- Главная
- Справочники
- Справочник по математике для начальной школы
- Числовые и буквенные выражения
Числовые выражения
В этом разделе мы узнаем, что называют числовым выражением и значением выражения, научимся читать выражения.
Числовое выражение – это запись , состоящая из чисел и знаков действий между ними.
Например, 44 + 32
Значение выражения — это результат выполненных действий.
Например, в записи 44 + 32 = 76, значение выражения — это 76.
Чтение числовых выражений
12 + 9 — сумма
49 — 20 — разность
34 — (8 + 21) — из 34 вычесть сумму чисел 8 и 21
13 + (26 — 
— к 13 прибавить разность чисел 26 и 8
Решение числовых выражений
45 – (30 + 2) = …
Сначала выполняем действие, записанное в скобках. К 30 прибавляем 2.
30 + 2 = 32
Теперь нужно из 45 вычесть 38.
45 – 32 = 13
45 – (30 + 2) = 13
Сравнение значений числовых выражений
Сравнить числовое выражение – найти значение каждого из выражений и их сравнить.
Давай сравним значения двух выражений: 14 — 6 и 18 — 9.
Для этого найдем значения каждого из них:
14 — 6 = 8
18 — 9 = 9
8 < 9, значит,
14 — 6 < 18 — 9
Буквенные выражения
Буквенным называется математическое выражение, в котором используются цифры, знаки действий и буквы. Например, (47 + d) – 11.
В этих выражениях буквы могут обозначать различные числа. Число, которым заменяют букву, называют значением.
Для записи буквенных выражений необходимо знать некоторые буквы латинского алфавита. Мы приводим его полностью, чтобы ты знал, с какими буквами можешь встретиться при составлении, решении или чтении буквенных выражений.
Чаще всего используются буквы:
a, b, c, d, x, y, k, m, n
Алгоритм решения буквенного выражения
Алгоритм — значит, порядок, план выполнения команд.
1. Прочитать буквенное выражение
2. Записать буквенное выражение
3. Подставить значение неизвестного в выражении
4. Вычислить результат
Например, 28 – с
Читаем выражение: Из 28 вычесть с или Найти разность числа 28 и с
Подставим вместо неизвестного «с» число 4.
У нас получается выражение: 28 – 4
Вычисляем результат:
28 – 4 = 24
Переменные
Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях называются переменными. Например, в выражении с + x + 2 переменными являются буквы c и x. Если вместо этих переменных подставить любые числа, то буквенное выражение с + x + 2 обратится в числовое выражение, значение которого можно будет найти.
Числа, которые подставляют вместо переменных называют значениями переменных. Например, изменим значения переменных c и x. Для изменения значений используется знак равенства
c = 2, x = 3
Мы изменили значения переменных c и x. Переменной c присвоили значение 2, переменной x присвоили значение 3, тогда выражение с + х + 2 будет выглядеть так:
2 + 3 + 2
Теперь мы можем найти значение этого выражения:
с + х + 2 = 2 + 3 + 2 = 5 + 2 = 7
Советуем посмотреть:
Уравнения
Правило встречается в следующих упражнениях:
1 класс
Страница 8. Урок 5,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 43. Урок 22,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 49. Урок 25,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 57. Урок 29,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 22. Урок 12,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 31. Урок 16,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 35. Урок 18,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 37. Урок 19,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 43. Урок 22,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 88. Урок 35,
Петерсон, Учебник, часть 3
2 класс
Страница 63,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1
Страница 10,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 40,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 61,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 29. Урок 11,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 50. Урок 19,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 60. Урок 24,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 10. Урок 3,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 71. Урок 26,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 104. Повторение,
Петерсон, Учебник, часть 3
3 класс
Страница 38,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 93,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 58,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 11. Урок 3,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 24. Урок 8,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 33. Урок 12,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 73. Урок 31,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 81. Урок 35,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 12. Урок 5,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 64. Урок 28,
Петерсон, Учебник, часть 3
4 класс
Страница 9,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 60,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 68,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 21,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 33,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 54,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 56,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 74,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 85,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 3. Урок 1,
Петерсон, Учебник, часть 1
5 класс
Задание 428,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 936,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1012,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1406,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1723,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1836,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 926,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2
Номер 255,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 258,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 389,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
6 класс
Номер 33,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 330,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 361,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1007,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1008,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1345,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 704,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1122,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1153,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
7 класс
Номер 259,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 316,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 480,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 481,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 906,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1071,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1139,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 3,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 46,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 47,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 229,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 391,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 392,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Математика, 2 класс
Урок № 25. Буквенные выражения
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— Что такое буквенное выражение?
