Как составить общий знаменатель

1. 

   1

   Перечислите кратные каждого знаменателя. Составьте список из нескольких кратных для каждого знаменателя в уравнении. Каждый список должен состоять из произведения знаменателя на 1, 2, 3, 4 и так далее.

   • Пример: 1/2 + 1/3 + 1/5
   • Кратные 2: 2 * 1 = 2; 2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 * 5 = 10; 2 * 6 = 12; 2 * 7 = 14; и так далее.
   • Кратные 3: 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 *3 = 9; 3 * 4 = 12; 3 * 5 = 15; 3 * 6 = 18; 3 * 7 = 21; и так далее.
   • Кратные 5: 5 * 1 = 5; 5 * 2 = 10; 5 * 3 = 15; 5 * 4 = 20; 5 * 5 = 25; 5 * 6 = 30; 5 * 7 = 35; и так далее.

2. 

   2

   Определите наименьшее общее кратное. Просмотрите каждый список и отметьте любые кратные числа, которые являются общими для всех знаменателей. После выявления общих кратных определите наименьший знаменатель.

   • Обратите внимание, что если общий знаменатель не найден, возможно, потребуется продолжить выписывать кратные до тех пор, пока не появится общее кратное число.
   • Лучше (и легче) пользоваться этим методом в том случае, когда в знаменателях стоят небольшие числа.
   • В нашем примере общим кратным всех знаменателей является число 30: 2 * 15 = 30; 3 * 10 = 30; 5 * 6 = 30
   • НОЗ = 30

3. 

   3

   Перепишите исходное уравнение. Для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, при этом не изменив их значения, умножьте каждый числитель (число, стоящее над дробной чертой) на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.

   • Пример: (15/15) * (1/2); (10/10) * (1/3); (6/6) * (1/5)
   • Новое уравнение: 15/30 + 10/30 + 6/30

4. 

   4

   Решите полученное уравнение. После нахождения НОЗ и изменения соответствующих дробей, просто решите полученное уравнение. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).

   • Пример: 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30 = 1 1/30

   Реклама

1. 

   1

   Перечислите делители каждого знаменателя. Делитель – это целое число, которое делит нацело данное число.^[4]
   Например, делителями числа 6 являются числа 6, 3, 2, 1. Делителем любого числа является 1, потому что любое число делится на единицу.

   • Пример: 3/8 + 5/12
   • Делители 8: 1, 2, 4, 8
   • Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

2. 

   2

   Найдите наибольший общий делитель (НОД) обоих знаменателей. Перечислив делители каждого знаменателя, отметьте все общие делители. Самый большой общий делитель является наибольшим общим делителем, который понадобится вам для решения задачи.

   • В нашем примере общими делителями для знаменателей 8 и 12 являются числа 1, 2, 4.
   • НОД = 4.

3. 

   3

   Перемножьте знаменатели между собой. Если вы хотите использовать НОД для решения задачи, сначала перемножьте знаменатели между собой.

   • Пример: 8 * 12 = 96

4. 

   4

   Разделите полученное значение на НОД. Получив результат перемножения знаменателей, разделите его на вычисленный вами НОД. Полученное число будет наименьшим общим знаменателем (НОЗ).

   • Пример: 96 / 4 = 24

5. 

   5

   Разделите НОЗ на исходный знаменатель. Для вычисления множителя, который требуется для приведения дробей к общему знаменателю, разделите найденный вами НОЗ на исходный знаменатель. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на этот множитель. Вы получите дроби с общим знаменателем.

   • Пример: 24 / 8 = 3; 24 / 12 = 2
   • (3/3) * (3/8) = 9/24; (2/2) * (5/12) = 10/24
   • 9/24 + 10/24

6. 

   6

   Решите полученное уравнение. НОЗ найден; теперь вы можете сложить или вычесть дроби. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).

   • Пример: 9/24 + 10/24 = 19/24

   Реклама

1. 

   1

   Разложите каждый знаменатель на простые множители. Разложите каждый знаменатель на простые множители, то есть простые числа, которые при перемножении дают исходный знаменатель. Напомним, что простые множители – это числа, которые делятся только на 1 или самих себя.^[6]
   

   • Пример: 1/4 + 1/5 + 1/12
   • Простые множители 4: 2 * 2
   • Простые множители 5: 5
   • Простые множители 12: 2 * 2 * 3

2. 

   2

   Подсчитайте число раз каждый простой множитель есть у каждого знаменателя. То есть определите, сколько раз каждый простой множитель появляется в списке множителей каждого знаменателя.

   • Пример: Есть две 2 для знаменателя 4; нуль 2 для 5; две 2 для 12
   • Есть нуль 3 для 4 и 5; одна 3 для 12
   • Есть нуль 5 для 4 и 12; одна 5 для 5

3. 

   3

   Возьмите только наибольшее число раз для каждого простого множителя. Определите наибольшее число раз наличия каждого простого множителя в любом знаменателе.

   • Например: наибольшее число раз для множителя 2 — 2 раза; для 3 – 1 раз; для 5 – 1 раз.

4. 

   4

   Запишите по порядку найденные в предыдущем шаге простые множители. Не записывайте число раз наличия каждого простого множителя во всех исходных знаменателях – делайте это с учетом наибольшего числа раз (как описано в предыдущем шаге).

   • Пример: 2, 2, 3, 5

5. 

   5

   Перемножьте эти числа. Результат произведения этих чисел равен НОЗ.

   • Пример: 2 * 2 * 3 * 5 = 60
   • НОЗ = 60

6. 

   6

   Разделите НОЗ на исходный знаменатель. Для вычисления множителя, который требуется для приведения дробей к общему знаменателю, разделите найденный вами НОЗ на исходный знаменатель. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на этот множитель. Вы получите дроби с общим знаменателем.

   • Пример: 60/4 = 15; 60/5 = 12; 60/12 = 5
   • 15 * (1/4) = 15/60; 12 * (1/5) = 12/60; 5 * (1/12) = 5/60
   • 15/60 + 12/60 + 5/60

7. 

   7

   Решите полученное уравнение. НОЗ найден; теперь вы можете сложить или вычесть дроби. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).

   • Пример: 15/60 + 12/60 + 5/60 = 32/60 = 8/15

   Реклама

1. 

   1

   Преобразуйте каждое смешанное число в неправильную дробь. Для этого умножьте целую часть смешанного числа на знаменатель и сложите с числителем – это будет числитель неправильной дроби. Целое число тоже превратите в дробь (просто поставьте 1 в знаменателе).

   • Пример: 8 + 2 1/4 + 2/3
   • 8 = 8/1
   • 2 1/4, 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9; 9/4
   • Переписанное уравнение: 8/1 + 9/4 + 2/3

2. 

   2

   Найти наименьший общий знаменатель. Вычислите НОЗ любым способом, описанным в предыдущих разделах. Для этого примера мы будем использовать метод «перечисление кратных», в котором выписываются кратные каждого знаменателя и на их основе вычисляется НОЗ.

   • Обратите внимание, что вам не нужно перечислять кратные для 1, так как любое число, умноженное на 1, равно самому себе; иными словами, каждое число является кратным 1.
   • Пример: 4 * 1 = 4; 4 * 2 = 8; 4 * 3 = 12; 4 * 4 = 16; т.д.
   • 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12; т.д.
   • НОЗ = 12

3. 

   3

   Перепишите исходное уравнение. Числители и знаменатели исходных дробей умножьте на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.

   • Например: (12/12) * (8/1) = 96/12; (3/3) * (9/4) = 27/12; (4/4) * (2/3) = 8/12
   • 96/12 + 27/12 + 8/12

4. 

   4

   Решите уравнение. НОЗ найден; теперь вы можете сложить или вычесть дроби. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).

   • Пример: 96/12 + 27/12 + 8/12 = 131/12 = 10 11/12

   Реклама

Что вам понадобится

• Карандаш
• Бумага
• Калькулятор (по желанию)

Как привести две дроби $frac{6}{11}$ и $frac{2}{7}$ к общему знаменателю.

Решение.

Умножим дроби $frac{6}{11}$ и $frac{2}{7}$ на дополнительные множители $7$ и $11$ соответственно и приведем их к общему знаменателю $77$:

$frac{6cdot 7}{11cdot 7}=frac{42}{77}$

$frac{2cdot 11}{7cdot 11}=frac{22}{77}$

Найти общие знаменатели дробей $frac{3}{7}$ и $frac{2}{13}$.

Решение.

Данные дроби имеют знаменатели, равные $7$ и $13$ соответственно. Положительные общие кратные чисел $2$ и $5$ равны $91, 182, 273, 364$ и т.д.

Любое из этих чисел можно использовать в качестве общего знаменателя дробей $frac{3}{7}$ и $frac{2}{13}$.

Определить, можно ли дроби $frac{1}{2}$, $frac{16}{7}$ и $frac{11}{9}$ привести к общему знаменателю $252$.

Решение.

Чтобы определить, как привести дробь к общему знаменателю $252$, необходимо проверить является ли число $252$ общим кратным знаменателей $2, 7$ и $9$. Для этого разделим число $252$ на каждый из знаменателей:

$frac{252}{2}=126,$
$frac{252}{7}=36$,
$frac{252}{9}=28$.

Число $252$ делится нацело на все знаменатели, т.е. является общим кратным чисел $2, 7$ и $9$. Значит, данные дроби $frac{1}{2}$, $frac{16}{7}$ и $frac{11}{9}$ можно свести к общему знаменателю $252$.

Ответ: можно.

Заданы дроби $frac{4}{15}$ и $frac{37}{18}$. Найти их наименьший общий знаменатель.

Решение.

Знаменатели данных дробей равны $15$ и $18$. Найдем наименьший общий знаменатель как НОК чисел $15$ и $18$. Используем для этого разложение чисел на простые множители:

$15=3cdot 5$, $18=2cdot 3cdot 3$

$НОК(15, 18)=2cdot 3cdot 3cdot 5=90$.

Ответ: $90$.

Найти наименьший общий знаменатель дробей $frac{4}{16}$ и $frac{3}{22}$ и привести к нему обе дроби.

Решение.

Воспользуемся алгоритмом приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.

1. Вычислим наименьшее общее кратное чисел $16$ и $22$:

   Разложим знаменатели на простые множители: $16=2cdot 2cdot 2cdot 2$, $22=2cdot 11$.

   $НОК(16, 22)=2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 11=176$.

2. Вычислим дополнительные множители для каждой дроби:

   $176div 16=11$ – для дроби $frac{4}{16}$;

   $176div 22=8$ – для дроби $frac{3}{22}$.

3. Умножим числители и знаменатели дробей $frac{4}{16}$ и $frac{3}{22}$ на дополнительные множители $11$ и $8$ соответственно. Получим:

   $frac{4}{16}=frac{4cdot 11}{16cdot 11}=frac{44}{176}$

   $frac{3}{22}=frac{3cdot 8}{22cdot 8}=frac{24}{176}$

   Обе дроби приведены к наименьшему общему знаменателю $176$.

Ответ: $frac{4}{16}=frac{44}{176}$, $frac{3}{22}=frac{24}{176}$.