Как составить определитель 3 порядка

Мы уже знакомы с понятием определителя матрицы. Также мы рассмотрели правила вычисления детерминантов (определителей) первого и второго порядка. Познакомимся с различными вариантами нахождения определителей третьего порядка.

Вычисление определителей по правилу треугольника

Схематически раскрытие определителя по этому правилу выглядит так:

Согласно рисункам №1 и №2 мы перемножаем элементы, соединенные прямыми. Произведения элементов будут иметь определенные знаки: для рисунка 1 — «+», для рисунка 2 — «-».

На рисунке 1 мы видим равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали; на рисунке 2 — равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными второй (побочной) диагонали. Поэтому данное правило имеет такое название.

Определитель может быть вычислен по формуле:

∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}=

=a11⋅a22⋅a33+a12⋅a23⋅a31+a13⋅a32⋅a21−a13⋅a22⋅a31−a12⋅a33⋅a21−a11⋅a23⋅a32=a_{11}cdot a_{22}cdot a_{33}+a_{12}cdot a_{23}cdot a_{31}+a_{13}cdot a_{32}cdot a_{21}-a_{13}cdot a_{22}cdot a_{31}-a_{12}cdot a_{33}cdot a_{21}-a_{11}cdot a_{23}cdot a_{32}.

Примеры

Рассмотрим примеры нахождения определителя по правилу треугольника.

При вычислении определителей таким способом можно легко совершить ошибку из-за невнимательности. Чтобы избежать таких ошибок существует второй способ, называемый правилом Саррюса, или способом «параллельных полосок».

Вычисление определителей по правилу Саррюса

Правило Саррюса также именуют способом присоединения двух строк/столбцов или правилом параллельных полосок.

Основная идея этого правила состоит в приписывании первого и второго столбца справа от определителя.

Вычисления будем производить по следующей схеме:

Перемножаем элементы, соединенные прямыми. Данные произведения берем со знаком «+», если диагональ, на которой они стоят, является главной или параллельной ей; со знаком «-», если она является второй (побочной) или параллельной ей.

В общем виде вычисление по правилу Саррюса можно записать следующим образом:

∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣a11a12a21a22a31a32=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}begin{matrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\a_{31}&a_{32}end{matrix}=

=a11⋅a22⋅a33+a12⋅a23⋅a31+a13⋅a21⋅a32−a13⋅a22⋅a31−a11⋅a23⋅a32−a12⋅a21⋅a33=a_{11}cdot a_{22}cdot a_{33}+a_{12}cdot a_{23}cdot a_{31}+a_{13}cdot a_{21}cdot a_{32}-a_{13}cdot a_{22}cdot a_{31}-a_{11}cdot a_{23}cdot a_{32}-a_{12}cdot a_{21}cdot a_{33}.

Сравнивая эти два способа вычисления определителей, видим одинаковые множители, которые во втором случае немного переставлены местами.
Возможность допустить ошибку, вычисляя определитель по правилу Саррюса, намного меньше.

Примеры

Существует еще одна вариация правила Саррюса. Она состоит в приписывании первой и второй строки снизу от определителя. Вычисления производятся аналогично.

Минор и алгебраическое дополнение

Прежде чем перейти к рассмотрению еще одного способа вычисления определителей 3-го порядка разберем 2 понятия: минор, алгебраическое дополнение.

Минор

Таким образом, минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца. Например, M11M_{11} получается вычеркиванием 1-й строки и 1-го столбца, M23M_{23} — вычеркиванием 2-й строки и 3-го столбца.

Алгоритм нахождения миноров:

1. вычеркиваем ii-ю строку;
2. вычеркиваем jj-й столбец;
3. записываем определитель, который получили в результате действий 1 и 2.

Примеры

Алгебраическое дополнение

Алгоритм нахождения алгебраических дополнений:

1. найти сумму номеров строки (i)(i) и столбца (j)(j);
2. найти минор MijM_{ij} по алгоритму нахождения миноров, который представлен выше;
3. подставить значения, полученные на шагах 1 и 2, в формулу Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij}=(-1)^{i+j}cdot M_{ij}.

Примеры

Зная, что такое миноры и алгебраические дополнения, рассмотрим вычисление определителя по строке и столбцу.

Вычисление определителя по строке или столбцу

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Алгоритм вычисления определителя по строке или столбцу:

1. находим алгебраические дополнения элементов строки или столбца;
2. находим произведения элементов на их алгебраические дополнения;
3. находим сумму, полученных на шаге 2, произведений.

Примеры

Любой из рассмотренных способов можно применять при нахождении определителей третьего порядка. В следующий раз мы разберем вычисление определителей матриц высших порядков.

Оформите решение задачи на заказ онлайн, если возникают трудности с выполнением!

Тест по теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка»

Определитель третьего порядка

Определитель
третьего порядка:

,

– элементы определителя
.

Следует
запомнить, что элементы

образуют
главную диагональ определителя, элементы

составляют его побочную диагональ.

Вычисление определителя третьего порядка.

1. Вычисление
   определителя третьего порядка по
   правилу треугольников

Рис.
1 Рис. 2

Данное правило
заключается в том, что первые три
слагаемые в правой части равенства
вычисляются так, как это показано на
Рис. 1, они представляют собой произведения
элементов, стоящих на главной диагонали
и вершинах двух треугольников, у которых
одна из сторон параллельна главной
диагонали. Остальные три слагаемых
правой части равенства вычисляются
аналогично (Рис. 2), только за основу
взята побочная диагональ. Причем эти
слагаемые берутся с обратным знаком.

Определение:
Минором данного элемента
определителя третьего порядка называется
определитель второго порядка, полученный
из данного определителя вычеркиванием
строки и столбца, на пересечении которых
стоит данный элемент.

— минор данного
элемента определителя третьего порядка.

Определение:
Алгебраическое дополнение
данного элемента – это минор, взятый
со знаком «плюс», если сумма

— четное число, и со знаком «минус», если
эта сумма нечетная.

— алгебраическое дополнение данного
элемента определителя третьего порядка.

.

Замечание.

Здесь

означает номер строки, а

— номер столбца, на пересечении которых
находится данный элемент.

Пример
2. Дана матрица

.
Найти

.

Решение

Минор

,
соответствующий элементу

,
есть определитель

.
Он получается, если вычеркнуть из данного
определителя третьего порядка третью
строку и первый столбец.

По
формуле (14) находим алгебраическое
дополнение для элемента

.

1. Разложение
   определителя по элементам строки (или
   столбца).

— разложение
определителя по элементам первой строки.

Определитель равен
сумме произведений элементов какой –
либо строки (или столбца) на их
алгебраические дополнения.

Замечание.

Все свойства
определителей второго порядка остаются
справедливыми для определителей третьего
и более высокого порядка.

Определители высших порядков

Определитель
n – го порядка.

.

— разложение
определителя n – го порядка по
элементам первой строки.

Замечание.

Для определителей
любых порядков остаются в силе определения
минора и алгебраического дополнения
данного элемента.

Пример
3. Вычислить определитель третьего
порядка

.

1. по
   правилу треугольников

2. используя
   разложение по элементам строки (или
   столбца)

3. используя
   разложение по элементам строки (или
   столбца), с предварительным образованием
   нулей.

Решение

1. Вычисляем
   определитель по правилу треугольников,
   используя формулу (2).

1. Разложим
   определитель по элементам первой
   строки, используя формулу (3)

1. Используя
   свойство (8), можно значительно упростить
   вычисление определителя, получая нули
   в некотором столбце или строке.

Умножая третью
строку на (- 4) и складывая ее со второй,
а умножая третью строку на (- 2) и складывая
ее с первой, получим

.
Вычислим этот определитель, разлагая
его по элементам второго столбца (т. к.
из трех элементов – два нуля):

.
Согласно свойству (3) , из первого столбца
выносим (-1), а из второго (-5), получаем

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

• Вычисления определителей второго порядка
• Методы вычисления определителей третьего порядка
• Приведение определителя к треугольному виду
• Правило треугольника
• Правило Саррюса
• Разложение определителя по строке или столбцу
• Разложение определителя по элементам строки или столбца
• Теорема Лапласа

В общем случае правило вычисления определителей
$n$-го порядка
является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения
элементов главной диагонали отнять произведение
элементов побочной диагонали:

$$left| begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \ {a_{21}} & {a_{22}}end{array}right|=a_{11} cdot a_{22}-a_{12} cdot a_{21}$$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми,
берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.

$$left| begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}end{array}right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$

$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей
параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных,
со знаком «минус»:

$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их
алгебраические дополнения. Обычно выбирают
ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение
к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его
значение, согласно свойствам определителя, равно произведению
элементов стоящих на главной диагонали.

Теорема Лапласа

Читать дальше: обратная матрица.

Существует несколько способов нахождения определителей матриц третьего порядка. Рассмотрим их подробнее.

Перечислим основные способы, используемые для этого:

• Правило Саррюса;
• Правило треугольников;
• Использование специальной формулы для вычисления;
• Использование метода Гаусса или иначе метода перестановок.

Правило Саррюса

Правило Саррюса для вычисления матриц 3-ьего порядка применяется просто: достаточно соответственно рисунку переписать 2 первых столбика справа рядом с матричной таблицей, а затем записать произведения, стоящие по диагоналям со знаками.

Правило треугольников

Это правило немного похоже на предыдущее. Суть его в том, что произведения элементов с главной диагонали и двух треугольников, задействующих все остальные элементы как показано на рисунке, записываются со знаком плюс, а произведения элементов с побочной диагонали и двух синих треугольников — с противоположным.

Использование формулы разложения по строчке

$A = begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \ end{pmatrix}$

Для матрицы 3 на 3, приведённой выше, определитель можно сосчитать по формуле:

$Δ =begin{array}{|ccc|} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \ end{array}=a_{11} cdot begin{array}{|cc|} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} \ end{array} – a_{12} cdot begin{array}{|cc|} a_{11} & a_{13} \ a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} \ end{array} + a_{13} cdot begin{array}{|cc|} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} \ end{array}= a_{11} cdot a_{22} cdot a_{33} – a_{12} cdot a_{23} cdot a_{31} + a_{13} cdot a_{21} cdot a_{32} — a_{13} cdot a_{22} cdot a_{31}$.

Метод Гаусса

Чтобы вычислить детерминант этим методом, нужно используя разрешённые преобразования получить треугольную матрицу.

Разрешёнными преобразованиями являются сложение и вычитание строчек и столбцов, в то время как при перестановке строчек и столбцов между собой необходимо помнить о смене знака определителя в конце.

После этого нужно перемножить элементы, стоящие на главной диагонали, их произведение и будет определителем.