Как составить отрицание высказывания в математике

Пусть
предложение А – высказывание. Если
перед сказуемым данного предложения
поставить частицу «не»
либо перед всем предложением поставить
слова «неверно,
что»,
то получится новое предложение, которое
называется отрицанием данного и
обозначается

(читают:
«не А» или «неверно, что А»).

Определение.
Отрицанием
высказывания А называется высказывание

,
которое ложно, когда высказывание А
истинно, и истинно, когда высказывание
А – ложно.

Таблица
истинности отрицания имеет вид:

А
и	л
л	и

Из
данного определения следует, что
предложение и его отрицание не могут
быть ни одновременно истинны, ни
одновременно ложны.

Построим,
например, отрицание ложного высказывания
«число 28 делится на 9»:

а)
Число 28 не делится на 9.

б)
Неверно, что число 28 делится 9.

Высказывания,
которые мы получили, истинные. Значит,
отрицание данного предложения построено
правильно.

Рассмотрим
теперь правила построения отрицания
конъюнкции и дизъюнкции высказываний.
Если перед всем составным высказыванием
поставить слова «неверно, что», то,
безусловно, получим его отрицание. А
как быть с частицей «не»? Можно ли
поставить ее перед сказуемым составного
предложения и получить его отрицание?
Возьмем, например,
высказывание «число 28 делится на 9 и на
4». Оно ложное, так как представляет
собой конъюнкцию двух высказываний,
одно из которых ложно. Поставив перед
сказуемым этого высказывания частицу
«не», получим конъюнкцию «число 28 не
делится на 9 и на 4», в которой одно из
предложений «число 28 не делится на 4» –
ложное и, значит, ложно построенное с
помощью частицы «не» предложение.
Поэтому оно не является отрицанием
высказывания «число 28 делится на 9 и на
4».

Можно
доказать, что отрицание конъюнкции двух
высказываний А и В является дизъюнкцией
их отрицаний. Для этого надо убедится
в том, что значения истинности высказываний
вида

и




совпадают
при любых значениях истинности
высказываний А и В. Сделать это можно
при помощи таблицы истинности:

А	В	А  				
И	и	и	л	л	л	л
И	л	л	и	л	и	и
Л	и	л	и	и	л	и
Л	л	л	и	и	и	и

Про
высказывания вида
и


говорят,
что ониравносильны,
и пишут



.

Аналогично
можно доказать, что имеет место
равносильность


.

Эти
равносильности носят название законов
де Моргана.

Из
них вытекает следующее правило построения
отрицания
конъюнкции и дизъюнкции: чтобы построить
отрицание конъюнкции (дизъюнкции),
достаточно заменить отрицаниями
составляющие ее высказывания, а союз
«и» («или») заменить союзом «или» («и»).

Задача
1.
Построить отрицание высказывания «число
28 делится на 9 или на 6».

Решение
(два способа).

1. Поставим
   перед данным высказыванием слова
   «неверно, что». Получим высказывание
   «неверно, что число 28 делится на 6 или
   на 6», которое является отрицанием
   исходного.

2. Воспользуемся
   законом де Моргана: заменим высказывания
   «число 28 делится на 9» и «число 28 делится
   на 6» их отрицаниями, а союз «или»
   поменяем на союз «и». Получим высказывание
   «число 28 не делится на 9 и не делится на
   6», которое также является отрицанием
   исходного.

Итак,
мы выяснили, как строить отрицание
конъюнкции и дизъюнкции высказываний.
А как быть с высказываниями, которые
содержат кванторы? Достаточно ли для
отрицания таких предложений поставить
перед сказуемым частицу «не»? Например,
будет ли отрицанием высказывания «всякий
прямоугольный треугольник является
равнобедренным» предложение «всякий
прямоугольный треугольник не является
равнобедренным»? Видим, что не будет,
так как оба высказывания ложны. Таким
образом, строить отрицания высказываний
с квантором при помощи частицы «не»
перед сказуемым нельзя.

Остается
другой путь – перед всем предложением,
ставим слова «неверно, что». Тогда
отрицанием высказывания «всякий
прямоугольный треугольник является
равнобедренным» будет предложение
«неверно, что всякий прямоугольный
треугольник является равнобедренным»,
но это предложение имеет тот же смысл,
что и предложение «некоторые прямоугольные
треугольники не являются равнобедренными».

Отрицанием
высказывания «некоторые прямоугольные
треугольники являются равнобедренными»
является высказывание «неверно, что
некоторые прямоугольные треугольники
являются равнобедренными».

Вообще
если дано предложение (х)
А(х), то его отрицанием будут предложения
и (х)
,
также имеющие один и тот же смысл (и одно
и то же значение истинности).

Получаем
две равносильности:

(х)
;


х)
.

Из
них вытекает правило: для
того чтобы построить отрицание
высказывания, начинающегося с квантора
общности (существования), достаточно
заменить его квантором существования
(общности) и построить отрицание
предложения, стоящего после квантора.

Задача
2.
Построить отрицание высказывания
«некоторые однозначные числа делятся
на 10».

Решение.
Сделать это можно двумя способами.

1. Поставим
   перед высказыванием слова «неверно,
   что». Получим высказывание «неверно,
   что некоторые однозначные числа делятся
   на 10», которое является отрицанием
   данного.

2. Заменим
   квантор существования (он выражен
   словом «некоторые») на квантор общности
   «все» и построим отрицание предложения,
   стоящего после слова «некоторые»,
   поставив частицу «не» перед сказуемым.
   Получим высказывание «все однозначные
   числа не делятся на 10».

Последнее,
о чем пойдет речь, — это отрицание
высказывательных форм.

Пусть
на множестве Х задана высказывательная
форма А(х). Ее отрицание обозначим
(читают: «не А(х)» или «неверно, что
А(х)»). Предложениебудет обращаться в истинное высказывание
лишь при тех значениях х из множества
Х, при которых А(х) – ложно. Таким образом,,
где
—
множество истинности предложения
,
а– дополнение множества Т_А
до множества Х.

Доказательство
этого равенства мы опускаем.

Пусть,
например, на множестве натуральных
чисел задана высказывательная форма
А(х) – «число х кратно 5». Тогда ее
отрицанием будет предложение «число х
не кратно 5» (или «неверно, что число х
кратно 5»), истинное при всех значениях
х, которые не кратны 5.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Алгебра высказываний и операции над высказываниями

Высказывание — первый важнейший объект изучения математической логики. Алгебра высказываний изучает способы построения высказываний из уже имеющихся высказываний, закономерности таких способов сочетания высказываний. Алгебра высказываний является фундаментом математической логики.

Понятие высказывания

Предметом исследования алгебры высказываний являются высказывания. Но алгебра высказываний не ставит целью их всестороннее изучение. Из многочисленных свойств высказывания алгебру высказываний интересует лишь одно: истинно оно или ложно. Именно это и является определяющим свойством высказывания. Итак, под высказыванием понимается такое предложение, которое либо истинно, либо ложно. Высказывание не может быть одновременно и истинным, и ложным.

В дальнейшем будем считать, что имеется первоначальная совокупность некоторых простейших высказываний, называемых элементарными или исходными, о каждом из которых точно известно, истинно оно или ложно. Причем в этой совокупности имеются как истинные высказывания, так и ложные.

Договоримся обозначать конкретные высказывания начальными заглавными буквами латинского алфавита или теми же буквами с индексами внизу.

Приведем примеры высказываний, которые будут использованы в дальнейшем:

«Москва — столица России»;
«Саратов находится на берегу Невы»;
«Все люди смертны»;
«Сократ — человек»;
«7 < 4»;
«Волга впадает в Каспийское море»;
«А.С.Пушкин — великий русский математик»;
«Снег белый».

Обозначив истинное высказывание символом 1, а ложное — 0, введем функцию , заданную на совокупности всех высказываний и принимающую значения в двухэлементном множестве , по следующему правилу:

Функция называется функцией истинности, а значение — логическим значением или значением истинности высказывания . Для приведенных высказываний имеем логические значения:

Отметим, что в литературе имеются следующие обозначения для истинных высказываний: 1, И, t (от англ. true — истинный) и для ложных высказываний: 0, Л, f (от англ. false — ложный). Из этих обозначений будем использовать 1 и 0. Это обусловлено рядом причин. Во-первых, таблицы истинности для формул алгебры высказываний принимают более лаконичный и стандартизированный вид, так как в этом случае наборы значений пропозициональных переменных можно расположить в порядке возрастания чисел, которые этими наборами закодированы в двоичной системе счисления. Например, для случая трех пропозициональных переменных набор значений этих переменных 000 означает двоичную запись десятичного числа 0, набор 001 — двоичную запись десятичного числа 1, набор 010 — двоичную запись десятичного числа 2, 011 — 3, 100 — 4, 101 — 5, 110 —6, 111 — 7. Во-вторых, более удобный и математически строгий вид принимают многие формулы и алгоритмы алгебры высказываний. В-третьих, обозначение 0 и 1 принято и более целесообразно в приложениях математической логики к компьютерам и информатике.

Из элементарных высказываний с помощью операций над высказываниями или логических связок строят сложные высказывания. Перейдем к точному описанию таких построений.

---

Отрицание высказывания

Определение 1.1. Отрицанием высказывания называется новое высказывание, обозначаемое (читается: «не » или «не верно, что «), которое истинно, если высказывание ложно, и ложно, если высказывание истинно. Другими словами, логическое значение высказывания связано с логическим значением высказывания , как указано в следующей таблице, называемой таблицей истинности операции отрицания:

Здесь может возникнуть вопрос, почему приписывание истинности или ложности высказыванию осуществляется именно на основании приведенной таблицы. Конечно, можно ответить, что об определениях не спорят. Но ведь мы желаем построить математическую теорию (алгебру высказываний), которая в какой-то мере отражала бы реально существующий в природе человеческого мышления процесс построения составных высказываний из элементарных и имела бы реальный смысл. Затем мы должны будем развить нашу математическую теорию, а полученные выводы применить в практике мышления и при этом не войти в противоречие с общеизвестными законами мышления. Определение отрицания с помощью приведенной таблицы (как, впрочем, и других логических связок с помощью соответствующих таблиц, о чем речь пойдет далее) появилось как результат длительного опыта, и оно полностью оправдало себя на практике.

---

Пример 1.2. Применим операцию отрицания к высказыванию «Волга впадает в Каспийское море». Данное отрицание можно читать так: «Неверно, что » т.е. «Неверно, что Волга впадает в Каспийское море». Или же частицу «не» переносят на такое место (чаще всего ставят перед сказуемым), чтобы получилось правильно составленное предложение: «Волга не впадает в Каспийское море». Таблица из определения 1.1 дает для данного высказывания следующее логическое значение: , т.е. высказывание ложно. Ложность высказывания обусловлена только истинностью исходного высказывания и определением 1.1, но никак не соображениями смысла (содержания) высказывания . Другое дело, что само определение 1.1 потому и имеет такую формулировку, что оно правильно (или, как говорят, адекватно) отражает факты, известные нам из практики.

---

Конъюнкция двух высказываний

Определение 1.3. Конъюнкцией двух высказываний и называется новое высказывание, обозначаемое или (читается: « и «), которое истинно лишь в единственном случае, когда истинны оба исходных высказывания и , и ложно во всех остальных случаях. Другими словами, логическое значение высказывания связано с логическими значениями высказываний и , как указано в следующей таблице, называемой таблицей истинности операции конъюнкции:

Практика полностью подтвердила, что именно такое распределение значений истинности наиболее соответствует тому смыслу, который придается в процессе мыслительной деятельности связующему союзу «и».

Пример 1.4. Применим операцию конъюнкции к высказываниям и . Получим высказывание л Л3: «Саратов находится на берегу Невы, и все люди смертны». Конечно, мы не воспринимаем это высказывание как истинное из-за первой, ложной, его части. К выводу о ложности полученного высказывания также придем, исходя из логических значений исходных высказываний и и определения 1.3 конъюнкции на основании приведенной там таблицы. В самом деле,

---

Дизъюнкция двух высказываний

Определение 1.5. Дизъюнкцией двух высказываний и называется новое высказывание, обозначаемое (читается « или «), которое истинно в тех случаях, когда хотя бы одно из высказываний или истинно, и ложно в единственном случае, когда оба высказывания и ложны. Другими словами, — такое высказывание, логическое значение которого связано с логическими значениями исходных высказываний и так, как указано в следующей таблице, называемой таблицей истинности операции дизъюнкции:

Пример 1.6. Применим операцию дизъюнкцию к высказываниям и . Получим составное высказывание «Все люди смертны, или «. Несмотря на первоначально кажущуюся странность этого высказывания, нет сомнений в его истинности. К аналогичному заключению приводит также формальное вычисление логического значения данного высказывания по таблице из определения 1.5, исходя из логических значений высказываний и

В то же время высказывание «Саратов находится на берегу Невы, или А. С. Пушкин — великий русский математик», являющееся дизъюнкцией высказываний и , безусловно, ложно, что полностью согласуется с формальным вычислением его логического значения по таблице из определения 1.5:

---

Импликация двух высказываний

Определение 1.7. Импликацией двух высказываний и называется новое высказывание, обозначаемое (читается: «если , то «, или «из следует «, или « влечет «, или « достаточно для «, или « необходимо для «), которое ложно в единственном случае, когда высказывание истинно, а — ложно, а во всех остальных случаях — истинно. Другими словами, логическое значение высказывания связано с логическими значениями высказываний и , как указано в следующей таблице, называемой таблицей истинности операции импликации:

В высказывании высказывание называется посылкой или антецедентом, а высказывание — следствием или консеквентом.

При определении импликации с еще большей силой встает вопрос, почему именно такое распределение принято в ее таблице истинности. Последние две строки в ней достаточно хорошо согласуются с нашим пониманием выражения «если…, то…«. Их обоснованием могут служить следующие соображения. Импликация призвана отразить процесс рассуждения, умозаключения. Общая характеристика этого процесса следующая. Если мы исходим из истинной посылки и правильно (верно) рассуждаем, то мы приходим к истинному заключению (следствию, выводу). Другими словами, если мы исходили из истинной посылки и пришли к ложному выводу, значит, мы неверно рассуждали. В импликации имеется посылка , следствие и процесс рассуждения . Процесс рассуждения как раз и моделируется результатом операции . Приведенное соображение служит обоснованием результата , а также результата .

Определенные сомнения возникают при оценке адекватности первых двух строк в таблице, определяющей импликацию. В первой строке при ложной посылке и ложном следствии импликация признается истинной. Следующие два примера добавляют аргументы в пользу такого определения логического значения импликации в этом случае. Рассмотрим такое высказывание: «Если число делится на 5, то и его квадрат делится на 5». Его истинность не вызывает сомнения. В частности, мы могли бы сказать: «Если 10 делится на 5, то делится на 5″ или «Если 11 делится на 5, то и делится на 5″. В первом из этих высказываний и посылка, и следствие истинны, во втором — и посылка, и следствие ложны. Тем не менее оба этих высказывания истинны. Для большей убедительности второе высказывание можно сформулировать в сослагательной форме: «Если бы 11 делилось на 5, то и делилось бы на 5″. Есть утверждения такого типа и в житейской речи, которые признаются вполне нормальными. Например, «Если ты можешь переплыть Черное море, то я — турецкий султан».

В пользу второй строки таблицы, когда импликация остается истинной при ложной посылке и истинном следствии, говорит такой пример. Высказывание «Если первое слагаемое делится на 5 и второе слагаемое делится на 5, то и сумма делится на 5», несомненно, истинно. Но, в частности, мы могли бы сказать: «Если 10 делится на 5 и 20 делится на 5, то 30 делится на 5» или «Если 12 делится на 5 и 13 делится на 5, то 25 делится на 5». В первом из этих высказываний и посылка истинна (как конъюнкция двух истинных выражений), и следствие истинно. Во втором же высказывании посылка ложна (как конъюнкция двух ложных высказываний), а следствие истинно. Тем не менее, как мы уже отметили, оба этих высказывания признаются истинными.

Пример 1.8. Высказывание «Если Волга впадает в Каспийское море, то » ложно, так как

Высказывание «Если Саратов находится на берегу Невы, то А. С. Пушкин — великий русский математик», являющееся импликацией высказываний и , истинно, так как

---

Эквивалентность двух высказываний

Определение 1.9. Эквивалентностью двух высказываний и называется новое высказывание, обозначаемое (читается: « эквивалентно «, или « необходимо и достаточно для «, или « тогда и только тогда, когда «, или «, если и только если «), которое истинно в том и только в том случае, когда одновременно оба высказывания и либо истинны, либо ложны, а во всех остальных случаях — ложно. Другими словами, логическое значение высказывания связано с логическими значениями высказываний и , как указано в следующей таблице, называемой таблицей истинности операции эквивалентности:

Пример 1.10. Высказывание « тогда и только тогда, когда снег белый», являющееся эквивалентностью высказываний и , ложно, так как

Напротив, высказывание «Саратов находится на берегу Невы, если и только если А.С.Пушкин — великий русский математик» истинно, так как оно является эквивалентностью двух ложных высказываний.

---

Союзы языка и логические операции (язык и логика)

Итак, каждая из введенных логических операций является неким математическим образом, моделью соответствующего логического союза нашего языка. Эти понятия призваны отразить на языке нулей и единиц соответствующие союзы нашего мышления, которыми человечество пользуется в течение тысячелетий. Вне всякого сомнения, язык нулей и единиц значительно беднее человеческого языка, и это отражение достаточно грубо и несовершенно. Тем не менее какие-то основные черты (существенные аспекты процессов мышления) понятия логических операций все же отражают. Так, отрицание, конъюнкция и эквивалентность достаточно точно передают суть логических союзов «не«, «и«, «тогда и только тогда, когда» соответственно. Хуже обстоит дело с дизъюнкцией, призванной отразить языковый союз «или«. Следует отметить, что кроме рассматриваемой так называемой дизъюнкции в не исключающем смысле (она истинна тогда и только тогда, когда по меньшей мере один ее член истинен) некоторые авторы рассматривают дизъюнкцию в исключающем смысле (или строгую дизъюнкцию): она истинна тогда и только тогда, когда истинен точно один ее член.

Наименее адекватным соответствующему союзу языка является понятие импликации, которое призвано отразить логический союз «если…, то…«. Это и понятно: на этом союзе основан один из сложнейших умственных процессов — процесс построения выводов, умозаключений. Импликация остается все же самой «коварной» из всех логических операций, и ее определение при всех приведенных доводах оставляет в нас чувство незавершенности. И это неспроста. Наиболее наглядно эта неадекватность определения языку проявится в ходе развития алгебры высказываний, когда мы, например, придем к тому, что тавтологией окажется следующая формула: . Это означает, что какие бы ни были высказывания и , по меньшей мере одно из высказываний или непременно будет истинным. Этот факт уже не согласуется с общепринятой практикой, и он еще раз подтверждает, что понятие импликации лишь весьма условно и приблизительно переводит на язык нулей и единиц тот смысл, который имеется в виду при построении фразы типа «если…, то…«.

Из приведенного следует вывод о том, что тонкое и многообразное человеческое мышление не так легко поддается научному осмыслению и изучению и что алгебра высказываний — всего лишь одно из приближений, всего лишь шаг на пути к познанию человеческого мышления.

По поводу происхождениия терминов отметим, что «конъюнкция» происходит от лат. conjunctio — соединение, дизъюнкция — от лат. dusjunctio — разъединение, импликация от лат. implicatio — сплетение и itnplico — тесно связываю.

---

Общий взгляд на логические операции

Еще раз отметим, что только логические значения или значения истинности, а не их содержание интересуют нас в развиваемой теории. Поэтому каждое из введенных определений (1.1, 1.3, 1.5, 1.7, 1.9) операций над высказываниями можно рассматривать как определение некоторого действия над символами 0 и 1, т. е. как определение некоторой операции на двухэлементном множестве . Например, отрицание задает следующие правила действия с этими символами: , конъюнкция — следующие: , импликация — следующие:

и т.д.

Учитывая два правила действия с символами 0 и 1, определяемые отрицанием, можно записать равенство для вычисления логического значения высказывания

Указанные четыре правила действия с символами 0 и 1, определяемые конъюнкцией, позволяют записать равенство для вычисления логического значения высказывания

Аналогично, правила действия с символами 0 и 1, сформулированные в определениях 1.5, 1.7, 1.9, дают возможность записать равенства для вычисления логических значений высказываний и соответственно:

Равенства (1.2) … (1.5) можно записать в виде одного соотношения: , где значок «» обозначает один из символов логических операций . Равенства (1.1)–(1.5) фактически использовались при вычислениях логических значений высказываний

которые были проделаны выше в качестве примеров применения операций над высказываниями.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Министерство образования и
науки РД

ГБПОУ «Профессионально-
педагогический колледж                                                                     
               имени Р. Гамзатова».

Разработка урока по
математике

Тема: Отрицание высказываний.

Преподаватель математики

Махмудов А.М.

2015-2016 уч. год.

                   
Тема:   Отрицание высказываний.

Цели:  
Ознакомить с правилами построения отрицаний высказываний ;                        совершенствовать
навыки по определению значений истинности различных математических предложений;
развивать навыки логического мышления и интерес к математике.

Оборудование:
таблицы, тесты.

План
урока:

1.     Организация
урока.

2.     Повторение
пройденного материала.

3.     Тестирование.

4.     Объяснение
нового материала.

5.     Закрепление
нового материала.

6.     Итоги
урока. Домашнее задание.

Ход
урока:

1.     Организация
урока.

-Здравствуйте,
сегодня мы закрепим знания о конъюнкции и дизъюнкции высказываний, о
высказываниях с кванторами и научимся строить отрицания различных видов
высказываний.

2.     Повторение
пройденного материала.

—
Сначала выполним несколько заданий на повторение пройденного материала.

1)    Что
называется высказыванием?                                                                                                  Что
называется высказывательной формой?

а)
Среди предложений укажите высказывания и высказывательные формы

    
В сутках 48 часов.

     
Почему снег белый?

     
Число х кратно 2.

     
Что больше: 5 или 7?

     
3>4

     
13+14=27

     
х+15=75

б)
Придумайте предложение являющееся высказыванием.

   
Приведите пример предложений, не являющихся высказываниями.

в)  Среди предложений укажите истинное
высказывание.

     Волга впадает в Черное
море.

    
Кошка – животное.

    
Сокол – овощ.

    
2·2=4

г)
Придумайте два истинных и два ложных высказывания.

д)
Верно ли высказывание? Объясните.

   
Через две точки можно провести несколько прямых.

   
Уравнение x+7=5 не имеет корней.

   
35+276=276+35

 
  5·(28·4)=(5·4)·28

    Число 4 является
корнем уравнения 72:х=18.

2)    Что
называется конъюнкцией высказываний? Что называется дизъюнкцией высказываний?

Определите
значение истинности высказываний.

Число
16 кратно 2 и нечетное.

Число
20 делится на 3 или на 6.

5<8<10

Квадрат
является прямоугольником или трапецией.

3)    Решите
систему неравенств и уравнение и покажите связь с конъюнкцией и дизъюнкцией
высказывательных форм

   4х-1>5+х

  
11-2х>3

(х-4)
(3х+3) (4-2х)=0

4)  — Какие различают
кванторы?

— Как показать истинность
и ложность высказываний с квантором общности?

— Как показать истинность
и ложность высказываний с квантором существования?

Существует число, которое
делится на 7.

Все четырехугольники –
квадраты.

Любое двузначное число
больше 5.

Среди прямоугольных
треугольников есть равносторонние.

3.    
Тестирование.

1.     Вариант

1)    Поставьте
вместо многоточия логическую связку «и» или «или», чтобы получилось истинное
высказывание

а)
Число 18 четное … кратно 9.

б)
Прямоугольник является трапецией … параллелограммом.

в)
Число 10 делится на 5 … однозначное.

г)
Число 12 кратно 2 … 6.

2)   Вместо многоточия поставьте квантор,
чтобы получилось истинное            высказывание

а) … число кратно 5.

б) … прямоугольник является параллелограммом.

в) … натуральное число больше 0.

г) … треугольник является равносторонним.

3)  Решите систему неравенств и уравнение
и покажите связь с конъюнкцией и дизъюнкцией высказывательных форм, если хϵR

а)      3+4х≥х-12

        2х-5<1+х

б)   (3-3х) (6+х)
(4х-8)=0

2.     Вариант

1)    Поставьте
вместо многоточия логическую связку «и» или «или», чтобы получилось истинное
высказывание

а)
Число 21 меньше 8 … нечетное.

б)
Квадрат является ромбом … прямоугольником.

в)
Число 18 делится на 3 … больше 5.

г)
Трапеция является четырехугольником … квадратом.

2) Вместо многоточия
поставьте квантор, чтобы получилось истинное высказывание

а) … равносторонний
треугольник является равнобедренным.

б) … число четное.

в) … двузначное число
больше 9.

г) … трапеция является
равнобокой.

3) Решите систему
неравенств и уравнение и покажите связь с конъюнкцией и

дизъюнкцией
высказывательных форм, если хϵR

а) 
   2х-3>6-х

        3х-6≤х+4

б)   (х+4) (5-5х)
(2х+6)=0

4.    
Объяснение нового материала.

Часто
в математике приходится строить отрицания высказыванийй.

Пусть
А-высказывание. Если перед сказуемым данного предложения поставить частицу
«не»,  либо перед всем предложением поставить слова «неверно, что», то
получится предложение, которое называется отрицанием данного высказывания и
обозначается А (читается: «не А» или «неверно, что А»).

Определение:
Отрицанием высказывания А называется высказывание А, которое ложно, когда
высказывание А истинно, и истинно, когда высказывание А-ложно.

Пример:
А: Число 16 делится на 9.

А: а) Число 16 не делится
на 9.

    
б) Неверно, что число 16 делится на 9.

Рассмотрим
теперь правила построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции высказываний.

Чтобы
построить отрицание конъюнкции и дизъюнкции, достаточно заменить отрицаниями
составляющие ее высказывания, а союз «и» («или») заменить союзом «или» («и»).

Это
правило можно записать в виде равносильностей А˄В ⇔ А˅В и     А˅В ⇔ А˄В.

Эти
равносильности называют законами де Моргана.

Пример:

1)
Построить отрицание высказывания: «Число 25 кратно 3 или 5».

Отрицание
можно построить двумя способами:

а)
Неверно, что число 25 кратно 3 или 5.

б)
Число 25 не кратно 3 или 5.

2)
Построить отрицание высказывания: «Число 6 четное и делится на 4».

Отрицание
можно построить двумя способами.

а)
Неверно, что число 6 четное и делится на 4.

б)
Число 6 нечетное или не делится на 4.

Теперь
рассмотрим правила построения отрицаний  высказываний, которые содержат
кванторы.

Для
того, чтобы построить отрицание высказывания, начинающегося с квантора общности
(существования), достаточно заменить его квантором существования (общности) и
построить отрицание  предложения, стоящего после квантора.

Это
правило можно записать двумя раносильностями:

(∀х) А(х) ⇔ (∃ х) А(х)   и    (∃ х) А(х) ⇔ (∀х) А(х)

Пример:

1)
Построить отрицание высказывания: «Некоторые студенты отличники».

Отрицание
можно построить двумя способами:

а)
Неверно, что некоторые студенты отличники.

б)
Всякий студент не отличник.

2)
Построить отрицание высказывания: «Все числа больше 10»

Отрицание
можно построить двумя способами:

а)
Неверно, что все числа больше 10

б)
Существуют числа не больше 10

5.    
Закрепление нового материала.

Сформулируйте
отрицания следующих предложений двумя способами:

1)    Квадрат
является ромбом.

а)
Неверно, что квадрат является ромбом.

б)
Квадрат не является ромбом.

2)    Число
6 однозначное и меньше 8.

а)
Неверно, что число 6 однозначное и меньше 8.

б)
Число 6 не однозначное или не меньше 8.

3)    Трапеция
является параллелограммом или прямоугольником.

а)
Неверно, что трапеция является параллелограммом или прямоугольником.

б)
Трапеция не является параллелограммом и прямоугольником.

4)    Всякое
число четное.

а)
Неверно, что всякое число четное.

б)
Существует число, которое не является четным.

5)    Хотя
бы одно число четное.

а)
Неверно, что хотя бы одно число четное.

б)
Любое число нечетное.

6.    
Итоги урока. Домашнее задание.

Высказывания. Операции над высказываниями

Определение высказываний

Высказывание — утверждение, относительно которого можно сказать истинно (1, истина, true) оно или ложно (0, ложь, false).

Высказывания обозначаются заглавными латинскими буквами %%A, B, C, …%% или буквами с индексами %%A_1, B^2, C’, …%%.

Примеры

Следующие предложения являются высказываниями:

%%A_1%%: «Лондон — столица Австрии».
%%A_2%%: «Число 8 больше числа 3».
%%A_3%%: «Число 8 больше числа 13».
%%A_4%%: «Луна — спутник планеты Земля».

Причем высказывания %%A_1, A_3%% — ложные, а %%A_2, A_4%% — истинные.

Следующие предложения не являются высказываниями:

%%B_1%%: «Какой сегодня день недели?».
%%B_2%%: «%%2 + 3%%».
%%B_3%%: «Число %%x%% больше 3».

Мы не можем сказать о любом из высказываний %%B_1, B_2, B_3%% истинно оно или ложно. Например, в предложении %%B_3%% буква %%x%% — переменная. Если поставить какое либо значение вместо нее, например 8, то получим истинное высказывание.

Операции над высказываниями

Сложные высказывания построены из более простых, используя следующие логические знаки
$$
land, lor, rightarrow, leftrightarrow, overline{},
$$
которые имеют соответствующие названия: конъюнкция (логическое И), дизъюнкция (логическое ИЛИ), импликация (логические следование), эквиваленция (логическое равенство) и отрицание (логическое НЕ).

Пусть %%A%% и %%B%% — некоторые высказывания.

Конъюнкция

Конъюнкцией высказываний %%A%% и %%B%%

называется новое высказывание, обозначаемое %%A land B%%, которое является истинным тогда и только тогда, когда высказывания %%A%% и %%B%% истины. Читается как %%A%% и %%B%%.

Рассмотрим конъюнкцию высказывний %%A_1%% и %%A_2%%, которая записывается как %%A_1 land A_2%% и читается как «Генуя — столица Австрии и число 8 больше числа 3». Это высказывание ложно, так как высказывание %%A_1%% ложно. Другими словами, конъюнкция является ложной тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний ложно.

Рассмотрим произвольные высказывания %%A%% и %%B%% и полученное из них высказывание %%A land B%%. Высказывания %%A, B%% могут быть как ложными, так и истинными. Возможны следующие варианты:

1. %%A%% ложно, %%B%% ложно;
2. %%A%% ложно, %%B%% истинно;
3. %%A%% истинно, %%B%% ложно;
4. %%A%% истинно, %%B%% истинно;

В каждом их этих случаев, вычислив значение конъюнкции высказываний %%A land B%%, получим следующую таблицу, которая называется таблицей истинности.

%%A%%	%%B%%	%%A land B%%
%%0%%	%%0%%	%%0%%
%%0%%	%%1%%	%%0%%
%%1%%	%%0%%	%%0%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%

Где %%1%% обозначает истинное высказывание, %%0%% — ложное высказывание.

Операцию конъюникции можно распространить и на несколько высказываний. Пусть %%A_1, A_2, …, A_n%% — высказывания. Тогда высказывание %%A_1 land A_2 land … land A_n%%, являющееся конъюнкцией высказываний %%A_1, A_2, …, A_n%%, будет истинным тогда и только тогда, когда все высказывания будут истинными.

Дизъюнкция

Дизъюнкцией высказываний %%A%% и %%B%%

называется новое высказывание, обозначаемое %%A lor B%%, которое является ложным тогда и только тогда, когда высказывания %%A%% и %%B%% ложны.
Читается как %%A%% или %%B%%.

Рассмотрим дизъюнкцию высказывний %%A_1%% и %%A_2%%, которая записывается как %%A_1 lor A_2%% и читается как «Москва — столица Австрии или число 8 больше числа 3». Это высказывание истинно, так как высказывание %%A_2%% истинно. Другими словами, дизъюнкция является истинной тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истино.

Таблица истинности для дизъюнкции выглядит следующим образом.

%%A%%	%%B%%	%%A lor B%%
%%0%%	%%0%%	%%0%%
%%0%%	%%1%%	%%1%%
%%1%%	%%0%%	%%1%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%

Аналогично конъюнкции, операцию дизъюнкции можно распространить и на несколько высказываний. Пусть %%A_1, A_2, …, A_n%% — высказывания. Тогда высказывание %%A_1 lor A_2 lor … lor A_n%%, являющееся дизъюнкцией высказываний %%A_1, A_2, …, A_n%%, будет ложным тогда и только тогда, когда все высказывания будут ложными.

Импликация

Импликацией высказываний %%A%% и %%B%% называется

новое высказывание, обозначаемое %%A rightarrow B%%, которое является ложным тогда и только тогда, когда высказывание %%A%% истинно, %%B%% ложно. Читается как: «Если %%A%%, то %%B%%»; «%%A%% влечет %%B%%»; «из %%A%% следует %%B%%»; «%%A%% достаточно для %%B%%»; %%B%% необходимо для %%A%%».

Рассмотрим импликацию высказывний %%A_2%% и %%A_1%%, которая записывается как %%A_2 rightarrow A_1%% и читается как «Если число %%8%% больше числа %%3%%, то Москва — столица Австрии». Это высказывание ложно, так как высказывание %%A_2%% истинно, а %%A_1%% ложно.

Таблица истинности для импликации выглядит следующим образом.

%%A%%	%%B%%	%%A rightarrow B%%
%%0%%	%%0%%	%%1%%
%%0%%	%%1%%	%%1%%
%%1%%	%%0%%	%%0%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%

Эквиваленция

Эквиваленцией высказываний %%A%% и %%B%%

называется новое высказывание, обозначаемое %%A leftrightarrow B%%, которое является истинным тогда и только тогда, когда высказывание %%A%% и %%B%% одновременно истинны или ложны.
Читается как: «%%A%% равносильно %%B%%»; «%%A%% необходимо и достаточно для %%B%%»; «%%A%% тогда и только тогда, когда %%B%%».

Рассмотрим импликацию высказывний %%A_1%% и %%A_2%%, которая записывается как %%A_1 leftrightarrow A_2%% и читается как «Москва — столица Австрии тогда и только тогда, когда число %%8%% больше числа %%3%%». Это высказывание ложно, так как высказывание %%A_2%% истинно, а %%A_1%% ложно.

Таблица истинности для эквиваленции выглядит следующим образом.

%%A%%	%%B%%	%%A leftrightarrow B%%
%%0%%	%%0%%	%%1%%
%%0%%	%%1%%	%%0%%
%%1%%	%%0%%	%%0%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%

Также эквиваленцию можно выразить через импликацию и конъюнкцию, тогда

$$
A leftrightarrow B = (A rightarrow B) land (B rightarrow A)
$$

Покажем это, используя таблицы истинности.

%%A%%	%%B%%	%%A leftrightarrow B%%	%%A rightarrow B%%	%%B rightarrow A%%	%%(A rightarrow B) land (B rightarrow A)%%
%%0%%	%%0%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%
%%0%%	%%1%%	%%0%%	%%1%%	%%0%%	%%0%%
%%1%%	%%0%%	%%0%%	%%0%%	%%1%%	%%0%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%

Как видно из таблицы истинности столбцы %%A leftrightarrow B%% и %%(A rightarrow B) land (B rightarrow A)%% имеют одни и те же значения при одинаковых наборах значений %%A%% и %%B%%, что говорит о равенстве этих двух формул.

Отрицание

Отрицанием высказывания %%A%%

называется новое высказывание, обозначаемое %%overline{A}%%, которое является истинным, когда высказывание %%A%% ложно, и ложным, когда высказываине %%A%% истинно.
Читается как: «не %%A%%»; «неверно, что %%A%%».

Рассмотрим отрицание высказывния %%A_1%%, которое записывается как %%overline{A_1}%% и читается как «неверно, что Москва — столица Австрии». Это высказывание истинно, так как высказывание %%A_1%% ложно.

Таблица истинности для отрицания выглядит следующим образом.

%%A%%	%%overline{A}%%
%%0%%	%%1%%
%%1%%	%%0%%