Как составить логическую схему по логическому выражению онлайн - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Редактор схемы логических элементов

Сервис представляет собой ряд калькуляторов: создание схемы из логических элементов, построение таблицы истинности по булевой функции (с помощью него можно будет также упростить эту функцию) и редактор карт Карно.

С помощью первой программы можно онлайн создать схему логических элементов. По построенной схеме находятся СКНФ, СДНФ, полином Жегалкина. Имеется возможность минимизировать булеву функцию.

Если схему необходимо построить по заданной таблице истинности, то используйте этот калькулятор (иногда задается просто строка, например, f=10001011).

Ввод данных
Параметры схемы
Решение
Видеоинструкция
Оформление Word

Количество переменных
Стандарт изображений элементов
Инверсные входы

INV

AND

NAND

NOR

XOR

MOD

Размеры графического полотна

Ширина
Высота

Созданную логическую схему можно сохранить в форматах docx и png (меню Действия).

По логической схеме можно построить СКНФ, СДНФ, полином Жегалкина, карты Вейча-Карно, а также минимизировать булеву функцию.

Здесь будет показано решение

Инструкция к сервису

Для добавления логического элемента необходимо выделить его левой кнопкой мыши, а затем щелкнуть мышкой на рабочем поле.

Чтобы соединить элементы, их необходимо предварительно выбрать (один клик мыши по объекту), а затем нажать на кнопку Соединить. Для соединения с переменной x_i нажмите на соответствующее ей название.

Построенную схему можно сохранить в формате docx или png.

Булевы функции

С помощью этого калькулятора по булевой функции строится таблица истинности, определяются свойства функции и другие параметры (см. вкладку Параметры решения). При этом вводится только само логическое выражение без префикса. Например, при f(x,y,z) = x → y!z, ввести необходимо только x → y!z.

Введеное выражение также можно упростить, используя законы логики высказываний (на следующем шаге выбрать параметр Упростить выражение).

(...) — ввод скобок, x -отрицание (NOT, !, ¬), & — логическое И, AND, ∧, *, v — логическое ИЛИ, OR, ∨, = — эквивалентность, ˜, ≡, ↔, ⊕ — сумма по модулю 2, | — штрих Шеффера, И-НЕ, AND-NOT, ↓ — стрелка Пирса, ИЛИ-НЕ, OR-NOT, ← — обратная импликация.

Для вложенного отрицания необходимо использовать знак !. Например, x v y = !(x v y) или x v y = x v !y

По найденной таблице истинности можно определить логические значения высказываний, например, при x=0, y=0, z=1

Чтобы проверить высказывание на истинность или ложность, функцию необходимо вводить без знака равно (=). Например, A+B→A&B=1, необходимо ввести A+B→A&B. Если в результате преобразований получится, что f=1, то высказывание истинно, если f=0 — ложно.

Логические (функциональные) элементы {v,&, ¬} являются наиболее распространенными: в силу полноты системы любую булеву функцию (БФ) можно представить в виде суперпозиции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. В качестве функциональных элементов (ФЭ) можно рассматривать любые булевы функции, при этом их можно соединять друг с другом, подавая выходы одних элементов на входы других (суперпозиция БФ).

Область определения БФ E – конечное множество, поэтому БФ можно задать с помощью таблицы истинности, содержащей |E|=2ⁿ строк. Столбец значений БФ при этом представляет собой двоичное слово длиной 2ⁿ. Поэтому количество различных БФ n переменных равно 2^2ⁿ.

Отрицание, ¬

x f

0 1

1 0
Конъюнкция, &

x y f

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1
Дизъюнкция, v

x y f

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1
Сумма по модулю 2, x⊕y

x y f

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0
Стрелка Пирса, x↓y

x y f

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0
Эквивалентность, x↔y

x y f

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1
Импликация, x→y

x y f

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1
Штрих Шеффера, x|y

x y f

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Другие БФ строятся из элементарных с помощью суперпозиций функций.

Основные равносильности логики высказываний

Название	Формула
Закон исключенного третьего	X v !X ≡ И
Закон противоречия	X & !X ≡ Л
Закон коммутативности	X & Y ≡ Y & X X v Y ≡ Y v X
Закон ассоциативности	(X & Y)&Z ≡ X&(Y&Z) (X v Y) v Z ≡ X v (Y v Z)
Закон дистрибутивности	X&(Y v Z) ≡ X&Y v X&Z X v Y&Z ≡ (X v Y)&(X v Z)
Закон двойного отрицания	!!X ≡ X
Закон идемпотентности	X&X ≡ X, X v X ≡ X
Законы де Моргана	!(X v Y) ≡ !X & !Y !(X & Y) ≡ !X v !Y
Закон поглощения	X v X&Y ≡ X X&(X v Y) ≡ X
Законы склеивания	(X & Y)v(X & !Y) ≡ X (X v Y)&(X v !Y) ≡ X
Замена импликации	X → Y ≡ !X v Y
Замена эквиваленции	X = Y ≡ X&Y v !X&!Y

Пример. Упростите выражение: (x˅y˅z)→(x˅y)*(x˅z)

Упростим функцию, используя основные законы логики высказываний.

Замена импликации: A → B = !A v B

Для нашей функции:

(x v y v z)→((x v y) (x v z)) = x v y v z v (x v y) (x v z)

Упростим функцию, используя законы де Моргана: !(A v B) = !A & !B

Для нашей функции:

x v y v z = x y z

По закону дистрибутивности:

(x v y) (x v z) = x v x z v y x v y z

получаем:

f = x y z v x v x z v y x v y z

После элементарных преобразований получаем:

f = x y z v x v x z v y x v y z = x y z v x v y z

f = y z v y z v x

Минимизация булевых функций

В данном сервисе для минимизации булевых функций используются метод Квайна и карт Карно-Вейча. После получения минимальной формы имеется возможность заново построить логическую схему. Если исходная схема понадобится в дальнейшем, то ее можно предварительно сохранить (меню Действия/Сохранить).

Сократить БФ можно, применяя некоторые равносильности логики высказываний:

Kx v K ≡ K — тождество поглощения;
Kx v Kx ≡ K — тождество склеивания;
Kx v Ky ≡ K(xvy) — дистрибутивный закон,

где K— элементарная конъюнкция. Большинство методов минимизации БФ основываются на первых двух тождествах. А третье – дистрибутивный закон – уменьшает количество букв в формуле, но выводит формулу из класса ДНФ.
При минимизации БФ используют различные термины (и обозначения) для полных элементарных конъюнкций (ПЭК). Наиболее часто используются термины «минтерм» и «конституента единицы». (Для полных элементарных дизъюнкций (ПЭД) используются термины «макстерм» и «конституента нуля»). Слово «конституента» означает «составляющая», а название «минтерм» исходит из определения конъюнкции, как минимального значения ее операндов. При этом используются обозначения m_i — для минтерма и M_i — для макстерма. Номер i соответствует двоичной записи той оценки переменных, для которой m_i=1.

Метод карт Карно

Склеить можно как целиком всю карту, либо только выделенные единицы (меню Операции).

Количество переменных
Сетка

После минимизации можно получить логическую схему функции и построить таблицу истинности (кнопка Далее)

Этот метод используется для БФ не более, чем с шестью аргументами и основан на тождестве склеивания: Kx v Kx ≡ K — две элементарные конъюнкции (ЭК) склеиваются, если они отличаются только знаком инверсии одного аргумента. Чтобы облегчить нахождение таких пар (четверок, восьмерок,…) склеивающихся ЭК, используют специальное представление БФ в виде таблицы – карты Карно (другое название — диаграмма Вейча). Чтобы заполнить карту Карно необходимо щелкнуть левой кнопкой мышки на соответствующую ячейку.

Карта Карно обладает той особенностью, что две ПЭК, соответствующие соседним клеткам карты, отличаются знаком инверсии только одного аргумента, т.е. их можно склеивать. Причем соседними являются не только клетки, например, с номерами 1 и 3, но и клетки с номерами 12 и 8, 12 и 4, т.е. карту можно «сворачивать» в цилиндр, соединяя горизонтальные (вертикальные) ее границы.

Две единицы «склеиваются» каждый раз, когда они стоят рядом в строке или столбце (карту можно свернуть в цилиндр). В результате склеивания число букв, входящих в ПЭК, уменьшается на единицу.

