачу, а именно: для заданной таблицы построить аналитическую формулу логической функции. Различают две формы построения аналитической зависимости логической функции по таблично заданной функции.

1. Дизъюнктивно нормальная форма (ДНФ) — сумма произведений, образованных из переменных и их отрицаний для ложных значений.

Алгоритм построения ДНФ следующий:

в таблице истинности функции выбирают наборы аргументов, для которых логические формы равны 1 («истина»);
все выбранные логические наборы как логические произведения аргументов записывают, последовательно соединив их между собой операцией логической суммы (дизъюнкции);
для аргументов, которые являются ложными, в построенной записи проставляют операцию отрицания.

Пример. Построить функцию, определяющую, что первое число равно второму, используя метод ДНФ. Таблица истинности функции имеет вид

X1	X2	F(X1, X2)
1	1	1
0	1	0
1	0	0
0	0	1

Решение. Выбираем наборы значений аргументов, в которых функция равна 1. Это первая и четвертая строки таблицы (строку заголовка при нумерации не учитываем).

Записываем логические произведения аргументов этих наборов, объединив их логической суммой: X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 .

Записываем отрицание относительно аргументов выбранных наборов, имеющих ложное значение (четвертая строка таблицы; второй набор в формуле; первый и второй элементы): X1 ∧ X2 ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ ${X2}↖{-}$.

Ответ: F(X1, X2) = X1 ∧ X2 ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ ${X2}↖{-}$.

2. Конъюнктивно нормальная форма (КНФ) — произведение сумм, образованных из переменных и их отрицаний для истинных значений.

Алгоритм построения КНФ следующий:

в таблице истинности выбирают наборы аргументов, для которых логические формы равны 0 («ложь»);
все выбранные логические наборы как логические суммы аргументов записывают последовательно, соединив их между собой операцией логического произведения (конъюнкции);
для аргументов, которые являются истинными, в построенной записи проставляют операцию отрицания.

Примеры решения задач

Пример 1. Рассмотрим предыдущий пример, т. е. построим функцию, определяющую, что первое число равно второму, используя метод КНФ. Для заданной функции ее таблица истинности имеет вид

X1	X2	F(X1, X2)
1	1	1
0	1	0
1	0	0
0	0	1

Решение. Выбираем наборы значений аргументов, в которых функция равна 0. Это вторая и третья строки (строку заголовка при нумерации не учитываем).

Записываем логические суммы аргументов этих наборов, объединив их логическим произведением: X1 ∨ X2 ∧ X1 ∨ X2 .

Записываем отрицание относительно аргументов выбранных наборов, имеющих истинное значение (вторая строка таблицы, первый набор формулы, второй элемент; для третьей строки, а это второй набор формулы, первый элемент): X1 ∨ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X1}↖{-}$ ∨ X2.

Таким образом, получена запись логической функции в КНФ.

Ответ: X1 ∨ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X1}↖{-}$ ∨ X2.

Полученные двумя методами значения функций являются эквивалентными. Для доказательства этого утверждения используем правила логики: F(X1, X2) = X1 ∨ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X1}↖{-}$ ∨ X2 = X1 ∧ ${X1}↖{-}$ ∨ X1 ∧ X2 ∨ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X1}↖{-}$ ∨ ${X2}↖{-}$ ∧ X2 = 0 ∨ X1 ∨ X2 ∨ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X1}↖{-}$ ∨ 0 = X1 ∧ X2 ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ ${X2}↖{-}$.

Пример 2. Построить логическую функцию для заданной таблицы истинности:

X1	X2	F(X1, X2)
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	0

Решение. Используем алгоритм ДНФ для построения исходной функции:

X1	X2	F(X1, X2)
1	1	1	•	X1 ∧ X2
1	0	0
0	1	1	•	${X1}↖{-}$ ∧ X2
0	0	0

Искомая формула: X1 ∧ X2 ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ X2 .

Ее можно упростить: X1 ∧ X2 ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ X2 = X2 ∧ (X1 ∨ ${X1}↖{-}$) = X2 ∧ 1 = X2.

Пример 3. Для приведенной таблицы истинности построить логическую функцию, используя метод ДНФ.

X1	X2	X3	F(X1, X2, X3)
1	1	1	1	•	X1 ∧ X2 ∧ X3
1	0	1	0
0	1	1	1	•	${X1}↖{-}$ ∧ X2 ∧ X3
0	0	1	0
1	1	0	1	•	X1 ∧ X2 ∧ ${X3}↖{-}$
1	0	0	1	•	X1 ∧ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X3}↖{-}$
0	1	0	0
0	0	0	0

Искомая формула: X1 ∧ X2 ∧ X ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ ${X3}↖{-}$ ∪ X1 ∧ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X3}↖{-}$.

Формула достаточно громоздка, и ее следует упростить:

X1 ∧ X2 ∧ X3 ∨ ${X1}↖{-}$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ ${X3}↖{-}$ ∨ X1 ∧ ${X2}↖{-}$ ∧ ${X3}↖{-}$ = X2 ∧ X3 ∧ (X1 ∨ ${X1}↖{-}$) ∨ X1 ∧ ${X3}↖{-}$ ∧ (X2 ∨ ${X2}↖{-}$) = X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ ${X3}↖{-}$.

Таблицы истинности для решения логических задач

Составление таблиц истинности — один из способов решения логических задач. При использовании такого способа решения, условия, которые содержит задача, фиксируются с помощью специально составленных таблиц.

Примеры решения задач

Пример 1. Составить таблицу истинности для охранного устройства, которое использует три датчика и срабатывает при замыкании только двух из них.

Решение. Очевидно, что результатом решения будет таблица, в которой искомая функция Y(X1, X2, X3) будет иметь значение «истина», если какие-либо две переменные имеют значение «истина».

X1	X2	X3	Y(X1, X2, X3)
1	1	1	0
1	1	0	1
1	0	1	1
1	0	0	0
0	1	1	1
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	0

Пример 2. Составить расписание уроков на день, учитывая, что урок информатики может быть только первым или вторым, урок математики — первым или третьим, а физики — вторым или третьим. Возможно ли составить расписание, удовлетворив всем требованиям? Сколько существует вариантов расписания?

Решение. Задача легко решается, если составить соответствующую таблицу:

	1-й урок	2-й урок	3-й урок
Информатика	1	1	0
Математика	1	0	1
Физика	0	1	1

Из таблицы видно, что существуют два варианта искомого расписания:

математика, информатика, физика;
информатика, физика, математика.

Пример 3. В спортивный лагерь приехали трое друзей — Петр, Борис и Алексей. Каждый из них увлекается двумя видами спорта. Известно, что таких видов спорта шесть: футбол, хоккей, лыжи, плавание, теннис, бадминтон. Также известно, что:

Борис — самый старший;
играющий в футбол младше играющего в хоккей;
играющие в футбол и хоккей и Петр живут в одном доме;
когда между лыжником и теннисистом возникает ссора, Борис мирит их;
Петр не умеет играть ни в теннис, ни в бадминтон.

Какими видами спорта увлекается каждый из мальчиков?

Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание.

Так как видов спорта шесть, получается, что все мальчики увлекаются разными видами спорта.

Из условия 4 следует, что Борис не увлекается ни лыжами, ни теннисом, а из условий 3 и 5, что Петр не умеет играть в футбол, хоккей, теннис и бадминтон. Следовательно, любимые виды спорта Петра — лыжи и плавание. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов «Лыжи» и «Плавание» заполним нулями.

	Футбол	Хоккей	Лыжи	Плавание	Бадминтон	Теннис
Петр	0	0	1	1	0	0
Борис			0	0		0
Алексей			0	0

Из таблицы видно, что в теннис может играть только Алексей.

Из условий 1 и 2 следует, что Борис не футболист. Таким образом, в футбол играет Алексей. Продолжим заполнять таблицу. Внесем в пустые ячейки строки «Алексей» нули.

	Футбол	Хоккей	Лыжи	Плавание	Бадминтон	Теннис
Петр	0	0	1	1	0	0
Борис	0		0	0		0
Алексей	1	0	0	0	0	1

Окончательно получаем, что Борис увлекается хоккеем и бадминтоном. Итоговая таблица будет выглядеть следующим образом:

	Футбол	Хоккей	Лыжи	Плавание	Бадминтон	Теннис
Петр	0	0	1	1	0	0
Борис	0	1	0	0	1	0
Алексей	1	0	0	0	0	1

Ответ: Петр увлекается лыжами и плаванием, Борис играет в хоккей и бадминтон, а Алексей занимается футболом и теннисом.

Источник

Логические выражения и таблица истинности

Примеры задач с решениями по этой теме Пройти тестирование по теме Контрольная по теме

Таблица истинности — таблица, показывающая, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний.

Логическое выражение — составные высказывания в виде формулы.

Равносильные логические выражения – логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают. Для обозначения равносильности используется знак «=».

Алгоритм построения таблицы истинности:

1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2. определить число строк в таблице по формуле m=2ⁿ, где n — количество переменных;

3. подсчитать количество логических операций в формуле;

4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5. определить количество столбцов: число переменных + число операций;

6. выписать наборы входных переменных;

7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.

Заполнение таблицы:

1. разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть «0», а нижнюю «1»;

2. разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами «0» и «1», начиная с группы «0»;

3. продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами «0» или «1» до тех пор, пока группы «0» и «1» не будут состоять из одного символа.

Пример 1. Для формулы A/ (B / ¬B /¬C) постройте таблицу истинности.

Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк — 2³ = 8.

Количество логических операций в формуле 5, количество логических переменных 3, следовательно количество столбцов — 3 + 5 = 8.

Пример 2. Определите истинность логического выражения F(А, В) = (А/ В)/(¬А/¬В) .

1. В выражении две переменные А и В (n=2).

2. m_строк=2ⁿ, m=2²=4 строки.

3. В формуле 5 логических операций.

4. Расставляем порядок действий

1) А/ В; 2) ¬А; 3) ¬В; 4) ¬А/¬В; 5) (А/ В)/(¬А/¬В).

5. К_{столбцов}=n+5=2+5=7 столбцов.

А	В	А/ В	¬А	¬В	¬А/¬В	F
0	0	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0	0

Вывод: логическое выражение принимает значение истина при наборах F(0,1)=1 и F(1,0)=1.

Пример 3. Построёте таблицу истинности для логического выражения

F = (A/ B) / ¬С

В данной функции три логические переменные – А, В, С
количество строк таблицы = 2³=8
В формуле 3 логические операции.
Расставляем порядок действий

1) А/ В; 2) ¬С; 3) (AVB) / ¬С .

количество столбцов таблицы = 3 + 3 = 6

А	В	С	A/B	¬С	(A/B) / ¬С
0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	0	0

Пример 4. Определите истинность формулы: F = ((С /В) => В) / (А / В) => В.

Построим таблицу истинности этой формулы.

Ответ: формула является тождественно истинной.

Пример 5. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

X	Y	Z	F
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1

Какое выражение соответствует F?

1) ¬X/¬Y/Z 2) ¬X/¬Y/Z 3) X/Y/¬Z 4) X/Y/Z

Решение (вариант 1, через таблицы истинности):

Чтобы решить данную задачу можно построить часть таблицы истинности для каждой из четырех функций, заданных в ответе для заданных наборов входных переменных, и сравнить полученные таблицы с исходной:

X	Y	Z	F	¬X	¬Y	¬Z	¬X/¬Y/Z	¬X/¬Y/Z	X/Y/¬Z	X/Y/Z
0	0	0	1	1	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1
0	1	0	1	1	0	1	0	1	1	1

Очевидно, что значения заданной функции F совпадают со значениями выражения X/Y/¬Z. Следовательно, правильный ответ – 3.

Ответ: 3

Решение (Вариант 2):

Чтобы не строить таблицу истинности для каждого выражения, можно просто перепроверить предложенные ответы по заданной таблице истинности. Т.е. в каждую из четырех предложенных функций последовательно подставлять значения переменных X, Y и Z, из заданной таблицы истинности и вычислять значения логического выражения. Если значения вычисляемого выражения совпадут со значением F во всех трех строчках заданной таблицы, то это и есть искомое выражение.

Рассмотрим данный конкретный пример:

1) первое заданное выражение ¬X/¬Y/Z = 0 при X=0, Y=0, Z=0, что не соответствует первой строке таблицы;

2) второе заданное выражение ¬X/¬Y/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы;

3) третье выражение X/Y/¬Z соответствует F при всех предложенных комбинациях X,Y и Z;

4) четвертое выражение X/Y/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы.

Ответ: 3

Источник

4.1.Логические выражения

Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции.

Для записи составного высказывания в виде логического выражения на формальном языке (языке алгебры логики) в составном высказывании нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними.

Запишем в форме логического выражения составное высказывание

«(2·2=5 или 2·2=4) и (2·2≠5 или 2·2≠4)».

Проанализируем составное высказывание. Оно содержит два простых высказывания:

А = «2•2=5»—ложно (0), В = «2•2=4»—истинно (1).

Тогда составное высказывание можно записать в следующей форме: «(А или В) и (Ā или В)».

Теперь необходимо записать высказывание в форме логического выражения с учётом последовательности выполнения логических операций. При выполнении логических операций определён следующий порядок их выполнения:

инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.

Для изменения указанного порядка могут использоваться скобки:

F = (A v В) & (Ā v В).

Истинность или ложность составных высказываний можно определять чисто формально, руководствуясь законами алгебры высказываний, не обращаясь к смысловому содержанию высказываний.

Подставим в логическое выражение значения логических переменных и, используя таблицы истинности базовых логических операций, получим значение логической функции:

F = (A v В) & (Ā v В) = (0 v 1) & (1 v 0) = 1 & 1 = 1.

4.2.Таблицы истинности

Таблицы, в которых логические операции отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых высказываний, называются таблицами истинности.

Простые высказывания обозначаются переменными (например, A и B).

При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определённой последовательностью действий:

1) необходимо определить количество строк в таблице истинности. Оно равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение. Если количество логических переменных равно п, то:

количество строк = 2n.

В нашем случае логическая функция имеет 2 переменные и, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть равно 4;

2)необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.

В нашем случае количество переменных равно двум: А и В, а количество логических операций — пяти (таблица 8), то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи;

3)необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных;

4)необходимо заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности.

Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.

Таблица 8 – Таблица истинности логической функции

4.3.Равносильные логические выражения

Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности сов-

падают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак «=».

Докажем, что логические выражения равносильны. Построим сначала таблицу истинности логического выражения (табли-

ца 9).

Таблица 9 – Таблица истинности логического выражения

А	В

0	0	1	1	1

0	1	1	0	0

1	0	0	1	0

1	1	0	0	0

Теперь построим таблицу истинности логического выражения (таблица 10).

Таблица 10 – Таблица истинности логического выражения

А	В	А v В

0	0	0	1

0	1	1	0

1	0	1	0

1	1	1	0

Значения в последних столбцах таблиц истинности совпадают, следовательно, логические выражения равносильны:

5. Построение таблиц истинности для сложных выражений

Согласно определению, таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.

Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений

переменных всего четыре:
(0, 0),	(0, 1),	(1, 0),	(1, 1).

Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений

переменных восемь:
(0, 0, 0),	(0, 0, 1),	(0, 1, 0),	(0, 1, 1),	(1, 0, 0),	(1, 0, 1),	(1, 1, 0),	(1, 1, 1).

Количество наборов для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и т.д.

Удобной формой записи при нахождении значений формулы является таблица, содержащая кроме значений переменных и значений формулы также и значения промежуточных формул.

Пример 1 1. Составим таблицу истинности для формулы, которая содержит две пере-

менные X и Y. В первых двух столбцах таблицы запишем четыре возможных пары значений этих переменных, в последующих столбцах — значения промежуточных формул и в последнем столбце — значение формулы. В результате получим таблицу 11:

Таблица 11 – Таблица истинности для формулы с переменными Х и У

Пример 2

Cоставить таблицу истинности сложного логического выражения: D = неA & (B+C).

А, В, С – три простых высказывания, поэтому:

количество строк = 23 +2 = 10 (n=3, т.к. на входе три элемента А, В, С) количество столбцов (таблица 12):

1)А,

2)В,

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Время выполнения

4 часа

Цель работы

Изучить основы алгебры логики.

Задачи лабораторной работы

В результате прохождения занятия студент должен:

1. знать:

определения основных понятий (простое и сложное высказывания, логические операции, логические выражения, логическая функция);
порядок выполнения логических операций;
алгоритм построения таблиц истинности;
схемы базовых логических элементов;
законы логики и правила преобразования логических выражений;

2. уметь:

применять загоны логики для упрощения логических выражений;
строить таблицы истинности;
строить логические схемы сложных выражений.

Общие теоретические сведения

Основные понятия алгебры логики

Логической основой компьютера является алгебра логики, которая рассматривает логические операции над высказываниями.

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Пример. «3 – простое число» является высказыванием, поскольку оно истинно.

Не всякое предложение является логическим высказыванием.

Пример. предложение «Давайте пойдем в кино» не является высказыванием. Вопросительные и побудительные предложения высказываниями не являются.

Высказывательная форма – это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Пример. «x+2>5» — высказывательная форма, которая при x>3 является истинной, иначе ложной.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения – является ли оно истинным или ложным. Слова и словосочетания «не», «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными (сложными). Высказывания, которые не являются составными, называются элементарными (простыми).

Пример. высказывание «Число 6 делится на 2» — простое высказывание. Высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» — составное высказывание, образованное из двух простых с помощью логической связки «и».

Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний, из которых они состоят.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена.

Пример. Обозначим через А простое высказывание «число 6 делится на 2», а через В простое высказывание «число 6 делится на 3». Тогда составное высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» можно записать как «А и В». Здесь «и» – логическая связка, А, В – логические переменные, которые могут принимать только два значения – «истина» или «ложь», обозначаемые, соответственно, «1» и «0».

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение (табл. 1).

Таблица 1. Основные логические операции

Обозначение операции	Читается	Название операции	Альтернативные обозначения
¬	НЕ	Отрицание (инверсия)	Черта сверху
	И	Конъюнкция (логическое умножение)	∙ &
	ИЛИ	Дизъюнкция (логическое сложение)	+
→	Если … то	Импликация
↔	Тогда и только тогда	Эквиваленция	~
XOR	Либо …либо	Исключающее ИЛИ (сложение по модулю 2)

НЕ Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ¬). Высказывание ¬А истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.

Пример. Пусть А=«Сегодня пасмурно», тогда ¬А=«Сегодня не пасмурно».

И Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией (лат. conjunctio – соединение) или логическим умножением и обозначается точкой « • » (может также обозначаться знаками или &). Высказывание А • В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

Пример. Высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» — истинно, а высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 больше 10» — ложно.

ИЛИ Операция, выражаемая связкой «или» (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio – разделение) или логическим сложением и обозначается знаком

(или плюсом). Высказывание АВ ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.

Пример: Высказывание «Число 6 делится на 2 или число 6 больше 10» — истинно, а высказывание «Число 6 делится на 5 или число 6 больше 10» — ложно.

ЕСЛИ … ТО Операция, выражаемая связками «если …, то», «из … следует», «… влечет …», называется импликацией (лат. implico – тесно связаны) и обозначается знаком → . Высказывание А→В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Пример. Высказывание «если студент сдал все экзамены на «отлично», то он получит стипендию». Очевидно, эту импликацию следует признать ложной лишь в том случае, когда студент сдал на «отлично» все экзамены, но стипендии не получил. В остальных случаях, когда не все экзамены сданы на «отлично» и стипендия получена (например, в силу того, что студент проживает в малообеспеченной семье) либо когда экзамены вообще не сданы и о стипендии не может быть и речи, импликацию можно признать истинной.

РАВНОСИЛЬНО Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «… равносильно …», называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ↔ или ~ . Высказывание А↔В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Пример: Высказывание «Число является четным тогда и только тогда, когда оно делится без остатка на 2» является истинным, а высказывание «Число является нечетным тогда и только тогда, когда оно делится без остатка на 2» — ложно.

ЛИБО … ЛИБО Операция, выражаемая связками «Либо … либо», называется исключающее ИЛИ или сложением по модулю 2 и обозначается XOR или . Высказывание АВ истинно тогда и только тогда, когда значения А и В не совпадают.

Пример. Высказывание «Число 6 либо нечетно либо делится без остатка на 2» является истинным, а высказывание «Либо число 6 четно либо число 6 делится на 3» – ложно, так как истинны оба высказывания входящие в него.

Замечание. Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

Исключающее ИЛИ можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

Вывод. Операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания («не»), затем конъюнкция («и»), после конъюнкции – дизъюнкция («или») и исключающего или и в последнюю очередь – импликация и эквиваленция.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).

Логическая формула — это символическая запись высказывания, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками).

Логическая функция — это функция логических переменных, которая может принимать только два значения: 0 или 1. В свою очередь, сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может принимать только два значения: 0 или 1.

Пример. – логическая функция двух переменных A и B.

Значения логической функции для разных сочетаний значений входных переменных – или, как это иначе называют, наборов входных переменных – обычно задаются специальной таблицей. Такая таблица называется таблицей истинности.

Приведем таблицу истинности основных логических операций (табл. 2)

Таблица 2

A	B
1	1	0	1	1	1	1	0
1	0	0	0	1	0	0	1
0	1	1	0	1	1	0	1
0	0	1	0	0	1	1	0

Опираясь на данные таблицы истинности основных логических операций можно составлять таблицы истинности для более сложных формул.

Алгоритм построения таблиц истинности для сложных выражений:

1. Определить количество строк:

количество строк = 2ⁿ + строка для заголовка,
n — количество простых высказываний.

2. Определить количество столбцов:

количество столбцов = количество переменных + количество логических операций;
определить количество переменных (простых выражений);
определить количество логических операций и последовательность их выполнения.

Пример 1. Составить таблицу истинности для формулы И–НЕ, которую можно записать так:.

1. Определить количество строк:

На входе два простых высказывания: А и В, поэтому n=2 и количество строк =2²+1=5.

2. Определить количество столбцов:

Выражение состоит из двух простых выражений (A и B) и двух логических операций (1 инверсия, 1 конъюнкция), т.е. количество столбцов таблицы истинности = 4.

3. Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций (табл. 3).

Таблица 3. Таблица истинности для логической операции

A	B
1	1	1	0
1	0	0	1
0	1	0	1
0	0	0	1

Подобным образом можно составить таблицу истинности для формулы ИЛИ–НЕ, которую можно записать так:

Таблица 4. Таблица истинности для логической операции

A	B
1	1	1	0
1	0	1	0
0	1	1	0
0	0	0	1

Примечание: И–НЕ называют также «штрих Шеффера» (обозначают | ) или «антиконъюнкция»; ИЛИ–НЕ называют также «стрелка Пирса» (обозначают ↓) или «антидизъюнкция».

Пример 2. Составить таблицу истинности логического выражения .

Решение:

1. Определить количество строк:

На входе два простых высказывания: А и В, поэтому n=2 и количество строк=2²+1= 5.

2. Определить количество столбцов:

Выражение состоит из двух простых выражений (A и B) и пяти логических операций (2 инверсии, 2 конъюнкции, 1 дизъюнкция), т.е. количество столбцов таблицы истинности = 7.

Сначала выполняются операции инверсии, затем конъюнкции, в последнюю очередь операция дизъюнкции.

3. Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций (табл. 5).

Таблица 5. Таблица истинности для логической операции

A	B					C
1	1	0	0	0	0	0
1	0	0	1	0	1	1
0	1	1	0	1	0	1
0	0	1	1	0	0	0

Логические формулы можно также представлять с помощью языка логических схем.

Существует три базовых логических элемента, которые реализуют три основные логические операции:

логический элемент «И» – логическое умножение – конъюнктор;
логический элемент «ИЛИ» – логическое сложение – дизъюнктор;
логический элемент «НЕ» – инверсию – инвертор.

Поскольку любая логическая операция может быть представлена в виде комбинации трех основных, любые устройства компьютера, производящие обработку или хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов, как из “кирпичиков”.

Логические элементы компьютера оперируют с сигналами, представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс – логический смысл сигнала – 1, нет импульса – 0. На входы логического элемента поступают сигналы-значения аргументов, на выходе появляется сигнал-значение функции.

Преобразование сигнала логическим элементом задается таблицей состояний, которая фактически является таблицей истинности, соответствующей логической функции, только представлена в форме логических схем. В такой форме удобно изображать цепочки логических операций и производить их вычисления.

Алгоритм построения логических схем.

Определить число логических переменных.
Определить количество логических операций и их порядок.
Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей логический элемент.
Соединить логические элементы в порядке выполнения логических операций.

Пример. По заданной логической функции построить логическую схему.

Решение.

Число логических переменных = 2 (A и B).
Количество операций = 5 (2 инверсии, 2 конъюнкции, 1 дизъюнкция). Сначала выполняются операции инверсии, затем конъюнкции, в последнюю очередь операция дизъюнкции.
Схема будет содержать 2 инвертора, 2 конъюнктора и 1 дизъюнктор.
Построение надо начинать с логической операции, которая должна выполняться последней. В данном случае такой операцией является логическое сложение, следовательно, на выходе должен быть дизъюнктор. На него сигналы подаются с двух конъюнкторов, на которые, в свою очередь, подаются один входной сигнал нормальный и один инвертированный (с инверторов).

Логические законы и правила преобразования логических выражений

Если две формулы А и В одновременно, то есть при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений.

1. Закон двойного отрицания: ;

2. Переместительный (коммутативный) закон:

3. Сочетательный (ассоциативный) закон:

4. Распределительный (дистрибутивный) закон:

5. Законы де Моргана:

6. Закон идемпотентности:

7. Законы исключения констант:

8. Закон противоречия:;

9. Закон исключения третьего: ;

11. Правило исключения импликации: ;

12. Правило исключения эквиваленции: .

Справедливость этих законов можно доказать составив таблицу истинности выражений в правой и левой части и сравнив соответствующие значения.

Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.

Пример. Упростить логическое выражение .

Решение:

Согласно закону де Моргана:

Согласно сочетательному закону:

Согласно закону противоречия и закону идемпотентности:

Согласно закону исключения 0:

Окончательно получаем
/

Видеоурок по выполнению заданий лабораторной работы

Текст задания (с данными своего варианта).
Представление по каждому пункту задания подробного решения.

Технология выполнения работы

В данной работе необходимо составить таблицу истинности логического выражения, построить схему логической функции и упростить логическое выражение заданные каждому студенту в соответствии с его вариантом, записать ход рассуждений и полученные результаты.

Вопросы для защиты работы

Что такое высказывание (приведите пример)?
Что такое составное высказывание (приведите пример)?
Как называются и как обозначаются (в языке математики) следующие операции: ИЛИ, НЕ, И, ЕСЛИ … ТО, ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, ЛИБО …ЛИБО?
Укажите приоритеты выполнения логических операций.
Составьте таблицу истинности для следующих операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.
Изобразите функциональные элементы: конъюнктор, дизъюнктор, инвертор.
Какие логические выражения называются равносильными?
Записать основные законы алгебры логики.

Источник

Информатика, 10 класс. Урок № 12.

Тема — Преобразование логических выражений

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме: основные законы алгебры логики, преобразование логических выражений, логические функции, построение логического выражения с данной таблицей истинности и его упрощение, дизъюнктивная и конъюнктивная нормальная форма, совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ), совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ).

Глоссарий по теме: основные законы алгебры логики, логические функции, дизъюнктивная и конъюнктивная нормальная форма, совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ), совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)

Основная литература по теме урока:

Л. Л. Босова, А. Ю. Босова. Информатика. Базовый уровень: учебник для 10 класса

— М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2017 (с.197—209)

Открытые электронные ресурсы по теме:

http://lbz.ru/metodist/authors/informatika/3/eor10.php

http://kpolyakov.spb.ru/school/ege.htm

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Способ определения истинности логического выражения путем построения его таблицы истинности становится неудобным при увеличении количества логических переменных, т.к. за счет существенного увеличения числа строк таблицы становятся громоздкими. В таких случаях выполняются преобразования логических выражений в равносильные. Для этого используют свойства логических операций, которые иначе называют законами алгебры логики.

Основные законы алгебры логики

Справедливость законов можно доказать построением таблиц истинности.

Пример 1. Упростим логическое выражение

Последовательно применим дистрибутивный закон и закон исключенного третьего:

В общем случае можно предложить следующую последовательность действий:

Заменить операции строгая дизъюнкция, импликация, эквиваленция на их выражения через операции конъюнкция, дизъюнкция, инверсия;
Раскрыть отрицания сложных выражений по законам де Моргана.
Используя законы алгебры логики, упростить выражение.

Пример 2. Упростим логическое выражение .

Здесь последовательно использованы замена операции импликация, закон де Моргана, распределительный закон, закон противоречия и операция с константой, закон идемпотентности и поглощения.

Аналогичные законы выполняются для операции объединения, пересечения и дополнения множеств. Например:

Пример 3. На числовой прямой даны отрезки B = [2;12] и C = [7;18]. Каким должен быть отрезок A, чтобы предикат становился истинным высказыванием при любых значениях x.

Преобразуем исходное выражение, избавившись от импликации:

A, B, C — множества. Для них можно записать (U — универсальное множество).

Будем считать, что.

Тогда , причем это минимально возможное множество А.

Так как множество B — это отрезок [2;12], а множество — это промежутки и, то пересечением этих множеств будет служить промежуток . В качестве ответа мы можем взять этот промежуток, а также любой другой, его включающий.

Пример 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого десятичного числа а выражение

тождественно истинно (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении десятичной переменной х)? Здесь & — поразрядная конъюнкция двух неотрицательных целых десятичных чисел.

Введем обозначения:

Перепишем исходное выражение в наших обозначениях и преобразуем его:

Рассмотрим предикат . В числе 28₁₀=11100₂ 4-й, 3-й и 2-й биты содержат единицы, а 1-й и 0-й — нули. Следовательно, множеством истинности этого предиката являются такие числа х, у которых хотя бы один из битов с номерами 4, 3 или 2 содержит единицу. Если и 4-й, и 3-й, и 2-й биты числа х нулевые, то высказывание будет ложным.

Рассмотрим предикат . В числе 45₁₀=101101₂ 5-й, 3-й, 2-й и 0-й биты содержат единицы, 4-й и 1-й — нули. Следовательно, множеством истинности этого предиката являются такие числа х, у которых хотя бы один из битов с номерами 5, 3, 2 или 0 содержит единицу. Если и 5-й, и 3-й, и 2-й, и 0-й биты числа х нулевые, то высказывание будет ложным.

Рассмотрим предикат . В числе 17₁₀=10001₂ 3-й, 2-й и 1-й биты содержат нули, 4-й и 0-й — единицы. Побитовая конъюнкция 17 и х будет равна 0, если в числе х 4-й и 0-й биты будут содержать нули. Множество истинности этого предиката — все х с нулями в 4-м и 0-м битах.

По условию задачи надо, чтобы .

Запишем это выражение для рассмотренных множеств истинности:

Так как , примем .

Объединением множеств M и N являются все двоичные числа, у которых хотя бы один из битов с номерами 5, 4, 3, 2, 0 содержит единицу. Пересечением этого множества с множеством K будут все двоичные числа, у которых биты с номерами 4 и 0 будут заняты нулями, т.е. такие двоичные числа, у которых хотя бы один из битов с номерами 5, 3, 2 содержит 1. Все эти числа образуют множество А.

Искомое число a должно быть таким, чтобы при любом неотрицательном целом значении переменной х: , и, кроме того, оно должно быть минимальным из возможных. Этим условиям удовлетворяет число 101100₂= 44₁₀.

Значение любого логического выражения определяется значениями входящих в него логических переменных. Тем самым логическое выражение может рассматриваться как способ задания логической функции.

Совокупность значений n аргументов удобно интерпретировать как строку нулей и единиц длины n. Существует ровно различных двоичных строк длины n. Так как на каждой такой строке некая функция может принимать значение 0 или 1, общее количество различных булевых функций от n аргументов равно .

Для n=2 существует 16 различных логических функций. Рассмотрим их подробнее.

A	B	F₁	F₂	F₃	F₄	F₅	F₆	F₇	F₈	F₉	F₁₀	F₁₁	F₁₂	F₁₃	F₁₄	F₁₅	F₁₆
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

F₁(A,B) = 0 — константа «ложь»;

F₂(A,B) = A&B — конъюнкция;

F₃(A,B) = — отрицание импликации;

F₄(A,B) = A — функция, равная первому аргументу;

F₅(A,B) = — отрицание обратной импликации;

F₆(A,B) = B — функция, равная второму аргументу;

F₇(A,B) = — строгая дизъюнкция;

F₈(A,B) = A˅B — дизъюнкция;

F₉(A,B) = — стрелка Пирса (отрицание дизъюнкции, ИЛИ-НЕ);

F₁₀(A,B) = — эквиваленция;

F₁₁(A,B) = — отрицание второго аргумента;

F₁₂(A,B) = — обратная импликация;

F₁₃(A,B) = — отрицание первого аргумента;

F₁₄(A,B) = — импликация;

F₁₅(A,B) = — штрих Шеффера (отрицание конъюнкции, И-НЕ);

F₁₆(A,B) = 1 — константа «истина».

С увеличением числа аргументов количество логических функций резко возрастает. Отметим, что путем преобразований функция любого количества переменных может быть выражена через функции только двух переменных. Более того, можно использовать не все, а лишь некоторые логические функции двух переменных. Например:

F₂ и F₁₁ (конъюнкция и отрицание второго аргумента);
F₈ и F₁₃ (дизъюнкция и отрицание первого аргумента);
F₉(стрелка Пирса, отрицание дизъюнкции);
F₁₅(штрих Шеффера, отрицание конъюнкции).

Последние два примера говорят о том, что при желании всю алгебру логики можно свести к одной функции.

Любую логическую формулу путем тождественных преобразований можно привести к формуле, содержащей только операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции:

Такой способ представления логической формулы называется нормальной формой.

При решении задач часто требуется по таблице истинности логической формулы записать ее аналитическое выражение. Для этого используются понятия совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ) и совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ).

Простой конъюнкцией называется конъюнкция одной или нескольких переменных, в которой каждая переменная встречается не более одного раза (либо сама, либо ее отрицание). Например, запись является простой конъюнкцией.

Аналогично, выражение — простая дизъюнкция.

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция простых конъюнкций. Например, выражение является ДНФ.

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция простых дизъюнкций. Например, выражение является КНФ.

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) называется такая дизъюнктивная нормальная форма, у которой в каждую конъюнкцию входят все переменные (либо сами, либо их отрицания). Например, выражение является ДНФ, но не СДНФ. Выражение же представляет собой СДНФ.

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) называется такая КНФ, у которой в каждую простую дизъюнкцию входят все переменные (либо сами, либо их отрицания). Например, выражение представляет собой СКНФ.

Для всякой таблицы истинности можно составить соответствующее ей логическое выражение. Для этого необходимо:

Отметить в таблице истинности наборы переменных, при которых значение логического выражения равно единице;
Для каждого отмеченного набора записать конъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение некоторой переменной в этом наборе равно 1, то в конъюнкцию включаем саму переменную, в противном случае — её отрицание;
Все полученные конъюнкции связать операциями дизъюнкции.

Пример 5. Имеется следующая таблица истинности:

После выполнения первых двух шагов алгоритма получим:

После выполнения третьего шага получаем логическое выражение:

Попробуем упростить полученное выражение. Прежде всего, вынесем за скобки и применим закон исключенного третьего и распределительный закон:

Источник