Как составить приведенное квадратное уравнение по теореме виета

В курсе алгебры 8 класса изучается теорема Виета. Основное применение этой теоремы — упрощение вычисления корней приведенного квадратного уравнения.

В этой статье мы дадим определение теоремы Виета, докажем ее, покажем применение теоремы при решении квадратных уравнений, а также рассмотрим теорему обратную теореме Виета.

Квадратное уравнение и его корни

Давайте вспомним, как решается обычное квадратное уравнение. Сначала мы определяем его дискриминант по формуле: , затем мы сравниваем дискриминант с нулем:

1. Если , то уравнение имеет два разных корня, которые определяются по формулам: и
2. Если , то имеем два, совпадающих друг с другом корня: .
3. Если , то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте запишем уравнение и решим его.

Разделим левую и правую части на 2, получим приведенное квадратное уравнение:

Определим дискриминант: . Дискриминант больше нуля, значит, решением будут два корня:

и .

Сумма этих корней , а произведение . То есть сумма этих корней равна второму коэффициенту приведенного уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Проанализировав множество приведенных уравнений и сумм и произведений их корней, французский математик Франсуа Виет (1540—1603) открыл эту закономерность и доказал, что она справедлива для всех приведенных уравнений. Эту закономерность он назвал теоремой, которую мы теперь знаем, как теорему Виета. Она была доказана в 1591 году.

Теорема Виета и ее доказательство

Теорема. Если и корни уравнения , то , а .

Доказательство:

Используя формулу корней приведенного квадратного уравнения, запишем их сумму и произведение:

Что и требовалось доказать.

Теорема (обратная теореме Виета)

Если числа и такие, что их сумма равна , а их произведение равно , то они являются корнями уравнения .

Доказательство.

Если , а , то заменим и в уравнении:

Если ,   — корни уравнения, то, подставив в уравнение сначала , потом , мы должны получить верное равенство.

То есть, мы доказали, что  — корень уравнения.

Подставим теперь :

Итак, доказано, что  — корень уравнения .

Теорема доказана.

Примеры применения теоремы Виета

Рассмотрим примеры, в которых целесообразно применение теоремы Виета.

Пример 1

Напишите приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа 25 и 2.

Решение:

Приведенное квадратное уравнение имеет вид:

По теореме Виета имеем:

Тогда:

Искомое уравнение будет иметь вид:

Ответ: .

Пример 2

Решите уравнение, применяя теорему Виета.

Решение:

По теореме корни уравнения удовлетворяют системе:

Подбирая, получим:

, .

Действительно, подставим данные корни по очереди в исходное уравнение, и проверим правильность решения.

Корни уравнения найдены верно.

Ответ: , .

Пример 3

Требуется найти корни уравнения .

Решение:

Решать будем через теорему Виета, так как уравнение приведенное — старший коэффициент .

.

Корнями уравнения будут числа и . Они удовлетворяют системе. Сделаем проверку:

Ответ: и .

Совет 1. Если вы делаете выбор в пользу применения теоремы Виета, то обязательно делайте проверку, так как на этапе подбора корней очень часто совершаются ошибки.

Совет 2. Если вы не можете подобрать корни, используя теорему Виета, то вы всегда можете решить уравнение, используя формулы для корней квадратного уравнения.

Пример 4

Найдите сумму и произведение корней уравнения:

Решение:

Сумму и произведение корней найдем по формулам Виета , .

Ответ: , .

Пример 5

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа и .

Решение:

Связь между корнями уравнения и его коэффициентами устанавливает теорема Виета.

, тогда .

Определим :

Тогда уравнение будет иметь вид: .

Ответ: .

После того, как вы внимательно изучите, как решать квадратные уравнения обычным образом с помощью
формулы для корней
можно рассмотреть другой способ решения квадратных уравнений — с помощью теоремы Виета.

Перед тем, как изучить теорему Виета, хорошо потренируйтесь в
определении коэффициентов
«a», «b» и «с» в квадратных уравнениях.
Без этого вам будет трудно применить теорему Виета.

Когда можно применить теорему Виета

Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему.
Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Обратите внимание, что разница с обычным общим видом
квадратного уравнения «ax² + bx + c = 0» в том, что в
приведённом уравнении «x² + px + q = 0» коэффициент
«а = 1».

Если сравнить приведенное квадратное уравнение «x² + px + q = 0» с обычным общим видом квадратного
уравнения «ax² + bx + c = 0», то становится видно,
что
«p = b», а «q = c».

Теперь давайте на примерах разберем, к каким уравнениям можно применять теорему Виета, а где это не целесообразно.

Уравнение	Коэффициенты	Вывод
x2 − 7x + 1 = 0	a = 1 p = −7 q = 1	Так как «a = 1» можно использовать теорему Виета.
3x2 − 1 + x = 0 Приведем уравнение к общему виду: 3x2 + x − 1 = 0	a = 3 p = 1 q = −1	Так как «a = 3» не следует использовать теорему Виета.
−x2 = −3 + 2x Приведем уравнение к общему виду: −x2 + 3 − 2x = 0 −x2 − 2x + 3 = 0	a = −1 p = −2 q = 3	Так как «a = −1» не следует использовать теорему Виета.

Как использовать теорему Виета

Теперь мы готовы перейти к самому методу Виета для решения квадратных уравнений.

Чтобы было проще запомнить формулу Виета, следует запомнить:
«Коэффициент «p» —
значит плохой, поэтому он берется со знаком минус».

---

Рассмотрим пример.

x² + 4x − 5 = 0

Так как в этом уравнении «a = 1», квадратное уравнение
считается приведённым, значит, можно
использовать метод Виета.
Выпишем коэффициенты «p» и «q».

• p = 4
• q = −5

Запишем теорему Виета для квадратного уравнения.

	x1 + x2 = −4
x1 · x2 = −5

Методом подбора мы приходим к тому, что корни уравнения
«x₁ = −5» и «x₂ = 1». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −5; x₂ = 1

---

Рассмотрим другой пример.

x² + x − 6 = 0

Старший коэффициент «a = 1» поэтому можно применять теорему Виета.

	x1 + x2 = −1
x1 · x2 = −6

Методом подбора получим, что корни уравнения
«x₁ = −3» и «x₂ = 2». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −3; x₂ = 2

---

Деление уравнение на первый коэффициент

Рассмотрим уравнение, которое по заданию требуется решить, используя теорему Виета.

2x² − 16x − 18 = 0

Сейчас в уравнении «a = 2»,
поэтому перед тем, как использовать теорему Виета нужно сделать так, чтобы «a = 1».

Для этого достаточно разделить все уравнение на «2».
Таким образом, мы сделаем квадратное уравнение приведённым.

2x² − 16x − 18 = 0            | (:2)
2x²(:2) − 16x(:2) − 18(:2) = 0
x² − 8x − 9 = 0

Теперь «a = 1» и можно смело записывать формулу Виета и находить корни методом подбора.

	x1 + x2 = −(−8)
x1 · x2 = −9

Методом подбора получим, что корни уравнения
«x₁ = 9» и «x₂ = −1». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = 9; x₂ = −1

---

Бывают задачи, где требуется найти не только корни уравнения, но и коэффициенты самого уравнения. Например, как в такой задаче.

Корни «x₁» и
«x₂» квадратного уравнения
«x² + px + 3 = 0» удовлетворяют
условию «x₂ = 3x₁».
Найти «p», «x₁»,
«x₂».

Запишем теорему Виета для этого уравнения.

По условию дано, что
«x₂ = 3x₁».
Подставим это выражение в систему вместо «x₂».

	x1 + 3x1 = −p
x1 · 3x1 = 3

Решим полученное квадратное уравнение «x₁² = 1»
методом подбора и найдем «x₁».

   x₁² = 1

• (Первый корень) x₁ = 1
• (Второй корень) x₁ = −1

Мы получили два значения «x₁».
Для каждого из полученных значений найдем «p» и запишем все полученные результаты в ответ.

(Первый корень) x₁ = 1

Найдем
«x₂»

x₁ · x₂ = 3
1 · x₂ = 3
x₂ = 3

Найдем «p»

x₁ + x₂ = −p
1 + 3 = −p
4 = −p
p = −4;
(Второй корень) x₁ = −1

Найдем «x₂»

x₁ · x₂ = 3
−1 · x₂ = 3
                 −x₂ = 3         | ·(−1)
x₂ = −3

Найдем «p»

x₁ + x₂ = −p
−1 + −3 = −p
−4 = −p
p = 4

Ответ: (x₁ = 1; x₂ = 3; p = −4)     и    
(x₁ = −1; x₂ = −3; p = 4)

---

Теорема Виета в общем виде

В школьном курсе математики теорему Виета используют только для приведённых уравнений,
где старший коэффициент «a = 1», но, на самом деле, теорему Виета можно применить к любому квадратному уравнению.

В общем виде теорема Виета для квадратного уравнения выглядит так:

Убедимся в правильности этой теоремы на примере. Рассмотрим неприведённое квадратное уравнение.

3x² + 3x − 18 = 0

Используем для него теорему Виета в общем виде.

	x1 + x2 = −1
x1 · x2 = −6

Методом подбора получим, что корни уравнения
«x₁ = −3» и «x₂ = 2». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −3; x₂ = 2

В заданиях школьной математики мы не рекомендуем использовать теорему Виета в общем виде.

Другими словами, реальную пользу теорема Виета приносит только для приведённых квадратных уравнений, в
которых «a = 1».
Именно в таких случаях она не усложняет жизнь, а позволят без дополнительных расчетов быстро найти корни.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Теорема Виета

Теорема Виета:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену

Если приведённое квадратное уравнение имеет вид

то его корни равны:

,

где D = p 2 — 4q. Чтобы доказать теорему, сначала найдём сумму корней:

,

а теперь найдём их произведение:

Равенства, показывающие зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения:

называются формулами Виета.

Примечание: если дискриминант равен нулю (D = 0), то подразумевается, что уравнение имеет не один корень, а два равных корня.

Обратная теорема

Теорема:

Если сумма двух чисел равна -p, а их произведение равно q, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения:

Это доказывает, что число x₁ является корнем уравнения x 2 + px + q = 0. Точно так же можно доказать, что и число x₂ является корнем для этого уравнения.

Решение примеров

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.

Пример 1. Найти корни уравнения:

Решение: Так как

очевидно, что корни равны 1 и 2:

Подставив числа 1 и 2 в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:

1 2 — 3 · 1 + 2 = 0

2 2 — 3 · 2 + 2 = 0.

Пример 2. Найти корни уравнения:

Методом подбора находим, что корни равны -3 и -5:

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.

Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:

Решение: Так как x₁ = -3, x₂ = 6 корни уравнения x 2 + px + q = 0, то по теореме, обратной теореме Виета, составим уравнения:

Следовательно, искомое уравнение:

Пример 2. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни:

Теорема Виета для квадратного уравнения

О чем эта статья:

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

• не имеют корней;
• имеют один корень;
• имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства:

• если D 0, есть два различных корня.

В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .

В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

• x₁ + x₂ = −b,
• x₁ * x₂ = c.

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

Объединим числитель и знаменатель в правой части.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

Перемножаем числители и знаменатели между собой:

Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a 2 − b 2 . Получаем:

Далее произведем трансформации в числителе:

Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим:

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

1. Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.

   При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv» width=»99″>

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»57″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=»64″>

Неприведенное квадратное уравнение

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax 2 + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .

1. Получилось следующее приведенное уравнение:

Получается, второй коэффициент при x равен, свободный член —. Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x 2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x 2 , то есть на 4.

Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен, а свободный член.

Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:

Метод подбора помогает найти корни: −1 и

Теорема Виета

Приведенное квадратное уравнение и его корни

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида:

Для корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения (при $D ge 0$) справедливо следующее:

$$ x_1+x_2 = -b, quad x_1 x_2 = c $$

$$ x_1 = -6, x_2 = 1, quad x_1+x_2 = -5, quad x_1 x_2 = -6 $$

Теорема Виета

Для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2+bx+c = 0$ (при $D ge 0$) справедливо следующее:

$$ ax^2+bx+c = a(x-x_1 )(x-x_2 ) $$

$$ 2x^2+5x-3 = 2 left(x-frac<1> <2>right)(x+3) $$

$$ x_1 = frac<1><2>, x_2=-3, quad x_1+x_2=-frac<5><2>, quad x_1 x_2 = — frac<3> <2>$$

Примеры

Пример 1. Составьте квадратное уравнение по его корням:

Искомое уравнение: $x^2-3x-10 = 0$

Искомое уравнение: $x^2-3,5x-2 = 0$

$$ left(x-frac<1> <3>right) left(x-frac<1> <2>right) = x^2- left(frac<1><3>+frac<1> <2>right)x+frac<1> <3>cdot frac<1> <2>= x^2-frac<5> <6>x+frac<1> <6>$$

Искомое уравнение: $x^2-frac<5> <6>x+frac<1> <6>= 0 или 6x^2-5x+1 = 0$

$г) frac<3><5>$ — один корень

$$ left(x-frac<3> <5>right)^2 = x^2-2 cdot frac<3> <5>x+ left(frac<3> <5>right)^2 = x^2-frac<6> <5>x+frac<9><25>$$

Искомое уравнение: $x^2-frac<6> <5>x+ frac<9> <25>= 0$ или $25x^2-30x+9 = 0$

Пример 2. Один из корней уравнения $x^2+bx-21 = 0$ равен 3. Найдите другой корень и коэффициент b.

По теореме Виета можем записать:

Получаем: второй корень равен -7, уравнение имеет вид $x^2+4x-21 = 0$.

Ответ: $x_2$ = -7, b = 4

Пример 3. Один из корней уравнения $x^2+3x+c = 0$ равен 12. Найдите другой корень и коэффициент c.

По теореме Виета можем записать:

$$ <left< begin x_2+12 = -3 \ 12x_2 = c end right.> Rightarrow <left< begin x_2 = -15 \ c = 12 cdot (-15) = -180 end right.> $$

Получаем: второй корень равен -15, уравнение имеет вид $x^2+3x-180 = 0$.

Ответ: $x_2$ = -15, c = -180

Пример 4*. Дано уравнение $x^2+5x-7 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$.

Не решая его, постройте уравнение:

а) с корнями $y_1 = frac<1>, y_2 = frac<1>$

По теореме Виета для корней исходного уравнения получаем:

Для корней искомого уравнения можем записать:

$$ y^2-frac<5> <7>y-frac<1> <7>= 0 iff 7y^2-5y-1 = 0 $$

б) с корнями $y_1 = frac ,y_2 = frac $

Для корней искомого уравнения можем записать:

$$ y^2+frac<39> <7>y+1 = 0 iff 7y^2+39y+7 = 0 $$

Теорема Виета, обратная формула Виета и примеры с решением для чайников

Теорема Виета помогает решать квадратные уравнения путём подбора. В этой статье даны определения, доказательства, формулы и примеры решений квадратных уравнений для чайников.

Что такое теорема Виета

Франсуа Виет (1540-1603 гг) – математика, создатель знаменитых формул Виета

Теорема Виета нужна для быстрого решения квадратных уравнений (простыми словами).

Если более подробно, то т еорема Виета – это сумма корней данного квадратного уравнения равняется второму коэффициенту, который взят с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. Это свойство обладает любым приведённым квадратным уравнением, у которого есть корни.

При помощи теоремы Виета можно легко решать квадратные уравнения путём подбора, поэтому скажем “спасибо” этому математику с мечем в руках за наш счастливый 7 класс.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Доказательство теоремы Виета

Чтобы доказать теорему, можно воспользоваться известными формулами корней, благодаря которым составим сумму и произведение корней квадратного уравнения. Только после этого мы сможем убедиться, что они равны и, соответственно, .

Допустим у нас есть уравнение: . У этого уравнения есть такие корни: и . Докажем, что , .

По формулам корней квадратного уравнения:

, .

1. Найдём сумму корней:

.

Разберём это уравнение, как оно у нас получилось именно таким:

= .

Шаг 1 . Приводим дроби к общему знаменателю, получается:

= = .

Шаг 2 . У нас получилась дробь, где нужно раскрыть скобки:

= = . Сокращаем дробь на 2 и получаем:

.

Мы доказали соотношение для суммы корней квадратного уравнения по теореме Виета.

2. Найдём произведение корней:

=

= = = = = .

Докажем это уравнение:

.

Шаг 1 . Есть правило умножение дробей, по которому мы и умножаем данное уравнение:

.

Шаг 2 . Далее выполняется умножение скобку на скобку (в числителе). Можно воспользоваться формулой сокращённого умножения (ФСУ) – формула разности, откуда получается:

.

Теперь вспоминаем определение квадратного корня и считаем:

= .

Шаг 3 . Вспоминаем дискриминант квадратного уравнения: . Поэтому в последнюю дробь вместо D (дискриминанта) мы подставляем , тогда получается:

= .

Шаг 4 . Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые к дроби:

.

Шаг 5 . Сокращаем «4a» и получаем .

Вот мы и доказали соотношение для произведения корней по теореме Виета.

ВАЖНО! Если дискриминант равняется нулю, тогда у квадратного уравнения всего один корень.

Теорема, обратная теореме Виета

По теореме, обратной теореме Виета можно проверять, правильно ли решено наше уравнение. Чтобы понять саму теорему, нужно более подробно её рассмотреть.

Если числа и такие:

и , тогда они и есть корнями квадратного уравнения .

Доказательство обратной теоремы Виета

Шаг 1. Подставим в уравнение выражения для его коэффициентов:

Шаг 2. Преобразуем левую часть уравнения:

;

.

Шаг 3 . Найдём Корни уравнения , а для этого используем свойство о равенстве произведения нулю:

или . Откуда и получается: или .

Примеры с решениями по теореме Виета

Найдите сумму, произведение и сумму квадратов корней квадратного уравнения , не находя корней уравнения.

Шаг 1 . Вспомним формулу дискриминанта . Подставляем наши цифры под буквы. То есть, , – это заменяет , а . Отсюда следует:

. Получается:

0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»13″ width=»170″ style=»vertical-align: -1px;» />. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение .

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение:

.

Решите уравнение . При этом не применяйте формулы квадратного уравнения.

У данного уравнения есть корни, которые по дискриминанту (D) больше нуля. Соответственно, по теореме Виета сумма корней этого уравнения равна 4, а произведение – 5. Сначала определяем делители числа , сумма которых равняется 4. Это числа «5» и «-1». Их произведение равно – 5, а сумма – 4. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями данного уравнения.

и

Задание

Найдите, если это возможно, сумму и произведение корней уравнения:

Решение

. Так как дискриминант меньше нуля, значит у уравнения нет корней.

Ответ

Задание

Составьте уравнение, каждый корень которого в два раза больше соответствующего корня уравнения:

Решение

По теореме Виета сумма корней данного уравнения равна 12, а произведение = 7. Значит, два корня положительны.

Сумма корней нового уравнения будет равна:

, а произведение .

По теореме, обратной теореме Виета, новое уравнение имеет вид:

Ответ

Получилось уравнение, каждый корень которого в два раза больше:

Итак, мы рассмотрели, как решать уравнение при помощи теоремы Виета. Очень удобно пользоваться данной теоремой, если решаются задания, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. То есть, если в формуле свободный член – число положительное, и если в квадратном уравнении имеются действительные корни, тогда они оба могут быть либо отрицательными, либо положительными.

А если свободный член – отрицательное число, и если в квадратном уравнении есть действительные корни, тогда оба знака будут разными. То есть, если один корень положительный, тогда другой корень будет только отрицательный.

Полезные источники:

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2016 – 318 с.
2. Рубин А. Г., Чулков П. В. – учебник Алгебра 8 класс:Москва “Баласс”, 2015 – 237 с.
3. Никольский С. М., Потопав М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2014 – 300

Средняя оценка 4.1 / 5. Количество оценок: 7

В восьмом классе, учащиеся знакомятся с
квадратными уравнениями и способами их решения.
При этом, как показывает опыт, большинство
учащихся при решении полных квадратных
уравнений применяют только один способ –
формулу корней квадратного уравнения. Для
учеников, хорошо владеющих навыками устного
счета, этот способ явно нерационален. Решать
квадратные уравнения учащимся приходится часто
и в старших классах, а там тратить время на расчет
дискриминанта просто жалко. На мой взгляд, при
изучении квадратных уравнений, следует уделить
больше времени и внимания применению теоремы
Виета (по программе А.Г. Мордковича Алгебра-8, на
изучение темы “Теорема Виета. Разложение
квадратного трехчлена на линейные множители”
запланировано только два часа).

В большинстве учебников алгебры эта теорема
формулируется для приведенного квадратного
уравнения и гласит, что если уравнение имеет корни и , то для них выполняются
равенства , . Затем
формулируется утверждение, обратное к теореме
Виета, и предлагается ряд примеров для отработки
этой темы.

Возьмем конкретные примеры и проследим на них
логику решения с помощью теоремы Виета.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Допустим, это уравнение имеет корни, а именно, и . Тогда по теореме Виета
одновременно должны выполняться равенства

Обратим внимание, что произведение корней –
положительное число. А значит, корни уравнения
одного знака. А так как сумма корней также
является положительным числом, делаем вывод, что
оба корня уравнения – положительные. Вернемся
снова к произведению корней. Допустим, что корни
уравнения – целые положительные числа. Тогда
получить верное первое равенство можно только
двумя способами (с точностью до порядка
множителей):
или . Проверим
для предложенных пар чисел выполнимость второго
утверждения теоремы Виета: . Таким образом, числа 2 и 3
удовлетворяют обоим равенствам, а значит, и
являются корнями заданного уравнения.

Ответ: 2; 3.

Выделим основные этапы рассуждений при решении
приведенного квадратного уравнения с помощью теоремы Виета:

записать утверждение теоремы Виета

(*)

(первым равенством рекомендуется записывать
произведение корней);

• определить знаки корней уравнения (Если
  произведение и сумма корней – положительные, то
  оба корня – положительные числа. Если
  произведение корней – положительное число, а
  сумма корней – отрицательное, то оба корня –
  отрицательные числа. Если произведение корней –
  отрицательное число, то корни имеют разные знаки.
  При этом, если сумма корней – положительная, то
  больший по модулю корень является положительным
  числом, а если сумма корней меньше нуля, то
  больший по модулю корень – отрицательное число);
• подобрать пары целых чисел, произведение
  которых дает верное первое равенство в записи (*);
• из найденных пар чисел выбрать ту пару, которая
  при подстановке во второе равенство в записи (*)
  даст верное равенство;
• указать в ответе найденные корни уравнения.

Приведем еще примеры.

Пример 2. Решите уравнение .

Решение.

Пусть и — корни
заданного уравнения. Тогда по теореме Виета Заметим, что
произведение – положительное, а сумма –
отрицательное число. Значит, оба корня –
отрицательные числа. Подбираем пары множителей,
дающих произведение 10 (-1 и -10; -2 и -5). Вторая пара
чисел в сумме дает -7. Значит, числа -2 и -5 являются
корнями данного уравнения.

Ответ: -2; -5.

Пример 3. Решите уравнение .

Решение.

Пусть и — корни
заданного уравнения. Тогда по теореме Виета Заметим, что
произведение – отрицательное. Значит, корни –
разного знака. Сумма корней – также
отрицательное число. Значит, больший по модулю
корень – отрицательный. Подбираем пары
множителей, дающих произведение -10 (1 и -10; 2 и -5).
Вторая пара чисел в сумме дает -3. Значит, числа 2 и
-5 являются корнями данного уравнения.

Ответ: 2; -5.

Заметим, что теорему Виета в принципе можно
сформулировать и для полного квадратного
уравнения: если квадратное уравнение имеет корни и , то для них выполняются
равенства , . Однако
применение этой теоремы довольно проблематично,
так как в полном квадратном уравнении по крайней
мере один из корней (при их наличии, конечно)
является дробным числом. А работать с подбором
дробей долго и трудно. Но все-таки выход есть.

Рассмотрим полное квадратное уравнение . Умножим обе
части уравнения на первый коэффициент а и
запишем уравнение в виде . Введем новую переменную и получим
приведенное квадратное уравнение , корни которого и (при их наличии) могут быть
найдены по теореме Виета. Тогда корни исходного
уравнения будут . Обратим внимание, что составить
вспомогательное приведенное уравнение очень просто:
второй коэффициент сохраняется, а третий
коэффициент равен произведению ас. При
определенном навыке учащиеся сразу составляют
вспомогательное уравнение, находят его корни по
теореме Виета и указывают корни заданного
полного уравнения. Приведем примеры.

Пример 4. Решите уравнение .

Решение

Составим вспомогательное уравнение и по теореме
Виета найдем его корни . А значит, корни исходного уравнения .

Ответ: .

Пример 5. Решите уравнение .

Решение

Вспомогательное уравнение имеет вид . По теореме
Виета его корни . Находим корни исходного уравнения .

Ответ: .

И еще один случай, когда применение теоремы
Виета позволяет устно найти корни полного
квадратного уравнения. Нетрудно доказать, что число
1 является корнем уравнения , тогда и только тогда, когда . Второй
корень уравнения находится по теореме Виета и
равен . Еще
одно утверждение: чтобы число –1 являлось
корнем уравнения необходимо и достаточно, чтобы . Тогда второй
корень уравнения по теореме Виета равен . Аналогичные
утверждения можно сформулировать и для
приведенного квадратного уравнения.

Пример 6. Решите уравнение .

Решение

Заметим, что сумма коэффициентов уравнения
равна нулю. Значит, корни уравнения .

Ответ: .

Пример 7. Решите уравнение .

Решение

Для коэффициентов этого уравнения выполняется
свойство
(действительно, 1-(-999)+(-1000)=0). Значит, корни
уравнения .

Ответ: ..

Примеры на применение теоремы Виета

Задание 1. Решите приведенное квадратное
уравнение с помощью теоремы Виета.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Задание 2. Решите полное квадратное уравнение
с помощью перехода к вспомогательному
приведенному квадратному уравнению.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Задание 3. Решите квадратное уравнение с
помощью свойства .

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Теорема Виета

• Обратная теорема
• Решение примеров

Теорема Виета:

Доказательство:

Если приведённое квадратное уравнение имеет вид

x² + px + q = 0,

то его корни равны:

,

где  D = p² — 4q.  Чтобы доказать теорему, сначала найдём сумму корней:

,

а теперь найдём их произведение:

Равенства, показывающие зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения:

x₁ + x₂ = —p,

x₁ · x₂ = q

называются формулами Виета.

Примечание: если дискриминант равен нулю  (D = 0),  то подразумевается, что уравнение имеет не один корень, а два равных корня.

Обратная теорема

Теорема:

Доказательство:

Пусть дано  x₁ + x₂ = —p,  значит,  x₂ = —p — x₁.  Подставим это выражение в равенство  x₁ · x₂ = q,  получим:

x₁(-p — x₁) = q;

—px₁ — x₁² = q;

x₁² + px₁ + q = 0.

Это доказывает, что число  x₁  является корнем уравнения   x² + px + q = 0.  Точно так же можно доказать, что и число  x₂  является корнем для этого уравнения.

Решение примеров

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.