Минимизая функции через равносильные преобразования

см. таблицу равносильных преобразований

Алгоритм минимизии логической функции

Замена импликации и эквиваленции.
Упрощение функции через законы де Моргана.
Раскрытие скобок, используя законы поглощения, исключенного третьего, противоречия.
Минимизация через закон дистрибутивности.

Алгоритм Куайна построения сокращенной ДНФ

Получить СДНФ функции.
Провести все операции неполного склеивания.
Провести все операции поглощения.

Построение логической схемы по таблице истинности

По заданной СДНФ (по таблице истинности) определяются существенные и фиктивные переменные, полином Жегалкина и принадлежность классам T0,T1, S, M, L. Также можно создать новую логическую схему (если не выбран пункт Строить новую схему при минимизации булевой функции). Если вычисления происходят по исходной схеме и она понадобится в дальнейшем, то ее можно предварительно сохранить (меню Действия/Сохранить).

Название переменных можно изменить. Для этого их необходимо выбрать (первая строка таблицы).

Количество переменных
Ввести как вектор значений (в виде строки)

a	b	c	f
0	0	0
0	0	1
0	1	0
0	1	1
1	0	0
1	0	1
1	1	0
1	1	1

Для установки параметров решения, необходимо нажать Далее.

Пример. Найдите СДНФ(А) и СКНФ(А) с помощью равносильных преобразований и таблицы истинности, если A = xvyv(x→y)&x

Таблица истинности

x	y	x	y	xvy	xvy	x→y	(x→y)&x	xvyv(x→y)&x
0	0	1	1	1	0	1	0	0
0	1	1	0	1	0	1	0	0
1	0	0	1	1	0	0	0	0
1	1	0	0	0	1	1	1	1

Упростим функцию, используя основные законы логики высказываний.

Замена импликации

A → B = !A v B

Для нашей функции:

x→y = x v y

f = x v y v (x v y) x

Упростим функцию, используя законы де Моргана онлайн.

!(A v B) = !A & !B

!(A & B) = !A v !B

Для нашей функции:

x v y = x y

f = x y v (x v y) x

По закону дистрибутивности:

x x = 0

(x v y) x = y x

x y v (x v y) x = x y v y x

f = x y

Используя равносильные преобразования, найдем СДНФ(А).

СДНФ(А) = x y

Используя равносильные преобразования, найдем СДНФ(А).

1. Для получения элементарных дизъюнкций используем закон дистрибутивности XvYZ=(XvY)(XvZ).

2. Закон исключенного третьего Xv!X=1. При этом элементарную дизъюнкцию можно отбросить (в силу равносильности C & 1 = C).

3. По закону поглощения XvXYZ = X

A = x y

Из КНФ А путем равносильных преобразований получаем СКНФ А, последовательно добиваясь выполнения четырех свойств СКНФ А.

1. Если элементарная дизъюнкция В, входящая в КНФ А, не содержит переменную x_i, тогда заменяем В на Bv(x_i & !x_i) = (B v x_i)(B v !x_i)

2. Если в некоторую элементарную дизъюнкцию В переменная x_i входит дважды, то лишнюю переменную нужно отбросить, так как x_i v x_i = x_i.

3. Если КНФ А содержит две одинаковых элементарных дизъюнкций, то одну можно отбросить, так как B & B = B

4. Если в элементарную дизъюнкцию входит пара x_i v !x_i, то ее можно отбросить так как x_i v !x_i=1, а истинное высказывание из конъюнкции можно выбросить (в силу равносильности C & 1 = C).

A = (x v y y) (y v x x) = (x v y) (x v y) (y v x) (y v x)

A = (x v y) (x v y) (y v x) (y v x)

СКНФ(А) = (x v y) (x v y) (x v y)

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы (СДНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, обладающая свойствами:

1. Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F(x₁,x₂,…x_n).

2. Все логические слагаемые формулы различны.

3. Ни одно логическое слагаемое не содержит переменную и её отрицание.

4. Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.

F = x y

Совершенная конъюнктивная нормальная форма формулы (СКНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций, удовлетворяющая свойствам:

1. Все элементарные дизъюнкции содержат все переменные, входящие в функцию F(x₁,x₂,…x_n).

2. Все элементарные дизъюнкции различны.

3. Каждая элементарная дизъюнкция содержит переменную один раз.

4. Ни одна элементарная дизъюнкция не содержит переменную и её отрицание

F = (x v y) (x v y) (x v y)

Список литературы

Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. М.,1992.
Бауэр Ф.Л., Гооз Г. Информатика. Вводный курс: Часть 2, М.: Мир, 1990.
Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высш. школа, 1986. – 312 с.

Количество входов

Текст

РазмерЦвет

Линия

ТолщинаЦвет

пунктирная — — — —

Размеры в px и фон

Номер входа

Текст

РазмерЦвет

Линия

ТолщинаЦвет

пунктирная — — —

Введите название переменных

Количество входов у элемента

Источник

Построение таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина.

Онлайн калькулятор позволяет быстро строить таблицу истинности для произвольной булевой функции или её вектора, рассчитывать совершенную дизъюнктивную и совершенную конъюнктивную нормальные формы, находить представление функции в виде полинома Жегалкина, строить карту Карно и классифицировать функцию по классам Поста.

Калькулятор таблицы истинности, СКНФ, СДНФ, полинома Жегалкина

введите функцию или её вектор

Скрыть клавиатуру

∨

∧

⊕

→

≡

↓

↑

(

)

X₁

X₂

X₃

X₄

X₅

X₆

Показать настройки

Таблица истинности

СКНФ

СДНФ

Полином Жегалкина

Классификация Поста

Минимизация, карта Карно

Фиктивные переменные

С решением

Построить

Построено таблиц, форм:

Как пользоваться калькулятором

Введите в поле логическую функцию (например, x1 ∨ x2) или её вектор (например, 10110101)
Укажите действия, которые необходимо выполнить с помощью переключателей
Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
Нажмите на кнопку «Построить»

Видеоинструкция к калькулятору

Используемые символы

В качестве переменных используются буквы латинского и русского алфавитов (большие и маленькие), а также цифры, написанные после буквы (индекс переменной). Таким образом, именами переменных будут: a, x, a1, B, X, X1, Y1, A123 и так далее.

Для записи логических операций можно использовать
как обычные символы клавиатуры (*, +, !, ^, ->, =), так и символы, устоявшиеся в литературе (∧, ∨, ¬, ⊕, →, ≡). Если на вашей клавиатуре отсутствует нужный символ операции, то используйте клавиатуру калькулятора (если она не видна, нажмите «Показать клавиатуру»), в которой доступны как все логические операции, так и набор наиболее часто используемых переменных.

Для смены порядка выполнения операций используются круглые скобки ().

Обозначения логических операций

И (AND): & • ∧ *
ИЛИ (OR): ∨ +
НЕ (NOT): ¬ !
Исключающее ИЛИ (XOR): ⊕ ^
Импликация: -> → =>
Эквивалентность: = ~ ≡ <=>
Штрих Шеффера: ↑ |
Стрелка Пирса: ↓

Что умеет калькулятор

Строить таблицу истинности по функции
Строить таблицу истинности по двоичному вектору
Строить совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ)
Строить совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ)
Строить полином Жегалкина (методами Паскаля, треугольника, неопределённых коэффициентов)
Определять принадлежность функции к каждому из пяти классов Поста
Строить карту Карно
Минимизировать ДНФ и КНФ
Искать фиктивные переменные

Что такое булева функция

Булева функция f(x₁, x₂, ... x_n) — это любая функция от n переменных x₁, x₂, … x_n, в которой её аргументы принимают одно из двух значений: либо 0, либо 1, и сама функция принимает значения 0 или 1. То есть это правило, по которому произвольному набору нулей и единиц ставится в соответствие значение 0 или 1. Подробнее про булевы функции можно посмотреть на Википедии.

Что такое таблица истинности?

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию, а именно отражающую все значения функции при всех возможных значениях её аргументов. Таблица состоит из n+1 столбцов и 2ⁿ строк, где n — число используемых переменных. В первых n столбцах записываются всевозможные значения аргументов (переменных) функции, а в n+1-ом столбце записываются значения функции, которые она принимает на данном наборе аргументов.

Довольно часто встречается вариант таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В такой таблице также первые n столбцов заполнены наборами аргументов, а оставшиеся столбцы заполняются значениями подфункций, входящих в запись функции, что позволяет упростить расчёт конечного значения функции за счёт уже промежуточных вычислений.

Логические операции

Логическая операция — операция над высказываниями, позволяющая составлять новые высказывания путём соединения более простых. В качестве основных операций обычно называют конъюнкцию (∧ или &), дизъюнкцию (∨ или |), импликацию (→), отрицание (¬), эквивалентность (=), исключающее ИЛИ (⊕).

Таблица истинности логических операций

Как задать логическую функцию

Есть множество способов задать булеву функцию:

таблица истинности
характеристические множества
вектор значений
матрица Грея
формулы

Рассмотрим некоторые из них:

Чтобы задать функцию через вектор значений необходимо записать вектор из 2ⁿ нулей и единиц, где n — число аргументов, от которых зависит функция. Например, функцию двух аргументов можно задать так: 0001 (операция И), 0111 (операция ИЛИ).

Чтобы задать функцию в виде формулы, необходимо записать математическое выражение, состоящее из аргументов функции и логических операций. Например, можно задать такую функцию: a∧b ∨ b∧c ∨ a∧c

Способы представления булевой функции

С помощью формул можно получать огромное количество разнообразных функций, причём с помощью разных формул можно получить одну и ту же функцию. Иногда бывает весьма полезно узнать, как построить ту или иную функцию, используя лишь небольшой набор заданных операций или используя как можно меньше произвольных операций. Рассмотрим основные способы задания булевых функций:

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)
Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

Простая конъюнкция — это конъюнкция некоторого конечного набора переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза.
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — это дизъюнкция простых конъюнкций.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — ДНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую конъюнкцию которой входят все переменные данного набора.

Например, ДНФ является функция ¬abc ∨ ¬a¬bc ∨ ac, но не является СДНФ, так как в последней конъюнкции отсутствует переменная b.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (КНФ)

Простая дизъюнкция — это дизъюнкция одной или нескольких переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная входит в неё не более одного раза.
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) — это конъюнкция простых дизъюнкций.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — КНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую дизъюнкцию которой входят все переменные данного набора.

Например, КНФ является функция (a ∨ b) ∧ (a ∨ b ∨ c), но не является СДНФ, так как в первой дизъюнкции отсутствует переменная с.

Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)

Алгебраическая нормальная форма, полином Жегалкина — это форма представления логической функции в виде полинома с коэффициентами вида 0 и 1, в котором в качестве произведения используется операция конъюнкции, а в качестве сложения — исключающее ИЛИ.

Примеры полиномов Жегалкина: 1, a, a⊕b, ab⊕a⊕b⊕1

Алгоритм построения СДНФ для булевой функции

Построить таблицу истинности для функции
Найти все наборы аргументов, на которых функция принимает значение 1
Выписать простые конъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 0, то она входит в конъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
Объединить все простые конъюнкции с помощью дизъюнкции

Алгоритм построения СКНФ для булевой функции

Построить таблицу истинности для функции
Найти все наборы аргументов, на которых функция принимает значение 0
Выписать простые дизъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 1, то она входит в дизъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
Объединить все простые дизъюнкции с помощью конъюнкции

Алгоритм построения полинома Жегалкина булевой функции

Есть несколько методов построения полинома Жегалкина, в данной статье рассмотрим наиболее удобный и простой из всех.

Построить таблицу истинности для функции
Добавить новый столбец к таблице истинности и записать в 1, 3, 5… ячейки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а к значениям в строках 2, 4, 6… прибавить по модулю два значения из соответственно 1, 3, 5… строк.
Добавить новый столбец к таблице истинности и переписать в новый столбец значения 1, 2, 5, 6, 9, 10… строк, а к 3, 4, 7, 8, 11, 12… строкам аналогично предыдущему пункту прибавить переписанные значения.
Повторить действия каждый раз увеличивая в два раза количество переносимых и складываемых элементов до тех пор, пока длина не станет равна числу строк таблицы.
Выписать булевы наборы, на которых значение последнего столбца равно единице
Записать вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора записать единицу) и объединить их с помощью операции исключающего ИЛИ.

Примеры построения различных представлений логических функций

Построим совершенные дизъюнктивную и дизъюнктивную нормальные формы, а также полином Жегалкина для функции трёх переменных F = ¬ab∨¬bc∨ca

1. Построим таблицу истинности для функции

Построение совершенной дизъюнктивной нормальной формы:

Найдём наборы, на которых функция принимает истинное значение: { 0, 0, 1 } { 0, 1, 0 } { 0, 1, 1 } { 1, 0, 1 } { 1, 1, 1 }

В соответствие найденным наборам поставим элементарные конъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 0, то она будет записана с отрицанием:

K₁: { 0, 0, 1 } — ¬a¬bc
K₂: { 0, 1, 0 } — ¬ab¬c
K₃: { 0, 1, 1 } — ¬abc
K₄: { 1, 0, 1 } — a¬bc
K₅: { 1, 1, 1 } — abc

Объединим конъюнкции с помощью дизъюнкции и получим совершенную дизъюнктивную нормальную форму:

K₁ ∨ K₂ ∨ K₃ ∨ K₄ ∨ K₅ = ¬a¬bc ∨ ¬ab¬c ∨ ¬abc ∨ a¬bc ∨ abc

Построение совершенной конъюнктивной нормальной формы:

Найдём наборы, на которых функция принимает ложное значение: { 0, 0, 0 } { 1, 0, 0 } { 1, 1, 0 }

В соответствие найденным наборам поставим элементарные дизъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 1, то она будет записана с отрицанием:

D₁: { 0, 0, 0 } — a∨b∨c
D₂: { 1, 0, 0 } — ¬a∨b∨c
D₃: { 1, 1, 0 } — ¬a∨¬b∨c

Объединим дизъюнкции с помощью конъюнкции и получим совершенную конъюнктивную нормальную форму:

D₁ ∧ D₂ ∧ D₃ = (a∨b∨c) ∧ (¬a∨b∨c) ∧ (¬a∨¬b∨c)

Построение полинома Жегалкина:

Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1, 3, 5 и 7 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 2, 4, 6 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 3, 5 и 7 строк:

Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 и 2, 5 и 6 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 3 и 4, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1 и 2, 5 и 6 строк:

Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 2, 3 и 4 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 5, 6, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 2, 3 и 4 строк:

Окончательно получим такую таблицу:

Выпишем наборы, на которых получившийся вектор принимает единичное значение и запишем вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора следует записать единицу):

{ 0, 0, 1 } — c, { 0, 1, 0 } — b, { 0, 1, 1 } — bc, { 1, 1, 0 } — ab, { 1, 1, 1 } — abc

Объединяя полученные конъюнкции с помощью операции исключающего или, получим полином Жегалкина: c⊕b⊕bc⊕ab⊕abc

Источник

Данный онлайн калькулятор строит
таблицу истинности
для любого логического выражения. Чтобы начать, введите логическое выражение в поле ввода.

Калькулятор поддерживает следующие логические операции:

Логическая операция «не» (отрицание, инверсия)

Данная операция обозначается символом
. Для её ввода в наш онлайн калькулятор можно использовать либо символ ¬, либо значок восклицательного знака !. Операция отрицания является унарной (содержит один операнд) и обладает наивысшим приоритетом (выполняется первой) среди логических операций.

Таблица истинности логической операции «не» имеет вид:

Логическое «и» (конъюнкция, логическое умножение)

Данная операция обозначается символом
. Для её ввода в наш онлайн калькулятор можно использовать либо символ ∧, либо два значка амперсанда &&. Операция конъюнкция является бинарной (содержит два операнда).

Таблица истинности логической операции «и» имеет вид:

Логическое «или» (дизъюнкция, логическое сложение)

Данная операция обозначается символом
. Для её ввода в наш онлайн калькулятор можно использовать либо символ ∨, либо два значка ||. Операция дизъюнкция является бинарной.

Таблица истинности логической операции «или» имеет вид:

Логическая операция «исключающее или» (сложение по модулю 2)

Данная операция обозначается символом
. Для её ввода в наш онлайн калькулятор можно использовать либо символ ⊕, либо функцию
.

Таблица истинности логической операции «исключающее или» имеет вид:

Логическая операция «не и» (штрих Шеффера)

Данная операция обозначается символом
. Для её ввода в наш онлайн калькулятор можно использовать либо символ ↑, либо значок |.

Таблица истинности логической операции «не и» имеет вид:

Логическая операция «не или» (стрелка Пирса)

Данная операция обозначается символом
. Для её ввода в наш онлайн калькулятор можно использовать либо символ ↓, либо функцию
.

Таблица истинности логической операции «не или» имеет вид:

Логическая операция «эквивалентность»

Данная операция обозначается символом
. Для её ввода в наш онлайн калькулятор можно использовать либо символ ⇔, либо конструкцию <=> (знак меньше, знак равно, знак больше).

Таблица истинности логической операции «эквивалентность» имеет вид:

Логическая операция «исключающее не или»

Данная операция обозначается символом
. Для её ввода в наш онлайн калькулятор можно использовать либо символ ⊙, либо функцию
.

Таблица истинности логической операции «исключающее не или» имеет вид:

Стоит отметить, что таблицы истинности для
бинарных
логических операций «эквивалентность» и «исключающее не или» совпадают. В случае, если указанные операции являются
-арными, их
таблицы истинности различаются. Отметим, что
-арную операцию в наш калькулятор можно ввести только в виде соответствующей функции, например
, и результат такого выражения будет отличаться от результата выражения
. Потому что последнее интерпретируется как
, в то время как в случае с
— операция «эквивалентность» выполняется сразу с учетом всех аргументов.

Логическая операция «импликация»

Данная операция обозначается символом
. Для её ввода в наш онлайн калькулятор можно использовать либо символ ⇒, либо конструкцию => (знак равно, знак больше).

Таблица истинности логической операции «импликация» имеет вид:

При формировании таблицы истинности сложного (составного) логического выражения необходимо использовать представленные выше таблицы истинности соответствующих логических операций.

Источник

Список литературы

Создать список литературы
Список источников
Примеры списков
Готовые списки литературы
История списков литературы
Список издательств
Список авторов

Генератор кроссвордов

Генератор кроссвордов online
Готовые кроссворды
История созданных кроссвордов

Генератор титульных листов

Создать титульный лист
История титульных листов

Таблица истинности ONLINE

Построение таблицы истинности
История таблиц истинности

Прочие ONLINE сервисы

Решение транспортной задачи
Решатель задач (бета)
- Матричные вычисления (сложение, вычитание, умножение)
- Транспортная задача

Построение таблицы истинности

Было построено: 154438 таблиц по формулам и 5698 по векторам

Для ввода с клавиатуры воспользуйтесь следующими клавишами:

Клавиша	Оператор	Название (по клику покажет справку)
!	¬	Отрицание (НЕ)
\|	\|	Штрих Шеффера (И-НЕ)
#	↓	Стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ)
*	∧	Конъюнкция (И)
+	∨	Дизъюнкция (ИЛИ)
^	⊕	Исключающее ИЛИ, сумма по модулю 2 (XOR)
@	→	Импликация (ЕСЛИ-ТО)
%	←	Обратная импликация
=	≡, ~	Эквивалентность (РАВНО)

Формула
Вектор
← Backspace

¬
∧
∨
→
←
≡
⊕
|
↓
(
)
Панель переменных

a
a₁
a₂
a₃
a₄
a₅

b
b₁
b₂
b₃
b₄
b₅

c
c₁
c₂
c₃
c₄
c₅

d
d₁
d₂
d₃
d₄
d₅

e
e₁
e₂
e₃
e₄
e₅

x
x₁
x₂
x₃
x₄
x₅

y
y₁
y₂
y₃
y₄
y₅

z
z₁
z₂
z₃
z₄
z₅

Обратите внимание, что запись abcd∨def в вашем задании обозначает, что между переменными abcd и def стоит знак ∧, который опускается.
То есть, данная запись эквивалентна записи (a∧b∧c∧d)∨(d∧e∧f).
Запись abcd обозначает, что отрицание распространяется на все четыре переменные.
В форму это нужно вводить так: ¬(a∧b∧c∧d).

Настройки:

Делать замену с abcd∨def на (a∧b∧c∧d)∨(d∧e∧f)

Вывод промежуточных таблиц для таблицы истинности

Выводить схемы

Построение СКНФ

Построение СДНФ

Построение полинома Жегалкина


Код на картинке[зарегистрируйтесь, чтобы не вводить]*

Вход на сайт

Нажмите для авторизации

Информация

Полезная информация
FAQ
О создателях / Контакты

В нашем каталоге

Теоретическая механика: Тарг С.М. 1989
Физика: Чертов для заочников (решебник)
Физика: Прокофьев (решебник)
Химия: Шиманович мет. 2003г. (решебник)

Околостуденческое

Полезные файлы

Источник

Математическая логика по-шагам

Использовать символическую логику и алгебру логики
Расставлять скобки в выражении, учитывая приоритет операций
Упрощать логические выражения
Строит таблицу истинности для введённых формул
Найти нормальные формы логического выражения:
- Конъюнктивную нормальную форму (КНФ), в том числе совершенную
- Дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ), в том числе совершенную

Примеры логических выражений

С применением отрицания
```
(A⇒B)⇒¬(B⇒A)
```
Сложение логических выражений
```
(A⊕B)∨(A⊕C)
```
Со знаком «эквивалентно»
```
(A⇒B)∨(B⇔C)
```
Со знаком «следствие»
```
((A⇒B)⇒(A|C))⇒(¬B⇒¬C)
```
Не-или
```
(A⇒B)∧(A↓C)
```
С применением конъюкции и дизъюнкции
```
(A∨B)∨C ⇒ (A∨B)∧(A∨C)
```
С применением Не-и и Не-или
```
0↓1|a|b|c|1↓0
```

Поддерживаемые символы в логических выражениях

Здесь указаны символы, которые стоит указывать при вводе логической формулы в калькулятор

¬a: — отрицание
a⇒b: — импликация
a∧b: — конъюкция
a∨b: — дизъюнкция
a⇔b: — эквиваленция
a⊕b: — сложение по модулю 2 (
Исключающее или)
a|b: — Не-и (штрих Шеффера)
a↓b: — Не-или (стрелка Пирса)
a⊙b: — XNOR gate (
Исключающее ИЛИ с инверсией)

В калькуляторе вы можете упростить выражения, содержащие следующие операции:
NOT, XOR, AND, OR, NAND, NOR, NOT, XNOR

Источник

Редактор схемы логических элементов

Размеры графического полотна

Инструкция к сервису

Булевы функции

Отрицание, ¬

Конъюнкция, &

Дизъюнкция, v

Сумма по модулю 2, x⊕y

Стрелка Пирса, x↓y

Эквивалентность, x↔y

Импликация, x→y

Штрих Шеффера, x|y

Основные равносильности логики высказываний

Минимизация булевых функций

Метод карт Карно

Минимизая функции через равносильные преобразования

Алгоритм минимизии логической функции

Алгоритм Куайна построения сокращенной ДНФ

Построение логической схемы по таблице истинности

Список литературы

Построение таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина.

Как пользоваться калькулятором

Видеоинструкция к калькулятору

Используемые символы

Обозначения логических операций

Что умеет калькулятор

Что такое булева функция

Что такое таблица истинности?

Логические операции

Таблица истинности логических операций

Как задать логическую функцию

Способы представления булевой функции

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (КНФ)

Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)

Алгоритм построения СДНФ для булевой функции

Алгоритм построения СКНФ для булевой функции

Алгоритм построения полинома Жегалкина булевой функции

Примеры построения различных представлений логических функций

Построение совершенной дизъюнктивной нормальной формы:

Построение совершенной конъюнктивной нормальной формы:

Построение полинома Жегалкина:

Логическая операция «не» (отрицание, инверсия)

Логическое «и» (конъюнкция, логическое умножение)

Логическое «или» (дизъюнкция, логическое сложение)

Логическая операция «исключающее или» (сложение по модулю 2)

Логическая операция «не и» (штрих Шеффера)

Логическая операция «не или» (стрелка Пирса)

Логическая операция «эквивалентность»

Логическая операция «исключающее не или»

Логическая операция «импликация»

Список литературы

Генератор кроссвордов

Генератор титульных листов

Таблица истинности ONLINE

Прочие ONLINE сервисы

Построение таблицы истинности

Было построено: 154438 таблиц по формулам и 5698 по векторам

Вход на сайт

Информация

В нашем каталоге

Околостуденческое

Математическая логика по-шагам

Примеры логических выражений

Поддерживаемые символы в логических выражениях