— Как найти значение буквенного выражения?
Глоссарий по теме:
Числовое выражение – выражение, составленное из чисел, знаков математических действий и скобок.
Значение выражения – это число, полученное в результате выполнения всех действий в выражении.
Буквенное выражение – выражение, составленное из чисел, букв, знаков математических действий и скобок.
Переменная – это значение буквы в буквенном выражении.
Основная и дополнительная литература по теме урока (точные библиографические данные с указанием страниц):
- Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/ М. И. Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова и др. — 8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – с.76.
- Математика. Рабочая тетрадь. 2 класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/ М. И. Моро, М.А.Бантова – 6-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2016. – с.67.
- Для тех, кто любит математику. Пособие для учащихся общеобразовательных организаций. М. И. Моро, С. И. Волкова – 9-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – с.17.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Вы уже умеете решать примеры «с окошками». 5 + = 8
Мы подбираем число, чтобы равенство было верным. Это число 3. Подставим вместо «окошка» это число. Получим равенство: 5 + 3 = 8
Кроме равенства, вы умеете решать «с окошком» и неравенства. Мы подбираем число или числа, чтобы неравенство было верным. 5 + > 8
Это могут быть любые числа, больше числа 3.
5 + 4 > 8
5 + 10 > 8
С «окошками» можно записывать и просто выражения:
«сумма числа четыре и неизвестного числа», 4 +
«разность неизвестного числа и числа три». — 3
Вместо «окошка» в математике записывают латинские буквы.
Запишем выражение с буквой «a»: 5 + а
Выражение с буквами называется «буквенное выражение»
Чаще всего используют маленькие латинские буквы:
Вместо буквы, как и вместо «окошка» можно подставлять различные числа и находить значения выражений. Посмотрите, как можно заменить букву числом в выражении 6 + d.
d = 89, 6 + 89
d = 7, 6 + 7
Если буква — слагаемое, то мы можем заменить её любым числом. Буква может быть как первым, так и вторым слагаемым.
9 + х
х = 56, 9 + 56
х = 2, 9 + 2
Заменим букву числом в выражении: а – 7. Посмотри, как это сделать.
а = 98, 98 – 7
а = 10, 10 – 7
Обратите внимание, что если буква – это уменьшаемое, то мы не можем заменить её любым числом.Оно должно быть обязательно больше или равно вычитаемому.
Так, для выраженияа – 7, значение переменной а равно:
а = 7, 8, 9, 10…
Заменим букву числом в выражении: 4 – с. Посмотри, как это сделать.
с = 0, 4 – 0
с = 3, 4 – 3
с = 8, 4 – 8 НЕЛЬЗЯ
Обратите внимание, что если буква – это вычитаемое, то мы не можем заменить её любым числом. Оно должно быть обязательно меньше или равно уменьшаемому.
Так, для выражения 4 – с, значение переменной с равно:
с = 4, 3, 2, 1, 0.
Вывод: Буквенным выражением называется выражение, состоящее их чисел, букв латинского алфавита, знаков действий. Число, полученное в результате выполнения всех действий после подстановки чисел вместо букв, в числовом выражении называют значением этого выражения. Значение этого выражения будет зависеть от того, какими будут значения этих букв – переменных
Тренировочные задания.
1.Зачеркните числа, которые нельзя поставить вместо переменной в выражение
а – 8 12, 45, 6, 34, 7, 10, 8, 4, 56
Правильные ответы:
12, 45, 6, 34, 7, 10, 8, 4, 56
2. Восстановите алгоритм решения буквенных выражений
Алгоритм решения буквенных выражений
- Записать выражение.
- Подставить значение переменной в выражение.
- Прочитать выражение.
- Вычислить значение выражения.
Правильные ответы:
Алгоритм решения буквенных выражений
- Прочитать выражение.
- Записать выражение.
- Подставить значение переменной в выражение.
- Вычислить значение выражения.
Тема: «Применение
букв для записи математических выражений и предложений»
Тип урока: урок
закрепления новых знаний и способов действий при решении задач.
Цели: закрепить
навыки чтения и записи числовых и буквенных выражений, научить различать буквенные
выражения и предложения, отработать навыки вычисления: значение выражения при
заданном значении буквы, значение величины по формуле.
Задачи: способствовать
развитию умений выбирать эффективные способы решений математических задач,
формированию навыков самоконтроля и самооценки, обогащению словарного запаса
учащихся, упражнять в решении устных примеров, содействовать формированию УУД;
содействовать воспитанию навыков учебного сотрудничества.
Планируемые результаты:
Предметные:
- обучающиеся научатся читать,
составлять и записывать буквенные выражения, находить их значения; - получат возможность совершенствовать
вычислительные навыки; - использовать математическую
терминологию при составлении и чтении математических равенств; - развивать внимание, логическое
мышление.
Личностные: проявлять
доброжелательность, внимание, помощь, в ходе учебной деятельности.
Метапредметные:
- Регулятивные УУД:
-определять и формулировать цель
деятельности на уроке с помощью учителя;
— планировать своё действие в соответствии
с поставленной задачей;
— проговаривать последовательность
действий на уроке,
- Познавательные УУД:
— осуществлять
поиск необходимой информации на страницах учебника;
— уметь
ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с
помощью учителя;
— преобразовывать информацию из текстовой
формы в схематическую.
- Коммуникативные УУД:
— уметь
оформлять свои мысли в устной форме;
— учить
работать в паре, выполнять роли контролёра и исполнителя;
—слушать
и понимать речь других.
Используемые педагогические технологии:
— проблемное обучение;
— развитие критического мышления;
— развивающее обучение;
— обучение в сотрудничестве;
— здоровьесберегающие.
Формы организации учебной деятельности:
— фронтальная;
— индивидуальная;
— групповая.
Ход
урока
Пусть каждый день и каждый час
Вам новое добудет.
Пусть добрым будет ум у вас,
А сердце умным будет.
С. Я.
Маршак
1. Устный
счет
Вычислите:
53 +47; 12 ×
3; 1 — 
; 
×
;
81 – 9; 100 ÷ 4;
+ 
; 14 × ;
125 +75; 64 ÷ 16; 2
— 1
; 
÷ ;
162 – 63; 125 × 2; 5
+ 4
; 10 ÷ .
( Какие знаки и символы были использованы
для записи этих выражений?
Как называются выражения, для записи
которых используются цифры, знаки математических действий и скобки?)
1.Вычислите при а =10, в = 5:
а +90; 2а + b; а
× b; 150 ÷ (a +b);
а -2b;
5b – а; а ÷ b; 3(a +b).
2.Найдите значение переменной х:
х + 3 = 10; 12 – х =
7; х – 10 = 15;
2х = 48; 56 ÷ х
=28; х ÷ 3 =13.
( Какие знаки и символы математических
действий были использованы для записи этих выражений?
Как называются выражения, для записи
которых используются буквы, цифры, знаки математических действий и скобки?
Прочитайте буквенные выражения.
Чем отличаются буквенные выражения в
задании 1 от буквенных выражений в задании 2?
А какие еще буквенные предложения мы
знаем?)
Формулы.
a > b; S = v × t; a + b = b + a.
Итак, для чего применяют буквы в
математике?
Запишем тему нашего урока «Применение букв
для записи математических выражений и предложений»
Самостоятельно.
Установите соответствие между выражением
или предложением и его буквенной записью:
a) чтобы найти скорость надо расстояние
разделить на время;
б) если к числу а прибавть 12 и вычесть
число b,
то получится 8;
в) сумма a
и b
больше, чем 9 ;
г) сумма выражения a +b и числа 9;
д) разность числа 3 и выражения x + 5.
