Как составить логическую цепь

Время на прочтение
3 мин

Количество просмотров 27K

Приветствую всех.
Решил написать несколько статей про простейшие логические цепи.
Этот топик будет интересен скорее для людей, имеющих слабое представление об алгебре логики и логических конструкциях, чем для профессионалов и знатоков данной темы.

Итак, начнём.

Что такое комбинационная логическая цепь?

Это – цепь, способная обрабатывать бинарные электрические сигналы. В каждый момент времени исходящие сигналы комбинационной логической цепи (КЛЦ) зависят исключительно от входящих сигналов. Следовательно, одной и той же комбинации входящих значений соответствует одна и та же комбинация исходящих.

Характеристикой КЛЦ является отсутствие памяти. Тоесть не имеют значения сигналы, ранее поступавшие в цепь. («Важен текущий момент», – так сказал один из героев фильма «21».)

Математическая модель КЛЦ

Для лучшего понимания, анализа и изображения сложных цепей используются их несколько упрощённые математические модели.
В большинстве моделей во время разработки КЛЦ не принимается во внимание время взаимодействия элементов цепи. Поэтому мы будем считать, что выходные сигналы цепи моментально реагируют на изменения во входящих сигналах. Также, вместо функции сигнала от времени x(t), который может менять свою суть в зависимости от используемой технологии (например, 0 и 5 вольт в TTL; 0 и 3.1 вольт в CMOS), мы будем использовать логическую функцию x, которая может принимать значения 0 и 1.

Описание работы КЛЦ

Для описания работы КЛЦ используется так называемая таблица истинности. Эта таблица указывает значения выходных сигналов при определённых значениях входящих сигналов. Это может выглядеть так:

В таблице истинности значения каждого из сигналов располагаются в колонках, а ряды обозначают соответствия между сигналами.

Приведу пример логической задачи, которая решается с помощью такой таблицы.

Допустим, что у нас есть водонапорная башня. Чтобы создавать необходимый напор в тробопроводной системе, в башне круглые сутки должен находиться некий объём воды. Но нельзя всё время набирать воду в башню – она не безразмерна, да и элекроэнергия недешёвая. Нам нужно создать контроллер, который будет включать и выключать подачу воды в башню в зависимости от нескольких показателей.

На картинке показаны несколько датчиков:
X – время суток, где 1 – это день, а 0 – ночь (ночью электроэнергия дешевле);
Y и Z – датчики влажности, для них 1 – есть вода, а 0 – сухо.

W же будет управлять вентилем, включая его (1) и выключая (0) при необходимости.

Таблицы истинности для данного случая будут выглядеть вот так:

а) мы просто перечисляем все возможные сочетания показаний X, Y и Z;
b) смотрим самые простые варианты: если и Y, и Z имеют значение 0, то это значит, что воды нет совсем, поэтому W нужно включить, и без разницы, ночь ли сейчас или день. Если же и Y и Z – имеют значение 1, то это значит, что резервуар полный, соответственно W нужно выключить;
c) теперь об экономии: если Z=1, а Y=0, то уровень воды в баке – между двумя датчиками. При этом, если это происходит ночью (X=0), то стоит набрать воды до максимума (W=1), а днём (X=1( – оставить всё как есть (W=0);
d) без невероятного никуда: есть шанс, что Y будет иметь значение 1 при Z=0. Тогда, по логике, следовало бы отправить сообщение о неисправности в системе, но мы просто покажем, что такого просто не может быть.

Простые логические модули

Рассмотрим самые простые КЛЦ: модули Not-1, And-2 и Or-2.

Not-1

Это – самая простая КЛЦ, с одним входом и одним выходом. Функция этого модуля заключается в выводе значения, обратного входу. Так как вход один, то вариантов выхода всего два:

And-2

Этот модуль уже немного сложнее. У него два входа и один выход. Функция модуля And-2 заключается в следующем: выход будет иметь значение 1 только если оба входа также равны единице:

Or-2

Теперь ещё один модуль с двумя входами и одим выходом. Только теперь на выходе 1 будет если хотя бы один из входов имеет значение 1:

Продолжение следует.

На днях напишу ещё несколько статей – на очереди мультиплексоры, half- и full-adder’ы, а также всевозможные сочетания модулей.
Спасибо за внимание.

Лекция

Тема: Построение
логических схем с помощью базовых логических элементов

План

1.      Логические
элементы.

2.      Построение
логических схем.

Логическим элементом
называется дискретный преобразователь, который после обработки входных двоичных
сигналов выдает на выходе сигнал, являющийся значением одной из логических
операций.

Поскольку любая логическая операция может быть
представлена в виде комбинаций трех основных, любые устройства компьютера,
производящие обработку или хранение информации, могут быть собраны из базовых
логических элементов, как из «кирпичиков».

Логические элементы компьютера оперируют сигналами,
представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс – логический смысл
сигнала – 1, нет импульса – 0. На входы логического элемента поступают
сигналы-значения аргументов, на выходе появляется сигнал-значение функции.

Преобразование сигнала логическим элементом задается
таблицей состояния, которая фактически является таблицей истинности,
соответствующей логической функции.

Рассмотрим условные обозначения (схемы) базовых
логических элементов, реализующих логическое умножение (конъюнктор), логическое
сложение (дизъюнктор) и отрицание (инвертор).

Логический
элемент «ИЛИ»:

например,

Логический
элемент «НЕ»:

например,

Логический
элемент «И»:

например,

ИЛИ ДРУГОЙ ВИД ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Устройства компьютера (сумматоры в процессоре, ячейки
памяти в оперативной памяти и др.) строятся на основе базовых логических
элементов.

Если элемент имеет входное напряжение от 0 до 0,4В, то
оно рассматривается как логический 0, если напряжение в пределах от 0,7 до
1,5В, то оно рассматривается как 1. Примерно такие же характеристики имеет
выходное напряжение.

I.                  
Построить
схемы

Пример 1. Составить схему

Результат:

Пример 2. Составить схему

Результат:

Пример 3. Составить
схему

Результат:

Пример 4. Составить схему

Результат:

Пример 5. Составить
схему

Результат:

Пример 6. Составить схему

Результат:

Пример 7. Составить
схему

Результат:

II. Выполним задачу
обратную данной. Составим логическое выражение по заданной логической схеме:

Данное логическое
выражение можно упростить.

Операция И — логическое
умножение, ИЛИ — сложение. Запишем выражение, заменяя знаки & и U на * и +
соответственно.

 Упростим
, затем
запишем

)

  и тогда
логическая схема примет вид:

Вывод: Логические схемы, содержащие минимальное
количество элементов, обеспечивают большую скорость работы и увеличивают
надёжность устройства.

Алгебра логики дала конструкторам мощное средство
разработки, анализа и совершенствования логических схем. Проще, и быстрее
изучать свойства и доказывать правильность работы схемы с помощью выражающей её
формулы, чем создавать реальное техническое устройство.

По заданной логической функции построить логическую
схему.

Наше построение схемы, мы начнем с логической
операции, которая должна выполняться последней. В нашем случае такой операцией
является логическое сложение, следовательно, на выходе логической схемы должен
быть дизъюнктор. На него сигналы будут подаваться с двух конъюнкторов, на
которые в свою очередь подаются один входной сигнал нормальный и один
инвертированный (с инверторов).

Пример 2. Выписать
из логической схемы соответствующую ей логическую формулу:

А	В	F
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	1

Решение:

2.                 
Построение
логических схем.

Вариант
1.

По
заданной логической функции построить
логическую схему и таблицу истинности.

Решение:

2.
Выписать из логической схемы соответствующую ей логическую формулу:

А	В	F
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	0

Решение:

Вариант
2.

1.
По заданной логической функции построить
логическую схему и таблицу истинности.
Решение:

2.
Выписать из логической схемы соответствующую ей логическую формулу:

А	В	F
0	0	0
0	1	0
1	0	1
1	1	0

Решение:

По
заданной логической функции построить
логическую схему и таблицу истинности.

Контрольные
вопросы:

1.      Перечислите
основные логические операции.

2.      Что такое
логическое умножение?

3.      Что такое
логическое сложение?

4.      Что такое
инверсия?

5.      Что такое
таблица истинности?

6.      Что такое
сумматор?

7.      Что такое
полусумматор?

Литература,
ЭОР:

1.                 
Информатика
и информационные технологии. Учебник для 10-11 классов,Н. Д. Угринович –
2007г.;

2. Практикум по
информатике и информационным технологиям. Учебное пособие для
общеобразовательных учреждений, Н. Д. Угринович, Л. Л. Босова, Н. И. Михайлова
– 2007г.

Практические советы

1. При
   составлении сигнальной загадки
   предпочитайте схематизм.

1. Избегайте
   детализации, запечатлевая самую главную
   мысль.

1. Элементы
   сигнальной загадки старайтесь разместить
   внутри квадрата оптимальным образом,
   т. е. с учетом их взаимосвязей и логики
   взаимодействия.

1. При
   выборе сигналов (знаков, символов)
   руководствуйтесь не собственной
   фантазией, а уже существующими в природе
   объекта моментами и характеристиками.

1. Для
   усвоения материала полезно составить
   несколько загадок по одной и той же
   теме, но различным образом оформив их.

1. Помните,
   что абсолютно каждый элемент несет
   смысловую нагрузку и должен быть
   упомянут при воспроизведении текста
   в ходе расшифровки загадки.

Логические цепочки

Существенным
дополнением к сигнальным загадкам в
качестве других видов повторных сигналов
могут являться логические цепочки.

Логические
цепочки – это путь от вопроса к решению,
выраженный в кодированном виде посредством
соединенных между собой звеньев.

Илл.
4. Пример логической цепочки

Очевидно,
что звенья логической цепочки внешне
связаны с помощью знака «следовательно»,
подчеркивающего взаимосвязи между
отдельными высказываниями.

Место
логических цепочек в технологии
семантико-семиотической интерпретации
учебных текстов определяется невозможностью
представить весь учебный текст в виде
причинно-следственных связей. Тем не
менее, связанные между собой явления
дают богатый материал для данной формы
интерпретации текста.

Роль
логических цепочек может быть названа
вспомогательной, но ее особенностью
является усилительная функция при
работе с сигнальными загадками. Часто
в форме логических цепочек осуществляется
повторение содержания сигнальных
загадок в укрупненном виде.

Организация
работы с логическими цепочками помимо
развития поисковой деятельности и
логико-аналитического мышления
способствует, как следствие этого,
развитию речи.

Воспроизведение
логических цепочек возможно не только
справа налево, но и слева направо, от
следствия, результата, к началу, к
первопричине.

Помимо
этого тренировка мышления осуществляется
при написании только начального звена
цепочки и ее завершающего звена с целью
воспроизведения промежуточных звеньев.
Таким образом, обучающиеся могут
проверить глубину усвоения изучаемого
материала.

Примеры составления логических цепочек

1. Культурная
   диффузия, т.е. стихийное и никем не
   контролируемое заимствование культурных
   ценностей, имеет как позитивные, так и
   негативные аспекты. С одной стороны,
   она позволяет народам больше общаться
   между собой и узнавать друг о друге.
   Общение и познание способствуют
   сближению народов. С другой стороны.
   Чрезмерно активное общение и заимствование
   опасно потерей культурной самобытности
   (с. 172).

1. К
   аккультурации относят контакты
   представителей разных культур.
   Результатом таких контактов становится
   восприятие культурных норм и ценностей
   (с. 141).

1. Культурная
   трансмиссия – процесс, благодаря
   которому культура передается от
   предшествующих поколений к последующим
   через обучение. Культурная трансмиссия
   делает возможным такое явление, как
   преемственность культуры, ее непрерывность
   во времени (с. 175).

1. Культурная
   аккумуляция представляет собой такой
   процесс, конечным завершением которого
   выступает образование культурного
   наследия. Аккумуляция имеет место там,
   где к культурному наследию добавляется
   большее количество новых элементов,
   чем отбрасывается старых (с. 175).

Что тебе известно о силлогизмах? Может, ты слышала, что некоторые профессиональные рекрутеры используют их в тестах при приеме на работу, чтобы проверить логическое мышление соискателей? Стоит разобраться в этом вопросе.

«Женская логика» и ложные силлогизмы

– Разумеется, твой муж тебе изменяет, – авторитетно заявляет женщина средних лет более молодой.

– Все мужчины изменяют. Твой муж что, не мужчина? Ещё и красивый к тому же. Точно изменяет!

И молодая собеседница пытается применить к своей семье эту цепочку утверждений. Не подозревает даже, что минуту назад услышала непроверенное заявление, которое не может быть использовано в выводе. Сказано было эмоционально, но не применимо к жизни. Это был ложный силлогизм.

Поговорим о классической логике

Силлогистика, автором которой был Аристотель, является частью теории логики и занимается анализом силлогизмов – дедуктивных умозаключений. Это логические аргументы, состоящие из трех частей.

Умение решать силлогизмы как раз лучше всего иллюстрирует образ мышления человека – насколько он способен логично мыслить. Они решаются по определённой схеме поскольку силлогизмы всегда состоят из трёх частей:

• первое суждение/посылка;
• второе суждение/посылка;
• вывод.

Как правило, в главном предложении делается общее заявление. Например: «Все люди смертны». Второй также включает такое заявление, но более конкретное. Например, основная посылка «Все люди смертны» может сопровождаться второстепенной посылкой «Все русские – люди». Отсюда вывод: «Все русские смертны».

Ловушки задач на логику

Однако силлогизмы не обязательно должны быть истинными. В университетах студентам часто задаются задачи, которые приводят к логической последовательности, но основаны на абсурдных утверждениях.

Вместо истины силлогизмы сосредоточены на действительности. Это должно помочь лучше проверить логическое мышление поступающих. Для правильного ответа необходимо действовать чисто логически и не ориентироваться на правдивость сказанного.

Для объяснения силлогизма были установлены определенные правила, которые могут помочь в их решении. Эти логические связи могут быть построены только определенными способами:

• силлогизмы должны иметь хотя бы одно положительное утверждение, в противном случае заключение невозможно;
• кроме того, вывод должен быть исключительно положительным ответом, если и основное, и второстепенное предположения имеют положительную окраску; напротив, вывод будет негативным, если хотя бы одно из двух утверждений отрицательное;
• согласно правилам, одно из двух утверждений должно быть общего плана; если оба утверждения говорят о каких-то частностях, тогда нельзя сделать никаких единых выводов; если же, с другой стороны, верхнее или нижнее предложение содержит конкретное утверждение, то заключение также должно быть таким.

Например:

Утверждение: «Некоторые правши пьют молоко».

«Некоторые правши» не позволит сделать каких-либо значимых выводов.

Меняется на:

Утверждение 1: «Все правши пьют молоко».

Добавляется утверждение 2: «Некоторые школьники правши».

Получится вывод: «Некоторые школьники пьют молоко».

Как научиться понимать логические цепочки

Чтобы прийти к правильному выводу в процессе анализа, следует внимательно изучить силлогизмы.

Задачи обычно ставятся двумя разными способами. С одной стороны, можно сделать как предположение, так и соответствующий вывод. В этом случае нужно решить, верен он или нет. Это – простой категорический силлогизм.

Например:

Все птицы (М) животные (Р).

Индюки (S) – птицы (М).

Все индюки (S) – животные (P).

S – субъект вывода и второе суждение.

М – средний термин, который есть в обоих суждениях, но отсутствует в выводе.

Р – утверждение, предикат, основное суждение.

М+P = суждение.

S+M = суждение.

S+P = вывод.

Для анализа имеет смысл сначала выяснить главное условие. В примере упражнения основным условием является животное, поскольку они образуют объект в главном предложении и сказуемое-предикат в заключении. Индюки, с другой стороны, являются второстепенным условием, потому что они фигурируют в подгруппе и являются предметом вывода.

Чтобы найти ответ, можно использовать, так называемую, энтимему. Это метод, при котором силлогизмы сжимаются в предложение и, таким образом, проверяются на правильность. При этом объединяются второстепенная посылка и заключение. В нашем примере это означает: все индюки – животные, потому что они птицы. Так что вывод правильный.

У простого категорического силлогизма существуют свои правила:

• в нём может быть только три термина (S, M, P);
• средний термин М должен быть взят в полном объёме хотя бы в одном из суждений;
• термин, не взятый полностью в суждении, не может использоваться в заключении.

Когда силлогизм не может быть верным

В качестве альтернативы существуют задачи, в которых имеется только два суждения и необходимо найти правильный вывод из различных возможных решений.

Например:

Собаки любят есть мясо.

Полкан любит мясо.

Варианты ответа:

А. Полкан – собака.

Б. Мясо полезно для собак

C. Нет правильного ответа

Это упражнение – классический пример ошибочности силлогизмов. Часто встречаются задачи, заключение которых кажется верным, но оно неправильно из-за отсутствия точного определения. Обе посылки – частные, их невозможно объединить точным единым выводом. Следовательно, в данном примере нет правильного ответа. Если хотя бы одно суждение было общим, вывод был бы возможен. Цепочка могла бы выглядеть так:

Все собаки любят мясо.

Полкан – собака.

Полкан любит мясо.

Силлогизмы в болтовне за чашкой кофе

Тебе, наверное, кажется, что все сказанное может быть интересно только тем, кто вынужден решать нудные задачи по логике в университете и при приёме на работу. Но ты же тоже постоянно строишь логические цепочки. Практически каждую минуту своей жизни. И даже прекрасно, пусть и не всегда правильно используешь их в повседневности. Например, когда говоришь своей коллеге:

– Бухгалтер Маша откуда-то с Севера (Юга, Востока – неважно). Там всё население пьёт алкоголь. Наверное, она тоже не прочь выпить.

И понеслась в народ женская сплетня, построенная на пусть неправильной, но логической цепочке.

Научиться делать верные выводы вполне возможно. Для этого даже не обязательно решать задачи. Нужно хотя бы подумать – насколько утверждение верно?

Ты же запомнила:

• два отрицания вывод не дают;
• из двух частностей заключения не получится;
• есть хотя бы одно отрицание – вывод будет отрицательным;
• из положительных утверждений отрицательное заключение не следует.

Теперь ты точно сможешь мыслить более стройно. А через некоторое время вообще дедуктивно – этот навык возможно натренировать. Никто больше не посмеет сказать, что у тебя – «женская логика».

Кому нужна логика?

«Логика», «силлогизмы», «Аристотель»… Довольно необычно, наверное, встретить подобные слова на женском сайте, информация на котором посвящена в основном бьюти-советам, отношениям и психологии. «Зачем мне развивать логическое мышление, учиться понимать логические цепочки и тратить на это свое драгоценное время?» – можешь задать ты вопрос. Мы постараемся на него тебе ответить.

Умение строить логические цепочки и делать умозаключения вряд ли можно назвать бесполезным. Даже если ты не учишься в университете и никогда не изучала предметы, каким-либо образом связанные с логикой, это вовсе не означает, что твое мышление невозможно повернуть в нужное русло. Да, поначалу информация, представленная в статье, может показаться тебе сложной, громоздкой и малопонятной. Однако скоро ты начнешь различать верные и ложные суждения и поймешь, что силлогизм – зверь, которого тебе под силу приручить.

Тут ты можешь начать сомневаться: «Окей, не буду отрицать, что это может быть кому-то интересно. Но как понимание этих силлогизмов должно помочь мне, например, в работе? Как это может использоваться? Есть ли смысл запоминать всю эту информацию из статьи и загружать ею свою память?»

Безусловно, просто зубрить термины бесполезно. Когда человек до конца не осознает истинное значение того или иного слова, но активно пытается интегрировать его в свою речь, это выглядит смешно и нелепо. Не нужно все подряд умозаключения называть силлогизмами. Как ты помнишь, Аристотель специализировался на анализе дедуктивных умозаключений. Не каждый разговор за чашкой кофе со знакомой можно назвать примером дедукции.

Помни: три части. Общее заявление, конкретное заявление, вывод. Основная посылка, второстепенная посылка, умозаключение. Пример: все млекопитающие являются животными (основная посылка). Все слоны являются млекопитающими (второстепенная посылка). Все слоны являются животными (вывод). И подобных простых примеров ты и сама можешь придумать не один десяток. Помни про последовательность утверждений и учись правильно формулировать мысль.

Зачем выводить свое логическое мышление на новый уровень? Ну, как минимум для того, чтобы научиться решать логические задачки. Например, на собеседовании, когда ты ищешь работу. Какое отношение логика, дедуктивный метод и прочие штуки имеют к приему на работу? Самое что ни на есть прямое!

Тест на логическое мышление оценивает способность кандидата использовать свое логическое мышление и навыки рассуждения в работе. Именно тесты подобного формата вводят многих людей в ступор. Особенно тех из них, что никогда не имели опыта в решении подобных задач ни в учебе, ни на предыдущих местах работы. Вот так готовишься ты к собеседованию, составляешь список своих положительных качеств и продумываешь ответы на классические вопросы вроде «кем вы видите себя через пять лет», а тут раз! – и подсовывают задачку на логику. Сложно не запаниковать.

Такие задания помогают выяснить, насколько хорошо кандидат умеет анализировать информацию (отфильтровывать, сокращать), выявлять тенденции и закономерности. А еще – показывают, насколько хорошо ты умеешь держать себя в руках, находясь под давлением, попадая в нестандартную ситуацию. При вынесении решения работодатель в первую очередь будет рассматривать тех кандидатов, что продемонстрировали не только умение красиво говорить о своих планах в компании, но и другие достоинства.

В бизнес-среде логическое мышление – один из самых важных навыков. Анализировать, выявлять, определять, замечать – фронт работ, в которых не обойтись без умения мыслить логически, просто невообразимо огромен. Бессмысленно это отрицать.

Непросто по одному только взгляду на кандидата понять, обладает ли он навыками логического рассуждения. Информация об этом обычно не указывается в резюме. Вопросы с множественным выбором часто основаны на повседневной рабочей деятельности, которая может потребовать логических рассуждений. Это дает работодателю реалистичное представление о том, как кандидат может выполнять ту роль, на которую он претендует.

Какими еще бывают тесты на логику при приеме на работу? Например, загадки. Логические вопросы в форме загадок часто встречаются во время интервью, ориентированных на головоломки. Эти типы вопросов представляют собой загадку, на которую ты должна ответить. При таких типах логических вопросов правильный ответ часто не является самым важным аспектом. Задавая такой вопрос, рекрутер хочет понять, насколько у тебя развито креативное мышление, умеешь ли ты находить нестандартные подходы, каковы твои навыки критического мышления.

На собеседовании тебе могут пригодиться и твои математические способности. Нет, знанием таблицы умножения тут не обойтись. Скорее тебе придется продемонстрировать свои дедуктивные и индуктивные навыки, умение вычислять вероятность. Здесь также особое внимание будет уделяться не столько полученному результату, сколько самому процессу его выведения.

Подведем итоги. Умение логически мыслить – навык, полезный не только при приеме на работу, но и в обычной жизни. Просто потому что и в бытовых ситуациях нам зачастую приходится искать нестандартные, креативные методы решения тех или иных проблем. А умение анализировать информацию и делать выводы – и вовсе то, без чего человек не сможет учиться на своих ошибках и получать жизненный опыт. Вот так-то.