Как составить план скоростей механизма

Рассмотрим порядок построения планов скоростей и ускорений точек звеньев на примере кинематического исследования плоского рычажного механизма (рисунок 1).

Планом скоростей (ускорений) механизма называют чертеж, на котором скорости (ускорения) различных точек изображены в виде векторов, показывающих направления и величины (в масштабе) этих скоростей (ускорений) в данный момент времени.

Абсолютное движение любой точки звена может быть составлено из переносного и относительного. За переносное принимается известное движение какой-либо точки. Относительное – движение данной точки относительно той, движение которой принято за переносное:

На плане абсолютные скорости (ускорения) изображаются векторами, выходящими из полюса плана.

На конце вектора абсолютной скорости (ускорения) ставится строчная (маленькая) буква, соответствующая той точке механизма, скорость (ускорение) которой данный вектор изображает. Отрезок, соединяющий концы векторов абсолютных скоростей, представляет собой вектор относительной скорости соответствующих точек.

Рисунок 1 – Кинематическая схема плоского рычажного механизма

Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >

Рассмотрим построение планов для механизма, представленного на рисунке 1. Вначале рассматривается начальный механизм, а далее решение ведется по группам Ассура в порядке их присоединения.

Начальный механизм:

Здесь

По вычисленному значению V_A выбираем масштаб плана скоростей K_V и из произвольного полюса откладываем отрезок va изображающий эту скорость:

Можно также назначать отрезок va а масштаб K_V вычислять:

Группа Ассура второго класса 1-го вида (звенья 2, 3):

Истинные значения (в м/с) относительных скоростей V_BA и V_BC определяются после построения плана умножением соответствующих отрезков (в мм) на масштаб плана:

а зная их, можно определить и угловые скорости звеньев 2 и 3:

Скорость точки D на плане скоростей можно определить по подобию. (Если известны скорости двух точек одного и того же звена, то скорость любой третьей точки этого же звена можно определить, построив на плане скоростей фигуру, подобную фигуре, образованной этими же буквами на звене механизма). Точки С, В , D на звене 3 лежат на одной прямой. На плане строим отрезок сd, соблюдая условие подобия:

Группа Ассура второго класса 3-го вида (звенья 4,5) :

где D₅ — точка, находящаяся на звене 5 под точкой D. После определения скорости движения точки D₅ относительно точки E можно вычислить угловую скорость звеньев 4 и 5 (ω₄=ω₅, т. к. эти звенья соединяются поступательной парой):

Примечание: в данном случае размер DE является величиной переменной (т.е. в задании он отсутствует), поэтому в каждом положении механизма он определяется через отрезок на чертеже и масштаб длин.

План ускорений строится в таком же порядке.

Начальный механизм

Ускорение точки A состоит только из нормальной составляющей, т.к. задана постоянная угловая скорость первого звена (ω₁=соnst):

По вычисленному значению ускорения точки A выбирается масштаб плана ускорений и определяется отрезок на плане, соответствующий этому ускорению (или вычисляется масштаб плана ускорений по выбранному отрезку, изображающему ускорение точки A):

Здесь точка w – полюс плана ускорений.

Группа Ассура (звенья 2,3) второго класса 1-го вида:

После построения определяются a^τ_BA и a^τ_BC, по которым можно вычислить угловые ускорения звеньев 2 и 3:

Ускорение точки D определяем по подобию так же, как определяли скорость этой точки:

Рисунок 5 – Планы скоростей и ускорений для заданного положения механизма

Группа Ассура (звенья 4,5) второго класса 3-го вида:

Для определения направления a^k_D5D надо вектор V_D5D повернуть на 90° в направлении ω₅. Угловые ускорения:

При силовом расчете необходимо иметь ускорения центров масс (a_si), которые на плане ускорений определяются методом подобия.

Планы скоростей и ускорений для первого положения заданного механизма приведены на рисунке 5.

Уравнение планов скоростей и ускорений для каждой группы Ассура приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Кинематический анализ групп Ассура II класса методом планов

Пример расчета механизма с поступательно движущимся выходным звеном >
Курсовой проект по ТММ >

Рассмотрим
пример для одного положения механизма.
Для этого строим план механизма в
заданном положении и в выбранном масштабе
длин М_L
(рис.5).

Вычисляется
скорость точки А кривошипа:

V_A
=
W₁
^.
L_OA
,м/с.

Вектор
скорости V_A
направлен перпендикулярно прямой ОА
(кривошипа) в сторону вращения кривошипа.

Скорость
V_C2
точки С звена 2 определяется графическим
построением следующих векторных
уравнений (т.е. построением планов
скоростей):

V_C2
= V_A
+
V_C2A;

V_C2
=
V_C3
+
V_C2C3.

Здесь
вектор скорости V_C2A
направлен перпендикулярно прямой AC₂,
но пока неизвестна величина этой
скорости; скорость V_C3
=
0; вектор скорости V_C2C3

направлен параллельно прямой AC₂,
но величина этой скорости также пока
неизвестна.

Для
определения неизвестных величин
скоростей строим
план скоростей
в следующей последовательности. Из
произвольно выбранной точки – так
называемого полюса Р_V
– перпендикулярно ОА проводится отрезок
Р_Va
произвольной длины (рис.6). Тогда масштаб
плана скоростей вычисляется по формуле

M_V
=
V_A/Р_Va,
м/с/мм,

где
Р_Va
— длина отрезка, мм, изображающая на
плане скоростей вектор скорости V_A.

Из
точки a
перпендикулярно прямой АС₂
проводится луч. Через полюс Р_V
проводится второй луч параллельно
прямой АС₂.
В месте их пересечения получаем точку
с₂.
Вектор Р_Vс₂
изображает скорость V_C2,
а вектор
ас₂
–
скорость V_C2A.
Вычисляются величины скоростей по
формулам

V_C2
=
(Р_Vс₂)
^.
M_V;

V_C2A
=
(ас₂)
^.
M_V,
м/с.

Здесь
длины отрезков Р_Vс₂
и ас₂
взяты из плана скоростей. Вычисляем
угловую скорость кулисы 2:

W₂
=
V_C2A/L_AC2,
1/с.

Здесь
L_AC2
=
(AC₂)
^.
M_L,
м, а величина АС₂
в мм берется из плана механизма.

Определяется
скорость точки В, принадлежащей кулисе
2. Для этого используется теорема
подобия:
Отрезки
относительных скоростей на плане
скоростей образуют фигуру, подобную
соответствующей фигуре на плане
механизма.

В
соответствии с ней составляется уравнение
пропорции

АС₂/ас₂
=
AB/ab.

Здесь
длины отрезков АС₂
и АВ берутся в мм из плана механизма, а
длина отрезка ас₂
–
из плана скоростей. Вычисляется длина
отрезка ab
и откладывается на отрезке ас₂
плана скоростей. Полученный вектор (Р_vb
) изображает на плане скоростей скорость
V_B
точки В, причем величина скорости точки
В вычисляется по формуле

V_B
=
(Р_vb
) ^.
M_V,
м/с.

Определяется
скорость точки Д. Для этого составляется
векторное уравнение скорости звена 4:

V_D
=
V_B
+
V_DB.

Здесь
скорость V_B
уже известна как по величине, так и по
направлению, а V_DBBD
и вектор V_D
параллелен движению ползуна 5. Для
нахождения величин V_DB
и V_D
строится план скоростей звена 4 в
следующей последовательности. Через
точку b
плана скоростей проводится линия,
перпендикулярная прямой ВD
плана механизма, а через полюс Р_V
– прямая, параллельная движению ползуна
5. В месте их пересечения получается
точка d.
Вычисляются значения скоростей:

V_DB
=
(bd) ^.
M_V,

V_D
=
(Р_Vd)
^.
M_V,
м/с.

Направления
векторов скоростей устанавливаются в
соответствии с векторным уравнением
скоростей.

Далее
вычисляется угловая скорость шатуна:

W₄
=
V_DB/L_BD,
1/с.

Направления
угловых скоростей звеньев W₂
и
W₄
показываются на плане механизма. Планы
скоростей строятся для всех 12 позиций.
С их использованием вычисляются линейные
скорости всех характерных точек механизма
(центров кинематических пар, центров
масс звеньев и т.д.), угловые скорости
звеньев. Результаты расчетов удобно
свести в таблицу. Вычисленные скорости
нужны в дальнейшем для проведения
динамического анализа механизма и
расчета маховика (см. лист 4 курсового
проекта).

Соседние файлы в папке ТММ

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Кинематическая схема механизма предназначена для определения
положений, траекторий, скоростей и ускорений точек и звеньев механизма. Для
построения кинематических схем используются условные обозначения согласно ГОСТ
2770 – 68.

Планы положений механизма строятся методом засечек в
масштабе (рис.2). В отличие от масштабов, применяемых в машиностроении, в
теории механизмов и машин масштабы представляют собой именованные числа.
Масштабы обозначаются буквой К с соответствующим индексом:

Масштабы длин и пути  ,
м /мм;

Масштаб скоростей , м/с.мм;

Масштаб ускорений , м/с².мм.

Численное значение масштаба должно быть либо десятичной
дробью, либо целым числом и включать в себя стандартные цифры или комбинации
цифр: 1, 2, 4, 5, 15, 25, 75, 10, 20…….

Для выполнения кинематического анализа данного механизма в
задаче № 1 требуется вычертить в выбранном масштабе Кs
положение механизма изображенное в задании и для него построить план скоростей
и ускорений  

1.2.2. Построение планов скоростей и ускорений

Метод построения планов скоростей и ускорений основан на
теореме о разложении движения, согласно которой любое движение можно
представить как сумму двух простых движений – переносного /поступательного/ и
относительного /вращательного/. Тогда для скоростей:

для ускорений:

,

где  — нормальная составляющая ускорения
в относительном движении /определяется по данным плана скоростей/, на плане
ускорений всегда направлена вдоль звена к центру относительного движения;

 — касательная составляющая
/определяется графически/ на плане ускорений, всегда направлена перпендикулярно
к звену /радиусу/ относительного движения.

Для определения скорости или ускорения
точки графическим путем не-обходимо составить систему из двух векторных
уравнений. При составлении векторных уравнений движение точки рассматривается
относительно двух других точек, с которыми эта точка связана и скорости которых
уже известны.

Пример:

Построить план скоростей и план
ускорений для заданного положения механизма, изображенного на рисунке 2.

Пусть заданы размеры звеньев
механизма: ОА = 150мм; АВ = 450мм и т.д. и частота вращения входного звена /
кривошипа/ОА/, соответствующая n = 200 об/мин.

План скоростей рис.3.

Скорость пальца кривошипа /точка А/
определяется по формуле:

,

где n — частота вращения кривошипа, об/мин;

      ОА – длина
кривошипа, м;

Подставляя данные в формулу,
получим:

Задаваясь длиной отрезка  /мм/, изображающего на плане скоростей
вектор скорости точки А, получим масштаб плана :

Отрезок :

 = 62,8 мм

выбран так, чтобы
был получен стандартный масштаб скоростей.

Рекомендуется выбирать отрезок не менее 50мм.

Из полюса плата скоростей р отложим
вектор скорости точки А  перпендикулярно
звену ОА/ по касательной к траектории движения точки А/ в сторону ее движения.

Рассматривая движение точки В относительно точки А, а затем
относительно О_I, имеем:

Из конца вектора скорости /точка
а/ проводим линию действия вектора относительной скорости  перпендикулярно звену АВ, а затем из
полюса p /т.к. V₀ =
0/ перпендикулярно звену ВО_I проводим
линию действия вектора относительной скорости  до
пересечения с линией действия вектора  в
точке в. Отрезокизображает вектор
абсолютной скорости точки В .

Скорость точки С /третьей точки звена ВАС/ найдем методом
подобия. Можно записать следующее соотношение:

 или ,

где  и  — отрезки на плане скоростей;

      АС и АВ – размеры звеньев
механизма.

Вычислив отрезок  и отложив его на
плане скоростей, получим точку . Соединяя точку  с полюсом , найдем отрезок , изображающий вектор абсолютной
скорости точки С (V_c).

Для определения скорости точки Д рассмотрим движение этой
точки относительно точек С и Д_у / точка Д_у принадлежит
неподвижным направляющим и в данный момент совпадает с точкой Д /.

Система векторных уравнений имеет вид:

Так как V_ДУ =0, то .

Из конца вектора скорости  точка
с / проводим линию действия вектора относительной скорости  перпендикулярно звену СД,
а из полюса p параллельно оси у-у проводим линию
действия вектора относительной скорости в
точке d . Отрезок  изображает вектор абсолютной
скорости точки Д .

Абсолютные скорости каждой точки равны:

V_В =  , м/с

V_С =  , м/с

V_Д =  , м/с

Относительные скорости:

V_ВА =

 =

V_ДС =

План ускорений рис.4.

Рассматривая движение точки А относительно точки О, можно
записать:

Ускорение а_о = 0,  т.к.
сonst. Следовательно, точка А при
постоянной угловой скорости кривошипа будет иметь только нормальное /
центральное/ ускорение:

Величина нормального ускорения:

Подставляя числовые значения, получим:

Задаваясь длиной отрезка изображаемого
на плане ускорений вектор ускорения точки А, получим масштаб плана ускорений

Отрезок выбран равным 65,8 мм, чтобы получить стандартный масштаб ускорений.

Из полюса плана ускорений откладываем
вектор ускорения точки А

/отрезок /
параллельно звену АО, направляя его от точки А к центру ее вращения – точке О.

Рассматривая движение точки В относительно точки А, а затем
относительно точки О_1, имеем:

Так как  то .

Нормальное ускорение В в
ее относительном движении относительно точки А по величине определяется
следующим образом:

Удобнее сразу находить величину отрезка, изображаемого
вектор нормального ускорения:

где  —
отрезок, изображений вектор относительной скорости на
плане скоростей, мм;

      АВ – длина шатуна, м.

Направлен вектор по шатуну от точки
В к точке А.

Вектор касательного ускорения известен
только по направлению – линия его действия перпендикулярна звену ВА.

Нормальное ускорение: