Как составить подмножества чисел

Понятие множества

Что такое «множество», мы понимаем интуитивно. В этом смысле это понятие первично, так же как «точка» или «плоскость».

Создатель теории множеств Г.Кантор описывал множество как «многое, мыслимое нами как единое».

Приведём примеры множеств:

Конечное, бесконечное и пустое множества

Людей в салоне самолёта легко посчитать, это множество конечно.

С деревьями в парке, планетами и электронами – сложней. Скорее всего, мы не сможем назвать точное количество элементов этих множеств в данный момент времени. Однако, и эти множества конечны.

Натуральное число – это идеальный объект, абстракция. Множество натуральных чисел бесконечно. Как оказалось, человек может оперировать и абстракциями, и бесконечностями.

Можно себе представить даже то, «чего на свете вообще не может быть». Поскольку таких объектов нет, их множество будет пустым. Пустое множество является частью любого другого множества.

Способы задания множеств

1) Перечисление – в списке задаются все элементы множества.

Например:

Множество всех континентов Земли:

{Евразия,Северная Америка,Южная Америка,Африка,Австралия,Антарктида}

Множество букв слова «математика»: {м,а,т,е,и,к}

Множество натуральных чисел меньших 5: {1,2,3,4}

2) Характеристическое свойство – указывается особенность элементов множества.

Например:

A = ${x|x gt 0, x in Bbb R}$ — множество всех действительных положительных x

B = ${n|n⋮5,n in Bbb N}$ — множество всех натуральных n, кратных 5

C = ${(x,y)|x^2+y^2 ge 1,x in Bbb R,y in Bbb R}$ – множество всех действительных точек координатной плоскости (x,y), расстояние от которых до начала координат не больше 1 (круг с центром в начале координат, радиусом 1).

D = {k|k-материк Земли} – множество всех материков планеты Земля

3) Графическое изображение – визуальное моделирование с помощью различных диаграмм (круги Эйлера, интервалы, графики и т.п.)

Подмножества

Знак $subseteq$ является аналогом $ge$, т.е. «нестрогим» неравенством. Это значит, что множества A и B могут и совпадать (любое множество является подмножеством самого себя).

Между множествами можно также ввести отношение «строгое подмножество», $A subset B$, в котором B заведомо «шире» множества A (аналог строгого неравенства $lt$).

Примеры подмножеств:

Множество людей является подмножеством приматов, живущих на Земле.

Множество натуральных чисел меньших 5 является подмножеством натуральных чисел меньших $10: A = {n|n lt 5, n in Bbb N}, B = {m|m lt 10, m in Bbb N}, A subseteq B$

Множество квадратов является подмножеством прямоугольников.

Множество полосатых летающих слонов – как пустое множество — является подмножеством чего угодно: приматов, чисел, прямоугольников. Что удобно для размышлений о смысле всего.

Примеры

Пример 1. Запишите данное множество с помощью перечисления элементов:

а) $A = {x|x^2 lt 5, x in Bbb Z}$

Задано множество целых чисел, квадрат которых меньше 5. Перечисляем:

A = {-2;-1;0;1;2}

б) $B = {x||x| ge 3, x in Bbb Z}$

Задано множество целых чисел, модуль которых не больше 3. Перечисляем:

B = {-3;-2;-1;0;1;2;3}

в) $ C = {x|(x-1)(2x+5) = 0, x in Bbb Q}$

Задано множество рациональных чисел, являющихся корнями уравнения

(x-1)(2x+5) = 0. Перечисляем:

C = {1;-2,5}

г) $D = {n|9 lt n ge 12, n in Bbb N}$

Задано множество натуральных чисел, входящих в полуинтервал $9 lt n le 12$.

Перечисляем:

D = {10;11;12}

Пример 2. Запишите данное множество с помощью характеристического свойства:

а) Множество всех натуральных чисел меньше 10

$$ A = {n|n lt 10, n in Bbb N} $$

б) Множество всех действительных чисел, кроме 0

$$ B = {x|x neq 0, x in Bbb R} $$

в) Множество всех точек с целыми координатами, принадлежащих прямой y = 2x+1

$$C = {(x,y)|y = 2x+1, x in Bbb Z, y in Bbb Z}$$

г) Множество всех целых решений уравнения $x^3+x^2+4 = 0$

$$ D = {x|x^3+x^2+4 = 0, x in Bbb Z} $$

Пример 3. Изобразите на графике в координатной плоскости данное множество:

а) $A = {(x,y)|y = x+2, x le 3, x in Bbb N}$

Задано конечное множество точек, которое можно представить перечислением:

A = {(1;3);(2;4);(3;5) }

На графике:

б)$ B = {(x,y)|y = frac{4}{x},-4 le x le -1, x in Bbb R}$

Задано бесконечное множество точек, принадлежащих данной гиперболе $y = frac{4}{x}$ в данном интервале $-4 le x le -1$. На графике:

Пример 4. Укажите и запишите с помощью перечисления одно из непустых конечных подмножеств для данного множества:

а) A = {k|k-электронное устройство}

$B subseteq A, B$ = {компьютер, смартфон, планшет}

б) A = {m|m-четырёхугольник}

$B subseteq A, B$ = {квадрат, ромб, прямоугольник}

в) A = {p|p-музыкальный инструмент}

$B subseteq A, B$ = {пианино, скрипка, виолончель}

г) A = {t|t-средство передвижения}

$B subseteq A, B$ = {автомобиль,автобус,поезд}

Пример 5*. Найдите булеан данного множества:

а) A = {5;10;27}

$$ P(A) = {{varnothing},{5},{10},{27},{5;10},{5;27},{10;27},{5;10;27} } $$

Исходное множество состоит из n = 3 элементов, булеан состоит из $2^3 = 8$ элементов.

б) B = {1;{2;16} }

$$ P(B) = {{varnothing},{1},{2;16},{1;{2;16} } } $$

Исходное множество состоит из n = 2 элементов, булеан состоит из $2^2 = 4$ элементов.

Множества

• Подмножество
• Пересечение и объединение множеств

Множество — это совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита — от  A  до  Z.

Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:

N — множество натуральных чисел,

Z — множество целых чисел.

Элемент множества — это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака  ∈.  Запись

5∈Z

читается так:  5 принадлежит множеству  Z  или  5 – элемент множества  Z.

Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество — множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество — множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.

Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись

L = {2, 4, 6, 8}

означает, что множество  L  состоит из четырёх чётных чисел.

Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми.

Подмножество

Подмножество — это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.

Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера. Круги Эйлера — это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае, множеств.

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6, 8}   и   M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}.

Каждый элемент множества  L  принадлежит и множеству  M,  значит, множество  L  является подмножеством множества  M.  Такое соотношение множеств обозначают знаком  ⊂:

L⊂M.

Запись  L⊂M  читается так:  множество  L  является подмножеством множества  M.

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются  равными  и обозначаются знаком  =.

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6}   и   M = {4, 6, 2}.

Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то  L = M.

Пересечение и объединение множеств

Пересечение двух множеств — это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком  ∩.

Например, если

L = {1, 3, 7, 11}   и   M = {3, 11, 17, 19},  то   L∩M = {3, 11}.

Запись  L∩M  читается так:  пересечение множеств  L  и  M.

Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах.

Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком  ∪.

Например, если

L = {1, 3, 7, 11}   и   M = {3, 11, 17, 19},

то   L∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.

Запись  L∪M  читается так: объединение множеств  L  и  M.

При объединении равных множеств объединение будет равно любому из данных множеств:

если  L = M,   то   L∪M = L   и   L∪M = M.

Из элементов множества можно составлять различные подмножества.

На рисунке фигура (B) полностью находится в фигуре (A).

Как найти все подмножества множеств

На простом примере напомним, что называется подмножеством, какие бывают подмножества (собственные и несобственные), формулу нахождения числа всех подмножеств, а также калькулятор, который выдает множество всех подмножеств.

Пример 1.  Дано множество А = {а, с, р, о}. Выпишите все подмножества
данного множества.
Решение:

Собственные подмножества: {а} , {с} , {р} , {о} , {а, с} , {а, р} , {а, о}, {с, р} , {с, о } ∈, {р, о}, {а, с,р} , {а, с, о}, {с, р, о}.

Несобственные: {а, с, р, о}, Ø.

Всего: 16 подмножеств.

Пояснение. Множество A является подмножеством множества B если каждый элемент множества A содержится также в B.

• пустое множество ∅ является подмножеством любого множества, называется несобственным;
• любое множество является подмножеством самого себя, также называется несобственным;
• У любого n-элементного множества ровно 2ⁿ подмножеств.

Последнее утверждение является формулой для нахождения числа всех подмножеств без перечисления каждого.

Вывод формулы: Допустим у нас имеется множество из n-элементов. При составлении подмножеств первый элемент может принадлежать подмножеству или не принадлежать, т.е. первый элемент можем выбрать двумя способами, аналогично для всех остальных элементов (всего n-элементов), каждый можем выбрать двумя способами, и по правилу умножения получаем: 2∙2∙2∙ …∙2=2ⁿ

Для математиков сформулируем теорему и приведем строгое доказательство.

Теорема . Число подмножеств конечного множества, состоящего из n элементов, равно 2ⁿ .

Доказательство. Множество, состоящее из одного элемента a, имеет два (т.е. 2¹ ) подмножества: ∅ и {a}. Множество, состоящее из двух элементов a и b, имеет четыре (т.е. 2² ) подмножества: ∅, {a}, {b}, {a; b}.
Множество, состоящее из трех элементов a, b, c, имеет восемь (т.е. 2³ ) подмножеств:
∅, {a}, {b}, {b; a}, {c}, {c; a},{c; b}, {c; b; a}.
Можно предположить, что добавление нового элемента удваивает число подмножеств.
Завершим доказательство применением метода математической индукции. Сущность этого метода в том, что если утверждение (свойство) справедливо для некоторого начального натурального числа n₀ и  если  из  предположения,  что  оно  справедливо  для  произвольного  натурального n = k ≥ n₀ можно доказать его справедливость для числа k + 1, то это свойство справедливо для всех натуральных чисел.

1. Для n = 1 (база индукции) (и даже для n = 2, 3) теорема доказана.

2.  Допустим, что теорема доказана для n = k, т.е. число подмножеств множества, состоящего из k элементов, равно 2^k .

3. Докажем, что число подмножеств множества B, состоящего из n = k + 1 элемента равно 2^k+1 .
Выбираем некоторый элемент b множества B. Рассмотрим множество A = B {b}. Оно содержит k элементов. Все подмножества множества A – это подмножества множества B, не содержащие элемент b и, по предположению, их 2^k штук. Подмножеств множества B, содержащих элемент b, столько же, т.е. 2^k
штук.

Следовательно, всех подмножеств множества B: 2^k + 2^k = 2 ⋅ 2^k = 2^k+1 штук.
Теорема доказана.

В примере 1 множество А = {а, с, р, о} состоит из четырех элементов, n=4, следовательно, число всех подмножеств равно 2⁴=16.

Если вам необходимо выписать все подмножества, или составить программу для написания множества всех подмножеств, то имеется  алгоритма для решения: представлять возможные комбинации в виде двоичных чисел. Поясним на примере.

Пример 2. Eсть множество {a b c}, в соответствие ставятся следующие числа:
000 = {0} (пустое множество)
001 = {c}
010 = {b}
011 = {b c}
100 = {a}
101 = {a c}
110 = {a b}
111 = {a b c}

Калькулятор множества всех подмножеств.

В калькуляторе уже набраны элементы множества А = {а, с, р, о}, достаточно нажать кнопку Submit. Если вам необходимо решение своей задачи, то набираем элементы множества на латинице, через запятую, как показано в примере.

Термин множество употребляется тогда, когда речь идет о нечисловых множествах. Например, говорят о множестве диагоналей многоугольника, о множестве точек на координатной прямой, о множестве прямых, проходящих через точку.

Предметы или объекты, образующие данное множество, называются его элементами. Например, число $6$ будет являться элементом множества натуральных чисел, а число $0,9$ не будет являться элементом множества натуральных чисел.

Виды множеств

Множества могут быть конечными и бесконечными, пустыми.

Среди конечных множеств выделяют множество, не имеющее ни одного элемента. Такое множество называется пустым множеством.

Подмножества

Если некоторое множество не является пустым, то из него можно выделить другие множества, которые будут являться его частями.

Например, из множества натуральных чисел можно выделить множество четных.

В математике часть множества называют — подмножество. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества.

Обозначение множеств, подмножеств и их элементов

Чаще всего множества обозначаются латинскими буквами- $A, B, C , D, X, Y, Z, W$ и Т.Д.

Элементы множеств обозначаются строчными буквами $a,b,c,d,x,y,z$ и Т.Д.

Записать принадлежность некоторого элемента к некоторому множеству, например то, что некоторой элемент $a$ будет входить в множество $A$ математически можно так: $ain A$.Прочитать данную запись можно так: a принадлежит множеству $A$.

Если же некоторый элемент, например, $b$ не принадлежит множеству $B$, то это записывается так: $bnotin B$.Читают эту запись так: $b$ не принадлежит множеству $B$

Например, если обозначить множество целых чисел за $A$, что тогда можно записать: $3in A$, $7,5notin B$

Пустое множество в математике обозначают так: $ᴓ$

Для обозначения того, что множество $B$ является подмножеством множества $A$, используют обозначение: Знак $subset $ обозначает включение одного множества в другое множество.

Способы задания множеств

Существует два глобально различных способа задания множеств.

Первый заключается в том, что множество задается указанием всех его элементов. В таком случае говорят, что множество задано перечислением всех своих элементов или списком своих элементов. Перечислением элементов можно задать только конечные множества и при небольшом количестве элементов, входящих в него

Конечные множества с небольшим количеством элементов обычно записывают в фигурных скобках $left{a,b,cright}$

При таком способе задания множеств говорят, что множество задано перечислением его элементов.

Второй способ задания множеств применим как для конечных. так и для бесконечных множеств. Он заключается в том, что указывается свойство, которым обладает каждый элемент данного множества — множество задают описанием, т.е. указав его характеристическое свойство, т. е свойство, которым обладают все элементы этого множества и не обладают никакие другие объекты.

Равенство множеств

Множества равны в том случае, если равны их элементы. При этом если множества состоят из одних и тех же элементов, но записанных в разном порядке то эти множества различны, хотя и равны.

Пересечение множеств

Если даны два множества, то можно образовать новое множество, составленное из общих элементов этих множеств.

Пересечением множеств $A$ и $B$ называется новое множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно и в множество $A$ и в множество $B$.

Объединение множеств

Из двух множеств $A$ и $B$ можно образовать новое множество, объединяя все элементы множества $A$ и все элементы множества $B$

Математически это можно обозначить так:$ А cup B$

Объединением множеств $A$ и $B$ называется новое множество$ А cup B$, состоящее из тех и только из тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств $A$ или $B$.

Разность множеств

Разностью двух множеств $A$ и $B$ называют такое множество, в которое входят все элементы из множества $A$, не принадлежащие множеству $B$.