Как составить открытое задание



Совместимы ли творчество и математика? Если под словом «творчество» понимать не музыку и рисование, а «деятельность, порождающую нечто качественно новое, никогда ранее не бывшее» [1], то в математике, как и в любой деятельности, человек может проявить свои творческие способности.

Большинство методов и форм обучения математике способствует накоплению учеником суммы знаний, и в массовой школьной практике большинство математических задач рассматривается как средство отработки и закрепления школьного материала. К сожалению, имеет место и «разучивание» основных типов задач в целях успешной сдачи итоговой аттестации учащимися.

Можно ли обучить творчеству? Именно на этот вопрос и отвечает ТРИЗ-педагогика, в основу которой была положена теория решения изобретательских задач (ТРИЗ) школы Г. С. Альтшуллера.

Основным ее инструментом является «открытая задача». В отличие от «закрытых» задач, в которых есть четкое условие, известный алгоритм решения и единственный ответ, «открытые» задачи имеют «размытое» условие, различные пути решения и неоднозначные ответы. [2]

Закрытые задачи бывают двух видов: на вычисления какой-либо величины или на доказательство. Такие задачи можно даже назвать упражнениями по отработке некоторых учебных навыков при изучении нового материала.

Открытые задачи — это проблемные ситуации, встречающиеся в реальной жизни. Для решения их необходимо самостоятельно осмыслить, сформулировать условие, вопрос задачи, иногда найти сведения, необходимые для ее решения.

Открытые задачи можно разделить на «изобретательские» и «исследовательские». Можно также классифицировать их по разной степени открытости.

Как же составить открытую задачу? С чего начинать?

Сначала перечислим три основных требования к условию учебной (изобретательской или исследовательской) задачи:

− Достаточность условия

− Корректность вопроса

− Наличие противоречия. [3]

При этом не забываем, что условие задачи должно быть связано с жизненной ситуацией.

О чем необходимо помнить при составлении открытой задачи? Она должна быть интересной, понятной по тексту и принципиально решаемой. Некоторые из текстовых задач, предложенных в школьных учебниках математики, можно превратить в открытые исследовательские задачи. Рассмотрим одну из типовых школьных задач.

Задача: Из двух городов, расстояние между которыми 420 км, навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость одного из них 68 км/ч, а скорость второго — 72 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

Данная задача имеет единственный верный ответ и алгоритм решения. Уберем из текста задачи фразу «навстречу друг другу», и задача уже имеет неоднозначное решение. При ее решении ученики разбирают не только движение «навстречу друг другу», но и движение в «противоположном направлении» или в «одну сторону». Конечно, в каждой из этих ситуаций учащиеся придут к различным ответам. Измененное условие задачи хотя и делает из «закрытой» задачи «открытую», но при этом условие ее остается таким же скучным для школьника. Изменим текст задачи, сделаем ее более современной.

Задача: Между городами Саратов и Волгоград 380 км. Из Саратова выехал автомобиль «Тойота Камри», а из Волгограда — автомобиль «Шкода Октавия». Какое расстояние будет между ними через 30 минут, если каждая машина будет ехать с максимальной скорость?

Для справки: автомобиль «Тойота Камри» развивает скорость 210 км/ч, а автомобиль «Шкода Октавия» — 240 км/ч.

Рассмотрим еще одну школьную задачу

Задача: Покупка стоит 475 рублей. Сколько сдачи получит покупатель из кассы с пяти купюр по 100 рублей каждая?

Если в условии задачи, заменить число 475 переменной А, то получим простейшую задачу с параметром, которая также приводит к неоднозначному ответу.

Как изменить условие задачи, чтобы помимо открытости, она содержала и реальные жизненные ситуации? Здесь на помощь приходят факты и информация из различных школьных дисциплин. Также все ученики любят решать задачи, в которых главными героями являются они сами, задачи «о себе любимых».

Задачи: Кирилл и Никита одноклассники. Никита живет в 2 км от школы (по прямой), а Кирилл — в 3 км. На каком расстоянии друг от друга живут Никита и Кирилл?

К этой задаче прилагаем фрагмент карты города (выполненный в масштабе) со школой и прилежащими к ней улицами.

В реальной жизни мы получаем не только числа, необходимые нам для решения проблемы, но и избыточные данные. При решении таких заданий нужно определить, какие именно из предложенных величин нужны для поиска ответа на вопрос.

Для составления задач с избыточными данными можно взять любой научно-популярный текст из школьного учебника или одной из детских энциклопедий, предложить ученикам самостоятельно найти числовые величины для этого отрывка. Придумав вопросы, которые можно задать к этому фрагменты, ученик превращает его в условие задачи. Например, рассмотрим следующий текст:

Африканский страус

Африканский страус — самая крупная из современных птиц. Страус имеет плотное телосложение, длинную шею и небольшую уплощённую голову. Клюв прямой, плоский, с роговым «когтем» на надклювье, довольно мягкий. Страусы — нелетающие птицы. Крылья у страусов недоразвитые. Задние конечности длинные и сильные, всего с двумя пальцами. Один из пальцев заканчивается подобием рогового копыта — на него птица опирается при беге. Благодаря своему росту и прекрасному зрению, страусы первые замечают опасность. В случае опасности они бросаются в бегство.

Добавим в этот фрагмент числовые величины.

Задача: Африканский страус

Африканский страус — самая крупная из современных птиц: высотой до 270 см и массой до 156 кг [Википедия]. Страус имеет плотное телосложение, длинную шею и небольшую уплощённую голову. Клюв прямой, плоский, с роговым «когтем» на надклювье, довольно мягкий. Страусы — нелетающие птицы. Крылья у страусов недоразвитые. Задние конечности длинные и сильные, всего с двумя пальцами. Один из пальцев заканчивается подобием рогового копыта — на него птица опирается при беге. Благодаря своему росту и прекрасному зрению, страусы первые замечают опасность. В случае опасности они бросаются в бегство, развивая скорость до 70 км/ч и делая шаги до 4 м длиной, и при необходимости круто меняют направление бега, не снижая скорости. Страусята вылупляются зрячие, покрытые пухом и способные к передвижению. Только что вылупившийся страусёнок весит около 1,2 кг, а к четырём месяцам достигает 18–19 кг. Молодые страусы уже в месячном возрасте могут бегать со скоростью до 50 км/ч. [4] Придумайте вопросы, превращающие данный текст в условие задачи.

Учащиеся придумывают вопросы и самостоятельно проверяют, достаточно ли данных для решения задачи. Возможные вопросы к данной задаче:

− Во сколько раз вес вылупившегося страусенка меньше веса взрослого страуса?

− Сколько составляет среднесуточный привес страусенка в первые четыре месяца жизни?

− На какое расстояние переместится страус при бегстве, если через каждые три шага, будет менять направление движения под прямым углом к траектории, если он поменяет направление два раза? три раза?

Приобретая опыт составления и решения таких задач, школьники составляют свои собственные задачники по темам: «Растения», «Животные», «Древняя Греция».

Превратить школьные задачи в открытые изобретательские задачи лучше всего получается в геометрии. Для этого нужно только ввести в задачу ограничения (по инструментам, по материалам). Рассмотрим пример.

Задача: Наша школьная спортивная площадка будет ремонтироваться. Для расчета материалов нам нужно посчитать ее площадь. Как это сделать, если размеры площадки неизвестны и у вас только линейка 30 см, и небольшая (меньше метра) ленточка?

Лучше всего решать эту задачу практически, с выходом на местность. В этом случае можно предложить выполнить измерения различными способами и сравнить результаты.

Как показывает практика, ученики измеряют длину и ширину площадки шагами, иногда, связывая ноги ленточкой для фиксации длины шага. Измеряют ленточкой, пользуясь ею как эталоном длины и переводя результат в метрическую систему. Были и те, кто измерял длиной ступни, обходя площадку мелкими шажками.

Задача: «В русских усадьбах 19 века рядом с домом находилась парадная часть парка. Ее украшал цветник в виде клумбы овальной или округлой формы, в центре которой возвышалась ваза, скульптура или фонтан. Почти в каждой богатой усадьбе многие теплолюбивые деревья и кустарники выращивали в кадках и в летнее время выносили на открытый воздух» [5]. Пользуясь веревкой (4–5 м) и несколькими колышками, разбейте круглую клумбу и вдоль края клумбы на одинаковом расстоянии поставьте шесть кадок с цветами.

Эта задача подходит для любой командной игры на свежем воздухе. Для решения ее требуются знания геометрии 8–9 классов.

При решении этой задачи только небольшой процент учащихся начал вспоминать материал школьного курса геометрии. Большинство, проведя окружность с помощью веревки и двух колышков, расставляло кадки «на глазок», что не всегда приводило к верному результату.

Почти все задачи на доказательство школьного курса геометрии можно сделать открытыми задачами. Изучив весь курс планиметрии 7–9 классов, нужно вернуться к пройденным задачам и предложить ученикам найти другие доказательства.

Таким образом, решение и составление открытых задач позволяет ученикам выйти за пределы предмета «математика», овладеть общеучебными навыками, научиться решать практические задачи, связанные с различными жизненными ситуациями. Это позволяет реализовать требования ФГОС. Но нельзя построить весь процесс обучения только на открытых задачах. Нужно эффективно сочетать оба типа задач — открытые и закрытые.

Как показала практика, использование открытых задач повысило мотивацию школьников в изучении предмета «математика».

Литература:

1. Значение слова ТВОРЧЕСТВО в Большой советской энциклопедии, БСЭ // slovar.cc. URL: https://slovar.cc/enc/bse/2047434.html (дата обращения: 23.01.2020).
2. Гин А., Кавтрев А. Креатив-бой. — 3-е изд. — М.: Вита-Пресс, 2015. — 32 с.
3. Гин А. Приемы педагогической техники. — 6-е изд. — М.: Вита-Пресс, 2005. — 112 с.
4. Страус // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/ %D0 %A1 %D1 %82 %D1 %80 %D0 %B0 %D1 %83 %D1 %81 (дата обращения: 23.01.2020).
5. Русские усадьбы // Greeninfo.ru. URL: https://www.greeninfo.ru/landscape/russian_estate.html (дата обращения: 23.01.2020).

Прежде, чем перейти к описанию алгоритма, ответим на вопрос: а зачем сочинять открытые задачи самостоятельно? Не проще ли взять их из уже имеющихся сборников, например, по физике «Объяснить необъяснимое» или из сборников биологической направленности «Хищники нападают», «Как не стать добычей»? Но, во-первых, подобные сборники существуют далеко не по всем предметным областям. Во-вторых, подобрать подходящую задачу по конкретной теме бывает порой очень непросто, а учителю, как правило, хочется связать содержание задач с изучаемым материалом. В —третьих, на разных уроках педагог ставит разные цели и иногда возникает желание подобрать задачу под определенную цель, что тоже нелегко сделать. И, наконец, сочинение задач само по себе полезное и развивающее занятие.

Итак, с чего же следует начинать?

Шаг первый: подбор материала

Составление открытой задачи начинается с подбора яркого, интригующего материала. Где взять такой материал? В поиске сюжета для задачи можно обратиться к научно-популярной литературе, к текущей периодике, а также к интернет-сайтам соответствующей тематики. В частности, — к материалам сайта журнала «Наука и жизнь» www.nkj.ru, «Знание — сила» www.znanie-sila.su, «Химия и Жизнь — XXI век» www.hij.ru, популярного сайта о фундаментальной науке «Элементы» www.elementy.ru, познавательного сайта Тимура Хабибуллина www.extim1.narod.ru, Научно-популярный Интернет-журнала «Мембрана», www.membrana.ru, сайта www.vivovoco.rsl.ru.

Конечно, даже в насыщенной интересными фактами научно-популярной статье не так-то легко рассмотреть задачу. Но с опытом сочинительства задач приходит и умение видеть в тексте «задачный» потенциал…

Шаг второй: составление условия и вопроса

Найти интересный материал для задачи — полдела, важно еще его удачно подать. И здесь мы советуем следовать следующим правилам. Условие должно формулироваться кратко, желательно уложится в 3-7 строк. Длинные тексты едва ли способны заинтересовать современных детей. Текст условия должен быть максимально ясным, понятным и увлекательным. Если задачу сложно решить без дополнительной, «наводящей» информации, которая не умещается в этот объем, дополнительные сведения лучше дать отдельным текстом — в «Справке». Хорошо бы сформулировать условие так, чтобы задача имела не одно и даже не несколько, а много допустимых решений. Такие задачи особенно хороши на начальной стадии работы по развитию креативного мышления, так как способствуют генерации идей. Если у задачи есть тривиальные решения, то в условии их надо «отсечь».

Шаг третий: формулирование контрольного ответа

Контрольный ответ — это то решение, которое было осуществлено в жизни. Поскольку большинство открытых задач строятся на основе каких-то жизненных событий или процессов, то, как правило, контрольный ответ есть. Он должен быть сформулирован кратко и такими словами, как бы это мог сказать школьник.

Добавим, что контрольный ответ — это не обязательно лучшее решение.

Шаг четвертый: продумывание дополнительного вопроса

Этот шаг не обязательный, но очень желательный. Пока дети находятся под впечатлением от решения интересной задачи, пока этот интерес не остыл хорошо бы «подбросить» им еще несколько вопросов, осмысление которых позволило бы глубже вникнуть в проблему. Можно даже предложить подумать над вопросом, ответ на который еще не знает никто.

Кроме того, на этом этапе имеет смысл познакомить детей с каким-то ярким дополнительным материалам «по теме».

Шаг пятый: придумывание названия

Конечно, учителю ничто не мешает предложить детям задачу без названия. И все же до тех пор пока у задачи нет названия, ее потенциал остается как бы недораскрытым. Поэтому в конце сочинения задачи мы рекомендуем подумать над тем, как бы она могла называться? Название должно отражать содержание задачи и в то же время сразу притягивать внимание. Вот несколько примеров подобных интригующих названий: Остановка в небе. Светло ли растениям под землей? Можно ли так шуметь, чтобы стало тихо?

Эффект соучастия

И напоследок — еще одна рекомендация. Особое внимание при составлении задачи стоит уделить тому, чтобы ее содержание затрагивало сферу чувств. Как этого достичь?

В качестве примера — краткое описание нашей работы над составлением открытый задачи на основе произведения Л. Толстого «Рассказ аэронавта». Первая формулировка задачи, практически, повторяла фрагмент рассказа: «Чтобы узнать, поднимаюсь ли я, или стою на месте, я выбросил бумажки из лодки. Бумажки точно камни летели книзу. Значит, я, как стрела, летел кверху. Я изо всех сил ухватился за веревку и потянул, чтобы выпустить газ. Слава богу, клапан открылся, засвистало что-то. Я выбросил еще бумажку, бумажка полетала около меня и поднялась. Значит, я опускался».

Как аэронавт может определить поднимается или опускается воздушный шар, если не видно земли? В таком виде задача представляется слишком легкой, поскольку решение логически выводится из условия. Кроме того, эта формулировка нам показалась слишком пресной, так как не отражала драматизм ситуации.

Поэтому мы решили изложить задачу несколько иначе: «Герой рассказа Л. Н. Толстого поднялся на воздушном шаре выше границы облачности, так что земли не было видно. Ему было необходимо определить направление движения воздушного шара. Ведь если шар поднимется слишком высоко, то может лопнуть, и тогда гибель неминуема. Если же шар уже начал опускаться, то попытка выпустить часть газа может привести к слишком быстрому спуску или даже к падению, а значит опять же к гибели аэронавта. Как быть? Как аэронавт может определить поднимается или опускается воздушный шар, если не видно земли?». Такая формулировка вполне уместна, но мы подумали, что она будет восприниматься без особого интереса. И тогда чтобы вызвать эффект соучастия добавили к вопросу несколько дополнительных фраз: «Представьте себя на месте аэронавта. Смогли бы вы, опираясь на свои знания по физике, предложить способ определения направления движения воздушного шара, если земли не видно? Какой способ бы вы могли предложить…». Нам кажется, что в последней редакции задача «заиграла».

***

Анатолий Гин зовет вас 7 июня, в четверг, в 22-00 на часовой вебинар «Суть и перспективы ТРИЗ-педагогики». Можно будет задать вопросы онлайн, а все зарегистрировавшиеся получат запись. БЕСПЛАТНО! Зарегистрироваться!

Еще больше интересных статей на портале Образование для всех

Подписаться на авторский канал, посвященный ТРИЗ-педагогике.
Автор — Анатолий Гин

Здравствуйте! Тему мастер-класса я пока
называть не стану, а предложу решить задачу:

Расстояние между двумя машинами, едущими по
шоссе, 200 км. Первая машина двигается со скоростью
60 км/ч, вторая – 80 км/ч. Чему будет равно
расстояние между ними через 1 час.

Прошу решить задачу, ответ записать
фломастером на листе бумаги и показать мне. (зал
тоже работает)

— Я вижу, что уже появляются ответы, но почему-то
они все разные. В чем же дело?

— ваш ответ 60 км. Объясните, как вы решали
задачу? (машины едут навстречу друг другу).

— ваш ответ 180 км. Объясните, как вы решали
задачу? (вторая машина догоняет первую).

— ваш ответ 220 км. Объясните, как вы решали
задачу? (вторая машина впереди).

— ваш ответ 340 км. Объясните, как вы решали
задачу? (машины едут в разные стороны).

— Что в этой задаче необычного?

(правильно — у этой задачи нет четко
поставленного условия и единственно правильного
ответа).

Такие задачи называют открытыми и мы с
одной из них успешно справились.

— Теперь я готова объявить тему мастер-класса: “Знакомьтесь:
открытые задачи”.

— Нет такой области человеческой деятельности,
в которой не было бы открытых задач. В технике, в
науке, в искусстве, в отношениях людей… Хотите
примеры?

Физика.

Необходимо просверлить аккуратное круглое
отверстие в резиновой трубке. Если сверлить
сверлом, трубка сплющится и отверстие получится
не круглым. Если прожигать, трубка не сплющится,
но отверстие получиться неаккуратное –
обгорелые края. Как быть?

(Ответ: сделать трубку временно твердой,
залив в нее воду и заморозив. Трубку, заполненную
льдом, можно просверлить – получиться
аккуратное круглое отверстие.)

Геометрия.

Основание древних египетских пирамид – строго
горизонтальна поверхность. Как удавалось
египтянам, не имеющим современной техники
добиваться такой горизонтальности?

(Ответ: поверхность воды всегда
горизонтальна.(продемонстрировать на стакане
с водой) Египтяне заливали строительную
площадку водой. По мере уменьшения слоя воды из –
под нее показывались вершинки – неровности,
которые тут же срывали.)

Экономика

Американская фирм “Рибок”, выпускающая
спортивную обувь, построила филиалы в Таиланде и
на Тайване. И столкнулась с новой для себя
проблемой: рабочие фабрик – филиалов воруют
обувь. Качество обуви хорошее, основное место
сбыто – крупные европейские и американские
магазины. Как быть? Самое плохое решение —
применить репрессивные методы

(Ответ: руководство фирмы нашло интересный
выход из положения: теперь на Тайване производят
один только правый ботинок, а в Таиланде – левый.
По парам же их раскладывают в США или Европе,
непосредственно на местах продажи.)

Искусство

Режиссер при постановке балет решил добиться
зрительного эффекта уменьшения фигур
удаляющихся в лес охотников – так как это
происходит в реальности. Но размеры сцены
невелики, и рост артистов не уменьшается
зрительно. Как быть?

(Ответ: режиссер разбил всех артистов на
шесть групп соответственно их росту. Охотники
самого высокого роста проходили по ближайшей к
зрителю дорожке, на следующей их сменял охотники
второй группы, еще меньшие проходили по третьей
дорожке и т.д., пока шествие не завершалось уже на
мосту охотниками самого маленького роста.
Иллюзия была столь велика, что публика
воображала будто все одни и те же шесть человек
идут по разным дорожкам леса. Такая же градация
соблюдалась и в музыке, которая становлюсь все
тише и замирала. Постепенно ослаблялся и цвет
костюмов артистов.)

Педагогика

Вот такой случай произошел в 20годах прошлого
века в Туркмении после установления советской
власти.В поисках учеников для туркменской школы
Ерошенко наткнулся на слепого сироту по имени
Дурды. Удивительно, как вообще выжил этот малыш.
Все, что он знал в свои шесть лет, — это голод и
непрерывные избиения за попрошайничество. Он был
свято убежден, что все люди – звери и что сам он в
это мире никому не нужен. Ерошенко привез его в
школу накормил, напоил. Педагогические норы
советуют в таких случаях несколько лет
постепенно завоевывать доверие. Но Ерошенко не
мог ждать и дня. Что он сделал?

(Ответ: педагог повел Дурды в горы. Вдвоем
они зашли на одну из вершин, и Ерошенко попросил
малыша крикнуть свое имя. “Я- Дурды!” — крикнул
тот. И эхо несколько раз повторило его имя. “Вот
видишь, — сказла Василий Яковлевич, даже здесь, в
горах, тебя все знают и любят…” Дурды Питкулаев
много лет после смерти Ерошенко был директором
той самой школы в Туркмении.)

Мы решаем те задачи, решению которых нас учили.
Школа учит решать закрытые задачи. Формула
закрытой задачи: четкое условие +
утвержденный способ решения + единственно
правильный ответ. Шаг влево, шаг вправо от
утвержденного способа решения (а значит, и
мышления!) – снижение оценки. Закрытые задачи
встречаются только в школе, в жизни им места
почти не осталось. С закрытыми задачами успешно
справляются станки с программным управлением,
компьютеры и прочие полезные приспособления.

Школа учит решать закрытые задачи. Жизнь
требует решения открытых задач. Выбрать
специальность и место учебы, поменять место
жительства или найти новую работу, даже просто
сделать покупку – все это становиться открытой
задачей. Потому, что появилось огромное
пространство выбора. В этом пространстве нужно
учиться жить.

Давайте сравним закрытые и открытые задачи
по таким параметрам как условие, пути решения, и
ответ.

Составление схемы

(участники заполняют таблицу)

Результат:

Нельзя птицу учить летать в клетке. Нельзя
вырастить “творческий мускул”, не вылетев на
простор заданий “открытых” — допускающих разные
подходы к решению, разную степень углубления в
сущность проблемы, разные варианты ответов.

Боксеру ставят удар, певцу голос. Наша задача –
научиться ставить сильное мышление. Поэтому я
большое внимание уделяю творческим, открытым
задачам. Вот еще одна задача, которую мы решаем с
пятиклассниками на специальных занятиях. Мы
называем его урок решения нестандартных задач и
проводим один раз в неделю.

Задача: путешественник должен пересечь
пустыню и преодолеть расстояние 80 км. За один
день он проходит 20 км и может нести запас пищи и
воды на 3 дня. За сколько дней он может пересечь
пустыню?

(Ответ: Путешественник может пересечь пустыню
за 6 дней, если будет действовать так: за первые 2
дня организует базу в 20 км от начального пункта,
где оставит запас пищи и воды на 1 день, а затем
вернется в начальный пункт; за следующие 4 дня он
преодолеет пустыню, т.к. когда он придет на
промежуточную базу, то у него будет пищи и воды
еще не 3 дня пути.

Эта задача имеет реальную подоплеку.

Основным препятствием на пути к Северному
полюсу (помимо низких температур и
географической неизвестности) было то, что
приходилось рассчитывать лишь на тягловую силу
животных и человека, но животные, как и люди
должны питаться. Груз провианта и обмундирования
приходилось везти на дополнительных санях – это
лишние животные, а значит, и лишнее потребление
пищи, т.е. лишний вес на санях. Чтобы разорвать
этот круг, Роберт Пири изобрел “Систему Пири” и
стал первым покорителем Северного полюса в 1909
году. Что же изобрел Пири? Вместо одной сквозной
экспедиции, идущей от базового лагеря к полюсу,
он предложил челночную систему заброски
продуктов питания как можно дальше от лагеря.
Этим обеспечивалась возможность последним саням
пройти путь налегке до самого полюса (в расчете
на пищевые склады, устроенные предварительно
теми, кто придет раньше) и по трассе, заранее
подготовленной вспомогательными отрядами. По
мере устройства склада эти отряды возвращались в
лагерь. Челночная система покорения полюса в
изобретательстве включают 3 приема: “Раздробить
на части”, “Сделать заранее” и “Сделать чуть
меньше требуемого”.

Вернемся к математике.

Вы все помните, как устроена “классическая
задача” в учебнике геометрии: (прошу открыть учебник
геометрии на любой странице) найдите…
(величину или алгоритм построения); докажите…(данное
утверждение, о котором уже известно, что оно
верно”.

В таких задачах:

— данных достаточно, что бы задачу решить

— в условии нет лишних данных

— у ученика достаточно “теоретических” знаний,
что бы задачу решить

Какой же может быть открытая задача в
математике? Если коротко: от “найдите ответ”
к “задайте вопрос”. Приведу примеры:

• Открытая задача типа: “что можно найти” (слайд)
• Открытая задача типа: “задайте нужные данные”
  (слайд)
• Открытая задача типа: “ослабьте условие в
  доказанном утверждении” (слайд)

Давайте подведем итоги мастер-класса.

— Что нового вы узнали на занятии?

— Появилось ли у вас желание включать решение
открытых задач в свои уроки?

— Что вам понравилось?

— Что не понравилось?

Цель мастер-класса будет считаться
выполненной, если хоть одному сидящему в зале
учителю захотелось придумывать открытые задачи
и решать их с учениками.

В заключение хочу сказать: творческий человек
видит открытые задачи там, где другой увидит
только неудачу или “божью кару”. Смотрите на мир
открытыми глазами, и тогда он предстанет перед
вами как одна бесконечная открытая задача, в
которой физик увидит свои подзадачи, биолог –
свои, педагог – свои.

Домашнее задание: составить открытую
задачу для своего предмета.

Ученый математик Д.Пойа сказал: “Владение
математикой – умение решать задачи, причем не
только стандартные, но и требующие
оригинальности, изобретательности”. Я думаю, что
умение решать нестандартные, открытые задачи
необходимо не только для овладения тем или иным
предметом, но и для того, что бы стать успешным
человеком.

МБОУ
СОШ 10 «Кадетский корпус юных
спасателей»

«Открытые задачи в начальной школе»

Атор: Антипова Любовь Максимовна

учитель начальных классов

Г.
Рубцовск  Алтайского края

2014

Открытые
задачи в начальной школе.

     В настоящее время особую актуальность
приобретает проблема развития у учащихся научной грамотности, исследовательских
и творческих умений и навыков. Школа должна готовить личность, способную
максимально эффективно использовать свой потенциал в получении новых знаний и
творчески, грамотно их применять. В чём же кроется проблема? Казалось бы, за
одиннадцать лет, проведённых в школе, дети получили достаточный багаж знаний и
умений как на уроках, так и на всевозможных кружках, факультативах, элективах,
секциях, курсах. Педагоги прикладывают все усилия, чтобы воспитать, развить
личность школьника; создаются специализированные классы и школы, придумываются
различные программы и технологии. Но на практике, в большинстве своем, мы видим
выпускника, не подготовленного к жизни. Как же снизить уровень
неподготовленности школьников к жизни в эпоху  высоких технологий, которые
делают жизнь человека более разнообразной и сложной, требуя от него не
шаблонных, привычных действий и подходов, а гибкости, беглости, оригинальности
и разработанности мышления при решении актуальных задач, возникающих в процессе
его жизнедеятельности. 

    В связи с данными требованиями особенно
актуальной стала проблема обучения младших школьников решению открытых задач. 

    Применение открытых задач в обучении
младших школьников обеспечивает педагогу возможность не только давать знания,
но и сталкивать ученика с проблемами, которые развивают творческое мышление,
готовят учащихся к решению жизненных задач, формируют у них умение делать
выбор.     

Обучение решению открытых задач практически
невозможно без применения деятельностного подхода.                     

Какие
задачи решаем мы?

Ответ прост — мы решаем те задачи, решению которых нас
научили. А школа учит решать закрытые задачи. Формула закрытой задачи: четкое
условие + утвержденный способ решения + единственно правильный ответ. Шаг
влево, шаг вправо от утвержденного способа решения (а значит, и
мышления!) — снижение оценки.

На самом же деле нет такой области человеческой деятельности,
в которой не было бы открытых задач.
В технике, в науке, в быту, в искусстве, в отношениях людей… 

Поэтому следует сказать несколько слов о различиях между
закрытыми и открытыми задачами.

Задачи закрытого типа

Выделим характеристики основных параметров задач данного типа.
Задачи данного типа предусматривают четкую и однозначную трактовку условий
решения проблемы, из которой, зачастую, единственный способ напрашивается сам
собой. В результате задача имеет, как правило, одно правильное решение. Такие
задачи не дают возможности ребенку в полной мере проявлять и развивать творческие
способности.

 Задача 1.  Выделите
части слова «мухоловка»?

Анализ. Вспоминаем необходимые
определения, применяем их — и ответ готов. Перед нами задача с четким условием,
содержащая все необходимые данные. Метод решения известен, ответ единственный.
Поэтому эта задача закрытого типа.

Задачи открытого типа

Задачи открытого типа имеют размытое условие, из которого
недостаточно ясно, как действовать, что использовать при решении, но понятен
требуемый результат. Такие задачи предполагают разнообразие путей решения,
которые не являются прямолинейными, двигаясь по которым попутно приходиться
преодолевать возникающие препятствия. Вариантов решений много, но нет понятия
правильного решения: решение либо применимо к достижению требуемого результата,
либо нет. Следовательно, возникает необходимость проведения специально
организованного обучения, направленного на развитие креативных качеств
личности.

Задача 2. Как на Ваш
взгляд древнегреческий мыслитель Пифагор определил, что земля шарообразная?

Анализ. Из условия задачи не
ясно, что необходимо использовать для ее решения. Возможных методов решений и
ответов много. Это задача открытого типа.

Открытые задачи — это задачи, решение которых не может быть
однозначным, при-
вязанным к тем или иным известным правилам, алгоритмам. По степени
самостоятельности и креативности, необходимых для решения, они могут быть
различными. В одних задачах не существует подсказок даже на отрасль знаний, к
которой они относятся. Вот пример .

 Ситуация «Кот и скворец».

Как только в скворечнике, висящем на дереве, запищали птенцы,
тут как тут объявился кот — ходит, облизывается, поживу чует. Мальчик,
смастеривший домик для скворцов, за-
хотел помочь птицам. И придумал, как закрыть доступ к скворечнику. Как же?

Решение: мальчик обернул ствол дерева жестяным кольцом.

Как видим, найдено весьма неожиданное решение, напрямую не привязанное
к скворечнику.

В других случаях открытая задача привязана к той или иной науке или
учебной дисциплине, например к математике или русскому языку.

В учебниках
математики для начальной школы, особенно по системе развивающего обучения, есть
открытые задачи. Появились они и в учебниках традиционной системы, но их явно
не достаточно, чтобы систематически включать в обучение младших школьников.
Учитель начальных классов должен овладеть приемом переформулировки закрытых
задач в открытые, учитывая специальные требования к формулировке открытой
задачи.  

·        
Наличие внутреннего противоречия
в условии задачи (главной движущей силой процесса обучения являются
противоречия ).

·        
Достаточность условия
(условие задачи должно содержать все необходимые данные для ее решения).

·        
Корректность постановки вопроса (учащийся не должен испытывать трудностей с правильной интерпретацией
вопроса к задаче).

Многие задачи из курса
математики можно легко переделать в открытые, переформулировав вопрос или
условие.

Закрытые задачи 1.Найди признак, по которому можно разбить на две части числа: 35,44,45,531, 333,540,242 2.Прочитай выражение 15 * 3 3.Длина забора вокруг участка треугольной формы равна 275 м. Одна его сторона равна 8б м, другая — на 5 м больше первой. Найди длину его третьей стороны 4.Дима с Сашей нашли в лесу 2б белых грибов и 3б подосиновиков. Из них 15 грибов мама пожарила, а остальные засолила. Сколько грибов пошло на засолку? 5. Найди значение выражения (БО: б) . 4

Открытые задачи 1.Подумай, можно ли разбить на две части числа 35,44,45, 531, 333, 540, 242. Если да, то рассмотри возможные случаи 2.Предложи возможные варианты чтения выражения 15 * 3 3.Длина забора вокруг участка треугольной формы равна 275 м. Одна его сторона равна 8б м, другая — на 5 м больше первой. Какие вопросы можно поставить к данному условию? 4.Дима с Сашей нашли в лесу 2б белых грибов и 3б подосиновиков. Из них 15грибов мама пожарила остальные засолила. Сколько грибов пошло на засолку? Какими способами можно решить задачу? Реши и выбери лучший вариант 5.Какие задачи можно придумать к выражению  (БО : б) . 4? Выбери лучший вариант

   Решению открытых задач следует учить школьников специально, соблюдая
следующие этапы работы.

Этап 1. Знакомство с
открытыми задачами. Учащимся необходимо приобрести опыт «встречи» с открытыми
задачами через решение типовой закрытой задачи и дальнейшую переформулировку ее
условия и (или) требования в открытую.

Этап
2. Решение открытых задач соответствующего вида. 

Этап
З. Освоение (по аналогии) решения других видов
открытых задач.

Этап 4. Решение готовых открытых задач всех
видов путем переноса методов и умений в знакомую ситуацию.

Итак, реализация деятельностного метода на «внутриурочном» уровне
заключается в подборе учителем таких заданий, которые требуют не простого
воспроизведения полученных знаний, а направлены на использование знаний в новой
необычной ситуации.

Учитывая нестандартность задач, а, следовательно, и сложность
оценки заданий творческого характера, предлагаются следующие критерии
оценивания задач открытого типа.

Критерии оценивания решения задач открытого типа и
расшифровка  уровней оценки (0, 1,2) по этим критериям. 

Система открытых задач,
используемая в учебно-воспитательном процессе в сочетании с условиями,
благоприятствующими проявлению творческого потенциала школьников, способствует
целенаправленному развитию креативности учащихся, с учетом того, что для
комплексной системы открытых задач должны учитываться следующие
положения: 

1. Важна не отдельная трудность, а их система,
   которая сочетается с условиями, благоприятствующими их преодолению
   школьниками;
2. Разрешение противоречия должно осознаваться
   ими как необходимость;
3. Возникновение противоречия должно быть
   подготовлено и обусловлено ходом учебного процесса, его логикой.

Предлагаемая  система открытых задач для развития креативности
может стать одним из ведущих факторов модернизации образования. Открытые задачи
позволяет включить учащихся в специально организованную, постепенно
усложняющуюся образовательную деятельность, обеспечивающую развитие мотивами и
качествами личности: любознательности, стремления к фантазированию,
дивергентного мышления, чувствительности к проблемам, изобретательности,
оригинальности, эмоциональности и продуктивности.

Для реализации предлагаемой технологии необходимо её
теоретическое осмысление, создание базы данных или картотек открытых задач по
различным дисциплинам, выявление соответствующей «дозировки» степени внедрения
открытых задач в систему изучения каждой дисциплины.

Урок окружающего мира.

После изучения темы «Кто такие звери».

Пример:  решение одной интересной задачи:
«зачем ежу яблоки?» .Маленький серый колючий ёжик кочует с румяным яблоком или
грибом на спине по разным сказкам. Зачем ему яблоки и грибы?

 Может, это запас на зиму: грызёт у себя в
норке промёрзшие яблоки (а выбирает он самые кислые) и засохшие грибы.  Однако
продовольствие ежам зимой не нужно – они спят, спят сладким сном с ноября по
апрель, как медведи, барсуки, лягушки и змеи. К тому же ежи насекомоядные. В
естественной среде обитания рацион ежей составляют жуки, червяки и улитки. 
Зачем тогда ёжик несёт яблоко?  у этой задачи много вариантов возможных
ответов. Вот некоторые из них:

 1.   ежи не едят яблоки, они едят насекомых,
но, может быть, яблоки служат хорошим кормом для насекомых, которые в них
размножаются?

 ежи так запасают еду для насекомых, а потом
их едят.

2. ежи выбирают кислые яблоки, может быть, им
нужна кислота для нейтрализации щелочей, которые, возможно, выделяются через
колючки.

3. яблоки гниют, при этом выделяют энергию, 
возможно, ежи используют энергию гниения, чтобы во время спячки зимой, когда
температура тела животных понижается, в норке поддерживалась плюсовая
температура.

4. с помощью кислот, которые есть в кислых
яблоках, ежи борются с паразитами, которые находятся на их иголках.

5. ежи, насаживая достаточно большие и яркие
предметы (например, яблоки) себе на иголки, своеобразно сигнализируют, что
наступают холода и пора впадать в спячку.  6.так ежи маскируются, возможно, для
своей защиты.

7. ежи используют яблоки как предмет
подношения своему партнёру.

8. яблоки едят маленькие ежата. Или в яблоках
разводятся насекомые, которых едят ежата, пока сами не могут охотиться.

9.ежи с помощью яблок подчёркивают своё
превосходство для привлечения партнера, подобно тому, как это делают петухи с
помощью гребня или павлины с помощью хвоста.

10 Ежи на время спячки затыкают проход в норку
яблоком.

Это лишь небольшая часть тех ответов, которые
можно дать при решении задачи. Любой из них принёс бы участнику эвристической
олимпиады хорошие баллы.  По мнению же ученых, верный ответ заключается в том,
что ежи натыкают на иглы кислые и едкие продукты, чтобы продезинфицировать
иглы. Хотя и в любой из выдвинутых гипотез есть доля истины. 

Урок математики.

После изучения темы «Равенство и неравенство»

Задание в учебнике:

7       
*  10 – 1        

Задача «закрытая».
Изменяем условие и вопрос.

7 < 10 –

Задание: «Назовите все цифры, при подстановке

которых, вместо  п   получится верное неравенство. Как это

 сделать?      («открытая» задача, предполагающая

многовариантность ответов, методов)

При первом
знакомстве с заданием данного типа необходимо показать детям возможные пути
решения данной проблемы через подводящий диалог с применением деятельностного
подхода:

а) Метод проб и ошибок.
б) Метод рассуждения

Урок русского языка

Тема: Буквы Ж, ж, обозначающие согласный звук [ж]
Эвристическое задание на уроке: Нарисуй, на что похожа буква Ж.
Алгоритм выполнения данного задания:
1. Рассмотри внимательно букву Ж.
2. Представь на что или кого она похожа.
Нарисуй на что похожа буква Ж. Если затрудняешься нарисовать реальный предмет,
то нарисуй вымышленный.
    

ОБУЧЕНИЕ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ

ОТКРЫТЫХ ЗАДАЧ

В статье рассматриваются вопросы обучения  младших школьников решению открытых задач. Представлено описание основных этапов работы  по формированию умения решать открытые задачи  разных типов, приведены примеры таких задач.

Ключевые слова: открытые задачи, вариативность мышления, младший школьник.

Одной из особенностей развития современного мира является постоянное его изменение. Поэтому неслучайно,  в соответствии с  требованиями ФГОС начального общего образования одним из личностных  результатов освоения основной образовательной программы начального общего образования, является овладение начальными навыками адаптации в динамично изменяющемся и развивающемся мире [1]. На наш взгляд эта адаптация невозможна без умения принимать оптимальные решения в ситуациях выбора.

Существуют разные средства для формирования данного умения, но, по нашему мнению, особое место здесь занимают открытые задачи. Применение таких задач дает возможность знакомить ученика с ситуациями, моделирующими проблемы окружающей действительности. Обучение их решению развивает вариативность мышления, готовит к решению жизненных задач, умению делать выбор. Открытые задачи характеризуются неполным условием, которое учащемуся необходимо осмыслить, трактовать, дополнить самому. Такие задачи могут иметь множество решений, ответов, что является естественным следствием многовариантности формулировки условия и отсутствием известных заранее способов решения. [2]

В начальной школе при обучении математике  можно использовать открытые задачи по уточнению данных. Иначе их называют задачами с недостающими данными. Например:  «В коробке на четыре карандаша больше чем в пенале. Сколько карандашей в пенале?»

        Задания на составление и преобразование примеров, уравнений, последовательностей, задач также можно интерпретировать как открытые: «Составьте пример на сложение с ответом 12», «Составьте уравнение, где неизвестно уменьшаемое».

В учебниках математики для начальной школы представлены открытые задачи, но их явно недостаточно, чтобы систематически включать в обучение младших школьников.  Поэтому учителю начальных классов важно уметь владеть приемом переформулировки обычных задач в открытые. Например, задачу «На решение задачи и уравнений ученик затратил 25 минут. Сколько уравнений он решил, если на решение задачи он затратил 10 минут, а на решение каждого уравнения – по 5 минут?» можно преобразовать следующим образом: «На решение  задачи и уравнений ученик затратил 25 минут. Сколько уравнений  он решит, если на задачу он тратит 10 минут, а на решение каждого уравнения – одинаковое количество времени?»

В процессе  обучения решению открытых задач мы рекомендуем выделить два этапа: подготовительный и основной. Целью подготовительного этапа является обучение анализу условия открытых задач (без их решения). Основной этап предполагает обучение  решению открытых задач, при этом мы предлагаем использовать традиционные приёмы работы над текстовой задачей, поскольку они лежат в основе решения всех видов данных задач.

На начальном этапе знакомства с открытыми задачами следует обратить внимание учащихся на особенности условия некоторых задач, предполагающее наличие различных решений. Например, при анализе условия задачи «В кружке рисования занимаются 8 мальчиков и девочки. На сколько мальчиков больше, чем девочек?» учащиеся могут предположить, что данную задачу нельзя решить, поскольку в условии не дана одна из количественных характеристик: число девочек. Такие затруднения вполне естественны для детей, поэтому нужно обсудить с учащимися возможность дополнения условия задачи недостающим числовым значением. В процессе такого обсуждения  можно задать следующий вопрос: «Каким может быть количество девочек, если мальчиков  8, и их больше, чем девочек?»

Особое внимание, на наш взгляд, следует уделить задачам, в которых речь идёт о пропорциональных величинах. Трудность анализа условия данных задач в том, что учащиеся не сразу могут увидеть реальную связь между величинами. Например, выполняя анализ  условия задачи  «Путь Толи от дома до школы занимает 15 мин, а Коли – 10 мин. Кто из них тратит на дорогу времени меньше? Кто ближе живёт?» значительная часть учащихся не сразу обнаруживает ловушку и отвечает на вопрос, полагая, что большее расстояние требует и больших временных затрат, при этом не учитывая, что скорость может быть различной. [3]

Для предотвращения возникновения трудностей при дальнейшем решении задачи можно задать следующие вопросы: «Кто живёт ближе, если мальчики идут с одинаковой скоростью?», «А если скорость Толи меньше (больше), чем скорость Коли?».

Аналогичная ситуация может возникнуть при решении подобных задач с другими величинами: «Маша купила на 40 р. тетради и на 25 р. ручки. Каких предметов больше она купила?», «Таня и Ира любят читать книги. В книге, которую читает Таня, 120 страниц, а в книге, которую читает Ира, 148 страниц. Кто быстрее прочитает книгу?»

Рассматривая различные способы решения открытых задач, можно выделить несколько групп задач: задачи, решаемые простым перебором; задачи, решаемые перебором с дополнительными условиями; задачи, при решении которых перебор происходит более одного раза.

Обучение решению открытых задач мы рекомендуем начинать с задач, решение которых происходит простым перебором. Определение недостающих данных в подобных задачах  происходит уже в ходе анализа условия. Например:  «На аэродроме 20 самолётов. Сколько троек самолётов поднялось в воздух, если несколько самолётов остались на земле?».

При работе над данной задачей следует обратить внимание учащихся на отсутствие в условии задачи количества самолётов, оставшихся на земле. Можно задать следующие вопросы: «По сколько самолётов поднималось в воздух одновременно?»,  «Какое наибольшее количество троек самолётов могло подняться в воздух?», «Могло взлететь меньше 6 троек самолётов?»

Далее следует рассмотреть все возможные варианты количества троек взлетевших самолётов. Решение этой задачи можно записать в таблицу:

Количество взлетевших троек самолётов	Количество взлетевших      самолётов	Количество оставшихся самолётов
1	3 ⋅ 1 = 3	20 – 3 = 17
2	3 ⋅ 2 = 6	20 – 6 = 14
3	3 ⋅ 3 = 9	20 – 9 = 11
4	3 ⋅ 4 = 12	20 – 12 = 8
5	3 ⋅ 5 = 15	20 – 15 = 5
6	3 ⋅ 6 = 18	20 – 18 = 2

В заключение решения важно обратить внимание учащихся, что задача имеет не один ответ.

Приведем примеры других задач, решения которых происходит с помощью последовательного перебора вариантов: «Для уроков труда купили 3 набора цветной бумаги, по 12 листов в каждом, и ещё один такой же набор, но бракованный (в нём было меньше 10 листов). Сколько всего листов бумаги купили?»,  «В столовой за 2 дня израсходовали 9 кг крупы. Сколько кг крупы расходовали в первый и во второй день в отдельности?», «У Пети есть 16 планок для изготовления рамок для фото. Какие рамки он может сделать? Сколько рамок останется?», «На каждом этаже дома по три квартиры. Номер одной из квартир на пятом этаже – 127. Назови номера соседних квартир»,  «От дома до работы мама едет 20 мин на автобусе и ещё от 7 до 10 мин она идёт пешком. Сколько времени у неё уходит на дорогу от дома до работы и обратно?»

Рассматривая открытые задачи, где  условие накладывает определённые ограничения на выбор недостающих данных, важно учитывать, что отбор этих значений происходит и на этапе анализа условия, и на этапе поиска решения задачи. Например: «В пекарне за несколько дней израсходовали 48 кг муки. За сколько дней израсходовали всю эту муку, если каждый день тратили одинаковое количество?»

При анализе условия этой задачи следует обратить внимание учащихся, что в условии имеется недостающее числовое значение – количество муки, расходуемой каждый день. Важно заметить, что это количество муки было одинаковым. В процессе поиска решения необходимо обосновать выбор конкретных недостающих данных – делителей числа 48.

Приведем примеры других задач, решения которых требуют учета дополнительных условий при переборе вариантов: «Оли 15 рублей. На эти деньги она может купить 1 альбом и 4 одинаковых карандаша. Сколько стоит 1 карандаш и 1 альбом?», «Мама собрала несколько одинаковых корзин смородины. Из 14 кг она сварила варенье, а 10 кг осталось. Корзины какой вместительности были у мамы?», «Нужно вывезти из леса 35 брёвен. Трактор за один раз вывозит не больше 9 брёвен (но всегда равное количество). Сколько раз трактору нужно съездить в лес?», «Грузовая машина до остановки израсходовала 48 л горючего, а после остановки 32 л. Сколько часов была в пути машина, если за 1 час расходовалось не меньше 8 л, но не больше 16 л горючего?»

Более сложного анализа условия требуют задачи, при решении которых перебор происходит не один раз. Рассмотрим пример организации работы над такой задачей:  «В нескольких одинаковых тетрадях 54 листа. Сколько таких тетрадей получится из 90 листов, если в каждой тетради не менее 6 листов?».

В данной задаче сначала накладывается условие на выбор недостающего данного: число тетрадей должно быть кратно 54, затем два условия накладывают ограничения на получаемые результаты – число листов в тетради должно быть больше 6 и кратно 90.  

Мы полагаем, что в процессе анализа условия задачи на эти ограничения следует рассматривать  последовательно. Например, сначала выяснить, что недостающим данным здесь является  количество тетрадей и начать, по сути дела, поиск решения, выясняя, что это число (или числа) должно быть делителем числа 54. Далее,  возвращаясь к условию, проводим второй этап отбора полученных вариантов: число листов должно быть не менее 6 (остаются числа 6, 9,18, 27, 54). Наконец, еще одно требование: число должно делиться на 90, и в итоге получаем – 6, 9, 18  листов в тетради.

Приведем примеры других задач, в процессе решении которых происходит  нескольких  последовательных переборов вариантов: «Брат собрал 18 стаканов клюквы, а сестра меньше брата. Чтобы сварить компот, бабушка брала на каждые 2 стакана ягод 1 стакан сахара. Сколько ягод могла собрать сестра, если бабушка израсходовала не меньше 12 стаканов сахара на все ягоды и при этом все ягоды были использованы?»

Проведенная нами апробация рассматриваемых способов работы по обучению младших школьников решению открытых задач позволила сделать вывод о том, что открытые задачи благоприятно влияют на развитие вариативности мышления учащихся. Кроме того, получено еще одно подтверждение, что данные задачи содействуют развитию интереса учащихся начальных классов к математике, повышению их активности на уроке.

Библиографические ссылки

1. Федеральный государственный образовательный  стандарт   начального общего образования. Электронный доступ: http://mon.gov.ru/dok/fgos/7195/

2. Гин С.И. Мир фантазии/ Методическое пособие для учителей начальных классов. Часть 1 и 2. Версия 2.0. — Гомель: изд-во ТРИЗ — ШАНС, 1995

3. Селькина Л. В., Худякова М. А.  Открытые задачи как компонент содержания начального математического образования. // Начальная школа. 2009, №9, с.53-55.