е) частное выражения 1000 + a и числа 82.
1) (a
+ b) + 9;
2) (1000
+ а) ÷ 82;
3) v
= S ÷ t;
4) 3
– (х + 5);
5) (a
+ b) > 9;
6) а
+12 – b
= 8.
Проверьте себя (слайд 3)
|
а |
б |
в |
г |
д |
е |
|
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
Попробуем составить буквенное выражение по
условию задачи и вычислить для заданных значений.
Слайд 4.
Ученик 5 класса купил в магазине п
тетрадей по 15 рублей и т тетрадей по 18 рублей.
1) Составьте выражение для вычисления
стоимости всей покупки.
2) Вычислите стоимость покупки при п
= 4, т = 5.
Физкультминутка. Руки подняли и
покачали.
Это
деревья в лесу.
Руки
согнули. Кисти встряхнули.
Как
ветер сбивает росу.
В
стороны руки, плавно помашем.
Это к
нам птицы летят.
Как
они сели тоже покажем.
Руки
положим вот так.
Слайд 5.
Брату с лет, а сестра на 8 лет
моложе. Сколько лет сестре и брату вместе, если с = 13.
1) Составьте
выражение.
2) Вычислите
для заданного значения с.
Работа в парах. Слайд 6.
1.Составьте буквенное выражение.
2. Задайте значения букв.
3. Поменяйтесь с соседом по парте.
4. Вычислите значение выражения.
5. Поменяйтесь с соседом по парте.
6. Проверьте, если правильно поставьте
«+».
Слайд 7. Повторение. ЗХУ
Мотоциклист 2 ч ехал со скоростью 58 км/ч,
а потом 4 ч со скоростью 65 км/ч. Какое расстояние проехал мотоциклист?
Знаем
Хотим узнать
Узнаем
Слайд 8.
Домашнее задание:
1.
Запишите выражение:
1) сумма х и у + 6;
2) разность 87 и х – 9;
3) разность х — 4 и у + 5.
2.
Составьте числовое выражение для решения задачи и найдите его значение:
В одной корзине 65 яблок, что на 14 яблок
больше, чем во второй корзине. Сколько яблок в двух корзинах вместе?
3.
На соревнования по баскетболу пришло х девочек, мальчиков на у больше,
чем девочек. Сколько мальчиков пришло на соревнование? Составьте выражение и
найдите его значение при
х = 26, у = 9.
|
1. На уроке я работал 2. Своей работой на уроке я 3. Урок для меня показался 4. За урок я 5. Мое настроение 6. Материал урока мне был |
активно / пассивно доволен / не доволен коротким / длинным не устал / устал стало лучше / стало хуже понятен / не понятен полезен / бесполезен интересен / скучен |
Дополнительные задания:
1) х
+24 = 36;
2) х
— 23 = 45;
3) 56
— х = 22;
4) (30
— х) + 21 = 42;
5) х
∙ 7 = 84;
6) х
: 5 = 14;
7) 42
: х = 3;
3х
+ 12 = 66;
9) 14
∙ (х — 10) = 84;
10) (27
+ х) : 5 = 18.
Содержание
Математическое выражение. Определение
Числовые и буквенные математические выражения
Когда опускают знак умножения
Как читать математические выражения
Формулы
Так же, как и у нашего языка общения есть алфавит и знаки-помощники (точка, тире, запятая и т.д.), математический язык вычисления также имеет свой алфавит:
- цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);
- буквы латинского и греческого алфавитов ((a, b, c, d, α, β, γ, δ) и т.д.)
- знаки математических действий ( (+, -, times , div), и т.д.);
- скобки (), [ ], { }.
Буквы и цифры в математике служат для обозначения чисел.
Цифрами обозначается конкретное, какое-то определённое число.
Буквами – любое или неизвестное число, в зависимости от задачи.
Например:
- 258 – конкретное число двести пятьдесят восемь;
- (a + b) – сумма любых двух чисел;
- (x + 24 = 78) – уравнение с неизвестным первым слагаемым икс.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ – это «слова» и «фразы» математики, записи, в которых содержатся:
- числа, обозначенные цифрами или буквами,
- знаки математических действий, которые связывают эти числа математическими действиями;
- вспомогательные знаки – скобки.
При этом знаки математических действий и вспомогательные знаки ОБЯЗАТЕЛЬНО связывают числа и обозначают последовательность действий над ними.
Примеры математических выражений:
- x;
- 74;
- (2cdot3)
- (adiv (25+38))
- (374+(48cdot 2))
- (ac + bc)
ВНИМАНИЕ!
НЕ ЯВЛЯЕТСЯ математическим выражением:
- запись только знака;
- запись, не обозначающая математического действия над числами (когда знаки не связывают собой числа и не указывают на последовательность действий);
- запись, в которой присутствуют знаки сравнения (в этом случае запись является уравнением или неравенством, сравнивающем два и более выражений).
Например, это НЕ математические выражения:
- (
- +
- ((div 8-59)
- (35cdot 12(+74)
- (a+5=12)
- (38+87<25cdot x)
- ((1000+x)div 2=784)
Числовое значение выражения – это число, которое получается в результате выполнения всех действий в правильном порядке, указанных в данном выражении.
Найти числовое значение выражения – это означает совершить все арифметические действия, записанные в выражении, в правильном порядке, и получить число, являющееся значением данного выражения.
Например:
((35+4)cdot 2) — это выражение, а 78 — это числовое значение этого выражения, полученное в результате выполнения всех арифметических действий этого выражения.
Виды математических выражений
Числовые – выражения, которые состоят только из чисел, выраженных цифрами, и знаков: (5+3; 28div 4; 32cdot (25+15));
Буквенные – выражения, которые состоят из чисел, выраженных и цифрами, и буквами, или только буквами, и знаков: (5cdot a; a+b; 64div (2+c)).
Случаи опускания знака умножения в выражениях
В буквенных выражениях обычно знак умножения пишут только между числами, которые выражены цифрами.
В остальных случаях знак умножения опускают, например:
- между числовым и буквенным множителем: (5cdot x = 5x)
- между буквенными множителями: (acdot b = ab)
- между числовым множителем и скобкой: (3cdot (d+c)=3(d+c))
- между буквенным множителем и скобкой: (acdot (b+c)=a(b+c))
Как читать математические выражения
Простейшие математические выражения, состоящие из одного математического действия, называются по названию результата этого действия:
- (2+3) – сумма чисел 2 и 3
- (5cdot 4) – произведение чисел 5 и 4
- (24div 6) – частное чисел 24 и 6
- (35-5) – разность чисел 35 и 5
Более сложные выражения, называют по последнему выполняемому действию:
- ((a+b)-c) – разность суммы чисел a и b и числа c
- ((a+b)cdot (a-b)) – произведение суммы чисел a и b и разности чисел a и b
- (adiv (ccdot d)) – частное числа a и произведения чисел c и d
Важно не только уметь читать готовые математические выражения, но и «переводить» слова на математический язык – язык чисел, знаков действия и других символов:
- Сумма первых пяти натуральных чисел – (1+2+3+4+5)
- Произведение всех однозначных чисел – (1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot 7cdot 8cdot 9)
- Сумма всех двузначных чётных чисел – (10+12+14+…+94+96+98)
Алгоритм чтения математических выражений
Чтобы прочитать математическое выражение, нужно:
- Определить порядок действий в выражении
- Прочитать, начиная с последнего действия
При чтении сложного выражения повторяем действия алгоритма столько раз, сколько необходимо.
Например:
- (35cdot (28-12)) – Произведение числа 35 и разности чисел 28 и 12
- (35cdot (28-12)+64) – Сумма произведения числа 35 с разностью чисел 28 и 12, и числа 64.
- (35cdot (28-12)+64–32div 16) – Разность суммы произведения числа 35 и разности чисел 28 и 12 с числом 64, и частного чисел 32 и 16
Формулы
Используя математические выражения можно одну величину представить в виде другой, то есть, установить зависимость значения одной величины от значения другой величины.
Например:
Велосипедист едет со скоростью (v_{1}) км/ч. Найти скорость:
а) автомобиля, если известно, что он едет в 3 раза быстрее: (v_{a}=3cdot v_{1});
б) пешехода, если известно, что он двигается на 15 км/ч медленнее: (v_{p} = v_{1}-15).
Иначе это называется выразить одну величину через другую.
В первом случае мы выразили скорость автомобиля ( (v_{a}) ) через скорость велосипедиста ( (v_{1}) ), а во втором случае – скорость пешехода ( (v_{p}) ) через скорость велосипедиста ( (v_{1}) )
Многие величины в математике имеют свои собственные обозначения. Например: S – площадь фигуры, P – периметр, t – время и т.д.
Запись такого равенства называется формулой.
ФОРМУЛА – это запись зависимости значения некоторой величины от значений одной или нескольких других величин. Или другими словами, это запись правила вычисления одной неизвестной величины при помощи известных других.
Например:
- формула расстояния (s = vcdot t) (или (s = vt) ) – это запись зависимости значения пройденного расстояния от значений скорости движения и времени движения (Расстояние – это скорость, умноженная на время).
- формула периметра прямоугольника (P=2(a+b)) – это запись зависимости величины периметра
прямоугольника от его длины и ширины (Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме
двух его разных сторон).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Любые математические задачи и примеры записываются с помощью математического языка.
Математический язык- это язык, не требующий перевода, универсальный и понятный всем, имеющий четкую структуру и грамматику.
Верная математическая запись всегда точна, логична, компактна, удобна для понимания, однозначно отражает действие, операцию, понятие.
Определенная осмысленная последовательность знаков (чисел, букв), связанных между собой знаками арифметических операций, называют математическим выражением.
Математические выражения делят на числовые и буквенные.
На этом уроке вы познакомитесь с числовыми и буквенными выражениями.
Узнаете, какое выражение называют числовым, а какое буквенным.
Научитесь составлять числовые и буквенные выражения к задачам.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Выясните, как правильно записывать, читать и находить значение математических выражений.
Числовые выражения вам уже хорошо знакомы.
В начальных классах на уроках математики, решая задачи и примеры, вы составляли и записывали числовые выражения и находили значения этих выражений.
Числовое выражение- это запись, состоящая из чисел, арифметических операций, скобок и иных специальных математических символов.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Числовым выражением можно назвать только такую запись, которая является осмысленной и составлена согласно математическим правилам.
Рассмотрим примеры числовых выражений.
4 — является числовым выражением.
2 + 17 — является числовым выражением.
247 + 13 — 3 — является числовым выражением.
84 + (273 — 16) — является числовым выражением.
Не каждую математическую запись из символов и знаков можно считать числовым выражением.
Числовое выражение всегда ориентировано на то, чтобы операции, входящие в него, могли быть выполнены.
Если числовое выражение невозможно вычислить, то оно не имеет смысла.
Пример.
45 + ( — + 1 — не является числовым выражением, данная запись представляет собой бессмысленный набор символов и знаков.
Существуют такие математические записи, которые на первый взгляд можно принять за числовые выражения, но вычислить их невозможно.
Пример.
15 : (37 — 22 — 15)
Число 15 необходимо разделить на результат операции в скобках, а он равен нулю.
Так как деление на нуль в математике запрещено, данную математическую операцию совершить невозможно, следовательно, запись 15 : (37 — 22 — 15) не вычислить, она не является числовым выражением.
Математические равенства и неравенства выражениями не являются, но равенства и неравенства состоят из математических выражений.
Два числовых выражения, соединенные знаком равно «=», называют числовым равенством.
Два числовых выражения, соединенные знаками больше «>» или меньше «<», называют неравенством.
Несмотря на то, что в записи равенств и неравенств присутствуют математически верно построенные комбинации из чисел и арифметических операций, они не являются математическими выражениями.
Например,
Запись вида 26 — 5 > 4 не является числовым выражением, это неравенство.
Запись вида 24 — 6 = 18 также не является числовым выражением, данная запись является равенством.
Смысл решения любой задачи, любого примера заключается в том, чтобы найти значение выражения, которое превращает его в верное равенство.
Число, которое получается после выполнения всех арифметических операций, называют значением числового выражения.
Следовательно, чтобы найти значение числового выражения, необходимо выполнить в определенном порядке все арифметические операции, указанные в выражении.
У числового выражения значение только одно.
Например, значение числового выражения (45 — 3) + (12 + 2) всегда равно 56, и только это значение является единственно верным.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Важно уметь не только верно записывать числовые выражения, но и уметь их правильно читать.
Чтобы прочитать числовое выражение нужно определить, какая арифметическая операция является последней при вычислении значения этого выражения.
Так, например, если последнее по порядку действие было сложение, то выражение называют «суммой».
Если последним действием является вычитание, то выражение называют «разностью».
Следовательно, если последним действием является умножение, то выражение называют «произведением», если деление- «частным».
Например, выражение (10 — 3) + (6 — 4) читается так: «Сумма разности чисел 10 и 3 и разности чисел 6 и 4».
Выражение (10 — 3)∙(6 — 4) читается так: «Произведение разности чисел 10 и 3 и разности чисел 6 и 4».
Умение составлять математические выражения и находить их значение используют при решении как простых, так и составных задач.
Рассмотрим пример решения составной задачи и выясним особенности процесса составления числовых выражений.
Известно, что любая составная задача содержит несколько простых.
Существуют различные способы оформления решения текстовых задач.
Чаще всего используют такие формы записи решения задач:
1. По действиям с пояснениями.
2. Выражением.
При решении составных задач важно выделить главное, сделать краткую запись, разделить задачу на простые, составить план решения.
Задача 1.
В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на 2 кг больше.
Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Решение:
Запишем кратко условие задачи:
В I день — 12 кг клубники.
Во II день — на 2 кг больше, чем в I день.
Общее количество клубники в I и во II день- ?
Изобразим к задаче рисунок в виде схемы.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Чтобы определить, сколько собрали клубники за два дня, необходимо знать, какое количество клубники было собрано в первый и во второй день.
Из условия задачи известно количество клубники, собранной в первый день.
Неизвестно количество клубники, собранной во второй день.
Когда будет известно сколько собрали клубники во второй день, можно узнать какое количество ягод собрали за два дня.
Задачу решаем в два действия (каждое действие поясним).
1. Выясним сколько килограммов ягод собрали во второй день.
Известно, что в первый день собрали 12 кг клубники. Так как во второй день собрали на 2 кг больше, то во второй день собрали столько же, как в первый, и еще 2 кг.
Выполним сложение чисел 12 и 2, получим выражение 12 + 2.
Найдем значение данного числового выражения:
12 + 2 = 14 (кг) клубники собрали во второй день.
2. Вторым действием определим общее количество ягод, собранных за два дня.
Необходимо сложить все ягоды, который собрали в первый и во второй день, получим следующее выражение: 12 + 14.
Найдем значение данного числового выражения:
12 + 14 = 26 (кг) клубники собрали за два дня.
Ответ: 26 кг.
Как нам уже известно, решение задачи можно записать не только по действиям, но и в форме выражения.
Запись решения составной задачи с помощью составления по ней итогового числового выражения позволяет увидеть ход решения в целом, и такая запись сокращает время оформления задачи.
Составим числовое выражение для решения нашей задачи.
Согласно рассуждениям, изложенным выше, имеем следующие данные:
12 кг — клубники собрали в первый день.
12 + 2 кг — клубники собрали во второй день.
Определим общее количество ягод, собранных за два дня.
Сложив все ягоды, собранные в первый и во второй день, получим следующее числовое выражение:
12 + (12 + 2).
Вычислим значение данного выражения, выполнив последовательно все действия в нем.
Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:
12 + (12 + 2) = 12 + 14 = 26 (кг) клубники собрали за два дня.
Ответ: 26 кг.
Попробуем решить вторую задачу.
Задача 2.
В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на 5 кг больше.
Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?
Скорее всего вы заметили, что первая и вторая задачи отличаются только одним числом, а именно число 2 заменено на число 5.
Остальные условия задачи остались прежние.
Все логические рассуждения во второй задаче аналогичны рассуждениям первой.
Таким образом, имеем следующие данные:
12 кг — клубники собрали в первый день.
12 + 5 кг — клубники собрали во второй день.
Определим общее количество ягод, собранных за два дня.
Сложив все ягоды, собранные в первый и во второй день, получим следующее выражение:
12 + (12 + 5).
Вычислим значение данного выражения, выполнив последовательно все действия в нем.
Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:
12 + (12 + 5) = 12 + 17 = 29 (кг) клубники собрали за два дня.
Ответ: 29 кг.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим еще одну такую же задачу, как первая и вторая, рассмотренные выше, но число, которое менялось в первой и во второй задаче заменим на ☐ пустое окошко, в которое можно вписать любое значение.
Тогда получим следующую задачу:
В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на ☐ кг больше.
Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?
В математике принято обозначать переменное число не пустым окошком, а буквой.
Для нашей задачи вместо пустого окошка поставим латинскую букву «а».
По аналогии с уже решенными задачами математическое выражение для данной задачи будет следующее: 12 + (12 + а).
Если вместо буквы а подставлять различные числа, то каждый раз будем получать различные числовые выражения и, как следствие, различные значения.
Числовое выражение, в котором числа обозначены цифрами и буквами, называют буквенным выражением.
Соответственно, буквенное выражение отличается от числового тем, что содержит букву.
Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными.
Для обозначения чисел буквами используют строчные буквы латинского алфавита.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Например, в выражении а + 3 — b буквы а и b являются переменными.
Буквенные выражения должны быть составлены согласно математическим правилам и по такому же принципу, как числовые выражения.
Буквенные выражения является таковым, если в их записи отсутствуют знаки больше «>», меньше «<», равно «=».
Приведем примеры нескольких буквенных выражений:
а + b + с — является буквенным выражением.
4а — 5а — является буквенным выражением.
(15 — а) + 26 — является буквенным выражением.
12 + (3 — 1) — не является буквенным выражением, это числовое выражение (в составе выражения нет букв).
3 + d = 19 — не является буквенным выражением, это равенство (равенство, в записи которого есть буква, называется уравнением).
Буквенное выражение должно содержать хотя бы одну букву.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Из приведенных выше примеров можно заметить, что буквенное выражение может содержать несколько одинаковых и (или) разных букв, может состоять только из одних букв.
Разные числа в выражении обозначаются разными буквами.
Если в выражении упоминается одна и та же буква несколько раз, то во всех случаях она имеет одно и то же значение.
Числа, которые заменяют буквы в буквенном выражении, называют значением этих букв.
Вычисления в буквенных выражениях выполняют после подстановки вместо букв их численных значений.
Для буквенного выражения характерно не просто значение выражения, а значение выражения при заданном значении переменной.
Рассмотрим алгоритм решения буквенного выражения.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Пример.
1. Пусть число а = 5, число b = 6.
Найдем значение буквенного выражения а + b.
Решение:
Подставим вместо а и b соответствующие им числовые значения.
Получим числовое выражение 5 + 6.
Найдем значение числового выражения: 5 + 6 = 11.
Ответ: 11.
2. Пусть число а = 5, число d = 10.
Найдем значение буквенного выражения (а + а) — (d — а).
Подставим вместо а и d соответствующие им числовые значения.
Получим числовое выражение (5 + 5) — (10 — 5).
Найдем значение числового выражения: (5 + 5) — (10 — 5) = 10 — 7 = 3.
Ответ: 3.
Буквенное выражение, в отличие от числового, может иметь много значений, так как вместо буквы можно подставить любое число.
Пример.
Определите значение выражение 218 — b, если b = 28, b = 13, b = 5.
1. Подставим вместо b число 28.
Получим числовое выражение 218 — 28.
Найдем значение полученного числового выражения: 218 — 28 = 190.
2. Подставим вместо b число 13.
Получим числовое выражение 218 — 13.
Найдем значение полученного числового выражения: 218 — 13 = 205.
3. Подставим вместо b число 5.
Получим числовое выражение 218 — 5.
Найдем значение полученного числового выражения: 218 — 5 = 213.
Ответ: 190, 205, 213.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям