Как составить математическую модель задачи на скорость

Скачать материал

Скачать материал

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Задачи на движение.
  Математические модели
  «Текстовые задачи по математике», 9 класс.
  Дистанционный курс

• 

  2 слайд

  Задачи на движение обычно содержат следующие величины:
  – время,
  – скорость,

  – расстояние.
  Уравнения, связывающее эти три величины:
  vt
  S
  =
  v
  S
  t
  =
  t
  S
  v
  =
  v
  S
  t

• 

  3 слайд

  1. Скорость рейсового трамвая новой конструкции на 5 км/ч больше, чем скорость прежнего трамвая, поэтому он проходит маршрут в 20 км на 12 мин быстрее, чем трамвай старой конструкции. За какое время новый трамвай проходит этот маршрут?
  х + 5
  Старый
  трамвай
  Новый
  трамвай
  20
  х
  v,
  км/ч
  20
  t,
  ч
  S,
  км
  справка
  Это условие поможет ввести х …
  20
  х
  20
  х+5
  12
  60
  ч
  1
  5
  ч
  Чтобы найти время надо расстояние разделить на скорость

  t =
  
  S
  v
  на
  <
  1 способ
  2 способ
  3 способ
  Из большей величины вычтем , уравняем с меньшей величиной
  
  Из большей величины вычтем
  меньшую, разность равна
  
  К меньшей величине прибавим , уравняем с большей величиной
  
  =
  20
  х+5
  20
  х
  –
  1
  5
  1
  5
  20
  х+5
  20
  х
  + =
  1
  5
  20
  х+5
  20
  х
  – =
  1
  5
  1
  5
  1
  5
  Реши любое уравнение самостоятельно

• 

  4 слайд

  2. Водитель междугороднего автобуса вынужден был по дороге заправить автобус горючим, затратив на это 12 мин. Чтобы прибыть в конечный пункт вовремя, он увеличил скорость автобуса на 15 км/ч и ликвидировал опоздание на перегоне в 60 км. С какой скоростью двигался автобус на этом перегоне?
  х +15
  х
  v,
  км/ч
  t,
  ч
  S,
  км
  справка
  Это условие поможет ввести х …
  60
  х
  60
  х+15
  12
  60
  ч
  1
  5
  ч
  Чтобы найти время надо расстояние разделить на скорость

  t =
  
  S
  v
  на
  <
  1 способ
  2 способ
  3 способ
  Из большей величины вычтем , уравняем с меньшей величиной
  
  Из большей величины вычтем
  меньшую, разность равна
  
  К меньшей величине прибавим , уравняем с большей величиной
  
  =
  60
  х+15
  60
  х
  –
  1
  5
  1
  5
  60
  х+15
  60
  х
  + =
  1
  5
  60
  х+15
  60
  х
  – =
  1
  5
  1
  5
  1
  5
  По
  расписанию
  С увеличен.
  скоростью
  60
  60
  Реши любое уравнение самостоятельно

• 

  5 слайд

  3. По расписанию поезд должен пройти перегон в 120 км с одной и той же скоростью. Однако, пройдя половину перегона с этой скоростью, поезд вынужден был остановиться на 5 мин. Чтобы вовремя прибыть в конечный пункт перегона, машинисту на второй половине перегона пришлось увеличить скорость поезда на 10 км/ч. Определить скорость поезда по расписанию.
  х +10
  х
  v,
  км/ч
  S,
  км
  60
  х
  60
  х+10
  По
  расписанию
  С увеличен.
  скоростью
  60
  60
  Чтобы найти время надо расстояние разделить на скорость

  t =
  
  S
  v
  Остановка
  1
  12
  5 мин
  120
  х
  Время на весь путь
  по расписанию
  Половина перегона, т.е. 60 км
  
  Это условие поможет ввести х …
  t,
  ч
  60
  х
  60
  х+10
  + + =
  1
  12
  120
  х
  1й способ

• 

  6 слайд

  3. По расписанию поезд должен пройти перегон в 120 км с одной и той же скоростью. Однако, пройдя половину перегона с этой скоростью, поезд вынужден был остановиться на 5 мин. Чтобы вовремя прибыть в конечный пункт перегона, машинисту на второй половине перегона пришлось увеличить скорость поезда на 10 км/ч. Определить скорость поезда по расписанию.
  х +10
  х
  v,
  км/ч
  S,
  км
  60
  х
  60
  х+10
  По
  расписанию
  С увеличен.
  скоростью
  60
  60
  5 мин
  t,
  ч
  60
  х
  60
  х+10
  – =
  1
  12
  2й способ
  1
  12
  ч
  Увеличив скорость на второй половине пути, машинист ликвидировал опоздание 5 мин, т.е. время на второй половине перегона на 5 мин меньше.

  
  на
  <
  Закончите решение самостоятельно, выбрав любое из предложенных уравнений.

• 

  7 слайд

  4. Расстояние от города А до города В поезд должен был пройти за
  4 ч 30 мин. По техническим причинам он был задержан с отправлением на 30 мин. Увеличив скорость на 10 км/ч, поезд прибыл в город В вовремя. Найдите расстояние между городами А и В.
  х+10
  4(х+10)
  По расписан.
  Фактически
  4
  х
  v,
  км/ч
  4,5
  t,
  ч
  4,5х
  S,
  км
  Увеличив скорость поезд ликвидировал задержку в 30 мин, т.е. прошел путь на 30 мин быстрее
  не за 4 ч 30 мин, а всего за 4 ч
  
  =
  х
  4,5
  x+10
  4
  Решим задачу с помощью пропорции.
  2й способ
  v,
  км/ч
  t,
  ч
  При увеличении скорости движения
  пропорционально уменьшится время, а это обратно пропорциональная зависимость.
  
  4,5
  4
  =
  х
  x+10
  Закончите решение самостоятельно, выбрав любое из предложенных уравнений.
  1й способ

• 

  8 слайд

  1ч
  В О К З А Л
  С Т А Н И Ц А
  5. Расстояние от станицы до железнодорожной станции равно 60 км. Мотоциклист выехал из станицы на 1 час позже велосипедиста и прибыл на станцию, когда велосипедист был от станицы в 21 км. Найдите скорость велосипедиста, если она была на 18 км/ч меньше скорости мотоциклиста.
  60 км
  21 км

• 

  9 слайд

  1ч
  В О К З А Л
  С Т А Н И Ц А
  5. Расстояние от станицы до железнодорожной станции равно 60 км. Мотоциклист выехал из станицы на 1 час позже велосипедиста и прибыл на станцию, когда велосипедист был от станицы в 21 км. Найдите скорость велосипедиста, если она была на 18 км/ч меньше скорости мотоциклиста.
  60 км
  х +18
  х
  v,
  км/ч
  S,
  км
  21
  х
  60
  х+18
  велосипедист
  мотоциклист
  21
  60
  t,
  ч
  На 1 час
  >
  Это условие поможет ввести х …
  Расстояние в 21 км велосипедист ехал на 1 час дольше, т.е. его время в пути на 1 час больше.

  
  Составь и реши уравнение самостоятельно
  21 км

• 

  10 слайд

  6. Из села в город, к которому ведет дорога длиной 120 км, выехала легковая автомашина. Через 30 мин из города в село выехал грузовик и встретился с легковой автомашиной в 45 км от города. Найдите скорость грузовика, если она меньше скорости легковой автомашины на 5 км/ч.
  С Е Л О
  Г О Р О Д
  120 км
  30мин
  45 км

• 

  11 слайд

  6. Из села в город, к которому ведет дорога длиной 120 км, выехала легковая автомашина. Через 30 мин из города в село выехал грузовик и встретился с легковой автомашиной в 45 км от города. Найдите скорость грузовика, если она меньше скорости легковой автомашины на 5 км/ч.
  С Е Л О
  Г О Р О Д
  120 км
  30мин
  45 км
  х +5
  х
  v,
  км/ч
  S,
  км
  45
  х
  75
  х+5
  грузовик
  автомашина
  45
  75
  t,
  ч
  На ч
  >
  Это условие поможет ввести х …
  Расстояние в 75 км легковая автомашина ехала на 30 мин дольше, т.е. её время в пути на пол часа больше

  
  Составь и реши уравнение самостоятельно
  1
  2

• 

  12 слайд

  Задачи для самостоятельной работы.

  1.

  Некоторую часть дня автобус работает в режиме экспресса. При этом его рейсовая скорость увеличивается на 8 км/ч, а время, затраченное на маршрут в 16 км, сокращается на 4 мин. За какое время проходит этот маршрут автобус в режиме экспресса?

  2.

  За 70 км до конечной станции поезд опаздывал на 10 мин. Чтобы прийти в пункт назначения вовремя, машинист увеличил скорость на 10 м/ч. С какой скоростью шел поезд последние 70 км?

  3.

  Турист отправился на автомашине из города А в город В. Первые 75 км он ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей, чем рассчитывал, а остальной путь со скоростью, на 10 км/ч большей, чем рассчитывал. В город В, который удалён на 180 км, турист прибыл вовремя. С какой скоростью он ехал в конце пути?

• 

  13 слайд

  Форма для поверки ответов.
  max 10
  Задача 1.
  Задача 2.
  Задача 3.
  Задача 1.
  Задача 2.
  Задача 3.
  Уравнения
  Задачи для самостоятельной работы
  Задача 4.
  Задача 5.
  Задача 6.
  или
  мин
  км/ч
  км/ч
  км
  км/ч
  км/ч
  км/ч
  Задача 6 имеет два решения.
  мин
  км/ч
  км/ч

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 266 805 материалов в базе

• Выберите категорию:

• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:

• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

• Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Основы туризма и гостеприимства»

• Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС технических направлений подготовки»

• Курс повышения квалификации «Этика делового общения»

• Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

• Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

• Курс повышения квалификации «Психодинамический подход в консультировании»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности помощника-референта руководителя со знанием иностранных языков»

• Курс профессиональной переподготовки «Техническая диагностика и контроль технического состояния автотранспортных средств»

1 этап (составление математической модели) в задачах на движение

Мы уже знаем, что рациональные уравнения могут служить моделями реальных ситуаций. Но раньше эти ситуации сводились к линейным уравнениям. Сейчас мы рассмотрим ситуации, которые сводятся к решению квадратных уравнений.

Рассмотрим задачу на движение.  

Задача 1

Перегон в 60 км поезд должен был проехать с постоянной скоростью за определенное расписанием время. Простояв у семафора перед перегоном 5 минут, машинист вынужден был увеличить скорость прохождения перегона на 10 , чтобы наверстать к окончанию прохождения перегона потерянные 5 минут. С какой скоростью должен был пройти поезд перегон по расписанию?

Решение:

Решение задачи сводится к нескольким этапам.       

1 этап – Составление математической модели

По расписанию: пусть  – скорость поезда по расписанию. Длина перегона: . Для равномерного прямолинейного движения верна формула:

Тогда время, за которое поезд должен был пройти перегон по расписанию, выражается следующим образом: .

Фактически: скорость поезда была увеличена, то есть была равна . Длина перегона осталась той же: .

Тогда время, за которое поезд реально проехал перегон, выражается следующим образом: .

Разность между временем по расписанию и фактическим временем и равна тем 5 минутам, которые простоял поезд на семафоре. Кроме того, важно помнить, что поскольку все величины в задаче измеряются в километрах и часах, то и минуты необходимо перевести в часы. Важно помнить, что . Получаем следующее уравнение:

2 этап (работа с математической моделью) в задачах на движение

2 этап – Работа с математической моделью

Решим полученное уравнение: . Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, а затем приведем их к общему знаменателю.

Умножим обе части уравнения на , получим:

Данное уравнение эквивалентно следующей системе:

Выпишем коэффициенты первого уравнения: . Вычисляем дискриминант: .

Тогда корни уравнения будут следующими: . Оба этих числа удовлетворяют второму неравенству нашей системы.

3 этап (ответ на поставленный вопрос) в задачах на движение

3 этап – Ответ на вопрос задачи

Так как за  мы обозначали скорость, а скорость не может быть отрицательной, то единственным вариантом ответа остается 80 .

Ответ: .

Таблица для решения текстовых задач

Выполнив все три этапа, мы: получили математическую модель; решили полученное уравнение; отобрали корни, которые нам нужны.

Как видно из решения данной задачи, самый сложный этап – составление математической модели.

В этом может помочь следующая таблица (в нашей задаче 1 участник – поезд, но 2 случая: фактическое движение и движение по расписанию):

Данная таблица помогает осмыслить задачу и составить соответствующее уравнение.

Пример решения задачи на движение по реке

Рассмотрим еще один пример.

Задача 2

Пристани А и В расположены по реке, причем В на 80 км ниже по течению, чем А. Катер прошел путь из А в В и обратно за 8 часов 20 минут. За какое время катер проходит путь из А в В и за какое – из В в А, если его скорость в стоячей воде равна ?

Решение

Пусть  – скорость течения реки, тогда:

 – скорость по течению реки;

 – скорость против течения реки.

Путь, который проходит катер между пристанями, равен . То есть, .

Тогда время, которое затратит катер на движение по течению реки, равно:

Против течения:

Общее время вычисляется по формуле:

.

Получаем следующее уравнение:

Это уравнение легко решается (переносим все выражения в левую часть, приводим их к общему знаменателю):

Так как скорость течения не может быть отрицательной, то скорость течения равна .

Тогда время, которое катер потратил на движение по течению реки: .

А время, которое катер потратил на движение против течения реки: .

Составим таблицу для данной задачи:

С помощью этой таблицы также можно легко составить уравнение для решения данной задачи.

На этом уроке мы научились составлять математические модели для задач на движение.

На следующем уроке мы научимся моделировать и другие текстовые задачи.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Easyen.ru (Источник).
2. Mmmf.msu.ru (Источник).
3. Pedsovet.su.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Из пункта А вышел пешеход, а через 1 час 40 минут после этого в том же самом направлении выехал велосипедист, который догнал пешехода на расстоянии 12 км от пункта А. Найдите скорости пешехода и велосипедиста, если за 2 часа пешеход проходит на 1 км меньше, чем велосипедист проезжает за 1 час.
2. Велосипедист съездил из села на станцию и вернулся назад. На обратном пути он увеличил скорость на 1  в сравнении с движением на станцию и потратил на него на 8 минут меньше. С какой скоростью ехал велосипедист на станцию, если расстояние между селом и станцией 32 км?
3. Катер проплыл 9 км по течению реки и 1 км против течения за то же время, за какое плот проплывает 4 км по этой реке. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера равна ?

Наибольшую сложность в процессе решения
текстовой задачи представляет перевод текста с
естественного языка на математический. Чтобы
облегчить эту процедуру, строят вспомогательные
модели – схемы, таблицы, краткие записи и др.
Тогда процесс решения задачи можно
рассматривать как переход от одной модели к
другой: от словесной модели реальной ситуации,
представленной в задаче, к вспомогательной (от
неё – к математической, на которой и происходит
решение задачи) [2, с. 85].

Моделирование является неотъемлемой частью
каждого урока математики. Применяют модель в том
случае, чтобы ученикам было проще воспринимать
какой-либо предмет или ситуацию, которая описана
в задаче. У школьников не возникает страха
самостоятельно начать анализ задачи; если что-то
не получается, они используют другую модель,
повторно анализируют задачу.

Модель способствует правильному ходу мыслей
ребенка. При самостоятельной работе над задачей
прием моделирования помогает ученику быть более
активным, успешным, не боятся трудностей, которые
появляются на пути. Каждый ученик имеет свою
индивидуальность, поэтому именно он выбирает
собственный путь рассуждения, моделирования и
решения задач.

В четвёртых классах очень подробно изучаются
различные виды движения двух объектов: движение
в одном направлении, встречное движение,
движение в противоположных направлениях. При
любом подходе для лучшего понимания к изучению
этого процесса используют метод моделирования,
без которого нельзя освоить все тонкости
математики.

Можно воспользоваться различными видами
моделей при изучении процесса движения, которые
рассматриваются в качестве вспомогательных
моделей.

В начальной школе при решении задач на
движение, в случае, когда задача решается в два и
более действия эффективно применять
вспомогательные модели, которые позволяют
наглядно представить ситуацию, способствуют
осознанному приобретению знаний, умений и
навыков.

В период прохождения практики в МАОУ Лицее № 1
г. Красноярска было проведено анкетирование
на учащихся 4 «В» класса в количестве 21
человек, которое направлено на определение
вспомогательных моделей, используемых самими
учениками при решении текстовых арифметических
задач на движение. На основе результатов
анкетирования были сделаны выводы о том,
большинство обучающихся – 73% от числа
опрашиваемых, применяют схему как основную
вспомогательную модель при решении задач на
движение, что составляет 19 человек.

Для эффективного решения текстовых задач
целесообразней использовать различные виды
вспомогательных моделей. В данном случае краткая
запись неудобна в использовании, т.к. в
определенных ситуациях она не дает возможности
учащимся в необходимой мере представить себе
жизненную ситуацию, отраженную в задаче, уяснить
отношения между величинами в ней, зависимости
между данным и искомым, именно поэтому этот вид
модели не используется обучающимися
4 «В» класса.

Рассмотрим виды моделей, используемые при
решении текстовых задач на движение более
подробно.

1. Таблица

Данная математическая модель помогает
упорядочить все данные в задаче для более
удобного восприятия. Наиболее удачным является
применение таблицы при решении задач на тройку
пропорциональных величин: скорость – время –
расстояние. Таблица используется, когда учащимся
необходимо рассчитать по формуле скорость, время
или расстояние.

Рис. 1

2. Чертёж

Этот вид модели удобно применять, когда
существуют удобные числовые данные в задаче,
позволяющие начертить отрезок заданной длины.
Ученики должны усвоить поэтапное выполнение
чертежа. Представленную модель можно
использовать при решении задач на движение двух
объектов с небольшими числовыми или
пропорциональными данными.

Рис.2

3. Схема

Схему используют на материале обратных задач,
применяемых различными способами. Данная модель
позволяет подняться на довольно высокую степень
абстрактности. Схема используется при решении
задач на движение двух объектов: встречное
движение, движение в одном направлении, движение
в противоположных направлениях, движение
вдогонку.

Рис.3

4. Блок-схема

Данный вид модели применяют в случаи
необходимости разбора задачи аналитическим
способом, начиная с вопроса. Блок-схему лучше
использовать в начале урока при знакомстве с
определенным видом задачи, что позволяет
установить, какой вид задачи рассматривается в
данный момент на уроке. При решении задач на
движение эту модель не используют как
вспомогательную модель к задаче [5, с. 109].

Рис.4

Чтобы свободно решать задачи, обучающийся
должен освоить разные виды моделей, научиться
выбирать модель, которая соответствует
поставленной цели, и переходить от одной формы к
другой.

Построение учащимися разных вспомогательных
моделей к одной и той же задаче ведет к
различному ходу рассуждений и, следовательно,
разным способам решения задачи.

Из приведённых вспомогательных моделей схема
является наиболее удобной при решении проблем по
ряду причин:

• может быть применена при решении задач с
  большими числами;
• может использоваться при решении задач с
  буквами;
• достаточно конкретна и полностью отражает
  внутренние связи и количественные отношения в
  задаче;
• позволяет подняться на довольно высокую
  степень абстрактности.

Библиографический список

1. Федеральный государственный образовательный
   стандарт начального общего образования. 2009 г.
   № 373.
2. Демидова Т.Е. Текстовые задачи и методы их
   решения [Текст] / Т.Е. Демидова, А.П. Тонких.
   М.: Изд-во МГУ, 201 г.
3. Нашахалова Н.В. Графическое моделирование
   текстовых задач на уроках математики в начальной
   школе [Электронный
   ресурс] / Н.В. Нашахалова // Математика:
   науч.-метод. журн. 2016. № 2. Режим доступа:
   https://docviewer.yandex.ru
4. Стойлова Л.П. Теоретические основы
   начального курса математики: учебное пособие для
   студ. Учреждений сред. проф.
   образования / Л.П. Стойлова., М.: Издательский
   центр «Академия», 2014. 272 с.
5. Толочко С.В. Проблемы организации работы с
   текстовыми задачами начальных классов / С.В. Толочко. Текст электронный // Педпортал:
   библиотека материалов для работников школы. URL:
   https://pedportal.net/starshie-klassy/algebra/problemy-organizacii-
   raboty-s-tekstovymi-zadachami-nachalnyh-klassov-1028106 (дата
   обращения: 15.10.2015). Текст: электронный.

Математическое моделирование при решении задач на движение

Составление геометрических моделей

Медведева Галина Валериевна,

Учитель математики

МБОУ Ржавская СОШ

Допущения в задачах на движение Закон прямолинейного и равномерного движения

если нет специальных оговорок, то движение считают прямолинейным и равномерным скорость считается величиной положительной любой переход с одного режима движения на другой считается происходящим мгновенно

х = vt + х0 х – координата тела в момент времени t х0 – координата тела в начальный момент времени v – скорость движения тела

График прямолинейного и равномерного движения тела

1. Тело начинает движение сразу вместе с сюжетом задачи, из начального пункта 2. Тело начинает движение из пункта B, удаленного от О на расстояние х0 3. Тело начинает движение спустя некоторое время t0 от начала сюжета задачи 4. Тело начинает движение вместе с сюжетом задачи из другого пункта, удалённого от начального на х км, во встречном направлении

График прямолинейного и равномерного движения тела

Скорость первого тела в а раз меньше (больше) скорости второго тела S1 = хB – хA S2 = хD – хC S2 = аS1

Задача1. Из пункта А в пункт В выехал грузовик. Через час из пункта А выехал легковой автомобиль. Через 2 часа после выезда он догнал грузовик и прибыл в пункт В на 3 часа раньше грузовика. Сколько времени грузовик ехал от А до В?

Решение:
vа – скорость автомобиля vг – скорость грузовика
vг vа, хг = vг t, ха = vа t + х0

∆AOC ~ ∆FOG → OC : OG = AC : FG = 1 : 3 ∆COE ~ ∆GOD → OE:OD=CO:OG= 1 : 3 ∆AOE ~ ∆FOD → AE : FD = OE : OD = 1 : 3 DF = 9 BF = 12 Ответ. 12 ч.

Задача 2. Из пункта А в пункт В, удаленный от А на 10 км, выехали велосипедист и мотоциклист. Одновременно с ними из пункта В навстречу им вышел пешеход. Когда мотоциклист встретил пешехода, велосипедист отставал от мотоциклиста на 5 км. На сколько километров мотоциклист обгонит велосипедиста в тот момент, когда велосипедист встретит пешехода?

Решение: vп – скорость пешехода, vв – скорость велосипедиста,vм – скорость мотоциклиста,vп vв vм, хм = vм t, хв = vв t, хп = – vп t + 10

BA = 2DC, BA||DC → DС-средняя линия ∆АВЕ → BD = DЕ ∆ ABD = ∆FED → FE = AB →FE = 10 км Ответ. 10 км.

Задача 3. По сигналу дрессировщика два пони одновременно побежали равномерно вдоль внешней окружности арены цирка в противоположных направлениях. Первый пони бежал несколько быстрее второго и к моменту встречи пробежал на 5 м больше, чем второй. Продолжая бег, первый пони подбежал к дрессировщику, остававшемуся на том месте, от которого начали бежать пони, через 9 с после встречи со вторым пони, а второй – через 16 с после их встречи. Какова длина внешней окружности арены цирка?

Решение: v1 – скорость первого пони, v2 – скорость второго пони
v2

∆NOC ~ ∆HOA → NO : HO = NC : HA ∆NOB ~ ∆HOD → NO : HO = BN : HD→ NC : HA = BN : HD → 9 : HA = HA : 16 → HA = 12 NO : (NO + 5) = 9 : 12 → 12NO = 9NO + 45 → NO = 15, НО=20 → NH = 35 Ответ. 35 м.

Литература

1. 3000 конкурсных задач по математике / Е.Д.Кулагин и др. – Изд. 8-е, испр. – М.: Айрис-пресс, 2005.

2. Сборник задач для поступающих во втузы / В.К.Егерев, В.В.Зайцев, Б.А.Кордемский и др.; Под ред. М.И.Сканави. – 6-е изд. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2005.

3. Мясникова Т.Ф. Графическое моделирование в задачах на движение // Математика в школе, 2005. – № 5.

4. Хабибуллин К.Я. Моделирование ситуаций в процессе решения задач на движение // Математика в школе, 2003. – № 8.

5. Мардахаева Е.Л. Геометрические модели и задачи на движение // Математика в школе, 2010. – № 6.

Слайд 1

Построение математической модели задач на движение или работу Подготовила учитель математики МКОУ « Вилинская СОШ № 1» Кулик И. А.

Слайд 2

Заполнение таблиц ( t*v=s, t*p=a) Название Время Производительность (Скорость) Работа (пройденный путь)

Слайд 3

Задача 5 класса (учебник С. М. Никольский № 961) Два печника сложили печь за 16 ч. Известно, что первый из них, работая один, сложил бы печь за 24 ч. За сколько часов второй печник, работая один, сложил бы ту же печь?

Слайд 4

Указание к решению задачи Примите всю работу за 1 . Заполните столбец соответствующий времени работы. Найдите производительность, какую часть печи сложат два печника за 1 час, работая вместе (разделив работу на время). Найдите , какую часть печи сложит первый печник за 1 ч, работая один (разделив работу на время). Вычислите разность между найденными частями. Ответьте на вопрос задачи.

Слайд 5

название время производительность работа 1 печник 24 1 2 печник ? 1 вместе 16 1 Заполняем таблицу

Слайд 6

название время производительность работа 1 печник 24 1/24 1 2 печник ? 1/16-1/24 1 вместе 16 1/16 1 Получаем результат

Слайд 7

Задача 6 класса ( учебник А. Г. Мерзляк № 1206) Пешеход преодолел расстояние между двумя поселками за 7 ч, а всадник – за 3 ч. Найдите скорости пешехода и всадника, если скорость пешехода на 5,6 км/ч меньше скорости всадника.

Слайд 8

Заполняем таблицу название время скорость расстояние пешеход 7 х всадник 3 Х+5,6

Слайд 9

Находим пройденный путь название время скорость расстояние пешеход 7 х 7х всадник 3 Х+5,6 3(х+5,6)

Слайд 10

Из последнего столбца получаем уравнение 1) 7х =3(х+5,6) х=16,8:4 7х =3х+16,8 х=4,2 7х-3х = 16,8 2) 4,2+5,6=9,8 4х=16,8 Ответ: 4,2 и 9,8

Слайд 11

Задача 8 класса ( учебник Ю. Н. Макарычев № 632 ) При совместной работе двух кранов р азгрузку баржи закончили за 6 ч. Сколько времени потребовалось бы каждому крану отдельно для разгрузки баржи, если известно, что первому крану для этого требуется на 5ч больше, чем второму?

Слайд 12

Заполняем таблицу название Время t Производительность Р Работа А 1 кран х+5 1 2 кран х 1 вместе 6 1

Слайд 13

Находим производительность (скорость выполнения работы за единицу времени) название Время t Производительность Р Работа А 1 кран х+5 1/(х+5) 1 2 кран х 1/х 1 вместе 6 1/6 1

Слайд 14

Составим и решим уравнение 1) 1/(х+5)+1/х=1/6 п омножим на 6х(х+5), т. к. х≠0, х≠-5 6х+6(х+5)=х(х+5) 6х+6х+30=х²+5х х²+5х-6х-6х-30=0 х²-7х-30=0 х=-3(не подходит по условию) или х=10(ч) – 2 кр . 2) 10+5=15(ч) – 1 кр . Ответ: 5 ч и 10 ч.

Слайд 15

Задача 9 класса (сборник И. В. Ященко Типовые экзаменационные варианты № 22, вариант 23) Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно с ним из пункта А вышел катер. Дойдя до В катер сразу же развернулся и пошел назад. Какую часть пути от А до В проплывет плот к моменту встречи с катером, если скорость катера в стоячей воде втрое больше скорости течения реки?

Слайд 16

Заполняем таблицу название t v s Плот у х Катер по течению 3у+у 1 Катер против течения 3у-у 1-х

Слайд 17

Находим время затраченное на путь название t v s Плот х/у у х Катер по течению 1/4у 4у 1 Катер против течения (1-х)/2у 2у 1-х

Слайд 18

Составим и решим уравнение х/у=1/4у+(1-х)/2у т.к. у≠0, помножим на 4у 4х=1+2(1-х) 4х=1+2-2х 4х+2х=1+2 6х=3 х=1/2 Ответ: 1/2