Как составить математическую загадку

Математические задачки на сообразительность (с ответами)

Думаете, математические загадки на счет и логику — это только для школьников? Как бы не так! Взрослым также полезно тряхнуть стариной и немного размять мозги при помощи не очень сложных, но интересных и не всегда стандартных загадок на счет.

Готовы проверить себя при помощи 55 вопросов? Если да, то пролистывайте ниже, начинаем решать задачки!

Вопросы всегда будут сопровождаться ответом, который вы увидите ниже. Но только не подглядывать!

1. Какое число получится, если перемножить все цифры на цифровой клавиатуре телефона?

Ответ:

Ноль, потому что любое число, умноженное на 0, всегда будет равно нулю.

2. Где можно прибавить 2 к 11 и получить 1?

Ответ:

На часах.

3. Утка получила 9 долларов, паук — 36 долларов, пчела — 27 долларов. Основываясь на этой информации, сколько денег дадут кошке?

Ответ:

18 долларов (4,50 доллара за лапу).

4. Когда Джошу было 8 лет, его брат был вдвое моложе его. Теперь, когда Джошу 14 лет, сколько лет его брату?

Ответ:

Его брату 10 лет. Половина от 8 равна 4, поэтому брат Джоша на 4 года младше. Когда Джошу 14, его брат все еще на 4 года моложе, так что ему 10.

^{Raghav Modi / unsplash.com}

5. Когда отцу был 31, мне 8. Сейчас он в два раза старше меня. Сколько мне лет?

Ответ:

Разница в возрасте 23 года, поэтому сыну должно быть 23 года, если отец был в два раза старше.

6. Сколько сторон у круга?

Ответ:
Две — внутри и снаружи.

7. Что тяжелее — килограмм железа или килограмм пуха?

Ответ:

Вес их одинаковый.

8. Какая цифра чаще всего встречается между числами от 1 до 1000 включительно?

^{Подсказка: ищите закономерность!}

Ответ:

Самая распространенная цифра — 1! Вы поняли, почему? Каждое число от 1 до 9 встречается ровно одинаковое количество раз в каждых десяти числах. Но поскольку было включено число 1000, цифра 1 появляется в числовом ряде на один раз больше.

Итак, всего цифра 1 встречается 301 раз, в то время как все остальные числа встречаются в ряде по 300 раз.

9. Сколько кирпичей нужно, чтобы построить здание из кирпича?

Ответ:

Только один — «последний».

10. Бита и мяч стоят 1 доллар 10 центов. Бита стоит на один доллар дороже, чем мяч. Сколько стоит мяч?

Ответ:

5 центов.

Если бы мяч действительно стоил 10 центов, то бита, которая дороже его на 1 доллар, стоила бы 1 доллар + 10 центов. Это противоречит условиям задачи. Давайте разберем решение. Допустим, цена мяча — X. Бита стоит на 1 доллар больше — Х + 1. Получаем такое уравнение: Х + (Х + 1) = 1,1, потому что вместе бита и мяч стоят 1,1 доллара. Решаем уравнение:

2X + 1 = 1,1;

2X = 1,1 — 1;

2X = 0,1;

Х = 0,05.

Значит, мяч стоит 5 центов, а бита — 1,05 доллара.

11. Сможете ли вы расставить четыре девятки так, чтобы получилось 100?

Ответ:

99+9/9 = 100.

12. Когда Джону было шесть лет, он забил гвоздь в свое любимое дерево, чтобы отметить свой рост. Десять лет спустя, в возрасте шестнадцати лет, Джон вернулся, чтобы посмотреть, насколько выше был гвоздь. Если бы дерево каждый год росло на пять сантиметров, насколько выше был бы гвоздь?

Ответ:

Гвоздь будет на той же высоте, так как деревья растут с верхушки.

13. Когда Митчу было 6 лет, его младшей сестре Лайле исполнилось полгода. Если Митчу сегодня 40 лет, то сколько лет Лайле?

Ответ:

Ей 37 лет.

^{Michal Matlon / unsplash.com}

14. Вам даны 3 положительных числа. Вы можете сложить эти числа и умножить их вместе. Результат, который вы получите, будет одинаковым в обоих случаях. Какие числа?

Ответ:

1, 2 и 3

1+2+3=6
1*2*3=6
И сложение, и умножение дают один и тот же результат.

15. Позавчера мне было 21, а в следующем году будет 24. Какого дня у меня день рождения?

Ответ:

Если нынешний день 1 января, то день рождения у тебя 31 декабря. Позавчера (30 декабря) тебе было еще 21 год, вчера (31 декабря) исполнилось 22 года, в нынешнем году исполнится 23 года, а в следующем году — 24 года.

16. Прибавь меня к себе и умножь на 4. Раздели меня на 8, и ты снова получишь меня. Какое я число?

Ответ:

Любое число.

17. Как футбольный фанат узнал перед игрой, что счет будет 0:0?

Ответ:

Перед игрой счет всегда 0:0.

18. Если умножить это число на любое другое число, ответ всегда будет один и тот же. Какое это число?

Ответ:

Ноль.

19. Какое следующее число в ряду? 7645, 5764, 4576, …

Ответ:

6 457, потому что последняя цифра перемещается вперед, чтобы получить следующее число в ряду.

20. Что можно поставить между 7 и 8 так, чтобы результат был больше семерки, но меньше восьмерки?

Ответ:

Это 7,8. Оно больше 7, но меньше 8.

21. Если два — компания, а три — толпа, то что такое четыре и пять?

Ответ:

9.

22. Больше часа, меньше минуты

Ответ:

1 секунда.

^{Aron Visuals / unsplash.com}

23. Старая бабушка Адамс оставила половину своих денег внучке и половину этой суммы внуку. Она оставила шестую часть своему брату, а остаток, 1000 долларов, приюту для собак. Сколько всего она оставила?

Ответ:

Хитрость заключается в том, чтобы сосредоточиться не на гипотетических суммах, а на дробях: сложение половины, четверти и одной шестой говорит нам, что сумма составляет долю двенадцати (2+4+6=12). Вы также можете представить это как 6/12, 3/12, 2/12, что равняется 11/12. Если остаток составляет 1000 долларов, это должна быть одна двенадцатая, поэтому общая сумма составляет 12 000 долларов.

24. Вы знаете, что 2 + 2 равно 2×2. Теперь найдите набор из трех различных целых чисел, сумма которых равна их сумме при умножении

Ответ:

Три различных целых числа, сумма которых при умножении равна их сумме, это 1, 2 и 3.

25. Какое число уменьшится на 12 единиц, если его записать и перевернуть лист вверх тормашками?

Ответ:

Ответ 86. Если лист с этим числом перевернуть, то получится 98, что на 12 больше, чем 86.

26. Если бы сейчас было на два часа позже, то до полуночи оставалось бы в два раза меньше времени, чем если бы сейчас было на час позже. Сколько сейчас времени?

Ответ:

21:00. 9 вечера.

27. Женщина идет по улице ночью в постоянном темпе. Когда она проходит мимо уличного фонаря, она замечает, что ее тень становится длиннее. Движется ли верхняя часть ее тени быстрее, медленнее или одинаково, когда тень длиннее, чем когда она короче?

Ответ:

Эта точка сохраняет постоянную скорость, не зависящую от длины тени.

28. У строителя 8 кирпичей. Семь из них весят одинаково, а один немного тяжелее. Как ему, используя весы, найти более тяжелый кирпич за два взвешивания?

Ответ:

Разделим кирпичи на 2 группы: первая группа — 6 кирпичей, вторая группа — 2 кирпича. На каждую чашу весов кладем по 3 кирпича из первой группы. Возможны два варианта после взвешивания:

Перевесит одна из чаш весов.
Весы сохранят равновесие.
В первом случае кладем на каждую чашу весов по одному кирпичу из более тяжелой группы. Если весы сохранят равновесие, то бракованный — третий кирпич из этой группы, если одна из чаш перевесит — бракованный кирпич находится на этой чаше.

Во втором случае кладем на каждую чашу весов по одному кирпичу из второй группы. Перевесит чаша, на которой находится бракованный кирпич.

29. Два мальчика играли в шашки 2 часа. Сколько времени играл каждый мальчик?

Ответ:

2 часа.

30. Мужчина умирает от старости в свой 25-й день рождения. Как это возможно?

Ответ:

Он родился 29 февраля.

^{JD Mason / unsplash.com}

31. Если вы находитесь в 80 сантиметрах от двери и с каждым шагом продвигаетесь на половину расстояния до двери, сколько ходов потребуется, чтобы добраться до двери?

Ответ:

Вы никогда не дойдете до двери, потому что она всегда будет отстоять на половину расстояния, каким бы малым оно ни было.

32. Если на каждый цветок сядет по одной пчеле, то одна пчела останется без цветка, а если на каждый цветок сядет по 2 пчелы, то один цветок останется без пчелы. Сколько цветков и пчел?

Ответ:

4 пчелы и 3 цветка.

33. Если вы идете в кино и берете с собой друзей, дешевле будет сводить одного друга в кино дважды или двух друзей в кино одновременно?

Ответ:

Дешевле взять двух друзей одновременно.

34. В каком месяце 28 дней?

Ответ:

Во всех.

35. Какое число увеличивается и не уменьшается?

Ответ:

Ваш возраст.

36. У вас 4 яблока, вы убираете 3, сколько у вас останется?

Ответ:

Три яблока.

37. Если вы покупаете петуха для несения яиц и рассчитываете получать по три яйца каждый день на завтрак, сколько яиц у вас будет через три недели?

Ответ:

Нисколько, потому что петухи не несут яиц.

^{榮達 陳 / unsplash.com}

38. Мельник пошел на мельницу и увидел в каждом углу по 3 кошки. Сколько ног на мельнице?

Ответ:

3*4*4+2=50

39. 6 человек построили сарай за 9 часов. За какое время построят этот же сарай 12 строителей?

Ответ:

Ни за сколько, потому что он уже построен.

40. У фермера 17 овец, и все, кроме 9, умирают. Сколько осталось?

Ответ:

Девять.

41. Поезд длиной 300 метров движется со скоростью 300 метров в минуту и ​​должен пройти через тоннель длиной в 300 метров. За какое время поезд проедет тоннель?

Ответ:

Две минуты, потому что передней части поезда требуется одна минута, а остальной части поезда потребуется две минуты, чтобы пройти весь тоннель.

42. Я добавляю пять к девяти и получаю два. Ответ правильный, но как?

Ответ:

Когда будет 9 часов вечера, прибавьте к этому 5 часов, и вы получите 2 часа дня.

43. В странном маленьком городке был странный маленький ручеек со странными маленькими рыбками в странной маленькой стае. Незнакомец подошел к местному рыбаку и спросил, сколько весит его странная рыбка. Странный человечек ответил: «Вся рыба в этом ручье весит ровно ½ килограмм плюс ½ рыбы. Разве это не странно?» Сколько килограмм весит странная маленькая рыбка?

Ответ:

Один.

44. Вы положили на стол три спички, а затем попросили друга добавить еще две спички, чтобы получилось восемь. Как он сможет это сделать?

Ответ:

Из двух спичек составьте римскую цифру пять и прибавьте ее к трем, чтобы получилась римская цифра восемь.

45. У девочки столько же братьев, сколько и сестер, только у каждого брата вдвое меньше братьев, чем сестер. Сколько братьев и сестер насчитывает эта семья?

Ответ:

Четыре сестры и три брата.

46. Мужчина в два раза старше своей младшей сестры. Он также вдвое моложе их отца. Через 50 лет возраст сестры станет вдвое меньше возраста их папы. Сколько лет мужчине сейчас?

Ответ:

Ему 50 лет.

47. Если семь человек встретятся друг с другом и каждый пожмет друг другу руку только один раз, сколько будет рукопожатий?

Ответ:

Двадцать одно.

48. Три врача сказали, что Билл их брат. Но Билл утверждает, что у него нет братьев. Сколько же в реальности братьев у Билла?

Ответ:

Ни одного. У него три сестры — врачи по профессии.

49. Как вы можете сделать следующее уравнение верным, проведя только одну прямую линию: 5+5+5 =550. Ты можешь в этом разобраться?

Ответ:

Есть два способа сделать это:

Нарисуйте линию на первом знаке плюс, чтобы превратить его в 4.
Замените символ равенства на перечеркнутый символ равенства, что означает «не равно».

50. В парке 8 скамеек. Три покрасили.
Сколько скамеек стало в парке?

Ответ:

Восемь.

51. Яблоко — 60 копеек, банан — 60 копеек, грейпфрут — 60 копеек. Сколько стоит груша?

Ответ:

120 копеек, потому что цена каждого фрукта рассчитывается путем умножения количества гласных на 20.

52. Анна написала все числа от 300 до 400 на листе бумаги. Сколько раз она написала цифру 3?

Ответ:

120 раз.

53. Сколько раз на протяжении суток минутная и часовая стрелки часов образуют прямой угол?

Ответ:

За 1 час часовая стрелка описывает угол 30°, а за 1 мин. − угол 0,5°. Минутная стрелка за 1 мин. описывает угол 6°. Так как 90 : (6 − 0,5) = 16 (4 / 11), минутная и часовая стрелки образуют прямой угол в первый раз через 16 (4 / 11) мин. после того, как обе будут стоять на 12. Так как n × 16 (4/11) = 24 × 60, мы получаем n = 88 (в это число входят углы в 0°, 90°, 180° і 270°, образованные минутной и часовой стрелками).

54. Расставьте скобки и математические знаки так, чтобы равенство было верным: 9999999 = 100

Ответ:

(99-9):9 + (99-9) = 100;

999/9-99/9=100;

(99-99)* 999 = 10*0 и еще рядом других способов.

^{Drew Beamer / unsplash.com}

55. Что всегда будет находиться перед вами и при этом вам его никогда не увидеть?

Ответ:

Ваше будущее.

^{Источник статьи: 102 Math Riddles To Exercise Your Brain}

Муниципальное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №154 г.Челябинска»

Проект

по Математике

Математические
задачи и загадки

Выполнил: Багиров
Валерий, 7 Б класс

Руководитель: учитель математики Мелкумян Е.С.

г. Челябинск

2018 год

Содержание:

Цели
и Задачи………………………………………………….……….…….3

Введение……………………………………………………………………….4

1.   Математические
задачи и загадки : простые и впечатляющие вычисления…..………………………………………………………………………………….5

1.1.      
Мгновенное умножение………………………………………………5

1.2.      
Угадать задуманное число……………………………………………5

1.3.      
Волшебная таблица……………………………………………………6

1.4.      
Любимая цифра…………………………………………………….…7

1.5.      
Столкновение ракет……………………………………………………7

2.   Фокусы
с матрицами………………………………………..…………..……7

3.   Логические
задачи..………………….………………………………………….9

3.1.       Перепутанные
таблички………………………………………………9

3.2.       Двое
детей…………………………………………………………….10

4.   Парадоксы
теории вероятностей……………………………….…………..11

5.   Геометрические
задачи……..……………………………………….…….. 12

6.   Математические
софизмы………………………………………………. …13

7.   Заключение………………………………………………….…………..…
.16

8.   Список
литературы…………………………………………………….… ..17

Цель
проекта

Исследование
математических задач и загадок.

Задачи
проекта

1.                
Изучить
литературу по данному вопросу и интернет ресурсы.

2.                
Выбрать
и обобщить наиболее интересные, увлекательные математические задачи и загадки.

3.                
Продемонстрировать
выбранные математические задачи и загадки в классе.

4.                
Доказать,
что математика – это увлекательная и занимательная  наука.

Объект
исследования:

Математические задачи
и загадки, основанные на свойствах чисел, действий, математических законах,
уравнениях.

Методы
исследования:

Изучение, анализ,
практическое применение полученных знаний.

Новизна проекта:

Новизна данного
проекта заключается в следующем: математические загадки  редко применяются в
обучении математики и для привлечения внимания учеников к данному предмету.

Данный проект
призван привлечь внимание учеников к изучению математики.

Практическая
значимость проекта:

 1.
Математические задачи и загадки помогают развивать память, устный счет,
сообразительность, способность мыслить логически;

2. В результате
привлечения внимания учеников к математике должна повыситься их
заинтересованность в данном предмете и успеваемость.

Введение

«Предмет математики настолько серьезен,
что полезно не упускать случаев
делать его немного занимательным»

Б. Паскаль

Математическая
загадка — это задача занимательной математики с игровыми
элементами (правилами возможных
действий, иногда — сюжетом), требующая в большей степени
сообразительности, нежели математической подготовки или специальных знаний. Элемент
игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму
головоломки, состязания, фокуса, загадки, ошибочного рассуждения или обычной
математической задачи с «секретом» — каким-либо неожиданным или
забавным поворотом мысли. Занимательная математика помогает людям, далеким в
своей повседневной жизни от математического мышления через загадки и
головоломки, постичь дух истинной математики, она пробуждает в них
наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы и драгоценную
способность к восприятию прекрасного.

Математические задачи и загадки – это
эксперименты, основанные на математике, на свойствах фигур и чисел, и лишь
обличенные в экстравагантную форму. И понять суть того или иного эксперимента –
это значит понять пусть небольшую, но математическую закономерность.

1.               
Математические
задачи и загадки: простые и впечатляющие вычисления

Можно производить математические действия в уме быстрее, чем вы
могли бы себе представить, при хорошей практике – быстрее калькулятора. Можно
значительно улучшите свою память на числа. Зная способы делать быстрые
вычисления, можно продемонстрировать математические фокусы, которые поразят
ваших друзей и учителей. К тому же вы поймете, что математика – это 
увлекательная наука.

1.1.          
Мгновенное умножение

Давайте начнем с одной из
простых задач: как умножать в уме любое двузначное число на 11. Это
очень легко, если вы знаете секрет. Представьте следующую задачу:

32 х 11=

Для ее решения нужно просто
сложить цифры 3 + 2 = 5, а затем поместить пятерку между двойкой и
тройкой.

Вот и наше решение: 352

Что может быть легче? Теперь
попробуйте

53 х 11=

Поскольку 5 + 3 = 8,
ответ достаточно прост:

583

Еще пример. Не подглядывая и
не записывая, скажите, чему равно:

81 х 11?

У вас получилось 891?

Это лишь половина того, что
необходимо знать. Допустим, задача такая:

85 х 11

Несмотря на то, что 8 + 5 =
13, ответ НЕ 8135!

Как и прежде цифра 3 ставится
между цифрами 8 и 5, но 1 добавляется к цифре 8 для получения правильного
ответа 935.

Представляйте задачу следующим
образом:

1

835

935

Вот еще пример. Попробуйте
перемножить 57 х 11.

Так как 5 + 7 = 12, ответ:

1

527

627

Теперь ваша очередь. Как можно
быстрее, подсчитайте, сколько будет 77 х 11?

Если вы получили ответ 847,
можете себе поаплодировать.

1.2.          
Угадать
задуманное число

Фокусник
предлагает кому-нибудь из учащихся написать на листе бумаги любое трехзначное
число. Далее приписать к нему это же число еще раз. Получится шестизначное
число. Передать лист соседу, пусть он разделит это число на 7. Передать
листочек дальше, пусть следующий ученик разделит полученное число на 11. Снова
передать результат дальше, следующий ученик пусть разделит полученное число на
13. Затем передать листочек “фокуснику”. Он может назвать задуманное число.

Ответ:
Когда мы к трехзначному числу приписали такое же число, то мы тем самым
умножили его на 1001, а затем, разделив последовательно на 7, 11, 13, мы
разделили его на 1001, то есть получили задуманное трехзначное число.

1.3.          
Волшебная
таблица

На
доске или экране таблица, в которой известным образом в пяти столбцах записаны
числа от 1 до 31. Фокусник предлагает присутствующим задумать любое число из
этой таблицы и указать, в каких столбиках таблицы находится это число. После
этого он называет задуманное вами число.

Рис.1

Ответ:
Например, вы задумали число 27. Это число находится в 1-ом, 2-ом, 4-ом и
5-ом столбиках. Достаточно сложить числа, расположенные в последней строке
таблицы в соответствующих столбиках, и получим задуманное число. (1+2+8+16=27).

1.4.          
Любимая
цифра

Любой
из присутствующих задумывает свою любимую цифру. Фокусник предлагает ему
выполнить умножение числа 15873 на любимую цифру, умноженную на 7. Например,
если любимая цифра 5, то пусть умножит на 35. Получится произведение,
записанное только любимой цифрой. Возможен и второй вариант: умножить число
12345679 на любимую цифру, умноженную на 9, в нашем случае это число 45.

Ответ:
если умножить 15873 на 7, то получится 111111, а если умножить 12345679 на
9, то получится 111111111.

1.5.         
Столкновение ракет.

Две ракеты летят навстречу друг другу, одна — со
скоростью 9000 миль/час, а другая — со скоростью 21 000 миль/час. Их стартовые
площадки находятся на расстоянии 1317
миль одна от другой. Не пользуясь карандашом и бумагой, подсчитайте, какое
расстояние будет между ракетами за минуту до столкновения.

2.       Фокусы
с матрицами

Магические квадраты занимают
воображение математиков уже более двух тысячелетий. В традиционном магическом
квадрате суммы чисел в каждом столбце, каждом ряду и по каждой диагонали
одинаковы. Совершенно иной тип магического квадрата изображен на рис. 2.

Рис. 2

На первый взгляд может
показаться, что он составлен без всякой системы и числа в нем расположены
случайным образом.

Тем не менее, этот квадрат
обладает магическим свойством, вызывающим удивление не только у человека,
далекого от науки, но и у профессионала-математика.

Это свойство лучше всего
демонстрировать с помощью пяти монет и 20 бумажных фишек. Попросите кого-нибудь
выбрать любое из чисел, вписанных в клетки квадрата. Положите на это число
монету и закройте фишками все остальные числа, стоящие в одной строке и одном
ряду с выбранным.

Попросите теперь того же
человека выбрать любое из чисел, вписанных в незакрытые еще клетки, положите на
выбранное число другую монету, а числа, стоящие в той же строке и в том же
столбце, что и выбранное во второй раз число, снова закройте фишками. Повторив
эту процедуру еще два раза, вы обнаружите, что незакрытой осталась лишь одна
клетка. Положите на эту клетку пятую монету.

Если теперь вычислить сумму
чисел, накрытых монетами (напомним, что на первый взгляд числа кажутся
выбранными наудачу), то она будет равна 57. Это не случайно: сколько бы вы ни
повторяли эксперимент, сумма всегда будет одной и той же.

Если вы любите решать
математические головоломки, то можете остановиться на этом месте, чтобы
попытаться самостоятельно раскрыть секрет удивительного квадрата.

Этот фокус, как и многие
другие, после объяснения оказывается до смешного простым. Квадрат представляет
собой не что иное, как самую обычную таблицу сложения, правда, составленную
весьма замысловатым образом. Строится такая таблица с помощью двух наборов
чисел: 12, 1, 4, 18, 0 и 7, 0, 4, 9, 2. Сумма всех этих чисел равна 57. Написав
числа первого набора над верхней строкой квадрата, а числа второго набора слева
от самого левого столбца, вы сразу же поймете, как получаются числа в клетках
квадрата (рис. 3).

Рис. 3

Так, число в левом верхнем углу
(стоящее на пересечении первой строки и первого столбца) равно сумме чисел 12 и
7. Точно так же получаются и все остальные числа: для того чтобы узнать, какое
число следует вписать в ту или иную клетку, нужно просто вычислить сумму чисел,
стоящих у той строки и того столбца, на пересечении которых находится
интересующая нас клетка.

Совершенно аналогичным образом
можно построить магический квадрат любого размера с любыми числами. Сколько
клеток в квадрате и какие числа выбраны для его построения, никакой роли не
играет. Числа в исходных наборах могут быть положительными или отрицательными,
целыми или дробными, рациональными или иррациональными. Получившаяся таблица
всегда будет обладать волшебным свойством: проделав описанную выше процедуру с
монетами и фишками, вы всегда получите сумму чисел, входящих в оба исходных
набора. В частности, в рассмотренном нами случае можно было взять любые восемь
чисел, дающих в сумме 57.

Теперь уже нетрудно понять
основную идею фокуса. Число, стоящее в любой клетке квадрата, равно сумме
каких-то двух чисел в исходных наборах. Положив монету на выбранное число, вы
тем самым как бы вычеркиваете эти два числа. Каждая новая монета кладется на
пересечение другой строки с другим столбцом, поэтому пяти монетам соответствует
сумма пяти пар выбранных нами исходных чисел, которая, разумеется, равна сумме
всех десяти исходных чисел.

Один из наиболее простых
способов построить таблицу сложения с помощью квадратной матрицы заключается в
следующем. Впишем в левый верхний угол 1 и будем продолжать нумерацию клеток
слева направо последовательными целыми положительными числами. Заполненную
матрицу 4×4 можно рассматривать как таблицу сложения для двух наборов чисел: 1,
2, 3, 4 и 0, 4, 8, 12 (рис. 4).

Рис. 4

Сумма чисел, оказавшихся под
монетками, в такой матрице всегда будет равна 34.

Получающаяся сумма,
разумеется, зависит от размеров квадрата. Если число клеток, умещающихся вдоль
стороны квадрата, обозначить через n, то сумма будет равна —

Квадраты с нечетным n дают
сумму, равную произведению n и числа, стоящего в центральной
клетке. Если нумерацию клеток начать с числа а, большего 1, и
продолжать по порядку, то сумма окажется равной.

3.       Логические
задачи

Если для решения головоломки требуется лишь
умение логически мыслить и совсем не нужно производить арифметические выкладки,
то такую головоломку обычно называют логической задачей. Логические
задачи, разумеется, относятся к числу математических, поскольку логику можно
рассматривать как очень общую, фундаментальную математику. Все же логические задачи
удобно выделить и изучать отдельно от их более многочисленных арифметических
сестер. В этой главе мы рассмотрим в общих чертах три широко распространенных
типа логических задач и постараемся выяснить, как следует подходить к их
решению.

3.1. Перепутанные таблички.

Представьте себе, что у вас есть три коробки. В
одной лежат два черных шара, во второй — два белых и в третьей — один черный
шар и один белый. На коробках в соответствии с их содержимым были надписи ЧЧ,
ЧБ и ББ, но кто-то их перепутал, и теперь на каждой коробке стоит надпись, не
соответствующая содержимому. Чтобы узнать, какие шары лежат в каждой из трех
коробок, разрешается вынимать по одному шару из коробки и, не заглядывая внутрь,
возвращать его обратно. Какое минимальное число шаров нужно вынуть, чтобы с
уверенностью определить содержимое всех коробок?

Ответ: Узнать содержимое
всех коробок можно, вынув всего лишь один шар. Ключ к решению кроется в том,
что все таблички на коробках не соответствуют их содержимому, и вы об этом
знаете.

Предположим,
что шар извлекается из коробки с надписью «ЧБ».

Пусть
вынут черный шар. Тогда вам ясно, что второй шар также черный, иначе табличка
была бы правильной. Но раз вы нашли коробку с двумя черными шарами, вы сразу же
можете назвать содержимое коробки с этикеткой «ББ»: в ней не могут
находиться два белых шара, иначе табличка соответствовала бы содержимому
коробки; в ней не могут находиться и два черных шара, поскольку вы уже нашли
коробку с двумя черными шарами; таким образом, в ней должны быть один черный и
один белый шар. В третьей коробке, естественно, должны быть два белых шара.
Аналогичным образом задача решается и в том случае, если шар, вынутый из
коробки с надписью «ЧБ», оказался не черным, а белым.

3.2. Двое детей.

У
мистера Смита двое детей. По крайней мере, один из них мальчик. Какова
вероятность того, что оба ребенка мистера Смита — мальчики?

У
мистера Джонсона двое детей. Старший ребенок девочка. Какова вероятность того,
что оба ребенка мистера Джонсона — девочки?

Ответ: Если у Смита двое
детей и по крайней мере один из них мальчик, то мы имеем три равновероятных
случая:

мальчик — мальчик,

мальчик — девочка,

девочка — мальчик.

Только в одном из них оба
ребенка — мальчики, следовательно, вероятность того, что у Смита два сына,
равна 1/3.

В случае Джонса ситуация иная.
Из условия задачи нам известно, что старший ребенок девочка. Это ограничивает
число возможных случаев лишь двумя равновероятными исходами:

девочка — девочка,

девочка — мальчик.

Следовательно, вероятность
того, что у Джонса две девочки, равна 1/2.

4.       Парадоксы
теории вероятностей

Теория
вероятностей представляет собой область математики, необычайно богатую
парадоксами — истинами, настолько противоречащими здравому смыслу, что поверить
в них трудно даже после того, как правильность их подтверждена
доказательством. 

Чарлз Сандерс Пирс как-то
сказал, что ни в одной другой области математики специалист не ошибается так
легко, как в теории вероятностей. История подтверждает справедливость этого
замечания.

Так, Лейбниц считал, что число
12 при бросании двух игральных костей выпадает также часто, как и число 11.
Великий французский математик XVIII века Даламбер полагал, что результаты
троекратного бросания одной монеты отличаются от результатов бросания трех
монет одновременно, и был убежден, что после длинной серии «орлов»
вероятность выпадения «решки» повышается (эту уверенность многие
любители азартных игр разделяют и поныне).

В наше время теория вероятностей
дает на столь простые вопросы ясные и четкие ответы, но при выполнении одного
непременного требования: в условии задачи должно быть точно определено, каким
именно способом следует производить соответствующие испытания. Всякого рода
неточности и умолчания служат причиной недоразумений и парадоксов во многих
занимательных задачах вероятностного характера.

Читателю сообщается, что у мистера Смита двое
детей, из которых, по крайней мере, один мальчик. Требуется вычислить
вероятность того, что у мистера Смита два сына. Многие читатели правильно
заметили, что ответ зависит от того, каким образом мы узнаем, что «по
крайней мере, один из детей мальчик». Если из всех семей, имеющих по два
ребенка, из которых, по крайней мере, один мальчик, выбирать случайным образом
какую-нибудь одну семью, то ответ равен 1/3. Однако, оставаясь в рамках того же
условия, можно действовать иначе. Из общего числа семей, имеющих по два
ребенка, выберем наугад какую-нибудь одну семью. Если оба ребенка мальчики, то
мы сообщим тому, кто решает задачу, что «по крайней мере, один из детей
мальчик». Если в выбранной нами семье две девочки, мы скажем, что «по
крайней мере, один ребенок девочка». Если же в семье один мальчик и одна
девочка, то, выбрав кого-нибудь из них наугад, мы с полным основанием сможем
заявить, что «по крайней мере, один ребенок в этой семье мальчик (или
девочка)» в зависимости от того, кто из ребят был выбран. При таком
способе получения необходимых для решения данных вероятность того, что в семье
имеются два мальчика или две девочки, очевидно, равна 1/2. (Действительно,
утверждения делаются в каждом из четырех случаев: ММ, МД, ДМ, ДД; М здесь
означает мальчик, Д — девочка, а «однотипные» пары ММ и ДД составляют
ровно половину общего числа случаев.) О том, что даже выдающиеся математики
иногда упускают из виду возможность неоднозначного толкования условий этой
задачи, свидетельствует хотя бы тот факт, что она (в формулировке, не
достаточной для получения совершенно определенного ответа) включена в один из
лучших учебников высшей математики, изданных для колледжей.

Еще
труднее точно сформулировать задачу о трех заключенных и тюремном надзирателе,
которая получила широкую известность.

Она
также приводит к неожиданным парадоксам.

Три
узника А, В и С, приговоренные к смертной казни, сидели в одиночных камерах.
Губернатор решил помиловать одного из них. Записав имена заключенных на трех
листочках бумаги, он бросил листочки в шляпу и тщательно перемешал. Затем он
вытащил один листочек, прочитал значившееся там имя и сообщил по телефону свое
решение тюремному надзирателю, потребовав от того, чтобы имя счастливчика в
течение еще нескольких дней хранилось в тайне. Слух о помиловании дошел до
заключенного А. Во время утреннего обхода А попытался выведать у надзирателя,
кто же помилован, но тот отказался отвечать на подобные вопросы.

—
Тогда назовите, — попросил А, — имя одного из заключенных, которые будут
казнены. Если помилован В, назовите мне имя С.

Если
помилован С, назовите мне имя В. Если помиловали меня, то бросьте монетку,
чтобы решить, кого назвать — В или С.

—
Но если вы увидите, что я бросаю монетку, — ответил осторожный надзиратель, —
то сразу узнаете, что помиловали именно вас, а увидев, что я не бросаю монетку,
вы догадаетесь, что помиловали либо вас, либо того, чье имя я не назову.

—
Хорошо, — сказал А, — можете ничего не говорить мне сейчас, ответьте на мой
вопрос завтра.

Надзиратель,
ничего не знавший о теории вероятностей, провел в размышлениях всю ночь и
решил, что даже если он и примет предложение А, то это ничем не поможет А
оценить свои шансы остаться в живых. Поэтому на следующее утро надзиратель
сообщил А, что казни подлежит заключенный В.

Когда
надзиратель ушел, А про себя посмеялся над глупостью тюремщика: ведь теперь то,
что у математиков принято называть «пространством элементарных
событий», состояло лишь из двух равновероятных элементов: губернатор мог
помиловать либо С, либо самого А. Следовательно, по всем правилам вычисления
условной вероятности шансы А остаться в живых возросли с 1/3 до 1/2.

Надзиратель
не знал, что А мог перестукиваться с находившимся в соседней камере заключенным
С по водопроводной трубе. А не замедлил подробно передать своему соседу все, о
чем он спросил надзирателя и что тот ему ответил. Заключенный С также
обрадовался новости, потому что, рассуждая так же, как А, он подсчитал, что и
его шансы остаться в живых возросли до 1/2.

Правильно
ли рассуждали оба узника? Если же нет, то как должен был вычислять свои шансы
на помилование каждый из них?

Ответ
к задаче о трех смертниках: вероятность того, что помилован A, равна 1/3,
вероятность того, что помилован С- 2/3.

Независимо
от того, кто помилован в действительности, надзиратель сообщает А, что казнить
собираются другого заключенного, поэтому, что бы ни сказал тюремщик
заключенному А, вероятность остаться в живых для того по-прежнему остается
равной 1/3.

5.       Геометрические
задачи.

5.1. Как найти длину гипотенузы?

Прямоугольный треугольник вписан в четверть окружности так,
как показано на рис. 5.

 Рис.5

Можете
ли вы, пользуясь лишь теми данными, которые приведены на чертеже, вычислить
длину гипотенузы АС?

На
размышление дается одна минута!

5.2. Как
разрезать тупоугольный треугольник на остроугольные?

 Пусть дан тупоугольный
треугольник. Можно ли разрезать его на меньшие треугольники так, чтобы все они
были остроугольными? (Остроугольным мы называем треугольник, у которого все три
угла острые. Прямой угол, разумеется, не является ни тупым, ни острым.) Если
этого сделать нельзя, докажите почему. Если можно, то возникает новый вопрос:
каково наименьшее число остроугольных треугольников, на которые его можно
разрезать?

На рис. 6 показана типичная
безуспешная попытка решить задачу. Треугольник разбит на три остроугольных
треугольника, но четвертый треугольник оказывается тупоугольным, поэтому три
предыдущих разрезания ничего не дают.

Рис. 6. Можно
ли разрезать этот треугольник на остроугольные треугольники меньших размеров?

Ответ: Разрезать
тупоугольный треугольник на остроугольные можно всегда. Схема разрезания на
семь остроугольных треугольников, применимая к любому тупоугольному
треугольнику, показана на рис. 7.

Рис.7. Тупоугольный
треугольник, разрезанный на семь остроугольных треугольников.

Нетрудно видеть, что число
семь минимально. Тупой угол должен быть разрезан по какой-то прямой. Эта прямая
не может доходить до противолежащей стороны, ибо тогда получился бы другой тупоугольный
треугольник, который в свою очередь нужно было бы разрезать, вследствие чего
схема разрезания большого треугольника не была бы минимальной. Поэтому линия,
по которой разрезают тупой угол, должна заканчиваться в некоторой точке внутри
треугольника. В этой точке должны сходиться по крайней мере пять линий разреза,
в противном случае не все углы при этой вершине были бы острыми. Отсюда
получается внутренний пятиугольник из пяти остроугольных треугольников, а общее
число остроугольных треугольников становится равным семи.

6.       Математические
софизмы

Математический парадокс можно
определить как истину, настолько противоречащую нашему опыту, интуиции и
здравому смыслу, что в нее трудно поверить даже после того, как мы шаг за шагом
проследим все ее доказательство. Математическим софизмом принято называть не
менее удивительные утверждения, в доказательствах которых в отличие от
доказательства парадоксов кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие
ошибки. В любой области математики — от простой арифметики до современной
теоретико-множественной топологии — есть свои псевдодоказательства, свои
софизмы. В лучших из них рассуждения с тщательно замаскированной ошибкой
позволяют приходить к самым невероятным заключениям.

В приведенных ниже стишках, взятых из одного
английского журнала, выходившего в прошлом веке, рассказывается о хитром
хозяине гостиницы, сумевшем разместить в девяти номерах десять гостей так, что
каждому из них досталось по отдельной комнате:

Их было
десять чудаков,
Тех спутников усталых,
Что в дверь решили постучать
Таверны «Славный малый».
— Пусти, хозяин, ночевать,
Не будешь ты в убытке,
Нам только ночку переспать,
Промокли мы до нитки.
Хозяин тем гостям был рад,
Да вот беда некстати:
Лишь девять комнат у него
И девять лишь кроватей.
— Восьми гостям я предложу
Постели честь по чести,
А двум придется ночь проспать
В одной кровати вместе.
Лишь он сказал, и сразу крик,
От гнева красны лица:
Никто из всех десятерых
Не хочет потесниться.
Как охладить страстей тех пыл,
Умерить те волненья?
Но старый плут хозяин был
И разрешил сомненья.
Двух первых путников пока,
Чтоб не судили строго,
Просил пройти он в номер «А»
И подождать немного.
Спал третий в «Б», четвертый в «В»,
В «Г» спал всю ночь наш пятый,
В «Д», «Е», «Ж», «3» нашли ночлег
С шестого по девятый.
Потом, вернувшись снова в «А»,
Где ждали его двое,
Он ключ от «И» вручить был рад
Десятому герою.
Хоть много лет с тех пор прошло,
Неясно никому,
Как смог хозяин разместить
Гостей по одному.
Иль арифметика стара,
Иль чудо перед нами,
Понять, что, как и почему,
Вы постарайтесь сами.

         Легко
самим обнаружить ошибочность подсчета в стихах.

Примером
более тонкого математического софизма служит следующее
«алгебраическое» доказательство того, что любое число а
равно меньшему числу b.

Начнем
с равенства

а = b + с.

Умножив
обе его части на а — b, получим

а2 — ab = ab + ac — b2 — bс.

Перенесем
ас в левую часть:

а2 — ab — ас = ab — b2 — bс

и
разложим на множители:

а(а — b — с) = b(а — b — с).

Разделив
обе части равенства на а — b — с, найдем

а
= b,

что
и требовалось доказать.

Заключение

Мой проект посвящен развитию познавательного
интереса к математике, посредством использования математических задач и загадок.
В  работе рассмотрены некоторые виды математических задач и загадок. Считаю,
многим будет интересно участвовать в решении занимательных математических задач
или попытаться найти ответ на загадку, показать свои знания и умения. В
процессе решения ученики могут показать накопленные знания, умение
ориентироваться в математических терминах, а также вспомнить изученные
математические понятия.

Математические загадки имеет познавательное
значение, расширяется кругозор учеников, способствуют развитию памяти,
логического мышления.

Поставленные задачи были реализованы в процессе
подготовки проекта и демонстрации математических задач и загадок на защите
проекта.
Использование математических загадок
и увлекательных задач при изучении различных разделов математики  положительно
влияет  на повышение интереса к предмету, на качество знаний и умений учащихся,
развитие логического мышления.

Список
литературы:

1. А.Бенджамин, М.Шермер «Магия чисел. Моментальные
вычисления и другие математические фокусы»

2. М.Гарднер «Математические головоломки и развлечения»

3. Б.А.Кордемсий «Удивительный мир чисел»

4. Я.И.Перельман «Арифметические фокусы»

5. Я.И.Перельман «Фокусы и развлечения»

6. В.В. Трошин «Магия чисел и фигур»

7. https://ru.wikipedia.org/wiki/ Математическая_головоломка

Развивать логическое мышление ребёнка так же необходимо, как и обучать новому, потому что знания — только инструменты, а логика — это умение их использовать. Логика научит анализировать задачи и ситуации, находить и применять нестандартные решения. Такие навыки пригодятся как в детском саду и школе, так и в быту. Для развития логического мышления есть множество различных упражнений. Но если ваш малыш устал от обычных задачек, предложите ему увлекательные математические головоломки.

Что такое математические головоломки?

Это занимательные задачи с игровыми элементами. Такие задания не требуют глубоких математических знаний и специальной подготовки, скорее, понадобится сообразительность и наблюдательность.

Математических головоломок очень много. Это и логические ребусы, и задачи с цифрами и картинками, парадоксы и вероятности и многое другое. Они могут быть простыми, с которыми ребёнок без труда справится сам, и сложными, когда понадобится помощь родителей.

Как решить математическую головоломку?

Такие задания немного отличаются от обычных задач на логику, потому что требуют навыков счёта и пространственного мышления. Чтобы решить математическую головоломку, нужно не только подключить  логику, но и быть очень наблюдательным. Иногда решение находится на поверхности, надо лишь его увидеть!

Вы уже готовы попробовать? IQша предлагает для вас и ваших детей 15 интересных и разнообразных головоломок, которые мы распределили по степени сложности.

15 математических головоломок

1. Головоломка “Сумма чисел”

Задача стоит простая: использовав подходящие символы, сделать уравнение верным. Справитесь? (Подсказка: знаки могут повторяться)

Понравилось? Готовы продолжать?

2. Головоломка “Кнопка лифта”

В девятиэтажном доме есть лифт. На первом этаже живут два человека, но чем выше, тем количество жильцов становится больше. Подумайте, какая кнопка нажимается этими людьми чаще остальных?

3. Головоломка “Страйк!”

Давайте поиграем в боулинг? Нужно выбить 100 очков! Чтобы получилось такое число, какие три кегли должны упасть?

4. Головоломка “Продолжение”

Взгляните на этот ряд букв. Сможете его продолжить?

5. Головоломка “Делим поровну”

Бабушка оставила для своих пяти внуков 5 яблок и сказала разделить их поровну, но одно оставить в корзине. Как это сделать? Догадываетесь?

Устали? Отдохните немного, пока мы расскажем о Мартине Гарднере. Это американский математик-любитель, который написал множество статей и книг по занимательной математике. В его книгах можно найти огромное множество увлекательных задач, которые помогут развить логическое мышление и научат анализировать и сопоставлять факты, находя верные решения.

6. Головоломка “Вот так цифры”

Айкьюша с Вреднюшей подготовили новую задачку! Сможете ли вы понять закономерность? Какое число должно быть на месте знака вопроса?

7. Головоломка “Карточку, пожалуйста”

Посмотрите внимательно на номера кредитных карточек. Какие три цифры нужно написать на месте вопроса? Уже есть догадки?

Мы надеемся, что вы быстро справились с заданием! А вас уже ждёт следующая головоломка.

8. Головоломка “Стулья”

Учитель попросил школьников расставить 9 стульев у четырёх стен класса так, чтобы у каждой стояли три стула. Ученики справились с задачей. А вы сможете?

9. Головоломка “Номер дома”

Трудолюбивый строитель Евгений приехал на место раньше остальных, но забыл номер дома! Нам известно, что дом находится между участками 88 и 98. Сможете помочь Евгению и назвать номер?

10. Головоломка “В яблочко” 

Вы любите наблюдать за соревнованиями лучников? Это так увлекательно! Посмотрите, оба стрелка уже выступили, давайте посчитаем, сколько набрал лучник Б? Нам известно, что стрелок А набрал 54 балла, а очки зарабатываются пропорционально с конца: 1, 2, 3…

11. Головоломка “Мама и дочка”

В этой задаче нужно угадать возраст матери и дочери. Нам известно, что если сложить их возраста, получится число 66. А если поменять местами цифры возраста мамы, то получится точный возраст дочки. При этом мама не старше 59, а дочь не младше 7. Угадайте, сколько им лет?

12. Головоломка “Ура, фейерверк!”

Посмотрите, какой красивый фейерверк! И не один, а целых шесть! Но один из них не был запущен, определите, какой?

13. Головоломка “Математики”

Задача проста — заполнить каждую строчку и столбец так, чтобы получить в конце указанный результат. Использовать можно только цифры от 1 до 9, чтобы в каждой строчке не было повторений.

14. Головоломка “Мудрый старец”

Отец троих сыновей составил завещание, чтобы после его смерти дети разделили стадо верблюдов отца так: старший сын заберёт половину, средний — только треть, а младшему сыну достанется лишь девятая часть. Отец умер, оставив стадо из 17 верблюдов. Не сумев поделить животных, дети попросили мудрого старика им помочь. Старец согласился и, приехав на своём верблюде, разделил животных по завещанию. Как у него это получилось?

Эта головоломка — вариант известной задачи итальянского математика Никколо Тартальи «Трудное наследство». Он вошёл в историю как учёный, обнаруживший решение кубических уравнений.

15. Головоломка “Считаем фрукты”

Где как не в магазине тренировать навыки счёта? Давайте купим 2 сладких ароматных апельсина? Сколько монет нужно будет за них заплатить? Посмотрите на картинку и посчитайте.

Решения и ответы к головоломкам

1. Вот такое решение должно было получиться.

2. Чаще остальных нажимается кнопка 1, потому что на каком бы этаже не жили люди, все они спускаются вниз.

3. Ответ: 34, 29, 37.

4. Эти числа — обычная числовая последовательность, посмотрите! Один, Два, Три, Четыре, Пять, Шесть, Семь, Восемь, Девять, Десять — первые буквы чисел соответствуют заданному ряду! О, Д, Т, Ч, П, Ш, С, В, Д, Д.

5. Решение простое: один из внуков возьмёт яблоко вместе с корзиной. Какая хитрая бабушка!

6. Для решения этой задачи больше понадобится наблюдательность, чем навыки счёта. Взгляните, сколько в примерах цифр с кругами внутри? В первом примере цифры 6 и 8 — 3 круга, во втором 8 и 8 — 4 круга, в третьем их нет — 0, а в четвёртом только цифра 6. Значит, вместо вопроса нужно записать цифру 1.

7. Обратите внимания на числа, они увеличиваются вдвое от предыдущего числа! 12, 24, затем 48, 96 и 192. Теперь посчитаем номер другой карты: 23, 46, после 92, 184 и наконец 368. Значит, на месте вопроса должны стоять цифры 368.

8. Вот так нужно было расставить стулья.

 

9. На самом деле номера идут по порядку, просто мы видим их с другой стороны: 86, 87, 88, 98, 90, 91. Значит, номер дома 87!

10. Лучник Б набрал 38 очков. 2+4+6+7+9+10=38.

11. Подумайте, какие варианты можно предположить? 0 и 66, 6 и 60, 24 и 42, 15 и 51. Правильным будет последний вариант, потому что первые не подходят условию  задачи: мама не старше 59, а дочь младше 7. 

12. Ответ: четвёртый. Давайте посчитаем зелёные звёзды, которых меньше остальных. Звёзды такого цвета есть всего в четырёх фейерверках: 2, 3, 4, 6. Во 2 и 4 нет красных звёзд, которые были выпущены все. Из этих двух вариантов нам подходит 4. Если бы он был выпущен, то зелёных звезд было бы не 5, а 7.

13. Вот такие числа нужно было вставить.

 

14. Мудрый старик поступил так: он прибавил к стаду своего верблюда, получив 18 животных. А когда разделил их по завещанию (18:2=9, 18:3=6, 18:9=2), забрал своего верблюда обратно! Секрет задачи в том, что части не составляют в сумме 18! Посчитайте сами: 9+6+2=17.

15. Ответ: 14 монет. Давайте решать вместе? Одно яблоко и банан с апельсином (первые весы) весят одинаково. На вторых весах мы видим, что три банана стоят 24 монеты, по 8 монет каждый (24:3=8). Смотрим на третьи весы: апельсин и банан можно заменить на одно яблоко, тогда одно яблоко будет стоить 15 монет (30:2=15). Теперь узнаем, сколько стоит один апельсин (третьи весы)! 30 — 15 (яблоко) — 8 (банан)=7. Следовательно, за два апельсина нужно отдать 14 монет.

Надеемся, вы смогли справиться со всеми головоломками и получили большое удовольствие! Такие задачки приятно решать вместе с ребёнком, проводя время весело и с пользой и тренируя в занимательной игровой форме мышление и память, внимание и воображение. Головоломки для детей — отличный игровой и развлекательный инструмент для обучения!

Выполните упражнения:

Примеры в картинках

Приблизительный счёт

Чёт-нечёт

Екатерина Дорошина,
педагог, методист IQsha, автор статей и упражнений

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №10

Проект по математике

Сборник математических задач-загадок

Автор: Журавлёва Е.Д., обучающаяся 7а

класса.

Наставник: Казакова Надежда Сергеевна

учитель математики.

Содержание

Ведение

Глава 1.Способы решения задач.

1.1 Как решаются задачи в уме

1.2 Что такое внимательность

1.3 Как разгадывать загадки

Глава 2. Описание. (Анализ, решения задач.)

2.1. Решение задач в уме.

2.2. Задачи на внимательность

2.3. Задачи с подвохом

2.4. Загадки

Заключение

Список литературы

Приложение (книга)

Ведение

Многие современные школьники предпочитают основную массу своего свободного времени проводить за компьютером, играя в компьютерные игры или общаясь в социальных сетях со сверстниками. Но есть и сегодня такие ребята, которым интересно не тратить время на подобного рода бесполезные развлечения, а интересно развивать свою логику и сообразительность.

Интернет богат различного рода сайтами с логическими загадками, разгадывать которые не просто время от времени интересно, а еще и занимательно, и полезно. Наверняка, мало кто сегодня будет спорить, что именно, разгадывая всевозможные загадки, ребусы, шарады, задачи, ребенок намного быстрее развивается, чем если просто большую часть времени проводит в соцсетях. С помощью математических загадок он начинает больше рассуждать, и у него быстрее формируется математический склад ума.

Такие загадки не являются обычными математическими задачами в общепринятом смысле этого слова. Они с первых же слов заинтересовывают ребенка оригинальным и понятным изложением материала и возбуждают у него желание разгадать данную математическую загадку, как можно быстрее.

Цель: изучение основных видов задач-загадок и составление сборника.

Задачи:

Изучить способы решения задач

Рассмотреть понятие «Внимательности»

Подобрать материал для задач.

Определиться с темами задач.

Создать сборник задач-загадок.

Методы:

Поиск и изучение литературы по теме проекта.

Составление сборника

Анализ проекта.

Практическая значимость проекта:

Использование сборника задач-загадок на уроках математики для развития интереса к математике.

1. Способы решения задач.

1.1 Как решаются задачи в уме

Зачем нужен устный счет, если на дворе 21 век, и всевозможные гаджеты способны едва ли не молниеносно производить любые арифметические операции? Сейчас это успешно проделывают даже школьники младших классов, которым лень самостоятельно делить, умножать, складывать и вычитать.

Но у этой медали есть и обратная сторона: ученые предупреждают, что если мозг не тренировать, не нагружать работой и облегчать ему задачи, он начинает лениться, его мыслительные способности снижаются.

О пользе математики говорил еще Михаил Васильевич Ломоносов, называющий ее прекраснейшей из наук: «Математику уже за то любить надо, что она ум в порядок приводит».

Устный счет развивает внимание, память, быстроту реакции. Недаром появляются все новые и новые методики быстрого устного счета, предназначенные и для детей, и для взрослых.

Люди, практикующиеся в быстром счете, рекомендуют книгу Якова Трахтенберга «Система быстрого счета». История создания этой системы весьма необычна. Чтобы выжить в концлагере, куда его отправили нацисты в 1941 г., и не утратить ясность ума, цюрихский профессор математики занялся разработкой алгоритмов математических действий, позволяющих быстро считать в уме. А после войны написал книгу, в которой система быстрого счета изложена настолько понятно и доступно, что она и сейчас пользуется спросом.

1.2 Что такое внимательность

ВНИМАНИЕ — избирательная направленность на тот или иной объект, сосредоточение на нем.

Наиболее известно определение, которое дал вниманию Уильям Джеймс: «Каждый знает, что такое внимание. Это когда разум охватывает в ясной и отчетливой форме нечто из того, в чем видится одновременно несколько возможных объектов или ходов мысли. Сосредоточение, концентрация сознания — вот его суть. Оно означает отвлечение от одних вещей ради того, чтобы эффективно работать с другими, и является условием, располагающим реальной противоположностью в том спутанном, сумеречном и распылённом сознании.

Поскольку под вниманием понимается лишь направленность, то оно, не может рассматриваться в качестве хоть какого-нибудь самостоятельного процесса. Внимание присутствует в любой сознательной деятельности, оно выступает неотъемлемой стороной познавательных процессов, и, причем той их стороной, в которой они выступают, как деятельность, направленная на объект; так же— не имеет своего особого содержания. При этом выражается специфическим образом взаимосвязь деятельности и образа — содержание внимания определяется в зависимости от того, стороной какого психического процесса оно выступает: если восприятия, то как образ предмета, или явления действительности; если мышления, то как мысль, если припоминания или воображения, то как представление и т. д.

Изменение внимания выражается в изменении переживания степени ясности и отчетливости содержания, являющегося предметом деятельности человека.

1.3 Как разгадывать загадки

Загадки помогают держать мозг в тонусе и усилить ваши мыслительные процессы. Ежедневно практикуясь в разгадывании головоломок, вы сможете легче думать, улучшите свою память и когнитивные способности. Следуя нескольким простым методам, вы сможете отгадать даже сложные загадки.

1.Понять принцип решения загадок.

2.Изучить основные виды загадок.

Есть два основных вида загадок: загадки и головоломки. Обычно оба вида задаются во время диалога одним из собеседников, а второй ищет ответ на головоломку (или ждет, пока его скажет первый).

В загадках можно заметить вопрос, заданный с использованием метафор, аллегорий или ассоциаций, для ответа на который потребуется креативность и опыт.

Ознакомьтесь с правилами построения головоломок. Большая часть загадок загадывается по очень известным предметам. Сложности наступают при описании этих предметов. Загадка может содержать ряд ассоциаций для того, чтобы вы не сбились с курса.

Учтите, что загадки могут быть с подвохом. Ассоциации, которые на первый взгляд кажутся логичными, могут сбить вас с толку. Правильный ответ может быть настолько очевидным, что вы сразу же пропустите его.

Отвлекающие маневры – это стандартная форма задачи неправильного направления через ассоциации, как в этой американской загадке: «В зеленом доме живет зеленый человечек. В синем доме живет синий человечек. В красном доме живет красный человечек. А кто живет в Белом доме?» Вашим немедленным ответом, скорее всего, будет «белый человечек», но «Белый дом» здесь для того, чтобы сбить вас с толку – в Белом доме живет Президент Соединенных Штатов!

2.Описание. (Анализ, решения задач.)

2.1.Решение задач в уме

Алгебраический метод решения задач развивает творческие способности, способность к обобщению, формирует абстрактное мышление и обладает такими преимуществами, как краткость записи и рассуждений при составлении уравнений, экономит время.

Для того чтобы решить задачу алгебраическим методом необходимо:

1. провести разбор задачи с целью выбора основного неизвестного и выявления зависимости между величинами, а также выражения этих зависимостей на математическом языке в форме двух алгебраических выражений;

2. найти основание для соединения этих выражений знаком «=» и составить уравнение;

3. найти решения полученного уравнения, организовать проверку решения уравнения.

Все эти этапы решения задачи логически связаны между собой. Например, о поисках основания для соединения двух алгебраических выражений знаком равенства мы упоминаем как об особом этапе, но ясно, что на предыдущем этапе указанные выражения образуются не произвольно, а с учётом возможности соединить их знаком «=».

Как выявление зависимостей между величинами, так и перевод этих зависимостей на математический язык требует напряжённой аналитико-синтетической мыслительной деятельности. Успех в этой деятельности зависит, в частности от того, знают ли учащиеся, в каких отношениях вообще могут находиться эти величины, и понимают ли они реальный смысл этих отношений (например, отношений, выраженных терминами «позже на…», «старше в…раз» и т.п.). Далее требуется понимание, каким именно математическим действием или, свойством действия или какой связью (зависимостью) между компонентами и результатом действия может быть описано то или иное конкретное отношение.

Примеры:

Павел с сыном и Семён с сыном были на рыбалке. Павел поймал столько же рыб, сколько и его сын Игорь, а Семён втрое больше, чем его сын. Всего они поймали 35 рыб. Как зовут сына Семёна? Кто сколько поймал рыб?

(Павел – сын Семёна. Игорь поймал 7 рыб, Павел – 7 рыб, Семён – 21 рыбу.)

Сколько времени, если до конца суток осталось 4/5 того, что прошло от начала суток?

(13 часов 20 минут.)

На столе 6 ящичков. В первом – 60 камешков, во втором – 30, в третьем – 20, в четвёртом – 15. Сколько камешков в пятом и шестом ящичках?

(12 и 10, пятая и шестая часть ящика.)

2.2.Задачи на внимательность

Задачи, решаемые с помощью высказываний.

Решая задачи этим методом, мы используем элементы алгебры высказываний.

Под высказыванием понимают повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно. Не всякое предложение является высказыванием, например: восклицательные, вопросительные предложения («Который час?»). Не являются высказываниями и такие предложения, которые являются определениями чего-либо, например: «Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны».

Пусть имеется некоторая совокупность высказываний, называющихся элементарными (исходными). Исходя из этих высказываний, с помощью, так называемых логических операций, строят новые (сложные) высказывания.

Перейдем к точному описанию этих операций.

Отрицательные высказывания.

Отрицательным высказыванием A называется новое высказывание, обозначаемое Ā (неверно, что A), которое истинно, если A ложно, и ложно, если A – истинно.

Пример: для высказывания А: “5 является делителем числа 30”, построенное указанным способом высказывание Ā: “Число 5 не является делителем числа 30.”

Конъюнктивные высказывания.

Конъюнкцией высказываний P и Q называется новое высказывание, обозначаемое P ۸ Q (и), которое истинно, если истинны оба высказывания P и Q, и ложно во всех остальных случаях.

Пример: Высказывание «Число 376 четное и трехзначное» — конъюнкция двух высказываний: «Число 376 четное» и «Число 376 трехзначное». Так как оба высказывания – истинны, конъюнкция — истинна.

Дизъюнкция высказывания.

Дизъюнкцией высказываний P и Q называется новое высказывание, обозначаемое P ۷ Q (или), которое истинно в тех случаях, если истинно хотя бы одно из высказываний P или Q, и ложно, если ложны оба высказывания P и Q.

Пример: Высказывание «Шесть — число кратное трем или 19>37» — является дизъюнкцией двух высказываний: «6 — число кратное 3» и «19> 37». Дизъюнкция истинна, так как одно из высказываний истинно.

Примеры:

Двое родителей и двое сыновей поделили между собой поровну 30рублей, Причем каждый получил по 10 рублей. Как это могло случиться?

(Ответ: Было 3 человека: отец, сын и внук.)

Мельник пришел на мельницу. В каждом из четырех углов он увидел по 3 мешка, на каждом мешке сидели по три кошки, а каждая кошка имела при себе троих котят. Спрашивается сколько ног было на мельнице?

(Две ноги мельника, ибо у кошек и котят не ноги, а лапы)

Летели утки: одна впереди и две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд. Сколько всего летело уток?

(Всего летели три утки, одна за другой)

2.3.Задачи с подвохом

Основные методы решения задач с подвохом

Метод рассуждений;

Метод «с конца»;

С помощью таблиц истинности;

Метод последовательных рассуждений

Самый простой способ решения несложных задач заключается в последовательных рассуждениях с использованием всех известных условий. Выводы из утверждений, являющихся условиями задачи, постепенно приводят к ответу на поставленный вопрос.

Метод «с конца»

Такой способ решения является разновидностью метода рассуждений и отлично подходит для задач, в которых нам известен результат совершения определенных действий, а вопрос состоит в восстановлении первоначальной картины.

Решение логических задач с помощью таблиц истинности

Суть метода состоит в фиксации условий задачи и полученных результатов рассуждений в специально составленных под задачу таблицах. В зависимости от того, является высказывание истинным или ложным, соответствующие ячейки таблицы заполняются знаками «+» и «-» либо «1» и «0».

Примеры:

Две ноги на трех ногах,

А четвертая в зубах.

Вдруг четыре прибежали

И с одною убежали.

Подскочили две ноги

Ухватили три ноги,

Закричали на весь дом —

Да тремя по четырем!

Но четыре завизжали

И с одною убежали.

Что это такое?

(Человек сидел на стуле, имеющем три ножки, пришла собака и утащила куриную ногу. Повар бросил стул в собаку, чтобы она оставила куриную ногу.)

Один ученик писал о себе: «… Пальцев у меня двадцать пять на одной руке, столько же на второй, на ногах десять …» Почему он такой уродливый?

(Ответ: Ученик после слова «двадцать» не поставил двоеточие.)

На дереве сидело 6 воробьев. Охотник, выстрелив, попал в двух из них. Сколько воробьев осталось на дереве?

(Ответ: Не осталось, — все остальные улетели.)

2.4.Загадки

Секреты разгадывания

Главное в любой задаче – детали. Если нужно отгадать загадку, следует:

1.внимательно выслушать или прочитать;

2.не спешить с ответом;

3.выявить наиболее важные признаки объекта, но не отбрасывать и второстепенные;

4.установить связь между признаками или с другими объектами; 5.объединить эти признаки;

6.остается сделать вывод, т. е. сказать отгадку;

7.в завершении нужно обосновать ответ, чтобы убедиться в его правильности.

Каждому возрасту – свои загадки

Маленькие дети лучше воспринимают загадки, когда «отгадка» у них перед глазами или в виде иллюстрации в книге. Ведь у малышей может просто не хватить знаний, опыта сравнений. Замечательно подходят рифмованные загадки, где ответ напрашивается сам собой.

Лет с 4 можно прибегать к образным сравнениям, а позже и к построенным на отрицании загадкам (Не лает, не кусает, а в дом не пускает).

Младшие школьники любят загадки-обманки, в которых предполагаемая рифма не является правильным ответом: Быстрее всех от страха несется…(черепаха?) – заяц.

Разнообразить учебную деятельность помогают ребусы, шарады.

Например, когда часть слова заменяют картинки или цифры (слово «незабудка» изображается как слоги «неза» и собачья конура). Особняком стоят задания, развивающие логическое мышление и сообразительность:

Что легче 1 кг яблок или 1 кг песка?

От чего плавает утка?

Петя и Саша пробежали вместе 60 км. Сколько пробежал каждый?

Таким образом, разгадывание загадок – увлекательный процесс, итогом которого может стать соревнование на придумывание собственных головоломок.

Примеры:

Два кольца, но нет конца,

В середине нет гвоздя.

Если я перевернусь,

То совсем не изменюсь.

Какая это цифра?

( 8 )

Три кошки купили сапожки

По паре на каждую кошку.

Сколько у кошек ножек

И сколько у них сапожек?

(12 ножек и 6 сапожек)

Лебеди у нас в пруду,

Я поближе подойду:

9 чёрных, белых 5.

Кто успел их сосчитать?

Говорите поскорей:

Сколько пар лебедей?

(7 пар)

Заключение

Подводя итог проделанной работы, следует отметить, что цель достигнута: изучили основные виды задач-загадок и составили сборник.

Поставленные задачи решены:

Изучили способы решения задач;

Рассмотрели понятие «Внимательности»;

Подобрали материал для задач;

Определились с темами задач;

Создали сборник задач-загадок.

Систематическое включение в урок таких заданий в седьмых классах помогает отрабатывать математические навыки и умения у детей, развивать мышление, творческую активность, познавательную самостоятельность, а главное – формировать и поддерживать интерес к уроку математики. Интересные сведения, факты дети воспринимают эмоционально, что влияет не только на их ум, но и на сердце, а это, в свою очередь, помогает решать задачи, как обучения, так и воспитания.

Проектная деятельность позволяет достичь максимального эффекта. В процессе работы над проектом я научилась искать пути решения возникших проблем, работать с разными источниками, и достигать поставленной цели.

Список использованной литературы

1. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4-8 кл.-М.: Просвещение, 1988.

2 . Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных: Кн. Для учащихся 6-7- кл.-М.: Просвещение, 1992.

3. Сорокин А.С. «Техника счета (методы рациональных вычислений)», М, Знани», 1976

4. http://razvivajka.ru / Тренировка устного счета