Как составить проекцию вектора на оси - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Проекция вектора на ось в физике — формулы и определения с примерами

Содержание:

Проекция вектора на ось:

Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Как ее определяют?

Начнем с понятия проекция точки на ось.

Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось.

На рисунке 24 точка

Как определяют проекцию вектора на ось

Проекция вектора на ось — это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+» или «-». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый, а знак «-» — если угол тупой.

На рисунке 25 проекция вектора на ось Ох обозначена через а проекция вектора — через

Проекция — число положительное, т. к. угол на рисунке 25, а — острый. Проекция — число отрицательное т. к. угол на рисунке 25, б — тупой.

А если вектор перпендикулярен оси? Тогда его проекция на эту ось равна нулю (рис. 26).

Проекцию вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью.

Рассмотрим треугольник на рисунке 25, а. Его гипотенуза катет а угол между ними равен Следовательно,

Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью.

Это правило справедливо при любых углах между вектором и осью. Подтвердите это с помощью рисунков 25 и 26.

Обратим внимание на еще одно важное свойство проекций: проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.

С помощью рисунка 27, а, б убедитесь, что из векторного равенства следует равенство для проекций: Не забывайте о знаках проекций.

Можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси

Рассмотрим вектор лежащий в плоскости (рис. 28). Его проекции на оси определим из рисунка:

Модуль вектора находим по теореме Пифагора из треугольника ACD: Разделив на получим: По значению косинуса находим угол

Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, полностью определяется двумя проекциями на оси координат.

Вектор в пространстве определяется тремя проекциями: (рис. 29).

Главные выводы:

Проекция вектора на ось — это длина отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «-».
Если угол между вектором и осью острый, то его проекция на эту ось положительна, если угол тупой — отрицательна, если прямой — равна нулю.
Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью.
Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.

Пример №1

1. Определите сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов (рис. 30). Найдите модули векторов суммы и разности

Решение

Сумму векторов находим по правилу треугольника (рис. 31, а) или параллелограмма (рис. 31, б). Так как векторы взаимно перпендикулярны, модуль вектора находим по теореме Пифагора: Разность векторов определим по правилам вычитания векторов (рис. 32, а, б).

Модуль вектора находим аналогично:

Ответ:

Заказать решение задач по физике

Пример №2

Выразите вектор через векторы (рис. 33). Как связаны между собой проекции этих векторов на оси Ох и Оу?

Решение

По правилу треугольника находим: Отсюда Определив координаты начальных и конечных точек векторов находим проекции этих векторов:

Вычислением убедимся, что проекции векторов связаны теми же равенствами, что и сами векторы:

Ответ:

Путь и перемещение
Равномерное прямолинейное движение
Прямолинейное неравномерное движение
Прямолинейное равноускоренное движение
Колебательное движение
Физический и математический маятники
Пружинные и математические маятники
Скалярные и векторные величины и действия над ними

Источник

Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор

Навигация по странице:

Определение проекции вектора на ось
Определение проекции вектора на вектор
Формула вычисления проекции вектора на вектор
Примеры задач на проекцию вектора
- плоские задачи
- пространственные задачи

Определение. Проекцией вектора AB на ось l называется число, равное величине отрезка A₁B₁ оси l, где точки A₁ и B₁ являются проекциями точек A и B на ось l. (рис. 1).

рис. 1

Определение. Проекцией вектора a на направление вектора b , называется число, равное величине проэкции вектора a на ось проходящую через вектор b.

Формула вычисления проекции вектора на вектор

Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:

Примеры задач на проекцию вектора

Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач

Пример 1. Найти проекцию вектора a = {1; 2} на вектор b = {3; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11

Найдем модуль вектора b

|b| = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр _ba =	a · b	=	11	= 2.2
\|b\|	5

Ответ: Пр _ba = 2.2.

Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи

Пример 2. Найти проекцию вектора a = {1; 4; 0} на вектор b = {4; 2; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 4 + 4 · 2 + 0 · 4 = 4 + 8 + 0 = 12

Найдем модуль вектора b

|b| = √4² + 2² + 4² = √16 + 4 + 16 = √36 = 6

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр _ba =	a · b	=	12	= 2
\|b\|	6

Ответ: Пр _ba = 2.

Источник

В математике существуют два определения:

1) геометрическая проекция вектора — вектор;

2) проекция вектора на ось — число.

Геометрическая проекция вектора — это вектор, который можно получить, если провести перпендикуляры от концов вектора до выбранной оси. Проекция начала вектора соответствует началу геометрической проекции, а проекция конца вектора соответствует концу геометрической проекции.

Ваш браузер не поддерживает HTML5 видео

Для вектора

v→

геометрическая проекция на оси (t) — это вектор

vt→

Для вектора

n→

геометрическая проекция на оси (y) — это вектор

ny→

Проекция вектора на ось — это скалярная величина (число), равная длине геометрической проекции вектора, если направление оси и геометрической проекции совпадают; или число, противоположное длине геометрической проекции вектора, если направления геометрической проекции и оси — противоположные.

ax=4bx=−3

Если длина вектора

a→

равна

a→

— это острый угол, созданный вектором и осью (x), то скалярная проекция вектора вычисляется по формуле:

ax=a→⋅cosα

Знак проекции вектора выбирается в зависимости от направления оси.

На рисунке видно, что эту формулу можно получить из соотношения в прямоугольном треугольнике:

cosα=прилежащий катетгипотенуза=ax→a→

Обрати внимание!

Если вектор и ось проекций параллельны, то скалярная проекция на этой оси — число, которое равно длине вектора, если направления вектора и оси совпадают, или число, противоположное длине вектора, если направления вектора и оси — противоположные.

Если вектор и ось проекций перпендикулярны, то проекция вектора на этой оси равна (0).

at=3bt=−5ct=0dt=0

Источник

Прямая
с заданной на ней точкой и единичным
базисным вектором
называетсяосью.

Ортогональной
проекцией
точки A
на ось называется точка пересечения
оси с перпендикулярной к ней плоскостью,
проходящей через точку А.

Пусть
в пространстве задана направленная
прямая l.
Проекцией точки М
на ось l
называется основание
перпендикуляра,
опущенного из точкиМ
на ось. Если точка М
лежит на оси l,
то проекция точки М
на ось совпадает с М
(рис. IV.4).

Рис.
IV.4

Пусть
– произвольный вектор.Проекцией
вектора

на осьl
называется координата вектора
относительно единичного вектораоси, гдеА₁
и В₁
– проекции точек A
и B
на ось l,
то есть если
,
то число
называется проекцией вектора
на осьl,
в направлении
.
Обозначение для проекции:.

Из правил сложения
векторов и умножения вектора на число,
заданных своими координатами, следует,
что:

,
где
.

Легко
показать, что
,
где
– угол между векторами
и,
отсчитываемый по правилам тригонометрии:
от векторапротив часовой стрелки до вектора.

Следует
помнить: проекция
вектора на ось положительна (отрицательна),
если вектор образует с осью острый
(тупой) угол, и равна нулю, если этот угол
прямой.

Действия над
векторами, заданными проекциями,
выполняются аналогично действиям над
матрицей-строкой (матрицей-столбцом).

Рассмотрим
3-х мерное линейное пространство L
и
(рис.IV.5).
Введем декартову систему координат
Oxyz.
Представим вектор
в виде линейной комбинации базисных
векторов,,:

.
(IV.1)

Проекцией
вектора
на осьOx
называется величина направленного
отрезка
и записывается.

Так
как, по определению,
,
то если

– угол между осью Ox
и вектором
,
то

.
(IV.2)

Аналогично
определяются проекции вектора

на другие оси.

Рис.
IV.5.

Сопоставляя
(IV.1)
и (IV.2)
и учитывая, что проекция есть направленный
отрезок (если
,
то),
то

,
,.

Заметим,
что
,
получаем

,
,.
(IV.3)

называются направляющими косинусами.
Возводя в квадрат и складывая, получим

то есть сумма
квадратов направляемых косинусов равна
1:

.
(IV.4)

Пусть
углы вектора

с осями Ox,
Оу,
Оz
соответственно равны ,
,
.
По свойству проекции вектора на ось
имеем:

или, что то же
самое:

.
(IV.5)

Числа

называются направляющими косинусами
вектора

().

Линейные свойства проекции вектора на ось

Пусть
дана ось Ox
и векторы

и
:

Тогда, как следует
из свойств сложения векторов, имеем

;

Отсюда,
как следует из (IV.2),
получаем

;

Координаты вектора

Найдем
координаты вектора
,
если известны координаты точек

и
.
Имеем:

Следовательно,
координаты
вектора равны разностям соответствующих
координат его конца и начала.

Зададим
в пространстве декартову систему
координат Oxyz
и вектор
,
где координаты точек
,

Проекция
вектора

на ось Ox
(рис. IV.6)
определяется

.
(IV.6)

Рис.
IV.6.

Тригонометрическая
формула (IV.6)
устанавливает связь между геометрическим
образом отрезка и его проекцией на ось
Ox,
которая в алгебраической форме имеет
вид

.
(IV.7)

Знак
правой части в (IV.7)
определяется
,
для
.
Таким образом,

,
(IV.8
а)

,
(IV.8
б)

.
(IV.8
в)

Для
нахождения длины отрезка

воспользуемся теоремой Пифагора, получим

.
(IV.9)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Проекция вектора на ось

Определение и формула проекции вектора на ось

Под осью понимается прямая, для которой указано направление.

Чтобы построить проекцию вектора на ось , нужно из точек и (начало и конец вектора соответственно) опустить перпендикуляры на направленную прямую , основания этих перпендикуляров будут началом и концом искомой проекции (рис. 1).

Числовой характеристикой проекции вектора на ось является числовая проекция ${Pi text{p}}_{l} bar{a}$ этого вектора на данную ось – число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между этим вектором и вектором, определяющим направление оси.

Если направление оси определяется вектором , то числовая проекция вектора на эту ось обозначается как ${Pi text{p}}_{bar{b}} bar{a}$ , причем

$[{Pi text{p}}_{bar{b}} bar{a}=left|bar{a}right|cdot cos left(mathop{bar{a},; bar{b}}limits^{wedge } right) (1)]$

Примеры нахождения проекции вектора на ось

Из определения скалярного произведения двух векторов и :

$[left(bar{a},; bar{b}right)=left|bar{a}right|cdot left|bar{b}right|cdot cos left(mathop{bar{a},; bar{b}}limits^{wedge } right),]$

получаем, что

$[cos left(mathop{bar{a},; bar{b}}limits^{wedge } right)=frac{left(bar{a},; bar{b}right)}{left|bar{a}right|cdot left|bar{b}right|} ]$

В результате формула (1) принимает вид:

$[{Pi text{p}}_{bar{b}} bar{a}=left|bar{a}right|cdot frac{left(bar{a},; bar{b}right)}{left|bar{a}right|cdot left|bar{b}right|} =frac{left(bar{a},; bar{b}right)}{left|bar{b}right|} ]$

То есть числовой проекцией вектора на ось, направление которой совпадает с направлением вектора , есть отношение скалярного произведения векторов и к модулю вектора :

$[{Pi text{p}}_{bar{b}} bar{a}=frac{left(bar{a},; bar{b}right)}{left|bar{b}right|} ]$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник