Как составить матрицу коэффициентов прямых затрат

Задача

Экономика
представлена двумя отраслями производства: промышленностью и сельским
хозяйством. За отчетный период получены следующие данные о межотраслевых
поставках

 и векторе объемов конечного использования

.

Требуется:

Указание:
При вычислениях производить округление с точностью до тысячных.

Решение

Матрица прямых затрат

Найдем
валовые выпуски отраслей, просуммировав в каждой строке межотраслевые поставки
и координату вектора

:

Найдем
матрицу прямых затрат. Ее элементы можно найти по формуле:

Подставляя
числовые значения, получаем:

Матрица «Затраты — выпуск»

Найдем матрицу
«Затраты — выпуск»

Вектор конечного использования Y для валового объема выпуска X

Вектор
конечного использования Y для валового объема выпуска X определим на основе
балансового соотношения: 

Для этого выполним умножение двух матриц

Матрица полных затрат

Найдем
матрицу коэффициентов полных материальных затрат

 -она будет равна обратной матрице

:

Определитель матрицы

:

Алгебраические
дополнения:

Обратная матрица:

Вектор валового объема выпуска X для конечного использования Y

Вектор валового объема выпуска

 для конечного продукта

 определим формуле:

Приросты валовых объемов выпуска

Найдем
приросты валовых объемов выпуска, если конечное потребление должно изменяться
на

 по сравнению с

:

Матрица полных затрат ресурсов S

Найдем
матрицу полных затрат ресурсов S для заданной матрицы ее прямых затрат M:

Суммарная потребность в ресурсах

Суммарная  потребность в ресурсах для вектора Y₀:

Суммарная  потребность в ресурсах для вектора Y_n:

Матрицы косвенных затрат и сумма затрат

Найдем
матрицы косвенных затрат первого, второго и третьего порядка

Сумма затрат:

Разность
матриц:

Вектор потребности в продукции

Найдем
вектор потребности в продукции всех отраслей материального производства b_ij
для получения единицы конечного продукта b_j вида. Для этого
просуммируем столбцы матрицы полных затрат:

Это значит, что для производства
единицы конечного продукта в первой отрасли во всех отраслях надо расходовать
продукции на сумму 1,913 ден.ед., для производства единицы конечного продукта
во второй отрасли -на 2,021 ден.ед.

Перейдем к построе­нию математической модели. Для этого введем понятие коэффициентов прямых материальных затрат:

                                  (1)

Коэффициент aij показывает, какое количество i-го продукта затрачивается на производство единицы j-го продукта.

Поскольку продукция измеряется в стоимостных единицах, коэффици­енты прямых затрат являются величинами безразмерными. Кроме того, из (1) следует, что

                                 (2)

Считая коэффициенты прямых материальных затрат постоянными, запишем систему балансовых соотношений

следующим образом:

Перенося yi в правую часть, а xi в левую и меняя знаки на противопо­ложные, получаем

В матричной форме эта система уравнений выглядит следующим обра­зом:

X — AX = Y  или  (E — A) X = Y,

где Е — единичная матрица n-го порядка;

 — матрица коэффициентов прямых материальных затрат.

Итак, мы получили систему уравнений межотраслевого баланса, кото­рую называют моделью Леонтьева. Используя эту модель, можно ответить на основной вопрос межотраслевого анализа — каким должно быть валовое производство каждой отрасли для того, чтобы экономическая система в целом произвела заданное количество конечной продукции?

Следует отметить одно важное свойство А — сумма элементов любого ее столбца меньше единицы:

                                 (3)

Для доказательства разделим обе части балансового соотношения

на хj и, выполнив простейшие преобразования, полу­чим

где vj / xj= — доля условно-чистой продукции в единице валового выпуска.

Очевидно, что >0, так как в процессе производства не может не создавать­ся новой стоимости. Из этого следует справедливость соотношения (3).

Свойства (2) и (3) матрицы А играют ключевую роль в доказательстве ее продуктивности, т. е. в доказательстве того, что при любом неотрицатель­ном Y система

X — AX = Y  или  (E — A) X = Y,

имеет единственное и неотрицательное решение Х=(Е-А)-1Y. Матрицу (Е-А)-1 обозначают через В и называют матрицей коэффициентов полных материальных затрат, или обратной матрицей Леонтьева. Коэф­фициент bij этой матрицы показывает, каким должен быть валовой выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить производство единицы конечного продукта j-й отрасли. Используя матрицу В, можем записать

Х = ВY

или в развернутом виде

Преимущество такой формы записи балансовой модели состоит в том, что, вычислив матрицу В лишь однажды, мы можем многократно использовать ее для вычисления Х прямым счетом, т.е. умножением В на Y. Это гораздо проще, чем каждый раз решать систему линейных уравнений.

Обратную матрицу В можно вычислить, используя метод обращения с применением формулы разложения ее в матричный ряд:

В=Е+А+А2+…+Аk+…                                             (4)

Число членов ряда, необходимое для получения достаточно точного приближения, зависит от матрицы А, но в любом случае приемлемый результат достигается при k 30.

Формула (4) имеет строгое математическое доказательство. Но мы ограничимся тем, что попытаемся осмыслить ее, рассматривая Х как результат некоторого гипотетического процесса последовательного уточне­ния промежуточной продукции, необходимой для создания заданного конечного продукта.

Итак, вектор конечной продукции, которую должна произвести эконо­мическая система, равен Y. Будем считать, что это и есть первоначальное задание отраслям, т. е. Х0 =Y. Для выполнения собственного задания каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей. Если бы все отрасли подсчитали потребности и подали заявки в некоторый центр, то оказалось бы, что суммарная потребность составляет X1 =АХ0=АY. Вектор X1 можно рассматривать как промежуточную продукцию, необходимую для производства Х0. Но под обеспечение производства X1 тоже нужна проме­жуточная продукция: X2 =АХ1 =А2Y. Рассуждая так и далее, мы приходим к выводу, что

Х=Х0+Х1+Х2+…+Хk+… = Y+АY+А2Y+…+AkY+… =

= (Е+А+А2+…+Аk+…)Y.

Полные затраты можно разложить на прямую и косвенную составля­ющие.  Прямые затраты осуществляются непосредственно при производстве данного продукта, а косвенные А2+А3+…+Аk+… относятся к предшествую­щим стадиям производства. Они осуществляются не прямо, а через посред­ство других ингредиентов, входящих в данный продукт. Элементы матрицы А2 представляют собой косвенные затраты первого порядка, элементы матрицы А3 — косвенные затраты второго порядка и т. д.

Пример 1. Рассматривается трехотраслевой МОБ. Известна матрица коэффициен­тов прямых материальных затрат и задан вектор конечного продукта:

.

Определить валовое производство X, обеспечивающее заданный конеч­ный продукт.

Для ответа на поставленный вопрос необходимо составить и решить систему линейных уравнений (Е-А)Х = Y.

Получим соответствующую систему уравнений

Решим систему методом Крамера. Если определитель системы  отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

где  — определитель, который получается из  заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

 

    

Применяя формулы Крамера, получаем решение системы:

  

Пример 2. Вычислить изменение межотраслевых потоков, если известна матрица коэффициентов полных материальных затрат и задан вектор изменения ко­нечного продукта:

Изменение межотраслевых потоков вычисляется по формулам

Вектор изменения валового производства определяется следующим образом:

Кроме того, нам необходимо знать матрицу А. Из формулы В=(Е-А)-1 следует, что

Теперь, отвечая на поставленный вопрос, получаем:

 

 и т.д.

Источник: https://lms2.sseu.ru

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

1. Коэффициенты прямых и полных материальных затрат.

При исследовании
модели межотраслевого баланса сначала
нужно рассмотреть основные свойства
матрицы коэффициентов прямых материальных
затрат A.

Основные свойства
матрицы коэффициентов прямых материальных
затрат

1. Коэффициенты
прямых затрат по определению являются
неотрицательными

,
поэтому матрица А
в целом может быть названа неотрицательной:

.

2. Диагональные
элементы матрицы А
меньше единицы

,
так как процесс воспроизводства нельзя
было бы осуществлять, если бы для
собственного воспроизводства в отрасли
затрачивалось больше количество
продукта, чем создавалось.

Система уравнений
межотраслевого баланса является
отражением реальных экономических
процессов, в которых содержательный
смысл могут иметь лишь неотрицательные
значения валовых выпусков. Значит,
вектор валовой продукции состоит из
неотрицательных компонентов и называется
неотрицательным, т.е.

.

Экономическая
система способна обеспечить положительный
конечный выпуск по всем отраслям, если
матрица коэффициентов прямых материальных
затрат А
является продуктивной.

Продуктивность
матрицы А.

Неотрицательную
матрицу А
называют продуктивной, если существует
такой неотрицательный вектор

,
что справедливо:

(13)

Это условие означает
существование положительного вектора
конечной продукции

для модели межотраслевого баланса

(7).

Существует несколько
способов
проверки продуктивности матрицы А.

Матрица коэффициентов
прямых материальных затрат А продуктивна,
если выполняется одно из условий:

1. Матрица

неотрицательно обратима, т.е существует
обратная матрица

.

2. Матричный ряд

сходится и его сумма равна обратной
матрице

.

3. Наибольшее по
модулю собственное значение

матрицы А
меньше 1.

Собственные числа
матрицы А
– корни характеристического уравнения

.

4. Все главные
миноры матрицы

,
т.е. определители матриц, образованные
элементами первых строк и первых столбцов
этой матрицы, порядка от 1 до n,
положительны.

Наиболее простым,
но только достаточным признаком
продуктивности матрицы А
является ограничение на величину ее
нормы, т.е. на величину наибольшей из
сумм элементов матрицы А
в каждом столбце. Если норма матрицы А
строго меньше единицы, то эта матрица
продуктивна.

Но эти условия
являются только достаточными, т.е.
матрица А
может быть продуктивной и в случае,
когда ее норма больше единицы.

Пример № 1.

Проверить
продуктивность матрицы

.
Найдем матрицу

.

Найдем определитель
матрицы

Находим элементы
присоединенной матрицы

;

Сначала найдем
транспонированную матрицу

:

обозначим ее через
D.

,
значит, матрица А
продуктивна.

Пример № 2.

Проверить
продуктивность матрицы

.

Найдем главные
миноры матрицы

;

.

Главный минор
I-ого
порядка: 0,900 > 0/

Главный минор
II-ого
порядка:

> 0.

Главный минор
III-его
порядка:

> 0.

Итак: все главные
миноры матрицы

положительны, значит матрица А
является продуктивной.

Анализ матрицы
коэффициентов полных материальных
затрат.

Матрица

— матрица коэффициентов полных материальных
затрат

.

Ранее было дано
определение коэффициента b_ij
полных материальных затрат, что b_ij
показывает сколько нужно произвести
продукции i-той
отрасли, чтобы с учетом прямых и косвенных
материальных затрат, получить единицу
конечной продукции отрасли j.

Дадим другое
определение коэффициента полных
материальных затрат, исходя из того,
что, кроме прямых затрат существуют
косвенные затраты той или иной продукции
при производстве продукции данной
отрасли.

Например,
при производстве автомобиля в виде
прямых затрат расходуется уголь, стальной
прокат, цветные металлы, электроэнергия
и т.д. Но на производство стального
проката также расходуется уголь. Это
будут косвенные затраты I-го
порядка при производстве автомобиля.
При производстве стального проката
расходуются цветные металлы, для
производства которых также расходуется
уголь. Но при производстве автомобиля
это будут косвенные затраты II-го
порядка и т.д.

В связи с этим
имеет место следующее определение:
коэффициентом
полных материальных затрат (с_ij)
называется сумма прямых затрат продукции
i-той
отрасли для производства единицы
продукции j-той
отрасли через все промежуточные продукты
на всех предшествующих стадиях
производства.

Обозначим коэффициент
косвенных материальных затрат k-го
порядка через

,
тогда имеет место равенство:

(14)

Если ввести в
рассмотрение матрицу коэффициентов
полных материальных затрат

и матрицы коэффициентов материальных
затрат различных порядков:

,
то можно записать формулу:

(15)

где А
– матрица коэффициентов прямых
материальных затрат;

А⁽¹⁾
– матрица коэффициентов косвенных
материальных затрат I-го
порядка;

А⁽²⁾
– матрица коэффициентов косвенных
материальных затрат II-го
порядка и т.д.;

А^(k)
– матрица коэффициентов косвенных
материальных затрат k-го
порядка.

;

и т.д.

.

Итак:

(16)

Если матрица
коэффициентов прямых материальных
затрат А
является продуктивной, то из второго
условия продуктивности следует, что
существует матрица

,
которая является суммой сходящегося
матричного ряда:

(17)

Тогда сопоставляя
соотношения (16) и (17), можно сделать вывод
о связи между двумя матрицами коэффициентов
полных материальных затрат.

(18)

или

Экономический
смысл различия между коэффициентами
матриц В
и С:
в отличие от коэффициентов матрицы С,
которые учитывают только затраты на
производство продукции, коэффициенты
матрицы В
включают в себя кроме затрат также саму
единицу конечной продукции, которая
выходит за сферу производства.

Таким образом,
если матрица А
продуктивна, то для нахождения
матрицы В
можно использовать способы:

1. По формулам
обращения матриц:

(19)

2. Приближенный
способ по формулам разложения в матричный
ряд:

(20)

В этом случае
обычно ограничиваются косвенными
затратами до некоторого порядка
включительно.

Пример.

Дана матрица
коэффициентов прямых материальных
затрат и вектор конечной продукции:

.

Найти коэффициенты
полных материальных затрат, вектор
валовой продукции, заполнить схему
межотраслевого баланса.

Решение:

1. Определитель
матрицы

:

;

2. Транспонируем
матрицу

:

.

3. Находим
алгебраические дополнения для элементов
матрицы

:

Присоединенная
матрица:

Найдем вектор
валовой продукции по формуле:

Для заполнения
схемы межотраслевого баланса, необходимо
найти:

Находим условно-чистую
продукцию отраслей:

Межотраслевой
баланс производства и распределения
продукции:

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечная продукция	Валовая продукция
1	2	3
1 2 3	46,32 11,58 46,32	28,05 8,415 42,075	7,124 60,554 17,81	150 200 250	231,6 280,5 356,2
Условно-чистая продукция	127,38	201,96	270,712	600,0
Валовая продукция	231,6	280,5	356,2		868,3

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

3.4. Составление межотраслевого баланса затрат труда

Рассмотрим задачу межотраслевого баланса затрат труда и использования трудовых ресурсов. Предполагается, что труд выражается в единицах труда одинаковой степени сложности. Обозначим затраты живого труда в производстве -го продукта через , объем выпущенной продукции, как и прежде, . Тогда коэффициент прямых затрат труда на единицу -го продукта составят:

— прямые затраты труда на единицу -го продукта;

Полные затраты труда представляют сумму прямых затрат (живого труда) и затрат овеществленного труда, перенесенных на продукт через израсходованные средства производства. Пусть — полные затраты труда на единицу -го продукта; — затраты овеществленного труда, перенесенного на -й продукт через -е средство производства; тогда

Система (3.10) включает уравнений по всем отраслям-потребителям. Если заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор-строка коэффициентов прямой трудоемкости, то решение системы (3.10) дает коэффициенты полных затрат труда на единицу каждого вида продукции. Перепишем (3.10) в матричном виде:

отсюда, выполняя простые матричные преобразования, получим:

Поскольку матрица полных затрат, получаем формулу расчета матрицы коэффициентов полных затрат труда:

где — вектор-строка коэффициентов полных затрат труда;

— вектор-строка коэффициентов прямых затрат труда.

Умножим обе части уравнения (3.13) на : , поскольку (см. уравнение 3.8),

Уравнение (3.14) — баланс общих затрат труда: затраты в производстве , получен конечный продукт : .

Задача 3 .3.

Рассмотрим задачу с 3 секторами экономики (промышленность, сельское хозяйство и транспорт). В таблице приведены коэффициенты прямых затрат отчетного межотраслевого баланса, объемы конечной продукции в млн.руб. и затраты живого труда. Составить межотраслевой баланс затрат труда.

Решение.

Для составления межотраслевого баланса затрат труда необходимо найти следующие показатели

1. Матрицу коэффициентов полных затрат .
2. Вектор валовой продукции
3. Матрицу межотраслевых поставок
4. Коэффициенты прямой трудоемкости , Коэффициенты полной трудоемкости
5. Межотраслевые затраты труда
6. Затраты труда на конечную продукцию
7. Заполнить матрицу МОБ. Выполнить проверку проведенных вычислений
8. уравнения

Выполняем проверку проведенных вычислений. В таблице МОБ рассчитываем баланс:

Входные данные

Матрица прямых затрат:

Вектор конечной продукции:

Затраты живого труда: ,

Решение:

Вводим единичную матрицу:

Матрица полных затрат: ,

Вектор объемов валовой продукции: ,

Матрица межотраслевых поставок:

,

Коэффициенты прямой трудоемкости: , ,

Затраты живого труда на конечную продукцию: ,

Межотраслевые затраты труда: ,

Рассчитываем баланс. Сумма межотраслевых затрат труда и затрат труда на конечную продукцию равна затратам живого труда

, ,

— затраты труда в производстве

— полные затраты труда при получении конечного продукта

Основные итоги

Приведены основные параметры и уравнения МОБ. Показано, как построить модель задачи МОБ, как выделить блок данных и блок решения. Продемонстрированы методы работы с матрицами и матричными уравнениями.

Ключевые термины

Межотраслевой баланс — инструмент анализа и прогнозирования структурных взаимосвязей в экономике.

Валовый продукт отрасли — суммарный объем продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта.

Конечный продукт — объем продукции отрасли, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере (объём конечного потребления).

Матрица межотраслевых поставок — — матрица элементов, каждый определяет, сколько продукции -й отрасли было использовано в процессе материального производства -й отрасли.

Коэффициент прямых затрат — количество продукции -ой отрасли, которое расходуется при производстве одной единицы продукции -ой отрасли.

Коэффициент полных затрат — объем продукции -й отрасли, расходуемый на производство единицы конечной продукции -й отрасли,

Коэффициент полных затрат труда — затраты живого и овеществленного труда на производство единицы конечной продукции,

Коэффициент прямых затрат труда — затраты живого труда на производство единицы общего объема произведенной продукции.

Примеры решений на тему «Межотраслевой баланс»

Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой выпуск

Производство

Решение проводим с помощью калькулятора.
По формуле a_ij = x_ij / x_j находим коэффициенты прямых затрат:

0.1

Коэффициент прямых затрат (a_ij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.
Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых затрат A = (a_ij), вектор-столбец валовой продукции X = (X_i) и вектор-столбец конечной продукции Y = (Y_i), то математическая модель межотраслевого баланса примет вид:
X = AX +Y
Идея сбалансированности лежит в основе всякого рационального функционирования хозяйства. Суть ее в том, что все затраты должны компенсироваться доходами хозяйства. В основе создания балансовых моделей лежит балансовый метод – взаимное сопоставление имеющихся ресурсов и потребностей в них.
Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.
Пусть экономика страны имеет n отраслей материального производства. Каждая отрасль выпускает некоторый продукт, часть которого потребляется другими отраслями (промежуточный продукт), а другая часть – идет на конечное потребление и накопление (конечный продукт).
Обозначим через X_i (i=1..n) валовый продукт i-й отрасли; x_ij – стоимость продукта, произведенного в i-й отрасли и потребленного в j-й отрасли для изготовления продукции стоимостью X_j; Y_i – конечный продукт i-й отрасли.
Критерии продуктивности матрицы А
Существует несколько критериев продуктивности матрицы А.
1. Матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы.
2. Для того чтобы обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:
3. Определитель матрицы (E — A) не равен нулю, т.е. матрица (E- A) имеет обратную матрицу (E — A) -1 .
4. Наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, т.е. решение уравнения |λE — A| = 0 строго меньше единицы.
5. Все главные миноры матрицы (E — A) порядка от 1 до n, положительны.

Матрица A имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности (при любом j сумма элементов столбца ∑a_ij ≤ 1.
I. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат приближенно, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.
а) Матрица коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка равна:

б) Матрица коэффициентов косвенных затрат 2-го порядка равна:

Матрица коэффициентов полных затрат приближенно равна:

II. Определим матрицу коэффициентов полных затрат точно с помощью формул обращения невырожденных матриц.
Коэффициент полных затрат (b_ij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.
Полные затраты отражают использование ресурса на всех этапах изготовления и равны сумме прямых и косвенных затрат на всех предыдущих стадиях производства продукции.
а) Находим матрицу (E-A):

б) Вычисляем обратную матрицу (E-A) -1 :
Запишем матрицу в виде:

Главный определить
∆ = (0.79 • 0.9-(-0.6 • (-0.23))) = 0.57234043753495
Транспонированная матрица

Обратная матрица


Найдем величины валовой продукции двух отраслей

Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой x_ij = a_ij • X_j.
Составляющие третьего квадранта (условно-чистая продукция) находятся как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.
Межотраслевой баланс состоит из четырех квадрантов (табл.). Первый квадрант отражает межотраслевые потоки продукции. Второй характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода.
Третий представляет национальный доход как стоимость условно-чистой продукции (Z_j), равной сумме амортизации (c_j), оплаты труда (v_j) и чистого дохода j-й отрасли (m_j). Четвертый квадрант показывает конечное распределение и использование национального дохода.

Чистый доход

Валовый продукт

Примеры заданий

1. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат A и вектор конечной продукции Y. Найти вектор валовой продукции, составить межотраслевой баланс.
Пример №1, Пример №2, Пример №3, Пример №4, Пример №5, Пример №6, Пример №7, Пример №8, Пример №9, Пример №10, Пример №11

2. Рассматривается двухотраслевая модель экономики. Даны матрица прямых затрат A и вектор конечной продукции Y. Найти следующее:

• Проверить продуктивность матрицы A;
• Вектор валового выпуска;
• Межотраслевые поставки;
• Записать схему межотраслевого баланса.

Скачать решение

3. В отчетном периоде имел место следующий баланс продукции (тыс. тонн). Рассчитайте коэффициенты прямых затрат, полных затрат и косвенных затрат первого порядка. Сделайте запись баланса в матричной форме.
Решение.

4. В отчетном году натуральный баланс продукции выглядел следующим образом ( в тыс. тонн). На основе данного баланса:

1. Составьте матрицу прямых затрат.
2. Составьте матрицу полных затрат.
3. Рассчитайте коэффициенты косвенных затрат первого и второго порядка.
4. Запишите баланс в матричной форме.
5. Рассчитайте объем валовой продукции, если конечное потребление составит: Y(140,120,280).

Скачать решение.

5. Два цеха предприятия выпускают продукцию двух видов: цех № 1 – продукцию В, цех № 2 – продукцию С. Часть производимой продукции направляется на внутреннее потребление, а остальная является конечным продуктом. Коэффициенты прямых затрат заданы матрицей. Реализация продукции В на сторону составляет по плану 600 тонн, а продукции С – 300 тонн. Составьте плановую модель выпуска продукции (валового и конечного продукта) с учетом внутреннего потребления. Результаты расчетов запишите в таблицу.
Решение.

6. Каждый из трех цехов предприятия выпускает один вид продукции (изделие 1, изделие 2 и изделие 3 соответственно), часть которой направляется на внутрипроизводственное потребление. Коэффициенты прямых затрат и плановые объемы реализации продукции на сторону заданы матрицами. Рассчитайте план выпуска каждого изделия. Результаты расчетов оформите в таблице.
Пример.

7. В таблице приведены данные об исполнении баланса. Используя модель Леонтьева многоотраслевой экономики, вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный выпуск энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроительной сохранится на прежнем уровне.
Решение.

Задание. Пусть экономика условно разделена только на две отрасли, межотраслевой баланс которых с указанием коэффициентов прямых материальных затрат и конечной продукции приведен в таблице. По этим данным рассчитать валовую продукцию каждой отрасли и межотраслевые поставки.
Решение. Скачать решение

Найти максимальный технологический рост и магистраль в динамической модели Леонтьева, задаваемой матрицей затрат
A = (1/2; 1/4
1/16; 1/2)

7.2.2. Межотраслевой баланс

7.2.2.1. Модель межотраслевого баланса

Балансовый метод применяется для анализа, нормирования, прогноза и планирования производства и распределения продукции на различных уровнях — от отдельного предприятия до народного хозяйства в целом.

Центральная идея межотраслевого баланса (МОБ) заключается в том, что каждая отрасль в нем рассматривается и как производитель, и как потребитель. Модель МОБ — одна из самых простых экономико-математических моделей. Она представляет собой единую взаимосвязанную систему информации о взаимных поставках продукции между всеми отраслями производства, а также об объеме и отраслевой структуре основных производственных фондов, обеспеченности народного хозяйства ресурсами труда и т. д.

Такая модель позволяет рассчитать сбалансированный план на основе точного учета всех межотраслевых связей и рассмот-

реть при этом множество возможных вариантов. В основе исследований балансовых моделей лежат балансовые таблицы, содержащие данные о производстве и потреблении продукции различных отраслей или предприятий. Характерные черты и особенности этого метода описываются с помощью матричных моделей баланса. Из математических методов здесь главным образом используется аппарат линейной алгебры.

Рассмотрим пример предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей. Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, приведенными в табл. 7.15.

Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление (конечный продукт), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции (1-й столбец продукции) и как ее потребитель (1-я строка таблицы). Приведенную таблицу конкретного примера можно записать и в более общем виде (табл. 7.16).

Обозначим через хг валовый выпуск продукции г-й отрасли за планируемый период и через у — конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление (средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т. д.). Таким образом, разность (хг — ^г) составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Предполагаем, что баланс составляется в стоимостном разрезе. Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере xi.

Очевидно, величины, расположенные в строках, связаны следующими балансовыми равенствами:

Отсюда стоимостной баланс в общем виде запишется уравнениями:

Рассмотрев отношение количества продукции i-й отрасли, поступающей в k-ю отрасль для обеспечения выпуска ее продукции в размере xk, получим затраты на единицу валовой продукции

Рассчитываем агк по формуле (7.21) и записываем в табл. 7.15 в углах соответствующих клеток.

Найденные коэффициенты прямых затрат и образуют неотрицательную матрицу прямых затрат:

Подставляя в уравнение (7.20) соотношения (7.22) получим:

Систему уравнений МОБ (7.24) запишем в матричной форме

где Е — единичная матрица, А — матрица прямых затрат (7.23), X и Г — столбцовые матрицы

7.2.2.2. Полные внутрипроизводственные затраты

Р = (Е — А)-1, Р = || Р1к ||, (7.26)

тогда из (7.25): (Е — А)-1 ¦ (Е — А) ¦ X = (Е — А)-1 ¦ Г и, так как

(Е — А) ¦ (Е — А) = Е и ЕХ = X, то получаем, что объемы произ-

водства отраслей X определяются как

по заданным величинам конечного продукта потребления Г и матрице Р, которую называют матрицей коэффициентов полных затрат.

Элементы матрицы Р включают не только затраты i-й продукции, необходимой для создания одной единицы k-й продукции, но и те затраты, которые необходимы для создания в каждой отрасли одной единицы конечного продукта.

7.2.2.3. Косвенные затраты

Значит полные затраты Pik включают как прямые aik так и косвенные (Pik — aik) затраты. Очевидно, что всегда Pik > aik, точнее

Матрицы А2, А3, . , Ат. называются матрицами коэффициентов косвенных затрат 1-го, 2-го и т. д. порядков и коэффициенты полных затрат получают в виде суммы коэффициентов прямых затрат и косвенных затрат.

Прямые затраты не отражают в полной мере сложных количественных взаимосвязей, наблюдающихся в народном хозяйстве. Они в частности не отражают обратных связей, имеющих далеко не маловажное значение.

Как возникают косвенные затраты? Например, на изготовление трактора в виде прямых затрат расходуется чугун, сталь, и т. д., но для производства стали также нужен чугун. Таким образом, кроме прямых затрат чугуна, имеются и косвенные затраты чугуна, связанные с производством трактора. В эти косвенные затраты входит и чугун, необходимый для создания того количества чугуна, которое составляет прямые затраты. Эти косвенные затраты могут иногда существенно превышать прямые затраты.

Исходя из (7.27), валовый выпуск k-й отрасли хк определяется как

Модель межотраслевого баланса (7.24), (7.25) или (7.29) позволяет решить следующие задачи:

1) определить объем конечной продукции отраслей y1, y2, ., yn по заданным объемам валовой продукции х1, х2, . хп;

2) по заданной матрице коэффициентов прямых затрат А определить матрицу коэффициентов полных затрат P, элементы которой служат важными показателями для планирования развития отраслей;

3) определить объем валовой продукции отраслей хь х2, ., хп по заданным объемам конечной продукции у1, у2, . уп.

4) по п заданным объемам конечной или валовой продукции отраслей х1, .у2, х3, .у4, . определить оставшиеся п объемов.

7.2.2.4. Решение типовой задачи

Рассмотрим пример составления межотраслевого баланса производства и распределения продукции для трехотраслевой экономической системы, заданной матрицей коэффициентов прямых затрат А и вектором конечной продукции Г:

Найти коэффициенты полных затрат: плановые объемы валовой продукции X = (х1; х2, Х3); величину межотраслевых потоков, т. е. значения хгк (г = 1, 2, 3; к = 1, 2, 3); матрицу косвенных затрат; по заданному вектору увеличения косвенного выпуска продукции ДГ определить изменение плана ДХ.

Находим матрицу (Е — А):

Для определения матрицы полных затрат (7.28) обращаем матрицу К.

Первый способ нахождения К 1 = (Е — А)-1. Вычисляем определитель

Так как | К | ф 0, то существует матрица К 1 = Р обратная заданной матрице К.

Находим алгебраические дополнения для элементов матрицы К.

Из алгебраических дополнений составляем транспонированную матрицу и, деля ее на | К |, получаем обратную матрицу К -1:

Рассмотрим другой способ нахождения обратной матрицы К 1 с помощью жордановых исключений. Составляем табл. 7.17.

Совершаем последовательно три шага жордановых исключений, меняя местами Ьг — и х., получаем табл. 7.18—7.20.

Внутри табл. 7.20 стоит обратная матрица K 1. Округляя до третьего знака после запятой, имеем:

(1,580 0,469 0,359^	( 56 ^	(102,197^
X = PY =	0,276 1,220 0,100	20	=	41,047
0Д87 0,117 1Д31 0	I12 0	26,383

Следовательно, плановые объемы валовой продукции трех отраслей, необходимые для обеспечения заданного уровня конечной продукции равны:

х1 = 102,2; х2 = 41,0; х3 = 26,4.

Для составления баланса рассчитываем межотраслевые потоки средств производства по формуле (7.22):

x11 = 0,3 • 102,2 = 37,7; x21 = 0,15 • 102,2 = 15,3; x31 = 0,1 • 102,2 = 10,2; x12 = 0,25 • 41,0 = 10,2; x22 = 0,12 • 41,0 = 4,9; x32 = 0,05 • 41,0 = 2,1; x13 = 0,2 • 26,4 = 5,3; x23 = 0,03 • 26,4 = 0,8; x33 = 0,08 • 26,4 = 2,1.

Результаты вычислений представим в форме межотраслевого баланса (табл. 7.21). Величина чистой продукции определяется здесь как разница между валовой продукцией отрасли и суммой межотраслевых потоков в каждом столбце.

^^^Потребляющие отрасли Произво-^^^^ дящие отрасли^^	1	2	3	Конечная	Валовая
1	30,7	10,2	5,3	56	102,2
2	15,3	4,9	0,8	20	41,0
3	10,2	2,1	2,1	12	26,4
Чистая продукция	46,0	23,8	18,2	—	—
Валовая продукция	102,2	41,0	26,4	—	169,6

На основе заданных матриц Y и A по уровню конечного продукта и коэффициентов прямых затрат получен полностью сбалансированный план общего производства продукции и ее рас-

пределения как между отраслями в качестве средств производства, так и для конечного использования.

Матрицу косвенных затрат найдем из формулы (7.28):

Определяем изменение плана ДХ, которое потребуется при увеличении конечного выпуска продукции 1-й отрасли на 20, 2-й — на 10 и 3-й — на 5 (единиц).

Следовательно, потребуется увеличить валовый выпуск 1-й отрасли на Дх1 = 38,1, 2-й отрасли на Дх2 = 18,2 и 3-й отрасли на 10,6 (единиц).

Примеры решений задач по межотраслевому балансу

Модель межотраслевого баланса, или метод затраты-выпуск (или позднее модель Леонтьева), разработана выходцем из России, американцем В.В. Леонтьевым. В 30-е годы XX века метод был продемонстрирован на практике на примере экономики США и затем получил широкое применение для анализа и прогноза взаимодействия экономик отраслей, стран и континентов.

При изучении математических методов экономики студенты изучают классическую модель затраты-выпуск, которая является линейной и статической и обычно решается матричными методами линейной алгебры. Приведем несколько примеров решений задач с межотраслевыми моделями.

Вы можете заказать решение своей работы по межотраслевому балансу в МатБюро: Решение задач по экономико-математическим методам.

Бесплатные примеры: межотраслевой баланс (МОБ)

Задача 1. В таблице приведены коэффициенты прямых затрат и конечная продукция отраслей на плановый период, усл. ден.ед.(таблица в файле)
Найти:
1. плановые объемы валовой продукции отраслей, межотраслевые поставки, чистую продукцию отраслей;
2. необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление продукции сельского хозяйства увеличится на k%, а промышленности на l%.

Задача 2. Задание:
— построить таблицу межотраслевого баланса в стоимостном выражении;
— найти изменения валовых выпусков при увеличении конечного выпуска первой отрасли на 20%, третьей на 10% и неизменном конечном выпуске второй отрасли;
— как следует изменить цены на продукцию отраслей, если поставлены задачи увеличения добавленной стоимости в первой отрасли на 20%, а в третьей на 10%.
Дана матрица А коэффициентов прямых материальных затрат с компонентами (aij) и вектор конечного выпуска у с компонентами (yi).
а11 а12 а13 а21 а22 а23 а31 а32 а33 у1 у2 у3
0,3 0,4 0,1 0,2 0,2 0,1 0,3 0,2 0,1 100 150 190

Задача 3. Самостоятельно придумать какую-нибудь линейную модель равновесных цен размера 3х3 и решить её. Затем увеличить на 10 % норму добавленной стоимости в какой-нибудь одной отрасли и вычислить новый вектор равновесных цен, сравнить (в %) со старым.

Задача 4. Дан следующий отчетный межотраслевой баланс (МОБ) (таблица в файле)
Здесь в шахматке указаны межотраслевые потоки промежуточной продукции, в последних двух строках (за пределами таблицы) – объемы затрат труда и фондов, а в последнем столбце – конечная продукция.
Задания для выполнения работы
1. Построить таблицу отчетного МОБ, проверить основное балансовое соотношение.
2. Составить плановый МОБ при условии увеличения спроса на конечный продукт по отраслям соответственно на 10, 9, 7, 8 и 7 процентов.
3. Рассчитать коэффициенты прямых и полных затрат труда и фондов и плановую потребность в соответствующих ресурсах.
4. Проследить эффект матричного мультипликатора при дополнительном увеличении конечного продукта по 3-ей отрасли на 5 %.
5. Рассчитать равновесные цены при увеличении зарплаты по всем отраслям на 10 % (считать доли зарплаты в добавленной стоимости по отраслям следующими: 0,33, 0,5, 0,35, 0,43, 0,6). Проследить эффект ценового мультипликатора при дополнительном увеличении зарплаты в 1-й отрасли на 5 %.

Задача 5. Придумать свою какую-нибудь продуктивную матрицу размера 2х2 и вычислить запас продуктивности двумя способами.